Obliczamy sumę kątów i powierzchnię równoległoboku: właściwości i cechy. Definicja równoległoboku i jego właściwości Dowód właściwości przeciwległych boków i kątów równoległoboku

Temat lekcji

Własności przekątnych równoległoboku.

Cele Lekcji

Zapoznaj się z nowymi definicjami i zapamiętaj niektóre już przestudiowane.
Podaj i udowodnij własność przekątnych równoległoboku.
Naucz się wykorzystywać właściwości kształtów przy rozwiązywaniu problemów.
Rozwojowe – rozwijające uwagę uczniów, wytrwałość, wytrwałość, logiczne myślenie, mowę matematyczną.
Edukacyjne - poprzez lekcję pielęgnuj uważną postawę wobec siebie, zaszczepiaj umiejętność słuchania towarzyszy, wzajemnej pomocy i niezależności.

Cele Lekcji

Sprawdź umiejętności uczniów w rozwiązywaniu problemów.

Plan lekcji

Wstęp.
Powtórzenie wcześniej przestudiowanego materiału.
Równoległobok, jego właściwości i cechy.
Przykłady zadań.
Sprawdzenie siebie.

Wstęp

„Ważne odkrycie naukowe dostarcza rozwiązania poważnego problemu, ale w rozwiązaniu każdego problemu jest ziarno odkrycia”.

Własność przeciwległych boków równoległoboku

Równoległobok ma przeciwne strony, które są równe.

Dowód.

Niech ABCD będzie danym równoległobokiem. I niech jego przekątne przecinają się w punkcie O.
Ponieważ Δ AOB = Δ COD według pierwszego kryterium równości trójkątów (∠ AOB = ∠ COD, jako pionowe, AO=OC, DO=OB, według własności przekątnych równoległoboku), to AB=CD. W ten sam sposób z równości trójkątów BOC i DOA wynika, że BC = DA. Twierdzenie zostało udowodnione.

Własność kątów przeciwnych równoległoboku

W równoległoboku przeciwległe kąty są równe.

Dowód.

Niech ABCD będzie danym równoległobokiem. I niech jego przekątne przecinają się w punkcie O.
Z tego, co zostało udowodnione w twierdzeniu o własnościach przeciwległych boków równoległoboku Δ ABC = Δ CDA z trzech stron (AB=CD, BC=DA z tego, co zostało udowodnione, AC – ogólnie). Z równości trójkątów wynika, że ∠ ABC = ∠ CDA.
Udowodniono także, że ∠ DAB = ∠ BCD, co wynika z ∠ ABD = ∠ CDB. Twierdzenie zostało udowodnione.

Własność przekątnych równoległoboku

Przekątne równoległoboku przecinają się i są podzielone na pół w punkcie przecięcia.

Dowód.

Niech ABCD będzie danym równoległobokiem. Narysujmy przekątną AC. Zaznaczmy na nim środkowe O. Kontynuując odcinek DO, odłożymy na bok odcinek OB 1 równy DO.
Zgodnie z poprzednim twierdzeniem AB 1 CD jest równoległobokiem. Dlatego linia AB 1 jest równoległa do DC. Ale przez punkt A można poprowadzić tylko jedną linię równoległą do DC. Oznacza to, że prosta AB 1 pokrywa się z prostą AB.
Udowodniono również, że BC 1 pokrywa się z BC. Oznacza to, że punkt C pokrywa się z C 1. równoległobok ABCD pokrywa się z równoległobokiem AB 1 CD. W rezultacie przekątne równoległoboku przecinają się i są podzielone na pół w punkcie przecięcia. Twierdzenie zostało udowodnione.

W podręcznikach dla zwykłych szkół (na przykład w Pogorełowie) udowodniono to w ten sposób: przekątne dzielą równoległobok na 4 trójkąty. Rozważmy jedną parę i dowiedzmy się - są równe: ich podstawy są przeciwległymi bokami, odpowiednie kąty przylegające do niej są równe, jak kąty pionowe z liniami równoległymi. Oznacza to, że odcinki przekątnych są równe parami. Wszystko.

Czy to wszystko?
Udowodniono powyżej, że punkt przecięcia przecina przekątne na pół - jeśli istnieje. Powyższe rozumowanie w żaden sposób nie dowodzi jego istnienia. Oznacza to, że część twierdzenia „przekątne równoległoboku przecinają się” pozostaje niepotwierdzona.

Zabawne jest to, że tę część znacznie trudniej jest udowodnić. Nawiasem mówiąc, wynika to z bardziej ogólnego wyniku: w każdym wypukłym czworokącie przekątne będą się przecinać, ale w każdym niewypukłym czworokącie nie.

O równości trójkątów wzdłuż boku i dwóch sąsiednich kątów (drugi znak równości trójkątów) i innych.

Thales znalazł ważne praktyczne zastosowanie twierdzenia o równości dwóch trójkątów wzdłuż boku i dwóch sąsiednich kątów. W porcie Miletu zbudowano dalmierz, który miał określać odległość do statku na morzu. Składał się z trzech wbijanych kołków A, B i C (AB = BC) oraz zaznaczonej linii prostej SC, prostopadłej do CA. Kiedy statek pojawił się na linii prostej SK, znaleźliśmy punkt D taki, że punkty D, .B i E leżały na tej samej linii prostej. Jak widać na rysunku, odległość CD na ziemi jest pożądaną odległością od statku.

pytania

Czy przekątne kwadratu są podzielone na pół w punkcie przecięcia?
Czy przekątne równoległoboku są równe?
Czy przeciwne kąty równoległoboku są równe?
Podaj definicję równoległoboku?
Ile znaków równoległoboku?
Czy romb może być równoległobokiem?

Lista wykorzystanych źródeł

Kuzniecow A.V., nauczyciel matematyki (klasy 5-9), Kijów
„Ujednolicony egzamin państwowy 2006. Matematyka. Materiały edukacyjno-szkoleniowe do przygotowania studentów / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. „Rozwiązanie głównych problemów konkursowych z matematyki zbioru pod redakcją M. I. Skanaviego”
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometria, 7 – 9: podręcznik dla instytucji edukacyjnych”

Pracowaliśmy nad lekcją

Kuzniecow A.V.

Poturnak S.A.

Jewgienij Pietrow

Można zadać pytanie dotyczące współczesnej edukacji, wyrazić pomysł lub rozwiązać palący problem pod adresem Forum edukacyjne, gdzie rada edukacyjna świeżych myśli i działań spotyka się na arenie międzynarodowej. Stworzywszy blog, Nie tylko podniesiesz swój status kompetentnego nauczyciela, ale także wniesiesz znaczący wkład w rozwój szkoły przyszłości. Gildia Liderów Oświaty otwiera drzwi dla najwyższej klasy specjalistów i zaprasza ich do współpracy przy tworzeniu najlepszych szkół na świecie.

Przedmioty > Matematyka > Matematyka 8. klasa

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe parami. Ta definicja jest już wystarczająca, ponieważ pozostałe właściwości równoległoboku wynikają z niej i są udowadniane w formie twierdzeń.

Główne właściwości równoległoboku to:

równoległobok jest wypukłym czworobokiem;
Równoległobok ma przeciwne boki, które są równe parami;
W równoległoboku przeciwne kąty są równe parami;
Przekątne równoległoboku są podzielone na pół w punkcie przecięcia.

Równoległobok - czworobok wypukły

Udowodnimy najpierw twierdzenie, że równoległobok jest wypukłym czworokątem. Wielokąt jest wypukły, jeśli którykolwiek jego bok zostanie przedłużony do linii prostej, wszystkie pozostałe boki wielokąta będą po tej samej stronie tej prostej.

Niech dany będzie równoległobok ABCD, w którym AB jest przeciwną stroną CD, a BC jest przeciwną stroną AD. Zatem z definicji równoległoboku wynika, że AB || CD, BC || OGŁOSZENIE.

Odcinki równoległe nie mają punktów wspólnych i nie przecinają się. Oznacza to, że CD leży po jednej stronie AB. Ponieważ odcinek BC łączy punkt B odcinka AB z punktem C odcinka CD, a odcinek AD łączy pozostałe punkty AB i CD, odcinki BC i AD również leżą po tej samej stronie prostej AB, gdzie leży CD. Zatem wszystkie trzy boki - CD, BC, AD - leżą po tej samej stronie AB.

Podobnie udowodniono, że w stosunku do pozostałych boków równoległoboku pozostałe trzy boki leżą po tej samej stronie.

Przeciwległe boki i kąty są równe

Jedną z właściwości równoległoboku jest to W równoległoboku przeciwne boki i przeciwne kąty są równe parami. Na przykład, jeśli dany jest równoległobok ABCD, to ma on AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Twierdzenie to udowadnia się w następujący sposób.

Równoległobok jest czworokątem. Oznacza to, że ma dwie przekątne. Ponieważ równoległobok jest wypukłym czworokątem, każdy z nich dzieli go na dwa trójkąty. W równoległoboku ABCD rozważmy trójkąty ABC i ADC powstałe poprzez narysowanie przekątnej AC.

Trójkąty te mają jeden wspólny bok - AC. Kąt BCA jest równy kątowi CAD, podobnie jak kąt pionowy, gdy BC i AD są równoległe. Kąty BAC i ACD są również równe kątom pionowym, gdy AB i CD są równoległe. Zatem ∆ABC = ∆ADC pod dwoma kątami i na boku pomiędzy nimi.

W tych trójkątach bok AB odpowiada bokowi CD, a bok BC odpowiada bokowi AD. Zatem AB = CD i BC = AD.

Kąt B odpowiada kątowi D, tj. ∠B = ∠D. Kąt A równoległoboku jest sumą dwóch kątów - ∠BAC i ∠CAD. Kąt C jest równy ∠BCA i ∠ACD. Ponieważ pary kątów są sobie równe, to ∠A = ∠C.

W ten sposób udowodniono, że w równoległoboku przeciwne boki i kąty są równe.

Przekątne są podzielone na pół

Ponieważ równoległobok jest wypukłym czworokątem, ma dwie przekątne i one się przecinają. Niech dany będzie równoległobok ABCD, którego przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Rozważmy utworzone przez nie trójkąty ABE i CDE.

Trójkąty te mają boki AB i CD równe przeciwległym bokom równoległoboku. Kąt ABE jest równy kątowi CDE leżącemu poprzecznie z równoległymi liniami AB i CD. Z tego samego powodu ∠BAE = ∠DCE. Oznacza to ∆ABE = ∆CDE pod dwoma kątami i na boku pomiędzy nimi.

Można również zauważyć, że kąty AEB i CED są pionowe, a zatem również sobie równe.

Ponieważ trójkąty ABE i CDE są sobie równe, to wszystkie odpowiadające im elementy są równe. Bok AE pierwszego trójkąta odpowiada bokowi CE drugiego, co oznacza AE = CE. Podobnie BE = DE. Każda para równych odcinków stanowi przekątną równoległoboku. W ten sposób zostało to udowodnione Przekątne równoległoboku są podzielone na pół przez ich punkt przecięcia.

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe, to znaczy leżą na równoległych liniach (ryc. 1).

Twierdzenie 1. O właściwościach boków i kątów równoległoboku. W równoległoboku przeciwległe boki są równe, przeciwległe kąty są równe, a suma kątów przylegających do jednego boku równoległoboku wynosi 180°.

Dowód. W tym równoległoboku ABCD rysujemy przekątną AC i otrzymujemy dwa trójkąty ABC i ADC (ryc. 2).

Trójkąty te są równe, ponieważ ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (kąty poprzeczne dla prostych równoległych), a bok AC jest wspólny. Z równości Δ ABC = Δ ADC wynika, że AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Suma kątów sąsiadujących z jednym bokiem, np. kątów A i D, wynosi 180° jako jednostronna dla linii równoległych. Twierdzenie zostało udowodnione.

Komentarz. Równość przeciwległych boków równoległoboku oznacza, że odcinki równoległości odciętych przez równoległe są równe.

Wniosek 1. Jeśli dwie linie są równoległe, to wszystkie punkty jednej linii znajdują się w tej samej odległości od drugiej linii.

Dowód. Rzeczywiście, niech || b (ryc. 3).

Narysujmy prostopadłe BA i CD do prostej a z dwóch punktów B i C prostej b. Od AB || CD, to figura ABCD jest równoległobokiem, a zatem AB = CD.

Odległość między dwiema równoległymi liniami to odległość od dowolnego punktu na jednej z linii do drugiej linii.

Zgodnie z tym, co udowodniono, jest ona równa długości prostopadłej poprowadzonej z jakiegoś punktu jednej z prostych równoległych do drugiej prostej.

Przykład 1. Obwód równoległoboku wynosi 122 cm, jeden z jego boków jest o 25 cm większy od drugiego. Znajdź boki równoległoboku.

Rozwiązanie. Zgodnie z Twierdzeniem 1, przeciwległe boki równoległoboku są równe. Oznaczmy jedną stronę równoległoboku przez x, a drugą przez y. Następnie według warunku $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Rozwiązując ten układ otrzymujemy x = 43, y = 18 Zatem boki równoległoboku wynoszą 18, 43, 18 i 43 cm.

Przykład 2.

Rozwiązanie. Niech rysunek 4 spełnia warunki zadania.

Oznaczmy AB przez x, a BC przez y. Zgodnie z warunkiem obwód równoległoboku wynosi 10 cm, tj. 2(x + y) = 10 lub x + y = 5. Obwód trójkąta ABD wynosi 8 cm, a ponieważ AB + AD = x + y = 5, następnie BD = 8 - 5 = 3. Zatem BD = 3 cm.

Przykład 3. Znajdź kąty równoległoboku, wiedząc, że jeden z nich jest o 50° większy od drugiego.

Rozwiązanie. Niech rysunek 5 spełnia warunki zadania.

Oznaczmy miarę stopnia kąta A przez x. Wtedy miara stopnia kąta D wynosi x + 50°.

Kąty BAD i ADC są jednostronnymi kątami wewnętrznymi o prostych równoległych AB i DC oraz siecznych AD. Wtedy suma tych nazwanych kątów będzie wynosić 180°, tj.
x + x + 50° = 180° lub x = 65°. Zatem ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Przykład 4. Boki równoległoboku mają długość 4,5 dm i 1,2 dm. Z wierzchołka kąta ostrego rysuje się dwusieczną. Na jakie części dzieli większy bok równoległoboku?

Rozwiązanie. Niech rysunek 6 spełnia warunki zadania.

AE jest dwusieczną kąta ostrego równoległoboku. Dlatego ∠ 1 = ∠ 2.

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równoległe parami. Pole równoległoboku jest równe iloczynowi jego podstawy (a) i wysokości (h). Jego pole można również wyznaczyć poprzez dwa boki i kąt oraz poprzez przekątne.

Właściwości równoległoboku

1. Przeciwne strony są identyczne

Najpierw narysujmy przekątną $AC$ . Otrzymujemy dwa trójkąty: $ABC$ i $ADC$.

Ponieważ $ABCD$ jest równoległobokiem, prawdziwe jest następujące stwierdzenie:

$AD || BC \Strzałka w prawo \kąt 1 = \kąt 2$ jak leżenie w poprzek.

$AB || CD \Strzałka w prawo \kąt3 = \kąt 4$ jak leżenie w poprzek.

Dlatego (zgodnie z drugim kryterium: i $AC$ jest powszechne).

I to oznacza, że $\trójkąt ABC = \trójkąt ADC$, następnie $AB = CD$ i $AD = BC$ .

2. Przeciwne kąty są identyczne

Według dowodu właściwości 1 Wiemy to $\kąt 1 = \kąt 2, \kąt 3 = \kąt 4$. Zatem suma kątów przeciwnych wynosi: $\kąt 1 + \kąt 3 = \kąt 2 + \kąt 4$. Biorąc pod uwagę, że $\trójkąt ABC = \trójkąt ADC$ otrzymujemy $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $ .

3. Przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia

Przez nieruchomość 1 wiemy, że przeciwne strony są identyczne: $AB = CD$ . Jeszcze raz zwróć uwagę na leżące w poprzek równe kąty.

Zatem jest jasne, że $\trójkąt AOB = \trójkąt COD$ zgodnie z drugim znakiem równości trójkątów (dwa kąty i bok między nimi). Oznacza to, że $BO = OD$ (naprzeciwko kątów $\kąt 2$ i $\kąt 1$ ) i $AO = OC$ (naprzeciwko kątów $\kąt 3$ i $odpowiednio \kąt 4$.

Znaki równoległoboku

Jeśli w Twoim problemie występuje tylko jedna cecha, wówczas figura jest równoległobokiem i możesz wykorzystać wszystkie właściwości tej figury.

Dla lepszego zapamiętywania zwróć uwagę, że znak równoległoboku odpowie na następujące pytanie: „jak się dowiedzieć?”. To znaczy, jak dowiedzieć się, że dana figura jest równoległobokiem.

1. Równoległobok to czworokąt, którego dwa boki są równe i równoległe

$AB = CD$ ; $AB || CD \Strzałka w prawo ABCD$- równoległobok.

Przyjrzyjmy się bliżej. Dlaczego $AD || BC $?

$\trójkąt ABC = \trójkąt ADC$ Przez nieruchomość 1: $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ leżą poprzecznie, gdy $AB $ i $CD $ oraz sieczna $AC $ są równoległe.

Ale jeśli $\trójkąt ABC = \trójkąt ADC$, następnie $\angle 3 = \angle 4 $ (leżą naprzeciwko $AD || BC $ ($\angle 3 $ i $\angle 4 $ - te leżące w poprzek również są równe).

Pierwszy znak jest prawidłowy.

2. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równe

$AB = CD $ , $AD = BC \Strzałka w prawo ABCD $ jest równoległobokiem.

Rozważmy ten znak. Narysujmy ponownie przekątną $AC$.

Przez nieruchomość 1$\trójkąt ABC = \trójkąt ACD$.

Wynika, że: $\kąt 1 = \angle 2 \Strzałka w prawo AD || BC $ I $\kąt 3 = \kąt 4 \Strzałka w prawo AB || CD $, to znaczy $ABCD$ jest równoległobokiem.

Drugi znak jest prawidłowy.

3. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe kąty są równe

$\kąt A = \kąt C$ , $\kąt B = \kąt D \Strzałka w prawo ABCD$- równoległobok.

$2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ) $(ponieważ $\kąt A = \kąt C$ , $\kąt B = \kąt D$ według warunku).

Okazało się, . Ale $\alpha $ i $\beta $ są wewnętrzne jednostronne w siecznej $AB $ .

I co $\alfa + \beta = 180^(\circ) $ mówi również, że $AD || BC $ .

Dowód

Najpierw narysujmy przekątną AC. Otrzymujemy dwa trójkąty: ABC i ADC.

Ponieważ ABCD jest równoległobokiem, prawdziwe jest następujące stwierdzenie:

AD || BC \Strzałka w prawo \angle 1 = \angle 2 jak leżenie w poprzek.

AB || CD\Strzałka w prawo\kąt3 =\kąt 4 jak leżenie w poprzek.

Zatem \triangle ABC = \triangle ADC (według drugiego kryterium: i AC jest wspólne).

A zatem \triangle ABC = \triangle ADC, następnie AB = CD i AD = BC.

Udowodniony!

2. Przeciwne kąty są identyczne.

Dowód

Według dowodu właściwości 1 Wiemy to \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4. Zatem suma kątów przeciwnych wynosi: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4. Biorąc pod uwagę, że \triangle ABC = \triangle ADC otrzymujemy \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Udowodniony!

3. Przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia.

Dowód

Narysujmy kolejną przekątną.

Przez nieruchomość 1 wiemy, że przeciwne strony są identyczne: AB = CD. Jeszcze raz zwróć uwagę na leżące w poprzek równe kąty.

Zatem jasne jest, że \triangle AOB = \triangle COD zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów (dwa kąty i bok między nimi). Oznacza to, że BO = OD (naprzeciwko narożników \angle 2 i \angle 1) i AO = OC (naprzeciwko odpowiednio narożników \angle 3 i \angle 4).

Udowodniony!

Znaki równoległoboku

Jeśli w Twoim problemie występuje tylko jedna cecha, wówczas figura jest równoległobokiem i możesz wykorzystać wszystkie właściwości tej figury.

1. Równoległobok to czworokąt, którego dwa boki są równe i równoległe.

AB = CD; AB || CD\Rightarrow ABCD jest równoległobokiem.

Dowód

Przyjrzyjmy się bliżej. Dlaczego AD || PNE?

\triangle ABC = \triangle ADC wg nieruchomość 1: AB = CD, AC - wspólne i \angle 1 = \angle 2 leżące poprzecznie z równoległymi AB i CD oraz sieczną AC.

Ale jeśli \triangle ABC = \triangle ADC , to \angle 3 = \angle 4 (leżą odpowiednio naprzeciw AB i CD). A zatem AD || BC (\angle 3 i \angle 4 - te leżące w poprzek też są równe).

Pierwszy znak jest prawidłowy.

2. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równe.

AB = CD, AD = BC \Strzałka w prawo ABCD jest równoległobokiem.

Dowód

Rozważmy ten znak. Narysujmy jeszcze raz przekątną AC.

Przez nieruchomość 1\trójkąt ABC = \trójkąt ACD .

Wynika, że: \angle 1 = \angle 2 \Strzałka w prawo AD || PNE. I \angle 3 = \angle 4 \Strzałka w prawo AB || płyta CD, czyli ABCD jest równoległobokiem.

Drugi znak jest prawidłowy.

3. Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe kąty są równe.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Strzałka w prawo ABCD- równoległobok.

Dowód

2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ)(ponieważ ABCD jest czworokątem i \angle A = \angle C , \angle B = \angle D według warunku).

Okazuje się, że \alpha + \beta = 180^(\circ) . Ale \alfa i \beta są jednostronne wewnętrzne w siecznej AB.

A fakt, że \alpha + \beta = 180^(\circ) oznacza również, że AD || PNE.

Co więcej, \alpha i \beta są jednostronne wewnętrznie w siecznej AD. A to oznacza AB || PŁYTA CD.

Trzeci znak jest prawidłowy.

4. Równoległobok to czworokąt, którego przekątne są podzielone na pół w punkcie przecięcia.

AO = OC; BO = Równoległobok OD\Strzałka w prawo.

Dowód

BO = OD; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 w pionie \Strzałka w prawo \triangle AOB = \triangle COD, \Strzałka w prawo \kąt 3 = \kąt 4 i \Rightarrow AB || PŁYTA CD.

Podobnie BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Strzałka w prawo \triangle AOD = \triangle BOC \Strzałka w prawo \angle 7 = \angle 8 i \Rightarrow AD || PNE.

Czwarty znak jest poprawny.