Wyznaczanie zmian pędu ciała. Co to jest impuls ciała

Podstawowe wielkości dynamiczne: siła, masa, impuls ciała, moment siły, moment pędu.

Siła jest wielkością wektorową, która jest miarą działania innych ciał lub pól na dane ciało.

Siłę charakteryzuje:

· Moduł

Kierunek

Punkt zastosowania

W układzie SI siłę mierzy się w niutonach.

Aby zrozumieć, czym jest siła jednego Newtona, należy pamiętać, że siła przyłożona do ciała zmienia jego prędkość. Dodatkowo pamiętajmy o bezwładności ciał, która jak pamiętamy jest związana z ich masą. Więc,

Jeden niuton to siła, która w ciągu sekundy zmienia prędkość ciała o masie 1 kg o 1 m/s.

Przykładowe siły obejmują:

· Powaga– siła działająca na ciało w wyniku oddziaływania grawitacyjnego.

· Siła sprężystości- siła, z jaką ciało opiera się obciążeniu zewnętrznemu. Jego przyczyną jest oddziaływanie elektromagnetyczne cząsteczek ciała.

· Siła Archimedesa- siła związana z wyparciem przez ciało określonej objętości cieczy lub gazu.

· Siła reakcji podłoża- siła, z jaką podpora działa na znajdujący się na niej korpus.

· Siła tarcia– siła oporu ruchu względnego stykających się powierzchni ciał.

· Napięcie powierzchniowe to siła występująca na styku dwóch ośrodków.

· Masy ciała- siła, z jaką nadwozie działa na poziomą podporę lub zawieszenie pionowe.

I inne siły.

Siłę mierzy się za pomocą specjalnego urządzenia. Urządzenie to nazywa się dynamometrem (ryc. 1). Hamownia składa się ze sprężyny 1, której rozciągnięcie pokazuje nam siłę, strzałki 2 przesuwającej się po skali 3, ogranicznika 4, który zapobiega nadmiernemu naciągnięciu sprężyny oraz haka 5, na którym zawieszony jest ładunek.

Ryż. 1. Dynamometr (źródło)

Na ciało może działać wiele sił. Aby poprawnie opisać ruch ciała, wygodnie jest posłużyć się pojęciem sił wypadkowych.

Siła wypadkowa to siła, której działanie zastępuje działanie wszystkich sił przyłożonych do ciała (rys. 2).

Znając zasady pracy z wielkościami wektorowymi, łatwo zgadnąć, że wypadkowa wszystkich sił przyłożonych do ciała jest sumą wektorową tych sił.

Ryż. 2. Wypadkowa dwóch sił działających na ciało

Ponadto, ponieważ rozważamy ruch ciała w jakimś układzie współrzędnych, zwykle korzystne jest dla nas rozważenie nie samej siły, ale jej rzutu na oś. Rzut siły na oś może być ujemny lub dodatni, ponieważ rzut jest wielkością skalarną. Zatem na rysunku 3 pokazano rzuty sił, rzut siły jest ujemny, a rzut siły jest dodatni.

Ryż. 3. Rzuty sił na oś

Dzięki tej lekcji pogłębiliśmy nasze zrozumienie pojęcia siły. Przypomnieliśmy sobie jednostki miary siły i urządzenie, za pomocą którego mierzy się siłę. Ponadto sprawdziliśmy, jakie siły istnieją w przyrodzie. Wreszcie nauczyliśmy się, jak postępować, gdy na ciało działa kilka sił.

Waga, wielkość fizyczna, jedna z głównych cech materii, określająca jej właściwości inercyjne i grawitacyjne. W związku z tym rozróżnia się masę bezwładnościową i masę grawitacyjną (ciężką, grawitującą).

Pojęcie masy wprowadził do mechaniki I. Newton. W klasycznej mechanice Newtona masa jest zawarta w definicji pędu (wielkości ruchu) ciała: pęd R proporcjonalna do prędkości ciała w, p = mv(1). Współczynnik proporcjonalności jest wartością stałą dla danego ciała M- i jest masą ciała. Równoważną definicję masy uzyskuje się z równania ruchu mechaniki klasycznej f = mam(2). Tutaj Masa jest współczynnikiem proporcjonalności siły działającej na ciało F i wywołane przez to przyspieszenie ciała A. Masę określoną zależnościami (1) i (2) nazywa się masą bezwładnościową lub masą bezwładną; charakteryzuje właściwości dynamiczne ciała, jest miarą bezwładności ciała: przy stałej sile, im większa masa ciała, tym mniejsze uzyskuje ono przyspieszenie, czyli im wolniej zmienia się stan jego ruchu (tj. większa jego bezwładność).

Działając na różne ciała z tą samą siłą i mierząc ich przyspieszenia, możemy określić zależność pomiędzy masami tych ciał: m 1: m 2: m 3 ... = za 1: za 2: za 3 ...; jeśli za jednostkę miary przyjmie się jedną z mas, można znaleźć masę pozostałych ciał.

W teorii grawitacji Newtona masa występuje w innej postaci – jako źródło pola grawitacyjnego. Każde ciało wytwarza pole grawitacyjne proporcjonalne do masy ciała (i podlega wpływowi pola grawitacyjnego wytwarzanego przez inne ciała, którego siła jest również proporcjonalna do masy ciał). Pole to powoduje przyciąganie do tego ciała dowolnego innego ciała z siłą określoną przez prawo grawitacji Newtona:

(3)

Gdzie R- odległość między ciałami, G jest uniwersalną stałą grawitacji, a m 1 I m 2- Masy przyciągających się ciał. Ze wzoru (3) łatwo jest otrzymać wzór na waga R masa ciała M w polu grawitacyjnym Ziemi: P = mg (4).

Tutaj g = G*M/r 2- przyspieszenie swobodnego spadania w polu grawitacyjnym Ziemi oraz R » R- promień Ziemi. Masę wyznaczoną zależnościami (3) i (4) nazywamy masą grawitacyjną ciała.

W zasadzie znikąd nie wynika, że Masa tworząca pole grawitacyjne wyznacza także bezwładność tego samego ciała. Jednakże doświadczenie pokazało, że masa bezwładności i masa grawitacyjna są do siebie proporcjonalne (a przy zwykłym wyborze jednostek miary są liczbowo równe). To podstawowe prawo natury nazywa się zasadą równoważności. Jego odkrycie wiąże się z nazwiskiem G. Galileo, który ustalił, że wszystkie ciała na Ziemi spadają z tym samym przyspieszeniem. A. Einstein umieścił tę (sformułowaną przez siebie po raz pierwszy) zasadę na podstawie ogólnej teorii względności. Zasada równoważności została ustalona eksperymentalnie z bardzo dużą dokładnością. Po raz pierwszy (1890-1906) precyzyjny test równości mas inercyjnych i grawitacyjnych przeprowadził L. Eotvos, który stwierdził, że masy pokrywają się z błędem ~ 10 -8. W latach 1959–64 amerykańscy fizycy R. Dicke, R. Krotkov i P. Roll zmniejszyli błąd do 10–11, aw 1971 r. Radzieccy fizycy V.B. Braginsky i V.I. Panov – do 10–12.

Zasada równoważności pozwala w najbardziej naturalny sposób określić masę ciała poprzez ważenie.

Początkowo masę uważano (na przykład przez Newtona) za miarę ilości materii. Definicja ta ma jasne znaczenie jedynie przy porównywaniu ciał jednorodnych zbudowanych z tego samego materiału. Podkreśla addytywność masy – masa ciała jest równa sumie mas jego części. Masa ciała jednorodnego jest proporcjonalna do jego objętości, dlatego możemy wprowadzić pojęcie gęstości - Masa jednostkowej objętości ciała.

W fizyce klasycznej uważano, że masa ciała nie zmienia się w żadnym procesie. Odpowiadało to prawu zachowania masy (materii), odkrytemu przez M.V. Łomonosowa i A.L. Lavoisiera. W szczególności prawo to stanowiło, że w każdej reakcji chemicznej suma mas składników początkowych jest równa sumie mas składników końcowych.

Pojęcie masy nabrało głębszego znaczenia w mechanice szczególnej teorii względności A. Einsteina, która uwzględnia ruch ciał (lub cząstek) z bardzo dużymi prędkościami - porównywalnymi do prędkości światła wynoszącej ~ 3 10 10 cm/s. W nowej mechanice – zwanej mechaniką relatywistyczną – związek pędu i prędkości cząstki wyraża się zależnością:

(5)

Przy małych prędkościach ( w << C) relacja ta przechodzi w relację Newtona p = mv. Dlatego wartość m 0 nazywa się masą spoczynkową, a masą poruszającej się cząstki M definiuje się jako współczynnik proporcjonalności zależnej od prędkości pomiędzy P I w:

(6)

Mając na uwadze zwłaszcza ten wzór, mówią, że masa cząstki (ciała) rośnie wraz ze wzrostem jej prędkości. Projektując akceleratory cząstek o dużej energii naładowanej, należy uwzględnić taki relatywistyczny wzrost masy cząstki wraz ze wzrostem jej prędkości. Masa spoczynkowa m 0(Masa w układzie odniesienia związanym z cząstką) jest najważniejszą wewnętrzną cechą cząstki. Wszystkie cząstki elementarne mają ściśle określone znaczenia m 0, charakterystyczne dla danego rodzaju cząstki.

Należy zaznaczyć, że w mechanice relatywistycznej definicja Masy z równania ruchu (2) nie jest równoznaczna z definicją Masy jako współczynnika proporcjonalności pędu do prędkości cząstki, gdyż przyspieszenie przestaje być równolegle do siły, która ją spowodowała, a masa okazuje się zależeć od kierunku prędkości cząstki.

Zgodnie z teorią względności Masa cząsteczkowa M podłączony do jej energii mi stosunek:

(7)

Masa spoczynkowa określa energię wewnętrzną cząstki – tzw. energię spoczynkową mi 0 = m 0 s 2. Zatem energia jest zawsze kojarzona z masą (i odwrotnie). Nie ma zatem odrębnego prawa (jak w fizyce klasycznej) zachowania masy i prawa zachowania energii - łączą się one w jedno prawo zachowania energii całkowitej (tj. uwzględniającej energię spoczynkową cząstek). Przybliżony podział na prawo zachowania energii i prawo zachowania masy jest możliwy tylko w fizyce klasycznej, gdy prędkości cząstek są małe ( w << C) i nie zachodzą procesy transformacji cząstek.

W mechanice relatywistycznej masa nie jest addytywną cechą ciała. Kiedy dwie cząstki łączą się, tworząc jeden złożony stan stabilny, uwalniany jest nadmiar energii (równy energii wiązania) D mi, co odpowiada masie D m = D E/s 2. Zatem masa cząstki złożonej jest mniejsza od sumy mas tworzących ją cząstek o ilość D E/s 2(tzw. defekt masy). Efekt ten jest szczególnie wyraźny w reakcjach jądrowych. Na przykład masa deuteronu ( D) jest mniejsza niż suma mas protonów ( P) i neutron ( N); wada Masa D M związany z energią Np kwant gamma ( G), urodzony podczas tworzenia deuteronu: p + n -> re + g, Np. g = Dmc 2. Wada masy występująca podczas formowania się cząstki złożonej odzwierciedla organiczne połączenie pomiędzy masą i energią.

Jednostką masy w układzie miar CGS jest gram, i w Międzynarodowy układ jednostek SI - kilogram. Masę atomów i cząsteczek mierzy się zwykle w jednostkach masy atomowej. Masę cząstek elementarnych wyraża się zwykle w jednostkach masy elektronu Ja lub w jednostkach energii, wskazując energię spoczynkową odpowiedniej cząstki. Zatem masa elektronu wynosi 0,511 MeV, masa protonu wynosi 1836,1 Ja lub 938,2 MeV itp.

Natura masy jest jednym z najważniejszych nierozwiązanych problemów współczesnej fizyki. Powszechnie przyjmuje się, że o masie cząstki elementarnej decydują pola z nią związane (elektromagnetyczne, jądrowe i inne). Jednak ilościowa teoria masy nie została jeszcze stworzona. Nie ma też teorii wyjaśniającej, dlaczego masa cząstek elementarnych tworzy dyskretne widmo wartości, a tym bardziej nie pozwala na wyznaczenie tego widma.

W astrofizyce masa ciała tworząca pole grawitacyjne wyznacza tzw. promień grawitacyjny ciała R gr = 2GM/s 2. Ze względu na przyciąganie grawitacyjne żadne promieniowanie, w tym światło, nie może wydostać się poza powierzchnię ciała o promieniu R=< R гр . Gwiazdy tej wielkości będą niewidoczne; Dlatego nazwano je „czarnymi dziurami”. Takie ciała niebieskie muszą odgrywać ważną rolę we Wszechświecie.

Impuls siły. Impuls ciała

Pojęcie pędu zostało wprowadzone w pierwszej połowie XVII wieku przez Rene Descartesa, a następnie udoskonalone przez Izaaka Newtona. Według Newtona, który pęd nazwał wielkością ruchu, jest to jego miara, proporcjonalna do prędkości ciała i jego masy. Nowoczesna definicja: Pęd ciała jest wielkością fizyczną równą iloczynowi masy ciała i jego prędkości:

Przede wszystkim z powyższego wzoru wynika, że impuls jest wielkością wektorową i jego kierunek pokrywa się z kierunkiem prędkości ciała, a jednostką miary impulsu jest:

= [kg·m/s]

Zastanówmy się, jak ta wielkość fizyczna jest powiązana z prawami ruchu. Zapiszmy drugie prawo Newtona, biorąc pod uwagę, że przyspieszenie to zmiana prędkości w czasie:

Istnieje związek pomiędzy siłą działającą na ciało, a dokładniej siłą wypadkową, a zmianą jego pędu. Wielkość iloczynu siły i okresu czasu nazywa się impulsem siły. Z powyższego wzoru jasno wynika, że zmiana pędu ciała jest równa impulsowi siły.

Jakie efekty można opisać za pomocą tego równania (rys. 1)?

Ryż. 1. Związek między impulsem siły a impulsem ciała (Źródło)

Strzała wystrzelona z łuku. Im dłużej trwa kontakt cięciwy ze strzałą (∆t), tym większa jest zmiana pędu strzały (∆), a co za tym idzie, tym większa jest jej prędkość końcowa.

Dwie zderzające się kule. Kiedy kulki stykają się, działają na siebie z siłami o jednakowej wielkości, jak uczy nas trzecie prawo Newtona. Oznacza to, że zmiany ich pędów muszą być również równe pod względem wielkości, nawet jeśli masy kulek nie są równe.

Po przeanalizowaniu wzorów można wyciągnąć dwa ważne wnioski:

1. Identyczne siły działające w tym samym czasie powodują takie same zmiany pędu w różnych ciałach, niezależnie od masy tego ostatniego.

2. Tę samą zmianę pędu ciała można osiągnąć albo działając z małą siłą przez długi czas, albo krótko działając z dużą siłą na to samo ciało.

Zgodnie z drugim prawem Newtona możemy napisać:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Stosunek zmiany pędu ciała do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, jest równy sumie sił działających na ciało.

Analizując to równanie widzimy, że drugie prawo Newtona pozwala poszerzyć klasę problemów do rozwiązania o zagadnienia, w których masa ciał zmienia się w czasie.

Jeśli spróbujemy rozwiązać problemy ze zmienną masą ciał, stosując zwykłe sformułowanie drugiej zasady Newtona:

wówczas próba takiego rozwiązania doprowadziłaby do błędu.

Przykładem tego jest wspomniany już samolot odrzutowy lub rakieta kosmiczna, które w ruchu spalają paliwo, a produkty tego spalania uwalniane są do otaczającej przestrzeni. Naturalnie masa samolotu lub rakiety maleje wraz ze zużyciem paliwa.

CHWILA MOCY- wielkość charakteryzująca obrotowe działanie siły; ma wymiar iloczynu długości i siły. Wyróżnić chwila mocy względem środka (punktu) i względem osi.

SM. względem centrum O zwany wielkość wektorowa M 0 równe iloczynowi wektora promienia R , prowadzone od O aż do momentu przyłożenia siły F , do siły M 0 = [RF ] lub w innych zapisach M 0 = R F (Ryż.). Numerycznie M. s. równy iloczynowi modułu siły i ramienia H, tj. o długość obniżonej prostopadłej O na linii działania siły lub dwukrotnie większy obszar

trójkąt zbudowany na środku O i siła:

Skierowany wektor M 0 prostopadle do przechodzącej przez nią płaszczyzny O I F . Strona, w którą zmierza M 0, wybrane warunkowo ( M 0 - wektor osiowy). W przypadku prawoskrętnego układu współrzędnych wektor M 0 jest skierowane w kierunku, z którego widoczny jest obrót wykonany przez siłę w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

SM. względem osi z tzw ilość skalarna Mz równy rzutowi na oś z wektor M. s. względem dowolnego centrum O, wzięty na tej osi; rozmiar Mz można również zdefiniować jako rzut na płaszczyznę xy, prostopadle do osi z, pole trójkąta OAB lub jako moment projekcji Fxy wytrzymałość F do samolotu xy, wzięty względem punktu przecięcia osi z z tą płaszczyzną. Do.,

W dwóch ostatnich wypowiedziach M.s. uważa się za dodatnią, gdy siła obrotowa Fxy widoczne z pozytywu koniec osi z w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (w prawym układzie współrzędnych). SM. względem osi współrzędnych Oksyz można również obliczyć analitycznie. bujda:

Gdzie Fx, Fy, Fz- projekcje sił F na osiach współrzędnych, x, y, z- współrzędne punktu A zastosowanie siły. Wielkie ilości M x , M y , M z są równe rzutom wektora M 0 na osiach współrzędnych.

Zmieniają się, ponieważ na każde z ciał działają siły oddziaływania, ale suma impulsów pozostaje stała. To się nazywa prawo zachowania pędu.

Drugie prawo Newtona wyraża się wzorem. Można to zapisać inaczej, jeśli przypomnimy sobie, że przyspieszenie jest równe szybkości zmiany prędkości ciała. W przypadku ruchu równomiernie przyspieszonego wzór będzie wyglądał następująco:

Jeśli podstawimy to wyrażenie do wzoru, otrzymamy:

Formułę tę można przepisać jako:

Prawa strona tej równości opisuje zmianę iloczynu masy ciała i jego prędkości. Iloczyn masy ciała i prędkości jest wielkością fizyczną tzw impuls ciała Lub ilość ruchu ciała.

Impuls ciała nazywa się iloczynem masy ciała i jego prędkości. Jest to wielkość wektorowa. Kierunek wektora pędu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości.

Innymi słowy, ciało o masie M, poruszanie się z dużą prędkością ma pęd. Jednostką impulsu w układzie SI jest impuls ciała o masie 1 kg poruszającego się z prędkością 1 m/s (kg m/s). Kiedy dwa ciała oddziałują ze sobą i pierwsze działa na drugie z siłą, to zgodnie z trzecim prawem Newtona drugie działa na pierwsze z siłą. Oznaczmy masy tych dwóch ciał przez M 1 i M 2 i ich prędkości względem dowolnego układu odniesienia poprzez i. Nadgodziny T w wyniku oddziaływania ciał ich prędkości zmienią się i staną się równe oraz . Podstawiając te wartości do wzoru, otrzymujemy:

Stąd,

Zamieńmy znaki obu stron równości na ich przeciwieństwa i zapiszmy je w formie

Po lewej stronie równania znajduje się suma początkowych impulsów dwóch ciał, po prawej stronie suma impulsów tych samych ciał w czasie T. Kwoty są równe. A więc pomimo tego. że impuls każdego ciała zmienia się podczas interakcji, impuls całkowity (suma impulsów obu ciał) pozostaje niezmieniony.

Obowiązuje również w przypadku interakcji kilku ciał. Ważne jest jednak, aby ciała te oddziaływały tylko ze sobą i nie oddziaływały na nie siły pochodzące od innych ciał nieuwzględnionych w układzie (lub aby siły zewnętrzne się zrównoważyły). Nazywa się grupę ciał, które nie oddziałują z innymi ciałami zamknięty system obowiązuje tylko dla systemów zamkniętych.

Po przestudiowaniu praw Newtona widzimy, że za ich pomocą można rozwiązać podstawowe problemy mechaniki, jeśli znamy wszystkie siły działające na ciało. Zdarzają się sytuacje, w których określenie tych wartości jest trudne lub wręcz niemożliwe. Rozważmy kilka takich sytuacji.Kiedy zderzają się dwie kule bilardowe lub samochody, możemy stwierdzić o działających siłach, że taka jest ich natura; działają tu siły sprężyste. Nie będziemy jednak w stanie dokładnie określić ani ich modułów, ani kierunków, zwłaszcza, że siły te mają niezwykle krótki czas działania.W przypadku ruchu rakiet i samolotów odrzutowych niewiele możemy powiedzieć o siłach, które wprawiają te ciała w ruch.W takich przypadkach stosuje się metody, które pozwalają uniknąć rozwiązywania równań ruchu i natychmiast wykorzystać konsekwencje tych równań. W tym przypadku wprowadzane są nowe wielkości fizyczne. Rozważmy jedną z tych wielkości, zwaną pędem ciała

Strzała wystrzelona z łuku. Im dłużej trwa kontakt cięciwy ze strzałą (∆t), tym większa jest zmiana pędu strzały (∆), a co za tym idzie, tym większa jest jej prędkość końcowa.

Po przeanalizowaniu wzorów można wyciągnąć dwa istotne wnioski:

1. Identyczne siły działające w tym samym czasie powodują takie same zmiany pędu w różnych ciałach, niezależnie od masy tego ostatniego.

2. Tę samą zmianę pędu ciała można osiągnąć albo działając z małą siłą przez długi czas, albo krótko działając z dużą siłą na to samo ciało.

Zgodnie z drugim prawem Newtona możemy napisać:

∆t = ∆ = ∆ / ∆t

Stosunek zmiany pędu ciała do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, jest równy sumie sił działających na ciało.

Analizując to równanie widzimy, że drugie prawo Newtona pozwala poszerzyć klasę problemów do rozwiązania o zagadnienia, w których masa ciał zmienia się w czasie.

Jeśli spróbujemy rozwiązać problemy ze zmienną masą ciał, stosując zwykłe sformułowanie drugiej zasady Newtona:

wówczas próba takiego rozwiązania doprowadziłaby do błędu.

Pomimo tego, że drugie prawo Newtona w postaci „wypadkowa siła jest równa iloczynowi masy ciała i jego przyspieszenia” pozwala rozwiązać dość szeroką klasę problemów, istnieją przypadki ruchu ciał, których nie da się rozwiązać w pełni opisane tym równaniem. W takich przypadkach konieczne jest zastosowanie innego sformułowania drugiego prawa, łączącego zmianę pędu ciała z impulsem siły wypadkowej. Ponadto istnieje szereg problemów, w których rozwiązanie równań ruchu jest matematycznie niezwykle trudne lub wręcz niemożliwe. W takich przypadkach przydatne jest użycie pojęcia pędu.

Korzystając z prawa zachowania pędu oraz zależności pomiędzy pędem siły i pędem ciała, możemy wyprowadzić drugie i trzecie prawo Newtona.

Drugie prawo Newtona wywodzi się ze związku pomiędzy impulsem siły a pędem ciała.

Impuls siły jest równy zmianie pędu ciała:

Po dokonaniu odpowiednich transferów otrzymujemy zależność siły od przyspieszenia, gdyż przyspieszenie definiuje się jako stosunek zmiany prędkości do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła:

Podstawiając wartości do naszego wzoru, otrzymujemy wzór na drugie prawo Newtona:

Aby wyprowadzić trzecie prawo Newtona, potrzebujemy prawa zachowania pędu.

Wektory podkreślają wektorową naturę prędkości, to znaczy fakt, że prędkość może zmieniać kierunek. Po przekształceniach otrzymujemy:

Ponieważ okres czasu w układzie zamkniętym był wartością stałą dla obu ciał, możemy napisać:

Otrzymaliśmy trzecie prawo Newtona: dwa ciała oddziałują ze sobą siłami o jednakowej wielkości i o przeciwnym kierunku. Wektory tych sił są skierowane odpowiednio do siebie, moduły tych sił mają jednakową wartość.

Bibliografia

Tikhomirova SA, Yavorsky B.M. Fizyka (poziom podstawowy) - M.: Mnemosyne, 2012.
Gendenshtein L.E., Dick Yu.I. Fizyka, klasa 10. - M.: Mnemosyne, 2014.
Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fizyka - 9, Moskwa, Edukacja, 1990.

Praca domowa

Zdefiniuj impuls ciała, impuls siły.
Jak impuls ciała jest powiązany z impulsem siły?
Jakie wnioski można wyciągnąć ze wzorów na impuls ciała i impuls siły?

Portal internetowy Pytania-fizyka.ru ().
Portal internetowy Frutmrut.ru ().
Portal internetowy Fizmat.by ().

Problemy z ciałami poruszającymi się w fizyce, gdy prędkość jest znacznie mniejsza niż prędkość światła, rozwiązuje się za pomocą praw mechaniki Newtona lub klasycznej. Jednym z ważnych pojęć w nim jest impuls. W tym artykule podano podstawowe z fizyki.

Impuls czy pęd?

Zanim podamy wzory na pęd ciała w fizyce, zapoznajmy się z tym pojęciem. Po raz pierwszy wielkość zwana impeto (impulsem) została użyta w opisie jego dzieł przez Galileusza na początku XVII wieku. Następnie Izaak Newton użył dla tego innej nazwy – motus (ruch). Ponieważ postać Newtona wywarła większy wpływ na rozwój fizyki klasycznej niż postać Galileusza, początkowo zwyczajowo mówiono nie o pędzie ciała, ale o wielkości ruchu.

Przez wielkość ruchu rozumie się iloczyn prędkości ruchu ciała przez współczynnik bezwładności, czyli masę. Odpowiedni wzór to:

Tutaj p¯ jest wektorem, którego kierunek pokrywa się z v¯, ale moduł jest m razy większy od modułu v¯.

Zmiana wartości p¯

Pojęcie pędu jest obecnie używane rzadziej niż impuls. I fakt ten jest bezpośrednio powiązany z prawami mechaniki Newtona. Zapiszmy to w formie podanej w szkolnych podręcznikach fizyki:

Zastąpmy przyspieszenie a¯ odpowiednim wyrażeniem na pochodną prędkości, otrzymamy:

Przenosząc dt z mianownika prawej strony równości do licznika lewej strony, otrzymujemy:

Otrzymaliśmy ciekawy wynik: oprócz tego, że działająca siła F¯ powoduje przyspieszenie ciała (patrz pierwszy wzór tego akapitu), zmienia także wielkość jego ruchu. Iloczyn siły i czasu, który znajduje się po lewej stronie, nazywany jest impulsem siły. Okazuje się, że jest to równe zmianie p¯. Dlatego to ostatnie wyrażenie w fizyce nazywane jest również wzorem pędu.

Zauważ, że dp¯ jest również, ale w przeciwieństwie do p¯, jest skierowane nie jako prędkość v¯, ale jako siła F¯.

Uderzającym przykładem zmiany wektora pędu (impulsu) jest sytuacja, gdy piłkarz uderza piłkę. Przed uderzeniem piłka przesuwała się w stronę zawodnika, po uderzeniu oddalała się od niego.

Prawo zachowania pędu

Wzory w fizyce opisujące zachowanie wartości p¯ można podawać w kilku wersjach. Zanim je zapiszemy, odpowiedzmy sobie na pytanie, kiedy pęd jest zachowany.

Wróćmy do wyrażenia z poprzedniego akapitu:

Mówi ona, że jeśli suma sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero (układ zamknięty, F¯= 0), to dp¯= 0, czyli nie nastąpi żadna zmiana pędu:

Wyrażenie to jest wspólne dla pędu ciała i prawa zachowania pędu w fizyce. Zwróćmy uwagę na dwie ważne kwestie, o których powinieneś wiedzieć, aby z powodzeniem zastosować to wyrażenie w praktyce:

Pęd jest zachowany wzdłuż każdej współrzędnej, czyli jeśli przed jakimś zdarzeniem wartość p x układu wynosiła 2 kg*m/s, to po tym zdarzeniu będzie taka sama.
Pęd jest zachowany niezależnie od charakteru zderzeń ciał stałych w układzie. Istnieją dwa idealne przypadki takich zderzeń: uderzenia absolutnie sprężyste i uderzenia absolutnie plastyczne. W pierwszym przypadku zachowana jest również energia kinetyczna, w drugim część jej jest przeznaczona na odkształcenie plastyczne ciał, ale pęd jest nadal zachowany.

Oddziaływanie sprężyste i niesprężyste dwóch ciał

Szczególnym przypadkiem zastosowania w fizyce wzoru na pęd i jego zachowania jest ruch dwóch ciał zderzających się ze sobą. Rozważmy dwa zasadniczo różne przypadki, o których mowa w powyższym akapicie.

Jeżeli uderzenie jest całkowicie sprężyste, to znaczy przeniesienie pędu z jednego ciała na drugie odbywa się poprzez odkształcenie sprężyste, wówczas wzór zachowania p zostanie zapisany w następujący sposób:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = m 1 *u 1 + m 2 *u 2

Należy tu pamiętać, że znak prędkości należy podstawić biorąc pod uwagę jej kierunek wzdłuż rozpatrywanej osi (prędkości przeciwne mają różne znaki). Wzór ten pokazuje, że mając znany stan początkowy układu (wartości m 1, v 1, m 2, v 2), w stanie końcowym (po zderzeniu) występują dwie niewiadome (u 1, u 2) . Można je znaleźć, korzystając z odpowiedniego prawa zachowania energii kinetycznej:

m 1 *v 1 2 + m 2 *v 2 2 = m 1 *u 1 2 + m 2 *u 2 2

Jeśli uderzenie jest całkowicie niesprężyste lub plastyczne, to po zderzeniu oba ciała zaczynają poruszać się jako jedna całość. W tym przypadku wyrażenie ma miejsce:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = (m 1 + m 2)*u

Jak widać, mówimy tylko o jednej niewiadomej (u), więc ta jedna równość wystarczy, aby ją wyznaczyć.

Pęd ciała podczas ruchu po okręgu

Wszystko, co powiedziano powyżej o pędzie, odnosi się do liniowych ruchów ciał. Co zrobić, jeśli obiekty obracają się wokół osi? W tym celu w fizyce wprowadzono inne pojęcie, które jest podobne do pędu liniowego. Nazywa się to momentem pędu. Wzór fizyczny na to przyjmuje następującą postać:

Tutaj r¯ jest wektorem równym odległości od osi obrotu do cząstki o pędzie p¯, wykonującej ruch kołowy wokół tej osi. Wielkość L¯ jest również wektorem, ale jest nieco trudniejsza do obliczenia niż p¯, ponieważ mówimy o iloczynie wektorowym.

Prawo zachowania L¯

Podany powyżej wzór na L¯ jest definicją tej wielkości. W praktyce wolą używać nieco innego wyrażenia. Nie będziemy wdawać się w szczegóły, jak go zdobyć (nie jest to trudne i każdy może to zrobić samodzielnie), ale od razu dajmy na to:

Tutaj I jest momentem bezwładności (dla punktu materialnego jest równy m*r 2), który opisuje właściwości bezwładności obracającego się obiektu, ω¯ jest prędkością kątową. Jak widać, równanie to ma podobną formę jak dla pędu liniowego p¯.

Jeśli na układ wirujący nie działają żadne siły zewnętrzne (a właściwie moment obrotowy), to iloczyn I i ω¯ zostanie zachowany niezależnie od procesów zachodzących wewnątrz układu. Oznacza to, że prawo zachowania dla L¯ ma postać:

Przykładem jego przejawu są występy zawodników łyżwiarstwa figurowego podczas wykonywania rotacji na lodzie.

Tematy kodyfikatora ujednoliconego egzaminu państwowego: pęd ciała, pęd układu ciał, zasada zachowania pędu.

Puls ciała jest wielkością wektorową równą iloczynowi masy ciała i jego prędkości:

Nie ma specjalnych jednostek do pomiaru impulsu. Wymiar pędu jest po prostu iloczynem wymiaru masy i wymiaru prędkości:

Dlaczego koncepcja pędu jest interesująca? Okazuje się, że za jego pomocą można nadać drugiemu prawu Newtona nieco inną, również niezwykle przydatną postać.

Drugie prawo Newtona w postaci impulsu

Niech będzie wypadkową sił przyłożonych do ciała o masie . Zaczynamy od zwykłego zapisu drugiej zasady Newtona:

Biorąc pod uwagę, że przyspieszenie ciała jest równe pochodnej wektora prędkości, drugie prawo Newtona przepisuje się w następujący sposób:

Wprowadzamy stałą pod znakiem pochodnej:

Jak widać pochodną impulsu otrzymujemy po lewej stronie:

. ( 1 )

Relacja (1) to nowa forma zapisu drugiego prawa Newtona.

Drugie prawo Newtona w postaci impulsu. Pochodna pędu ciała jest wypadkową sił przyłożonych do tego ciała.

Można powiedzieć tak: wypadkowa siła działająca na ciało jest równa szybkości zmiany pędu ciała.

Pochodną we wzorze (1) można zastąpić stosunkiem przyrostów końcowych:

. ( 2 )

W tym przypadku na ciało działa średnia siła w danym przedziale czasu. Im mniejsza wartość, tym stosunek jest bliższy pochodnej i siła średnia jest bliższa jej wartości chwilowej w danym czasie.

W zadaniach z reguły odstęp czasu jest dość mały. Może to być na przykład czas uderzenia piłki w ścianę, a następnie – średnia siła działająca na piłkę ze ściany podczas uderzenia.

Nazywa się wektor po lewej stronie relacji (2). zmiana impulsu podczas . Zmiana pędu jest różnicą między końcowym i początkowym wektorem pędu. Mianowicie, jeśli jest pędem ciała w pewnym początkowym momencie czasu, jest pędem ciała po pewnym czasie, to zmiana pędu jest różnicą:

Jeszcze raz podkreślmy, że zmiana pędu jest różnicą między wektorami (rys. 1):

Niech np. piłka poleci prostopadle do ściany (pęd przed uderzeniem będzie równy ) i odbije się bez utraty prędkości (pęd po uderzeniu będzie równy ). Pomimo tego, że impuls nie zmienił wartości bezwzględnej (), następuje zmiana impulsu:

Geometrycznie sytuację tę pokazano na ryc. 2:

Jak widzimy, moduł zmiany pędu jest równy dwukrotności modułu początkowego impulsu piłki: .

Przepiszmy wzór (2) w następujący sposób:

, ( 3 )

lub opisując zmianę pędu, jak powyżej:

Ilość nazywa się impuls mocy. Nie ma specjalnej jednostki miary impulsu siły; wymiar impulsu siły jest po prostu iloczynem wymiarów siły i czasu:

(Zauważ, że okazuje się, że jest to kolejna możliwa jednostka miary pędu ciała.)

Słowne sformułowanie równości (3) jest następujące: zmiana pędu ciała jest równa pędowi siły działającej na to ciało w danym okresie czasu. Jest to oczywiście drugie prawo Newtona w formie pędu.

Przykład obliczenia siły

Jako przykład zastosowania drugiej zasady Newtona w postaci impulsu, rozważmy następujący problem.

Zadanie. Kula o masie g, lecąca poziomo z prędkością m/s, uderza w gładką pionową ścianę i odbija się od niej, nie tracąc prędkości. Kąt padania kuli (to znaczy kąt między kierunkiem ruchu kuli a prostopadłą do ściany) jest równy . Cios trwa s. Znajdź średnią siłę,
działanie na piłkę podczas uderzenia.

Rozwiązanie. Pokażmy najpierw, że kąt odbicia jest równy kątowi padania, czyli piłka odbije się od ściany pod tym samym kątem (rys. 3).

Zgodnie z (3) mamy: . Wynika z tego, że wektor pędu się zmienia współreżyserowany z wektorem, czyli skierowanym prostopadle do ściany w kierunku odbicia piłki (ryc. 5).

Ryż. 5. Do zadania

Wektory i
równy modułowi
(ponieważ prędkość piłki się nie zmieniła). Dlatego trójkąt złożony z wektorów , i , jest równoramienny. Oznacza to, że kąt między wektorami i jest równy , czyli kąt odbicia jest w rzeczywistości równy kątowi padania.

Zauważmy teraz dodatkowo, że w naszym trójkącie równoramiennym istnieje kąt (jest to kąt padania); zatem ten trójkąt jest równoboczny. Stąd:

A następnie pożądana średnia siła działająca na piłkę wynosi:

Impuls układu ciał

Zacznijmy od prostej sytuacji układu dwóch ciał. Mianowicie niech będzie ciało 1 i ciało 2 z impulsami i odpowiednio. Impuls układu tych ciał jest sumą wektorową impulsów każdego ciała:

Okazuje się, że na pęd układu ciał istnieje wzór podobny do drugiego prawa Newtona w postaci (1). Wyprowadźmy ten wzór.

Nazwiemy wszystkie inne obiekty, z którymi wchodzą w interakcję ciała 1 i 2, które rozważamy ciała zewnętrzne. Nazywa się siły, z którymi ciała zewnętrzne działają na ciała 1 i 2 przez siły zewnętrzne. Niech będzie wypadkową siłą zewnętrzną działającą na ciało 1. Podobnie niech będzie wypadkową siłą zewnętrzną działającą na ciało 2 (rys. 6).

Ponadto ciała 1 i 2 mogą ze sobą oddziaływać. Niech ciało 2 działa na ciało 1 siłą. Następnie ciało 1 działa na ciało 2 siłą. Zgodnie z trzecim prawem Newtona siły są równe co do wielkości i przeciwne w kierunku: . Siły i są siły wewnętrzne, działające w systemie.

Zapiszmy dla każdego ciała 1 i 2 drugie prawo Newtona w postaci (1):

, ( 4 )

. ( 5 )

Dodajmy równości (4) i (5):

Po lewej stronie otrzymanej równości znajduje się suma pochodnych równa pochodnej sumy wektorów i . Po prawej stronie mamy, na mocy trzeciego prawa Newtona:

Ale - to jest impuls układu ciał 1 i 2. Oznaczmy też - jest to wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ. Otrzymujemy:

. ( 6 )

Zatem, szybkość zmiany pędu układu ciał jest wypadkową sił zewnętrznych przyłożonych do układu. Chcieliśmy uzyskać równość (6), która pełni rolę drugiego prawa Newtona dla układu ciał.

Wzór (6) wyprowadzono dla przypadku dwóch ciał. Uogólnijmy teraz nasze rozumowanie na przypadek dowolnej liczby ciał w układzie.

Impuls układu ciał ciała to suma wektorów pędów wszystkich ciał wchodzących w skład układu. Jeżeli układ składa się z ciał, to pęd tego układu jest równy:

Następnie wszystko odbywa się dokładnie w taki sam sposób jak powyżej (tylko technicznie wygląda to trochę bardziej skomplikowanie). Jeśli dla każdego ciała zapiszemy równości podobne do (4) i (5), a następnie dodamy wszystkie te równości, to po lewej stronie ponownie otrzymamy pochodną pędu układu, a po prawej stronie pozostanie tylko suma sił zewnętrznych (siły wewnętrzne, dodając parami, da zero ze względu na trzecie prawo Newtona). Zatem równość (6) pozostanie obowiązująca w ogólnym przypadku.

Prawo zachowania pędu

Nazywa się układ ciał Zamknięte, jeżeli działania ciał zewnętrznych na ciała danego systemu są albo znikome, albo kompensują się wzajemnie. Zatem w przypadku zamkniętego układu ciał istotne jest jedynie oddziaływanie tych ciał między sobą, a nie z jakimikolwiek innymi ciałami.

Wypadkowa sił zewnętrznych przyłożonych do układu zamkniętego jest równa zeru: . W tym przypadku z (6) otrzymujemy:

Ale jeśli pochodna wektora dąży do zera (szybkość zmiany wektora wynosi zero), to sam wektor nie zmienia się w czasie:

Prawo zachowania pędu. Pęd zamkniętego układu ciał pozostaje stały w czasie dla wszelkich interakcji ciał w tym układzie.

Najprostsze problemy dotyczące prawa zachowania pędu rozwiązuje się zgodnie ze standardowym schematem, który teraz pokażemy.

Zadanie. Ciało o masie g porusza się z prędkością m/s po gładkiej poziomej powierzchni. Ciało o masie g porusza się w jego stronę z prędkością m/s. Następuje uderzenie absolutnie niesprężyste (ciała sklejają się). Znajdź prędkość ciał po zderzeniu.

Rozwiązanie. Sytuacja jest pokazana na ryc. 7. Skierujmy oś w kierunku ruchu pierwszego ciała.

Ryż. 7. Do zadania

Ponieważ powierzchnia jest gładka, nie ma tarcia. Ponieważ powierzchnia jest pozioma i wzdłuż niej następuje ruch, siła ciężkości i reakcja podpory równoważą się:

Zatem suma wektorów sił przyłożonych do układu tych ciał jest równa zeru. Oznacza to, że układ ciał jest zamknięty. Dlatego spełniona jest dla niego zasada zachowania pędu:

. ( 7 )

Impuls układu przed uderzeniem jest sumą impulsów ciał:

Po uderzeniu niesprężystym otrzymuje się jedno ciało o masie, które porusza się z żądaną prędkością:

Z zasady zachowania pędu (7) mamy:

Stąd wyznaczamy prędkość ciała powstałego po uderzeniu:

Przejdźmy do rzutów na oś:

Według warunku mamy: m/s, m/s, więc

Znak minus oznacza, że sklejone ze sobą ciała poruszają się w kierunku przeciwnym do osi. Wymagana prędkość: m/s.

Prawo zachowania rzutowania pędu

W przypadku problemów często występuje następująca sytuacja. Układ ciał nie jest zamknięty (suma wektorowa sił zewnętrznych działających na układ nie jest równa zeru), ale istnieje taka oś, suma rzutów sił zewnętrznych na oś wynosi zero W każdej chwili. Można wtedy powiedzieć, że wzdłuż tej osi nasz układ ciał zachowuje się jak zamknięty i zachowany jest rzut pędu układu na oś.

Pokażmy to ściślej. Rzućmy równość (6) na oś:

Jeżeli projekcja wypadkowych sił zewnętrznych zniknie, wówczas

Zatem rzutowanie jest stałą:

Prawo zachowania rzutowania pędu. Jeżeli rzut na oś sumy sił zewnętrznych działających na układ jest równy zeru, to rzut pędu układu nie zmienia się w czasie.

Spójrzmy na przykład konkretnego problemu, aby zobaczyć, jak działa prawo zachowania projekcji pędu.

Zadanie. Chłopiec od masy, stojąc na łyżwach po gładkim lodzie, rzuca masowy kamień pod kątem do poziomu. Znajdź prędkość, z jaką chłopiec cofa się po rzucie.

Rozwiązanie. Sytuację pokazano schematycznie na ryc. 8. Chłopiec jest przedstawiony jako prosty.

Ryż. 8. Do zadania

Pęd układu „chłopiec + kamień” nie jest zachowany. Widać to po tym, że po rzucie pojawia się pionowa składowa pędu układu (czyli pionowa składowa pędu kamienia), której przed rzutem nie było.

Dlatego system, który tworzą chłopiec i kamień, nie jest zamknięty. Dlaczego? Faktem jest, że suma wektorów sił zewnętrznych podczas rzutu nie jest równa zeru. Wartość jest większa od sumy i z powodu tego nadmiaru pojawia się pionowa składowa pędu układu.

Jednakże siły zewnętrzne działają tylko pionowo (nie ma tarcia). Dzięki temu zachowany jest rzut impulsu na oś poziomą. Przed rzutem projekcja ta wynosiła zero. Kierując oś w kierunku rzutu (tak, aby chłopiec poszedł w stronę ujemnej półosi), otrzymujemy.