Znajdź największą wartość funkcji kilku zmiennych. Funkcje

W lipcu 2020 roku NASA rozpoczyna wyprawę na Marsa. Sonda dostarczy na Marsa elektroniczny nośnik z nazwiskami wszystkich zarejestrowanych uczestników wyprawy.

Rejestracja uczestników jest otwarta. Zdobądź bilet na Marsa, korzystając z tego linku.

Jeśli ten post rozwiązał Twój problem lub po prostu Ci się spodobał, udostępnij link do niego znajomym w sieciach społecznościowych.

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz wstawiać formuły matematyczne na stronach internetowych swojej witryny.

Kolejny sylwester... mroźna pogoda i płatki śniegu na szybie... Wszystko to skłoniło mnie do ponownego napisania o... fraktalach i tym, co wie na ten temat Wolfram Alpha. Istnieje ciekawy artykuł na ten temat, który zawiera przykłady dwuwymiarowych struktur fraktalnych. Tutaj przyjrzymy się bardziej złożonym przykładom trójwymiarowych fraktali.

Fraktal można wizualnie przedstawić (opisać) jako figurę geometryczną lub bryłę (co oznacza, że ​​obie są zbiorem, w tym przypadku zbiorem punktów), których szczegóły mają taki sam kształt jak sama figura pierwotna. Oznacza to, że jest to struktura samopodobna, badając szczegóły, w których powiększeniu zobaczymy ten sam kształt, co bez powiększenia. Natomiast w przypadku zwykłej figury geometrycznej (a nie fraktala) w powiększeniu zobaczymy detale, które mają prostszy kształt niż sama figura pierwotna. Na przykład przy wystarczająco dużym powiększeniu część elipsy wygląda jak odcinek linii prostej. Nie dzieje się tak w przypadku fraktali: przy każdym ich wzroście ponownie zobaczymy ten sam złożony kształt, który będzie się powtarzał przy każdym wzroście.

Benoit Mandelbrot, twórca nauki o fraktalach, napisał w swoim artykule Fractals and Art in the Name of Science: „Fraktale to kształty geometryczne, które są tak samo złożone pod względem szczegółów, jak i ogólnej formy. To znaczy stanowią część fraktala zostanie powiększony do rozmiarów całości, pojawi się jako całość, albo dokładnie, albo może z lekkim zniekształceniem.”

Twierdzenie 1.5 Niech w obszarze zamkniętym D określona funkcja z=z(x,y), mający ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Granica G region D jest odcinkowo gładka (to znaczy składa się z kawałków „gładkich w dotyku” krzywizn lub linii prostych). Potem w okolicy D funkcjonować z(x, y) osiąga swój największy M i najmniej M wartości.

Brak dowodów.

Możesz zaproponować następujący plan poszukiwania M I M.
1. Budujemy rysunek, zaznaczamy wszystkie części granicy obszaru D i znajdź wszystkie „narożne” punkty granicy.
2. Znajdź w środku punkty stacjonarne D.
3. Znajdź punkty stacjonarne na każdej z granic.
4. Obliczamy we wszystkich punktach stacjonarnych i narożnych, a następnie wybieramy największy M i najmniej M znaczenia.

Przykład 1.14 Znajdź największego M i najmniej M wartości funkcji z= 4x2-2xy+y2-8x na zamkniętym terenie D, ograniczone: X= 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Zbudujmy obszar D(ryc. 1.5) na płaszczyźnie Ooo.

Punkty narożne: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0).

Granica G region D składa się z trzech części:

2. Znajdź punkty stacjonarne wewnątrz regionu D:

3. Punkty stacjonarne na granicach l 1, l 2, l 3:

4. Obliczamy sześć wartości:

Przykłady

Przykład 1.

Funkcja ta jest zdefiniowana dla wszystkich wartości zmiennych X I y, z wyjątkiem początku, gdzie mianownik dąży do zera.

Wielomian x 2 + y 2 jest wszędzie ciągła, zatem pierwiastek kwadratowy funkcji ciągłej jest ciągły.

Ułamek będzie ciągły wszędzie z wyjątkiem punktów, w których mianownik wynosi zero. Oznacza to, że rozważana funkcja jest ciągła na całej płaszczyźnie współrzędnych Ooo, z wyłączeniem pochodzenia.

Przykład 2.

Zbadaj ciągłość funkcji z=tg(x, y). Tangens jest zdefiniowany i ciągły dla wszystkich skończonych wartości argumentu, z wyjątkiem wartości równych nieparzystej liczbie wielkości π /2 , tj. z wyłączeniem punktów, w których

Za każdą ustaloną „k” równanie (1.11) definiuje hiperbolę. Dlatego rozważana funkcja jest funkcją ciągłą Xi y, z wyłączeniem punktów leżących na krzywych (1.11).

Przykład 3.

Znajdź pochodne cząstkowe funkcji u=z -xy, z > 0.

Przykład 4.

Pokaż tę funkcję

spełnia tożsamość:

– ta równość obowiązuje dla wszystkich punktów M(x;y;z), z wyjątkiem punktu M 0 (a;b;c).

Rozważmy funkcję z=f(x,y) dwóch zmiennych niezależnych i ustalmy znaczenie geometryczne zmiennych cząstkowych z"x =f"x(x, y) I z" y = f" y(x, y).

W tym przypadku równanie z=f(x, y) istnieje równanie pewnej powierzchni (ryc. 1.3). Narysujmy samolot y= stała. W części tej płaszczyzny powierzchni z=f(x, y) dostaniesz jakąś linię l 1 przecięcie, wzdłuż którego zmieniają się tylko ilości X I z.

Pochodna częściowa z"x(jego znaczenie geometryczne wynika bezpośrednio ze znanego znaczenia geometrycznego pochodnej funkcji jednej zmiennej) jest liczbowo równe tangensowi kąta α pochylenia względem osi Oh, styczna L 1 do krzywej l 1, w wyniku czego powstaje fragment powierzchni z=f(x, y) samolot y= stała w tym punkcie M(x,y,f(xy)): z" x = tanα.

W przekroju powierzchni z=f(x, y) samolot X= stała otrzymasz linię przecięcia l 2, wzdłuż którego zmieniają się tylko ilości Na I z. Następnie pochodna cząstkowa z" y liczbowo równy tangensowi kąta β przechylenie względem osi Jednostka organizacyjna, styczna L 2 do określonej linii l 2 skrzyżowania w jednym punkcie M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ.

Przykład 5.

Jaki kąt tworzy z osią? Oh styczna do prostej:

w tym punkcie M(2,4,5)?

Używamy geometrycznego znaczenia pochodnej cząstkowej względem zmiennej X(przy stałym Na):

Przykład 6.

Zgodnie z (1.31):

Przykład 7.

Zakładając, że równanie

domyślnie definiuje funkcję

znajdować z"x, z" y.

zatem zgodnie z (1.37) otrzymujemy odpowiedź.

Przykład 8.

Eksploruj do granic możliwości:

1. Znajdź punkty stacjonarne rozwiązując układ (1.41):

oznacza to, że znaleziono cztery punkty stacjonarne.
2.

zgodnie z Twierdzeniem 1.4 w punkcie, w którym występuje minimum.

Ponadto

4. Obliczamy sześć wartości:

Spośród sześciu uzyskanych wartości wybierz największą i najmniejszą.

Bibliografia:

ü Belko I.V., Kuzmich K.K. Matematyka wyższa dla ekonomistów. I semestr: Kurs ekspresowy. – M.: Nowa wiedza, 2002. – 140 s.

ü Gusak A. A.. Analiza matematyczna i równania różniczkowe – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416 s.

ü Gusak A. A. Matematyka wyższa. Podręcznik dla studentów uczelni wyższych w 2 tomach. – Mn., 1998. – 544 s. (1 tom), 448 s. (2 t.).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Matematyka wyższa dla ekonomistów: Podręcznik dla uniwersytetów / wyd. prof. N. Sz. Kremer – M.: UNITI, 2002. – 471 s.

ü Yablonsky A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E.I. i inni. Kurs ogólny: Podręcznik / Ogólne. wyd. S. A. Samal – Mn.: Vysh. szkoła, 2000. – 351 s.

Niech funkcja $z=f(x,y)$ będzie zdefiniowana i ciągła w jakiejś ograniczonej domenie zamkniętej $D$. Niech dana funkcja w tym obszarze ma skończone pochodne cząstkowe pierwszego rzędu (być może z wyjątkiem skończonej liczby punktów). Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji dwóch zmiennych w danym obszarze zamkniętym, potrzebne są trzy kroki prostego algorytmu.

Co to są punkty krytyczne? Pokaż ukryj

Pod punkt krytyczny implikują punkty, w których obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zeru (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ i $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) lub co najmniej jedna pochodna cząstkowa nie istnieje.

Często nazywa się punkty, w których pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zeru punkty stacjonarne. Zatem punkty stacjonarne są podzbiorem punktów krytycznych.

Przykład nr 1

Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji $z=x^2+2xy-y^2-4x$ w zamkniętym obszarze ograniczonym liniami $x=3$, $y=0$ i $y=x +1$.

Będziemy postępować zgodnie z powyższym, ale najpierw zajmiemy się narysowaniem danego obszaru, który będziemy oznaczać literą $D$. Dane są równania trzech linii prostych ograniczających ten obszar. Prosta $x=3$ przechodzi przez punkt $(3;0)$ równoległy do ​​osi rzędnych (oś Oy). Linia prosta $y=0$ jest równaniem osi odciętej (oś wołu). Cóż, aby skonstruować prostą $y=x+1$, znajdziemy dwa punkty, przez które przeciągniemy tę prostą. Możesz oczywiście zastąpić kilka dowolnych wartości zamiast $x$. Na przykład, podstawiając $x=10$, otrzymamy: $y=x+1=10+1=11$. Znaleziono punkt $(10;11)$ leżący na prostej $y=x+1$. Lepiej jednak znaleźć te punkty, w których prosta $y=x+1$ przecina proste $x=3$ i $y=0$. Dlaczego to jest lepsze? Bo upieczemy kilka ptaków na jednym ogniu: zdobędziemy dwa punkty za skonstruowanie prostej $y=x+1$ i jednocześnie dowiemy się, w jakich punktach ta prosta przecina się z innymi liniami ograniczającymi dany obszar. Prosta $y=x+1$ przecina prostą $x=3$ w punkcie $(3;4)$, a prosta $y=0$ przecina się w punkcie $(-1;0)$. Aby nie zaśmiecać postępu rozwiązania objaśnieniami pomocniczymi, kwestię uzyskania tych dwóch punktów postawię w notatce.

Jak zdobyto punkty $(3;4)$ i $(-1;0)$? Pokaż ukryj

Zacznijmy od punktu przecięcia prostych $y=x+1$ i $x=3$. Współrzędne żądanego punktu należą zarówno do pierwszej, jak i drugiej prostej, dlatego aby znaleźć nieznane współrzędne, należy rozwiązać układ równań:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Rozwiązanie takiego układu jest banalne: podstawiając $x=3$ do pierwszego równania otrzymamy: $y=3+1=4$. Punkt $(3;4)$ jest pożądanym punktem przecięcia prostych $y=x+1$ i $x=3$.

Znajdźmy teraz punkt przecięcia prostych $y=x+1$ i $y=0$. Jeszcze raz ułóżmy i rozwiążmy układ równań:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Podstawiając $y=0$ do pierwszego równania, otrzymujemy: $0=x+1$, $x=-1$. Punkt $(-1;0)$ jest pożądanym punktem przecięcia prostych $y=x+1$ i $y=0$ (oś x).

Wszystko jest gotowe do zbudowania rysunku, który będzie wyglądał tak:

Kwestia notatki wydaje się oczywista, bo wszystko widać na zdjęciu. Warto jednak pamiętać, że rysunek nie może służyć jako dowód. Rysunek ma wyłącznie charakter poglądowy.

Nasz obszar został zdefiniowany za pomocą równań prostych, które go ograniczają. Oczywiście te linie definiują trójkąt, prawda? A może nie jest to do końca oczywiste? A może mamy do czynienia z innym obszarem ograniczonym tymi samymi liniami:

Oczywiście warunek mówi, że teren jest zamknięty, więc pokazane zdjęcie jest nieprawidłowe. Aby jednak uniknąć takich dwuznaczności, lepiej jest definiować regiony poprzez nierówności. Czy interesuje nas część płaszczyzny znajdująca się pod prostą $y=x+1$? OK, więc $y ≤ x+1$. Czy nasz obszar powinien znajdować się powyżej linii $y=0$? Świetnie, to znaczy $y ≥ 0$. Swoją drogą dwie ostatnie nierówności można łatwo połączyć w jedną: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Nierówności te definiują obszar $D$ i definiują go jednoznacznie, nie dopuszczając do żadnej dwuznaczności. Ale w jaki sposób może nam to pomóc w odpowiedzi na pytanie postawione na początku notatki? To też pomoże :) Musimy sprawdzić czy punkt $M_1(1;1)$ należy do obszaru $D$. Podstawmy $x=1$ i $y=1$ do układu nierówności definiujących ten obszar. Jeżeli obie nierówności są spełnione, wówczas punkt leży wewnątrz obszaru. Jeżeli choć jedna z nierówności nie jest spełniona, to punkt nie należy do obszaru. Więc:

$$ \left \( \begin(wyrównane) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(wyrównane) \right. \;\; \left \( \begin(wyrównane) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.

Obie nierówności są prawdziwe. Punkt $M_1(1;1)$ należy do obszaru $D$.

Teraz czas na zbadanie zachowania funkcji na granicy regionu, tj. chodźmy do . Zacznijmy od prostej $y=0$.

Linia prosta $y=0$ (oś odciętych) ogranicza obszar $D$ pod warunkiem $-1 ≤ x ≤ 3$. Podstawiamy $y=0$ do podanej funkcji $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Funkcję jednej zmiennej $x$ otrzymaną w wyniku podstawienia oznaczamy jako $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Teraz dla funkcji $f_1(x)$ musimy znaleźć największą i najmniejszą wartość w przedziale $-1 ≤ x ≤ 3$. Znajdźmy pochodną tej funkcji i przyrównajmy ją do zera:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Wartość $x=2$ należy do odcinka $-1 ≤ x ≤ 3$, zatem do listy punktów dodamy także $M_2(2;0)$. Dodatkowo obliczmy wartości funkcji $z$ na końcach odcinka $-1 ≤ x ≤ 3$, czyli: w punktach $M_3(-1;0)$ i $M_4(3;0)$. Nawiasem mówiąc, gdyby punkt $M_2$ nie należał do rozpatrywanego odcinka, to oczywiście nie byłoby potrzeby obliczania w nim wartości funkcji $z$.

Obliczmy więc wartości funkcji $z$ w punktach $M_2$, $M_3$, $M_4$. Możesz oczywiście zastąpić współrzędne tych punktów oryginalnym wyrażeniem $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Przykładowo dla punktu $M_2$ otrzymujemy:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Obliczenia można jednak nieco uprościć. Aby to zrobić warto pamiętać, że na odcinku $M_3M_4$ mamy $z(x,y)=f_1(x)$. Napiszę to szczegółowo:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(wyrównane)

Oczywiście zwykle nie ma potrzeby prowadzenia tak szczegółowych zapisów, a w przyszłości będziemy pokrótce spisywać wszystkie obliczenia:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Przejdźmy teraz do prostej $x=3$. Ta linia prosta ogranicza obszar $D$ pod warunkiem $0 ≤ y ≤ 4$. Podstawiamy $x=3$ do podanej funkcji $z$. W wyniku tego podstawienia otrzymujemy funkcję $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Dla funkcji $f_2(y)$ musimy znaleźć największą i najmniejszą wartość w przedziale $0 ≤ y ≤ 4$. Znajdźmy pochodną tej funkcji i przyrównajmy ją do zera:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Wartość $y=3$ należy do odcinka $0 ≤ y ≤ 4$, więc do wcześniej znalezionych punktów dodamy także $M_5(3;3)$. Dodatkowo należy obliczyć wartość funkcji $z$ w punktach na końcach odcinka $0 ≤ y ≤ 4$, czyli: w punktach $M_4(3;0)$ i $M_6(3;4)$. W punkcie $M_4(3;0)$ obliczyliśmy już wartość $z$. Obliczmy wartość funkcji $z$ w punktach $M_5$ i $M_6$. Przypomnę, że na odcinku $M_4M_6$ mamy $z(x,y)=f_2(y)$, zatem:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(wyrównane)

Na koniec rozważmy ostatnią granicę regionu $D$, tj. linia prosta $y=x+1$. Ta linia prosta ogranicza obszar $D$ pod warunkiem $-1 ≤ x ≤ 3$. Podstawiając $y=x+1$ do funkcji $z$, otrzymamy:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Po raz kolejny mamy funkcję jednej zmiennej $x$. I znowu musimy znaleźć największą i najmniejszą wartość tej funkcji w przedziale $-1 ≤ x ≤ 3$. Znajdźmy pochodną funkcji $f_(3)(x)$ i przyrównajmy ją do zera:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Wartość $x=1$ należy do przedziału $-1 ≤ x ≤ 3$. Jeśli $x=1$, to $y=x+1=2$. Dodajmy $M_7(1;2)$ do listy punktów i dowiedzmy się jaka jest wartość funkcji $z$ w tym punkcie. Punkty na końcach odcinka $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. punkty $M_3(-1;0)$ i $M_6(3;4)$ były już rozważane, znaleźliśmy już w nich wartość funkcji.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi etap rozwiązania został zakończony. Otrzymaliśmy siedem wartości:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Przejdźmy do. Wybierając największe i najmniejsze wartości z liczb uzyskanych w trzecim akapicie, będziemy mieli:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6,$$

Problem rozwiązany, pozostaje tylko zapisać odpowiedź.

Odpowiedź: $z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6$.

Przykład nr 2

Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji $z=x^2+y^2-12x+16y$ w obszarze $x^2+y^2 ≤ 25$.

Najpierw zbudujmy rysunek. Równanie $x^2+y^2=25$ (jest to linia graniczna danego obszaru) definiuje okrąg o środku w początku (tj. w punkcie $(0;0)$) i promieniu 5. Nierówność $x^2 +y^2 ≤ $25 spełnia wszystkie punkty wewnątrz i na wspomnianym okręgu.

Będziemy działać zgodnie. Znajdźmy pochodne cząstkowe i znajdźmy punkty krytyczne.

$$ \frac(\częściowe z)(\częściowe x)=2x-12; \frac(\częściowe z)(\częściowe y)=2y+16. $$

Nie ma punktów, w których znalezione pochodne cząstkowe nie istnieją. Dowiedzmy się, w jakich punktach obie pochodne cząstkowe są jednocześnie równe zeru, tj. znajdźmy punkty stacjonarne.

$$ \left \( \begin(wyrównane) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(wyrównane) \right. \;\; \left \( \begin(wyrównane) & x =6;\\ & y=-8. \end(wyrównane) \right $$.

Otrzymaliśmy punkt stacjonarny $(6;-8)$. Jednak znaleziony punkt nie należy do obszaru $D$. Łatwo to pokazać, nawet bez uciekania się do rysowania. Sprawdźmy, czy zachodzi nierówność $x^2+y^2 ≤ 25$, która definiuje nasz region $D$. Jeśli $x=6$, $y=-8$, to $x^2+y^2=36+64=100$, tj. nierówność $x^2+y^2 ≤ 25$ nie jest spełniona. Wniosek: punkt $(6;-8)$ nie należy do obszaru $D$.

Zatem w obszarze $D$ nie ma punktów krytycznych. Przejdźmy do... Musimy zbadać zachowanie funkcji na granicy danego obszaru, tj. na okręgu $x^2+y^2=25$. Możemy oczywiście wyrazić $y$ w postaci $x$, a następnie podstawić powstałe wyrażenie do naszej funkcji $z$. Z równania okręgu otrzymujemy: $y=\sqrt(25-x^2)$ lub $y=-\sqrt(25-x^2)$. Podstawiając do podanej funkcji np. $y=\sqrt(25-x^2)$ otrzymamy:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Dalsze rozwiązanie będzie całkowicie identyczne z badaniem zachowania funkcji na granicy obszaru w poprzednim przykładzie nr 1. Jednakże rozsądniejsze wydaje mi się zastosowanie w tej sytuacji metody Lagrange’a. Nas będzie interesować tylko pierwsza część tej metody. Po zastosowaniu pierwszej części metody Lagrange'a otrzymamy punkty, w których będziemy badać funkcję $z$ dla wartości minimalnych i maksymalnych.

Tworzymy funkcję Lagrange'a:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Znajdujemy pochodne cząstkowe funkcji Lagrange'a i układamy odpowiedni układ równań:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (wyrównane) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 prawo. \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( wyrównane)\right.$ $

Aby rozwiązać ten system, od razu zauważmy, że $\lambda\neq -1$. Dlaczego $\lambda\neq -1$? Spróbujmy podstawić $\lambda=-1$ do pierwszego równania:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Powstała sprzeczność $0=6$ wskazuje, że wartość $\lambda=-1$ jest niedopuszczalna. Wynik: $\lambda\neq -1$. Wyraźmy $x$ i $y$ w postaci $\lambda$:

\begin(wyrównane) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(wyrównane)

Myślę, że staje się tutaj oczywiste, dlaczego specjalnie określiliśmy warunek $\lambda\neq -1$. Dokonano tego, aby bez zakłóceń dopasować wyrażenie $1+\lambda$ do mianowników. Oznacza to, że aby mieć pewność, że mianownik $1+\lambda\neq 0$.

Podstawmy powstałe wyrażenia dla $x$ i $y$ do trzeciego równania układu, tj. w $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Z otrzymanej równości wynika, że ​​$1+\lambda=2$ lub $1+\lambda=-2$. Stąd mamy dwie wartości parametru $\lambda$, a mianowicie: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. W związku z tym otrzymujemy dwie pary wartości $x$ i $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(wyrównane)

Otrzymaliśmy więc dwa punkty możliwego ekstremum warunkowego, tj. $M_1(3;-4)$ i $M_2(-3;4)$. Znajdźmy wartości funkcji $z$ w punktach $M_1$ i $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(wyrównane)

Spośród tych, które uzyskaliśmy w pierwszym i drugim kroku, powinniśmy wybrać największe i najmniejsze wartości. Ale w tym przypadku wybór jest niewielki :) Mamy:

$$ z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125. $$

Odpowiedź: $z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125 dolarów.

Z praktycznego punktu widzenia największe zainteresowanie budzi wykorzystanie pochodnej do znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji. Z czym to się wiąże? Maksymalizacja zysków, minimalizacja kosztów, ustalenie optymalnego obciążenia sprzętu... Inaczej mówiąc, w wielu obszarach życia musimy rozwiązywać problemy optymalizacji niektórych parametrów. A to są zadania znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji.

Należy zauważyć, że największych i najmniejszych wartości funkcji szuka się zwykle na pewnym przedziale X, który jest albo całą dziedziną funkcji, albo częścią dziedziny definicji. Sam przedział X może być odcinkiem, przedziałem otwartym , nieskończony odstęp.

W tym artykule porozmawiamy o znalezieniu największych i najmniejszych wartości jawnie określonej funkcji jednej zmiennej y=f(x).

Nawigacja strony.

Przyjrzyjmy się pokrótce głównym definicjom.

Największa wartość funkcji to dla każdego nierówność jest prawdziwa.

Taką wartością jest najmniejsza wartość funkcji y=f(x) na przedziale X to dla każdego nierówność jest prawdziwa.

Definicje te są intuicyjne: największą (najmniejszą) wartością funkcji jest największa (najmniejsza) akceptowana wartość na rozpatrywanym przedziale przy odciętej.

Punkty stacjonarne to wartości argumentu, przy których pochodna funkcji osiąga zero.

Dlaczego potrzebujemy punktów stacjonarnych przy znajdowaniu największych i najmniejszych wartości? Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie Fermata. Z tego twierdzenia wynika, że ​​jeśli funkcja różniczkowalna ma w pewnym punkcie ekstremum (lokalne minimum lub lokalne maksimum), to punkt ten jest stacjonarny. Zatem funkcja często przyjmuje największą (najmniejszą) wartość w przedziale X w jednym ze stacjonarnych punktów tego przedziału.

Ponadto funkcja często może przyjmować swoje największe i minimalne wartości w punktach, w których pierwsza pochodna tej funkcji nie istnieje, a sama funkcja jest zdefiniowana.

Od razu odpowiedzmy na jedno z najczęstszych pytań w tym temacie: „Czy zawsze da się wyznaczyć największą (najmniejszą) wartość funkcji”? Nie, nie zawsze. Czasami granice przedziału X pokrywają się z granicami dziedziny definicji funkcji lub przedział X jest nieskończony. A niektóre funkcje w nieskończoności i na granicach dziedziny definicji mogą przyjmować zarówno nieskończenie duże, jak i nieskończenie małe wartości. W takich przypadkach nie można nic powiedzieć o największej i najmniejszej wartości funkcji.

Dla przejrzystości podamy ilustrację graficzną. Spójrz na zdjęcia, a wiele stanie się jaśniejsze.

Na segmencie

Na pierwszym rysunku funkcja przyjmuje największe (max y) i najmniejsze (min y) wartości w stacjonarnych punktach znajdujących się wewnątrz odcinka [-6;6].

Rozważmy przypadek pokazany na drugim rysunku. Zmieńmy segment na . W tym przykładzie najmniejszą wartość funkcji uzyskuje się w punkcie stacjonarnym, a największą w punkcie, którego odcięta odpowiada prawej granicy przedziału.

Na rysunku 3 punkty graniczne odcinka [-3;2] są odciętymi punktów odpowiadających największej i najmniejszej wartości funkcji.

W otwartej przerwie

Na czwartym rysunku funkcja przyjmuje największe (max y) i najmniejsze (min y) wartości w stacjonarnych punktach znajdujących się wewnątrz otwartego przedziału (-6;6).

W przedziale nie można wyciągnąć żadnych wniosków na temat największej wartości.

W nieskończoności

W przykładzie pokazanym na rysunku siódmym funkcja przyjmuje największą wartość (max y) w punkcie stacjonarnym o odciętej x=1, a najmniejszą wartość (min y) osiąga na prawej granicy przedziału. Przy minus nieskończoności wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do y=3.

W tym przedziale funkcja nie osiąga ani najmniejszej, ani największej wartości. Gdy x=2 zbliża się od prawej strony, wartości funkcji dążą do minus nieskończoności (prosta x=2 jest asymptotą pionową), a gdy odcięta zmierza do plus nieskończoności, wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do y=3. Graficzną ilustrację tego przykładu pokazano na rysunku 8.

Napiszmy algorytm, który pozwoli nam znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie.

Przeanalizujmy algorytm rozwiązania przykładu, aby znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie.

Przykład.

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji

• na segmencie ;
• na segmencie [-4;-1] .

Rozwiązanie.

Dziedziną definicji funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych, tj. z wyjątkiem zera. Obydwa segmenty mieszczą się w domenie definicyjnej.

Znajdź pochodną funkcji po:

Oczywiście pochodna funkcji istnieje we wszystkich punktach odcinków i [-4;-1].

Z równania wyznaczamy punkty stacjonarne. Jedynym prawdziwym pierwiastkiem jest x=2. Ten nieruchomy punkt należy do pierwszego segmentu.

W pierwszym przypadku obliczamy wartości funkcji na końcach odcinka i w punkcie stacjonarnym, czyli dla x=1, x=2 i x=4:

Zatem największa wartość funkcji osiąga się przy x=1 i najmniejszej wartości – przy x=2.

W drugim przypadku wartości funkcji obliczamy tylko na końcach odcinka [-4;-1] (ponieważ nie zawiera on ani jednego punktu stacjonarnego):

Rozwiązanie.

Zacznijmy od dziedziny funkcji. Trójmian kwadratowy w mianowniku ułamka nie może zniknąć:

Łatwo sprawdzić, że wszystkie przedziały ze stwierdzenia problemu należą do dziedziny definicji funkcji.

Zróżniczkujmy funkcję:

Oczywiście pochodna istnieje w całym obszarze definicji funkcji.

Znajdźmy punkty stacjonarne. Pochodna dąży do zera w . Ten stacjonarny punkt mieści się w przedziałach (-3;1] i (-3;2).

Teraz możesz porównać wyniki uzyskane w każdym punkcie z wykresem funkcji. Niebieskie linie przerywane wskazują asymptoty.

W tym momencie możemy zakończyć znalezieniem największej i najmniejszej wartości funkcji. Algorytmy omówione w tym artykule pozwalają uzyskać wyniki przy minimum działań. Jednak przydatne może być najpierw określenie przedziałów wzrostu i spadku funkcji, a dopiero potem wyciągnięcie wniosków na temat największych i najmniejszych wartości funkcji w dowolnym przedziale. Daje to wyraźniejszy obraz i rygorystyczne uzasadnienie wyników.

§ Ekstrema, Maksymalne i minimalne wartości funkcji kilku zmiennych - strona nr 1/1

Kropka
zwany maksymalny punkt Funkcje
, jeśli w jakimkolwiek punkcie

nierówność zachodzi

.

Podobnie punkt
zwany minimalny punkt Funkcje
, jeśli w jakimkolwiek punkcie
z jakiegoś sąsiedztwa punktu
nierówność zachodzi

.

Notatki. 1) Zgodnie z definicjami funkcja
musi być zdefiniowany w jakimś sąsiedztwie punktu
. Te. punkty maksymalne i minimalne funkcji
mogą istnieć tylko punkty wewnętrzne regionu
.

2) Jeżeli istnieje sąsiedztwo punktu
, w którym dla dowolnego punktu
różny od
nierówność zachodzi

(

), to o co chodzi
zwany ścisły punkt maksymalny(odpowiednio ścisły punkt minimalny) Funkcje
. W związku z tym określone powyżej punkty maksymalne i minimalne są czasami nazywane nieścisłymi punktami maksymalnymi i minimalnymi.

Pojęcia ekstremów mają charakter lokalny: wartość funkcji w punkcie
porównuje się z wartościami funkcji w dość bliskich punktach. W danym obszarze funkcja może w ogóle nie mieć ekstremów lub może mieć kilka minimów, kilka maksimów, a nawet nieskończoną liczbę obu. Co więcej, niektóre minima mogą być większe niż niektóre maksima. Nie myl wartości maksymalnych i minimalnych funkcji z jej wartościami maksymalnymi i minimalnymi.

Znajdźmy warunek konieczny ekstremum. Niech np.
– maksymalny punkt funkcji
. Następnie z definicji istnieje gif" wyrównanie=absmiddle szerokość="17px" wysokość="18px">-sąsiedztwo punktu
takie, że
dla dowolnego punktu
z tego obszaru. W szczególności,

(1)

Gdzie
,
, I

(2)

Gdzie
,
. Ale (1) oznacza, że ​​jest to funkcja jednej zmiennej
ma w punkcie maksimum lub znajduje się w przedziale
stały. Stąd,

Lub
- nie istnieje,

⇒
Lub
- nie istnieje.

Podobnie z (2) otrzymujemy to

Lub
- nie istnieje.

Zatem prawdziwe jest następujące twierdzenie.

TWIERDZENIE 8.1. (warunki konieczne dla ekstremum). Jeśli funkcja
w tym punkcie
ma ekstremum, to w tym punkcie albo obie jego pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zero, albo przynajmniej jedna z tych pochodnych cząstkowych nie istnieje.

Z geometrycznego punktu widzenia Twierdzenie 8.1 oznacza, że ​​jeśli
– ekstremum funkcji
, wówczas płaszczyzna styczna do wykresu tej funkcji w tym punkcie jest albo równoległa do płaszczyzny
lub w ogóle nie istnieje. Aby to sprawdzić, wystarczy pamiętać, jak znaleźć równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni (patrz wzór (4.6)).

Nazywa się punkty spełniające warunki Twierdzenia 8.1 punkt krytyczny Funkcje
. Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, warunki konieczne dla ekstremum nie są wystarczające. Te. nie każdy punkt krytyczny funkcji będzie jej ekstremum.

PRZYKŁAD. Rozważ funkcję
. Kropka
jest krytyczny dla tej funkcji, ponieważ w tym momencie obie jej pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
I
są równe zeru. Nie będzie to jednak punkt ekstremalny. Naprawdę,
, ale w dowolnym sąsiedztwie punktu
są punkty, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie i punkty, w których funkcja przyjmuje wartości ujemne. Łatwo to sprawdzić budując wykres funkcji – paraboloidy hiperbolicznej.

Dla funkcji dwóch zmiennych najdogodniejsze warunki wystarczające podaje poniższe twierdzenie.

TWIERDZENIE 8.2. (warunki wystarczające na ekstremum funkcji dwóch zmiennych). Pozwalać
– punkt krytyczny funkcji
i w pewnym sąsiedztwie punktu
funkcja ma ciągłe pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie. Oznaczmy

,
,
.

Następnie 1) jeśli
, a następnie wskaż
nie jest punktem ekstremalnym;


Jeśli użyjemy Twierdzenia 8.2 do zbadania punktu krytycznego
nie powiodło się (tj. jeśli
lub funkcja w ogóle nie ma punktu w sąsiedztwie
ciągłe pochodne cząstkowe wymaganego rzędu), odpowiedź na pytanie o obecność w punkcie
ekstremum da w tym momencie znak przyrostu funkcji.

Rzeczywiście z definicji wynika, że ​​jeśli funkcja
ma w punkcie
wtedy ścisłe maksimum

za wszystkie punkty
z jakiegoś sąsiedztwa punktu
, lub w przeciwnym wypadku

dla wszystkich wystarczająco małych
I
. Podobnie, jeśli
jest punktem ścisłego minimum, to dla wszystkich wystarczająco małym
I
nierówność zostanie spełniona
.

Tak więc, aby dowiedzieć się, czy punkt krytyczny jest
ekstremum, należy zbadać przyrost funkcji w tym punkcie. Jeśli dla wszystkich wystarczająco małe
I
zachowa znak, a następnie w punkcie
funkcja ma ścisłe ekstremum (minimum jeśli
i maksimum, jeśli
).

Komentarz. Reguła pozostaje prawdziwa dla nieścisłego ekstremum, ale z poprawką, że dla niektórych wartości
I
przyrost funkcji będzie wynosić zero
PRZYKŁAD. Znajdź ekstremum funkcji:

1)
; 2)
.

Aby zbadać punkty krytyczne, stosujemy Twierdzenie 8.2. Mamy:

,
,
.

Przeanalizujmy ten punkt
:

,
,
,

;
.

Dlatego w punkcie
funkcja ta ma minimum, a mianowicie
.

Badanie punktu krytycznego
:

,
,
,


.

Dlatego drugi punkt krytyczny nie jest ekstremum funkcji.

Aby zbadać punkt krytyczny, stosujemy Twierdzenie 8.2. Mamy:

,
,
,

,
,
,

.

Określ obecność lub brak ekstremum w punkcie
użycie Twierdzenia 8.2 nie powiodło się.

Zbadajmy znak przyrostu funkcji w punkcie
:

Jeśli
, To
;

Jeśli
, To
.

Ponieważ
nie zachowuje znaku w sąsiedztwie punktu
, to w tym momencie funkcja nie ma ekstremum.

.

Podobnie wartość funkcji w punkcie
zwany najmniejszy, jeśli w jakimkolwiek punkcie
z regionu
nierówność zachodzi

.

Wcześniej powiedzieliśmy już, że jeśli funkcja jest ciągła i obszar
– jest zamknięta i ograniczona, wówczas funkcja przyjmuje w tym obszarze swoje największe i najmniejsze wartości. Jednocześnie punkty
I
mogą leżeć zarówno wewnątrz obszaru
i na jego granicy. Jeśli chodzi o
(Lub
) leży w regionie
, to będzie to maksymalny (minimalny) punkt funkcji
, tj. punkt krytyczny funkcji wewnątrz obszaru
. Dlatego, aby znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji
w pobliżu
potrzebować:
.