Skonstruuj okrąg opisany za pomocą kompasu. Konstrukcje z kompasami i linijką

Cele:

utrwalić pojęcia „koła” i „koła” wśród uczniów; wyprowadzić pojęcie „promień okręgu”; nauczyć się konstruować koła o zadanym promieniu; rozwijać umiejętność rozumowania i analizowania.

Osobisty UUD:
rozwijać pozytywne nastawienie do lekcji matematyki;
zainteresowanie przedmiotową działalnością badawczą;

Zadania metaprzedmiotowe

UUD regulacyjny:
zaakceptuj i zapisz zadanie edukacyjne;
we współpracy z nauczycielem i klasą znajdź kilka rozwiązań;

UUD poznawczy:
formułowanie i rozwiązywanie problemów:
samodzielnie identyfikuje i formułuje problem;
ogólne wykształcenie:
znajdź niezbędne informacje w podręczniku;
skonstruować okrąg o zadanym promieniu za pomocą kompasu;
łamigłówka:
tworzą pojęcie „promień”;
przeprowadzić klasyfikację, porównanie;
samodzielnie formułować wnioski;

UUD komunikacji:
aktywnie uczestniczyć w pracy zespołowej, wykorzystując środki werbalne;
argumentuj swój punkt widzenia;

Umiejętności przedmiotowe:
zidentyfikować zasadnicze cechy pojęć „promień koła”;
budować koła o różnych promieniach;
rozpoznawać promienie na rysunku.

Podczas zajęć

Motywacja do zajęć edukacyjnych

- Sprawdźmy czy wszyscy są gotowi na lekcję?

„Emocjonalne wejście na lekcję”:

Uśmiechaj się jak słońce.

Marszcz brwi jak chmury

Płacz jak deszcz

Bądź zaskoczony, jakbyś zobaczył tęczę

Teraz powtarzaj za mną

Gra „Przyjazne echo”

2.Aktualizacja wiedzy

Liczenie werbalne

a) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13

Rozwikłaj wzór. Kontynuuj rząd.

Odpowiedź: 20, 48,30,46,40,44 50,42

b) Rozwiąż problem:

1. Pierwszego dnia sklep sprzedał 42 kg owoców, drugiego dnia o 2 kg więcej. Ile kilogramów sprzedano drugiego dnia?

Co należy zmienić, aby problem można było rozwiązać w 2 krokach.

Kulki - 16 szt.

Skakanka – 28 szt.

Znajdź rozwiązanie tego problemu.

28-16 28+16

Zmień pytanie tak, aby problem został rozwiązany poprzez odejmowanie.

3. Ustalenie zadania edukacyjnego

1. Nazwij kształty geometryczne

Owalna kula o obwodzie koła

Która liczba jest nieparzysta?

Co łączy te liczby? (Krąg, okrąg, kula mają ten sam kształt)

Jaka jest różnica?

2. B

Które punkty należą do okręgu? Jakie punkty znajdują się na zewnątrz okręgu?

Co oznacza punkt O? (środek okręgu)

Jak nazywa się segment OB?

Ile promieni można narysować w okręgu?

Który odcinek nie jest promieniem? Dlaczego?

Co można stwierdzić?

Wniosek: wszystkie promienie mają tę samą długość .

3. Ile kół jest na obrazku?

Czym różnią się kręgi? (rozmiar)

Co decyduje o wielkości koła?

Co można stwierdzić?

Wniosek: im większy okrąg, tym większy jego promień.

Ustal temat lekcji.

Temat: Konstruowanie okręgu o zadanym promieniu za pomocą kompasu.

Jakie zadania możemy sobie postawić na tę lekcję?

4. Pracuj nad tematem

a) Konstruowanie koła.

Co trzeba wiedzieć, aby narysować okrąg o określonej wielkości?

Narysuj okrąg o promieniu 3 cm.

b) Przygotowanie do działań projektowych

1) Spójrz na zdjęcie

Z jakich kształtów składa się motyl? Koła o tym samym promieniu?

2) Pracujcie w parach.

Przywróć kolejność etapów projektu.

Prezentacja projektu lub demonstracja

Koncepcja (zrób szkic)

Zbuduj figury, aby wdrożyć plan

Zastanów się, jaki promień powinny mieć kształty

c) Praca nad projektem.

Pracuj w grupach według opracowanego algorytmu

Ta lekcja poświęcona jest nauce obwodu i koła. Nauczyciel nauczy Cię również rozróżniać linie zamknięte i otwarte. Zapoznasz się z podstawowymi właściwościami okręgu: środkiem, promieniem i średnicą. Poznaj ich definicje. Naucz się określać promień, jeśli znana jest średnica, i odwrotnie.

Jeśli wypełnisz przestrzeń wewnątrz okręgu, na przykład narysujesz okrąg za pomocą kompasu na papierze lub tekturze i wytniesz go, otrzymasz okrąg (ryc. 10).

Ryż. 10. Koło

Koło- jest to część płaszczyzny ograniczona okręgiem.

Stan : schorzenie: Vitya Verkhoglyadkin narysował w swoim okręgu 11 średnic (ryc. 11). A kiedy ponownie obliczył promienie, otrzymał 21. Czy dobrze policzył?

Ryż. 11. Ilustracja problemu

Rozwiązanie: Promieni powinno być dwa razy więcej niż średnic, zatem:

Vitya źle policzył.

Bibliografia

1. Matematyka. 3. klasa. Podręcznik dla edukacji ogólnej instytucje z przym. na elektron przewoźnik. Po 2 godzinach Część 1 / [M.I. Moreau, MA Bantova, G.V. Beltyukova i inni] – wyd. 2. - M.: Edukacja, 2012. - 112 s.: il. - (Szkoła Rosji).
2. Rudnitskaya V.N., Yudacheva T.V. Matematyka, klasa 3. - M.: VENTANA-COUNT.
3. Peterson L.G. Matematyka, klasa 3. - M.: Yuventa.

1. Mojaprezentacja.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. School-asystent.ru ().

Praca domowa

1. Matematyka. 3. klasa. Podręcznik dla edukacji ogólnej instytucje z przym. na elektron przewoźnik. Po 2 godzinach Część 1 / [M.I. Moreau, MA Bantova, G.V. Beltyukova i inni] – wyd. 2. - M.: Edukacja, 2012r., art. 94 nr 1, art. 95 nr 3.

2. Rozwiąż zagadkę.

Mój brat i ja mieszkamy razem,

Świetnie się razem bawimy

Na prześcieradle kładziemy kubek (ryc. 12),

Prześledźmy to ołówkiem.

Mamy to, czego potrzebowaliśmy -

To jest nazwane...

3. Należy określić średnicę okręgu, jeśli wiadomo, że promień wynosi 5 m.

4. * Za pomocą kompasu narysuj dwa koła o promieniach: a) 2 cm i 5 cm; b) 10 mm i 15 mm.

W zadaniach konstrukcyjnych kompas i linijka są uważane za idealne narzędzia, w szczególności linijka nie ma podziałów i ma tylko jeden bok o nieskończonej długości, a kompas może mieć dowolnie duży lub dowolnie mały otwór.

Dopuszczalne konstrukcje. W zadaniach konstrukcyjnych dozwolone są następujące operacje:

1. Zaznacz punkt:

• dowolny punkt płaszczyzny;
• dowolny punkt na danej linii;
• dowolny punkt na danym okręgu;
• punkt przecięcia dwóch danych linii;
• punkty przecięcia/styczności danej linii z danym okręgiem;
• punkty przecięcia/styczności dwóch danych okręgów.

2. Za pomocą linijki możesz narysować linię prostą:

• dowolna linia prosta na płaszczyźnie;
• dowolna linia prosta przechodząca przez dany punkt;
• prostą przechodzącą przez dwa dane punkty.

3. Za pomocą kompasu możesz skonstruować okrąg:

• dowolny okrąg na płaszczyźnie;
• dowolny okrąg ze środkiem w danym punkcie;
• dowolny okrąg o promieniu równym odległości między dwoma danymi punktami;
• okrąg o środku w danym punkcie i promieniu równym odległości między dwoma danymi punktami.

Rozwiązywanie problemów konstrukcyjnych. Rozwiązanie problemu konstrukcyjnego składa się z trzech zasadniczych części:

1. Opis sposobu konstrukcji wymaganego obiektu.
2. Dowód na to, że obiekt skonstruowany w opisany sposób jest rzeczywiście obiektem pożądanym.
3. Analiza opisanej metody konstrukcji pod kątem jej przydatności dla różnych wersji warunków początkowych oraz jednoznaczności lub niejednoznaczności rozwiązania uzyskanego opisaną metodą.

Konstruowanie odcinka równego podanemu. Niech będzie dany półprosty mający początek w punkcie $O$ i odcinek $AB$. Aby skonstruować odcinek $OP = AB$ na półprostej, należy skonstruować okrąg o środku w punkcie $O$ o promieniu $AB$. Punkt przecięcia półprostej z okręgiem będzie wymaganym punktem $P$.

Konstruowanie kąta równego danemu. Niech zostanie dany półprosty mający początek w punkcie $O$ i kącie $ABC$. Mając środek w punkcie $B$, konstruujemy okrąg o dowolnym promieniu $r$. Oznaczmy punkty przecięcia okręgu z promieniami $BA$ i $BC$ odpowiednio jako $A"$ i $C"$.

Skonstruujmy okrąg o środku w punkcie $O$ o promieniu $r$. Oznaczmy punkt przecięcia okręgu z półprostą jako $P$. Skonstruujmy okrąg o środku w punkcie $P$ o promieniu $A"B"$. Punkt przecięcia okręgów oznaczamy jako $Q$. Narysujmy promień $OQ$.

Otrzymujemy kąt $POQ$ równy kątowi $ABC$, ponieważ trójkąty $POQ$ i $ABC$ są równe z trzech stron.

Konstruowanie dwusiecznej prostopadłej do odcinka. Skonstruujmy dwa przecinające się okręgi o dowolnym promieniu, których środki znajdują się na końcach odcinka. Łącząc dwa punkty ich przecięcia, otrzymujemy dwusieczną prostopadłą.

Konstruowanie dwusiecznej kąta. Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu ze środkiem w wierzchołku narożnika. Skonstruujmy dwa przecinające się okręgi o dowolnym promieniu, których środki znajdują się w punktach przecięcia pierwszego okręgu z bokami kąta. Łącząc wierzchołek kąta z dowolnym punktem przecięcia tych dwóch okręgów, otrzymujemy dwusieczną kąta.

Konstruowanie sumy dwóch odcinków. Aby skonstruować na danej półprostej odcinek równy sumie dwóch danych odcinków, należy zastosować dwukrotnie metodę konstruowania odcinka równego danemu.

Konstruowanie sumy dwóch kątów. Aby z danego promienia wykreślić kąt równy sumie dwóch danych kątów, należy zastosować dwukrotnie metodę konstruowania kąta równego podanemu.

Znalezienie środka odcinka. Aby wyznaczyć środek danego odcinka należy skonstruować dwusieczną prostopadłą do odcinka i zaznaczyć punkt przecięcia prostopadłej z samym odcinkiem.

Konstruowanie prostej prostopadłej przechodzącej przez dany punkt. Niech będzie wymagane zbudowanie prostej prostopadłej do danego punktu i przechodzącej przez dany punkt. Rysujemy okrąg o dowolnym promieniu, którego środek znajduje się w danym punkcie (niezależnie od tego, czy leży na prostej, czy nie), przecinając tę ​​prostą w dwóch punktach. Konstruujemy dwusieczną prostopadłą do odcinka, której końce znajdują się w punktach przecięcia okręgu i prostej. Będzie to pożądana linia prostopadła.

Konstruowanie prostej równoległej przechodzącej przez dany punkt. Niech będzie wymagane zbudowanie prostej równoległej do danego punktu i przechodzącej przez dany punkt poza tą linią. Konstruujemy prostą przechodzącą przez dany punkt i prostopadłą do danej prostej. Następnie konstruujemy linię prostą przechodzącą przez ten punkt, prostopadłą do zbudowanej prostopadłej. Powstała linia prosta będzie wymagana.

Podczas produkcji lub obróbki części drewnianych w niektórych przypadkach konieczne jest określenie, gdzie znajduje się ich środek geometryczny. Jeśli część ma kształt kwadratowy lub prostokątny, nie jest to trudne. Wystarczy połączyć przeciwległe rogi przekątnymi, które przetną się dokładnie w środku naszej figury.
W przypadku produktów w kształcie koła to rozwiązanie nie będzie działać, ponieważ nie mają narożników, a zatem nie mają przekątnych. W tym przypadku potrzebne jest inne podejście, oparte na innych zasadach.

I istnieją, i to w licznych odmianach. Niektóre z nich są dość skomplikowane i wymagają kilku narzędzi, inne są łatwe do wdrożenia i nie wymagają całego zestawu urządzeń.
Teraz przyjrzymy się jednemu z najprostszych sposobów znalezienia środka koła za pomocą zwykłej linijki i ołówka.

Kolejność znajdowania środka okręgu:

Zdanie wyjaśniające znaczenie określonego wyrażenia lub nazwy nazywa się definicja. Spotkaliśmy się już z definicjami, np. definicją kąta, kątów przyległych, trójkąta równoramiennego itp. Podajmy definicję innej figury geometrycznej - koła.

Definicja

Ten punkt nazywa się środek okręgu, a odcinek łączący środek z dowolnym punktem na okręgu to promień okręgu(ryc. 77). Z definicji okręgu wynika, że ​​wszystkie promienie mają tę samą długość.

Ryż. 77

Odcinek łączący dwa punkty na okręgu nazywa się jego cięciwą. Akord przechodzący przez środek okręgu nazywa się jego średnica.

Na rysunku 78 odcinki AB i EF to cięciwy okręgu, a odcinek CD to średnica okręgu. Wiadomo, że średnica koła jest dwa razy większa od jego promienia. Środek okręgu jest środkiem dowolnej średnicy.

Ryż. 78

Dowolne dwa punkty na okręgu dzielą go na dwie części. Każda z tych części nazywana jest łukiem koła. Na rysunku 79 ALB i AMB to łuki ograniczone punktami A i B.

Ryż. 79

Aby przedstawić okrąg na rysunku, użyj kompas(ryc. 80).

Ryż. 80

Aby narysować okrąg na ziemi, możesz użyć liny (ryc. 81).

Ryż. 81

Część płaszczyzny ograniczona okręgiem nazywa się okręgiem (ryc. 82).

Ryż. 82

Konstrukcje z kompasami i linijką

Zajmowaliśmy się już konstrukcjami geometrycznymi: rysowaliśmy linie proste, kreśliliśmy odcinki równe danym, rysowaliśmy kąty, trójkąty i inne figury. Jednocześnie posługiwaliśmy się linijką, kompasem, kątomierzem i kwadratem rysunkowym.

Okazuje się, że wiele konstrukcji można wykonać posługując się jedynie kompasem i linijką, bez podziałek skali. Dlatego w geometrii wyróżnia się szczególnie te zadania konstrukcyjne, które można rozwiązać za pomocą tylko tych dwóch narzędzi.

Co można z nimi zrobić? Oczywiste jest, że linijka pozwala narysować dowolną linię prostą, a także skonstruować linię prostą przechodzącą przez dwa dane punkty. Za pomocą kompasu można narysować okrąg o dowolnym promieniu, a także okrąg o środku w danym punkcie i promieniu równym danemu segmentowi. Wykonując te proste operacje, możemy rozwiązać wiele ciekawych problemów konstrukcyjnych:

skonstruuj kąt równy podanemu;
przez dany punkt poprowadzić linię prostopadłą do danej linii;
podziel ten segment na pół i inne zadania.

Zacznijmy od prostego zadania.

Zadanie

Na danej promieniu od początku narysuj odcinek równy danemu.

Rozwiązanie

Przedstawmy liczby podane w opisie problemu: promień OS i odcinek AB (ryc. 83, a). Następnie za pomocą kompasu konstruujemy okrąg o promieniu AB ze środkiem O (ryc. 83, b). Okrąg ten przetnie promień OS w pewnym punkcie D. Wymagany jest odcinek OD.

Ryż. 83

Przykłady problemów konstrukcyjnych

Konstruowanie kąta równego danemu

Zadanie

Odejmij od danego promienia kąt równy danemu.

Rozwiązanie

Kąt ten z wierzchołkiem A i półprostą OM pokazano na rysunku 84. Należy skonstruować kąt równy kątowi A, tak aby jeden z jego boków pokrywał się z półprostą OM.

Ryż. 84

Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu, którego środek znajduje się w wierzchołku A o zadanym kącie. Okrąg ten przecina boki kąta w punktach B i C (ryc. 85, a). Następnie rysujemy okrąg o tym samym promieniu, którego środek znajduje się w początku tego promienia OM. Przecina belkę w punkcie D (ryc. 85, b). Następnie skonstruujemy okrąg o środku D, którego promień jest równy BC. Okręgi o środkach O i D przecinają się w dwóch punktach. Oznaczmy jeden z tych punktów literą E. Udowodnijmy, że kąt MOE jest kątem pożądanym.

Ryż. 85

Rozważmy trójkąty ABC i ODE. Odcinki AB i AC są promieniami okręgu o środku A, a segmenty OD i OE są promieniami okręgu o środku O (patrz ryc. 85, b). Ponieważ z założenia te okręgi mają równe promienie, wówczas AB = OD, AC = OE. Również według konstrukcji BC = DE.

Dlatego Δ ABC = Δ ODE z trzech stron. Zatem ∠DOE = ∠BAC, czyli skonstruowany kąt MOE jest równy danemu kątowi A.

Tę samą konstrukcję można wykonać na ziemi, jeśli zamiast kompasu użyjesz liny.

Konstruowanie dwusiecznej kąta

Zadanie

Skonstruuj dwusieczną podanego kąta.

Rozwiązanie

Kąt BAC pokazano na rysunku 86. Narysujmy okrąg o dowolnym promieniu ze środkiem w wierzchołku A. Będzie on przecinał boki kąta w punktach B i C.

Ryż. 86

Następnie rysujemy dwa okręgi o tym samym promieniu BC, których środki znajdują się w punktach B i C (na rysunku pokazano tylko części tych okręgów). Przetną się w dwóch punktach, z których przynajmniej jeden leży w narożniku. Oznaczmy go literą E. Udowodnijmy, że promień AE jest dwusieczną danego kąta BAC.

Rozważmy trójkąty ACE i ABE. Są równi z trzech stron. Rzeczywiście, AE jest stroną ogólną; AC i AB są równe promieniom tego samego okręgu; CE = BE ze względu na konstrukcję.

Z równości trójkątów ACE i ABE wynika, że ​​∠CAE = ∠BAE, czyli półprosta AE jest dwusieczną danego kąta BAC.

Komentarz

Czy można podzielić dany kąt na dwa równe kąty za pomocą kompasu i linijki? Oczywiste jest, że jest to możliwe - aby to zrobić, musisz narysować dwusieczną tego kąta.

Kąt ten można również podzielić na cztery równe kąty. Aby to zrobić, musisz podzielić go na pół, a następnie ponownie podzielić każdą połowę na pół.

Czy można podzielić dany kąt na trzy równe kąty za pomocą kompasu i linijki? To zadanie, tzw problemy z trisekcją kąta, od wieków przyciąga uwagę matematyków. Dopiero w XIX wieku udowodniono, że taka konstrukcja jest niemożliwa dla dowolnego kąta.

Konstrukcja prostych prostopadłych

Zadanie

Dana jest prosta i punkt na niej. Skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt i prostopadłą do danej prostej.

Rozwiązanie

Daną prostą a i dany punkt M należący do tej prostej pokazano na rysunku 87.

Ryż. 87

Na promieniach prostej a wychodzącej z punktu M nakreślamy równe odcinki MA i MB. Następnie konstruujemy dwa koła o środkach A i B o promieniu AB. Przecinają się w dwóch punktach: P i Q.

Poprowadźmy prostą przez punkt M i jeden z tych punktów, np. prostą MR (patrz rys. 87), i udowodnijmy, że ta prosta jest linią pożądaną, tj. jest prostopadła do danej prostej a .

W rzeczywistości, ponieważ mediana PM trójkąta równoramiennego RAB jest również wysokością, to PM ⊥ a.

Konstruowanie środka odcinka

Zadanie

Skonstruuj środek tego odcinka.

Rozwiązanie

Niech AB będzie danym odcinkiem. Skonstruujmy dwa koła o środkach A i B o promieniu AB. Przecinają się w punktach P i Q. Narysujmy linię prostą PQ. Punkt O przecięcia tej prostej z odcinkiem AB jest pożądanym środkiem odcinka AB.

W rzeczywistości trójkąty APQ i BPQ są równe z trzech stron, zatem ∠1 =∠2 (ryc. 89).

Ryż. 89

W konsekwencji odcinek PO jest dwusieczną trójkąta równoramiennego ARB, a zatem mediana, czyli punkt O jest środkiem odcinka AB.

Zadania

143. Które z odcinków pokazanych na rysunku 90 to: a) cięciwy okręgu; b) średnice okręgu; c) promienie okręgu?

Ryż. 90

144. Odcinki AB i CD to średnice okręgu. Udowodnić, że: a) akordy BD i AC są równe; b) akordy AD i BC są równe; c) ∠BAD = ∠BCD.

145. Odcinek MK to średnica okręgu o środku O, a MR i RK to równe cięciwy tego okręgu. Znajdź ∠POM.

146. Odcinki AB i CD to średnice okręgu o środku O. Znajdź obwód trójkąta AOD, jeśli wiadomo, że CB = 13 cm, AB = 16 cm.

147. Na okręgu o środku O zaznaczono punkty A i B w taki sposób, aby kąt AOB był kątem prostym. Odcinek BC to średnica okręgu. Udowodnić, że akordy AB i AC są równe.

148. Na prostej podane są dwa punkty A i B. Na kontynuacji półprostej BA A odłóż odcinek BC tak, aby BC = 2AB.

149. Biorąc pod uwagę prostą a, punkt B, który na niej nie leży, oraz odcinek PQ. Skonstruuj punkt M na prostej a tak, że BM = PQ. Czy problem zawsze ma rozwiązanie?

150. Dany okrąg, punkt A, który na nim nie leży, oraz odcinek PQ. Skonstruuj punkt M na okręgu tak, że AM = PQ. Czy problem zawsze ma rozwiązanie?

151. Biorąc pod uwagę kąt ostry BAC i półprostą XY. Skonstruuj kąt YXZ tak, aby ∠YXZ = 2∠BAC.

152. Dany jest kąt rozwarty AOB. Skonstruuj półprostą OX tak, aby kąty HOA i HOB były równe kątom rozwartym.

153. Biorąc pod uwagę prostą a i punkt M, który na niej nie leży. Skonstruuj prostą przechodzącą przez punkt M i prostopadłą do prostej a.

Rozwiązanie

Skonstruujmy okrąg o środku w danym punkcie M, przecinający daną prostą a w dwóch punktach, które oznaczamy literami A i B (ryc. 91). Następnie skonstruujemy dwa okręgi o środkach A i B przechodzących przez punkt M. Okręgi te przecinają się w punkcie M i w innym punkcie, który oznaczymy literą N. Narysujmy prostą MN i udowodnijmy, że ta prosta jest pożądaną jeden, czyli jest prostopadła do prostej a.

Ryż. 91

W rzeczywistości trójkąty AMN i BMN są równe z trzech stron, więc ∠1 = ∠2. Wynika z tego, że odcinek MC (C jest punktem przecięcia prostych a i MN) jest dwusieczną trójkąta równoramiennego AMB, a zatem jego wysokością. Zatem MN ⊥ AB, czyli MN ⊥ a.

154. Biorąc pod uwagę trójkąt ABC. Konstrukcja: a) dwusieczna AK; b) mediana VM; c) wysokość CH trójkąta. 155. Za pomocą kompasu i linijki skonstruuj kąt równy: a) 45°; b) 22°30".

Odpowiedzi na problemy

152. Instrukcja. Najpierw skonstruuj dwusieczną kąta AOB.