Jak znaleźć obszar trójkąta. Obliczanie pola wielokąta na podstawie współrzędnych jego wierzchołków Wyznaczanie pola trójkąta na podstawie współrzędnych jego wierzchołków
Metoda współrzędnych, zaproponowana w XVII wieku przez francuskich matematyków R. Descartesa (1596-1650) i P. Fermata (1601-1665), jest potężnym narzędziem pozwalającym przełożyć pojęcia geometryczne na język algebraiczny. Metoda ta opiera się na koncepcji układu współrzędnych. Rozważymy obliczenie pola wielokąta na podstawie współrzędnych jego wierzchołków w prostokątnym układzie współrzędnych.
Pole trójkąta
Twierdzenie 1. Jeśli jest obszarem trójkąta
wtedy równość jest prawdziwa
nazwiemy to wyznacznikiem pola trójkąta.
Dowód. Niech wierzchołki trójkąta będą znajdować się w pierwszej ćwiartce współrzędnych. Istnieją dwa możliwe przypadki.
Przypadek 1. Kierunek (lub, lub) położenia wierzchołków trójkąta pokrywa się z kierunkiem ruchu końca wskazówki zegara (ryc. 1.30).
Ponieważ figura jest trapezem.
Podobnie to stwierdzamy
Wykonując przekształcenia algebraiczne
otrzymujemy to:
W równości (1.9) wyznacznikiem pola jest zatem znak minus przed wyrażeniem, ponieważ.
Pokażmy to. Rzeczywiście, tutaj
(pole prostokąta o podstawie i wysokości jest większe niż suma pól prostokątów o podstawach i wysokościach; (ryc. 1.30), skąd
Przypadek 2. Wskazane kierunki w przypadku 1 są przeciwne do kierunku ruchu końca wskazówki zegara (ryc. 1.31)
ponieważ figura jest trapezem, i
Gdzie. Rzeczywiście, tutaj
Twierdzenie jest udowodnione, gdy wierzchołki trójkąta znajdują się w pierwszej ćwiartce współrzędnych.
Korzystając z pojęcia modułu, równości (1.9) i (1.10) można zapisać w następujący sposób:
Notatka 1. Wyprowadziliśmy wzór (1.8) uwzględniając najprostszy układ wierzchołków pokazany na rysunkach 1.30 i 1.31; jednakże wzór (1.8) jest prawdziwy dla dowolnego układu wierzchołków.
Rozważmy przypadek pokazany na rysunku 1.32.
Dlatego wykonując proste przekształcenia geometryczne:
znowu dostajemy co, gdzie
Obszar n-gon
Wielokąt może być wypukły lub niewypukły; kolejność numeracji wierzchołków jest uważana za ujemną, jeśli wierzchołki są numerowane w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara. Wielokąt, który nie ma samoprzecięcia boków, nazwiemy prostym. Bo to proste N-gon następujące informacje są prawdziwe
Twierdzenie 2. Jeśli jest obszarem liczby pierwszej N-gon, gdzie, to równość jest prawdziwa
nazwiemy wyznacznik obszaru liczby pierwszej N-gon.
Dowód. Istnieją dwa możliwe przypadki.
Przypadek 1. N-gon - wypukły. Udowodnijmy wzór (1.11) metodą indukcji matematycznej.
Zostało to już bowiem udowodnione (Twierdzenie 1). Załóżmy, że jest to prawdą dla N-gon; udowodnijmy, że pozostaje to ważne dla wypukłych ( N+1)-gon.
Dodajmy jeszcze jeden wierzchołek do wielokąta (ryc. 1.33).
Zatem wzór jest ważny dla ( N+1)-gon, a zatem spełnione są warunki indukcji matematycznej, czyli wzór (1.11) dla przypadku wypukłej N-gon został udowodniony.
Przypadek 2. N-gon - niewypukły.
W dowolnym niewypukłym N-gon można narysować leżącą w jej wnętrzu przekątną i tym samym dowód przypadku 2 dla niewypukłej N-gon jest podobny do dowodu dla wypukłości N-gon.
Uwaga 2. Wyrażenia „nie są łatwe do zapamiętania”. Dlatego, aby obliczyć jego wartości, wygodnie jest zapisać współrzędne pierwszego, drugiego, trzeciego, ... w kolumnie. N-ty i znowu pierwsze wierzchołki N-gon i pomnóż według schematu:
Znaki w kolumnie (1.12) należy rozmieścić zgodnie ze schematem (1.13).
Uwaga 3. Komponując kolumnę (1.12) dla trójkąta, możesz zacząć od dowolnego wierzchołka.
Uwaga 4. Podczas kompilacji kolumny (1.12) dla N-gon () należy zachować kolejność wpisywania współrzędnych wierzchołków N-gon (nie ma znaczenia, od którego wierzchołka rozpocznie się przejście). Dlatego obliczenie powierzchni N-gon powinien rozpocząć się od zbudowania „szorstkiego” rysunku.
Trójkąt to jedna z najczęstszych figur geometrycznych, z którą zapoznajemy się już w szkole podstawowej. Każdy uczeń staje przed pytaniem, jak znaleźć pole trójkąta na lekcjach geometrii. Jakie więc cechy znalezienia obszaru danej figury można zidentyfikować? W tym artykule przyjrzymy się podstawowym wzorom niezbędnym do wykonania takiego zadania, a także przeanalizujemy rodzaje trójkątów.
Rodzaje trójkątów
Pole trójkąta można znaleźć na zupełnie inne sposoby, ponieważ w geometrii istnieje więcej niż jeden typ figury zawierający trzy kąty. Typy te obejmują:
- Rozwarty.
- Równostronny (poprawnie).
- Trójkąt prostokątny.
- Równoramienny.
Przyjrzyjmy się bliżej każdemu z istniejących typów trójkątów.
Ta figura geometryczna jest uważana za najczęstszą przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych. Gdy zajdzie potrzeba narysowania dowolnego trójkąta, ta opcja przychodzi na ratunek.
W ostrym trójkącie, jak sama nazwa wskazuje, wszystkie kąty są ostre i sumują się do 180°.
Ten typ trójkąta jest również bardzo powszechny, ale jest nieco mniej powszechny niż trójkąt ostry. Na przykład przy rozwiązywaniu trójkątów (czyli znanych jest kilka jego boków i kątów i trzeba znaleźć pozostałe elementy) czasami trzeba określić, czy kąt jest rozwarty, czy nie. Cosinus jest liczbą ujemną.
B, wartość jednego z kątów przekracza 90°, więc pozostałe dwa kąty mogą przyjmować małe wartości (na przykład 15° lub nawet 3°).
Aby znaleźć obszar trójkąta tego typu, musisz znać pewne niuanse, o których porozmawiamy później.
Trójkąty regularne i równoramienne
Wielokąt foremny to figura zawierająca n kątów i której wszystkie boki i kąty są równe. To właśnie jest zwykły trójkąt. Ponieważ suma wszystkich kątów trójkąta wynosi 180°, zatem każdy z trzech kątów ma miarę 60°.
Trójkąt foremny ze względu na swoje właściwości nazywany jest także figurą równoboczną.
Warto również zauważyć, że w trójkąt foremny można wpisać tylko jeden okrąg i wokół niego można opisać tylko jeden okrąg, którego środki znajdują się w tym samym punkcie.
Oprócz typu równobocznego można wyróżnić także trójkąt równoramienny, który nieco się od niego różni. W takim trójkącie dwa boki i dwa kąty są sobie równe, a trzeci bok (do którego przylegają równe kąty) jest podstawą.
Rysunek przedstawia trójkąt równoramienny DEF, którego kąty D i F są równe, a DF jest podstawą.
Trójkąt prostokątny
Trójkąt prostokątny został tak nazwany, ponieważ jeden z jego kątów jest prosty, to znaczy równy 90°. Pozostałe dwa kąty sumują się do 90°.
Największym bokiem takiego trójkąta, leżącym naprzeciw kąta 90°, jest przeciwprostokątna, natomiast pozostałe dwa boki to ramiona. W przypadku tego typu trójkąta obowiązuje twierdzenie Pitagorasa:
Suma kwadratów długości nóg jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny BAC z przeciwprostokątną AC i nogami AB i BC.
Aby znaleźć pole trójkąta pod kątem prostym, musisz znać wartości liczbowe jego nóg.
Przejdźmy do wzorów na znalezienie pola danej figury.
Podstawowe wzory na wyznaczanie pola
W geometrii istnieją dwa wzory odpowiednie do znalezienia obszaru większości typów trójkątów, a mianowicie trójkątów ostrych, rozwartych, regularnych i równoramiennych. Przyjrzyjmy się każdemu z nich.
Wzdłuż boku i wysokości
Ta formuła jest uniwersalna do znalezienia obszaru rozważanej figury. Aby to zrobić, wystarczy znać długość boku i długość narysowanej do niego wysokości. Sam wzór (połowa iloczynu podstawy i wysokości) wygląda następująco:
gdzie A jest bokiem danego trójkąta, a H jest wysokością trójkąta.
Na przykład, aby znaleźć pole ostrego trójkąta ACB, należy pomnożyć jego bok AB przez wysokość CD i podzielić uzyskaną wartość przez dwa.
Jednak nie zawsze łatwo jest w ten sposób znaleźć pole trójkąta. Na przykład, aby użyć tego wzoru dla trójkąta rozwartego, musisz przedłużyć jeden z jego boków, a dopiero potem narysować do niego wysokość.
W praktyce ta formuła jest używana częściej niż inne.
Po obu stronach i narożu
Wzór ten, podobnie jak poprzedni, nadaje się do większości trójkątów i w swoim znaczeniu jest konsekwencją wzoru na obliczenie pola boku i wysokości trójkąta. Oznacza to, że daną formułę można łatwo wyprowadzić z poprzedniej. Jego formuła wygląda następująco:
S = ½*sinO*A*B,
gdzie A i B to boki trójkąta, a O to kąt między bokami A i B.
Przypomnijmy, że sinus kąta można zobaczyć w specjalnej tabeli nazwanej na cześć wybitnego radzieckiego matematyka V. M. Bradisa.
Przejdźmy teraz do innych formuł, które są odpowiednie tylko dla wyjątkowych typów trójkątów.
Pole trójkąta prostokątnego
Oprócz uniwersalnego wzoru, który uwzględnia konieczność znalezienia wysokości w trójkącie, z jego nóg można wyznaczyć pole trójkąta zawierające kąt prosty.
Zatem obszar trójkąta zawierający kąt prosty jest połową iloczynu jego nóg lub:
gdzie aib są ramionami trójkąta prostokątnego.
Zwykły trójkąt
Ten typ figury geometrycznej różni się tym, że jej obszar można znaleźć przy wskazanej wartości tylko jednego z jej boków (ponieważ wszystkie boki regularnego trójkąta są równe). Zatem stojąc przed zadaniem „znalezienia pola trójkąta, gdy boki są równe”, należy zastosować następujący wzór:
S = ZA 2 *√3 / 4,
gdzie A jest bokiem trójkąta równobocznego.
Wzór Herona
Ostatnią opcją znalezienia pola trójkąta jest wzór Herona. Aby z niego skorzystać, musisz znać długości trzech boków figury. Wzór Herona wygląda następująco:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
gdzie a, b i c są bokami danego trójkąta.
Czasami pojawia się problem: „pole regularnego trójkąta polega na znalezieniu długości jego boku”. W tym przypadku musimy skorzystać ze znanego już wzoru na znalezienie pola trójkąta foremnego i wyprowadzić z niego wartość boku (lub jego kwadratu):
ZA 2 = 4S / √3.
Zadania egzaminacyjne
W matematycznych problemach GIA istnieje wiele formuł. Ponadto dość często konieczne jest znalezienie pola trójkąta na papierze w kratkę.
W takim przypadku najwygodniej jest narysować wysokość do jednego z boków figury, określić jej długość z komórek i zastosować uniwersalny wzór na znalezienie powierzchni:
Tak więc po przestudiowaniu wzorów przedstawionych w artykule nie będziesz mieć problemów ze znalezieniem obszaru dowolnego trójkąta.
