Definicje modułów. Jaki jest moduł liczby w matematyce

Instrukcje

Jeśli moduł jest reprezentowany jako funkcja ciągła, wówczas wartość jego argumentu może być dodatnia lub ujemna: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Moduł wynosi zero, a moduł dowolnej liczby dodatniej wynosi . Jeżeli argument jest ujemny, to po otwarciu nawiasów jego znak zmienia się z minus na plus. Na tej podstawie wniosek jest taki, że moduły przeciwieństw są równe: |-x| = |x| = x.

Moduł liczby zespolonej wyznacza się ze wzoru: |a| = √b ² + c ² i |a + b| ≤ |a| + |b|. Jeżeli argument zawiera liczbę dodatnią jako mnożnik, to można ją wyjąć ze znaku nawiasu, np.: |4*b| = 4*|b|.

Jeżeli argument jest przedstawiony jako liczba zespolona, to dla wygody obliczeń dopuszcza się kolejność wyrazów wyrażenia ujętych w nawiasy prostokątne: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, ponieważ (2-3) jest mniejsze od zera.

Argument podniesiony do potęgi znajduje się jednocześnie pod znakiem pierwiastka tego samego rzędu - rozwiązuje się go za pomocą: √a² = |a| = ±a.

Jeśli masz zadanie, w którym nie jest określony warunek rozwinięcia nawiasów modułu, to nie ma potrzeby się ich pozbywać - taki będzie efekt końcowy. A jeśli chcesz je otworzyć, musisz wskazać znak ±. Na przykład musisz znaleźć wartość wyrażenia √(2 * (4-b))². Jego rozwiązanie wygląda następująco: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Ponieważ znak wyrażenia 4-b jest nieznany, należy go pozostawić w nawiasach. Jeśli dodasz dodatkowy warunek, na przykład |4-b| >

Moduł zera jest równy zeru, a moduł dowolnej liczby dodatniej jest równy sobie. Jeżeli argument jest ujemny, to po otwarciu nawiasów jego znak zmienia się z minus na plus. Na tej podstawie wniosek jest taki, że moduły liczb przeciwnych są równe: |-x| = |x| = x.

Moduł liczby zespolonej wyznacza się ze wzoru: |a| = √b ² + c ² i |a + b| ≤ |a| + |b|. Jeżeli argument zawiera jako współczynnik dodatnią liczbę całkowitą, to można ją usunąć ze znaku nawiasu, np.: |4*b| = 4*|b|.

Moduł nie może być ujemny, więc każda liczba ujemna jest konwertowana na dodatnią: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Jeżeli argument jest przedstawiony w postaci liczby zespolonej, to dla wygody obliczeń dopuszcza się zmianę kolejności wyrazów wyrażenia ujętych w nawiasy prostokątne: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, ponieważ (2-3) jest mniejsze od zera.

Moduł liczb sama liczba jest wywoływana, jeśli jest nieujemna, lub ta sama liczba z przeciwnym znakiem, jeśli jest ujemna.

Na przykład moduł liczby 5 wynosi 5, a moduł liczby –5 wynosi również 5.

Oznacza to, że moduł liczby rozumiany jest jako wartość bezwzględna, wartość bezwzględna tej liczby bez uwzględnienia jej znaku.

Oznaczane następująco: |5|, | X|, |A| itp.

Reguła:

Wyjaśnienie:

|5| = 5
Brzmi to tak: moduł liczby 5 wynosi 5.

|–5| = –(–5) = 5
Brzmi to tak: moduł liczby –5 wynosi 5.

|0| = 0
Brzmi to tak: moduł zerowy wynosi zero.

Właściwości modułu:

1) Moduł liczby jest liczbą nieujemną:

|A| ≥ 0

2) Moduły przeciwnych liczb są równe:

|A| = |–A|

3) Kwadrat modułu liczby jest równy kwadratowi tej liczby:

|A| 2 = 2

4) Moduł iloczynu liczb jest równy iloczynowi modułów tych liczb:

|A · B| = |A| · | B|

6) Moduł liczby ilorazowej jest równy stosunkowi modułów tych liczb:

|A : B| = |A| : |B|

7) Moduł sumy liczb jest mniejszy lub równy sumie ich modułów:

|A + B| ≤ |A| + |B|

8) Moduł różnicy między liczbami jest mniejszy lub równy sumie ich modułów:

|A – B| ≤ |A| + |B|

9) Moduł sumy/różnicy liczb jest większy lub równy modułowi różnicy ich modułów:

|A ± B| ≥ ||A| – |B||

10) Ze znaku modułu można wyjąć stały dodatni mnożnik:

|M · A| = M · | A|, M >0

11) Ze znaku modułu można wyprowadzić potęgę liczby:

|A k | = | A| k, jeśli k istnieje

12) Jeśli | A| = |B|, zatem A = ± B

Znaczenie geometryczne modułu.

Moduł liczby to odległość od zera do tej liczby.

Weźmy dla przykładu jeszcze raz liczbę 5. Odległość od 0 do 5 jest taka sama jak od 0 do –5 (ryc. 1). A kiedy ważne jest, abyśmy znali tylko długość odcinka, wówczas znak ma nie tylko znaczenie, ale także znaczenie. Nie jest to jednak do końca prawdą: odległość mierzymy tylko liczbami dodatnimi lub liczbami nieujemnymi. Niech cena podziału naszej skali wyniesie 1 cm, wtedy długość odcinka od zera do 5 wynosi 5 cm, od zera do –5 również wynosi 5 cm.

W praktyce odległość często mierzy się nie tylko od zera – punktem odniesienia może być dowolna liczba (ryc. 2). Ale to nie zmienia istoty. Zapis postaci |a – b| wyraża odległość między punktami A I B na osi liczbowej.

Przykład 1. Rozwiąż równanie | X – 1| = 3.

Rozwiązanie .

Znaczenie równania jest takie, że odległość między punktami X a 1 równa się 3 (ryc. 2). Dlatego od punktu 1 liczymy trzy podziały w lewo i trzy podziały w prawo - i wyraźnie widzimy obie wartości X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Możemy to obliczyć.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Odpowiedź : X 1 = –2; X 2 = 4.

Przykład 2. Znajdź moduł wyrażeń:

Rozwiązanie .

Najpierw sprawdźmy, czy wyrażenie jest dodatnie, czy ujemne. Aby to zrobić, przekształcamy wyrażenie tak, aby składało się z jednorodnych liczb. Nie szukajmy pierwiastka z 5 – to dość trudne. Zróbmy to prościej: podnieśmy do pierwiastka 3 i 10. Następnie porównajmy wielkość liczb tworzących różnicę:

3 = √9. Zatem 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Widzimy, że pierwsza liczba jest mniejsza niż druga. Oznacza to, że wyrażenie jest ujemne, to znaczy jego odpowiedź jest mniejsza od zera:

3√5 – 10 < 0.

Ale zgodnie z regułą moduł liczby ujemnej jest tą samą liczbą z przeciwnym znakiem. Mamy negatywną ekspresję. Dlatego konieczna jest zmiana jego znaku na przeciwny. Przeciwieństwem wyrażenia 3√5 – 10 jest –(3√5 – 10). Otwórzmy w nim nawiasy i uzyskajmy odpowiedź:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Odpowiedź .

Moduł to jedna z tych rzeczy, o których wydaje się, że wszyscy słyszeli, ale w rzeczywistości nikt tak naprawdę nie rozumie. Dlatego dzisiaj odbędzie się duża lekcja poświęcona rozwiązywaniu równań za pomocą modułów.

Od razu powiem: lekcja nie będzie trudna. I ogólnie moduły to stosunkowo prosty temat. „Tak, oczywiście, to nie jest skomplikowane! Rozwala mi mózg!" – powie wielu studentów, ale te wszystkie załamania mózgu wynikają z tego, że większość ludzi nie ma w głowach wiedzy, tylko jakieś bzdury. A celem tej lekcji jest zamiana bzdur w wiedzę. :)

Trochę teorii

Więc chodźmy. Zacznijmy od najważniejszej rzeczy: czym jest moduł? Przypomnę, że moduł liczby to po prostu ta sama liczba, ale wzięta bez znaku minus. To jest na przykład $\left| -5 \prawo|=5$. Lub $\lewo| -129,5 \prawo|=129,5 USD.

Czy to takie proste? Tak, proste. Jaka jest zatem wartość bezwzględna liczby dodatniej? Tutaj jest to jeszcze prostsze: moduł liczby dodatniej jest równy samej tej liczbie: $\left| 5 \prawo|=5$; $\pozostał| 129,5 \right|=129,5 $ itd.

\[\lewo| -a \prawo|=\lewo| a\prawo|\]

Kolejny ważny fakt: moduł nigdy nie jest ujemny. Bez względu na to, jaką liczbę przyjmiemy – czy będzie ona dodatnia, czy ujemna – jej moduł zawsze okaże się dodatni (lub, w skrajnych przypadkach, zerowy). Dlatego moduł jest często nazywany wartością bezwzględną liczby.

Dodatkowo, jeśli połączymy definicję modułu dla liczby dodatniej i ujemnej, otrzymamy globalną definicję modułu dla wszystkich liczb. Mianowicie: moduł liczby jest równy samej liczbie, jeśli liczba jest dodatnia (lub zero), lub równy liczbie przeciwnej, jeśli liczba jest ujemna. Można to zapisać w formie wzoru:

Istnieje również moduł zerowy, ale zawsze jest równy zeru. Ponadto zero jest jedyną liczbą, która nie ma przeciwieństwa.

Zatem, jeśli weźmiemy pod uwagę funkcję $y=\left| x \right|$ i spróbuj narysować jego wykres, otrzymasz coś takiego:

Wykres modułu i przykład rozwiązania równania

Z tego rysunku od razu widać, że $\left| -m \prawo|=\lewo| m \right|$, a wykres modułu nigdy nie spada poniżej osi x. Ale to nie wszystko: czerwona linia wyznacza linię prostą $y=a$, co dla dodatniego $a$ daje nam jednocześnie dwa pierwiastki: $((x)_(1))$ i $((x) _(2)) $, ale o tym porozmawiamy później. :)

Oprócz definicji czysto algebraicznej istnieje definicja geometryczna. Załóżmy, że na osi liczbowej znajdują się dwa punkty: $((x)_(1))$ i $((x)_(2))$. W tym przypadku wyrażenie $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ to po prostu odległość pomiędzy określonymi punktami. Lub, jeśli wolisz, długość odcinka łączącego te punkty:

Moduł to odległość między punktami na osi liczbowej

Definicja ta oznacza również, że moduł jest zawsze nieujemny. Ale dość definicji i teorii - przejdźmy do równań rzeczywistych. :)

Podstawowa formuła

OK, ustaliliśmy definicję. Ale to wcale nie ułatwiło sprawy. Jak rozwiązać równania zawierające ten właśnie moduł?

Spokojnie, po prostu spokojnie. Zacznijmy od najprostszych rzeczy. Rozważ coś takiego:

\[\lewo| x\prawo|=3\]

Zatem moduł $x$ wynosi 3. Ile $x$ może być równe? Cóż, sądząc po definicji, jesteśmy całkiem zadowoleni z $x=3$. Naprawdę:

\[\lewo| 3\prawo|=3\]

Czy są inne numery? Cap zdaje się sugerować, że tak. Na przykład $x=-3$ to także $\left| -3 \right|=3$, tj. wymagana równość jest spełniona.

Może więc jeśli będziemy szukać i myśleć, znajdziemy więcej liczb? Ale spójrzmy prawdzie w oczy: nie ma już liczb. Równanie $\po lewej| x \right|=3$ ma tylko dwa pierwiastki: $x=3$ i $x=-3$.

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. Niech funkcja $f\left(x \right)$ pozostanie pod znakiem modułu zamiast zmiennej $x$ i wstaw dowolną liczbę $a$ w miejsce trójki po prawej stronie. Otrzymujemy równanie:

\[\lewo| f\lewo(x \prawo) \prawo|=a\]

Jak więc możemy to rozwiązać? Przypomnę: $f\left(x \right)$ to funkcja dowolna, $a$ to dowolna liczba. Te. Cokolwiek! Na przykład:

\[\lewo| 2x+1 \prawo|=5\]

\[\lewo| 10x-5 \prawo|=-65\]

Zwróćmy uwagę na drugie równanie. Można o nim od razu powiedzieć: nie ma korzeni. Dlaczego? Wszystko się zgadza: ponieważ wymaga, aby moduł był równy liczbie ujemnej, co nigdy się nie zdarza, ponieważ wiemy już, że moduł jest zawsze liczbą dodatnią lub, w skrajnych przypadkach, zerem.

Ale przy pierwszym równaniu wszystko jest zabawniejsze. Istnieją dwie możliwości: albo pod znakiem modułu znajduje się wyrażenie dodatnie, a następnie $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, lub to wyrażenie jest nadal ujemne, a następnie $\left| 2x+1 \prawo|=-\lewo(2x+1 \prawo)=-2x-1$. W pierwszym przypadku nasze równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[\lewo| 2x+1 \prawo|=5\Strzałka w prawo 2x+1=5\]

I nagle okazuje się, że wyrażenie submodularne $2x+1$ jest naprawdę dodatnie - jest równe liczbie 5. Czyli możemy bezpiecznie rozwiązać to równanie - powstały pierwiastek będzie fragmentem odpowiedzi:

Osoby szczególnie nieufne mogą spróbować podstawić znaleziony pierwiastek do pierwotnego równania i upewnić się, że pod modułem rzeczywiście znajduje się liczba dodatnia.

Przyjrzyjmy się teraz przypadkowi ujemnego wyrażenia submodularnego:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Strzałka w prawo 2x+1=-5\]

Ups! Znowu wszystko jest jasne: założyliśmy, że $2x+1 \lt 0$ i w rezultacie otrzymaliśmy, że $2x+1=-5$ - rzeczywiście to wyrażenie jest mniejsze od zera. Rozwiązujemy powstałe równanie, wiedząc już na pewno, że znaleziony pierwiastek będzie nam odpowiadał:

W sumie ponownie otrzymaliśmy dwie odpowiedzi: $x=2$ i $x=3$. Tak, ilość obliczeń okazała się nieco większa niż w bardzo prostym równaniu $\left| x \right|=3$, ale zasadniczo nic się nie zmieniło. Może więc istnieje jakiś uniwersalny algorytm?

Tak, taki algorytm istnieje. A teraz to przeanalizujemy.

Pozbycie się znaku modułu

Otrzymamy równanie $\left| f\left(x \right) \right|=a$ i $a\ge 0$ (w przeciwnym razie, jak już wiemy, nie ma pierwiastków). Następnie możesz pozbyć się znaku modułu, korzystając z następującej reguły:

\[\lewo| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Zatem nasze równanie z modułem dzieli się na dwie części, ale bez modułu. To cała technologia! Spróbujmy rozwiązać kilka równań. Zacznijmy od tego

\[\lewo| 5x+4 \right|=10\Strzałka w prawo 5x+4=\pm 10\]

Rozważmy osobno, gdy po prawej stronie jest dziesiątka plus, i osobno, gdy jest minus. Mamy:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Strzałka w prawo 5x=-14\Strzałka w prawo x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(align)\]

To wszystko! Mamy dwa pierwiastki: $x=1,2$ i $x=-2,8$. Całe rozwiązanie zajęło dosłownie dwie linijki.

OK, nie ma pytań, spójrzmy na coś nieco poważniejszego:

\[\lewo| 7-5x\prawo|=13\]

Ponownie otwieramy moduł z plusem i minusem:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Strzałka w prawo -5x=-20\Strzałka w prawo x=4. \\\end(align)\]

Jeszcze kilka linijek - i odpowiedź jest gotowa! Jak mówiłem, w modułach nie ma nic skomplikowanego. Wystarczy pamiętać o kilku zasadach. Dlatego idziemy dalej i zaczynamy od naprawdę bardziej złożonych zadań.

Przypadek zmiennej prawostronnej

Rozważmy teraz to równanie:

\[\lewo| 3x-2 \prawo|=2x\]

To równanie różni się zasadniczo od wszystkich poprzednich. Jak? I fakt, że na prawo od znaku równości znajduje się wyrażenie $2x$ - i nie możemy z góry wiedzieć, czy jest ono dodatnie, czy ujemne.

Co zrobić w tym przypadku? Po pierwsze, musimy to zrozumieć raz na zawsze jeśli prawa strona równania okaże się ujemna, wówczas równanie nie będzie miało pierwiastków- wiemy już, że moduł nie może być równy liczbie ujemnej.

Po drugie, jeśli prawa część jest nadal dodatnia (lub równa zero), to możesz postępować dokładnie tak samo jak poprzednio: po prostu otwórz moduł osobno ze znakiem plus i osobno ze znakiem minus.

W ten sposób formułujemy regułę dla dowolnych funkcji $f\left(x \right)$ i $g\left(x \right)$ :

\[\lewo| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

W odniesieniu do naszego równania otrzymujemy:

\[\lewo| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

No cóż, jakoś sobie poradzimy z wymaganiem $2x\ge 0$. Na koniec możemy głupio podstawić pierwiastki, które otrzymamy z pierwszego równania i sprawdzić, czy nierówność jest spełniona, czy nie.

Rozwiążmy więc samo równanie:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Strzałka w prawo 3x=0\Strzałka w prawo x=0. \\\end(align)\]

No cóż, który z tych dwóch pierwiastków spełnia warunek $2x\ge 0$? Tak oba! Zatem odpowiedzią będą dwie liczby: $x=(4)/(3)\;$ i $x=0$. To jest rozwiązanie. :)

Podejrzewam, że część uczniów już zaczyna się nudzić? Cóż, spójrzmy na jeszcze bardziej złożone równanie:

\[\lewo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \prawo|=x-((x)^(3))\]

Choć wygląda to źle, w rzeczywistości jest to to samo równanie w postaci „moduł równa się funkcja”:

\[\lewo| f\lewo(x \prawo) \prawo|=g\lewo(x \prawo)\]

A rozwiązuje się to dokładnie w ten sam sposób:

\[\lewo| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Nierównością zajmiemy się później – jest ona jakoś zbyt zła (właściwie jest prosta, ale jej nie rozwiążemy). Na razie lepiej zająć się otrzymanymi równaniami. Rozważmy pierwszy przypadek - ma to miejsce wtedy, gdy moduł zostanie rozwinięty ze znakiem plus:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Cóż, to oczywiste, że musisz zebrać wszystko z lewej strony, przynieść podobne i zobaczyć, co się stanie. I oto co się dzieje:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Bierzemy wspólny czynnik $((x)^(2))$ z nawiasów i otrzymujemy bardzo proste równanie:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Wykorzystaliśmy tutaj ważną właściwość iloczynu, dla której rozłożyliśmy pierwotny wielomian na czynniki: iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.

Teraz dokładnie w ten sam sposób zajmiemy się drugim równaniem, które uzyskujemy rozwijając moduł o znak minus:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\lewo(-3x+2 \prawo)=0. \\\end(align)\]

Znowu to samo: iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero. Mamy:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Cóż, mamy trzy pierwiastki: $x=0$, $x=1,5$ i $x=(2)/(3)\;$. Cóż, który z tego zestawu przejdzie do ostatecznej odpowiedzi? Aby to zrobić pamiętajmy, że mamy dodatkowe ograniczenie w postaci nierówności:

Jak uwzględnić ten wymóg? Podstawmy znalezione pierwiastki i sprawdźmy, czy nierówność zachodzi dla tych $x$, czy nie. Mamy:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Strzałka w prawo x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Zatem pierwiastek $x=1,5$ nam nie odpowiada. W odpowiedzi będą tylko dwa korzenie:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Jak widać, nawet w tym przypadku nie było nic skomplikowanego - równania z modułami zawsze rozwiązuje się za pomocą algorytmu. Wystarczy dobrze rozumieć wielomiany i nierówności. Dlatego przechodzimy do bardziej złożonych zadań - będzie już nie jeden, a dwa moduły.

Równania z dwoma modułami

Do tej pory badaliśmy tylko najprostsze równania - był jeden moduł i coś innego. To „coś innego” wysłaliśmy w inną część nierówności, dalej od modułu, tak aby ostatecznie wszystko sprowadzić do równania w postaci $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ lub jeszcze prościej $\left| f\lewo(x \prawo) \prawo|=a$.

Ale przedszkole się skończyło – czas pomyśleć o czymś poważniejszym. Zacznijmy od takich równań:

\[\lewo| f\lewo(x \prawo) \prawo|=\lewo| g\lewo(x \prawo) \prawo|\]

Jest to równanie w postaci „moduł równa się moduł”. Zasadniczo ważną kwestią jest brak innych terminów i czynników: tylko jeden moduł po lewej stronie, jeszcze jeden moduł po prawej stronie - i nic więcej.

Ktoś teraz pomyśli, że takie równania są trudniejsze do rozwiązania niż te, które badaliśmy do tej pory. Ale nie: te równania są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania. Oto formuła:

\[\lewo| f\lewo(x \prawo) \prawo|=\lewo| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Wszystko! Po prostu przyrównujemy wyrażenia submodularne, umieszczając znak plus lub minus przed jednym z nich. A następnie rozwiązujemy powstałe dwa równania - i pierwiastki są gotowe! Żadnych dodatkowych ograniczeń, żadnych nierówności itp. Wszystko jest bardzo proste.

Spróbujmy rozwiązać ten problem:

\[\lewo| 2x+3 \prawo|=\lewo| 2x-7 \prawo|\]

Podstawowy Watsonie! Rozbudowa modułów:

\[\lewo| 2x+3 \prawo|=\lewo| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Rozważmy każdy przypadek osobno:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\lewo(2x-7 \prawo)\Strzałka w prawo 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Pierwsze równanie nie ma pierwiastków. Bo kiedy 3 $ = -7 $? Przy jakich wartościach $x$? „Co to do cholery jest $x$? Jesteś naćpany? Tam w ogóle nie ma $x$” – mówisz. I będziesz mieć rację. Otrzymaliśmy równość, która nie zależy od zmiennej $x$, a jednocześnie sama równość jest błędna. Dlatego nie ma korzeni. :)

Z drugim równaniem wszystko jest trochę bardziej interesujące, ale także bardzo, bardzo proste:

Jak widać, wszystko zostało rozwiązane dosłownie w kilku linijkach - po równaniu liniowym nie spodziewaliśmy się niczego innego. :)

W rezultacie ostateczna odpowiedź brzmi: $x=1$.

Więc jak? Trudny? Oczywiście nie. Spróbujmy czegoś innego:

\[\lewo| x-1 \prawo|=\lewo| ((x)^(2))-3x+2 \prawo|\]

Ponownie mamy równanie w postaci $\left| f\lewo(x \prawo) \prawo|=\lewo| g\lewo(x \prawo) \prawo|$. Dlatego natychmiast przepisujemy go, ujawniając znak modułu:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \lewo(x-1 \prawo)\]

Być może ktoś teraz zapyta: „Hej, co za bzdury? Dlaczego „plus-minus” pojawia się w wyrażeniu po prawej stronie, a nie po lewej? Spokojnie, teraz wszystko wyjaśnię. Rzeczywiście, powinniśmy byli przepisać nasze równanie w następujący sposób:

Następnie musisz otworzyć nawiasy, przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę znaku równości (ponieważ równanie oczywiście będzie kwadratowe w obu przypadkach), a następnie znaleźć pierwiastki. Ale trzeba przyznać: gdy „plus-minus” pojawia się przed trzema wyrazami (zwłaszcza gdy jeden z tych terminów jest wyrażeniem kwadratowym), wygląda to w jakiś sposób na bardziej skomplikowane niż sytuacja, gdy „plus-minus” pojawia się tylko przed dwoma wyrazami.

Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, abyśmy przepisali pierwotne równanie w następujący sposób:

Co się stało? Nic specjalnego: po prostu zamienili lewą i prawą stronę. Mała rzecz, która w ostatecznym rozrachunku ułatwi nam życie. :)

Ogólnie rozwiązujemy to równanie, biorąc pod uwagę opcje z plusem i minusem:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Strzałka w prawo ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Pierwsze równanie ma pierwiastki $x=3$ i $x=1$. Drugi to zazwyczaj dokładny kwadrat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\lewo(x-1 \prawo))^(2))\]

Dlatego ma tylko jeden pierwiastek: $x=1$. Ale ten korzeń uzyskaliśmy już wcześniej. Zatem do ostatecznej odpowiedzi wejdą tylko dwie liczby:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misja ukończona! Można wziąć ciasto z półki i zjeść. Są 2, twój jest środkowy. :)

Ważna uwaga. Obecność identycznych pierwiastków dla różnych wariantów rozwinięcia modułu oznacza, że pierwotne wielomiany są rozłożone na czynniki i wśród tych czynników na pewno znajdzie się wspólny. Naprawdę:

\[\begin(align)& \left| x-1 \prawo|=\lewo| ((x)^(2))-3x+2 \prawo|; \\& \w lewo| x-1 \prawo|=\lewo| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

Jedna z właściwości modułu: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (tj. moduł iloczynu jest równy iloczynowi modułów), więc pierwotne równanie można przepisać w następujący sposób:

\[\lewo| x-1 \prawo|=\lewo| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \prawo|\]

Jak widać, naprawdę mamy wspólny czynnik. Teraz, jeśli zbierzesz wszystkie moduły po jednej stronie, możesz wyjąć ten współczynnik z nawiasu:

\[\begin(align)& \left| x-1 \prawo|=\lewo| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \prawo|; \\& \w lewo| x-1 \prawo|-\lewo| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \prawo|=0; \\& \w lewo| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Cóż, teraz pamiętajmy, że iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \prawo|=0, \\& \lewo| x-2 \prawo|=1. \\\end(align) \right.\]

W ten sposób oryginalne równanie z dwoma modułami zostało zredukowane do dwóch najprostszych równań, o których mówiliśmy na samym początku lekcji. Takie równania można rozwiązać dosłownie w kilku linijkach. :)

Uwaga ta może wydawać się niepotrzebnie skomplikowana i niemająca zastosowania w praktyce. Jednak w rzeczywistości możesz napotkać znacznie bardziej złożone problemy niż te, którym przyglądamy się dzisiaj. W nich moduły można łączyć z wielomianami, pierwiastkami arytmetycznymi, logarytmami itp. I w takich sytuacjach możliwość obniżenia ogólnego stopnia równania poprzez wyjęcie czegoś z nawiasów może być bardzo, bardzo przydatna. :)

Teraz chciałbym przyjrzeć się innemu równaniu, które na pierwszy rzut oka może wydawać się szalone. Wielu uczniów utknie w tym miejscu, nawet ci, którzy myślą, że dobrze rozumieją moduły.

Jednak to równanie jest jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż to, o czym pisaliśmy wcześniej. A jeśli zrozumiesz dlaczego, otrzymasz kolejną sztuczkę umożliwiającą szybkie rozwiązywanie równań z modułami.

Zatem równanie jest następujące:

\[\lewo| x-((x)^(3)) \prawo|+\lewo| ((x)^(2))+x-2 \prawo|=0\]

Nie, to nie jest literówka: to plus pomiędzy modułami. I musimy znaleźć, przy jakim $x$ suma dwóch modułów jest równa zeru. :)

W czym w ogóle problem? Problem polega jednak na tym, że każdy moduł jest liczbą dodatnią lub, w skrajnych przypadkach, zerem. Co się stanie, jeśli dodasz dwie liczby dodatnie? Oczywiście znowu liczba dodatnia:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Ostatnia linia może dać ci pewien pomysł: suma modułów wynosi zero tylko wtedy, gdy każdy moduł wynosi zero:

A kiedy moduł jest równy zero? Tylko w jednym przypadku – gdy wyrażenie submodularne jest równe zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Strzałka w prawo \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Strzałka w prawo \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Zatem mamy trzy punkty, w których pierwszy moduł jest resetowany do zera: 0, 1 i -1; oraz dwa punkty, w których zerowany jest drugi moduł: −2 i 1. Musimy jednak jednocześnie wyzerować oba moduły, więc spośród znalezionych liczb musimy wybrać te, które wchodzą w skład oba zestawy. Oczywiście jest tylko jedna taka liczba: $x=1$ - to będzie ostateczna odpowiedź.

Metoda rozszczepiania

Cóż, omówiliśmy już wiele problemów i nauczyliśmy się wielu technik. Myślisz, że to wszystko? Ale nie! Teraz przyjrzymy się ostatecznej technice – i jednocześnie najważniejszej. Porozmawiamy o dzieleniu równań za pomocą modułu. O czym w ogóle będziemy rozmawiać? Cofnijmy się trochę i spójrzmy na proste równanie. Na przykład to:

\[\lewo| 3x-5 \prawo|=5-3x\]

W zasadzie już wiemy jak rozwiązać takie równanie, gdyż jest to standardowa konstrukcja postaci $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Spróbujmy jednak spojrzeć na to równanie z nieco innej perspektywy. Dokładniej, rozważ wyrażenie pod znakiem modułu. Przypomnę, że moduł dowolnej liczby może być równy samej liczbie lub może być przeciwny do tej liczby:

\[\lewo| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Właściwie ta dwuznaczność jest całym problemem: ponieważ liczba pod modułem zmienia się (zależy to od zmiennej), nie jest dla nas jasne, czy jest ona dodatnia, czy ujemna.

Ale co, jeśli początkowo chcesz, aby ta liczba była dodatnia? Przykładowo wymagamy $3x-5 \gt 0$ - w tym przypadku mamy gwarancję otrzymania liczby dodatniej pod znakiem modułu i możemy całkowicie pozbyć się tego właśnie modułu:

W ten sposób nasze równanie zmieni się w równanie liniowe, które można łatwo rozwiązać:

To prawda, że wszystkie te myśli mają sens tylko pod warunkiem $3x-5 \gt 0$ - sami wprowadziliśmy ten wymóg, aby jednoznacznie ujawnić moduł. Dlatego podstawmy znaleziony $x=\frac(5)(3)$ do tego warunku i sprawdźmy:

Okazuje się, że dla podanej wartości $x$ nasz wymóg nie jest spełniony, ponieważ wyrażenie okazało się równe zeru i potrzebujemy, aby było ono ściśle większe od zera. Smutne. :(

Ale jest dobrze! W końcu istnieje inna opcja $3x-5 \lt 0$. Co więcej: istnieje również przypadek $3x-5=0$ - to również należy wziąć pod uwagę, w przeciwnym razie rozwiązanie będzie niekompletne. Rozważmy więc przypadek $3x-5 \lt 0$:

Oczywiście moduł otworzy się ze znakiem minus. Ale potem pojawia się dziwna sytuacja: zarówno po lewej, jak i po prawej stronie pierwotnego równania będzie wystawać to samo wyrażenie:

Zastanawiam się, przy jakim $x$ wyrażenie $5-3x$ będzie równe wyrażeniu $5-3x$? Nawet Kapitan Oczywistość zakrztusiłby się śliną od takich równań, ale my wiemy: to równanie jest tożsamością, czyli. jest to prawdą dla dowolnej wartości zmiennej!

Oznacza to, że dowolne $x$ będzie nam odpowiadać. Mamy jednak ograniczenie:

Innymi słowy, odpowiedzią nie będzie pojedyncza liczba, ale cały przedział:

Na koniec pozostaje jeszcze jeden przypadek do rozważenia: 3x-5=0$. Tutaj wszystko jest proste: pod modułem będzie zero, a moduł zerowy też będzie równy zero (wynika to wprost z definicji):

Ale potem pierwotne równanie $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ zostanie przepisane w następujący sposób:

Otrzymaliśmy już ten pierwiastek powyżej, gdy rozważaliśmy przypadek $3x-5 \gt 0$. Co więcej, pierwiastek ten jest rozwiązaniem równania $3x-5=0$ - jest to ograniczenie, które sami wprowadziliśmy w celu zresetowania modułu. :)

Tym samym oprócz przedziału zadowoli nas także liczba znajdująca się na samym końcu tego przedziału:

Łączenie pierwiastków w równaniach modulo

Całkowita ostateczna odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Niezbyt często można zobaczyć takie bzdury w odpowiedzi na dość proste (w zasadzie liniowe) równanie z modułem , No cóż, przyzwyczaj się: trudność modułu polega na tym, że odpowiedzi w takich równaniach mogą okazać się całkowicie nieprzewidywalne.

O wiele ważniejsze jest coś innego: właśnie przeanalizowaliśmy uniwersalny algorytm rozwiązywania równania o module! Algorytm ten składa się z następujących kroków:

Przyrównaj każdy moduł w równaniu do zera. Otrzymujemy kilka równań;
Rozwiąż wszystkie te równania i zaznacz pierwiastki na osi liczbowej. W rezultacie linia prosta zostanie podzielona na kilka przedziałów, w każdym z których wszystkie moduły zostaną jednoznacznie odsłonięte;
Rozwiąż oryginalne równanie dla każdego przedziału i połącz swoje odpowiedzi.

To wszystko! Pozostaje tylko jedno pytanie: co zrobić z korzeniami uzyskanymi w kroku 1? Powiedzmy, że mamy dwa pierwiastki: $x=1$ i $x=5$. Podzielą oś liczbową na 3 części:

Dzielenie osi liczbowej na przedziały za pomocą punktów

Jakie są zatem interwały? Oczywiste jest, że są trzy z nich:

Skrajny lewy: $x \lt 1$ — sama jednostka nie jest wliczana do przedziału;
Centralny: $1\le x \lt 5$ - tutaj jeden jest uwzględniony w przedziale, ale pięć nie jest uwzględnionych;
Najbardziej na prawo: $x\ge 5$ - tutaj uwzględniono tylko pięć!

Myślę, że już rozumiesz ten wzór. Każdy przedział obejmuje lewy koniec i nie obejmuje prawego.

Na pierwszy rzut oka taki wpis może wydawać się niewygodny, nielogiczny i w ogóle jakiś szalony. Ale uwierz mi: po odrobinie praktyki przekonasz się, że to podejście jest najbardziej niezawodne i nie przeszkadza w jednoznacznym otwieraniu modułów. Lepiej zastosować taki schemat, niż za każdym razem myśleć: oddać lewy/prawy koniec aktualnemu interwałowi lub „wrzucić” go do następnego.

Na tym kończy się lekcja. Pobierz zadania do samodzielnego rozwiązania, przećwicz, porównaj z odpowiedziami - i do zobaczenia na kolejnej lekcji, która będzie poświęcona nierównościom z modułami. :)

Najpierw definiujemy znak wyrażenia pod znakiem modułu, a następnie rozwijamy moduł:

jeśli wartość wyrażenia jest większa od zera, to po prostu usuwamy je spod znaku modułu,
jeśli wyrażenie jest mniejsze od zera, to usuwamy je spod znaku modułu, zmieniając znak, tak jak to zrobiliśmy wcześniej w przykładach.

Cóż, spróbujemy? Oceńmy:

(Zapomniałem, powtórz.)

Jeśli tak, to jaki ma znak? Ależ oczywiście, !

Dlatego rozszerzamy znak modułu, zmieniając znak wyrażenia:

Rozumiem? Następnie spróbuj sam:

Odpowiedzi:

Jakie inne właściwości posiada moduł?

Jeśli potrzebujemy pomnożyć liczby wewnątrz znaku modułu, możemy łatwo pomnożyć moduły tych liczb!!!

W kategoriach matematycznych Moduł iloczynu liczb jest równy iloczynowi modułów tych liczb.

Na przykład:

A co jeśli będziemy musieli podzielić dwie liczby (wyrażenia) pod znakiem modułu?

Tak, tak samo jak przy mnożeniu! Podzielmy to na dwie oddzielne liczby (wyrażenia) pod znakiem modułu:

pod warunkiem, że (ponieważ nie można dzielić przez zero).

Warto pamiętać o jeszcze jednej właściwości modułu:

Moduł sumy liczb jest zawsze mniejszy lub równy sumie modułów tych liczb:

Dlaczego? Wszystko jest bardzo proste!

Jak pamiętamy, moduł jest zawsze dodatni. Ale pod znakiem modułu może znajdować się dowolna liczba: zarówno dodatnia, jak i ujemna. Załóżmy, że liczby i są dodatnie. Wtedy lewe wyrażenie będzie równe prawemu wyrażeniu.

Spójrzmy na przykład:

Jeśli pod znakiem modułu jedna liczba jest ujemna, a druga dodatnia, lewe wyrażenie będzie zawsze mniejsze niż prawe:

Z tą właściwością wszystko wydaje się jasne, spójrzmy na kilka bardziej przydatnych właściwości modułu.

A co jeśli mamy takie wyrażenie:

Co możemy zrobić z tym wyrażeniem? Wartość x nie jest nam znana, ale wiemy już co, co oznacza.

Liczba jest większa od zera, co oznacza, że możesz po prostu napisać:

Dochodzimy więc do kolejnej własności, którą ogólnie można przedstawić w następujący sposób:

Co równa się to wyrażenie:

Musimy więc zdefiniować znak pod modułem. Czy trzeba tu definiować znak?

Oczywiście, że nie, jeśli pamiętasz, że każda liczba podniesiona do kwadratu jest zawsze większa od zera! Jeśli nie pamiętasz, zobacz temat. Co się więc dzieje? Oto co:

Świetnie, prawda? Całkiem wygodne. A teraz konkretny przykład na wzmocnienie:

No właśnie, skąd wątpliwości? Działajmy odważnie!

Czy już wszystko wymyśliłeś? Zatem śmiało i ćwicz na przykładach!

1. Znajdź wartość wyrażenia jeśli.

2. Które liczby mają ten sam moduł?

3. Znajdź znaczenie wyrażeń:

Jeśli nie wszystko jest jeszcze jasne i występują trudności z rozwiązaniami, zastanówmy się:

Rozwiązanie 1:

Zastąpmy więc wartości i wyrażeniem

Rozwiązanie 2:

Jak pamiętamy, liczby przeciwne mają równy moduł. Oznacza to, że wartość modułu jest równa dwóm liczbom: i.

Rozwiązanie 3:

A)
B)
V)
G)

Złapałeś wszystko? Nadszedł czas, aby przejść do czegoś bardziej złożonego!

Spróbujmy uprościć wyrażenie

Rozwiązanie:

Pamiętamy więc, że wartość modułu nie może być mniejsza niż zero. Jeśli znak modułu ma liczbę dodatnią, wówczas możemy po prostu odrzucić znak: moduł liczby będzie równy tej liczbie.

Ale jeśli pod znakiem modułu znajduje się liczba ujemna, wówczas wartość modułu jest równa liczbie przeciwnej (to znaczy liczbie wziętej ze znakiem „-”).

Aby znaleźć moduł dowolnego wyrażenia, musisz najpierw dowiedzieć się, czy przyjmuje ono wartość dodatnią, czy ujemną.

Okazuje się, że wartość pierwszego wyrażenia pod modułem.

Dlatego wyrażenie pod znakiem modułu jest ujemne. Drugie wyrażenie pod znakiem modułu jest zawsze dodatnie, ponieważ dodajemy dwie liczby dodatnie.

Zatem wartość pierwszego wyrażenia pod znakiem modułu jest ujemna, druga jest dodatnia:

Oznacza to, że rozszerzając znak modułu pierwszego wyrażenia, musimy przyjąć to wyrażenie ze znakiem „-”. Lubię to:

W drugim przypadku po prostu odrzucamy znak modułu:

Uprośćmy to wyrażenie w całości:

Moduł liczby i jego własności (ścisłe definicje i dowody)

Definicja:

Moduł (wartość bezwzględna) liczby to sama liczba, jeśli i liczba, jeśli:

Na przykład:

Przykład:

Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Podstawowe właściwości modułu

Dla wszystkich:

Przykład:

Udowodnij własność nr 5.

Dowód:

Załóżmy, że istnieją takie, że

Podstawmy do kwadratu lewą i prawą stronę nierówności (można to zrobić, ponieważ obie strony nierówności są zawsze nieujemne):

co jest sprzeczne z definicją modułu.

W konsekwencji tacy ludzie nie istnieją, co oznacza, że nierówność dotyczy wszystkich

Przykłady rozwiązań niezależnych:

1) Udowodnij właściwość nr 6.

2) Uprość wyrażenie.

Odpowiedzi:

1) Skorzystajmy z właściwości nr 3: , a zatem

Aby uprościć, musisz rozszerzyć moduły. Aby rozwinąć moduły, musisz dowiedzieć się, czy wyrażenia pod modułem są dodatnie czy ujemne?

A. Porównajmy liczby i i:

B. Teraz porównajmy:

Dodajemy wartości modułów:

Wartość bezwzględna liczby. Krótko o najważniejszej sprawie.

Moduł (wartość bezwzględna) liczby to sama liczba, jeśli i liczba, jeśli:

Właściwości modułu:

Moduł liczby jest liczbą nieujemną: ;
Moduły przeciwnych liczb są równe: ;
Moduł iloczynu dwóch (lub więcej) liczb jest równy iloczynowi ich modułów: ;
Moduł ilorazu dwóch liczb jest równy ilorazowi ich modułów: ;
Moduł sumy liczb jest zawsze mniejszy lub równy sumie modułów tych liczb: ;
Ze znaku modułu można wyjąć stały dodatni mnożnik: at;

Moduł liczbowy to nowe pojęcie w matematyce. Przyjrzyjmy się bliżej, czym jest moduł liczbowy i jak z nim pracować?

Spójrzmy na przykład:

Wyszliśmy z domu i udaliśmy się do sklepu. Przeszliśmy 300 m, matematycznie to wyrażenie można zapisać jako +300, znaczenie liczby 300 ze znaku „+” nie ulegnie zmianie. Odległość lub moduł liczby w matematyce jest tym samym i można ją zapisać w następujący sposób: |300|=300. Znak modułu liczby jest oznaczony dwiema pionowymi liniami.

A potem przeszliśmy 200 m w przeciwnym kierunku. Matematycznie możemy zapisać ścieżkę powrotną jako -200. Ale nie mówimy „przeszliśmy minus dwieście metrów”, chociaż wróciliśmy, ponieważ odległość jako ilość pozostaje dodatnia. W tym celu w matematyce wprowadzono pojęcie modułu. Możesz zapisać odległość lub moduł liczby -200 w następujący sposób: |-200|=200.

Właściwości modułu.

Definicja:
Moduł liczby lub wartość bezwzględna liczby to odległość od punktu początkowego do punktu docelowego.

Moduł liczby całkowitej różnej od zera jest zawsze liczbą dodatnią.

Moduł jest napisany w następujący sposób:

1. Moduł liczby dodatniej jest równy samej liczbie.
| a|=A

2. Moduł liczby ujemnej jest równy liczbie przeciwnej.
|- a|=A

3. Moduł zera jest równy zeru.
|0|=0

4. Moduły przeciwnych liczb są równe.
| a|=|-a|=A

Powiązane pytania:
Jaki jest moduł liczby?
Odpowiedź: Moduł to odległość od punktu początkowego do punktu docelowego.

Co się stanie, jeśli umieścisz znak „+” przed liczbą całkowitą?
Odpowiedź: liczba nie zmieni swojego znaczenia, na przykład 4=+4.

Co się stanie, jeśli umieścisz znak „-” przed liczbą całkowitą?
Odpowiedź: liczba zmieni się na przykład na 4 i -4.

Które liczby mają ten sam moduł?
Odpowiedź: liczby dodatnie i zero będą miały ten sam moduł. Na przykład 15=|15|.

Które liczby mają moduł liczby przeciwnej?
Odpowiedź: dla liczb ujemnych moduł będzie równy liczbie przeciwnej. Na przykład |-6|=6.

Przykład 1:
Znajdź moduł liczb: a) 0 b) 5 c) -7?

Rozwiązanie:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Przykład nr 2:
Czy istnieją dwie różne liczby, których moduły są równe?

Rozwiązanie:
|10|=10
|-10|=10

Moduły liczb przeciwnych są równe.

Przykład nr 3:
Które dwie przeciwne liczby mają moduł 9?

Rozwiązanie:
|9|=9
|-9|=9

Odpowiedź: 9 i -9.

Przykład nr 4:
Wykonaj następujące kroki: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Rozwiązanie:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Przykład nr 5:
Znajdź: a) moduł liczby 2 b) moduł liczby 6 c) moduł liczby 8 d) moduł liczby 1 e) moduł liczby 0.
Rozwiązanie:

a) moduł liczby 2 oznaczamy jako |2| lub |+2| To jest to samo.
|2|=2

b) moduł liczby 6 oznaczamy jako |6| lub |+6| To jest to samo.
|6|=6

c) moduł liczby 8 oznaczamy jako |8| lub |+8| To jest to samo.
|8|=8

d) moduł liczby 1 oznaczamy jako |1| lub |+1| To jest to samo.
|1|=1

e) moduł liczby 0 oznaczamy jako |0|, |+0| lub |-0| To jest to samo.
|0|=0