Площадь многоугольника равна его периметру. Понятие о площади многоугольника

Умение определять площадь различных фигур играет немалую роль в жизни каждого человека. Рано или поздно приходится иметь дело с этими знаниями. К примеру, в процессе ремонта помещения для определения необходимого количества рулонов обоев, линолеума, паркета, плитки в ванную или на кухню нужно уметь рассчитывать необходимую площадь.

Знаниями в области геометрии пользовались еще в древнем Вавилоне и других странах. На первых шагах к культуре всегда возникала необходимость измерить участок, расстояние. При строительстве первых значительных сооружений требовались умения выдерживать вертикаль, спроектировать план.

Роль эстетических потребностей людей также имела немалое значение. Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение.

Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю, и архитектору и каждому простому человеку в быту.

Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника. Шестиугольником называется такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести.

Площадь правильного шестиугольника

Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру, которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между собой равны.

В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы, имеющие форму правильного шестиугольника. Это и металлическая гайка, и ячейки пчелиных сот, и структура снежинки. Шестиугольными фигурами отлично заполняются плоскости. Так, например, при мощении тротуарной плитки мы можем наблюдать, как плитка укладывается одна возле другой, не оставляя пустых мест.

Свойства правильного шестиугольника

• Правильный шестиугольник всегда будет иметь равные углы, каждый из которых составляет 120˚.
• Сторона фигуры равняется радиусу описанной окружности.
• Все стороны в правильном шестиугольнике равны.
• Правильный шестиугольник плотно заполняет плоскость.

Площадь правильного шестиугольника можно рассчитать, разбив его на шесть треугольников, каждый из которых будет иметь равные стороны.

Для расчета площади правильного треугольника используется следующая формула:

Зная площадь одного из треугольников, можно легко рассчитать площадь шестиугольника. Формула для ее расчета проста: поскольку правильный шестиугольник - это шесть равных треугольников, следует площадь нашего треугольника умножить на 6.

Если провести от центра фигуры к любой из ее сторон перпендикуляр, получим отрезок, который называется апофема. Рассмотрим, как найти площадь шестиугольника при известной апофеме:

1. Площадь = 1/2*периметр*апофему.
2. Предположим, наша апофема равняется 5√3 см.

1. Используя апофему, находим периметр: Поскольку апофема расположена перпендикулярно к стороне шестиугольника, то углы треугольника, созданного при помощи апофемы, будут равняться 30˚-60˚-90˚. Каждая сторона полученного треугольника будет соответствовать: x-x√3-2x, где короткая сторона, которая расположена напротив угла в 30˚- это x, длинная сторона, расположенная напротив угла в 60˚ - это x√3, а гипотенуза - 2x.
2. Поскольку апофема представлена, как x√3, можно подставить ее в формулу a = x√3 и решить. Если, к примеру, апофема = 5√3, тогда подставим эту величину в формулу и получим: 5√3 см = x√3, или x = 5 см.
3. Итак, короткая сторона треугольника равняется 5 см. поскольку эта величина является половиной длины стороны шестиугольника, умножаем 5 на 2 и получим 10 см, которая является длиной стороны.
4. Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
5. Подставим полученные результаты в нашу формулу:

Площадь = 1/2*периметр*апофему

Площадь = ½*60см*5√3

Теперь осталось упростить ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в квадратных сантиметрах:

½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см²

Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника

Площадь неправильного шестиугольника

Существует несколько вариантов определения площади неправильного шестиугольника:

• Метод трапеции.
• Метод расчета площади неправильных многоугольников при помощи оси координат.
• Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры.

В зависимости от исходных данных, которые вам будут известны, подбирается подходящий метод.

Метод трапеции

Площадь шестиугольника, имеющего произвольную (неправильную) форму, рассчитывается методом трапеции, суть которого состоит в разделении шестиугольника на отдельные трапеции и последующим вычислением площади каждой из них.

Метод с осями координат

Кроме этого, площадь неправильного шестиугольника можно рассчитать при помощи метода расчета площади неправильных многоугольников. Рассмотрим его на следующем примере:

Вычисление будем выполнять методом использования координат вершин многоугольника:

1. На этом этапе следует сделать таблицу и записать координаты вершин x и y. Выбираем вершины в последовательном порядке по направлению против часовой стрелки, завершив конец списка повторной записью координаты первой вершины:

1. Теперь следует умножить значения координаты х 1-й вершины на y 2-й вершины и продолжить таким образом умножение далее. Затем необходимо сложить полученные результаты. В нашем случае получилось 82:

1. Последовательно умножаем значения координат y1-й вершины на значения координат х 2-й вершины. Суммируем полученные результаты. В нашем случае получилось 38:

1. Вычитаем сумму, которую получили на четвертом этапе из суммы, которая получилась на третьем этапе: 82 – (-38) = 120

1. Теперь необходимо разделить результат, который был получен на предыдущем этапе и найдем площадь нашей фигуры: S= 120/2 = 60 см²

Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры

Каждый многоугольник можно разделить на несколько других фигур. Это могут быть треугольники, трапеции, прямоугольники. Исходя из известных данных, пользуясь формулами определения площадей перечисленных фигур, последовательно вычисляются их площади и затем суммируются.

Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его длину на ширину и затем сложить две уже известные площади.

Видео о том, как найти площадь многоугольника

Площадь равностороннего шестиугольника

Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и является правильным шестиугольником.

Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6 площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура.

Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны, поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать площадь хотя бы одного треугольника.

Для нахождения площади равностороннего шестиугольника используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная выше.

А Вы знали, как найти площадь шестиугольника? Как думаете, где эти знания пригодятся Вам в жизни? Поделитесь своим мнением в

Площадь многоугольника. Друзья! К вашему вниманию пару задачек с многоугольником и вписанной в него окружностью. Существует формула, которой связывается радиус указанной окружности и периметр с площадью такого многоугольника. Вот она:

Как выводится эта формула? Просто!

Имеем многоугольник и вписанную окружность. *Рассмотрим вывод на примере пятиугольника. Разобьём его на треугольники (соединим центр окружности и вершины отрезками). Получается, что у каждого треугольника основание является стороной многоугольника, а высоты образованных треугольников равны радиусу вписанной окружности:

Используя формулу площади треугольника можем записать:

Вынесем общие множители:

Уверен, сам принцип вам понятен.

*При выводе формулы количество сторон взятого многоугольника не имеет значения. В общем виде вывод формулы выглядел бы так:

*Дополнительная информация!

Известна формула радиуса окружности вписанной в треугольник

Не трудно заметить, что она исходит из полученной нами формулы, посмотрите (a,b,c – это стороны треугольника):

27640. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

Вычисляем:

Ещё пара задач с многоугольниками.

27930. Угол между стороной правильного n -угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен 54 0 . Найдите n .

Если угол между радиусом окружности и стороной многоугольника равен 54 0 , то угол между сторонами многоугольника будет равен 108 0 . Тут необходимо вспомнить формулу угла правильного многоугольника:

Остаётся подставить в формулу значение угла и вычислить n:

27595. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 2:7. Площадь меньшего многоугольника равна 28. Найдите площадь большего многоугольника.

Здесь нужно вспомнить о том, что если линейные размеры фигуры увеличивается в k раз, то площадь фигуры увеличивается в k 2 раз. *Свойство подобия фигур.

Периметр большего многоугольника больше периметра меньшего в 7/2 раза, значит площадь увеличилась в (7/2) 2 раза. Таким образом, площадь большего многоугольника равна.

Многоугольник – это плоская или выпуклая фигура, которая состоит из пересеченных прямых (больше 3-х) и образует большое количество точек пересечения линий. Еще многоугольник можно определить как ломаную линию, которая замыкается. По-другому точки пересечения можно назвать вершинами фигуры. В зависимости от количества вершин фигура может называться пятиугольником, шестиугольником и так далее. Угол многоугольника – это угол, который образовывается сторонами, сходящимися в одной вершине. Угол находится внутри многоугольника. Причем углы могут быть разными, вплоть до 180 градусов. Есть также и внешние углы, которые обычно являются смежными внутренним.

Прямые линии, которые впоследствии пересекаются, называются сторонами многоугольника. Они могут быть соседними, смежными и не смежными. Очень важной характеристикой представленной геометрической фигуры является то, что несмежные ее стороны не пересекаются, а значит, не имеют общих точек. Смежные стороны фигуры не могут находиться на одной прямой.

Те вершины фигуры, которые принадлежат одной и той же прямой, можно назвать соседними. Если провести линию между двумя вершинами, не являющимися соседними, то получится диагональ многоугольника. Что касается площади фигуры, — это внутренняя часть плоскости геометрической фигуры с большим количеством вершин, которая создается разделяющими ее отрезками многоугольника.

Какого-либо одного решения для определения площади представленной геометрической фигуры нет, так как вариантов фигуры может быть бесконечное множество и для каждого варианта существует свое решение. Однако некоторые самые частые варианты нахождения площади фигуры все же нужно рассмотреть (они чаще всего используются на практике и включены даже в школьную программу).

Прежде всего, рассмотрим правильный многоугольник, то есть такую фигуру, в которой все углы, образованные равными сторонами, являются также равными. Итак, как найти площадь многоугольника в конкретном примере? Для этого случая нахождение площади многоугольной фигуры возможно, если дан радиус окружности, вписанной в фигуру или описанной вокруг нее. Для этого можно воспользоваться следующей формулой:

S = ½∙P∙r, где r – радиус окружности (вписанной или описанной), а P – является периметром геометрической многоугольной фигуры, которую можно узнать, умножив количество сторон фигуры на их длину.

Как находить площадь многоугольника

Чтобы ответить на вопрос, как находить площадь многоугольника, достаточно следовать следующему интересному свойству многоугольной фигуры, в свое время нашел известный австрийский математик – Георг Пик. Например, по формуле S = N + M/2 -1 можно найти площадь такого многоугольника, вершины которого размещены в узлах квадратной сетки. При этом S – это, соответственно, площадь; N – количество узлов квадратной сетки, которые разместились внутри фигуры с множеством углов; M – количество тех узлов квадратной сетки, которые разместились на вершинах и сторонах многоугольника. Однако, несмотря на свою красоту, формула Пика практически не применяется в практической геометрии.

Самым простым и известным методом определения площади, который изучают в школе, является разделение многоугольной геометрической фигуры на более простые части (трапеции, прямоугольники, треугольники). Найти площадь этих фигур не трудно. В этом случае площадь многоугольника определяется просто: нужно найти площади всех тех фигур, на которые разделен многоугольник.

В основном определение площади многоугольника определяется в механике (размеры деталей).

Конвертер единиц расстояния и длины Конвертер единиц площади Присоединяйтесь © 2011-2017 Довжик Михаил Копирование материалов запрещено. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения! Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади. Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади четырехугольника

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

Теория. Площадь четырехугольника Четырёхугольник - геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Четырёхугольник называется выпуклым, если отрезок соединяющий любые две точки этого четырехугольника, будет находиться внутри него.

Как узнать площадь многоугольника?

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника.

Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат. Формула площади действительна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым. Содержание

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Более сложный пример
• 4 Объяснение названия
• 5 См.

Площадь многоугольника

Внимание

Это может быть:

• треугольник;
• четырехугольник;
• пяти- или шестиугольник и так далее.

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

1. Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
2. У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Как найти площадь правильного и неправильного шестиугольника?

• Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
• Подставим полученные результаты в нашу формулу:
Площадь = 1/2*периметр*апофему Площадь = ½*60см*5√3 Решаем: Теперь осталось упростить ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в квадратных сантиметрах: ½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см² Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника Существует несколько вариантов определения площади неправильного шестиугольника:

• Метод трапеции.
• Метод расчета площади неправильных многоугольников при помощи оси координат.
• Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры.

В зависимости от исходных данных, которые вам будут известны, подбирается подходящий метод.

Важно

Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его длину на ширину и затем сложить две уже известные площади. Видео о том, как найти площадь многоугольника Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и является правильным шестиугольником.

Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6 площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура. Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны, поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать площадь хотя бы одного треугольника. Для нахождения площади равностороннего шестиугольника используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная выше.

404 not found

Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение. Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю, и архитектору и каждому простому человеку в быту. Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника.
Шестиугольником называется такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести. Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру, которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между собой равны.
В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы, имеющие форму правильного шестиугольника.

Калькулятор площади неправильного многоугольника по сторонам

Вам понадобится

• — рулетка;
• — электронный дальномер;
• — лист бумаги и карандаш;
• — калькулятор.

Инструкция 1 Если вам нужна общая площадь квартиры или отдельной комнаты, просто прочтите технический паспорт на квартиру или дом, там указан метраж каждого помещения и общий метраж квартиры. 2 Для измерения площади прямоугольной или квадратной комнаты возьмите рулетку или электронный дальномер и измерьте длину стен. При измерении расстояний дальномером обязательно следите за перпендикулярностью направления луча, иначе результаты замеров могут быть искажены. 3 Затем полученную длину (в метрах) комнаты умножьте на ширину (в метрах). Полученное значение и будет площадью пола, она измеряется в квадратных метрах.

Формула площади гаусса

Если требуется посчитать площадь пола более сложной конструкции, например, пятиугольной комнаты или комнаты с круглой аркой, схематично начертите эскиз на листе бумаги. Затем разделите сложную форму на несколько простых, например, на квадрат и треугольник или прямоугольник и полукруг. Измерьте при помощи рулетки или дальномера величину всех сторон получившихся фигур (для круга необходимо узнать диаметр) и занесите результаты на ваш чертеж.

5 Теперь посчитайте площадь каждой фигуры по отдельности. Площадь прямоугольников и квадратов высчитывайте перемножением сторон. Для расчета площади круга диаметр разделите пополам и возведите в квадрат (умножьте его на самого себя), затем умножьте полученное значение на 3,14.
Если вам нужна только половина круга, разделите полученную площадь пополам. Чтобы рассчитать площадь треугольника, найдите Р, для этого сумму всех сторон поделите на 2.

Формула расчета площади неправильного многоугольника

Если точки пронумерованы последовательно в направлении против часовой стрелки, то детерминанты в формуле выше положительны и модуль в ней может быть опущен; если они пронумерованы в направлении по часовой стрелке, детерминанты будут отрицательными. Это происходит потому, что формула может рассматриваться как частный случай теоремы Грина. Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости.

Для примера возьмём треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмём первую х -координату первой вершины и умножим её на y -координату второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определен по следующей формуле: A tri.

Формула расчета площади неправильного четырехугольника

A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|} где xi и yi обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3. Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x5 и y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|} A для четырехугольника - переменные до x4 и y4: A quad.

В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.

Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности

Нарисуем многоугольник A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 , не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O :

Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».

Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH 1 , OH 2 , OH 3 , OH 4 и OH 5), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:

Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:

Рассмотрим, чему равна площадь треугольника . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:

Она равна половине произведения основания A 1 A 2 на высоту OH 1 , проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: , где r — радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:

Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:

То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P . Чаще всего в этой формуле выражение заменяют просто на p и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:

То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.

Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

Материал подготовил , Сергей Валерьевич