Casos especiais de trazer um sistema espacial arbitrário de forças para o centro. Casos de redução à forma mais simples Formas de equações de equilíbrio de um sistema plano de forças
Deixe vários pares de forças com momentos atuando em planos diferentes serem aplicados simultaneamente a um corpo rígido. É possível reduzir este sistema de pares a uma forma mais simples? Acontece que é possível, e a resposta é sugerida pelo seguinte teorema sobre a adição de dois pares.
Teorema. Dois pares de forças agindo em planos diferentes equivalem a um par de forças com momento igual à soma geométrica dos momentos dos pares dados.
Sejam os pares definidos pelos seus momentos e (Fig. 36,a). Vamos construir dois planos perpendiculares a esses vetores (o plano de ação dos pares) e, escolhendo um determinado segmento AB na reta de intersecção dos planos do ombro comum a ambos os pares, construiremos os pares correspondentes: (Fig. 36, b).
De acordo com a definição do momento de casal, podemos escrever
Nos pontos A e B temos forças convergentes. Aplicando a regra do paralelogramo de forças (axioma 3), teremos:
Os pares dados são equivalentes a duas forças, que também formam um par. Assim, a primeira parte do teorema está provada. A segunda parte do teorema é comprovada pelo cálculo direto do momento do par resultante:
Se houver vários pares, adicionando-os aos pares de acordo com este teorema, qualquer número de pares pode ser reduzido a um par. Como resultado, chegamos à seguinte conclusão: um conjunto (sistema) de pares de forças aplicados a um corpo absolutamente rígido pode ser reduzido a um par com momento igual à soma geométrica dos momentos de todos os pares dados.
Matematicamente, isso pode ser escrito da seguinte forma:
Na Fig. A Figura 37 apresenta uma ilustração geométrica da conclusão resultante.
Para o equilíbrio dos pares de forças, é necessário que o momento do par resultante seja igual a zero, o que leva à igualdade
Esta condição pode ser expressa de forma geométrica e analítica. Condição geométrica para o equilíbrio de pares de forças: para que um sistema de pares de forças esteja em equilíbrio é necessário e suficiente que o polígono vetorial construído a partir dos momentos de todos os pares seja fechado.
Condição analítica para o equilíbrio de pares de forças: para que um sistema de pares de forças esteja em equilíbrio, é necessário e suficiente que as somas algébricas das projeções dos vetores de momento de todos os pares nos eixos coordenados Oxyz escolhidos arbitrariamente sejam iguais a zero:
Se todos os pares estiverem no mesmo plano, ou seja, formarem um sistema plano de pares, apenas uma condição de equilíbrio analítico é obtida – a soma dos momentos algébricos dos pares é igual a zero.
Perguntas de autoteste
1. Qual é a regra do polígono de força? Para que é usado o polígono de potência?
2. Como encontrar analiticamente a resultante de forças convergentes?
3. Qual é a condição geométrica para o equilíbrio de forças convergentes? Como essa mesma condição é formulada analiticamente?
4. Enuncie o teorema das três forças.
5. Quais problemas estáticos são chamados de definidos estaticamente e quais são chamados de estaticamente indeterminados? Dê um exemplo de problema estaticamente indeterminado.
6. O que é chamado de par de forças?
7. Como é chamado o momento (vetor-momento) de um par de forças? Quais são a direção, magnitude e ponto de aplicação do momento?
8. O que é chamado de momento algébrico de um par?
9. Formule uma regra para somar pares localizados arbitrariamente no espaço.
10. Quais são as condições vetoriais, geométricas e analíticas para o equilíbrio de um sistema de pares de forças?
O principal teorema da estática sobre trazer um sistema arbitrário de forças para um determinado centro: Qualquer sistema plano de forças é equivalente a uma força igual ao vetor principal do sistema aplicado em algum ponto (centro de redução) e a um par de forças, cujo momento é igual ao momento principal das forças relativas do sistema para o centro de redução.
A prova do teorema é realizada na seguinte sequência: selecione um determinado ponto (por exemplo, um ponto SOBRE) como centro de redução e transferir cada força para este ponto, somando, de acordo com o teorema da transferência paralela de forças, os pares de forças correspondentes. Como resultado, obtém-se um sistema de forças convergentes aplicadas no ponto SOBRE, onde , e um sistema de pares de forças adicionados cujos momentos são . Então o sistema de forças convergentes é substituído por uma resultante igual ao vetor principal do sistema, e o sistema de pares de forças é substituído por um par de forças com momento igual ao momento principal do sistema em relação ao centro de redução . Como resultado, obtemos isso ~. Portanto, o teorema está provado.
Casos de redução do sistema espacial de forças à forma mais simples:
1, a – o sistema é reduzido a um par de forças com momento igual ao momento principal do sistema, e o valor do momento principal do sistema não depende da escolha do centro de redução.
2, a – o sistema de forças é reduzido a uma resultante igual ao vetor principal do sistema, cuja linha de ação passa pelo centro O da redução.
3, e – tal sistema de forças é reduzido a uma resultante, igual ao vetor principal do sistema, cuja linha de ação é deslocada do centro de redução anterior por uma distância.
4 Se o vetor principal e o momento principal forem , então o sistema de forças será equilibrado, ou seja, ~0.
2.1.5 Condições de equilíbrio para um sistema plano de forças
As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de qualquer sistema plano de forças são determinadas pelas equações:
A magnitude do vetor principal de um sistema plano de forças é determinada pelas dependências: , e o momento principal - pela dependência .
O vetor principal será igual a zero somente quando simultaneamente . Consequentemente, as condições de equilíbrio são satisfeitas quando as seguintes equações analíticas são satisfeitas:
Essas equações são as básicas ( primeiro ) a forma de condições analíticas para o equilíbrio de um sistema plano arbitrário de forças, que são formuladas da seguinte forma: para o equilíbrio de um sistema plano arbitrário de forças, é necessário e suficiente que a soma das projeções de todas as forças em cada um dos dois eixos coordenados e a soma algébrica dos momentos dessas forças em relação a qualquer ponto do plano de ação das forças é igual a zero.
Observe que o número de equações de equilíbrio para um sistema plano arbitrário de forças no caso geral é três. Eles podem ser apresentados de diferentes formas.
Existem mais duas formas de equações de equilíbrio para um sistema plano arbitrário de forças, cujo cumprimento expressa as condições de equilíbrio ().
Segundo a forma das condições de equilíbrio analítico fornece: para o equilíbrio de um sistema plano arbitrário de forças, é necessário e suficiente que a soma dos momentos de todas as forças em relação a dois pontos e a soma das projeções dessas forças em um eixo não perpendicular à linha reta traçada através destes os pontos são iguais a zero:
(linha AB não perpendicular ao eixo Oh)
Vamos formular terceiro a forma das condições analíticas para o equilíbrio do sistema de forças em consideração: para o equilíbrio de um sistema plano arbitrário de forças, é necessário e suficiente que a soma dos momentos das forças do sistema em relação a quaisquer três pontos que não estejam na mesma linha reta seja igual a zero:
No caso de um sistema plano de forças paralelas, você pode direcionar o eixo UO paralelo às forças do sistema. Então as projeções de cada uma das forças do sistema no eixo Oh será igual a zero. Como resultado, para um sistema plano de forças paralelas permanecerão duas formas de condições de equilíbrio.
Para o equilíbrio de um sistema plano de forças paralelas, é necessário e suficiente que a soma das projeções de todas as forças sobre o eixo paralelo a elas e a soma dos momentos de todas as forças em relação a qualquer ponto sejam iguais a zero:
Esta primeira forma de condições de equilíbrio analítico para um sistema plano de forças paralelas segue das equações ().
Obtemos a segunda forma de condições de equilíbrio para um sistema plano de forças paralelas a partir das equações ().
Para o equilíbrio de um sistema plano de forças paralelas, é necessário e suficiente que a soma dos momentos de todas as forças do sistema em relação a dois pontos que não estão em uma linha reta paralela às forças seja igual a zero:
Conforme mostrado no § 12, qualquer um é reduzido no caso geral a uma força igual ao vetor principal R e aplicada em um centro arbitrário O, e a um par com momento igual ao momento principal (ver Fig. 40, b ). Vamos descobrir a que forma mais simples um sistema espacial de forças que não está em equilíbrio pode ser reduzido. O resultado depende dos valores que este sistema possui para as quantidades R e
1. Se para um determinado sistema de forças , então ele se reduz a um par de forças cujo momento é igual e pode ser calculado usando as fórmulas (50). Neste caso, como foi mostrado no § 12, o valor independe da escolha do centro O.
2. Se for para um determinado sistema de forças, então ele é reduzido a uma resultante igual a R, cuja linha de ação passa pelo centro O. O valor de R pode ser encontrado usando as fórmulas (49).
3. Se para um determinado sistema de forças mas então este sistema também se reduz a uma resultante igual a R, mas não passando pelo centro O.
Na verdade, quando o par, representado pelo vetor, e a força R estão no mesmo plano (Fig. 91).
Então, escolhendo as forças do par iguais em módulo R e organizando-as como mostrado na Fig. 91, descobrimos que as forças serão mutuamente equilibradas e o sistema será substituído por uma linha de ação resultante que passa pelo ponto O (ver § 15, parágrafo 2, b). Distância ) é determinado pela fórmula (28), onde
É fácil verificar que o caso considerado ocorrerá, em particular, sempre para qualquer sistema de forças paralelas ou forças situadas no mesmo plano, se o vetor principal deste sistema for para um determinado sistema de forças e o vetor for paralelo a R (Fig. 92, a) , isso significa que o sistema de forças é reduzido a uma combinação de força R e um par P, P situado em um plano perpendicular à força (Fig. 92, b). Tal combinação de força e binário é chamada de parafuso dinâmico, e a linha reta ao longo da qual o vetor R é direcionado é o eixo do parafuso. Uma maior simplificação deste sistema de forças é impossível. Na verdade, se tomarmos qualquer outro ponto C como centro de redução (Fig. 92, a), então o vetor pode ser transferido para o ponto C como livre, e quando a força R é transferida para o ponto C (ver § 11) , outro par com momento perpendicular ao vetor R e, portanto, . Como resultado, o momento do par resultante será numericamente maior, portanto o momento do par resultante tem o menor valor neste caso quando levado ao centro O. Este sistema de forças não pode ser reduzido a uma força (resultante) ou a um par.
Se uma das forças do par, por exemplo P, for adicionada à força R, então o sistema de forças em consideração também pode ser substituído por duas forças cruzadas, ou seja, forças Q e não situadas no mesmo plano (Fig. 93). Como o sistema de forças resultante é equivalente a um parafuso dinâmico, ele também não possui resultante.
5. Se para um determinado sistema de forças e ao mesmo tempo os vetores e R não são perpendiculares entre si e não são paralelos, então tal sistema de forças também é reduzido a um parafuso dinâmico, mas o eixo do parafuso não será passe pelo centro O.
Para provar isso, vamos decompor o vetor em componentes: direcionado ao longo de R e perpendicular a R (Fig. 94). Neste caso, onde estão os vetores e R. O par representado pelo vetor e pela força R pode ser, como no caso mostrado na Fig. 91, será substituído por uma força R aplicada no ponto O. Então este sistema de forças será substituído por uma força e um par de torques paralelos, e o vetor como livre também pode ser aplicado no ponto O. O resultado será na verdade ser um parafuso dinâmico, mas com um eixo passando pela ponta
Se, após trazer o sistema espacial de forças para o centro selecionado O, o vetor principal e o momento principal forem iguais a zero, ou seja,
O sistema de forças está equilibrado. Sob a influência de tal sistema de forças, o corpo sólido estará em equilíbrio. É óbvio que no caso geral, duas equações vetoriais (4.1) correspondem a seis equações escalares, refletindo a igualdade a zero das projeções desses vetores nos eixos do sistema de coordenadas escolhido (por exemplo, cartesiano).
Se, após trazer o sistema espacial de forças para o centro selecionado O, o vetor principal for igual a zero e o momento principal não for igual a zero, ou seja,
Um par de forças resultante atua sobre o corpo, tendendo a girá-lo. Observe que neste caso a escolha do centro de redução não afeta o resultado.
Se, após trazer o sistema espacial de forças para o centro selecionado O, o vetor principal não for igual a zero, e o momento principal for igual a zero, ou seja,
O corpo é influenciado pelo sistema resultante de forças que passa pelo centro de redução e tende a mover o corpo ao longo da linha de sua ação. É óbvio que as relações (4.3.) são válidas para todos os pontos da linha de acção da resultante.
Observe que a ação de um sistema de forças convergentes se reduz a este caso se o ponto de intersecção das linhas de ação das forças do sistema for tomado como centro de redução (já que os momentos das forças em relação a este ponto são iguais para zero).
Se, após trazer o sistema espacial de forças para o centro selecionado O, o vetor principal e o momento principal não forem iguais a zero, e suas direções formarem um ângulo reto, ou seja,
então tal sistema de forças também pode ser reduzido a uma resultante, mas passando por outro centro de redução - o ponto. Para realizar esta operação, primeiro consideramos os sistemas de forças equivalentes mostrados na Fig. 4.2.be fig. 4.1. Obviamente, se mudarmos a notação (o ponto B é chamado de centro O, o ponto A é chamado de centro), a tarefa que temos pela frente requer a realização da operação inversa àquela realizada no lema da transferência paralela de força. Levando em consideração o exposto, o ponto deve, em primeiro lugar, estar localizado em um plano perpendicular ao vetor do momento principal que passa pelo centro O e, em segundo lugar, situar-se em uma linha paralela à linha de ação do vetor principal de forças e separado dela a uma distância h igual a
Das duas retas encontradas, deve-se escolher aquela para cujos pontos o vetor do momento principal é igual a zero (o momento do vetor principal de forças em relação ao novo centro deve ser igual em magnitude e oposto na direção a o momento principal do sistema de forças em relação ao ponto O).
No caso geral, após trazer o sistema espacial de forças para o centro selecionado O, o vetor principal e o momento principal, que não são iguais a zero, não formam um ângulo reto entre si (Fig. 4.5.a).
Se o momento principal for decomposto em dois componentes - ao longo do vetor de força principal e perpendicular a ele, então, de acordo com (4.5), pode-se encontrar um centro de redução para o qual o componente perpendicular do momento principal se torna igual a zero, e as magnitudes e direções do vetor principal e das primeiras componentes do momento principal permanecem as mesmas (Fig. 4.5.b). A coleção de vetores é chamada parafuso de potência ou dínamo.
Não é possível simplificar ainda mais.
Como com tal mudança no centro de redução apenas a projeção do momento principal muda para a direção perpendicular ao vetor principal do sistema de forças, o valor do produto escalar desses vetores permanece inalterado, ou seja,
Esta expressão é chamada segundo invariante
estática.
Exemplo 4.1. Os vértices de um paralelepípedo retangular com lados e são influenciados por forças e (ver Fig. 4.6). Tomando a origem das coordenadas do sistema de coordenadas cartesianas indicadas na figura como o centro de redução do sistema de forças, anote as expressões para as projeções do vetor principal e do momento principal.
Vamos escrever relações trigonométricas para determinar ângulos:
Agora podemos escrever expressões para as projeções do vetor principal e do momento principal das forças do sistema:
Nota: o conhecimento das projeções do vetor nos eixos coordenados permitirá, se necessário, calcular sua magnitude e cossenos de direção.
Como foi provado acima, um sistema arbitrário de forças, localizado arbitrariamente no espaço, pode ser reduzido a uma única força igual ao vetor principal do sistema e aplicada a um centro de redução arbitrário. SOBRE, e um par com momento igual ao momento principal do sistema em relação ao mesmo centro. Portanto, no futuro, um sistema arbitrário de forças poderá ser substituído por um conjunto equivalente de dois vetores - força e momento aplicados em um ponto SOBRE. Ao alterar a posição do centro de redução SOBRE o vetor principal manterá a magnitude e a direção, mas o momento principal mudará. Vamos provar que se o vetor principal for diferente de zero e 
é perpendicular ao momento principal, então o sistema de forças é reduzido a uma força, que neste caso chamaremos de resultante (Fig. 8). O momento principal pode ser representado por um par de forças ( , ) com um ressalto , então as forças e o vetor principal formam um sistema de dois
forças equivalentes a zero, que podem ser descartadas. Restará uma força agindo ao longo de uma linha reta paralela à linha principal
Figura 8 para o vetor e passando à distância
h= do plano formado pelos vetores e . O caso considerado mostra que se desde o início escolhermos o centro de redução na reta EU, então o sistema de forças seria imediatamente levado à resultante, o momento principal seria igual a zero. Agora provaremos que se o vetor principal for diferente de zero e não perpendicular ao momento principal, então tal ponto pode ser escolhido como centro de redução SOBRE* que o momento principal em relação a este ponto e o vetor principal estarão localizados na mesma linha reta. Para provar isso, decompomos o momento em duas componentes - uma direcionada ao longo do vetor principal e outra perpendicular ao vetor principal. Assim, o par de forças é decomposto em dois pares com momentos: e , e o plano do primeiro par é perpendicular a , então o plano do segundo par, perpendicular ao vetor (Fig. 9) contém o vetor . A combinação de um binário com um momento e uma força forma um sistema de forças, que pode ser reduzido a uma força (Fig. 8) que passa pelo ponto O*. Assim (Fig. 9), a combinação do vetor principal e do momento principal no ponto SOBRE reduzida à força que passa por um ponto SOBRE*, e um par com momento paralelo a esta reta, que era o que precisava ser comprovado. A combinação de uma força e de um binário, cujo plano é perpendicular à linha de ação da força, é chamada de dinamismo (Fig. 10). Um par de forças pode ser representado por duas forças ( , ) de igual magnitude, localizadas conforme mostrado na Fig. 10. Mas somando as duas forças e , obtemos sua soma e a força restante , da qual segue (Fig. 10 ) que a combinação do vetor principal e do momento principal no ponto SOBRE, pode ser reduzido a duas forças que não se cruzam e.
Consideremos alguns casos de redução de um sistema de forças.
1. Sistema plano de forças. Para maior certeza, deixe todas as forças estarem no plano OXI. Então no caso mais geral
O vetor principal não é zero, o momento principal não é zero, seu produto escalar é zero, na verdade
portanto, o vetor principal é perpendicular ao momento principal: o sistema plano de forças é reduzido à resultante.
2. Sistema de forças paralelas. Para maior definição, deixe todas as forças serem paralelas ao eixo onça. Então no caso mais geral
Aqui também o vetor principal não é igual a zero, o momento principal não é igual a zero e seu produto escalar é igual a zero, na verdade
portanto, neste caso, o vetor principal é perpendicular ao momento principal: o sistema de forças paralelas é reduzido à resultante. No caso particular, se for igual a zero, então o vetor principal de forças é igual a zero, e o sistema de forças é reduzido a um par de forças, cujo vetor momento está no plano OXI. Vamos agora sistematizar os casos considerados. Lembremos: um sistema espacial arbitrário de forças aplicadas a um corpo rígido é estaticamente equivalente a uma força igual ao vetor principal aplicado em um ponto arbitrário do corpo (centro de redução), e um par de forças com momento igual a o momento principal do sistema de forças em relação ao centro de redução especificado.
