Definição de bola. Matemática

Uma bola é um corpo que consiste em todos os pontos do espaço localizados a uma distância não superior a um determinado ponto. Este ponto é chamado de centro da bola e esta distância é chamada de raio da bola. O limite de uma bola é chamado de superfície esférica ou esfera. Os pontos da esfera são todos os pontos da bola que estão afastados do centro a uma distância igual ao raio. Qualquer segmento que conecte o centro de uma bola a um ponto da superfície esférica também é chamado de raio. O segmento que passa pelo centro da bola e conecta dois pontos na superfície esférica é chamado de diâmetro. As extremidades de qualquer diâmetro são chamadas de pontos diametralmente opostos da bola.

Uma bola é um corpo de revolução, assim como um cone e um cilindro. Uma bola é obtida girando um semicírculo em torno de seu diâmetro como um eixo.

A área da superfície da bola pode ser encontrada usando as fórmulas:

onde r é o raio da bola, d é o diâmetro da bola.

O volume da bola é encontrado pela fórmula:

V = 4/3 πr 3,

onde r é o raio da bola.

Teorema. Cada seção de uma bola por um plano é um círculo. O centro deste círculo é a base da perpendicular traçada do centro da bola até o plano de corte.

Com base neste teorema, se uma bola com centro O e raio R é interceptada pelo plano α, então a seção transversal resulta em um círculo de raio r com centro K. O raio da seção da bola pelo plano pode ser encontrado pela fórmula

Fica claro pela fórmula que planos equidistantes do centro cruzam a bola em círculos iguais. O raio da seção é maior, quanto mais próximo o plano de corte estiver do centro da bola, ou seja, menor será a distância OK. O maior raio é cortado por um plano que passa pelo centro da bola. O raio deste círculo é igual ao raio da bola.

O plano que passa pelo centro da bola é chamado de plano central. A seção de uma bola pelo plano diametral é chamada de círculo máximo, e a seção de uma esfera é chamada de círculo máximo, e a seção de uma esfera é chamada de círculo máximo.

Teorema. Qualquer plano diametral de uma bola é seu plano de simetria. O centro da bola é o seu centro de simetria.

O plano que passa pelo ponto A da superfície esférica e é perpendicular ao raio traçado até o ponto A é chamado de plano tangente. O ponto A é chamado de ponto tangente.

Teorema. O plano tangente tem apenas um ponto comum com a bola - o ponto de contato.

A linha reta que passa pelo ponto A da superfície esférica perpendicular ao raio traçado até este ponto é chamada de tangente.

Teorema. Um número infinito de tangentes passa por qualquer ponto da superfície esférica e todas elas estão no plano tangente da bola.

Um segmento esférico é a parte de uma bola separada dele por um plano. O círculo ABC é a base do segmento esférico. O segmento perpendicular MN traçado do centro N do círculo ABC até a intersecção com a superfície esférica é a altura do segmento esférico. O ponto M é o vértice do segmento esférico.

A área superficial de um segmento esférico pode ser calculada pela fórmula:

O volume de um segmento esférico pode ser encontrado usando a fórmula:

V = πh 2 (R – 1/3h),

onde R é o raio do círculo máximo, h é a altura do segmento esférico.

Um setor esférico é obtido a partir de um segmento esférico e um cone da seguinte forma. Se um segmento esférico for menor que um hemisfério, então o segmento esférico é complementado por um cone, cujo vértice está no centro da bola e a base é a base do segmento. Se o segmento for maior que um hemisfério, o cone especificado será removido dele.

Um setor esférico é uma parte de uma bola delimitada por uma superfície curva de um segmento esférico (em nossa figura é AMCB) e uma superfície cônica (em nossa figura é OABC), cuja base é a base do segmento (ABC), e o vértice é o centro da bola O.

O volume do setor esférico é encontrado pela fórmula:

V = 2/3 πR 2 H.

Uma camada esférica é a parte de uma bola encerrada entre dois planos paralelos (planos ABC e DEF na figura) que cruzam a superfície esférica. A superfície curva da camada esférica é chamada de cinturão esférico (zona). Os círculos ABC e DEF são as bases do cinturão esférico. A distância NK entre as bases da cinta esférica é a sua altura.

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Uma bola e uma esfera são, antes de tudo, figuras geométricas, e se uma bola é um corpo geométrico, então uma esfera é a superfície de uma bola. Esses números eram interessantes há muitos milhares de anos AC.

Posteriormente, quando foi descoberto que a Terra é uma bola e o céu é uma esfera celeste, uma nova direção fascinante na geometria foi desenvolvida - geometria em uma esfera ou geometria esférica. Para falar sobre o tamanho e o volume de uma bola, primeiro é preciso defini-la.

Bola

Uma bola de raio R com centro no ponto O na geometria é um corpo criado por todos os pontos do espaço que possuem uma propriedade comum. Esses pontos estão localizados a uma distância não superior ao raio da bola, ou seja, preenchem todo o espaço menor que o raio da bola em todas as direções a partir do seu centro. Se considerarmos apenas os pontos equidistantes do centro da bola, consideraremos sua superfície ou a casca da bola.

Como posso pegar a bola? Podemos cortar um círculo de papel e começar a girá-lo em torno de seu próprio diâmetro. Ou seja, o diâmetro do círculo será o eixo de rotação. A figura formada será uma bola. Portanto, a bola também é chamada de corpo de revolução. Porque pode ser formado girando uma figura plana - um círculo.

Vamos pegar um avião e cortar nossa bola com ele. Assim como cortamos uma laranja com uma faca. A peça que cortamos da bola é chamada de segmento esférico.

Na Grécia Antiga, eles sabiam não só trabalhar com uma bola e uma esfera como figuras geométricas, por exemplo, utilizá-las na construção, mas também sabiam calcular a área da superfície de uma bola e o volume de uma bola.

Uma esfera é outro nome para a superfície de uma bola. Uma esfera não é um corpo – é a superfície de um corpo de revolução. No entanto, como tanto a Terra como muitos corpos têm forma esférica, por exemplo uma gota de água, o estudo das relações geométricas dentro da esfera tornou-se generalizado.

Por exemplo, se conectarmos dois pontos de uma esfera entre si por uma linha reta, então essa linha reta será chamada de corda, e se essa corda passar pelo centro da esfera, que coincide com o centro da bola, então a corda será chamada de diâmetro da esfera.

Se traçarmos uma linha reta que toca a esfera em apenas um ponto, essa linha será chamada de tangente. Além disso, esta tangente à esfera neste ponto será perpendicular ao raio da esfera traçada até o ponto de contato.

Se estendermos a corda em uma linha reta em uma direção ou outra a partir da esfera, essa corda será chamada de secante. Ou podemos dizer de outra forma - a secante da esfera contém seu acorde.

Volume da bola

A fórmula para calcular o volume de uma bola é:

onde R é o raio da bola.

Se você precisar encontrar o volume de um segmento esférico, use a fórmula:

V seg =πh 2 (R-h/3), h é a altura do segmento esférico.

Área de superfície de uma bola ou esfera

Para calcular a área de uma esfera ou a área da superfície de uma bola (são a mesma coisa):

onde R é o raio da esfera.

Arquimedes gostava muito de bola e esfera, chegou a pedir para deixar em seu túmulo um desenho no qual uma bola estava inscrita em um cilindro. Arquimedes acreditava que o volume de uma bola e sua superfície são iguais a dois terços do volume e da superfície do cilindro no qual a bola está inscrita.”

Bola (esfera)

Superfície esférica. Bola (esfera). Seções de bola: círculos.

Teorema de Arquimedes. Partes da bola: segmento esférico,

camada esférica, cinturão esférico, setor esférico.

Superfície esférica - Esse lugar dos pontos(aqueles. muitosnúmero de todos os pontos)no espaço, equidistante de um ponto Ó , que é chamado de centro da superfície esférica (Fig.90). Raio AOi diâmetro AB são determinados da mesma maneira que em um círculo.

Bola (esfera) - Esse um corpo limitado por uma superfície esférica. Pode pegue a bola girando o semicírculo ( ou círculo ) em torno do diâmetro. Todas as seções planas da bola são círculos ( Figura 90 ). O maior círculo encontra-se em uma seção que passa pelo centro da bola e é chamado grande círculo. Seu raio é igual ao raio da bola. Quaisquer dois círculos grandes se cruzam ao longo do diâmetro da bola ( AB, Fig.91 ).Este diâmetro também é o diâmetro dos grandes círculos que se cruzam. Através de dois pontos de uma superfície esférica localizados nas extremidades do mesmo diâmetro(A e B, Fig.91 ), você pode desenhar inúmeros círculos grandes. Por exemplo, um número infinito de meridianos pode ser traçado através dos pólos da Terra.

O volume da esfera é uma vez e meia menor que o volume do cilindro circunscrito ao seu redor. (Fig.92 ), A a superfície da bola é uma vez e meia menor que a superfície total do mesmo cilindro ( Teorema de Arquimedes):

Aqui S bola E V bola - a superfície e o volume da bola, respectivamente;

S cilindro E V cilindro - a superfície total e o volume do cilindro circunscrito.

Partes da bola. Parte de uma bola (esfera) ), cortado dele por algum plano ( ABC, Fig.93), chamado bola(esférico ) segmento. Círculo ABC chamado base segmento de bola. Segmento de linha Minnesota perpendicular desenhada a partir do centro N círculo ABC até cruzar com uma superfície esférica, é chamado altura segmento de bola. Ponto M chamado principal segmento de bola.

Parte de uma esfera encerrada entre dois planos paralelos ABC e DEF cruzando uma superfície esférica (Fig. 93), chamado camada esférica; a superfície curva de uma camada esférica é chamada cinto de bola(zona). Círculos ABC e DEF – motivos cinto de bola. Distância N. K. entre as bases do cinturão esférico - seu altura. A parte da bola delimitada pela superfície curva de um segmento esférico ( AMCB, Fig.93) e superfície cônica OABC , cuja base é a base do segmento ( abc ), e o vértice é o centro da bolaÓ , chamado setor esférico.

Quando perguntam às pessoas a diferença entre uma esfera e uma bola, muitos simplesmente encolhem os ombros, pensando que na verdade são a mesma coisa (a analogia com um círculo e um círculo). Na verdade, todos nós conhecemos bem a geometria do currículo escolar e podemos responder imediatamente a esta pergunta? Uma esfera apresenta algumas diferenças em relação a uma bola, que não só os escolares precisam conhecer para obter uma boa nota pelos conhecimentos demonstrados, mas também muitas outras pessoas, por exemplo, cujo trabalho está diretamente relacionado ao desenho.

Definição

Bola– o conjunto de todos os pontos no espaço. Todos esses pontos estão localizados a partir do centro do corpo geométrico a uma distância não superior a esta. Essa distância em si é chamada de raio. Uma bola, como corpo geométrico, é formada da seguinte forma: um semicírculo gira próximo ao seu diâmetro. Quanto à esfera, esta é a superfície da bola (por exemplo, uma bola fechada a inclui, uma aberta não). O cálculo da área ou volume de uma bola envolve fórmulas geométricas inteiras e muito complexas, apesar da aparente simplicidade da própria figura geométrica.

Esfera, como observado acima, é a superfície da bola, sua casca. Todos os pontos do espaço são equidistantes do centro da esfera. Já o raio de um corpo geométrico é denominado qualquer segmento, cujo ponto é diretamente o centro da esfera e o outro pode estar localizado em qualquer ponto da superfície. Podemos dizer que uma esfera é a casca de uma bola sem qualquer conteúdo (exemplos mais específicos serão dados a seguir). Assim como uma bola, uma esfera é um corpo de revolução. A propósito, muitos também se perguntam qual é a diferença entre um círculo e um círculo de uma esfera e uma bola. Tudo é simples aqui: no primeiro caso são figuras num plano, no segundo - no espaço.

Comparação

Já foi dito que uma esfera é a superfície de uma bola, o que já permite falar de um sinal significativo de diferença. A diferença entre os dois corpos geométricos é observada em alguns outros aspectos:

• Todos os pontos da bola estão à mesma distância do centro, enquanto o corpo é limitado pela superfície (uma esfera vazia por dentro). Em outras palavras, a esfera é oca. Normalmente, para facilitar a compreensão, é dado um exemplo simples com um balão e uma bola de bilhar. Ambos os objetos são chamados de bolas, mas no primeiro caso estamos lidando com uma esfera e, no segundo, com uma bola completa com seu próprio conteúdo dentro.
• Uma esfera tem área própria, mas não tem volume. Uma esfera é o oposto: seu volume pode ser calculado, embora não tenha área. Alguns podem dizer que este é o principal sinal de diferença, mas só aparece se for necessário fazer alguns cálculos (fórmulas geométricas complexas). Portanto, a principal diferença é que a esfera é oca e a bola é um corpo com conteúdo dentro.
• Outra diferença está no raio. Por exemplo, o raio de uma esfera não é apenas a distância dos pontos ao centro. Um raio pode ser qualquer segmento que conecte um ponto de uma esfera ao seu centro. Todos esses segmentos são iguais entre si. Quanto à bola, os pontos dentro dela estão afastados do centro por menos de um raio (precisamente por causa da esfera que a delimita).

Site de conclusões

1. Uma esfera é oca, enquanto uma bola é um corpo preenchido por dentro. Por exemplo, um balão de ar quente é uma esfera, uma bola de bilhar é uma bola completa.
2. Uma esfera tem área e não tem volume, mas uma esfera faz o oposto.
3. A terceira diferença é a medição do raio de dois corpos geométricos.

Definição.

Uma esfera pode ser descrita como uma figura tridimensional formada girando um círculo em torno de seu diâmetro em 180° ou um semicírculo em torno de seu diâmetro em 360°.

Definição.

Uma bola pode ser descrita como uma figura tridimensional formada girando um círculo em torno de seu diâmetro em 180° ou um semicírculo em torno de seu diâmetro em 360°.

Definição. Raio da esfera (bola)(R) é a distância do centro da esfera (bola) Ó para qualquer ponto da esfera (superfície da bola).

Definição. Diâmetro da esfera (bola)(D) é um segmento que conecta dois pontos de uma esfera (a superfície de uma bola) e passa pelo seu centro.

Fórmula. Volume da esfera:

Fórmula. Área de superfície de uma esfera através do raio ou diâmetro:

S = 4π R 2 = π D 2

Equação da esfera

1. Equação de uma esfera com raio R e centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Equação de uma esfera com raio R e centro em um ponto com coordenadas (x 0, y 0, z 0) no sistema de coordenadas cartesianas:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definição. Pontos diametralmente opostos são quaisquer dois pontos na superfície de uma bola (esfera) conectados por um diâmetro.

Propriedades básicas de uma esfera e uma bola

1. Todos os pontos da esfera estão igualmente distantes do centro.

2. Qualquer seção de uma esfera por um plano é um círculo.

3. Qualquer seção de uma bola por um plano é um círculo.

4. A esfera tem o maior volume entre todas as figuras espaciais com a mesma área de superfície.

5. Através de quaisquer dois pontos diametralmente opostos você pode desenhar muitos círculos grandes para uma esfera ou círculos para uma bola.

6. Através de quaisquer dois pontos, exceto pontos diametralmente opostos, você pode desenhar apenas um círculo grande para uma esfera ou um círculo grande para uma bola.

7. Quaisquer dois grandes círculos de uma bola se cruzam ao longo de uma linha reta que passa pelo centro da bola, e os círculos se cruzam em dois pontos diametralmente opostos.

8. Se a distância entre os centros de quaisquer duas bolas for menor que a soma de seus raios e maior que o módulo da diferença de seus raios, então tais bolas cruzar, e um círculo é formado no plano de interseção.

Secante, corda, plano secante de uma esfera e suas propriedades

Definição. Esfera secanteé uma linha reta que intercepta a esfera em dois pontos. Os pontos de interseção são chamados pontos perfurantes superfícies ou pontos de entrada e saída na superfície.

Definição. Acorde de uma esfera (bola)- este é um segmento que conecta dois pontos em uma esfera (a superfície de uma bola).

Definição. Plano de corteé o plano que intercepta a esfera.

Definição. Plano diametral- este é um plano secante que passa pelo centro de uma esfera ou bola, a seção se forma de acordo grande círculo E grande círculo. O grande círculo e o grande círculo têm um centro que coincide com o centro da esfera (bola).

Qualquer corda que passa pelo centro de uma esfera (bola) é um diâmetro.

Um acorde é um segmento de uma reta secante.

A distância d do centro da esfera à secante é sempre menor que o raio da esfera:

d< R

A distância m entre o plano de corte e o centro da esfera é sempre menor que o raio R:

eu< R

A localização da seção do plano de corte na esfera será sempre pequeno círculo, e na bola a seção será pequeno círculo. O pequeno círculo e o pequeno círculo têm seus próprios centros que não coincidem com o centro da esfera (bola). O raio r de tal círculo pode ser encontrado usando a fórmula:

r = √R 2 - m 2,

Onde R é o raio da esfera (bola), m é a distância do centro da bola ao plano de corte.

Definição. Hemisfério (hemisfério)- esta é a metade de uma esfera (bola), que se forma quando é cortada por um plano diametral.

Tangente, plano tangente a uma esfera e suas propriedades

Definição. Tangente a uma esferaé uma linha reta que toca a esfera em apenas um ponto.

Definição. Plano tangente a uma esferaé um plano que toca a esfera em apenas um ponto.

A linha tangente (plano) é sempre perpendicular ao raio da esfera traçada até o ponto de contato

A distância do centro da esfera à linha tangente (plano) é igual ao raio da esfera.

Definição. Segmento de bola- esta é a parte da bola que é cortada da bola por um plano cortante. Base do segmento chamado de círculo que se formou no local da seção. Altura do segmento h é o comprimento da perpendicular traçada do meio da base do segmento até a superfície do segmento.

Fórmula. Área de superfície externa de um segmento de esfera com altura h através do raio da esfera R:

S = 2πRh