Jeśli 2 są równoległe. Linie równoległe, znaki i warunki dla linii równoległych

Znaki równoległości dwóch linii

Twierdzenie 1. Jeżeli dwie proste przecinają się z sieczną:

skrzyżowane kąty są równe, lub

odpowiednie kąty są równe, lub

suma kątów jednostronnych wynosi zatem 180°

linie są równoległe(ryc. 1).

Dowód. Ograniczamy się do udowodnienia przypadku 1.

Niech przecinające się linie a i b będą poprzeczne, a kąty AB będą równe. Na przykład ∠ 4 = ∠ 6. Udowodnijmy, że a || B.

Załóżmy, że linie aib nie są równoległe. Następnie przecinają się w pewnym punkcie M i dlatego jeden z kątów 4 lub 6 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM. Dla pewności niech ∠ 4 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM, a ∠ 6 – kątem wewnętrznym. Z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta wynika, że ​​∠ 4 jest większe od ∠ 6, co jest sprzeczne z warunkiem, który oznacza, że ​​proste a i 6 nie mogą się przecinać, więc są równoległe.

Wniosek 1. Dwie różne linie leżące na płaszczyźnie prostopadłej do tej samej linii są równoległe(ryc. 2).

Komentarz. Sposób, w jaki właśnie udowodniliśmy przypadek 1 Twierdzenia 1, nazywany jest metodą dowodu przez sprzeczność lub redukcję do absurdu. Metoda ta otrzymała swoją pierwszą nazwę, ponieważ na początku wywodu przyjmuje się założenie sprzeczne (przeciwne) z tym, co należy udowodnić. Nazywa się to doprowadzeniem do absurdu, gdyż rozumując na podstawie przyjętych założeń, dochodzimy do absurdalnego wniosku (do absurdu). Otrzymanie takiego wniosku zmusza nas do odrzucenia przyjętego na początku założenia i przyjęcia tego, które wymagało udowodnienia.

Zadanie 1. Skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt M i równoległą do danej prostej a, ale nie przechodzącą przez punkt M.

Rozwiązanie. Rysujemy prostą p przez punkt M prostopadle do prostej a (ryc. 3).

Następnie rysujemy linię b przechodzącą przez punkt M prostopadle do prostej p. Linia b jest równoległa do linii a zgodnie z wnioskiem z Twierdzenia 1.

Z rozważanego problemu wynika ważny wniosek:
przez punkt nie leżący na danej prostej zawsze można poprowadzić prostą równoległą do danej.

Główna właściwość linii równoległych jest następująca.

Aksjomat prostych równoległych. Przez dany punkt nie leżący na danej prostej przechodzi tylko jedna prosta równoległa do danej.

Rozważmy niektóre właściwości linii równoległych, które wynikają z tego aksjomatu.

1) Jeżeli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina także drugą (ryc. 4).

2) Jeżeli dwie różne linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe (ryc. 5).

Poniższe twierdzenie jest również prawdziwe.

Twierdzenie 2. Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez poprzeczkę, to:

kąty poprzeczne są równe;

odpowiednie kąty są równe;

suma kątów jednostronnych wynosi 180°.

Konsekwencja 2. Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej(patrz ryc. 2).

Komentarz. Twierdzenie 2 nazywane jest odwrotnością Twierdzenia 1. Konkluzja Twierdzenia 1 jest warunkiem Twierdzenia 2. Natomiast warunek Twierdzenia 1 jest konkluzją Twierdzenia 2. Nie każde twierdzenie ma odwrotność, to znaczy, jeśli dane twierdzenie jest prawda, to twierdzenie odwrotne może być fałszywe.

Wyjaśnimy to na przykładzie twierdzenia o kątach pionowych. Twierdzenie to można sformułować w następujący sposób: jeśli dwa kąty są pionowe, to są one równe. Twierdzenie odwrotne brzmiałoby: jeśli dwa kąty są równe, to są pionowe. A to oczywiście nie jest prawdą. Dwa równe kąty nie muszą być pionowe.

Przykład 1. Dwie równoległe linie przecina trzecia. Wiadomo, że różnica między dwoma wewnętrznymi kątami jednostronnymi wynosi 30°. Znajdź te kąty.

Rozwiązanie. Niech rysunek 6 spełnia warunek.

ROZDZIAŁ III.
BEZPOŚREDNIE RÓWNOLEGŁE

§ 38. ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY KĄTAMI,
UTWORZONY PRZEZ DWIE RÓWNOLEGŁE LINIE I DRUGĄ LINIE.

Wiemy, że dwie proste są równoległe, jeśli przy przecięciu trzeciej prostej są sobie równe kąty odpowiadające lub kąty wewnętrzne i zewnętrzne leżące na krzyż są równe, lub suma kątów wewnętrznych i zewnętrznych jednostronnych jest równa 2 D. Udowodnijmy, że prawdziwe są także twierdzenia odwrotne, a mianowicie:

Jeśli dwie równoległe linie przecina trzecia, to:

1) odpowiednie kąty są równe;
2) wewnętrzne kąty poprzeczne są równe;
3) zewnętrzne kąty poprzeczne są równe;
4) suma wewnętrznych kątów jednostronnych jest równa 2 D ;
5) suma zewnętrznych kątów jednostronnych jest równa 2 D .

Udowodnijmy na przykład, że jeśli dwie równoległe proste przecina się z trzecią prostą, to odpowiadające im kąty są równe.

Niech proste AB i CD będą równoległe, a MN ich sieczną (rys. 202) Udowodnijmy, że odpowiednie kąty 1 i 2 są sobie równe.

Załóżmy, że / 1 i / 2 nie są równe. Następnie w punkcie O możemy skonstruować / MKOl, odpowiedni i równy / 2 (rysunek 203).

Ale jeśli / MOQ = / 2, to prosta OK będzie równoległa do CD (§ 35).

Ustaliliśmy, że przez punkt O poprowadzono dwie proste AB i OK, równoległe do prostej CD. Ale tak nie może być (§ 37).

Doszliśmy do sprzeczności, ponieważ tak założyliśmy / 1 i / 2 nie są równe. Dlatego nasze założenie jest błędne i / 1 musi być równe / 2, tj. odpowiednie kąty są równe.

Ustalmy zależności pomiędzy pozostałymi kątami. Niech proste AB i CD będą równoległe, a MN będzie ich sieczną (ryc. 204).

Właśnie udowodniliśmy, że w tym przypadku odpowiednie kąty są równe. Załóżmy, że dowolne dwa z nich mają po 119° każdy. Obliczmy wielkość każdego z pozostałych sześciu kątów. Bazując na właściwościach kątów przyległych i pionowych, stwierdzamy, że każdy z ośmiu kątów będzie miał po 119°, a pozostałe po 61°.

Okazało się, że kąty poprzeczne wewnętrzne i zewnętrzne są równe parami, a suma kątów jednostronnych wewnętrznych i zewnętrznych wynosi 180° (czyli 2 D).

To samo stanie się z każdą inną wartością równych odpowiednich kątów.

Wniosek 1. Jeżeli każda z dwóch prostych AB i CD jest równoległa do tej samej trzeciej linii MN, to pierwsze dwie proste są do siebie równoległe (rysunek 205).

W rzeczywistości, rysując sieczną EF (ryc. 206), otrzymujemy:
A) / 1 = / 3, ponieważ AB || MN; B) / 2 = / 3, ponieważ CO || MN.

Oznacza, / 1 = / 2, a są to kąty odpowiadające prostym AB i CD oraz siecznej EF, zatem proste AB i CD są równoległe.

Konsekwencja 2. Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej (rysunek 207).

Rzeczywiście, jeśli EF _|_ AB, to / 1 = D; jeśli AB || W takim razie płyta CD / 1 = / 2.

Stąd, / 2 = D tj. EF _|_ CD .

1) Jeżeli, gdy dwie linie proste przecinają się z poprzeczną, kąty leżące są równe, to linie proste są równoległe.

2) Jeżeli, gdy dwie linie przecinają się z poprzeczką, odpowiadające im kąty są równe, to linie są równoległe.

3) Jeżeli przy przecięciu dwóch prostych z poprzeczną suma kątów jednostronnych wynosi 180°, to proste są równoległe.

3. Przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzi tylko jedna prosta równoległa do danej.

4 Jeśli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina także drugą.

5. Jeśli dwie linie są równoległe do trzeciej linii, to są równoległe.

Właściwości prostych równoległych

1) Jeśli dwie równoległe linie przecinają się przez poprzeczkę, to przecinające się kąty są równe.

2) Jeśli dwie równoległe linie przecinają się przez poprzeczkę, wówczas odpowiadające im kąty są równe.

3) Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to suma kątów jednostronnych wynosi 180°.

7. Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej.

8. Rozwiązywanie układu dwóch równań za pomocą dwóch Taka para liczb nazywana jest nieznaną X I Na , które po podstawieniu do tego układu zamieniają każde z jego równań w poprawną równość liczbową.

9.Rozwiązać układ równań- oznacza znalezienie wszystkich rozwiązań lub ustalenie, że ich nie ma.

1. Metody rozwiązywania układu równań:

a) substytucja

b) dodatek;

c) grafika.

10. Suma kątów w trójkącie wynosi 180°.

11. Narożnik zewnętrzny trójkąta to kąt sąsiadujący z pewnym kątem tego trójkąta.

Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów trójkąta, które do niego nie przylegają.

12. W dowolnym trójkącie albo wszystkie kąty są ostre, albo dwa kąty są ostre, a trzeci jest rozwarty lub prosty.

13Jeśli wszystkie trzy kąty trójkąta są ostre, wówczas trójkąt nazywa się ostry kąt.

14. Jeżeli jeden z kątów trójkąta jest rozwarty, wówczas nazywa się trójkąt rozwartokątny.

15. Jeśli jeden z kątów trójkąta jest prosty, wówczas nazywa się trójkąt prostokątny.

16. Nazywa się bok trójkąta prostokątnego leżący naprzeciwko kąta prostego przeciwprostokątna, a pozostałe dwie strony są nogi.

17. W trójkącie: 1) większy kąt leży naprzeciw większego boku; 2) z tyłu, większy bok leży naprzeciwko większego kąta.

18. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest dłuższa niż noga.

19. Jeśli dwa kąty trójkąta są równe, to trójkąt jest równoramienny (znak trójkąta równoramiennego).

20. Każdy bok trójkąta jest mniejszy niż suma dwóch pozostałych boków.

21 Suma dwóch kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90°.

22. Ramię trójkąta prostokątnego leżące naprzeciw kąta 30° jest równe połowie przeciwprostokątnej.

Znaki równości trójkątów prostokątnych: 1) z dwóch stron; 2) wzdłuż przeciwprostokątnej i kąta ostrego; 3) wzdłuż przeciwprostokątnej i nogi; 4) wzdłuż nogi i kąta ostrego

Długość prostopadłej poprowadzonej z punktu do linii nazywa się odległością tego punktu od prostej.

W tym artykule porozmawiamy o liniach równoległych, podamy definicje oraz zarysujemy znaki i warunki równoległości. Aby uczynić materiał teoretyczny bardziej przejrzystym, posłużymy się ilustracjami i rozwiązaniami typowych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1

Linie równoległe na płaszczyźnie– dwie proste na płaszczyźnie, które nie mają punktów wspólnych.

Definicja 2

Linie równoległe w przestrzeni trójwymiarowej– dwie linie proste w przestrzeni trójwymiarowej, leżące w tej samej płaszczyźnie i niemające punktów wspólnych.

Należy zauważyć, że aby określić równoległe linie w przestrzeni, niezwykle ważne jest wyjaśnienie „leżące w tej samej płaszczyźnie”: dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej, które nie mają wspólnych punktów i nie leżą w tej samej płaszczyźnie, nie są równoległe , ale przecinające się.

Aby wskazać linie równoległe, często używa się symbolu ∥. Oznacza to, że jeśli dane proste aib są równoległe, to warunek ten należy w skrócie zapisać w następujący sposób: a ‖ b. Słownie równoległość linii oznacza się następująco: linie aib są równoległe, linia a jest równoległa do linii b lub linia b jest równoległa do linii a.

Sformułujmy stwierdzenie, które odgrywa ważną rolę w badanym temacie.

Aksjomat

Przez punkt nie należący do danej prostej przechodzi jedyna prosta równoległa do danej. Twierdzenia tego nie da się udowodnić na podstawie znanych aksjomatów planimetrii.

W przypadku, gdy mówimy o przestrzeni, prawdziwe jest twierdzenie:

Twierdzenie 1

Przez dowolny punkt przestrzeni, który nie należy do danej linii, przejdzie pojedyncza prosta równoległa do danej.

Twierdzenie to łatwo udowodnić na podstawie powyższego aksjomatu (program z geometrii dla klas 10 - 11).

Kryterium równoległości jest warunkiem wystarczającym, którego spełnienie gwarantuje równoległość linii. Innymi słowy, spełnienie tego warunku wystarczy, aby potwierdzić fakt paralelizmu.

W szczególności istnieją warunki konieczne i wystarczające równoległości linii na płaszczyźnie i w przestrzeni. Wyjaśnijmy: konieczny oznacza warunek, którego spełnienie jest konieczne dla prostych równoległych; jeżeli nie jest to spełnione, linie nie są równoległe.

Reasumując, warunkiem koniecznym i wystarczającym równoległości linii jest warunek, którego spełnienie jest konieczne i wystarczające, aby linie były do ​​siebie równoległe. Z jednej strony jest to oznaka równoległości, z drugiej strony jest to właściwość nieodłączna liniom równoległym.

Zanim podamy dokładne sformułowanie warunku koniecznego i wystarczającego, przypomnijmy sobie kilka dodatkowych pojęć.

Definicja 3

Sieczna linia– linia prosta przecinająca każdą z dwóch danych, nie pokrywających się linii prostych.

Przecinając dwie proste linie, poprzeczna tworzy osiem nierozwiniętych kątów. Aby sformułować warunek konieczny i wystarczający, będziemy używać takich rodzajów kątów jak skrzyżowane, odpowiadające i jednostronne. Pokażmy je na ilustracji:

Twierdzenie 2

Jeżeli dwie proste na płaszczyźnie przecinają się przez poprzeczkę, to aby dane proste były równoległe konieczne i wystarczające jest, aby kąty przecinające się były równe, albo kąty odpowiadające były równe, albo suma kątów jednostronnych była równa 180 stopni.

Zilustrujmy graficznie warunek konieczny i wystarczający równoległości linii na płaszczyźnie:

Dowód spełnienia tych warunków znajduje się w programie geometrii dla klas 7-9.

Generalnie warunki te dotyczą również przestrzeni trójwymiarowej, pod warunkiem, że dwie proste i sieczna należą do tej samej płaszczyzny.

Wskażmy jeszcze kilka twierdzeń, które często wykorzystuje się do udowodnienia równoległości prostych.

Twierdzenie 3

Na płaszczyźnie dwie linie równoległe do trzeciej są do siebie równoległe. Cechę tę udowadnia się na podstawie wskazanego powyżej aksjomatu równoległości.

Twierdzenie 4

W przestrzeni trójwymiarowej dwie linie równoległe do trzeciej są do siebie równoległe.

Dowód znaku jest przedmiotem zajęć z geometrii w 10. klasie.

Podajmy ilustrację tych twierdzeń:

Wskażmy jeszcze jedną parę twierdzeń dowodzących równoległości prostych.

Twierdzenie 5

Na płaszczyźnie dwie linie prostopadłe do trzeciej są do siebie równoległe.

Sformułujmy podobne sformułowanie dla przestrzeni trójwymiarowej.

Twierdzenie 6

W przestrzeni trójwymiarowej dwie linie prostopadłe do trzeciej są do siebie równoległe.

Zilustrujmy:

Wszystkie powyższe twierdzenia, znaki i warunki pozwalają w wygodny sposób udowodnić równoległość prostych metodami geometrii. Oznacza to, że aby udowodnić równoległość linii, można wykazać, że odpowiednie kąty są równe lub wykazać, że dwie dane linie są prostopadłe do trzeciej itp. Należy jednak pamiętać, że często wygodniej jest zastosować metodę współrzędnych, aby udowodnić równoległość linii na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej.

Równoległość linii w prostokątnym układzie współrzędnych

W danym prostokątnym układzie współrzędnych linię prostą wyznacza się poprzez równanie linii prostej na płaszczyźnie jednego z możliwych typów. Podobnie linia prosta zdefiniowana w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej odpowiada pewnym równaniom linii prostej w przestrzeni.

Zapiszmy warunki konieczne i wystarczające równoległości prostych w prostokątnym układzie współrzędnych w zależności od rodzaju równania opisującego dane proste.

Zacznijmy od warunku równoległości prostych na płaszczyźnie. Opiera się na definicjach wektora kierunku linii i wektora normalnego linii na płaszczyźnie.

Twierdzenie 7

Aby dwie nie pokrywające się proste były równoległe na płaszczyźnie, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe danych prostych były współliniowe lub wektory normalne danych prostych były współliniowe lub wektor kierunkowy jednej prostej był prostopadły do wektor normalny drugiej linii.

Staje się oczywiste, że warunek równoległości prostych na płaszczyźnie opiera się na warunku współliniowości wektorów lub warunku prostopadłości dwóch wektorów. Oznacza to, że jeśli a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) są wektorami kierunkowymi prostych aib ;

i n b → = (n b x , n b y) są wektorami normalnymi prostych a i b, wówczas powyższy warunek konieczny i wystarczający zapisujemy następująco: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y lub n a → = t · n b → ⇔ n za x = t · n b x n za y = t · n b y lub a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , gdzie t jest pewną liczbą rzeczywistą. Współrzędne prowadnic lub wektorów prostych wyznaczają podane równania prostych. Spójrzmy na główne przykłady.

1. Linię a w prostokątnym układzie współrzędnych wyznacza ogólne równanie linii: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; linia prosta b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Wtedy wektory normalne danych linii będą miały odpowiednio współrzędne (A 1, B 1) i (A 2, B 2). Warunek równoległości zapisujemy następująco:

ZA 1 = t ZA 2 B 1 = t B 2

1. Linię a opisuje równanie prostej o nachyleniu postaci y = k 1 x + b 1 . Linia prosta b - y = k 2 x + b 2. Wtedy wektory normalne danych prostych będą miały współrzędne odpowiednio (k 1, - 1) i (k 2, - 1), a warunek równoległości zapiszemy następująco:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Jeżeli zatem linie równoległe na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych zostaną dane równaniami ze współczynnikami kątowymi, to współczynniki kątowe danych prostych będą równe. Prawdziwe jest natomiast stwierdzenie przeciwne: jeśli nie pokrywające się linie na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych są określone przez równania prostej o identycznych współczynnikach kątowych, to te podane linie są równoległe.

1. Linie a i b w prostokątnym układzie współrzędnych wyznaczają równania kanoniczne prostej na płaszczyźnie: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y lub równania parametryczne linia na płaszczyźnie: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y i x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Wtedy wektorami kierunkowymi danych prostych będą odpowiednio: a x, a y i b x, b y, a warunek równoległości zapiszemy następująco:

za x = t b x za y = t b y

Spójrzmy na przykłady.

Przykład 1

Dane są dwie linie: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1. Konieczne jest ustalenie, czy są one równoległe.

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie prostej w odcinkach w postaci równania ogólnego:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Widzimy, że n a → = (2, - 3) jest wektorem normalnym linii 2 x - 3 y + 1 = 0, a n b → = 2, 1 5 jest wektorem normalnym linii x 1 2 + y 5 = 1.

Otrzymane wektory nie są współliniowe, ponieważ nie ma takiej wartości tat, przy której równość będzie prawdziwa:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Zatem warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych na płaszczyźnie nie jest spełniony, co oznacza, że ​​dane proste nie są równoległe.

Odpowiedź: podane proste nie są równoległe.

Przykład 2

Podane są linie y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2. Czy są one równoległe?

Rozwiązanie

Przekształćmy równanie kanoniczne prostej x 1 = y - 4 2 do równania prostej o nachyleniu:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Widzimy, że równania prostych y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nie są takie same (gdyby było inaczej, proste byłyby zbieżne) oraz współczynniki kątowe prostych są równe, co oznacza, że dane proste są równoległe.

Spróbujmy rozwiązać problem inaczej. Najpierw sprawdźmy, czy podane linie pokrywają się. Używamy dowolnego punktu na prostej y = 2 x + 1, na przykład (0, 1), współrzędne tego punktu nie odpowiadają równaniu prostej x 1 = y - 4 2, co oznacza, że ​​​​proste nie nie pokrywają się.

Kolejnym krokiem jest sprawdzenie, czy spełniony jest warunek równoległości danych prostych.

Wektor normalny linii y = 2 x + 1 to wektor n a → = (2 , - 1) , a wektor kierunkowy drugiej danej linii to b → = (1 , 2) . Iloczyn skalarny tych wektorów jest równy zero:

n za → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Zatem wektory są prostopadłe: pokazuje to nam spełnienie warunku koniecznego i wystarczającego równoległości pierwotnych linii. Te. podane linie są równoległe.

Odpowiedź: te linie są równoległe.

Aby udowodnić równoległość linii w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej, stosuje się następujący warunek konieczny i wystarczający.

Twierdzenie 8

Aby dwie nie pokrywające się linie w przestrzeni trójwymiarowej były równoległe, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe tych linii były współliniowe.

Te. mając równania prostych w przestrzeni trójwymiarowej, odpowiedź na pytanie: czy są one równoległe, czy nie, uzyskuje się poprzez wyznaczenie współrzędnych wektorów kierunkowych danych prostych oraz sprawdzenie warunku ich kolinearności. Innymi słowy, jeśli a → = (a x, a y, a z) i b → = (b x, b y, b z) są wektorami kierunkowymi odpowiednio prostych a i b, to aby były one równoległe, istnienie konieczna jest taka liczba rzeczywista t, aby równość zachodziła:

za → = t b → ⇔ za x = t b x za y = t b y a z = t b z

Przykład 3

Podane są linie x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Należy udowodnić równoległość tych prostych.

Rozwiązanie

Warunki zadania są określone przez równania kanoniczne jednej prostej w przestrzeni i równania parametryczne drugiej prostej w przestrzeni. Wektory prowadzące a → i b → podane proste mają współrzędne: (1, 0, - 3) i (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , wtedy a → = 1 2 · b → .

Zatem warunek konieczny i wystarczający równoległości linii w przestrzeni jest spełniony.

Odpowiedź: udowodniona jest równoległość danych prostych.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

odpowiednie kąty: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;

wewnętrzne kąty poprzeczne: 3 i 5, 4 i 6;

zewnętrzne kąty poprzeczne: 1 i 7, 2 i 8;

narożniki wewnętrzne jednostronne: 3 i 6, 4 i 5;

narożniki zewnętrzne jednostronne: 1 i 8, 2 i 7.

Zatem ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 8 = ∠ 6, ale zgodnie z tym, co zostało udowodnione, ∠ 4 = ∠ 6.

Dlatego ∠ 2 = ∠ 8.

3. Odpowiednie kąty 2 i 6 są takie same, ponieważ ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 4 = ∠ 6. Upewnijmy się też, że pozostałe odpowiednie kąty są równe.

4. Suma narożniki wewnętrzne jednostronne 3 i 6 będą równe 2d, ponieważ suma sąsiadujące rogi 3 i 4 równa się 2d = 180 0, a ∠ 4 można zastąpić identycznym ∠ 6. Dbamy również o to, aby suma kątów 4 i 5 równa się 2d.

5. Suma narożniki zewnętrzne jednostronne będzie wynosić 2d, ponieważ te kąty są odpowiednio równe narożniki wewnętrzne jednostronne jak rogi pionowy.

Z powyższego udowodnionego uzasadnienia otrzymujemy twierdzenia odwrotne.

Kiedy na przecięciu dwóch prostych z dowolną trzecią linią otrzymujemy, że:

1. Wewnętrzne kąty poprzeczne są takie same;

lub 2. Zewnętrzne kąty poprzeczne są identyczne;

lub 3. Odpowiednie kąty są równe;

lub 4. Suma wewnętrznych kątów jednostronnych wynosi 2d = 180 0;

lub 5. Suma zewnętrznych jednostronnych wynosi 2d = 180 0 ,

wówczas pierwsze dwie linie są równoległe.