Gráfico e propriedades do Arcsin. Funções trigonométricas inversas, seus gráficos e fórmulas

Funções trigonométricas inversas(funções circulares, funções de arco) - funções matemáticas inversas às funções trigonométricas.

arco seno(denotado como arco seno x; arco seno x- este é o ângulo pecado seus iguais x).

arco seno (y = arco seno x) - função trigonométrica inversa para pecado (x = pecado y), que possui um domínio e um conjunto de valores . Em outras palavras, retorna o ângulo pelo seu valor pecado.

Função y = pecado xé contínuo e limitado ao longo de toda a sua reta numérica. Função y = arco seno x- aumenta estritamente.

Propriedades da função arco seno.

Gráfico Arcseno.

Obtendo a função arcsin.

Existe uma função y = pecado x. Ao longo de todo o seu domínio de definição é monotônico por partes, portanto a correspondência inversa y = arco seno x não é uma função. Portanto, consideramos o segmento em que só aumenta e assume cada valor do intervalo de valores - . Porque para função y = pecado x no intervalo, todos os valores da função são obtidos com apenas um valor do argumento, o que significa que neste intervalo existe uma função inversa y = arco seno x, cujo gráfico é simétrico ao gráfico da função y = pecado x em um segmento relativamente reto y = x.

Problemas relacionados a funções trigonométricas inversas são frequentemente oferecidos em exames finais escolares e em vestibulares de algumas universidades. Um estudo detalhado deste tema só pode ser alcançado em disciplinas optativas ou optativas. O curso proposto visa desenvolver da forma mais completa possível as habilidades de cada aluno e melhorar sua preparação matemática.

O curso dura 10 horas:

1.Funções arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 horas).

2.Operações sobre funções trigonométricas inversas (4 horas).

3. Operações trigonométricas inversas sobre funções trigonométricas (2 horas).

Lição 1 (2 horas) Tópico: Funções y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Objetivo: cobertura completa deste assunto.

1.Função y = arco seno x.

a) Para a função y = sin x no segmento existe uma função inversa (de valor único), que concordamos em chamar de arco seno e denotá-la da seguinte forma: y = arco seno x. O gráfico da função inversa é simétrico ao gráfico da função principal em relação à bissetriz dos ângulos coordenados I - III.

Propriedades da função y = arco seno x.

1) Domínio de definição: segmento [-1; 1];

2)Área de mudança: segmento;

3)Função y = arco seno x ímpar: arco seno (-x) = - arco seno x;

4)A função y = arcsin x está aumentando monotonicamente;

5) O gráfico cruza os eixos Ox, Oy na origem.

Exemplo 1. Encontre a = arco seno. Este exemplo pode ser formulado em detalhes da seguinte forma: encontre um argumento a, situado no intervalo de até, cujo seno é igual a.

Solução. Existem inúmeros argumentos cujo seno é igual a , por exemplo: etc. Mas estamos interessados ​​apenas no argumento que está no segmento. Este seria o argumento. Então, .

Exemplo 2. Encontre .Solução. Argumentando da mesma forma que no Exemplo 1, obtemos .

b) exercícios orais. Encontre: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Exemplo de resposta: , porque . As expressões fazem sentido: ; arco seno 1,5; ?

c) Organize em ordem crescente: arco seno, arco seno (-0,3), arco seno 0,9.

II. Funções y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (semelhante).

Aula 2 (2 horas) Tópico: Funções trigonométricas inversas, seus gráficos.

Objetivo: nesta lição é necessário desenvolver habilidades na determinação dos valores das funções trigonométricas, na construção de gráficos de funções trigonométricas inversas usando D (y), E (y) e as transformações necessárias.

Nesta lição, faça exercícios que incluem encontrar o domínio de definição, o domínio de valor de funções do tipo: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Você deve construir gráficos das funções: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcos seno 2x; c) y = arco seno;

d) y = arco seno; e) y = arco seno; e) y = arco seno; g) y = | arcossin | .

Exemplo. Vamos plotar y = arcos

Você pode incluir os seguintes exercícios em sua lição de casa: construir gráficos de funções: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Gráficos de funções inversas

Objetivo: ampliar o conhecimento matemático (importante para quem ingressa em especialidades com maiores exigências de formação matemática) por meio da introdução de relações básicas para funções trigonométricas inversas.

Material para a aula.

Algumas operações trigonométricas simples em funções trigonométricas inversas: sin (arco sen x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Exercícios.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos (+ arco seno 0,6) = - cos (arco seno 0,6). Seja arco sen 0,6 = a, sen a = 0,6;

cos (arco seno x) = ; pecado (arcos x) = .

Nota: colocamos o sinal “+” na frente da raiz porque a = arcsin x satisfaz.

c) sen (1,5 + arco seno) Resposta: ;

d) ctg (+ arctg 3) Resposta: ;

e) tg ( – arcctg 4) Resposta: .

e) cos (0,5 + arcos). Responder: .

Calcular:

a) pecado (2 arctan 5) .

Seja arctan 5 = a, então sen 2 a = ou pecado (2 arctan 5) = ;

b) cos (+ 2 arco seno 0,8) Resposta: 0,28.

c) arcg + arcg.

Seja a = arctg, b = arctg,

então tg(a + b) = .

d) pecado (arco seno + arco seno).

e) Prove que para todo x I [-1; 1] verdadeiro arco seno x + arcos x =.

Prova:

arco seno x = – arcos x

pecado (arco seno x) = pecado ( – arcos x)

x = cos (arcos x)

Para resolver você mesmo: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Para uma solução caseira: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arco seno + arco seno; 3) ctg ( – arcos 0,6); 4) cos (2 arco 5); 5) sen (1,5 – arco seno 0,8); 6) arco 0,5 – arco 3.

Objetivo: Nesta lição, demonstrar o uso de proporções na transformação de expressões mais complexas.

Material para a aula.

ORALMENTE:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

POR ESCRITO:

1) cos (arco seno + arco seno + arco seno).

2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =

3) tg ( - arco seno 0,6) = - tg (arco seno 0,6) =

4)

O trabalho independente ajudará a identificar o nível de domínio do material.

Para lição de casa você pode sugerir:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) pecado 2 (arctg 2 – arcctg()); 3) sin (2 arcg + tan (arcsin)); 4) pecado(2 arcg); 5) tg ((arco seno))

Objetivo: formar a compreensão dos alunos sobre operações trigonométricas inversas em funções trigonométricas, com foco em aumentar a compreensão da teoria em estudo.

Ao estudar este tema, presume-se que o volume de material teórico a ser memorizado seja limitado.

Material da aula:

Você pode começar a aprender novos materiais estudando a função y = arcsin (sin x) e traçando seu gráfico.

3. Cada x I R está associado a y I, ou seja,<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. A função é ímpar: sin(-x) = - sin x; arco seno (pecado (-x)) = - arco seno (pecado x).

6. Gráfico y = arco seno (sen x) em:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

pecado y = pecado (- x) = pecado x, 0<= - x <= .

Então,

Tendo construído y = arcsin (sin x) on , continuamos simetricamente em torno da origem em [- ; 0], dada a estranheza desta função. Usando a periodicidade, continuamos ao longo de toda a reta numérica.

Então anote alguns relacionamentos: arco seno (sen a) = a se<= a <= ; arccos (cos a ) = a se 0<= a <= ; arctg (tg a) = a se< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

E faça os seguintes exercícios:a) arccos(sin 2).Resposta: 2 - ; b) arco seno (cos 0,6) Resposta: - 0,1; c) arctg (tg 2) Resposta: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Resposta: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Resposta: 2 - ; e) arco seno (pecado (-0,6)). Resposta: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Resposta: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Resposta: - 0,6; -artan x; e) arcos + arcos

Definição e notação

Arcsine é às vezes denotado da seguinte forma:
.

Gráfico da função arco seno

Gráfico da função y = arco seno x

O gráfico do arco seno é obtido a partir do gráfico do seno se os eixos das abscissas e das ordenadas forem trocados. Para eliminar a ambigüidade, o intervalo de valores é limitado ao intervalo durante o qual a função é monotônica. Esta definição é chamada de valor principal do arco seno.

Arcoseno, arcos

Definição e notação

Arccoseno às vezes é denotado da seguinte forma:
.

Gráfico da função arco cosseno

Gráfico da função y = arcos x

O gráfico do arco cosseno é obtido a partir do gráfico do cosseno se os eixos abscissa e ordenada forem trocados. Para eliminar a ambigüidade, o intervalo de valores é limitado ao intervalo durante o qual a função é monotônica. Esta definição é chamada de valor principal do arco cosseno.

Paridade

A função arco seno é estranha:
arco seno (- x) = arco seno (-sin arco seno x) = arco seno (pecado (-arco seno x)) = - arco seno x

A função arco cosseno não é par nem ímpar:
arcos(- x) = arcos(-cos arcos x) = arcos(cos(π-arccos x)) = π - arcos x ≠ ± arcos x

Propriedades - extremos, aumento, diminuição

As funções arco seno e arco cosseno são contínuas em seu domínio de definição (ver prova de continuidade). As principais propriedades do arco seno e do arco cosseno são apresentadas na tabela.

Tabela de arcossenos e arcossenos

Esta tabela apresenta os valores dos arcos senos e arcos senos, em graus e radianos, para determinados valores do argumento.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Fórmulas

Fórmulas de soma e diferença

em ou

em e

em e

em ou

em e

em e

no

no

no

no

Expressões através de logaritmos, números complexos

Expressões através de funções hiperbólicas

Derivados

;
.
Consulte Derivação de derivados de arco seno e arco cosseno > > >

Derivadas de ordem superior:
,
onde é um polinômio de grau. É determinado pelas fórmulas:
;
;
.

Consulte Derivação de derivadas de ordem superior de arco seno e arco cosseno > > >

Integrais

Fazemos a substituição x = santo. Integramos por partes, levando em consideração que -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, porque t ≥ 0:
.

Vamos expressar o arco cosseno através do arco seno:
.

Expansão da série

Quando |x|< 1 ocorre a seguinte decomposição:
;
.

Funções inversas

Os inversos do arco seno e do arco cosseno são seno e cosseno, respectivamente.

As seguintes fórmulas são válidas em todo o domínio de definição:
pecado (arco seno x) = x
cos(arcos x) = x .

As fórmulas a seguir são válidas apenas no conjunto de valores de arco seno e arco cosseno:
arco seno (sen x) = x no
arcos(cos x) = x no .

Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.