Wzory łączące odcinki proporcjonalne w trójkącie prostokątnym. Proporcjonalne odcinki w trójkącie prostokątnym

Test podobieństwa dla trójkątów prostokątnych

Wprowadźmy najpierw kryterium podobieństwa dla trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie 1

Test podobieństwa dla trójkątów prostokątnych: dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy każdy z nich ma jeden równy kąt ostry (ryc. 1).

Rysunek 1. Podobne trójkąty prostokątne

Dowód.

Załóżmy, że $\angle B=\angle B_1$. Ponieważ trójkąty są prostokątne, to $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Są zatem podobne według pierwszego kryterium podobieństwa trójkątów.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym

Twierdzenie 2

Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwa podobne trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do danego trójkąta.

Dowód.

Dany jest nam trójkąt prostokątny $ABC$ z kątem prostym $C$. Narysujmy wysokość $CD$ (ryc. 2).

Rysunek 2. Ilustracja twierdzenia 2

Udowodnijmy, że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są podobne do trójkąta $ABC$ oraz że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są do siebie podobne.

Ponieważ $\kąt ADC=(90)^0$, to trójkąt $ACD$ jest prostokątny. Trójkąty $ACD$ i $ABC$ mają wspólny kąt $A$, zatem zgodnie z Twierdzeniem 1 trójkąty $ACD$ i $ABC$ są podobne.

Ponieważ $\kąt BDC=(90)^0$, to trójkąt $BCD$ jest prostokątny. Trójkąty $BCD$ i $ABC$ mają wspólny kąt $B$, zatem zgodnie z Twierdzeniem 1 trójkąty $BCD$ i $ABC$ są podobne.

Rozważmy teraz trójkąty $ACD$ i $BCD$

\[\kąt A=(90)^0-\kąt ACD\] \[\kąt BCD=(90)^0-\kąt ACD=\kąt A\]

Zatem zgodnie z Twierdzeniem 1 trójkąty $ACD$ i $BCD$ są podobne.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Średnio proporcjonalna

Twierdzenie 3

Wysokość trójkąta prostokątnego wyciągniętego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną do odcinków, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną danego trójkąta.

Dowód.

Z Twierdzenia 2 wynika, że ​​trójkąty $ACD$ i $BCD$ są zatem podobne

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 4

Noga trójkąta prostokątnego to średnia proporcjonalna między przeciwprostokątną a odcinkiem przeciwprostokątnej zawartym między nogą a wysokością narysowaną od wierzchołka kąta.

Dowód.

W dowodzie twierdzenia skorzystamy z zapisu z rysunku 2.

Z Twierdzenia 2 wynika, że ​​trójkąty $ACD$ i $ABC$ są zatem podobne

Twierdzenie zostało udowodnione.

Cele Lekcji:

1. wprowadzić pojęcie średniej proporcjonalnej (średniej geometrycznej) dwóch odcinków;
2. rozważ problem proporcjonalnych odcinków w trójkącie prostokątnym: właściwość wysokości trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego;
3. rozwijanie umiejętności studentów w zakresie wykorzystania studiowanego tematu w procesie rozwiązywania problemów.

Typ lekcji: lekcja uczenia się nowego materiału.

Plan:

1. Moment organizacyjny.
2. Aktualizowanie wiedzy.
3. Badanie własności wysokości trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego:
   - etap przygotowawczy;
   - wstęp;
   – asymilacja.
4. Wprowadzenie koncepcji średniej proporcjonalnej do dwóch odcinków.
5. Opanowanie koncepcji średniej proporcjonalnej dwóch odcinków.
6. Dowód konsekwencji:
   – wysokość trójkąta prostokątnego wyciągniętego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną między odcinkami, na które przez tę wysokość podzielona jest przeciwprostokątna;
   – noga trójkąta prostokątnego to średnia proporcjonalna między przeciwprostokątną a odcinkiem przeciwprostokątnej zawartym między nogą a wysokością.
7. Rozwiązywanie problemów.
8. Zreasumowanie.
9. Zadawanie zadań domowych.

Podczas zajęć

I. MOMENT ORGANIZACYJNY

- Cześć chłopaki, usiądźcie. Czy wszyscy są gotowi na zajęcia?

Zacznijmy pracę.

II. AKTUALIZACJA WIEDZY

– Jakiego ważnego pojęcia matematycznego nauczyłeś się na poprzednich lekcjach? ( z koncepcją podobieństwa trójkątów)

- Pamiętajmy, które dwa trójkąty nazywamy podobnymi? (dwa trójkąty nazywamy podobnymi, jeśli ich kąty są odpowiednio równe, a boki jednego trójkąta są proporcjonalne do podobnych boków drugiego trójkąta)

– Czego używamy do udowodnienia podobieństwa dwóch trójkątów? (

– Sformułuj te znaki (sformułuj trzy znaki podobieństwa trójkątów)

III. BADANIE WŁAŚCIWOŚCI WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA PROSTOKĄTNEGO PROWADZONEGO OD GÓRY KĄTA PROSTEGO

a) etap przygotowawczy

– Proszę państwa, spójrzcie na pierwszy slajd. ( Aplikacja) Tutaj pokazane są dwa trójkąty prostokątne – i . i są odpowiednio wysokościami i . .

Zadanie 1. a) Określ, czy i są podobne.

– Czego używamy do udowodnienia podobieństwa trójkątów? ( oznaki podobieństwa trójkątów)

(pierwszy znak, bo w zadaniu nic nie wiadomo o bokach trójkątów)

. (Dwie pary: 1. ∟B= ∟B1 (prosto), 2. ∟A= ∟A 1)

- Wyciągnąć wniosek.( według pierwszego kryterium podobieństwa trójkątów ~)

Zadanie 1. b) Określ, czy i są podobne.

– Jakiego znaku podobieństwa użyjemy i dlaczego? (pierwszy znak, bo w zadaniu nic nie wiadomo o bokach trójkątów)

– Ile par równych kątów musimy znaleźć? Znajdź te pary (ponieważ trójkąty są prostokątne, to wystarczy jedna para równych kątów: ∟A= ∟A 1)

- Wyciągnąć wniosek. (na podstawie pierwszego kryterium podobieństwa trójkątów wnioskujemy, że trójkąty te są podobne).

W wyniku rozmowy slajd 1 wygląda następująco:

b) odkrycie twierdzenia

Zadanie 2.

– Określ, czy i są podobne. W wyniku rozmowy budowane są odpowiedzi, które znajdują odzwierciedlenie na slajdzie.

– Na to wskazywało zdjęcie. Czy użyliśmy tej miary stopnia, odpowiadając na pytania przydzielone do zadania? ( Nie, nie korzystaliśmy z tego)

– Chłopaki, wyciągnijcie wniosek: na jakie trójkąty dzieli się trójkąt prostokątny na podstawie wysokości wyciągniętej z wierzchołka kąta prostego? (wyciągnąć wniosek)

– Powstaje pytanie: czy te dwa trójkąty prostokątne, na które wysokość dzieli trójkąt prostokątny, będą do siebie podobne? Spróbujmy znaleźć pary równych kątów.

W wyniku rozmowy tworzony jest zapis:

– Teraz wyciągnijmy pełny wniosek.( WNIOSEK: wysokość trójkąta prostokątnego narysowana z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwie części podobny

- To. Sformułowaliśmy i udowodniliśmy twierdzenie o własności wysokości trójkąta prostokątnego.

Ustalmy strukturę twierdzenia i wykonajmy rysunek. Co jest dane w twierdzeniu i co należy udowodnić? Uczniowie zapisują w swoich zeszytach:

– Udowodnijmy pierwszy punkt twierdzenia dla nowego rysunku. Jakiej cechy podobieństwa użyjemy i dlaczego? (Pierwsze, bo w twierdzeniu nic nie wiadomo o bokach trójkątów)

– Ile par równych kątów musimy znaleźć? Znajdź te pary. (W tym przypadku wystarczy jedna para: ∟A-ogólne)

- Wyciągnąć wniosek. Trójkąty są podobne. W rezultacie pokazano próbkę twierdzenia

– Punkt drugi i trzeci zapisz samodzielnie w domu.

c) opanowanie twierdzenia

- Więc sformułuj twierdzenie jeszcze raz (Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwie części podobny trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do tego)

– Ile par trójkątów podobnych w konstrukcji „w trójkącie prostokątnym wysokość jest rysowana z wierzchołka kąta prostego” pozwala znaleźć to twierdzenie? ( Trzy pary)

Uczniowie otrzymują następujące zadanie:

IV. WPROWADZENIE POJĘCIA ŚREDNIEJ PROPORCJONALNOŚCI DWÓCH SEGMENTÓW

– A teraz przestudiujemy z Tobą nową koncepcję.

Uwaga!

Definicja. Odcinek XY zwany średnio proporcjonalna (Średnia geometryczna) pomiędzy segmentami AB I płyta CD, Jeśli

(zapisz to w zeszycie).

V. ZROZUMIENIE POJĘCIA ŚREDNIEJ PROPORCJONALNOŚCI DWÓCH SEGMENTÓW

– Przejdźmy teraz do kolejnego slajdu.

Ćwiczenie 1. Znajdź długość średnich odcinków proporcjonalnych MN i KP, jeśli MN = 9 cm, KP = 16 cm.

– Co jest podane w zadaniu? ( Dwa odcinki i ich długości: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

– Co musisz znaleźć? ( Długość średniej proporcjonalna do tych odcinków)

– Jaki wzór wyraża średnią proporcjonalną i jak ją znaleźć?

(Podstaw dane do wzoru i znajdź długość średniego podporu.)

Zadanie nr 2. Znajdź długość odcinka AB, jeśli średnia proporcjonalna odcinków AB i CD wynosi 90 cm, a CD = 100 cm

– Co jest podane w zadaniu? (długość odcinka CD = 100 cm, a średnia proporcjonalna odcinków AB i CD wynosi 90 cm)

– Co powinno znaleźć się w zadaniu? ( Długość odcinka AB)

– Jak rozwiążemy problem? (Zapiszmy wzór na średnie odcinki proporcjonalne AB i CD, wyraźmy z niego długość AB i podstawmy dane w zadaniu.)

VI. WNIOSKI IMPLIKACJI

- Dobra robota chłopcy. Wróćmy teraz do podobieństwa trójkątów, które udowodniliśmy w twierdzeniu. Sformułuj twierdzenie jeszcze raz. ( Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwie części podobny trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do danego)

– Najpierw skorzystajmy z podobieństwa trójkątów i . Co z tego wynika? ( Z definicji strony podobieństwa są proporcjonalne do boków podobnych)

– Jaka równość wyniknie, gdy zastosujemy podstawową właściwość proporcji? ()

– Wyraź CD i wyciągnij wniosek (;.

Wniosek: wysokość trójkąta prostokątnego wyciągniętego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną między odcinkami, na które przeciwprostokątna jest podzielona przez tę wysokość)

– Teraz udowodnij samodzielnie, że ramię trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną pomiędzy przeciwprostokątną a odcinkiem przeciwprostokątnej zawartym pomiędzy nogą a wysokością. Znajdziemy z -... odcinków, na które podzielona jest przeciwprostokątna przez tę wysokość )

Noga trójkąta prostokątnego to średnia proporcjonalna pomiędzy...(-...przeciwprostokątna i odcinek przeciwprostokątnej zawarty pomiędzy tą nogą a wysokością )

– Gdzie stosujemy stwierdzenia, których się nauczyliśmy? ( Podczas rozwiązywania problemów)

IX. ZADAWANIE PRACY DOMOWEJ

d/z: nr 571, nr 572 (a, d), samodzielna praca w zeszycie, teoria.

Dziś zwracamy uwagę na kolejną prezentację na niesamowity i tajemniczy temat - geometrię. W tej prezentacji przedstawimy Państwu nową właściwość kształtów geometrycznych, w szczególności koncepcję odcinków proporcjonalnych w trójkątach prostokątnych.

Po pierwsze, powinniśmy pamiętać, czym jest trójkąt? To najprostszy wielokąt, składający się z trzech wierzchołków połączonych trzema segmentami. Trójkąt, w którym jeden z kątów jest równy 90 stopni, nazywa się trójkątem prostokątnym. Zapoznałeś się z nimi bardziej szczegółowo w naszych poprzednich materiałach edukacyjnych, które przedstawiliśmy Twojej uwadze.

Wracając więc do naszego dzisiejszego tematu, oznaczmy w kolejności, że wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego pod kątem 90 stopni dzieli go na dwa trójkąty podobne zarówno do siebie, jak i do pierwotnego. Wszystkie rysunki i wykresy, które Cię interesują, znajdują się w proponowanej prezentacji; zalecamy zapoznanie się z nimi wraz z opisanym wyjaśnieniem.

Graficzny przykład powyższej tezy można zobaczyć na drugim slajdzie. Bazując na pierwszym znaku podobieństwa trójkątów, trójkąty są podobne, ponieważ mają dwa identyczne kąty. Jeśli określimy bardziej szczegółowo, wówczas wysokość obniżona do przeciwprostokątnej tworzy z nią kąt prosty, to znaczy istnieją już kąty identyczne, a każdy z utworzonych kątów ma również jeden wspólny kąt jak pierwotny. Rezultatem są dwa kąty równe sobie. Oznacza to, że trójkąty są podobne.

Określmy jeszcze, co oznacza pojęcie „średnia proporcjonalna” czy „średnia geometryczna”? Jest to pewien odcinek XY dla odcinków AB i CD, gdy jest on równy pierwiastkowi kwadratowemu z iloczynu ich długości.

Z czego wynika również, że noga trójkąta prostokątnego jest średnią geometryczną między przeciwprostokątną a rzutem tej nogi na przeciwprostokątną, czyli inną nogę.

Inną właściwością trójkąta prostokątnego jest to, że jego wysokość obliczona pod kątem 90° jest średnią proporcjonalną pomiędzy rzutami nóg na przeciwprostokątną. Jeśli sięgniesz do prezentacji i innych materiałów, na które zwrócono Twoją uwagę, zobaczysz, że istnieją dowody na tę tezę w bardzo prostej i przystępnej formie. Wcześniej udowodniliśmy już, że powstałe trójkąty są podobne do siebie i do pierwotnego trójkąta. Następnie korzystając ze stosunku nóg tych figur geometrycznych dochodzimy do wniosku, że wysokość trójkąta prostokątnego jest wprost proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z iloczynu odcinków, które powstały w wyniku obniżenia wysokości z kąt prosty pierwotnego trójkąta.

Ostatnią rzeczą w prezentacji jest to, że noga trójkąta prostokątnego jest średnią geometryczną przeciwprostokątnej i jej odcinka znajdującego się pomiędzy nogą a wysokością narysowaną z kąta równego 90 stopni. Przypadek ten należy rozpatrywać z punktu widzenia tego, że wskazane trójkąty są do siebie podobne, a noga jednego z nich okazuje się przeciwprostokątną drugiego. Ale lepiej się z tym zapoznasz, studiując proponowane materiały.

Test podobieństwa dla trójkątów prostokątnych

Wprowadźmy najpierw kryterium podobieństwa dla trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie 1

Test podobieństwa dla trójkątów prostokątnych: dwa trójkąty prostokątne są podobne, gdy każdy z nich ma jeden równy kąt ostry (ryc. 1).

Rysunek 1. Podobne trójkąty prostokątne

Dowód.

Załóżmy, że $\angle B=\angle B_1$. Ponieważ trójkąty są prostokątne, to $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Są zatem podobne według pierwszego kryterium podobieństwa trójkątów.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym

Twierdzenie 2

Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwa podobne trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do danego trójkąta.

Dowód.

Dany jest nam trójkąt prostokątny $ABC$ z kątem prostym $C$. Narysujmy wysokość $CD$ (ryc. 2).

Rysunek 2. Ilustracja twierdzenia 2

Udowodnijmy, że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są podobne do trójkąta $ABC$ oraz że trójkąty $ACD$ i $BCD$ są do siebie podobne.

Ponieważ $\kąt ADC=(90)^0$, to trójkąt $ACD$ jest prostokątny. Trójkąty $ACD$ i $ABC$ mają wspólny kąt $A$, zatem zgodnie z Twierdzeniem 1 trójkąty $ACD$ i $ABC$ są podobne.

Ponieważ $\kąt BDC=(90)^0$, to trójkąt $BCD$ jest prostokątny. Trójkąty $BCD$ i $ABC$ mają wspólny kąt $B$, zatem zgodnie z Twierdzeniem 1 trójkąty $BCD$ i $ABC$ są podobne.

Rozważmy teraz trójkąty $ACD$ i $BCD$

\[\kąt A=(90)^0-\kąt ACD\] \[\kąt BCD=(90)^0-\kąt ACD=\kąt A\]

Zatem zgodnie z Twierdzeniem 1 trójkąty $ACD$ i $BCD$ są podobne.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Średnio proporcjonalna

Twierdzenie 3

Wysokość trójkąta prostokątnego wyciągniętego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną do odcinków, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną danego trójkąta.

Dowód.

Z Twierdzenia 2 wynika, że ​​trójkąty $ACD$ i $BCD$ są zatem podobne

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 4

Noga trójkąta prostokątnego to średnia proporcjonalna między przeciwprostokątną a odcinkiem przeciwprostokątnej zawartym między nogą a wysokością narysowaną od wierzchołka kąta.

Dowód.

W dowodzie twierdzenia skorzystamy z zapisu z rysunku 2.

Z Twierdzenia 2 wynika, że ​​trójkąty $ACD$ i $ABC$ są zatem podobne

Twierdzenie zostało udowodnione.

Lekcja 40. Proporcjonalne odcinki w trójkącie prostokątnym. C. ur. A. H. S. p.n.e. N. ac. A. B. Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na 2 podobne trójkąty prostokątne, z których każdy jest podobny do danego trójkąta. Test podobieństwa dla trójkątów prostokątnych. Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeśli każdy z nich ma taki sam kąt ostry. Odcinek XY nazywany jest średnią proporcjonalną (średnią geometryczną) odcinków AB i CD, jeśli Właściwość 1. Wysokość trójkąta prostokątnego narysowanego z wierzchołka kąta prostego jest średnią proporcjonalną między rzutami nóg na przeciwprostokątną. Właściwość 2. Noga trójkąta prostokątnego jest średnią proporcjonalną między przeciwprostokątną a rzutem tej nogi na przeciwprostokątną.

Geometria klasa 8

„Rozwiązywanie problemów na podstawie twierdzenia Pitagorasa” - Trójkąt ABC jest równoramienny. Praktyczne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa. ABCD jest czworokątem. Powierzchnia kwadratu. Znajdź słońce. Dowód. Podstawy trapezu równoramiennego. Rozważmy twierdzenie Pitagorasa. Powierzchnia czworoboku. Trójkąty prostokątne. Twierdzenie Pitagorasa. Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

„Znajdowanie obszaru równoległoboku” - podstawa. Wysokość. Wyznaczanie wysokości równoległoboku. Znaki równości trójkątów prostokątnych. Obszar równoległoboku. Znajdź obszar trójkąta. Właściwości obszarów. Ćwiczenia ustne. Znajdź obszar równoległoboku. Wysokości równoległoboku. Znajdź obwód kwadratu. Pole trójkąta. Znajdź pole kwadratu. Znajdź obszar prostokąta. Powierzchnia kwadratu.

„Kwadrat” 8. klasa” – Czarny kwadrat. Zadania do pracy ustnej po obwodzie kwadratu. Powierzchnia kwadratu. Znaki kwadratu. Plac jest wśród nas. Kwadrat to prostokąt mający wszystkie boki równe. Kwadrat. Torba z kwadratową podstawą. Zadania ustne. Ile kwadratów pokazano na obrazku. Właściwości kwadratu. Bogaty kupiec. Zadania na pracę ustną na obszarze kwadratu. Obwód kwadratu.

„Definicja symetrii osiowej” - Punkty leżące na tej samej prostopadłej. Narysuj dwie proste linie. Budowa. Narysuj punkty. Wskazówka. Figury, które nie mają symetrii osiowej. Odcinek. Brakujące współrzędne. Postać. Figury posiadające więcej niż dwie osie symetrii. Symetria. Symetria w poezji. Konstruuj trójkąty. Osie symetrii. Budowa segmentu. Budowa punktu. Figury o dwóch osiach symetrii. Narody. Trójkąty. Proporcjonalność.

„Definicja trójkątów podobnych” – Wielokąty. Segmenty proporcjonalne. Stosunek pól trójkątów podobnych. Dwa trójkąty nazywane są podobnymi. Warunki. Skonstruuj trójkąt, korzystając z danych dwóch kątów i dwusiecznej wierzchołka. Powiedzmy, że musimy określić odległość do filaru. Trzeci znak podobieństwa trójkątów. Zbudujmy jakiś trójkąt. ABC. Trójkąty ABC i ABC są równe z trzech stron. Określanie wysokości obiektu.

„Rozwiązanie twierdzenia Pitagorasa” – Części okien. Najprostszy dowód. Hammurabiego. Przekątna. Kompletny dowód. Dowód metodą odejmowania. Pitagorejczycy. Dowód metodą rozkładu. Historia twierdzenia. Średnica. Dowód metodą dodawania. Dowód Epsteina. Kantor. Trójkąty. Obserwujący. Zastosowania twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa. Stwierdzenie twierdzenia. Dowód Perigala. Zastosowanie twierdzenia.