Sieć stopni i jej elementy. Sieć stopni i jej elementy Jaka jest wielkość łuku pierwszego południka

Kulisty kształt Ziemi i dobowy obrót decydują o istnieniu dwóch stałych punktów na powierzchni Ziemi - słupy. Wyimaginowana oś Ziemi przechodzi przez bieguny, wokół których Ziemia się obraca.

Na mapach i globusach rysowany jest największy okrąg - równik, którego płaszczyzna jest prostopadła do osi Ziemi. Równik dzieli Ziemię na półkulę północną i południową. Długość 1° łuku równika wynosi 40075,7 km: 360° = 111,3 km.

Wiele płaszczyzn można konwencjonalnie ustawić równolegle do płaszczyzny równikowej. Kiedy przecinają się z powierzchnią globu, powstają małe kółka - paralele. Rysuje się je na globusie lub mapie w pewnej odległości od równika i zorientowane z zachodu na wschód. Długość równoległych okręgów maleje równomiernie od równika do biegunów. Przypomnijmy, że jest ona największa na równiku i równa zeru na biegunach.

Kulę ziemską mogą również przecinać wyimaginowane płaszczyzny przechodzące przez oś Ziemi prostopadłą do płaszczyzny równika. Kiedy te płaszczyzny przecinają się z powierzchnią Ziemi, powstają duże koła - meridiany. Południki można poprowadzić przez dowolny punkt na kuli ziemskiej. Wszystkie przecinają się na biegunach i są zorientowane z północy na południe. Średnia długość łuku południka 1° wynosi 40008,5 km: 360° = 111 km. Kierunek południka lokalnego w dowolnym punkcie można określić w południe na podstawie kierunku cienia gnomona lub innego obiektu. Na półkuli północnej koniec cienia obiektu wskazuje kierunek na północ, na półkuli południowej – na południe.

Do obliczenia odległości na mapie lub globusie można zastosować następujące wartości: długość łuku 1° południka i 1° równika, równa około 111 km.

Aby określić odległość w kilometrach na mapie lub globusie między dwoma punktami znajdującymi się na tym samym południku, liczbę stopni między punktami mnoży się przez 111 km. Aby określić odległość w kilometrach pomiędzy punktami leżącymi na tym samym równoleżniku, liczbę stopni mnoży się przez długość łuku 1° równoleżnika, wskazaną na mapie lub ustaloną z tabel.

Długość łuków równoleżników i południków na elipsoidzie Krasowskiego

Na przykład odległość między Kijowem a Petersburgiem, położona w przybliżeniu na południku 30°, wynosi 111 km * 9,5° = 1054 km; odległość między Kijowem a Charkowem (w przybliżeniu równolegle 50°) – 71 km * 6° = 426 km.

Tworzą się równoleżniki i południki sieć stopni. Najdokładniejszy pomysł na sieć stopni można uzyskać z globu. Na mapach geograficznych położenie równoleżników i południków zależy od odwzorowania mapy. Aby to sprawdzić, możesz porównać różne mapy, na przykład mapy półkul, kontynentów, Rosji, regionów Rosji itp.

Położenie dowolnego punktu na kuli ziemskiej określa się za pomocą współrzędnych geograficznych: szerokości i długości geograficznej.

Szerokość geograficzna– odległość wzdłuż południka w stopniach od równika do dowolnego punktu na kuli ziemskiej. Za początek szerokości geograficznej przyjmuje się równik, równoleżnik zerowy. Szerokość geograficzna waha się od 0° na równiku do 90° na biegunie. Na północ od równika znajduje się szerokość geograficzna północna (N), a na południe od równika szerokość geograficzna południowa (S). Na mapach równoleżniki wpisane są w ramki boczne, a na globusie - w południki 0° i 180°. Na przykład Charków położony jest na 50° równoleżnika na północ od równika – jego szerokość geograficzna wynosi 50° N. cii.; Wyspy Kermadec – na Oceanie Spokojnym, na 30° równoleżnika na południe od równika, ich szerokość geograficzna wynosi w przybliżeniu 30° S. w.

Jeżeli na mapie lub globusie punkt znajduje się pomiędzy dwoma wyznaczonymi równoleżnikami, wówczas o jego szerokości geograficznej decyduje dodatkowo odległość między tymi równoleżnikami. Na przykład, aby obliczyć szerokość geograficzną Irkucka, znajdującego się na mapie Rosji pomiędzy 50° a 60° N. sh., przez punkt łączący obie równoleżniki poprowadzono linię prostą. Następnie dzieli się go warunkowo na 10 równych części - stopni, ponieważ odległość między równoleżnikami wynosi 10°. Irkuck jest bliżej równoleżnika 50°.

W praktyce szerokość geograficzną wyznacza się na podstawie wysokości Gwiazdy Polarnej za pomocą sekstansu, w szkole wykorzystuje się do tego goniometr pionowy lub eklimetr.

Długość geograficzna– odległość wzdłuż równoleżnika w stopniach od południka zerowego do dowolnego punktu na kuli ziemskiej. Za początek długości geograficznej przyjmuje się południk Greenwich, południk zerowy, który przebiega w pobliżu Londynu (gdzie znajduje się Obserwatorium w Greenwich). Na wschód od południka zerowego do 180° mierzona jest długość wschodnia (E), na zachód – długość zachodnia (W). Na mapach południki wpisane są na równiku lub w górnej i dolnej ramce mapy, a na kuli ziemskiej - na równiku. Południki, podobnie jak równoleżniki, przebiegają przez tę samą liczbę stopni. Na przykład Sankt Petersburg położony jest na 30. południku na wschód od południka zerowego, a jego długość geograficzna wynosi 30° wschodniej. D.; Miasto Meksyk – na 100. południku na zachód od południka zerowego, jego długość geograficzna wynosi 100° W. D.

Jeżeli punkt znajduje się pomiędzy dwoma południkami, wówczas jego długość geograficzną wyznacza odległość między nimi. Na przykład Irkuck położony jest pomiędzy 100° a 110° długości geograficznej wschodniej. itd., ale bliżej 100°. Przez punkt łączący oba południki przebiega linia, umownie dzieli się ją przez 10° i liczbę stopni liczy się od południka 100° do Irkucka. W związku z tym długość geograficzna Irkucka wynosi około 104°.

Długość geograficzną w praktyce wyznacza się na podstawie różnicy czasu pomiędzy danym punktem a południkiem zerowym lub innym znanym południkiem. Współrzędne geograficzne zapisywane są w pełnych stopniach i minutach, wskazując szerokość i długość geograficzną. W tym przypadku 1° = 60 min (60"), a0,1° = 6", 0,2° = 12" itd.

Literatura.

1. Geografia / wyd. P.P. Waszczenko, E.I. Shipowicz. - wyd. 2, poprawione i uzupełnione. - K.: Szkoła Wiszcza. Wydawnictwo Główne, 1986. - 503 s.

Długość łuku południka i równoleżnika. Wymiary ram trapezów map topograficznych

Chersoniu-2005

Długość łuku południka S. M pomiędzy punktami o szerokościach geograficznych B 1 I B 2 wyznacza się z rozwiązania całki eliptycznej postaci:

(1.1)

który, jak wiadomo, nie jest uwzględniany w funkcjach elementarnych. Aby rozwiązać tę całkę, stosuje się całkowanie numeryczne. Według wzoru Simpsona mamy:

(1.2)

(1.3)

Gdzie B 1 I B 2– szerokość geograficzna końców łuku południka; M 1, M 2, Pan– wartości promieni krzywizny południka w punktach o szerokościach geograficznych B 1 I B 2 I Bcp=(B 1 + B 2)/2; A– półoś wielka elipsoidy, mi 2– pierwsza ekscentryczność.

Długość łuku równoległego SP jest długością części koła, więc oblicza się ją bezpośrednio jako iloczyn promienia danego równoleżnika r=NcosB przez różnicę długości geograficznej l skrajne punkty pożądanego łuku, tj.

Gdzie l=L2 –L1

Wartość promienia krzywizny pierwszego pionu N obliczone według wzoru

(1.5)

Filmowanie trapezu jest częścią powierzchni elipsoidy ograniczoną południkami i równoleżnikami. Dlatego boki trapezu są równe długościom łuków południków i równoleżników. Ponadto ramy północna i południowa są łukami równoleżników 1 I 2 oraz wschodnią i zachodnią – łukami południków Z, sobie równe. Przekątna trapezu D. Aby otrzymać konkretne wymiary trapezu należy podzielić wspomniane łuki przez mianownik skali M i aby uzyskać wymiary w centymetrach, pomnóż przez 100. Zatem działające wzory wyglądają następująco:

(1.6)

Gdzie M– mianownik skali badania; N 1, N 2, – promienie krzywizny pierwszego pionu w punktach o szerokościach geograficznych B 1 I B 2; Mhm– promień krzywizny południka w punkcie o szerokości geograficznej Bm=(B1+B2)/2; ΔB=(B 2 – B 1).

Zadanie i dane początkowe

1) Oblicz długość łuku południka między dwoma punktami o szerokościach geograficznych B 1 = 30°00"00.000"" I B 2 = 35°00"12,345""+1"Nr., gdzie № jest numerem opcji.

2) Oblicz długość łuku równoległego pomiędzy punktami leżącymi na tym równoleżniku, wraz z długościami geograficznymi L 1 = 0°00"00.000"" I L 2 = 0°45"00,123"" + 1""Nie., gdzie № jest numerem opcji. Szerokość równoleżnika B=52°00"00.000""

3) Oblicz wymiary ram trapezowych w skali 1:100 000 dla arkusza mapy N-35-nr, gdzie nr jest numerem trapezu podanym przez nauczyciela.

Schemat rozwiązania

Kulisty kształt Ziemi i dobowy obrót decydują o istnieniu dwóch stałych punktów na powierzchni Ziemi - słupy. Wyimaginowana oś Ziemi przechodzi przez bieguny, wokół których Ziemia się obraca.

Na mapach i globusach rysowany jest największy okrąg - równik, którego płaszczyzna jest prostopadła do osi Ziemi. Równik dzieli Ziemię na półkulę północną i południową. Długość 1° łuku równika wynosi 40075,7 km: 360° = 111,3 km.

Wiele płaszczyzn można konwencjonalnie ustawić równolegle do płaszczyzny równikowej. Kiedy przecinają się z powierzchnią globu, powstają małe kółka - paralele. Rysuje się je na globusie lub mapie w pewnej odległości od równika i zorientowane z zachodu na wschód. Długość równoległych okręgów maleje równomiernie od równika do biegunów. Przypomnijmy, że jest ona największa na równiku i równa zeru na biegunach.

Kulę ziemską mogą również przecinać wyimaginowane płaszczyzny przechodzące przez oś Ziemi prostopadłą do płaszczyzny równika. Kiedy te płaszczyzny przecinają się z powierzchnią Ziemi, powstają duże koła - meridiany. Południki można poprowadzić przez dowolny punkt na kuli ziemskiej. Wszystkie przecinają się na biegunach i są zorientowane z północy na południe. Średnia długość łuku południka 1° wynosi 40008,5 km: 360° = 111 km. Kierunek południka lokalnego w dowolnym punkcie można określić w południe na podstawie kierunku cienia gnomona lub innego obiektu. Na półkuli północnej koniec cienia obiektu wskazuje kierunek na północ, na półkuli południowej – na południe.

Do obliczenia odległości na mapie lub globusie można zastosować następujące wartości: długość łuku 1° południka i 1° równika, równa około 111 km.

Aby określić odległość w kilometrach na mapie lub globusie między dwoma punktami znajdującymi się na tym samym południku, liczbę stopni między punktami mnoży się przez 111 km. Aby określić odległość w kilometrach pomiędzy punktami leżącymi na tym samym równoleżniku, liczbę stopni mnoży się przez długość łuku 1° równoleżnika, wskazaną na mapie lub ustaloną z tabel.

Długość łuków równoleżników i południków na elipsoidzie Krasowskiego

Na przykład odległość między Kijowem a Petersburgiem, położona w przybliżeniu na południku 30°, wynosi 111 km * 9,5° = 1054 km; odległość między Kijowem a Charkowem (w przybliżeniu równolegle 50°) – 71 km * 6° = 426 km.

Tworzą się równoleżniki i południki sieć stopni. Najdokładniejszy pomysł na sieć stopni można uzyskać z globu. Na mapach geograficznych położenie równoleżników i południków zależy od odwzorowania mapy. Aby to sprawdzić, możesz porównać różne mapy, na przykład mapy półkul, kontynentów, Rosji, regionów Rosji itp.

Położenie dowolnego punktu na kuli ziemskiej określa się za pomocą współrzędnych geograficznych: szerokości i długości geograficznej.

Szerokość geograficzna– odległość wzdłuż południka w stopniach od równika do dowolnego punktu na kuli ziemskiej. Za początek szerokości geograficznej przyjmuje się równik, równoleżnik zerowy. Szerokość geograficzna waha się od 0° na równiku do 90° na biegunie. Na północ od równika znajduje się szerokość geograficzna północna (N), a na południe od równika szerokość geograficzna południowa (S). Na mapach równoleżniki wpisane są w ramki boczne, a na globusie - w południki 0° i 180°. Na przykład Charków położony jest na 50° równoleżnika na północ od równika – jego szerokość geograficzna wynosi 50° N. cii.; Wyspy Kermadec – na Oceanie Spokojnym, na 30° równoleżnika na południe od równika, ich szerokość geograficzna wynosi w przybliżeniu 30° S. w.

Jeżeli na mapie lub globusie punkt znajduje się pomiędzy dwoma wyznaczonymi równoleżnikami, wówczas o jego szerokości geograficznej decyduje dodatkowo odległość między tymi równoleżnikami. Na przykład, aby obliczyć szerokość geograficzną Irkucka, znajdującego się na mapie Rosji pomiędzy 50° a 60° N. sh., przez punkt łączący obie równoleżniki poprowadzono linię prostą. Następnie dzieli się go warunkowo na 10 równych części - stopni, ponieważ odległość między równoleżnikami wynosi 10°. Irkuck jest bliżej równoleżnika 50°.

W praktyce szerokość geograficzną wyznacza się na podstawie wysokości Gwiazdy Polarnej za pomocą sekstansu, w szkole wykorzystuje się do tego goniometr pionowy lub eklimetr.

Długość geograficzna– odległość wzdłuż równoleżnika w stopniach od południka zerowego do dowolnego punktu na kuli ziemskiej. Za początek długości geograficznej przyjmuje się południk Greenwich, południk zerowy, który przebiega w pobliżu Londynu (gdzie znajduje się Obserwatorium w Greenwich). Na wschód od południka zerowego do 180° mierzona jest długość wschodnia (E), na zachód – długość zachodnia (W). Na mapach południki wpisane są na równiku lub w górnej i dolnej ramce mapy, a na kuli ziemskiej - na równiku. Południki, podobnie jak równoleżniki, przebiegają przez tę samą liczbę stopni. Na przykład Sankt Petersburg położony jest na 30. południku na wschód od południka zerowego, a jego długość geograficzna wynosi 30° wschodniej. D.; Miasto Meksyk – na 100. południku na zachód od południka zerowego, jego długość geograficzna wynosi 100° W. D.

Jeżeli punkt znajduje się pomiędzy dwoma południkami, wówczas jego długość geograficzną wyznacza odległość między nimi. Na przykład Irkuck położony jest pomiędzy 100° a 110° długości geograficznej wschodniej. itd., ale bliżej 100°. Przez punkt łączący oba południki przebiega linia, umownie dzieli się ją przez 10° i liczbę stopni liczy się od południka 100° do Irkucka. W związku z tym długość geograficzna Irkucka wynosi około 104°.

Długość geograficzną w praktyce wyznacza się na podstawie różnicy czasu pomiędzy danym punktem a południkiem zerowym lub innym znanym południkiem. Współrzędne geograficzne zapisywane są w pełnych stopniach i minutach, wskazując szerokość i długość geograficzną. W tym przypadku 1° = 60 min (60"), a0,1° = 6", 0,2° = 12" itd.

Literatura.

1. Geografia / wyd. P.P. Waszczenko, E.I. Shipowicz. - wyd. 2, poprawione i uzupełnione. - K.: Szkoła Wiszcza. Wydawnictwo Główne, 1986. - 503 s.

Południk elipsoidy Ziemi jest elipsą, której promień krzywizny jest określony przez wartość M, w zależności od szerokości geograficznej. Długość łuku dowolnej krzywej o zmiennym promieniu można obliczyć za pomocą dobrze znanego wzoru geometrii różniczkowej, który po zastosowaniu do południka ma wyrażenie

Tutaj W 1 I O 2 szerokości geograficzne, dla których wyznaczana jest długość południka. W funkcjach elementarnych całka nie jest traktowana w postaci domkniętej. Aby to obliczyć, możliwe są jedynie przybliżone metody całkowania. Wybierając metodę całkowania przybliżonego zwróćmy uwagę na fakt, że wartość mimośrodu elipsy południka jest niewielka, zatem możliwe jest tutaj zastosowanie metody opartej na rozwinięciu szeregowym w potęgach małych wielkości ( e /2 cos 2 B < 7*10 -3) биномиального выражения, стоящего под знаком интеграла. Число членов разложения будет зависеть от необходимой точности вычисления длины дуги меридиана, а также от разности широт ее конечных точек.

W praktyce geodezyjnej mogą wystąpić różne przypadki, częściej konieczne jest wykonanie obliczeń dla krótkich odcinków (do 60 km), ale w celach specjalnych może zaistnieć potrzeba obliczenia długich łuków południków: od równika do prądu punkt (do 10 000 km), między biegunami (do 20 000 km). Wymagana dokładność obliczeń może osiągnąć wartość 0,001 m. Dlatego najpierw rozważymy ogólny przypadek, gdy różnica szerokości geograficznych może osiągnąć 180 0, a długość łuku może wynosić 20 000 km.

Aby rozwinąć wyrażenie dwumianowe w szereg, używamy wzoru znanego z matematyki.

Błąd obliczeniowy przy wstrzymaniu M Tutaj wystarczy określić wyrazy rozwinięcia za pomocą pozostałego wyrazu w postaci Lagrange'a, który ma wartość bezwzględną nie mniejszą niż suma wszystkich odrzuconych wyrazów rozwinięcia i jest obliczany według wzoru

, (4. 27)

jako pierwszy z odrzuconych wyrazów rozwinięcia, obliczony przy maksymalnej możliwej wartości wielkości X.

W naszym przypadku tak

Podstawiając otrzymane wyrażenie do równania (4.25), otrzymujemy

, (4. 28)

co pozwala na integrację termin po terminie przy zachowaniu wymaganej liczby warunków rozszerzenia. Załóżmy, że długość łuku południka może osiągnąć 10 000 km (od równika do bieguna), co odpowiada różnicy szerokości geograficznej DB = p/2, w tym przypadku należy go obliczyć z dokładnością do 0,001 m, co będzie odpowiadać wartości względnej 10 –10. W każdym przypadku wartość cosB nie przekroczy jedności. Jeśli podczas obliczeń zachowamy trzecie potęgi rozwinięcia, wówczas pozostała część w postaci Lagrange'a ma wyrażenie

Jak widzimy, aby osiągnąć wymaganą dokładność, taka liczba wyrazów rozwinięcia nie wystarczy, należy zachować cztery wyrazy rozwinięcia, a pozostały wyraz w postaci Lagrange'a będzie miał wyrażenie

Dlatego przy całkowaniu konieczne jest zachowanie w tym przypadku czterech stopni rozwinięcia.

Integracja termin po terminie (4.28) nie jest trudna, jeśli przekształcisz parzyste potęgi w wiele łuków ( cos 2 n B V Cos(2nB)), używając dobrze znanego wzoru na cosinus z podwójnym argumentem

; cos 2 B = (1 + cos2B)/2,

stosując go sekwencyjnie, otrzymujemy

Robię to do co 8 B, otrzymujemy po prostych przekształceniach i całkowaniu

Tutaj różnicę szerokości geograficznej przyjmuje się w radianach i stosuje się następujące oznaczenia dla współczynników, które mają stałe wartości dla elipsoidy o tych parametrach.

;

.

Warto pamiętać, że długość łuku południka przy różnicy szerokości geograficznej wynoszącej jeden stopień jest w przybliżeniu równa 111 km, w ciągu jednej minuty - 1,8 km, w ciągu jednej sekundy - 0,031 km.

W praktyce geodezyjnej bardzo często zachodzi potrzeba obliczenia łuku południka o małej długości (rzędu długości boku trójkąta triangulacyjnego), w warunkach białoruskich wartość ta nie przekroczy 30 km. W tym przypadku nie ma potrzeby stosowania uciążliwego wzoru (4.29), ale można uzyskać prostszy, ale zapewniający tę samą dokładność obliczeń (do 0,001 m).

Niech będą szerokości geograficzne punktów końcowych południka B 1 I B 2 odpowiednio. Dla odległości do 30 km będzie to odpowiadać różnicy szerokości geograficznej w radianach, nie większej niż 0. 27. Obliczanie średniej szerokości geograficznej Bmłuki południków zgodnie ze wzorem B m = (B 1 + B 2) / 2, przyjmujemy, że łuk południka jest łukiem koła o promieniu

(4. 30)

a jego długość oblicza się ze wzoru na długość łuku kołowego

, (4. 31)

gdzie różnicę szerokości geograficznej przyjmuje się w radianach.

Długość łuku równoleżników i południków na elipsoidzie Krasowskiego,
biorąc pod uwagę zniekształcenia spowodowane kompresją polarną Ziemi

Aby określić odległość na mapie turystycznej, w kilometrach między punktami, liczbę stopni mnoży się przez długość łuku 1° równoleżnika i południka (w długości i szerokości geograficznej, w układzie współrzędnych geograficznych), dokładnie obliczone wartości z których pochodzą z tabel. W przybliżeniu, z pewnym błędem, można je obliczyć za pomocą wzoru na kalkulatorze.

Przykład przeliczenia wartości liczbowych współrzędnych geograficznych z części dziesiątych na stopnie i minuty.

Przybliżona długość geograficzna miasta Swierdłowska wynosi 60,8° (sześćdziesiąt i osiem stopni) długości geograficznej wschodniej.
8/10 = X/60
X = (8 * 60) / 10 = 48 (z proporcji znajdujemy licznik prawego ułamka).
Wynik: 60,8° = 60° 48 cali (sześćdziesiąt stopni i czterdzieści osiem minut).

Aby dodać symbol stopnia (°) - naciśnij Alt+248 (przy liczbach w prawej klawiaturze numerycznej klawiatury; na laptopie - po naciśnięciu specjalnego przycisku Fn lub włączeniu NumLk). Odbywa się to w systemach operacyjnych Windows i Linux, a w systemie Mac OS - za pomocą klawiszy Shift+Opcja+8

Współrzędne szerokości geograficznej są zawsze podawane przed współrzędnymi długości geograficznej (zarówno podczas pisania na komputerze, jak i pisania na papierze).

W serwisie maps.google.ru obsługiwane formaty określają zasady

Przykłady jak to zrobić poprawnie:

Pełna forma zapisu kąta (stopnie, minuty, sekundy z ułamkami):
41° 24" 12,1674", 2° 10" 26,508"

Skrócone formy zapisu kątów:
Stopnie i minuty z miejscami dziesiętnymi - 41 24.2028, 2 10.4418
Stopnie dziesiętne (DDD) - 41,40338, 2,17403

Usługa Google Map posiada konwerter online umożliwiający przeliczanie współrzędnych i konwertowanie ich do wymaganego formatu.

Zaleca się stosowanie kropki jako separatora dziesiętnego dla wartości liczbowych na stronach internetowych i w programach komputerowych.

Stoły

Długość łuku równoległego na 1°, 1” i 1” długości geograficznej, w metrach

Uproszczony wzór na obliczenie łuków równoległych (bez uwzględnienia zniekształceń spowodowanych ściskaniem biegunowym):

L par = l eq * cos (szerokość geograficzna).

Długość łuku południka w 1°, 1” i 1” szerokości geograficznej, w metrach

Rysunek. 1-sekundowe łuki południków i równoleżników (uproszczony wzór).

Praktyczny przykład wykorzystania tabel. Przykładowo, jeśli na mapie nie jest oznaczona skala numeryczna i nie ma podziałki, ale są linie stopniowej siatki kartograficznej, można graficznie określić odległości na podstawie tego, że jeden stopień łuku odpowiada wartości liczbowej uzyskanej z stół. W kierunkach „północ-południe” (pomiędzy poziomymi liniami siatki geograficznej na mapie) - wartości długości łuków zmieniają się od równika do biegunów Ziemi nieznacznie i wynoszą około 111 kilometrów.

Andreev N.V. Topografia i kartografia: Przedmiot fakultatywny. M., Edukacja, 1985

Podręcznik matematyki.

Http://ru.wikipedia.org/wiki/Geographic_cooperatives