Znajdź pochodną pierwiastka z x. Znajdź pochodną: algorytm i przykłady rozwiązań

Instrukcje

Przed znalezieniem pochodnej pierwiastka zwróć uwagę na inne funkcje występujące w rozwiązywanym przykładzie. Jeśli problem ma wiele wyrażeń radykalnych, użyj poniższej reguły, aby znaleźć pochodną pierwiastka kwadratowego:

(√x)” = 1 / 2√x.

Aby znaleźć pochodną pierwiastka sześciennego, użyj wzoru:

(³√x)” = 1 / 3(³√x)²,

gdzie ³√x oznacza pierwiastek sześcienny z x.

Jeśli w celu różniczkowania istnieje zmienna w ułamku , to zamień pierwiastek na funkcję potęgową z odpowiednim wykładnikiem. Dla pierwiastka kwadratowego będzie to potęga ½, a dla pierwiastka sześciennego będzie to ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

gdzie ^ oznacza potęgowanie.

Aby znaleźć pochodną funkcji potęgowej w ogóle, a w szczególności x^1, x^⅓, użyj następującej reguły:

(x^n)" = n * x^(n-1).

Dla pochodnej pierwiastka z tej zależności wynika:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) i
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

Po zróżnicowaniu wszystkiego przyjrzyj się uważnie pozostałej części przykładu. Jeśli w swojej odpowiedzi masz bardzo kłopotliwe wyrażenie, prawdopodobnie możesz je uprościć. Większość przykładów szkolnych jest skonstruowana w taki sposób, że efektem końcowym jest mała liczba lub zwarte wyrażenie.

W wielu problemach pochodnych pierwiastki (kwadrat i sześcian) występują razem z innymi funkcjami. Aby znaleźć pochodną pierwiastka w tym przypadku, użyj następujących zasad:
pochodna stałej (liczba stała, C) jest równa zeru: C” = 0;
ze znaku pochodnej odejmuje się współczynnik stały: (k*f)" = k * (f)" (f jest funkcją dowolną);
pochodna sumy kilku funkcji jest równa sumie pochodnych: (f + g)” = (f)” + (g)”;
pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa... nie, nie iloczynowi pochodnych, ale wyrażeniu: (fg)" = (f)"g + f (g)";
pochodna ilorazu również nie jest równa ilorazowi pochodnych, ale wyznaczana jest według reguły: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

notatka

Na tej stronie możesz obliczyć pochodną funkcji online i uzyskać szczegółowe rozwiązanie problemu. Do rozwiązywania pochodnych funkcji wykorzystuje się reguły różniczkowania, których studenci uczą się w trakcie analizy matematycznej w instytucie. Aby znaleźć pochodną funkcji, należy w polu „Funkcja” wpisać funkcję różniczkowania zgodnie z zasadami wprowadzania danych.

Pomocna rada

Pochodna funkcji to granica stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu dąży do zera: Matematyczny sens tej definicji nie jest zbyt łatwy do zrozumienia, ponieważ w szkole na kursie algebry pojęcie granicy funkcji albo nie jest badane w ogóle, albo jest badane bardzo powierzchownie. Ale aby nauczyć się znajdować pochodne różnych funkcji, nie jest to konieczne.

Źródła:

• pierwiastek pochodny z x

1. Ogólny przypadek wzoru na pochodną pierwiastka dowolnego stopnia- ułamek, w liczniku którego znajduje się jeden, a w mianowniku liczbę równą potęgi pierwiastka, dla którego obliczono pochodną, ​​pomnożoną przez pierwiastek tej samej potęgi, której radykalnym wyrazem jest zmienna w potęga pierwiastka, dla którego obliczono pochodną, ​​pomniejszona o jeden
2. Pochodna pierwiastkowa- jest szczególnym przypadkiem poprzedniego wzoru. Pochodna pierwiastka kwadratowego z x to ułamek, którego licznik wynosi jeden, a mianownik jest dwa razy większy od pierwiastka kwadratowego z x
3. Pochodna pierwiastka sześciennego, także szczególny przypadek wzoru ogólnego. Pochodna pierwiastka sześciennego to pochodna podzielona przez trzy pierwiastki sześcienne x do kwadratu.

Poniżej znajdują się przekształcenia wyjaśniające, dlaczego wzory na znalezienie pochodnych pierwiastka kwadratowego i sześciennego są dokładnie takie same, jak pokazano na rysunku.

Oczywiście nie trzeba w ogóle zapamiętywać tych wzorów, jeśli weźmie się pod uwagę, że wyciągnięcie pierwiastka z potęgi pochodnej jest równoznaczne z podniesieniem ułamka, którego mianownik jest równy tej samej potędze. Następnie znalezienie pochodnej pierwiastka sprowadza się do zastosowania wzoru na znalezienie pochodnej potęgi odpowiedniego ułamka.

Pochodna zmiennej poniżej pierwiastka kwadratowego

Wyjaśnienie:
(√x)" = (x 1/2)"

Pierwiastek kwadratowy to dokładnie taka sama operacja, jak podnoszenie do potęgi 1/2,Oznacza to, że do znalezienia pochodnej pierwiastka można zastosować wzór z reguły znajdowania pochodnej zmiennej do dowolnej potęgi:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

Pochodna pierwiastka sześciennego (pochodna trzeciego pierwiastka)

Wyobraźmy sobie pierwiastek sześcienny jako potęgę 1/3 i znajdź pochodną, ​​korzystając z ogólnych zasad różniczkowania. Krótką formułę widać na powyższym obrazku, a poniżej znajduje się wyjaśnienie, dlaczego tak jest.

Potęgę -2/3 oblicza się odejmując jeden od 1/3

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej (x do potęgi a). Rozważane są pochodne pierwiastków x. Wzór na pochodną funkcji potęgowej wyższego rzędu. Przykłady obliczania instrumentów pochodnych.

Zobacz też: Funkcja potęgowa i pierwiastki, wzory i wykres
Wykresy funkcji mocy

Podstawowe formuły

Pochodna x do potęgi a jest równa a razy x do potęgi minus jeden:
(1) .

Pochodna n-tego pierwiastka z x do m-tej potęgi wynosi:
(2) .

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej

Przypadek x > 0

Rozważmy funkcję potęgową zmiennej x z wykładnikiem a:
(3) .
Tutaj a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Rozważmy najpierw sprawę.

Aby znaleźć pochodną funkcji (3), korzystamy z właściwości funkcji potęgowej i przekształcamy ją do postaci:
.

Teraz znajdujemy pochodną za pomocą:
;
.
Tutaj .

Wzór (1) został udowodniony.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną pierwiastka stopnia n od x do stopnia m

Rozważmy teraz funkcję będącą pierwiastkiem następującej formy:
(4) .

Aby znaleźć pochodną, ​​przekształcamy pierwiastek do funkcji potęgowej:
.
Porównując ze wzorem (3) widzimy to
.
Następnie
.

Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy pochodną:
(1) ;
;
(2) .

W praktyce nie ma potrzeby zapamiętywania wzoru (2). Dużo wygodniej jest najpierw przekształcić pierwiastki na funkcje potęgowe, a następnie znaleźć ich pochodne korzystając ze wzoru (1) (patrz przykłady na końcu strony).

Przypadek x = 0

Jeżeli , to funkcja potęgowa jest zdefiniowana dla wartości zmiennej x = 0 . Znajdźmy pochodną funkcji (3) przy x = 0 . W tym celu korzystamy z definicji pochodnej:
.

Podstawmy x = 0 :
.
W tym przypadku przez pochodną rozumiemy prawą granicę, dla której .

Znaleźliśmy więc:
.
Z tego jasno wynika, że ​​dla , .
Na , .
Na , .
Wynik ten uzyskuje się również ze wzoru (1):
(1) .
Zatem wzór (1) obowiązuje także dla x = 0 .

Przypadek x< 0

Rozważmy ponownie funkcję (3):
(3) .
Dla pewnych wartości stałej a definiuje się ją również dla ujemnych wartości zmiennej x. Mianowicie, niech a będzie liczbą wymierną. Wtedy można to przedstawić jako ułamek nieredukowalny:
,
gdzie m i n są liczbami całkowitymi, które nie mają wspólnego dzielnika.

Jeśli n jest nieparzyste, wówczas funkcję potęgową definiuje się również dla ujemnych wartości zmiennej x. Na przykład, gdy n = 3 i m = 1 mamy pierwiastek sześcienny z x:
.
Jest on również definiowany dla ujemnych wartości zmiennej x.

Znajdźmy pochodną funkcji potęgi (3) dla i dla wymiernych wartości stałej a, dla której jest ona zdefiniowana. Aby to zrobić, przedstawmy x w następującej formie:
.
Następnie ,
.
Pochodną znajdujemy umieszczając stałą poza znakiem pochodnej i stosując zasadę różniczkowania funkcji zespolonej:

.
Tutaj . Ale
.
Od tego czasu
.
Następnie
.
Oznacza to, że wzór (1) obowiązuje także dla:
(1) .

Instrumenty pochodne wyższego rzędu

Znajdźmy teraz pochodne wyższego rzędu funkcji potęgowej
(3) .
Znaleźliśmy już pochodną pierwszego rzędu:
.

Wyjmując stałą a poza znak pochodnej, znajdujemy pochodną drugiego rzędu:
.
Podobnie znajdujemy pochodne trzeciego i czwartego rzędu:
;

.

Z tego wynika, że pochodna dowolnego n-tego rzędu ma następującą postać:
.

Zauważ, że jeśli a jest liczbą naturalną, to n-ta pochodna jest stała:
.
Wtedy wszystkie kolejne pochodne są równe zeru:
,
Na .

Przykłady obliczania instrumentów pochodnych

Przykład

Znajdź pochodną funkcji:
.

Zamieńmy pierwiastki na potęgi:
;
.
Wtedy oryginalna funkcja przyjmuje postać:
.

Znajdowanie pochodnych potęg:
;
.
Pochodna stałej wynosi zero:
.

Operację znajdowania pochodnej nazywamy różniczkowaniem.

W wyniku rozwiązania problemów znalezienia pochodnych najprostszych (i niezbyt prostych) funkcji poprzez zdefiniowanie pochodnej jako granicy stosunku przyrostu do przyrostu argumentu, pojawiła się tabela pochodnych i precyzyjnie określone zasady różniczkowania . Pierwszymi, którzy zajęli się znajdowaniem pochodnych byli Izaak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Dlatego w naszych czasach, aby znaleźć pochodną dowolnej funkcji, nie trzeba obliczać wspomnianej powyżej granicy stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, a wystarczy skorzystać z tabeli pochodne i zasady różniczkowania. Poniższy algorytm jest odpowiedni do znajdowania pochodnej.

Aby znaleźć pochodną, potrzebujesz wyrażenia pod znakiem pierwszym rozkładanie prostych funkcji na komponenty i określ, jakie działania (iloczyn, suma, iloraz) te funkcje są ze sobą powiązane. Następnie pochodne funkcji elementarnych znajdujemy w tabeli pochodnych, a wzory na pochodne iloczynu, sumy i ilorazu - w zasadach różniczkowania. Tablicę pochodnych i zasady różniczkowania podano po pierwszych dwóch przykładach.

Przykład 1. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Z zasad różniczkowania dowiadujemy się, że pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych funkcji, tj.

Z tabeli pochodnych dowiadujemy się, że pochodna „x” jest równa jeden, a pochodna sinusa jest równa cosinus. Podstawiamy te wartości do sumy pochodnych i znajdujemy pochodną wymaganą przez warunek zadania:

Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Różniczkujemy jako pochodną sumy, w której drugi wyraz ma stały współczynnik, można go wyprowadzić ze znaku pochodnej:

Jeśli nadal pojawiają się pytania o to, skąd coś się bierze, zwykle wyjaśnia się je po zapoznaniu się z tabelą pochodnych i najprostszymi regułami różniczkowania. Właśnie do nich przechodzimy.

Tabela pochodnych funkcji prostych

1. Pochodna stałej (liczby). Dowolna liczba (1, 2, 5, 200...) występująca w wyrażeniu funkcji. Zawsze równe zeru. Warto o tym pamiętać, ponieważ jest to wymagane bardzo często
2. Pochodna zmiennej niezależnej. Najczęściej „X”. Zawsze równy jeden. To także warto zapamiętać na długo
3. Pochodna stopnia. Rozwiązując problemy, musisz przekształcić pierwiastki inne niż kwadratowe w potęgi.
4. Pochodna zmiennej do potęgi -1
5. Pochodna pierwiastka kwadratowego
6. Pochodna sinusa
7. Pochodna cosinusa
8. Pochodna tangensa
9. Pochodna kotangensu
10. Pochodna arcsine
11. Pochodna arckosinusa
12. Pochodna arcustangens
13. Pochodna cotangensu łukowego
14. Pochodna logarytmu naturalnego
15. Pochodna funkcji logarytmicznej
16. Pochodna wykładnika
17. Pochodna funkcji wykładniczej

Zasady różnicowania

1. Pochodna sumy lub różnicy
2. Pochodna produktu
2a. Pochodna wyrażenia pomnożona przez stały współczynnik
3. Pochodna ilorazu
4. Pochodna funkcji zespolonej

Zasada nr 1.Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym punkcie, to funkcje są różniczkowalne w tym samym punkcie

I

te. pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji.

Konsekwencja. Jeżeli dwie funkcje różniczkowalne różnią się składnikiem stałym, to ich pochodne są równe, tj.

Zasada 2.Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym punkcie, to ich iloczyn jest różniczkowalny w tym samym punkcie

I

te. Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji i pochodnej drugiej.

Wniosek 1. Ze znaku pochodnej można odjąć stały współczynnik:

Konsekwencja 2. Pochodna iloczynu kilku funkcji różniczkowalnych jest równa sumie iloczynów pochodnej każdego czynnika i wszystkich pozostałych.

Na przykład dla trzech mnożników:

Zasada 3.Jeśli funkcje

w pewnym momencie różniczkowalne I , to w tym momencie ich iloraz jest również różniczkowalnyu/v i

te. pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest różnica między iloczynami mianownika a pochodną licznika i licznika oraz pochodną mianownika, a mianownikiem jest kwadrat poprzedni licznik.

Gdzie szukać rzeczy na innych stronach

Znajdując pochodną iloczynu i ilorazu w rzeczywistych problemach, zawsze konieczne jest zastosowanie kilku zasad różniczkowania na raz, dlatego w artykule jest więcej przykładów na te pochodne„Pochodna iloczynu i iloraz funkcji”.

Komentarz. Nie należy mylić stałej (czyli liczby) z wyrazem sumy i stałym czynnikiem! W przypadku terminu jego pochodna jest równa zeru, a w przypadku czynnika stałego jest ona odejmowana od znaku pochodnych. Jest to typowy błąd, który pojawia się na początkowym etapie studiowania instrumentów pochodnych, jednak w miarę jak przeciętny student rozwiązuje kilka jedno- i dwuczęściowych przykładów, już tego błędu nie popełnia.

A jeśli różnicując iloczyn lub iloraz, masz termin ty"w, w którym ty- liczba, na przykład 2 lub 5, czyli stała, wtedy pochodna tej liczby będzie równa zeru i dlatego cały wyraz będzie równy zero (przypadek ten omówiono w przykładzie 10).

Innym częstym błędem jest mechaniczne rozwiązywanie pochodnej funkcji złożonej jako pochodnej funkcji prostej. Dlatego pochodna funkcji zespolonej poświęcony jest osobny artykuł. Ale najpierw nauczymy się znajdować pochodne prostych funkcji.

Po drodze nie można obejść się bez przekształcania wyrażeń. W tym celu konieczne może być otwarcie instrukcji w nowym oknie. Działania z mocami i korzeniami I Operacje na ułamkach .

Jeśli szukasz rozwiązań pochodnych ułamków o potęgach i pierwiastkach, czyli wtedy, gdy funkcja wygląda , a następnie postępuj zgodnie z lekcją „Pochodna sum ułamków z potęgami i pierwiastkami”.

Jeśli masz takie zadanie jak , następnie odbędziesz lekcję „Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych”.

Przykłady krok po kroku - jak znaleźć pochodną

Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Definiujemy części wyrażenia funkcyjnego: całe wyrażenie reprezentuje iloczyn, a jego czynniki są sumami, w których drugi z wyrazów zawiera stały czynnik. Stosujemy zasadę różniczkowania iloczynu: pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji przez pochodną drugiej:

Następnie stosujemy zasadę różniczkowania sumy: pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji. W naszym przypadku w każdej sumie drugi wyraz ma znak minus. W każdej sumie widzimy zarówno zmienną niezależną, której pochodna jest równa jeden, jak i stałą (liczbę), której pochodna jest równa zero. Zatem „X” zamienia się w jeden, a minus 5 zamienia się w zero. W drugim wyrażeniu „x” jest mnożone przez 2, więc mnożymy dwa przez tę samą jednostkę, co pochodna „x”. Otrzymujemy następujące wartości pochodnych:

Podstawiamy znalezione pochodne do sumy iloczynów i otrzymujemy pochodną całej funkcji wymaganej przez warunek zadania:

I możesz sprawdzić rozwiązanie problemu pochodnej na.

Przykład 4. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Musimy znaleźć pochodną ilorazu. Stosujemy wzór na różniczkowanie ilorazu: pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest różnica między iloczynami mianownika a pochodną licznika i licznika oraz pochodną mianownik, a mianownikiem jest kwadrat poprzedniego licznika. Otrzymujemy:

Pochodną czynników w liczniku znaleźliśmy już w przykładzie 2. Nie zapominajmy też, że iloczyn, który w obecnym przykładzie jest drugim czynnikiem w liczniku, jest liczony ze znakiem minus:

Jeśli szukasz rozwiązań problemów, w których trzeba znaleźć pochodną funkcji, gdzie istnieje ciągły stos pierwiastków i potęg, jak np. , to witaj na zajęciach „Pochodna sum ułamków z potęgami i pierwiastkami” .

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o pochodnych sinusów, cosinusów, tangensów i innych funkcji trygonometrycznych, czyli gdy funkcja wygląda , to lekcja dla ciebie „Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych” .

Przykład 5. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. W funkcji tej widzimy iloczyn, którego jednym z czynników jest pierwiastek kwadratowy zmiennej niezależnej, której pochodną zapoznaliśmy się z tabelą pochodnych. Korzystając z reguły różniczkowania iloczynu i wartości tabelarycznej pochodnej pierwiastka kwadratowego, otrzymujemy:

Rozwiązanie problemu pochodnego możesz sprawdzić na stronie kalkulator instrumentów pochodnych online .

Przykład 6. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. W tej funkcji widzimy iloraz, którego dywidenda jest pierwiastkiem kwadratowym zmiennej niezależnej. Stosując zasadę różniczkowania ilorazów, którą powtórzyliśmy i zastosowaliśmy w przykładzie 4, oraz tabelaryczną wartość pochodnej pierwiastka kwadratowego, otrzymujemy:

Aby pozbyć się ułamka w liczniku, pomnóż licznik i mianownik przez.

Funkcje typu złożonego nie zawsze pasują do definicji funkcji złożonej. Jeśli istnieje funkcja w postaci y = sin x - (2 - 3) · a r do t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, to nie można jej uważać za złożoną, w przeciwieństwie do y = sin 2 x.

W artykule zostanie zaprezentowane pojęcie funkcji zespolonej oraz jej identyfikacja. Pracujmy ze wzorami na znalezienie pochodnej z przykładami rozwiązań w podsumowaniu. Zastosowanie tabeli pochodnych i zasad różniczkowania znacznie skraca czas znajdowania pochodnej.

Podstawowe definicje

Funkcja złożona to taka, której argument jest również funkcją.

Oznacza się to w ten sposób: f (g (x)). Mamy, że funkcja g (x) jest uważana za argument f (g (x)).

Definicja 2

Jeśli istnieje funkcja f i jest to funkcja cotangens, to g(x) = ln x jest funkcją logarytmu naturalnego. Stwierdzamy, że funkcja zespolona f (g (x)) zostanie zapisana jako arctg(lnx). Lub funkcję f, która jest funkcją podniesioną do czwartej potęgi, gdzie g (x) = x 2 + 2 x - 3 uważa się za całą funkcję wymierną, otrzymujemy, że f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Oczywiście g(x) może być złożone. Z przykładu y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 widać, że wartość g ma pierwiastek sześcienny ułamka. Wyrażenie to można oznaczyć jako y = f (f 1 (f 2 (x))). Skąd mamy, że f jest funkcją sinusową, a f 1 jest funkcją znajdującą się pod pierwiastkiem kwadratowym, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 jest ułamkową funkcją wymierną.

Definicja 3

Stopień zagnieżdżenia jest określany przez dowolną liczbę naturalną i zapisywany jako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definicja 4

Pojęcie złożenia funkcji odnosi się do liczby funkcji zagnieżdżonych zgodnie z warunkami problemu. Aby rozwiązać, użyj wzoru na znalezienie pochodnej funkcji zespolonej formy

(f (g (x))) " = fa " (g (x)) g " (x)

Przykłady

Znajdź pochodną funkcji zespolonej postaci y = (2 x + 1) 2.

Rozwiązanie

Warunek pokazuje, że f jest funkcją kwadratową, a g(x) = 2 x + 1 uważa się za funkcję liniową.

Zastosujmy wzór na pochodną dla funkcji zespolonej i napiszmy:

fa " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; sol " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) sol " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Należy znaleźć pochodną z uproszczoną pierwotną postacią funkcji. Otrzymujemy:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Stąd mamy to

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Wyniki były takie same.

Rozwiązując problemy tego typu, ważne jest, aby zrozumieć, gdzie będzie zlokalizowana funkcja postaci f i g (x).

Przykład 2

Powinieneś znaleźć pochodne funkcji zespolonych postaci y = sin 2 x i y = sin x 2.

Rozwiązanie

Pierwszy zapis funkcji mówi, że f jest funkcją podnoszącą kwadrat, a g(x) jest funkcją sinus. Wtedy to zrozumiemy

y " = (grzech 2 x) " = 2 grzech 2 - 1 x (grzech x) " = 2 grzech x cos x

Drugi wpis pokazuje, że f jest funkcją sinusową, a g(x) = x 2 oznacza funkcję potęgową. Wynika z tego, że iloczyn funkcji zespolonej zapisujemy jako

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Wzór na pochodną y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) zostanie zapisany jako y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji y = sin (ln 3 a r do t g (2 x)).

Rozwiązanie

Ten przykład pokazuje trudność zapisu i określenia lokalizacji funkcji. Następnie y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) oznaczają, gdzie f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) jest funkcją sinus, funkcją podnoszenia do 3 stopnia, funkcja logarytmiczna i podstawa e, arcus tangens i funkcja liniowa.

Ze wzoru na definicję funkcji zespolonej mamy to

y " = fa " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dostajemy to, co musimy znaleźć

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) jako pochodna sinusa zgodnie z tabelą pochodnych, a następnie f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 za r do t sol (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) jako pochodna funkcji potęgowej, a następnie f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 za r do t sol (2 x) = 3 ln 2 za r do t sol (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) jako pochodna logarytmiczna, następnie f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 za r do t sol (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) jako pochodna arcustangens, następnie f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Znajdując pochodną f 4 (x) = 2 x, usuń 2 ze znaku pochodnej, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku równym 1, a następnie f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Łączymy wyniki pośrednie i otrzymujemy to

y " = fa " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) fa 3 " (f 4 (x)) fa 4 " (x) = = cos (ln 3 za r do t sol (2 x)) 3 ln 2 za r do t g (2 x) 1 za r do t sol (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 sałata (ln 3 za r do t sol (2 x)) ln 2 za r do t sol (2 x) za r do t sol (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takich funkcji przypomina gniazdowanie lalek. Reguły różnicowania nie zawsze mogą być stosowane bezpośrednio przy użyciu tabeli pochodnych. Często trzeba użyć wzoru do znalezienia pochodnych funkcji złożonych.

Istnieją pewne różnice między złożonym wyglądem a złożonymi funkcjami. Dzięki wyraźnej umiejętności rozróżnienia, znalezienie instrumentów pochodnych będzie szczególnie łatwe.

Przykład 4

Warto rozważyć podanie takiego przykładu. Jeżeli istnieje funkcja w postaci y = t g 2 x + 3 t g x + 1, to można ją uznać za złożoną funkcję w postaci g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Oczywiście konieczne jest skorzystanie ze wzoru na pochodną złożoną:

fa " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · sol 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 sol 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t sol x + 3 ; sol " (x) = (t g x) " = 1 sałata 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = fa " (g (x)) sol " (x) = (2 t sol x + 3 ) · 1 sałata 2 x = 2 t sol x + 3 sałata 2 x

Funkcja w postaci y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nie jest uważana za złożoną, ponieważ ma sumę t g x 2, 3 t g x i 1. Jednakże t g x 2 uważa się za funkcję zespoloną, wtedy otrzymujemy funkcję potęgową w postaci g (x) = x 2 i f, która jest funkcją styczną. Aby to zrobić, różnicuj według kwoty. Rozumiemy to

y " = (t sol x 2 + 3 t g x + 1) " = (t sol x 2) " + (3 t sol x) " + 1 " = = (t sol x 2) " + 3 (t sol x) " + 0 = (t sol x 2) " + 3 razy 2x

Przejdźmy do znalezienia pochodnej funkcji zespolonej (t g x 2)”:

fa " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 sałata 2 g (x) = 1 sałata 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Otrzymujemy, że y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 sałata 2 x = 2 x sałata 2 (x 2) + 3 sałata 2 x

Funkcje typu złożonego mogą być zawarte w funkcjach złożonych, a same funkcje złożone mogą być składnikami funkcji typu złożonego.

Przykład 5

Rozważmy na przykład funkcję złożoną w postaci y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Funkcję tę można przedstawić jako y = f (g (x)), gdzie wartość f jest funkcją logarytmu o podstawie 3, a g (x) uważa się za sumę dwóch funkcji w postaci h (x) = x 2 + 3 sałata 3 (2 x + 1) + 7 mi x 2 + 3 3 i k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Oczywiście y = f (h (x) + k (x)).

Rozważmy funkcję h(x). To jest stosunek l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 do m (x) = e x 2 + 3 3

Mamy, że l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) jest sumą dwóch funkcji n (x) = x 2 + 7 i p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , gdzie p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) jest funkcją zespoloną o współczynniku liczbowym 3, a p 1 jest funkcją sześcianu, p 2 przez funkcję cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 przez funkcję liniową.

Ustaliliśmy, że m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) jest sumą dwóch funkcji q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3, gdzie q (x) = q 1 (q 2 (x)) jest funkcją zespoloną, q 1 jest funkcją wykładniczą, q 2 (x) = x 2 jest funkcją potęgi.

To pokazuje, że h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Przechodząc do wyrażenia w postaci k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), widać wyraźnie, że funkcja jest przedstawiona w postaci zespolonej s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) z wymierną liczbą całkowitą t (x) = x 2 + 1, gdzie s 1 jest funkcją kwadratową, a s 2 (x) = ln x jest logarytmiczną z podstawa tj.

Wynika z tego, że wyrażenie będzie miało postać k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Wtedy to zrozumiemy

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 mi x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fa n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na podstawie struktur funkcji stało się jasne, jak i jakich formuł należy użyć, aby uprościć wyrażenie podczas jego różnicowania. Aby zapoznać się z takimi problemami i koncepcją ich rozwiązania, należy przejść do punktu różniczkowania funkcji, czyli znalezienia jej pochodnej.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter