Warunki równania równowagi przestrzennego układu sił. Równania równowagi dla płaskich i przestrzennych układów sił

Dowolny przestrzenny układ sił, na przykład płaski, można sprowadzić do jakiegoś środka O i zastąp jedną siłą wypadkową i parą momentem. Rozumowanie w taki sposób, że dla równowagi tego układu sił jest konieczne i wystarczające, aby jednocześnie istniało R= 0 i M o = 0. Ale wektory i mogą zanikać tylko wtedy, gdy wszystkie ich rzuty na osie współrzędnych są równe zeru, tj. gdy R x = R y = R z = 0 i M x = M y = M z = 0 lub gdy działające siły spełniają warunki

Σ X ja = 0; Σ Mx(Liczba Pi) = 0;

Σ Y ja = 0; Σ Mój(Liczba Pi) = 0;

Σ Z = 0; Σ M z(Liczba Pi) = 0.

Zatem dla równowagi przestrzennego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby suma rzutów wszystkich sił układu na każdą z osi współrzędnych oraz suma momentów wszystkich sił układu względem każdej z tych osi jest równa zero.

W szczególnych przypadkach układu sił zbieżnych lub równoległych równania te będą liniowo zależne i tylko trzy z sześciu równań będą liniowo niezależne.

Na przykład równania równowagi dla układu sił równoległych do osi Oz, mają postać:

Σ Z = 0;

Σ Mx(Liczba Pi) = 0;

Σ Mój(Liczba Pi) = 0.

Problemy równowagi ciała pod wpływem przestrzennego układu sił.

Zasada rozwiązywania problemów w tej sekcji pozostaje taka sama, jak w przypadku płaskiego układu sił. Po ustaleniu równowagi, które ciało będzie rozpatrywane, zastępują nałożone na ciało połączenia swoimi reakcjami i ustalają warunki równowagi tego ciała, uznając je za swobodne. Z otrzymanych równań określane są wymagane ilości.

Aby uzyskać prostsze układy równań, zaleca się tak narysować osie, aby przecinały one więcej nieznanych sił lub były do ​​nich prostopadłe (chyba, że ​​niepotrzebnie komplikuje to obliczenia rzutów i momentów innych sił).

Nowym elementem w układaniu równań jest obliczanie momentów sił względem osi współrzędnych.

W przypadkach, gdy na rysunku ogólnym trudno jest odczytać, jaki jest moment danej siły względem którejkolwiek osi, zaleca się przedstawienie na rysunku pomocniczym rzutu danego ciała (wraz z siłą) na płaszczyznę prostopadle do tej osi.

W przypadkach, gdy przy obliczaniu momentu pojawiają się trudności w określeniu rzutu siły na odpowiednią płaszczyznę lub ramię tego rzutu, zaleca się rozłożenie siły na dwie wzajemnie prostopadłe składowe (z których jedna jest równoległa do jakiejś współrzędnej osi), a następnie skorzystać z twierdzenia Varignona.

Przykład 5. Rama AB(Rys. 45) jest utrzymywany w równowadze za pomocą zawiasu A i pręt Słońce. Na krawędzi ramy znajduje się obciążenie R. Wyznaczmy reakcje zawiasu i siłę w pręcie.

Ryc.45

Rozważamy równowagę ramy wraz z obciążeniem.

Budujemy diagram obliczeniowy, przedstawiający ramę jako swobodne ciało i pokazujący wszystkie działające na nią siły: reakcję połączeń i ciężar ładunku R. Siły te tworzą układ sił dowolnie rozmieszczonych na płaszczyźnie.

Wskazane jest tworzenie równań tak, aby każde zawierało jedną nieznaną siłę.

W naszym problemie właśnie o to chodzi A, gdzie niewiadome i są dołączone; kropka Z, gdzie linie działania nieznanych sił i przecinają się; kropka D– punkt przecięcia linii działania sił i. Utwórzmy równanie rzutowania sił na oś Na(na oś X nie da się zaprojektować, bo jest prostopadła do linii AC).

Zanim ułożymy równania, poczynimy jeszcze jedną użyteczną uwagę. Jeżeli na schemacie projektowym znajduje się siła zlokalizowana w taki sposób, że jej ramię nie jest łatwe do zlokalizowania, to przy wyznaczaniu momentu zaleca się najpierw rozłożyć wektor tej siły na dwa, wygodniej skierowane. W tym zadaniu rozłożymy siłę na dwie części: i (ryc. 37) tak, aby ich moduły

Ułóżmy równania:

Z drugiego równania znajdujemy

Od trzeciego

I od pierwszego

Jak to się stało? S<0, то стержень Słońce zostanie skompresowany.

Przykład 6. Wagi półkowe prostokątne R utrzymywany poziomo za pomocą dwóch prętów SE I płyta CD, przymocowany punktowo do ściany mi. Pręty jednakowej długości, AB=2 A,EO= A. Wyznaczmy siły w prętach i reakcje pętli A I W.

Ryc.46

Rozważ równowagę płyty. Budujemy diagram projektowy (ryc. 46). Reakcje pętli są zwykle pokazywane przez dwie siły prostopadłe do osi pętli: .

Siły tworzą układ sił dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni. Możemy utworzyć 6 równań. Jest też sześć nieznanych osób.

Musisz pomyśleć, jakie równania utworzyć. Pożądane jest, aby były prostsze i zawierały mniej niewiadomych.

Zróbmy następujące równania:

Z równania (1) otrzymujemy: S 1 = S 2. Następnie od (4): .

Z (3): Y A = Y B i zgodnie z (5) . Oznacza to Z równania (6), ponieważ S 1 = S 2, następuje Z A = Z B. Następnie zgodnie z (2) Z A =Z B =P/4.

Z trójkąta gdzie , wynika ,

Dlatego Y A = Y B = 0,25 P, Z A = Z B 0,25 P.

Aby sprawdzić rozwiązanie, możesz utworzyć kolejne równanie i sprawdzić, czy spełnia ono znalezione wartości reakcji:

Problem został rozwiązany poprawnie.

Pytania autotestowe

Jaką konstrukcję nazywa się kratownicą?

Wymień główne elementy gospodarstwa.

Który pręt kratownicowy nazywa się zerem?

Podaj lematy wyznaczające pręt zerowy kratownicy.

Na czym polega istota metody przecinania węzłów?

Na podstawie jakich rozważań można bez obliczeń wyznaczyć pręty kratownic przestrzennych, w których przy danym obciążeniu siły są równe zeru?

Na czym polega istota metody Rittera?

Jaki jest związek między normalną reakcją powierzchniową a normalną siłą nacisku?

Co to jest siła tarcia?

Zapisz prawo Amontona-Coulomba.

Sformułuj podstawowe prawo tarcia. Jaki jest współczynnik tarcia, kąt tarcia i od czego zależy ich wartość?

Belka jest w równowadze, spoczywając na gładkiej pionowej ścianie i szorstkiej poziomej podłodze; środek ciężkości belki znajduje się w jej środku. Czy można określić kierunek ogólnej reakcji seksualnej?

Nazwij wymiar współczynnika tarcia ślizgowego.

Jaka jest maksymalna siła tarcia ślizgowego.

Co charakteryzuje stożek tarcia?

Podaj przyczynę pojawienia się momentu tarcia tocznego.

Jaki jest wymiar współczynnika tarcia tocznego?

Podaj przykłady urządzeń, w których występuje tarcie obrotowe.

Jaka jest różnica między siłą przyczepności a siłą tarcia?

Jak nazywa się stożek sprzęgła?

Jakie są możliwe kierunki reakcji chropowatej powierzchni?

Jaki jest obszar równowagi i jakie są warunki równowagi dla sił przyłożonych do klocka spoczywającego na dwóch chropowatych powierzchniach?

Jaki jest moment siły względem punktu? Jaki jest wymiar tej wielkości?

Jak obliczyć moduł momentu siły względem punktu?

Sformułuj twierdzenie o momencie wypadkowego układu sił zbieżnych.

Jaki jest moment siły względem osi?

Zapisz wzór łączący moment siły względem punktu z momentem tej samej siły względem osi przechodzącej przez ten punkt.

Jak wyznacza się moment siły względem osi?

Dlaczego przy wyznaczaniu momentu siły względem osi konieczne jest rzutowanie siły na płaszczyznę prostopadłą do osi?

Jak ustawić oś, aby moment danej siły względem tej osi był równy zeru?

Podaj wzory na obliczanie momentów siły względem osi współrzędnych.

Jaki jest kierunek wektora momentu siły względem punktu?

Jak wyznacza się moment siły względem punktu na płaszczyźnie?

Na jakim polu można określić wartość liczbową momentu siły względem danego punktu?

Czy moment siły wokół danego punktu zmienia się, gdy siła jest przenoszona wzdłuż linii jej działania?

W jakim przypadku moment siły względem danego punktu jest równy zeru?

Wyznaczyć położenie geometryczne punktów w przestrzeni, względem których momenty danej siły wynoszą:

a) geometrycznie równe;

b) równy moduł.

Jak wyznacza się wartość liczbową i znak momentu siły względem osi?

W jakich warunkach moment siły względem osi jest równy zeru?

W jakim kierunku siły przyłożonej do danego punktu jest największy jej moment względem danej osi?

Jaki związek istnieje pomiędzy momentem siły względem punktu a momentem tej samej siły względem osi przechodzącej przez ten punkt?

W jakich warunkach moduł momentu siły względem punktu jest równy momentowi tej samej siły względem osi przechodzącej przez ten punkt?

Jakie są wyrażenia analityczne na momenty siły względem osi współrzędnych?

Jakie są momenty główne układu sił dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni względem punktu i względem osi przechodzącej przez ten punkt? Jaki jest związek między nimi?

Jaki jest moment główny układu sił leżącego w jednej płaszczyźnie względem dowolnego punktu tej płaszczyzny?

Jaki jest główny moment sił tworzących parę względem dowolnego punktu przestrzeni?

Jaki jest moment główny układu sił względem danego bieguna?

Jak sformułowany jest lemat o równoległym przeniesieniu sił?

Sformułuj twierdzenie o doprowadzeniu dowolnego układu sił do wektora głównego i momentu głównego.

Zapisz wzory do obliczania rzutów momentu głównego na osie współrzędnych.

Podaj wektorową reprezentację warunków równowagi dla dowolnego układu sił.

Zapisz warunki równowagi dowolnego układu sił w rzutach na prostokątne osie współrzędnych.

Ile niezależnych równań równowagi skalarnej można zapisać dla przestrzennego układu sił równoległych?

Zapisz równania równowagi dla dowolnego płaskiego układu sił.

W jakim stanie trzy nierównoległe siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się?

Jaki jest warunek równowagi dla trzech równoległych sił przyłożonych do ciała sztywnego?

Jakie są możliwe przypadki wprowadzenia w przestrzeń arbitralnie rozmieszczonych i równoległych sił?

Do jakiej najprostszej postaci można sprowadzić układ sił, jeśli wiadomo, że główny moment tych sił względem różnych punktów przestrzeni:

a) ma tę samą wartość, różną od zera;

b) równe zeru;

c) ma różne wartości i jest prostopadły do ​​wektora głównego;

d) ma różne wartości i nie jest prostopadły do ​​wektora głównego.

Jakie są warunki i równania równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych, równoległych i dowolnie rozmieszczonych i czym różnią się od warunków i równań równowagi tego samego rodzaju sił na płaszczyźnie?

Jakie równania i ile z nich można ułożyć dla zrównoważonego przestrzennego układu zbieżnych sił?

Zapisz układ równań równowagi dla przestrzennego układu sił?

Jakie są warunki geometryczne i analityczne redukcji przestrzennego układu sił do wypadkowej?

Sformułuj twierdzenie o momencie wypadkowego przestrzennego układu sił względem punktu i osi.

Zapisz równania linii działania wypadkowej.

Jaką linię prostą w przestrzeni nazywa się osią środkową układu sił?

Wyprowadzić równania dla osi środkowej układu sił?

Pokaż, że na śrubę siłową można skierować dwie przecinające się siły.

Z jakiego wzoru oblicza się najmniejszy moment główny danego układu sił?

Zapisz wzory na obliczenie wektora głównego przestrzennego układu sił zbieżnych?

Zapisz wzory na obliczenie wektora głównego przestrzennego układu sił arbitralnie rozmieszczonych?

Zapisz wzór na obliczenie momentu głównego przestrzennego układu sił?

Jaka jest zależność momentu głównego układu sił w przestrzeni od odległości środka redukcji od osi środkowej tego układu sił?

W stosunku do jakich punktów w przestrzeni momenty główne danego układu sił mają tę samą wielkość i tworzą ten sam kąt z wektorem głównym?

W stosunku do jakich punktów w przestrzeni momenty główne układu sił są sobie geometrycznie równe?

Jakie są niezmienniki układu sił?

Jakie warunki spełniają określone siły przyłożone do ciała sztywnego z jednym lub dwoma punktami stałymi, które znajduje się w spoczynku?

Czy będzie istniał płaski układ sił w równowadze, dla którego algebraiczne sumy momentów względem trzech punktów leżących na tej samej prostej będą równe zeru?

Niech dla płaskiego układu sił sumy momentów wokół dwóch punktów będą równe zeru. W jakich dodatkowych warunkach układ będzie w równowadze?

Sformułuj warunki konieczne i wystarczające równowagi płaskiego układu sił równoległych.

Co to jest punkt momentowy?

Jakie równania (i ile) można ułożyć dla zrównoważonego, dowolnego, płaskiego układu sił?

Jakie równania i ile z nich można ułożyć dla zrównoważonego przestrzennego układu sił równoległych?

Jakie równania i ile z nich można ułożyć dla zrównoważonego, dowolnego przestrzennego układu sił?

Jak formułuje się plan rozwiązania problemów statycznych dotyczących równowagi sił?

Warunki równowagi wektorowej dla dowolnego układu sił: dla równowagi układu sił przyłożonych do ciała sztywnego konieczne i wystarczające jest, aby wektor główny układu sił był równy zeru i główny moment układu sił względem dowolnego środka redukcji był również równy zeru. W przeciwnym razie: aby ~0 były konieczne i wystarczające następujące warunki:

,
Lub
,
. (19)

Warunki równowagi przestrzennego układu sił w postaci analitycznej

Dla równowagi przestrzennego układu sił przyłożonych do ciała stałego konieczne i wystarczające jest, aby trzy sumy rzutów wszystkich sił na osie współrzędnych kartezjańskich były równe zero, a trzy sumy momentów wszystkich sił względnych do trzech osi współrzędnych są również równe zeru.

. (20)

Warunki równowagi dla przestrzennego układu sił zbiegających się

Dla równowagi przestrzennego układu zbieżnych sił przyłożonych do ciała stałego konieczne i wystarczające jest, aby sumy rzutów sił na każdą z trzech prostokątnych osi współrzędnych były równe zeru:

;
;
, (21)

W przypadku płaskiego układu zbieżnych sił, zwykle jedna z osi współrzędnych
, wybiera się prostopadle do sił, a pozostałe dwie osie wybiera się odpowiednio w płaszczyźnie sił. D Dla równowagi płaskiego układu zbieżnych sił działających na ciało stałe konieczne i wystarczające jest, aby sumy rzutów tych sił na każdą z dwóch prostokątnych osi współrzędnych leżących w płaszczyźnie sił były równe zeru:

;
, (22)

Warunki równowagi dla przestrzennego układu sił równoległych

Skierujmy oś
równolegle do sił: dla równowagi przestrzennego układu równoległych sił przyłożonych do ciała stałego konieczne i wystarczające jest, aby suma algebraiczna tych sił była równa zero, a suma momentów sił względem dwóch osi współrzędnych prostopadłych do sił wynosiła również równa zeru:

Warunki równowagi dla płaskiego układu sił

Ustawmy osie
I
w płaszczyźnie działania sił.

Warunki równowagi dla płaskiego układu sił w pierwszej postaci: dla równowagi płaskiego układu sił działających na ciało stałe konieczne i wystarczające jest, aby sumy rzutów tych sił na każdą z dwóch prostokątnych osi współrzędnych znajdujących się w płaszczyźnie działania sił były równe zeru a suma momentów algebraicznych sił względem dowolnego punktu znajdującego się na płaszczyźnie sił również wynosiła zero:

(24)

Dla równowagi płaskiego układu sił równoległych działających na ciało stałe konieczne i wystarczające jest, aby suma algebraiczna sił była równa zero, a suma momentów algebraicznych sił względem dowolnego punktu znajdującego się na płaszczyźnie sił jest również równa zeru:

(25)

Twierdzenie o trzech momentach (druga postać warunków równowagi): dla równowagi płaskiego układu sił przyłożonych do ciała sztywnego konieczne i wystarczające jest, aby sumy momentów algebraicznych sił układu względem dowolnych trzech punktów znajdujących się w płaszczyźnie działania sił, a nie leżących na tej samej linii prostej są równe zeru:

Trzecia postać warunków równowagi: dla równowagi płaskiego układu sił przyłożonych do ciała stałego konieczne i wystarczające jest, aby sumy algebraicznych momentów sił względem dowolnych dwóch punktów leżących na płaszczyźnie działania sił były równe zero, a algebraiczna suma rzutów tych sił na dowolną oś płaszczyzny nieprostopadłą do prostej przechodzącej przez dwa punkty momentowe również była równa zeru, tj.

20. Warunek równowagi przestrzennego układu sił:

21. Twierdzenie o 3 siłach nierównoległych: Linie działania trzech nierównoległych, wzajemnie równoważących się sił leżących w tej samej płaszczyźnie przecinają się w jednym punkcie.

22. Problemy definiowalne statycznie- są to problemy, które można rozwiązać metodami statyki ciała sztywnego, tj. problemy, w których liczba niewiadomych nie przekracza liczby równań równowagi sił.

Układy statycznie niewyznaczalne to układy, w których liczba nieznanych wielkości przekracza liczbę niezależnych równań równowagi dla danego układu sił

23. Równania równowagi dla płaskiego układu sił równoległych:

AB nie jest równoległe do F i

24. Stożek i kąt tarcia: Opisano graniczne położenie sił czynnych, pod wpływem których może nastąpić równość stożek tarcia z kątem (φ).

Jeśli siła czynna przejdzie poza ten stożek, wówczas równowaga nie będzie możliwa.

Kąt φ nazywany jest kątem tarcia.

25. Wskaż wymiar współczynników tarcia: współczynniki tarcia statycznego i tarcia ślizgowego są wielkościami bezwymiarowymi, współczynniki tarcia tocznego i tarcia obrotowego mają wymiar długości (mm, cm, m).m.

26. Podstawowe założenia przyjęte przy obliczaniu kratownic płaskich statycznie zdefiniowanych:-pręty kratownicowe są uważane za nieważkie; - mocowanie prętów w przegubowych węzłach kratownicy; -obciążenie zewnętrzne przykładane jest tylko w węzłach kratownicy; - pręt wchodzi pod złącze.

27. Jaka jest zależność pomiędzy prętami i węzłami kratownicy statycznie wyznaczalnej?

S=2n-3 – kratownica prosta definiowalna statycznie, S-liczba prętów, n-liczba węzłów,

jeśli S<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если внешние силы будут одинаково соотноситься

S>2n-3 – kratownica statycznie niewyznaczona, posiada dodatkowe połączenia, + obliczenie odkształceń

28. Kratownica statycznie wyznaczalna musi spełniać warunek: S=2n-3; S to liczba prętów, n to liczba węzłów.

29. Metoda przecinania węzła: Metoda ta polega na mentalnym wycięciu węzłów kratownicy, przyłożeniu do nich odpowiednich sił zewnętrznych i reakcji prętów oraz utworzeniu równań równowagi dla sił przyłożonych do każdego węzła. Tradycyjnie zakłada się, że wszystkie pręty są rozciągnięte (reakcje prętów są skierowane w stronę od węzłów).

30. Metoda Rittera: Rysujemy sieczną płaszczyznę, która przecina kratownicę na 2 części. Sekcja musi zaczynać się i kończyć na zewnątrz kratownicy. Jako obiekt równowagi możesz wybrać dowolną część. Sekcja przechodzi wzdłuż prętów, a nie przez węzły. Siły przyłożone do obiektu równowagi tworzą dowolny układ sił, dla którego można sporządzić 3 równania równowagi. Dlatego wykonujemy sekcję tak, aby zawierały nie więcej niż 3 pręty, których siły są nieznane.

Cechą metody Rittera jest taki dobór postaci równania, aby w każdym równaniu równowagi znajdowała się jedna niewiadoma. W tym celu wyznaczamy położenie punktów Rittera jako punktów przecięcia linii działania dwóch nieznanych sił i zapisujemy równania momentów rel. te punkty.

Jeżeli punkt Rittera leży w nieskończoności, to jako równanie równowagi konstruujemy równania rzutów na oś prostopadłą do tych prętów.

31. Punkt Rittera- punkt przecięcia linii działania dwóch nieznanych sił. Jeżeli punkt Rittera leży w nieskończoności, to jako równanie równowagi konstruujemy równania rzutów na oś prostopadłą do tych prętów.

32. Środek ciężkości figury wolumetrycznej:

33. Środek ciężkości płaskiej figury:

34. Środek ciężkości konstrukcji prętowej:

35. Środek ciężkości łuku:

36. Środek ciężkości sektora kołowego:

37. Środek ciężkości stożka:

38. Środek ciężkości półkuli:

39. Metoda wartości ujemnych: Jeśli bryła ma wnęki, tj. wnęki, z których pobierana jest ich masa, następnie mentalnie wypełniamy te wnęki ciałem stałym i określamy środek ciężkości figury, biorąc masę, objętość, powierzchnię wnęk ze znakiem „-”.

40. 1. niezmiennik: Pierwszy niezmiennik układu sił nazywany jest wektorem głównym układu sił. Główny wektor układu sił nie zależy od środka redukcji R=∑ F i

41. Drugi niezmiennik: Iloczyn skalarny wektora głównego i momentu głównego układu sił dla dowolnego środka redukcji jest wartością stałą.

42. W jakim przypadku układ sił jest napędzany śrubą napędową? W przypadku, gdy główny wektor układu sił i jego główny moment względem środka redukcji nie są równe zeru i nie są do siebie prostopadłe, dany jest. układ sił można sprowadzić do śruby napędowej.

43. Równanie centralnej osi śrubowej:

44. M x - yR z + zR y = pR x ,
M y - zR x + xR z = pR y ,
M z - xR y + yR x = pR z

45. Moment pary sił jako wektor- wektor ten jest prostopadły do ​​płaszczyzny działania pary i skierowany w kierunku, z którego widoczny jest obrót pary w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W module moment wektorowy jest równy iloczynowi jednej z sił pary i ramienia pary. Moment wektorowy pary zjawisk. wektor swobodny i można go zastosować do dowolnego punktu ciała sztywnego.

46. ​​​​Zasada zwolnienia z więzów: Jeśli wiązania zostaną odrzucone, należy je zastąpić siłami reakcji wiązania.

47. Wielokąt linowy- Jest to konstrukcja grafostatyki, za pomocą której można wyznaczyć linię działania wypadkowego płaskiego układu sił, znaleźć reakcje podpór.

48. Jaki jest związek między liną a wielokątem mocy: Aby graficznie znaleźć nieznane siły w wielokącie sił, używamy dodatkowego punktu O (biegun), w wielokącie linowym znajdujemy wypadkową, przesuwając którą do wielokąta sił znajdujemy nieznane siły

49. Warunek równowagi układów par sił: Dla równowagi par sił działających na ciało stałe konieczne i wystarczające jest, aby moment równoważnych par sił był równy zeru. Wniosek: Aby zrównoważyć parę sił, konieczne jest zastosowanie pary równoważącej, tj. parę sił można zrównoważyć inną parą sił o równych modułach i momentach skierowanych przeciwnie.

Kinematyka

1. Wszystkie metody określania ruchu punktu:

naturalny sposób

koordynować

wektor promienia.

2. Jak znaleźć równanie trajektorii ruchu punktu wykorzystując metodę współrzędnych określenia jego ruchu? Aby otrzymać równanie trajektorii ruchu punktu materialnego, korzystając z metody współrzędnych wyznaczania, należy wyłączyć parametr t z zasad ruchu.

3. Przyspieszenie punktu we współrzędnych. sposób określenia ruchu:

2 kropki nad X

powyżej y 2 kropki

4. Przyspieszenie punktu metodą wektorową określania ruchu:

5. Przyspieszenie punktu metodą naturalną wyznaczania ruchu:

= = * +v* ; a= + ; * ; v* .

6. Ile wynosi przyspieszenie normalne i jak jest ono skierowane?– skierowane promieniście do środka,

To., dla równowagi dowolnego przestrzennego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby suma algebraiczna rzutów wszystkich tych sił na każdą z trzech dowolnie wybranych osi współrzędnych była równa zeru oraz aby suma algebraiczna ich momentów względem każda z tych osi jest również równa zeru.

Nazywa się warunki (1.33). warunki równowagi dowolnego przestrzennego układu sił w postaci analitycznej.

Warunki równowagi dla przestrzennego układu sił równoległych. Jeżeli linie działania wszystkich sił danego układu sił znajdują się w różnych płaszczyznach i są do siebie równoległe, wówczas taki układ sił nazywa się przestrzenny układ sił równoległych.

Wykorzystując warunki równowagi (1.33) dowolnego przestrzennego układu sił, można znaleźć warunki równowagi przestrzennego układu sił równoległych. (Warunki równowagi, które wcześniej wyprowadziliśmy dla płaskich i przestrzennych układów zbieżnych sił, dowolnego płaskiego układu sił i płaskiego układu sił równoległych, można również otrzymać, korzystając z warunków równowagi (1.33) dowolnego przestrzennego układu sił).

Niech na ciało stałe działa przestrzenny układ sił równoległych (rysunek 1.26). Ponieważ wybór osi współrzędnych jest dowolny, istnieje możliwość takiego doboru osi współrzędnych, aby oś z był równoległy do ​​sił. Przy takim wyborze osi współrzędnych rzuty każdej z sił na oś X I Na i ich momenty względem osi z będą równe zeru, a co za tym idzie równości , i są spełnione niezależnie od tego, czy dany układ sił znajduje się w równowadze, czy nie, a zatem przestają być warunkami równowagi. Zatem układ (1.33) da tylko trzy warunki równowagi:

Stąd, dla równowagi przestrzennego układu sił równoległych konieczne i wystarczające jest, aby suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś równoległą do tych sił była równa zero oraz aby suma algebraiczna ich momentów względem każdej z dwóch współrzędnych osie prostopadłe do tych sił również są równe zeru.

1. Wybierz ciało (lub punkt), którego równowagę należy uwzględnić w tym zadaniu.

2. Uwolnij wybrane ciało z wiązań i zobrazuj (uporządkuj) wszystkie siły czynne i siły reakcji odrzuconych wiązań działających na to ciało (i tylko na to ciało). Odrębnie należy przedstawić ciało wolne od połączeń, z przyłączonym do niego układem sił czynnych i reakcji.

3. Napisz równania równowagi. Aby sporządzić równania równowagi, należy najpierw wybrać osie współrzędnych. Wyboru tego można dokonać dowolnie, jednak powstałe równania równowagi będą łatwiej rozwiązane, jeśli jedna z osi będzie skierowana prostopadle do linii działania jakiejś nieznanej siły reakcji. Rozwiązanie powstałych równań równowagi należy z reguły przeprowadzić do końca w postaci ogólnej (algebraicznej). Następnie dla wymaganych wielkości otrzymane zostaną wzory, które pozwolą na analizę znalezionych wyników; wartości liczbowe znalezionych wielkości są podstawiane tylko do wzorów końcowych. Równania równowagi sporządza się stosując analityczną metodę rozwiązywania problemów równowagi układu zbieżnych sił. Jeśli jednak liczba zbieżnych sił, których równowaga jest brana pod uwagę, wynosi trzy, wówczas do rozwiązania tych problemów wygodnie jest zastosować metodę geometryczną. Rozwiązanie w tym przypadku sprowadza się do tego, że zamiast równań równowagi wszystkich działających sił (wiązania czynnego i reakcji) konstruowany jest trójkąt sił, który na podstawie geometrycznego warunku równowagi musi zostać domknięty (konstrukcja trójkąt ten powinien zaczynać się od danej siły). Rozwiązując trójkąt sił, znajdujemy wymagane ilości.

Dynamika

Aby zrozumieć sekcję dynamiki, musisz znać następujące informacje. Z matematyki - iloczyn skalarny dwóch wektorów, równania różniczkowe. Z fizyki – prawa zachowania energii i pędu. Teoria oscylacji. Zalecane jest zapoznanie się z tymi tematami.

Istnieją trzy typy równań równowagi dla płaskiego układu sił. Pierwszy, główny typ wynika bezpośrednio z warunków równowagi:

;

i jest napisane tak:

;
;
.

Z warunków równowagi można również otrzymać dwa inne typy równań równowagi:

;
;
,

gdzie jest linia AB nie prostopadle do osi X;

;
;
.

Zwrotnica A, B I C nie leżeć na tej samej linii prostej.

W przeciwieństwie do płaskiego układu sił, warunkami równowagi dla dowolnego przestrzennego układu sił są dwie równości wektorowe:

.

Jeśli rzutujemy te zależności na prostokątny układ współrzędnych, otrzymujemy równania równowagi przestrzennego układu sił:

Zadanie 1. Wyznaczanie reakcji podpór konstrukcji zespolonej (układ dwuciałowy)

Konstrukcja składa się z dwóch złamanych prętów ABC I CDE, połączone w jednym punkcie C stały zawias cylindryczny i przymocowany do stałej płaszczyzny xOj lub przy użyciu stałych zawiasów cylindrycznych (NSh ), lub ruchomy zawias cylindryczny (PSh) i sztywna uszczelka (ZhZ). Płaszczyzna toczenia ruchomego zawiasu cylindrycznego tworzy kąt  z osią Wół. Współrzędne punktu A,B,C,D I mi, oraz sposób mocowania konstrukcji podano w tabeli. 1. Konstrukcja obciążona jest równomiernie rozłożonym obciążeniem Q, prostopadle do obszaru jego zastosowania, przez parę sił z momentem M i dwie skoncentrowane siły I . Równomiernie rozłożone obciążenie przykładane jest w taki sposób, że jego wypadkowa ma tendencję do obracania konstrukcji wokół punktu O przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Obszary zastosowań Q I M, a także punkty zastosowania I , ich moduły i kierunki pokazano w tabeli. 2. Jednostki określonych wartości: Q– kiloniuton na metr (kN/m); M– kiloniutonometr (kNm); I – kiloniuton (kN);ipodawane są w stopniach, a współrzędne punktów w metrach. Kąty,ipowinny być odchylone od dodatniego kierunku osi Wół przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, jeśli są dodatnie, i zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jeśli są ujemne.

Wyznaczać reakcje połączeń zewnętrznych i wewnętrznych konstrukcji.

Instrukcja wykonania zadania

Na płaszczyźnie współrzędnych xOj zgodnie z warunkami opcji zadania (tabela 1) należy skonstruować punkty A,PNE,D,mi; narysuj połamane pręty ABC,CDE; wskazać metody mocowania tych ciał do siebie i do ustalonej płaszczyzny xOj. Następnie pobierając dane z tabeli. 2, obciążyć konstrukcję dwiema siłami skupionymi I , równomiernie rozłożone natężenie obciążenia Q oraz parę sił z momentem algebraicznym M. Ponieważ zadanie bada równowagę ciała złożonego, musisz skonstruować kolejny rysunek, przedstawiający na nim oddzielne ciała ABC I CDE. Zewnętrzne (punkty A,mi) i wewnętrzne (kropka Z) połączenia na obu rysunkach należy zastąpić odpowiednimi reakcjami, a równomiernie rozłożone obciążenie zastąpić wypadkową
(l– długość odcinka przyłożenia obciążenia), skierowanego w stronę obciążenia i przyłożonego do środka odcinka. Ponieważ rozważana konstrukcja składa się z dwóch ciał, aby znaleźć reakcje wiązań, należy ułożyć sześć równań równowagi. Istnieją trzy możliwości rozwiązania tego problemu:

a) ułożyć trzy równania równowagi dla ciała złożonego i trzy dla ciała ABC;

b) ułożyć trzy równania równowagi dla ciała złożonego i trzy dla ciała CDE;

c) ułożyć trzy równania równowagi ciał ABC I CDE.

Przykład

Dany:A (0;0,2);W (0,3:0,2);Z (0,3:0,3);D (0,7:0,4);mi (0,7:0);
kN/m,
kN, β = - 45˚ i
kN, γ = - 60˚,
kNm.

Definiować reakcje połączeń zewnętrznych i wewnętrznych konstrukcji.

Rozwiązanie. Rozłóżmy konstrukcję (ryc. 7, A) W punkcie Z na części składowe ABC I CDE(ryc. 7, B,V). Wymieńmy zawiasy A I B odpowiednie reakcje, których składniki pokazano na ryc. 7. W punkt C przedstawmy komponenty
- siły interakcji pomiędzy częściami konstrukcji, oraz .

Tabela 1

Opcje zadania 1

Tabela 2

Dane do zadania 1

Równomiernie rozłożone obciążenie intensywnością Q zastąpić wynik , kN:

Wektor tworzy się z dodatnim kierunkiem osi y kąt φ, który łatwo znaleźć ze współrzędnych punktów C I D (patrz rys. 7, A):

Do rozwiązania problemu posłużymy się pierwszym typem równań równowagi, pisząc je oddzielnie dla lewej i prawej części konstrukcji. Przy sporządzaniu równań momentów jako punkty momentów wybieramy punkty A– dla lewej i mi– dla prawej strony konstrukcji, co pozwoli na wspólne rozwiązanie tych dwóch równań i wyznaczenie niewiadomych
I .

Równania równowagi ciała ABC:

Wyobraźmy sobie tę siłę jako suma składników:
, Gdzie. Następnie równania równowagi ciała CDE można zapisać w postaci

.

Rozwiążmy razem równania momentów, najpierw podstawiając do nich znane wartości.

Rozważając to zgodnie z aksjomatem o równości sił akcji i reakcji
, z powstałego układu znajdujemy, kN:

Następnie z pozostałych równań równowagi ciał ABC I CDEłatwo jest określić reakcje połączeń wewnętrznych i zewnętrznych, kN:

Wyniki obliczeń prezentujemy w tabeli: