Jak znaleźć tangens 45 stopni.

Tablice wartości sinusów (sin), cosinusów (cos), stycznych (tg), kotangentów (ctg) są potężnym i użytecznym narzędziem, które pomaga rozwiązać wiele problemów, zarówno teoretycznych, jak i stosowanych. W tym artykule przedstawimy tabelę podstawowych funkcji trygonometrycznych (sinusy, cosinusy, styczne i cotangensy) dla kątów 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stopni (0, π 6, π 3, π 2,... , 2 π radianów). Zostaną również pokazane osobne tablice Bradisa dla sinusów i cosinusów, stycznych i cotangensów wraz z wyjaśnieniem, jak ich używać do znajdowania wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych.

Tabela podstawowych funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stopni

Na podstawie definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu można znaleźć wartości tych funkcji dla kątów 0 i 90 stopni

sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, zero cotangens nie jest zdefiniowany,

sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, tangens dziewięćdziesięciu stopni nie jest zdefiniowany.

Wartości sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów w przebiegu geometrii definiuje się jako stosunek boków trójkąta prostokątnego, którego kąty wynoszą 30, 60 i 90 stopni, a także 45, 45 i 90 stopni.

Definiowanie funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Zatoka- stosunek strony przeciwnej do przeciwprostokątnej.

Cosinus- stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens- stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej.

Cotangens- stosunek sąsiedniej strony do strony przeciwnej.

Zgodnie z definicjami znajdują się wartości funkcji:

grzech 30° = 1 2 , sałata 30° = 3 2 , t sol 30° = 3 3 , do t sol 30° = 3 , grzech 45° = 2 2 , sałata 45° = 2 2 , t sol 45° = 1 , do t sol 45° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, do tg 45° = 3 3.

Umieśćmy te wartości w tabeli i nazwijmy ją tabelą podstawowych wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa.

Tabela podstawowych wartości sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów

Jedną z ważnych właściwości funkcji trygonometrycznych jest okresowość. W oparciu o tę właściwość tabelę tę można rozszerzyć za pomocą wzorów redukcyjnych. Poniżej przedstawiamy rozszerzoną tabelę wartości głównych funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 stopni (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radianów).

Tabela sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów

Okresowość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens pozwala rozszerzyć tę tabelę do dowolnie dużych wartości kąta. Wartości zebrane w tabeli są najczęściej wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów, dlatego zaleca się ich zapamiętanie.

Jak korzystać z tabeli podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych

Zasada korzystania z tabeli wartości sinusów, cosinusów, stycznych i cotangensów jest jasna na poziomie intuicyjnym. Przecięcie wiersza i kolumny daje wartość funkcji dla danego kąta.

Przykład. Jak korzystać z tabeli sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów

Musimy dowiedzieć się, ile wynosi grzech 7 π 6

Znajdujemy w tabeli kolumnę, której ostatnia wartość komórki wynosi 7 π 6 radianów – czyli tyle samo, co 210 stopni. Następnie wybieramy termin tabeli, w której prezentowane są wartości sinusów. Na przecięciu wiersza i kolumny znajdujemy żądaną wartość:

grzech 7 π 6 = - 1 2

Stoły Bradisa

Tablica Bradisa umożliwia obliczenie wartości sinusa, cosinusa, tangensa lub cotangensa z dokładnością do 4 miejsc po przecinku bez użycia technologii komputerowej. Jest to swego rodzaju zamiennik kalkulatora inżynierskiego.

Odniesienie

Władimir Modestowicz Bradis (1890 - 1975) - radziecki matematyk-nauczyciel, od 1954 członek korespondent Akademii Nauk Pedagogicznych ZSRR. Tablice czterocyfrowych logarytmów i naturalnych wielkości trygonometrycznych opracowane przez Bradisa zostały po raz pierwszy opublikowane w 1921 roku.

Najpierw przedstawiamy tabelę Bradisa dla sinusów i cosinusów. Pozwala dość dokładnie obliczyć przybliżone wartości tych funkcji dla kątów zawierających całkowitą liczbę stopni i minut. Lewa kolumna tabeli przedstawia stopnie, a górny wiersz minuty. Należy pamiętać, że wszystkie wartości kątów w tabeli Bradis są wielokrotnościami sześciu minut.

Tabela Bradisa dla sinusów i cosinusów

Aby znaleźć wartości sinusów i cosinusów kątów nie przedstawionych w tabeli, należy zastosować poprawki.

Teraz przedstawiamy tabelę Bradisa dla stycznych i kotangentów. Zawiera wartości tangensów kątów od 0 do 76 stopni i cotangensów kątów od 14 do 90 stopni.

Tabela Bradisa dla stycznych i cotangensów

Jak korzystać ze stołów Bradisa

Rozważ tabelę Bradisa dla sinusów i cosinusów. Wszystko, co dotyczy zatok, znajduje się na górze i po lewej stronie. Jeśli potrzebujemy cosinusów, spójrz na prawą stronę u dołu tabeli.

Aby znaleźć wartości sinusa kąta, należy znaleźć przecięcie wiersza zawierającego wymaganą liczbę stopni w skrajnej lewej komórce i kolumny zawierającej wymaganą liczbę minut w górnej komórce.

Jeśli w tabeli Bradisa nie ma dokładnej wartości kąta, stosujemy poprawki. Korekty za jedną, dwie i trzy minuty podano w skrajnych prawych kolumnach tabeli. Aby znaleźć wartość sinusa kąta, którego nie ma w tabeli, znajdujemy wartość mu najbliższą. Następnie dodajemy lub odejmujemy poprawkę odpowiadającą różnicy między kątami.

Jeśli szukamy sinusa kąta większego niż 90 stopni, musimy najpierw skorzystać ze wzorów redukcyjnych, a dopiero potem z tabeli Bradisa.

Przykład. Jak korzystać ze stołu Bradis

Załóżmy, że musimy znaleźć sinus kąta 17 ° 44 ". Korzystając z tabeli, znajdujemy, jaki jest sinus 17 ° 42 " i dodajemy do jego wartości korektę o dwie minuty:

17°44" - 17°42" = 2" (konieczna korekta) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046

Zasada pracy z cosinusami, stycznymi i kotangentami jest podobna. Należy jednak pamiętać o znaku poprawek.

Ważny!

Przy obliczaniu wartości sinusów poprawka ma znak dodatni, a przy obliczaniu cosinusów korektę należy przyjmować ze znakiem ujemnym.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Do podstawowych funkcji trygonometrycznych zaliczamy: sinus, cosinus, tangens, cotangens, sieczną i cosekans. Na tej podstawie tangens kąta w trygonometrii definiuje się jako funkcję trygonometryczną wyrażającą stosunek sinusa tego kąta do cosinusa tego samego kąta. Jeśli konieczne jest określenie tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, można go obliczyć geometrycznie, ponieważ styczna w tym przypadku będzie równa stosunkowi przeciwnej strony do sąsiedniego boku prawego trójkąta. Sam termin „styczny” został zapożyczony z języka łacińskiego, a jego dosłowne tłumaczenie oznacza „dotykanie”. Tangens jest oznaczany literami łacińskimi. Tangens kąta x będzie oznaczany jako „tg x”, chociaż zachodni matematycy tradycyjnie oznaczają tangens skrótem angielskiego słowa: tangens kąta x jest tam oznaczany jako „tan x”.

Jaka jest tangens kąta 30 stopni?

Bazując na tym, że tangens kąta jest równy stosunkowi sinusa kąta do cosinusa tego samego kąta, tangens kąta 30 stopni można otrzymać dzieląc wartość sinusa kąta 30 stopni przez wartość cosinusa tego samego kąta. Tangens będzie równy 0,5774.

Jaka jest tangens kąta 60 stopni?

Tangens kąta 60 stopni oblicza się w podobny sposób: dzieląc sinus kąta 60 stopni przez wartość cosinus tego samego kąta, otrzymujemy liczbę 1,7321, która jest tangensem 60 stopni.

Jaka jest tangens kąta 45 stopni?

Ponieważ wartość sinusa kąta 45 stopni jest równa wartości cosinusa tego samego kąta, wartość tangensa kąta 45 stopni, otrzymana przez podzielenie sinusa przez cosinus, daje jeden (styczna jest równe 1).

Jaka jest tangens kąta 90 stopni?

Nie da się obliczyć tangensa kąta 90 stopni, gdyż cosinus kąta 90 stopni jest równy zeru, a jedną z podstawowych zasad dzielenia jest zasada, że ​​„nie można dzielić przez zero”, natomiast tangens w tym przypadku należy uzyskać, dzieląc sinus przez cosinus, to znaczy przez zero. Wartość tangensu 90 stopni nie jest określona.

Jaka jest tangens kąta 120 stopni?

Podobnie, obliczając tangens kąta 120 stopni, możesz otrzymać liczbę -1,7321 (ujemną), która będzie tangensem kąta 120 stopni.

Co to jest tangens 0 stopni?

Ze względu na to, że sinus kąta 0 stopni jest równy zeru, a cosinus tego kąta jest równy 1, tangens otrzymujemy dzieląc zero przez jeden, co daje 0. Tangens 0 stopni wynosi zatem równe 0.

Jaka jest tangens kąta 135 stopni?

Tangens 135 stopni jest równy -1 (minus jeden), stosując podobny rachunek.

Notatka: Zobacz też tabela wartości funkcji trygonometrycznych inne kąty.

Sinus, cosinus, tangens kąta 45 stopni (sin 45, cos 45, tg 45)

Wartości tabeli sinus 45, cosinus 45 i tangens 45 stopni wskazany. Poniżej znajduje się wyjaśnienie metody i poprawności obliczania tych wartości dla dowolnego trójkąta prostokątnego.

45 stopni to π/4 radianów. Poniżej podano wzory na wartości radianów cosinus, sinus i tangens pi/4 (choć są one identyczne).
Czyli np. tan π/4 = tan 45 stopni

WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH PRZY α=45°

Jak samodzielnie obliczyć wartości sin cos tg 45 stopni?

Skonstruujmy i rozważmy trójkąt prostokątny ABC, którego kąt ∠ B = 45°. Na podstawie stosunku jego boków obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym dla kąta 45 stopni. Ponieważ trójkąt jest prostokątny, wartości funkcji sinus, cosinus i stycznej będą równe stosunkowi odpowiednich boków.

Ponieważ wartości funkcji sinus, cosinus i tangens zależą wyłącznie od miary stopnia kąta (lub wartości wyrażonej w radianach), znalezione przez nas stosunki będą wartościami funkcji sinus 45, cosinus 45 i styczna 45 stopni.

Zgodnie z właściwościami trójkąta prostokątnego kąt C jest prosty i równy 90 stopni. Początkowo skonstruowaliśmy kąt B o mierze stopni wynoszącej 45 stopni. Znajdźmy wartość kąta A. Zatem suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni

∠ + ∠ B + ∠ C = 180°
Kąt C jest prosty i równy 90 stopni, kąt B początkowo zdefiniowaliśmy jako 45 stopni, zatem:
∠ A = 180° - ∠ Z - ∠ B = 180° - 90° - 45° = 45°

Ponieważ ten trójkąt ma dwa kąty równe sobie, to trójkąt ABC jest prostokątny i jednocześnie równoramienny, w którym obie nogi są sobie równe: AC = BC.

Załóżmy, że długość boków jest równa pewnej liczbie AC = BC = a. Znając długości nóg, obliczamy długość przeciwprostokątnej.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: AB 2 = AC 2 + BC 2
Zastąpmy długości AC i BC zmienną a i otrzymamy:

AB 2 = za 2 + za 2 = 2a 2,

wtedy AB=a √ 2.

W rezultacie wyraziliśmy długości wszystkich boków trójkąt prostokątny o kącie 45 stopni poprzez zmienną a.

Zgodnie z właściwościami funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym stosunek odpowiednich boków trójkąta będzie równy wartościom odpowiednich funkcji. Zatem dla kąta α = 45 stopni:

grzech α = BC / AB(zgodnie z definicją sinusa dla trójkąta prostokątnego jest to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej, BC - noga, AB - przeciwprostokątna)

cos α = AC / AB(zgodnie z definicją cosinusa jest to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej, AC to noga, AB to przeciwprostokątna)

tg α = BC / AC(podobnie tangens kąta α będzie równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej)

Zamiast wyznaczać boki, podstawiamy wartości ich długości poprzez zmienną a.

Na tej podstawie (patrz tabela wartości grzech 45, cos 45, tg 45) otrzymujemy:

Wartości tabeli grzech 45, cos 45, tg 45(czyli wartość sinus 45, cosinus 45 i tangens 45 stopnie można obliczyć jako stosunek odpowiednich boków danego trójkąta), obliczone powyżej wartości długości boków podstawiamy do wzorów i otrzymujemy wynik jak na poniższym obrazku.

Wartości tabeli: sinus 45, cosinus 45 i tangens 45 stopni

Zatem:

• tangens 45 stopni jest równy jeden
• sinus 45 stopni jest równy cosinusowi 45 stopni i jest równy pierwiastkowi z dwóch na pół (to samo, co jeden podzielony przez pierwiastek z dwóch)

Jak widać z powyższych obliczeń, aby obliczyć wartości odpowiedniej funkcji trygonometrycznej, ważne są nie długości boków trójkąta, ale ich stosunek, który jest zawsze taki sam dla tych samych kątów , niezależnie od wielkości konkretnego trójkąta.

Sinus, cosinus i tangens π/4 radianów

W zadaniach proponowanych do rozwiązania w szkole średniej oraz na egzaminie zewnętrznym/unifikowanym egzaminie państwowym zamiast miary stopnia kąta często spotyka się wskazanie jego wielkości mierzonej w radianach. Miarą kąta wyrażoną w radianach jest liczba pi, która wyraża zależność obwodu koła od jego średnicy.

Dla ułatwienia zrozumienia polecam zapamiętać prosta zasada zamiany stopni na radiany. Średnica koła obejmuje łuk o mierze 180 stopni. Zatem pi radian będzie równy 180 stopni. Stąd łatwo jest przeliczyć dowolną miarę kąta na radiany i odwrotnie.

Weźmy to pod uwagę Kąt 45 stopni wyrażony w radianach, jest równe (180/45 = 4) π/4 (pi razy cztery). Dlatego znalezione przez nas wartości są prawidłowe dla tego samego stopnia miary kąta, wyrażonego w radianach:

• styczna π/4(pi przez cztery) równa się jeden
• sinus π/4(pi razy cztery) stopnie są równe cosinus π/4 stopni i jest równy pierwiastkowi z dwóch na pół

Tabela styczna jest jedną z czterech najczęściej używanych tablic trygonometrycznych w książce tabel Bradis. Chociaż tangens i cotangens są zasadniczo pochodnymi sinusa i cosinusa, często przydatne jest posiadanie gotowych obliczonych wartości stycznych.

Funkcje trygonometryczne i ich znaczenie w badaniu geometrii

W geometrii szczególną rolę odgrywają funkcje trygonometryczne, za pomocą których określają, w jaki sposób boki i kąty trójkąta prostokątnego są ze sobą powiązane. Oczywiście trygonometria nie stoi w miejscu i od czasów Euklidesa zrobiła ogromny postęp i obecnie funkcje te można wyrazić poprzez rozwiązywanie równań różniczkowych.

Obecnie w użyciu sześć zapisów podstawowych funkcji trygonometrycznych , a cztery z sześciu funkcji, są to ostatnie w rzędzie, można wyznaczyć nie tylko za pomocą geometrii.

Zatoka (grzech)

Cosinus (sałata)

Tangens (tg/tan)

Cotangens (ctg/łóżeczko)

Sieczna (sek)

Cosekans (cosec/csc) .

Rozważmy sam trójkąt prostokątny; oznaczenia jego boków i kątów we wszystkich podręcznikach są jak zwykle standardowe, niezależnie od tego, po której stronie leży na płaszczyźnie.

W tym trójkącie istnieją trzy kąty, oznaczone α, β, γ, przy czym γ zawsze wynosi 90°. Strona leżąca naprzeciwko kąta prostego γ nazywana jest przeciwprostokątną, jest oznaczona literą C. Kąt α, od którego rozpoczynają się wszystkie obliczenia, znajduje się po przeciwnej stronie a / BC /, zwanej przeciwną do tego kąta, oraz stronie b / AC /, który jest w pobliżu, podlega temu kątowi i nazywa się sąsiadującym.

Według teorii euklidesowej, która jest nadal prawdziwa (i zawsze będzie prawdziwa), suma kątów takiego trójkąta, leżącego w tej samej płaszczyźnie, będzie równa 180, czyli liczbie π. Wartość dowolnego kąta będzie wynosić od 0 do π /2.

Następnie funkcje trygonometryczne można wyrazić za pomocą wymiarów boków tego trójkąta. Ponieważ kąt α jest pierwszym zarówno w alfabecie greckim, jak i w naszym trójkącie, zaczynamy naszą znajomość funkcji od tego kąta.

• Sinus α wyraża się poprzez stosunek nogi leżącej naprzeciwko tego kąta do przeciwprostokątnej naszego trójkąta, czyli sin α = a: c.
• Cosinus α wyraża się poprzez stosunek nogi przylegającej do kąta α i przeciwprostokątnej c, cos α = b: c. Nawiasem mówiąc, sin β = α: с, co pozwala przyjąć, że sin α jest równy cos β i dlatego sin β jest równy cos α.
• Styczna α równy ilorazowi stosunku przeciwnej strony a do sąsiedniej strony b : tg α = a: b.
• Cotangens kąta α odpowiednio jest równe ctg α = b: a.
• Sieczna kąta α jest stosunkiem przeciwprostokątnej trójkąta do nogi sąsiadującej z tym kątem sec α = c: b.
• Cosecans kąta α jest stosunkiem przeciwprostokątnej trójkąta do nogi leżącej naprzeciw kąta, cosecα = c: a.

Funkcje te można również wyrazić za pomocą okręgu, określając układ współrzędnych. Ustalamy układ współrzędnych ze środkiem w punkcie O. Kąt, o który obrócony zostanie pokazany na rysunku odcinek OA, uznamy za dowolny, nazwijmy go θ.

Następnie za tangens tego kąta θ uważa się stosunek rzędnej punktu A na okręgu do jego odciętej. Zatem jeśli ctg α = b: a i AC = sin θ, OS = cos θ, to tanθ = sin θ: cos θ. Podobnie otrzymujemy cos θ = cos θ: sin θ lub 1: tanθ.

Kalkulator online do obliczania tangensa kąta