Funkcja liniowa i jej. Funkcja liniowa

Funkcja liniowa jest funkcją postaci y=kx+b, gdzie x jest zmienną niezależną, a k i b są dowolnymi liczbami.
Wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

1. Aby wykreślić wykres funkcji, potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów należących do wykresu funkcji. Aby je znaleźć, musisz wziąć dwie wartości x, podstawić je do równania funkcji i użyć ich do obliczenia odpowiednich wartości y.

Na przykład, aby wykreślić funkcję y= x+2, wygodnie jest przyjąć x=0 i x=3, wówczas współrzędne tych punktów będą równe y=2 i y=3. Otrzymujemy punkty A(0;2) i B(3;3). Połączmy je i otrzymamy wykres funkcji y= x+2:

2. We wzorze y=kx+b liczbę k nazywamy współczynnikiem proporcjonalności:
jeśli k>0, to funkcja y=kx+b rośnie
jeśli k
Współczynnik b pokazuje przemieszczenie wykresu funkcji wzdłuż osi OY:
jeśli b>0 to wykres funkcji y=kx+b otrzymujemy z wykresu funkcji y=kx przesuwając b jednostki w górę wzdłuż osi OY
jeśli b
Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Należy zauważyć, że we wszystkich tych funkcjach współczynnik k Powyżej zera, i funkcje są wzrastający. Ponadto im większa wartość k, tym większy kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi OX.

We wszystkich funkcjach b=3 - i widzimy, że wszystkie wykresy przecinają oś OY w punkcie (0;3)

Rozważmy teraz wykresy funkcji y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Tym razem we wszystkich funkcjach współczynnik k mniej niż zero i funkcje maleją. Współczynnik b=3, a wykresy jak w poprzednim przypadku przecinają oś OY w punkcie (0;3)

Rozważmy wykresy funkcji y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Teraz we wszystkich równaniach funkcyjnych współczynniki k są równe 2. I mamy trzy równoległe proste.

Ale współczynniki b są różne i te wykresy przecinają oś OY w różnych punktach:
Wykres funkcji y=2x+3 (b=3) przecina oś OY w punkcie (0;3)
Wykres funkcji y=2x (b=0) przecina oś OY w punkcie (0;0) – początek układu współrzędnych.
Wykres funkcji y=2x-3 (b=-3) przecina oś OY w punkcie (0;-3)

Jeśli więc znamy znaki współczynników k i b, to od razu możemy sobie wyobrazić, jak wygląda wykres funkcji y=kx+b.
Jeśli k 0

Jeśli k>0 i b>0, to wykres funkcji y=kx+b wygląda następująco:

Jeśli k>0 i b, to wykres funkcji y=kx+b wygląda następująco:

Jeśli k, wówczas wykres funkcji y=kx+b wygląda następująco:

Jeśli k=0, to funkcja y=kx+b zamienia się w funkcję y=b i jej wykres wygląda następująco:

Współrzędne wszystkich punktów na wykresie funkcji y=b są równe b If b=0, to wykres funkcji y=kx (proporcjonalność bezpośrednia) przechodzi przez początek:

3. Zwróćmy uwagę osobno na wykres równania x=a. Wykres tego równania jest linią prostą równoległą do osi OY, której wszystkie punkty mają odciętą x=a.

Przykładowo wykres równania x=3 wygląda następująco:
Uwaga! Równanie x=a nie jest funkcją, więc jednej wartości argumentu odpowiadają różne wartości funkcji, co nie odpowiada definicji funkcji.

4. Warunek równoległości dwóch prostych:

Wykres funkcji y=k 1 x+b 1 jest równoległy do ​​wykresu funkcji y=k 2 x+b 2 jeśli k 1 =k 2

5. Warunek, aby dwie proste były prostopadłe:

Wykres funkcji y=k 1 x+b 1 jest prostopadły do ​​wykresu funkcji y=k 2 x+b 2 jeśli k 1 *k 2 =-1 lub k 1 =-1/k 2

6. Punkty przecięcia wykresu funkcji y=kx+b z osiami współrzędnych.

Z osią OY. Odcięta dowolnego punktu należącego do osi OY jest równa zeru. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OY, należy w równaniu funkcji zamiast x zastąpić zero. Otrzymujemy y=b. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OY ma współrzędne (0; b).

Z osią OX: Współrzędna dowolnego punktu należącego do osi OX wynosi zero. Dlatego, aby znaleźć punkt przecięcia z osią OX, należy w równaniu funkcji zastąpić zero zamiast y. Otrzymujemy 0=kx+b. Stąd x=-b/k. Oznacza to, że punkt przecięcia z osią OX ma współrzędne (-b/k;0):

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Funkcja liniowa nazywamy funkcją formy y = kx + b, zdefiniowany na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Tutaj k– nachylenie (liczba rzeczywista), B – termin wolny (liczba rzeczywista), X– zmienna niezależna.

W szczególnym przypadku, jeśli k = 0, otrzymujemy stałą funkcję y = b, którego wykres jest linią prostą równoległą do osi Wół przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0;b).

Jeśli b = 0, wtedy otrzymujemy funkcję y = kx, który jest bezpośrednia proporcjonalność.

B – długość segmentu, który jest odcięty linią prostą wzdłuż osi Oy, licząc od początku.

Geometryczne znaczenie współczynnika k – Kąt pochylenia prosto do dodatniego kierunku osi Wółu, rozpatrywanego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Własności funkcji liniowej:

1) Dziedziną definicji funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista;

2) Jeśli k ≠ 0, wówczas zakresem wartości funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista. Jeśli k = 0, wówczas zakres wartości funkcji liniowej składa się z liczby B;

3) Równość i nieparzystość funkcji liniowej zależą od wartości współczynników k I B.

A) b ≠ 0, k = 0, stąd, y = b – parzysty;

B) b = 0, k ≠ 0, stąd y = kx – nieparzyste;

C) b ≠ 0, k ≠ 0, stąd y = kx + b – funkcja postaci ogólnej;

D) b = 0, k = 0, stąd y = 0 – zarówno funkcje parzyste, jak i nieparzyste.

4) Funkcja liniowa nie ma właściwości okresowości;

5) Punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

Wół: y = kx + b = 0, x = -b/k, stąd (-b/k; 0)– punkt przecięcia z osią odciętej.

Oj: y = 0k + b = b, stąd (0;b)– punkt przecięcia z osią rzędnych.

Uwaga: jeśli b = 0 I k = 0, a następnie funkcja y = 0 dąży do zera dla dowolnej wartości zmiennej X. Jeśli b ≠ 0 I k = 0, a następnie funkcja y = b nie znika dla żadnej wartości zmiennej X.

6) Przedziały stałości znaku zależą od współczynnika k.

A) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– pozytywne, kiedy X z (-b/k; +∞),

y = kx + b– negatywne, kiedy X z (-∞; -b/k).

B) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– pozytywne, kiedy X z (-∞; -b/k),

y = kx + b– negatywne, kiedy X z (-b/k; +∞).

C) k = 0, b > 0; y = kx + b dodatni w całym zakresie definicji,

k = 0, b< 0; y = kx + b ujemny w całym zakresie definicji.

7) Przedziały monotoniczności funkcji liniowej zależą od współczynnika k.

k > 0, stąd y = kx + b wzrasta w całym obszarze definicji,

k< 0 , stąd y = kx + b maleje w całym obszarze definicji.

8) Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Aby zbudować linię prostą, wystarczy znać dwa punkty. Położenie prostej na płaszczyźnie współrzędnych zależy od wartości współczynników k I B. Poniżej znajduje się tabela, która wyraźnie to ilustruje.

Definicja funkcji liniowej

Wprowadźmy definicję funkcji liniowej

Definicja

Funkcję w postaci $y=kx+b$, gdzie $k$ jest niezerowe, nazywa się funkcją liniową.

Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Liczba $k$ nazywana jest nachyleniem linii.

Gdy $b=0$ funkcję liniową nazywamy funkcją bezpośredniej proporcjonalności $y=kx$.

Rozważ rysunek 1.

Ryż. 1. Geometryczne znaczenie nachylenia linii

Rozważmy trójkąt ABC. Widzimy, że $ВС=kx_0+b$. Znajdźmy punkt przecięcia prostej $y=kx+b$ z osią $Ox$:

\ \

Zatem $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Znajdźmy stosunek tych boków:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Z drugiej strony $\frac(BC)(AC)=tg\kąt A$.

Możemy zatem wyciągnąć następujący wniosek:

Wniosek

Znaczenie geometryczne współczynnika $k$. Współczynnik kątowy prostej $k$ jest równy tangensowi kąta nachylenia tej prostej do osi $Ox$.

Badanie funkcji liniowej $f\left(x\right)=kx+b$ i jej wykres

Najpierw rozważmy funkcję $f\left(x\right)=kx+b$, gdzie $k > 0$.

1. $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx+b\prawo))"=k>0$. W konsekwencji funkcja ta rośnie w całym obszarze definicji. Nie ma skrajnych punktów.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Wykres (ryc. 2).

Ryż. 2. Wykresy funkcji $y=kx+b$, dla $k > 0$.

Rozważmy teraz funkcję $f\left(x\right)=kx$, gdzie $k

1. Dziedziną definicji są wszystkie liczby.
2. Zakres wartości to wszystkie liczby.
3. $f\lewo(-x\prawo)=-kx+b$. Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
4. Dla $x=0,f\left(0\right)=b$. Gdy $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\lewo(x\prawo)=(\lewo(kx\prawo))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dlatego funkcja nie ma punktów przegięcia.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Wykres (ryc. 3).

Pojęcie funkcji numerycznej. Metody określania funkcji. Właściwości funkcji.

Funkcja numeryczna to funkcja, która działa z jednej przestrzeni numerycznej (zbiór) do innej przestrzeni numerycznej (zbiór).

Trzy główne sposoby definiowania funkcji: analityczny, tabelaryczny i graficzny.

1. Analityczny.

Metodę określania funkcji za pomocą wzoru nazywa się analityczną. Ta metoda jest główną metodą w macie. analizy, ale w praktyce nie jest to wygodne.

2. Tabelaryczna metoda określania funkcji.

Funkcję można określić za pomocą tabeli zawierającej wartości argumentów i odpowiadające im wartości funkcji.

3. Graficzna metoda określania funkcji.

Mówi się, że funkcja y=f(x) jest dana graficznie, jeżeli skonstruowano jej wykres. Ten sposób określania funkcji pozwala określić wartości funkcji tylko w przybliżeniu, ponieważ konstruowanie wykresu i znajdowanie na nim wartości funkcji wiąże się z błędami.

Właściwości funkcji, które należy wziąć pod uwagę konstruując jej wykres:

1) Dziedzina definicji funkcji.

Dziedzina funkcji, to znaczy te wartości, które może przyjąć argument x funkcji F =y (x).

2) Przedziały funkcji rosnących i malejących.

Funkcja nazywa się rosnącą na rozpatrywanym przedziale, jeżeli większa wartość argumentu odpowiada większej wartości funkcji y(x). Oznacza to, że jeśli z rozważanego przedziału zostaną wzięte dwa dowolne argumenty x 1 i x 2 oraz x 1 > x 2, to y(x 1) > y(x 2).

Funkcja nazywa się malejącą na rozpatrywanym przedziale, jeżeli większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji y(x). Oznacza to, że jeśli z rozważanego przedziału zostaną wzięte dwa dowolne argumenty x 1 i x 2, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Zera funkcji.

Punkty, w których funkcja F = y (x) przecina oś odciętych (uzyskuje się je rozwiązując równanie y(x) = 0) nazywane są zerami funkcji.

4) Funkcje parzyste i nieparzyste.

Funkcja nazywa się parzystą, if dla wszystkich wartości argumentów z zakresu

y(-x) = y(x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem rzędnej.

Funkcja nazywa się nieparzysta, jeśli dla wszystkich wartości argumentu z dziedziny definicji

y(-x) = -y(x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem początku.

Wiele funkcji nie jest ani parzystych, ani nieparzystych.

5) Okresowość funkcji.

Funkcja nazywa się okresową, jeśli istnieje liczba P taka, że ​​dla wszystkich wartości argumentu z dziedziny definicji

y(x + P) = y(x).

Funkcja liniowa, jej własności i wykres.

Funkcja liniowa jest funkcją formy y = kx + b, zdefiniowany na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych.

k– nachylenie (liczba rzeczywista)

B– termin fikcyjny (liczba rzeczywista)

X– zmienna niezależna.

· W szczególnym przypadku, jeśli k = 0, otrzymujemy stałą funkcję y = b, której wykresem jest prosta równoległa do osi Ox przechodząca przez punkt o współrzędnych (0; b).

· Jeżeli b = 0, to otrzymujemy funkcję y = kx, która jest wprost proporcjonalnością.

o Znaczenie geometryczne współczynnika b to długość odcinka, który linia prosta odcina wzdłuż osi Oy, licząc od początku.

o Geometryczne znaczenie współczynnika k to kąt nachylenia prostej do dodatniego kierunku osi Ox, liczony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Własności funkcji liniowej:

1) Dziedziną definicji funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista;

2) Jeżeli k ≠ 0, to zakresem wartości funkcji liniowej jest cała oś rzeczywista.

Jeżeli k = 0, to zakres wartości funkcji liniowej składa się z liczby b;

3) Równość i nieparzystość funkcji liniowej zależą od wartości współczynników k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, zatem y = b – parzysty;

b) b = 0, k ≠ 0, zatem y = kx – nieparzyste;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, zatem y = kx + b jest funkcją postaci ogólnej;

d) b = 0, k = 0, zatem y = 0 jest funkcją parzystą i nieparzystą.

4) Funkcja liniowa nie ma właściwości okresowości;

5) Punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

Wół: y = kx + b = 0, x = -b/k, zatem (-b/k; 0) jest punktem przecięcia z osią x.

Oy: y = 0k + b = b, zatem (0; b) jest punktem przecięcia z rzędną.

Komentarz. Jeżeli b = 0 i k = 0, to funkcja y = 0 znika dla dowolnej wartości zmiennej x. Jeżeli b ≠ 0 i k = 0, to funkcja y = b nie znika dla żadnej wartości zmiennej x.

6) Przedziały znaku stałego zależą od współczynnika k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – dodatni przy x od (-b/k; +∞),

y = kx + b – minus dla x od (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – dodatni przy x od (-∞; -b/k),

y = kx + b – ujemne dla x z (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b jest dodatnie w całym obszarze definicji,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Przedziały monotoniczności funkcji liniowej zależą od współczynnika k.

k > 0, zatem y = kx + b rośnie w całym obszarze definicji,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcja y = ax 2 + bx + c, jej własności i wykres.

Funkcja y = ax 2 + bx + c (a, b, c są stałymi, a ≠ 0) nazywa się kwadratowy W najprostszym przypadku y = ax 2 (b = c = 0) wykres jest zakrzywioną linią przechodzącą przez początek układu współrzędnych. Krzywa służąca jako wykres funkcji y = ax 2 jest parabolą. Każda parabola ma oś symetrii zwaną oś paraboli. Nazywa się punkt O przecięcia paraboli z jej osią wierzchołek paraboli.

Wykres można zbudować według następującego schematu: 1) Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli x 0 = -b/2a; y 0 = y (x 0). 2) Konstruujemy jeszcze kilka punktów należących do paraboli, przy konstruowaniu możemy wykorzystać symetrie paraboli względem prostej x = -b/2a. 3) Połącz wskazane punkty gładką linią. Przykład. Wykres funkcji b = x 2 + 2x - 3. Rozwiązania. Wykres funkcji jest parabolą, której gałęzie są skierowane w górę. Odcięta wierzchołka paraboli x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, jej rzędne y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Zatem wierzchołkiem paraboli jest punkt (-1; -4). Stwórzmy tabelę wartości dla kilku punktów znajdujących się na prawo od osi symetrii paraboli - linia prosta x = -1. Właściwości funkcji.