Znaleźć rozkład dyskretnej zmiennej losowej, biorąc pod uwagę rozkład dyskretnej zmiennej losowej. Prawo rozkładu zmiennych losowych

X; oznaczający F(5); prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X pobierze wartości z segmentu. Zbuduj wielokąt rozkładu.

1. Znana jest funkcja rozkładu F(x) dyskretnej zmiennej losowej X:

Ustal prawo rozkładu zmiennej losowej X w formie tabeli.

1. Podane jest prawo rozkładu zmiennej losowej X:

1. Prawdopodobieństwo, że sklep posiada certyfikaty jakości na pełen asortyment produktów wynosi 0,7. Komisja sprawdziła dostępność certyfikatów w czterech sklepach na swoim terenie. Sporządź prawo dystrybucji, oblicz matematyczne oczekiwanie i rozrzut liczby sklepów, w których podczas kontroli nie znaleziono certyfikatów jakości.

1. W celu określenia średniego czasu świecenia lamp elektrycznych w partii 350 identycznych pudełek, do badań wzięto po jednej lampie elektrycznej z każdego pudełka. Oszacuj poniżej prawdopodobieństwo, że średni czas palenia wybranych lamp elektrycznych różni się od średniego czasu palenia całej partii w wartościach bezwzględnych o mniej niż 7 godzin, jeżeli wiadomo, że odchylenie standardowe czasu palenia lamp elektrycznych w każde pudełko trwa mniej niż 9 godzin.

1. W centrali telefonicznej nieprawidłowe połączenie występuje z prawdopodobieństwem 0,002. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 500 połączeń wystąpi:

Znajdź funkcję rozkładu zmiennej losowej X. Konstruuj wykresy funkcji i . Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję, modę i medianę zmiennej losowej X.

1. Automat robi rolki. Uważa się, że ich średnica jest zmienną losową o rozkładzie normalnym i średniej wartości 10 mm. Jakie jest odchylenie standardowe, jeśli z prawdopodobieństwem 0,99 średnica mieści się w przedziale od 9,7 mm do 10,3 mm.

Próbka A: 6 9 7 6 4 4

Próbka B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opcja 17.

1. Spośród 35 części 7 jest niestandardowych. Znajdź prawdopodobieństwo, że dwie losowo wybrane części okażą się standardowe.

1. Rzucamy trzema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma punktów po opuszczonych bokach jest wielokrotnością 9.

1. Słowo „PRZYGODA” składa się z kart, na każdej zapisanej jedną literą. Karty są tasowane i wyjmowane pojedynczo, bez zwracania. Znajdź prawdopodobieństwo, że litery wybrane w kolejności występowania utworzą słowo: a) PRZYGODA; b) WIĘZIEN.

1. W urnie znajduje się 6 kul czarnych i 5 białych. Losujemy 5 kul. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich znajdują się:
1. 2 białe kule;
2. mniej niż 2 kule białe;
3. przynajmniej jedną czarną kulę.

1. A w jednym teście wynosi 0,4. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
1. wydarzenie A pojawia się 3 razy w serii 7 niezależnych badań;
2. wydarzenie A pojawi się nie mniej niż 220 i nie więcej niż 235 razy w serii 400 prób.

1. Zakład wysłał do bazy 5000 produktów dobrej jakości. Prawdopodobieństwo uszkodzenia każdego produktu w transporcie wynosi 0,002. Znajdź prawdopodobieństwo, że w trakcie podróży nie więcej niż 3 produkty ulegną uszkodzeniu.

1. W pierwszej urnie znajdują się 4 kule białe i 9 czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 3 czarne. Z pierwszej urny wylosowano 3 kule, a z drugiej 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule będą tego samego koloru.

1. Podane jest prawo rozkładu zmiennej losowej X:

Oblicz jego matematyczne oczekiwanie i wariancję.

1. W pudełku znajduje się 10 ołówków. Losujemy 4 ołówki. Losowa wartość X– liczba niebieskich ołówków wśród wybranych. Znajdź prawo jego rozkładu, momenty początkowe i środkowe drugiego i trzeciego rzędu.

1. Dział kontroli technicznej sprawdza 475 produktów pod kątem wad. Prawdopodobieństwo, że produkt jest wadliwy wynosi 0,05. Znajdź, z prawdopodobieństwem 0,95, granice, w których będzie się mieścić liczba wadliwych produktów spośród testowanych.

1. W centrali telefonicznej nieprawidłowe połączenie występuje z prawdopodobieństwem 0,003. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 1000 połączeń wystąpi:
1. co najmniej 4 nieprawidłowe połączenia;
2. więcej niż dwa nieprawidłowe połączenia.

1. Zmienna losowa jest określona przez funkcję gęstości rozkładu:

Znajdź funkcję rozkładu zmiennej losowej X. Konstruuj wykresy funkcji i . Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję, modę i medianę zmiennej losowej X.

1. Zmienna losowa jest określona przez funkcję rozkładu:

1. Według próbki A rozwiązać następujące problemy:
1. utwórz serię odmian;

· średnia próbki;

· wariancja próbki;

Tryb i mediana;

Próbka A: 0 0 2 2 1 4

1. obliczyć charakterystykę liczbową szeregu zmian:

· średnia próbki;

· wariancja próbki;

odchylenie standardowe próbki;

· tryb i mediana;

Próbka B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opcja 18.

1. Spośród 10 losów na loterię 2 wygrywają. Znajdź prawdopodobieństwo, że z pięciu losowo wybranych losów jeden zostanie zwycięzcą.

1. Rzucamy trzema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych punktów będzie większa niż 15.

1. Słowo „OBWOD” składa się z kart, z których każda ma napisaną jedną literę. Karty są tasowane i wyjmowane pojedynczo, bez zwracania. Znajdź prawdopodobieństwo, że wyjęte litery utworzą wyraz: a) OBWÓD; b) LICZNIK.

1. W urnie znajduje się 5 kul czarnych i 7 białych. Losujemy 5 kul. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich znajdują się:
1. 4 białe kule;
2. mniej niż 2 kule białe;
3. przynajmniej jedną czarną kulę.

1. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w jednej próbie wynosi 0,55. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:
1. wydarzenie A pojawi się 3 razy w serii 5 wyzwań;
2. wydarzenie A pojawi się nie mniej niż 130 i nie więcej niż 200 razy w serii 300 prób.

1. Prawdopodobieństwo stłuczenia puszki z konserwami wynosi 0,0005. Znajdź prawdopodobieństwo, że spośród 2000 puszek w dwóch nastąpi wyciek.

1. W pierwszej urnie znajdują się 4 kule białe i 8 czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 4 czarne. Z pierwszej urny losujemy dwie kule, a z drugiej urny trzy kule. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule będą tego samego koloru.

1. Wśród części przychodzących do montażu wadliwych jest 0,1% z pierwszej maszyny, 0,2% z drugiej, 0,25% z trzeciej i 0,5% z czwartej. Wskaźniki wydajności maszyn wynoszą odpowiednio 4:3:2:1. Część wybrana losowo okazała się standardowa. Znajdź prawdopodobieństwo, że część została wykonana na pierwszej maszynie.

1. Podane jest prawo rozkładu zmiennej losowej X:

Oblicz jego matematyczne oczekiwanie i wariancję.

1. Elektryk ma trzy żarówki, z których każda ma wadę z prawdopodobieństwem 0,1. Żarówki wkręca się w oprawkę i włącza prąd. Po włączeniu prądu uszkodzona żarówka natychmiast się przepala i zostaje zastąpiona inną. Znajdź prawo rozkładu, oczekiwanie matematyczne i rozrzut liczby badanych żarówek.

1. Prawdopodobieństwo trafienia w cel wynosi 0,3 na każde z 900 niezależnych strzałów. Korzystając z nierówności Czebyszewa, oszacuj prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony co najmniej 240 i co najwyżej 300 razy.

1. W centrali telefonicznej nieprawidłowe połączenie występuje z prawdopodobieństwem 0,002. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród 800 połączeń wystąpi:
1. co najmniej trzy nieprawidłowe połączenia;
2. więcej niż cztery nieprawidłowe połączenia.

1. Zmienna losowa jest określona przez funkcję gęstości rozkładu:

Znajdź rozkład zmiennej losowej X. Narysuj wykresy funkcji i . Oblicz matematyczne oczekiwanie, wariancję, modę i medianę zmiennej losowej X.

1. Zmienna losowa jest określona przez funkcję rozkładu:

1. Według próbki A rozwiązać następujące problemy:
1. utwórz serię odmian;
2. obliczać częstotliwości względne i skumulowane;
3. utwórz empiryczną funkcję rozkładu i wykreśl ją;
4. obliczyć charakterystykę liczbową szeregu zmian:

· średnia próbki;

· wariancja próbki;

odchylenie standardowe próbki;

· tryb i mediana;

Próbka A: 4 7 6 3 3 4

1. Korzystając z próbki B, rozwiąż następujące problemy:
1. utwórz pogrupowaną serię odmian;
2. zbuduj histogram i wielokąt częstotliwości;
3. obliczyć charakterystykę liczbową szeregu zmian:

· średnia próbki;

· wariancja próbki;

odchylenie standardowe próbki;

· tryb i mediana;

Próbka B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opcja 19.

1. Na budowie pracuje 16 kobiet i 5 mężczyzn. 3 osoby zostały wybrane losowo na podstawie ich numerów personalnych. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane osoby będą mężczyznami.

2. Rzucamy czterema monetami. Znajdź prawdopodobieństwo, że tylko dwie monety będą miały „herb”.

3. Słowo „PSYCHOLOGIA” składa się z kart, z których każda ma napisaną jedną literę. Karty są tasowane i wyjmowane pojedynczo, bez zwracania. Znajdź prawdopodobieństwo, że z wylosowanych liter utworzy się słowo: a) PSYCHOLOGIA; b) PERSONEL.

4. W urnie znajduje się 6 kul czarnych i 7 białych. Losujemy 5 kul. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród nich znajdują się:

A. 3 białe kule;

B. mniej niż 3 kule białe;

C. przynajmniej jedną białą kulę.

5. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A w jednej próbie wynosi 0,5. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

A. wydarzenie A pojawia się 3 razy w serii 5 niezależnych badań;

B. wydarzenie A pojawi się co najmniej 30 i nie więcej niż 40 razy w serii 50 prób.

6. Jest 100 maszyn tej samej mocy, pracujących niezależnie od siebie w tym samym trybie, w którym ich napęd jest włączony na 0,8 godziny pracy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dowolnym momencie zostanie włączonych od 70 do 86 maszyn?

7. W pierwszej urnie znajdują się 4 kule białe i 7 czarnych, a w drugiej urnie 8 kul białych i 3 czarne. Z pierwszej urny losujemy 4 kule, a z drugiej 1 kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul znajdują się tylko 4 kule czarne.

8. Salon samochodowy przyjmuje codziennie samochody trzech marek w ilościach: „Moskwicz” – 40%; „OK” – 20%; „Wołga” – 40% wszystkich importowanych samochodów. Wśród samochodów Moskwicza 0,5% ma zabezpieczenie przed kradzieżą, Oka – 0,01%, Wołga – 0,1%. Znajdź prawdopodobieństwo, że samochód przyjęty do kontroli jest wyposażony w zabezpieczenie antykradzieżowe.

9. Liczby i są wybierane losowo w segmencie. Znajdź prawdopodobieństwo, że te liczby spełniają nierówności.

10. Podano prawo rozkładu zmiennej losowej X:

Znajdź funkcję rozkładu zmiennej losowej X; oznaczający F(2); prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X pobierze wartości z przedziału . Zbuduj wielokąt rozkładu.

Jak wiadomo, zmienna losowa nazywa się wielkością zmienną, która w zależności od przypadku może przyjmować określone wartości. Zmienne losowe oznacza się wielkimi literami alfabetu łacińskiego (X, Y, Z), a ich wartości odpowiednio małymi literami (x, y, z). Zmienne losowe dzielą się na nieciągłe (dyskretne) i ciągłe.

Dyskretna zmienna losowa jest zmienną losową, która przyjmuje tylko skończony lub nieskończony (przeliczalny) zbiór wartości z pewnymi niezerowymi prawdopodobieństwami.

Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej to funkcja, która łączy wartości zmiennej losowej z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. Prawo dystrybucji można określić na jeden z następujących sposobów.

1 . Prawo dystrybucji można podać w tabeli:

gdzie λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) używając funkcja dystrybucji F(x) , które określa dla każdej wartości x prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą niż x, tj. F(x) = P(X< x).

Własności funkcji F(x)

3 . Prawo dystrybucji można określić graficznie – wielokąt rozkładu (wielokąt) (patrz zadanie 3).

Należy pamiętać, że aby rozwiązać niektóre problemy, nie jest konieczna znajomość prawa dystrybucji. W niektórych przypadkach wystarczy znać jedną lub kilka liczb, które odzwierciedlają najważniejsze cechy prawa dystrybucyjnego. Może to być liczba oznaczająca „wartość średnią” zmiennej losowej lub liczba pokazująca średnią wielkość odchylenia zmiennej losowej od jej wartości średniej. Liczby tego rodzaju nazywane są charakterystykami numerycznymi zmiennej losowej.

Podstawowe charakterystyki numeryczne dyskretnej zmiennej losowej :

• Oczekiwanie matematyczne (wartość średnia) dyskretnej zmiennej losowej M(X)=Σ x i p i.
  Dla rozkładu dwumianowego M(X)=np, dla rozkładu Poissona M(X)=λ
• Dyspersja Dyskretna zmienna losowa D(X)=M2 Lub D(X) = M(X 2) − 2. Różnica X–M(X) nazywana jest odchyleniem zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych.
  Dla rozkładu dwumianowego D(X)=npq, dla rozkładu Poissona D(X)=λ
• Odchylenie standardowe (odchylenie standardowe) σ(X)=√D(X).

Przykłady rozwiązywania problemów na temat „Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej”

Zadanie 1.

Wydano 1000 losów na loterię: 5 z nich wygra 500 rubli, 10 wygra 100 rubli, 20 wygra 50 rubli, 50 wygra 10 rubli. Określ prawo rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X - wygrana na los.

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami zadania możliwe są następujące wartości zmiennej losowej X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Liczba losów bez wygranej wynosi 1000 – (5+10+20+50) = 915, wówczas P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Podobnie znajdujemy wszystkie inne prawdopodobieństwa: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Wynikowe prawo przedstawmy w formie tabeli:

Znajdźmy matematyczne oczekiwanie wartości X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadanie 3.

Urządzenie składa się z trzech niezależnie działających elementów. Prawdopodobieństwo awarii każdego elementu w jednym eksperymencie wynosi 0,1. Narysuj prawo rozkładu liczby uszkodzonych elementów w jednym eksperymencie, skonstruuj wielokąt rozkładu. Znajdź funkcję rozkładu F(x) i wykreśl ją. Znajdź matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej.

Rozwiązanie. 1. Dyskretna zmienna losowa X = (liczba uszkodzonych elementów w jednym eksperymencie) może przyjmować następujące możliwe wartości: x 1 = 0 (żaden element urządzenia nie uległ awarii), x 2 = 1 (awaria jednego elementu), x 3 = 2 ( dwa elementy uległy awarii) i x 4 =3 (trzy elementy uległy awarii).

Awarie elementów są od siebie niezależne, prawdopodobieństwa awarii każdego elementu są równe, dlatego ma to zastosowanie Wzór Bernoulliego . Biorąc pod uwagę, że zgodnie z warunkiem n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 wyznaczamy prawdopodobieństwa wartości:
P 3 (0) = do 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Sprawdź: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Zatem pożądane prawo rozkładu dwumianowego X ma postać:

Wykreślamy możliwe wartości x i wzdłuż osi odciętych i odpowiadające im prawdopodobieństwa p i wzdłuż osi rzędnych. Skonstruujmy punkty M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Łącząc te punkty odcinkami prostymi uzyskujemy pożądany wielokąt rozkładu.

3. Znajdźmy dystrybuantę F(x) = Р(Х

Wykres funkcji F(x)

4. Dla rozkładu dwumianowego X:
- oczekiwanie matematyczne M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- wariancja D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- odchylenie standardowe σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

PRAWO DYSTRYBUCJI I CHARAKTERYSTYKA

ZMIENNE LOSOWE

Zmienne losowe, ich klasyfikacja i metody opisu.

Ilość losowa to wielkość, która w wyniku eksperymentu może przyjąć taką lub inną wartość, ale która nie jest z góry znana. Dla zmiennej losowej można zatem podać tylko wartości, z których jedną na pewno przyjmie w wyniku eksperymentu. W dalszej części będziemy nazywać te wartości możliwymi wartościami zmiennej losowej. Ponieważ zmienna losowa ilościowo charakteryzuje losowy wynik eksperymentu, można ją uznać za ilościową charakterystykę zdarzenia losowego.

Zmienne losowe są zwykle oznaczane dużymi literami alfabetu łacińskiego, na przykład X..Y..Z, a ich możliwe wartości odpowiednimi małymi literami.

Istnieją trzy typy zmiennych losowych:

Oddzielny; Ciągły; Mieszany.

Oddzielny jest zmienną losową, której liczba możliwych wartości tworzy przeliczalny zbiór. Z kolei zbiór, którego elementy można ponumerować, nazywamy przeliczalnym. Słowo „dyskretny” pochodzi od łacińskiego słowa discretus, co oznacza „nieciągły, składający się z oddzielnych części”.

Przykład 1. Dyskretna zmienna losowa to liczba wadliwych części X w partii nproduktów. Rzeczywiście możliwe wartości tej zmiennej losowej to szereg liczb całkowitych od 0 do n.

Przykład 2. Dyskretną zmienną losową jest liczba strzałów przed pierwszym trafieniem w tarczę. Tutaj, podobnie jak w przykładzie 1, możliwe wartości można ponumerować, chociaż w granicznym przypadku możliwa wartość jest nieskończenie dużą liczbą.

Ciągły jest zmienną losową, której możliwe wartości w sposób ciągły wypełniają pewien przedział osi liczbowej, czasami nazywany przedziałem istnienia tej zmiennej losowej. Zatem w dowolnym skończonym przedziale istnienia liczba możliwych wartości ciągłej zmiennej losowej jest nieskończenie duża.

Przykład 3. Ciągłą zmienną losową jest miesięczne zużycie energii elektrycznej przez przedsiębiorstwo.

Przykład 4. Ciągłą zmienną losową jest błąd pomiaru wysokości za pomocą wysokościomierza. Z zasady działania wysokościomierza wiadomo, że błąd mieści się w przedziale od 0 do 2 m. Zatem przedział istnienia tej zmiennej losowej jest przedziałem od 0 do 2 m.

Prawo rozkładu zmiennych losowych.

Zmienną losową uważa się za w pełni określoną, jeśli jej możliwe wartości są wskazane na osi liczbowej i ustalone jest prawo rozkładu.

Prawo rozkładu zmiennej losowej to relacja ustanawiająca związek między możliwymi wartościami zmiennej losowej a odpowiednimi prawdopodobieństwami.

Mówi się, że zmienna losowa ma rozkład według danego prawa lub podlega danemu prawu rozkładu. Jako prawa dystrybucji stosuje się szereg prawdopodobieństw, funkcję rozkładu, gęstość prawdopodobieństwa i funkcję charakterystyczną.

Prawo dystrybucji daje pełny prawdopodobny opis zmiennej losowej. Zgodnie z prawem rozkładu przed eksperymentem można ocenić, które możliwe wartości zmiennej losowej będą pojawiać się częściej, a które rzadziej.

Dla dyskretnej zmiennej losowej prawo rozkładu można określić w formie tabelarycznej, analitycznej (w formie wzoru) i graficznej.

Najprostszą formą określenia prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej jest tabela (macierz), która wyszczególnia w porządku rosnącym wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej i odpowiadające im prawdopodobieństwa, tj.

Taka tabela nazywana jest szeregiem rozkładów dyskretnej zmiennej losowej. 1

Zdarzenia X 1, X 2,..., X n, polegające na tym, że w wyniku testu zmienna losowa X przyjmie odpowiednio wartości x 1, x 2,... x n, wynoszą niespójne i jedyne możliwe (ponieważ w tabeli wyszczególnione są wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej), tj. stworzyć kompletną grupę. Dlatego suma ich prawdopodobieństw jest równa 1. Zatem dla dowolnej dyskretnej zmiennej losowej

(Jednostka ta jest w jakiś sposób rozdzielona pomiędzy wartościami zmiennej losowej, stąd termin „rozkład”).

Szereg rozkładów można przedstawić graficznie, jeśli wartości zmiennej losowej zostaną wykreślone wzdłuż osi odciętych, a odpowiadające im prawdopodobieństwa zostaną wykreślone wzdłuż osi rzędnych. Połączenie uzyskanych punktów tworzy linię łamaną zwaną wielokątem lub wielokątem rozkładu prawdopodobieństwa (rys. 1).

Przykład W loterii do wygrania: samochód o wartości 5000 den. jednostki, 4 telewizory kosztujące 250 den. jednostek, 5 magnetowidów o wartości 200 den. jednostki Łącznie sprzedano 1000 biletów na 7 dni. jednostki Sporządź prawo podziału wygranej netto otrzymanej przez uczestnika loterii, który kupił jeden los.

Rozwiązanie. Możliwe wartości zmiennej losowej X – wygrana netto na los – są równe 0-7 = -7 pieniędzy. jednostki (jeśli bilet nie wygrał), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jednostki (jeśli bilet obejmuje wygraną odpowiednio w postaci magnetowidu, telewizora lub samochodu). Biorąc pod uwagę, że na 1000 losów liczba nie-zwycięzców wynosi 990, a wskazane wygrane to odpowiednio 5, 4 i 1, i korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa, otrzymujemy.

Podano szereg dystrybucyjny dyskretnej zmiennej losowej. Znajdź brakujące prawdopodobieństwo i wykreśl funkcję rozkładu. Oblicz matematyczne oczekiwanie i wariancję tej wielkości.

Zmienna losowa X przyjmuje tylko cztery wartości: -4, -3, 1 i 2. Każdą z tych wartości przyjmuje z pewnym prawdopodobieństwem. Ponieważ suma wszystkich prawdopodobieństw musi być równa 1, brakujące prawdopodobieństwo wynosi:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Ułóżmy dystrybuantę zmiennej losowej X. Wiadomo, że dystrybuanta , to:

Stąd,

Narysujmy funkcję F(X) .

Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej jest równe sumie iloczynów wartości zmiennej losowej i odpowiadającego jej prawdopodobieństwa, tj.

Wariancję dyskretnej zmiennej losowej wyznaczamy za pomocą wzoru:

APLIKACJA

Elementy kombinatoryki Tutaj: - silnia liczby

Działania na zdarzeniach Zdarzenie to dowolny fakt, który może, ale nie musi, nastąpić w wyniku doświadczenia. Łączenie wydarzeń A I W- wydarzenie Z który składa się z pojawienia się lub wydarzenia A lub wydarzenia W lub oba zdarzenia jednocześnie. Przeznaczenie: ; Wydarzenia krzyżowe A I W- wydarzenie Z, który polega na jednoczesnym wystąpieniu obu zdarzeń. Przeznaczenie: ;

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest stosunkiem liczby eksperymentów sprzyjające zaistnieniu zdarzenia A do całkowitej liczby eksperymentów :

Wzór na mnożenie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo zdarzenia można znaleźć za pomocą wzoru: - prawdopodobieństwo zdarzenia A, - prawdopodobieństwo zdarzenia W, - prawdopodobieństwo zdarzenia W pod warunkiem, że wydarzenie A już się wydarzyło. Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne (wystąpienie jednego nie wpływa na wystąpienie drugiego), to prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe:

Wzór na dodawanie prawdopodobieństw Prawdopodobieństwo zdarzenia można obliczyć korzystając ze wzoru: Prawdopodobieństwo zdarzenia A, Prawdopodobieństwo zdarzenia W, - prawdopodobieństwo współwystąpienia zdarzeń A I W. Jeżeli zdarzenia A i B są niezgodne (nie mogą wystąpić jednocześnie), to prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe:

Wzór na całkowite prawdopodobieństwo Niech wydarzenie A może nastąpić jednocześnie z jednym ze zdarzeń , , …, – nazwijmy je hipotezami. Znany także - prawdopodobieństwo wykonania I-ta hipoteza i - prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A podczas wykonywania I-ta hipoteza. Następnie prawdopodobieństwo zdarzenia A można znaleźć według wzoru:

Schemat Bernoulliego Niech będzie n niezależnych testów. Prawdopodobieństwo wystąpienia (sukcesu) zdarzenia A w każdym z nich jest stała i równa P, prawdopodobieństwo niepowodzenia (tzn. zdarzenia, które nie nastąpi A) Q = 1 - P. Następnie prawdopodobieństwo wystąpienia k sukces N testy można znaleźć, korzystając ze wzoru Bernoulliego: Najprawdopodobniej liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego jest to liczba wystąpień danego zdarzenia, która ma największe prawdopodobieństwo. Można znaleźć za pomocą wzoru:

Zmienne losowe dyskretny ciągły (na przykład liczba dziewcząt w rodzinie z 5 dziećmi) (na przykład czas, w którym czajnik działa prawidłowo) Charakterystyka numeryczna dyskretnych zmiennych losowych Niech dyskretna ilość będzie podana poprzez szereg dystrybucyjny: X R , , …, - wartości zmiennej losowej X; , , …, są odpowiednimi wartościami prawdopodobieństwa. Funkcja dystrybucyjna Funkcja rozkładu zmiennej losowej X jest funkcją zdefiniowaną na całej osi liczbowej i równą prawdopodobieństwu, że X będzie mniej X:

Pytania na egzamin

Wydarzenie. Operacje na zdarzeniach losowych.

Pojęcie prawdopodobieństwa zdarzenia.

Zasady dodawania i mnożenia prawdopodobieństw. Prawdopodobieństwa warunkowe.

Wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Wzór Bayesa.

Schemat Bernoulliego.

Zmienna losowa, jej dystrybuanta i szeregi dystrybucyjne.

Podstawowe własności funkcji rozkładu.

Wartość oczekiwana. Właściwości oczekiwań matematycznych.

Dyspersja. Właściwości dyspersji.

Gęstość rozkładu prawdopodobieństwa jednowymiarowej zmiennej losowej.

Rodzaje rozkładów: jednorodny, wykładniczy, normalny, dwumianowy i rozkład Poissona.

Twierdzenia lokalne i całkowe Moivre'a-Laplace'a.

Prawo i funkcja rozkładu układu dwóch zmiennych losowych.

Gęstość rozkładu układu dwóch zmiennych losowych.

Warunkowe prawa dystrybucji, warunkowe oczekiwanie matematyczne.

Zależne i niezależne zmienne losowe. Współczynnik korelacji.

Próbka. Przetwarzanie próbek. Histogram wielokątny i częstotliwościowy. Dystrybucja empiryczna.

Koncepcja estymacji parametrów rozkładu. Wymagania dotyczące oceny. Przedział ufności. Konstrukcja przedziałów do szacowania oczekiwań matematycznych i odchylenia standardowego.

Hipotezy statystyczne. Kryteria zgody.

W zastosowaniach teorii prawdopodobieństwa najważniejsze są ilościowe cechy eksperymentu. Nazywa się wielkość, którą można określić ilościowo i która w wyniku eksperymentu może przyjmować różne wartości w zależności od przypadku zmienna losowa.

Przykłady zmiennych losowych:

1. Ile razy w dziesięciu rzutach kostką wypadnie parzysta liczba punktów.

2. Liczba trafień w tarczę przez strzelca oddającego serię strzałów.

3. Liczba fragmentów eksplodującego pocisku.

W każdym z podanych przykładów zmienna losowa może przyjmować jedynie wartości izolowane, czyli takie, które można wyliczyć za pomocą naturalnego ciągu liczb.

Nazywa się taką zmienną losową, której możliwymi wartościami są pojedyncze izolowane liczby, które ta zmienna przyjmuje z pewnymi prawdopodobieństwami oddzielny.

Liczba możliwych wartości dyskretnej zmiennej losowej może być skończona lub nieskończona (policzalna).

Prawo dystrybucji Dyskretna zmienna losowa to lista jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw. Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej można określić w formie tabelarycznej (szereg rozkładu prawdopodobieństwa), analitycznie i graficznie (wielokąt rozkładu prawdopodobieństwa).

Przeprowadzając ten lub inny eksperyment, konieczna staje się ocena badanej wartości „średnio”. Rolę wartości średniej zmiennej losowej pełni cecha numeryczna tzw oczekiwanie matematyczne, co jest określone przez wzór

Gdzie X 1 , X 2 ,.. , X N– wartości zmiennych losowych X, A P 1 ,P 2 , ... , P N– prawdopodobieństwa tych wartości (zwróć uwagę, że P 1 + P 2 +…+ P N = 1).

Przykład. Strzelanie odbywa się do celu (ryc. 11).

Trafienie w I daje trzy punkty, w II – dwa punkty, w III – jeden punkt. Liczba punktów zdobytych jednym strzałem przez jednego strzelca ma prawo podziału w postaci

Aby porównać umiejętności strzelców, wystarczy porównać średnie wartości zdobytych punktów, tj. oczekiwania matematyczne M(X) I M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Drugi strzelec daje średnio nieco większą liczbę punktów, tj. daje lepsze rezultaty przy wielokrotnym strzelaniu.

Zwróćmy uwagę na własności oczekiwań matematycznych:

1. Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe samej stałej:

M(C) =C.

2. Oczekiwanie matematyczne sumy zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów:

M=(X 1 + X 2 +…+ X N)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X N).

3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi oczekiwań matematycznych czynników

M(X 1 X 2 … X N) = M(X 1)M(X 2)… M(X N).

4. Matematyczna negacja rozkładu dwumianowego jest równa iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w jednej próbie (zadanie 4.6).

M(X) = pr.

Aby ocenić, jak zmienna losowa „średnio” odbiega od swoich oczekiwań matematycznych, tj. Aby scharakteryzować rozrzut wartości zmiennej losowej w teorii prawdopodobieństwa, stosuje się pojęcie dyspersji.

Zmienność zmienna losowa X nazywa się matematycznym oczekiwaniem kwadratu odchylenia:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Dyspersja jest numeryczną charakterystyką rozproszenia zmiennej losowej. Z definicji jasno wynika, że ​​im mniejszy rozrzut zmiennej losowej, tym bardziej jej możliwe wartości znajdują się wokół oczekiwań matematycznych, to znaczy tym lepiej wartości zmiennej losowej charakteryzują się jej oczekiwaniem matematycznym .

Z definicji wynika, że ​​wariancję można obliczyć korzystając ze wzoru

.

Wygodnie jest obliczyć wariancję za pomocą innego wzoru:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Dyspersja ma następujące właściwości:

1. Wariancja stałej wynosi zero:

D(C) = 0.

2. Stały współczynnik można usunąć ze znaku dyspersji podnosząc go do kwadratu:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji wyrazów:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X N)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X N)

4. Wariancja rozkładu dwumianowego jest równa iloczynowi liczby prób i prawdopodobieństwa wystąpienia lub niewystąpienia zdarzenia w jednej próbie:

D(X) = np.

W teorii prawdopodobieństwa często stosuje się charakterystykę liczbową równą pierwiastkowi kwadratowemu wariancji zmiennej losowej. Ta charakterystyka liczbowa nazywana jest odchyleniem średniokwadratowym i jest oznaczona symbolem

.

Charakteryzuje przybliżoną wielkość odchylenia zmiennej losowej od jej wartości średniej i ma ten sam wymiar co zmienna losowa.

4.1. Strzelec oddaje trzy strzały do ​​celu. Prawdopodobieństwo trafienia w cel każdym strzałem wynosi 0,3.

Skonstruuj szereg rozkładów liczby trafień.

Rozwiązanie. Liczba trafień jest dyskretną zmienną losową X. Każda wartość X N zmienna losowa X odpowiada pewnemu prawdopodobieństwu P N .

W tym przypadku można określić prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej blisko dystrybucji.

W tym problemie X przyjmuje wartości 0, 1, 2, 3. Zgodnie ze wzorem Bernoulliego

,

Znajdźmy prawdopodobieństwa możliwych wartości zmiennej losowej:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Układając wartości zmiennej losowej X w kolejności rosnącej otrzymujemy szereg dystrybucyjny:

Należy pamiętać, że kwota

oznacza prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie co najmniej jedną wartość spośród możliwych, a zatem zdarzenie to jest wiarygodne

.

4.2 .W urnie znajdują się cztery kule o liczbach od 1 do 4. Wyjmujemy dwie kule. Losowa wartość X– suma numerów kul. Skonstruuj szereg dystrybucyjny zmiennej losowej X.

Rozwiązanie. Losowe wartości zmiennych X to 3, 4, 5, 6, 7. Znajdźmy odpowiednie prawdopodobieństwa. Wartość zmiennej losowej 3 X można przyjąć tylko w przypadku, gdy jedna z wybranych kul ma numer 1, a druga 2. Liczba możliwych wyników testu jest równa liczbie kombinacji czterech (liczba możliwych par kul) dwóch.

Korzystając z klasycznego wzoru na prawdopodobieństwo, otrzymujemy

Podobnie,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Suma 5 może wystąpić w dwóch przypadkach: 1 + 4 i 2 + 3, a więc

.

X ma postać:

Znajdź funkcję dystrybucji F(X) zmienna losowa X i nakreśl to. Oblicz dla X jego matematyczne oczekiwanie i wariancja.

Rozwiązanie. Prawo rozkładu zmiennej losowej można określić za pomocą funkcji rozkładu

F(X) = P(X X).

Funkcja dystrybucyjna F(X) jest niemalejącą funkcją ciągłą lewostronną zdefiniowaną na całej osi liczbowej, podczas gdy

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Dla dyskretnej zmiennej losowej funkcję tę wyraża się wzorem

.

Dlatego w tym przypadku

Wykres funkcji rozkładu F(X) jest linią schodkową (ryc. 12)

Wartość oczekiwanaM(X) jest ważoną średnią arytmetyczną wartości X 1 , X 2 ,……X N zmienna losowa X z wagami ρ 1, ρ 2, …… , ρ N i nazywana jest średnią wartością zmiennej losowej X. Według formuły

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x N ρ N

M(X) = 3·0,14+5·0,2+7·0,49+11·0,17 = 6,72.

Dyspersja charakteryzuje stopień rozproszenia wartości zmiennej losowej od jej wartości średniej i jest oznaczony D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Dla dyskretnej zmiennej losowej wariancja ma postać

lub można to obliczyć za pomocą wzoru

Podstawiając dane liczbowe problemu do wzoru, otrzymujemy:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. W tym samym czasie rzucamy dwiema kostkami dwa razy. Napisz dwumianowe prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X- liczba wystąpień parzystej sumy punktów na dwóch kostkach.

Rozwiązanie. Przedstawmy zdarzenie losowe

A= (dwie kości przy jednym rzucie dały w sumie parzystą liczbę punktów).

Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa znajdujemy

R(A)= ,

Gdzie N - liczbę możliwych wyników testu określa reguła

mnożenie:

N = 6∙6 =36,

M - liczba osób popierających wydarzenie A wyniki - równe

M= 3∙6=18.

Zatem prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi

ρ = P(A)= 1/2.

Problem rozwiązano za pomocą schematu testu Bernoulliego. Jednym z wyzwań będzie rzucenie dwiema kostkami raz. Liczba takich testów N = 2. Zmienna losowa X przyjmuje wartości 0, 1, 2 z prawdopodobieństwami

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Pożądany rozkład dwumianowy zmiennej losowej X można przedstawić jako szereg dystrybucyjny:

4.5 . W partii sześciu części znajdują się cztery standardowe. Wybrano losowo trzy części. Skonstruuj rozkład prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X– liczbę części standardowych spośród wybranych i znaleźć jej matematyczne oczekiwanie.

Rozwiązanie. Losowe wartości zmiennych X to liczby 0,1,2,3. Jest oczywiste, że R(X=0)=0, ponieważ istnieją tylko dwie niestandardowe części.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Prawo rozkładu zmiennej losowej X Przedstawmy to w postaci szeregu dystrybucyjnego:

Wartość oczekiwana

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Udowodnić, że matematyczne oczekiwanie na dyskretną zmienną losową X- liczba wystąpień zdarzenia A V N niezależnych prób, w których prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia jest równe ρ – równy iloczynowi liczby prób przez prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w jednej próbie, czyli w celu udowodnienia, że ​​matematyczne oczekiwanie rozkładu dwumianowego

M(X) =N . ρ ,

i dyspersja

D(X) =n.p. .

Rozwiązanie. Losowa wartość X może przyjmować wartości 0, 1, 2..., N. Prawdopodobieństwo R(X= k) oblicza się za pomocą wzoru Bernoulliego:

R(X=k)= R N(k)= ρ Do (1-ρ ) N- Do

Szereg rozkładowy zmiennej losowej X ma postać:

Gdzie Q= 1- ρ .

Dla oczekiwań matematycznych mamy wyrażenie:

M(X)=ρq N - 1 +2 ρ 2 Q N - 2 +…+.N ρ N

W przypadku jednego testu, czyli z n= 1 dla zmiennej losowej X 1 – liczba wystąpień zdarzenia A- szereg rozkładu ma postać:

M(X 1)= 0∙q + 1 ∙ P = P

D(X 1) = P – P 2 = P(1- P) = pk.

Jeśli X k – liczba wystąpień zdarzenia A w takim razie w którym teście R(X Do)= ρ I

X=X 1 +X 2 +….+X N .

Stąd dostajemy

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X N)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X N)=npq.

4.7. Dział kontroli jakości sprawdza produkty pod kątem standardowości. Prawdopodobieństwo, że produkt jest standardowy, wynosi 0,9. Każda partia zawiera 5 produktów. Znajdź matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej X- liczbę partii, z których każda będzie zawierać 4 produkty standardowe - jeżeli kontroli podlega 50 partii.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że w każdej losowo wybranej partii znajdą się 4 produkty standardowe, jest stałe; oznaczmy to przez ρ .Następnie matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X równa się M(X)= 50∙ρ.

Znajdźmy prawdopodobieństwo ρ zgodnie ze wzorem Bernoulliego:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Rzucamy trzema kostkami. Znajdź matematyczne oczekiwanie sumy utraconych punktów.

Rozwiązanie. Można znaleźć rozkład zmiennej losowej X- suma utraconych punktów, a następnie jej matematyczne oczekiwanie. Jednak ta ścieżka jest zbyt uciążliwa. Łatwiej jest zastosować inną technikę, reprezentującą zmienną losową X, którego oczekiwanie matematyczne należy obliczyć w postaci sumy kilku prostszych zmiennych losowych, których oczekiwanie matematyczne jest łatwiejsze do obliczenia. Jeśli zmienna losowa X I to liczba straconych punktów I– te kości ( I= 1, 2, 3), to suma punktów X zostanie wyrażona w formie

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Aby obliczyć oczekiwanie matematyczne pierwotnej zmiennej losowej, wystarczy skorzystać z właściwości oczekiwań matematycznych

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

To oczywiste

R(X I = K)= 1/6, DO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, I= 1, 2, 3.

Dlatego matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X I wygląda jak

M(X I) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Określ matematyczne oczekiwanie liczby urządzeń, które uległy awarii podczas testowania, jeśli:

a) prawdopodobieństwo awarii wszystkich urządzeń jest takie samo R, a liczba testowanych urządzeń jest równa N;

b) prawdopodobieństwo niepowodzenia dla I – urządzenia jest równa P I , I= 1, 2, … , N.

Rozwiązanie. Niech zmienna losowa X oznacza zatem liczbę uszkodzonych urządzeń

X = X 1 + X 2 + … + X N ,

X I =

Jest oczywiste, że

R(X I = 1)= R I , R(X I = 0)= 1– R I ,ja= 1, 2, … ,N.

M(X I)= 1∙R I + 0∙(1-R I)=P I ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X N)=P 1 +P 2 + … + P N .

W przypadku „a” prawdopodobieństwo awarii urządzenia jest takie samo, tj

R I =str,ja= 1, 2, … ,N.

M(X)= n.p..

Odpowiedź tę można uzyskać od razu, jeśli zauważymy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami ( N, P).

4.10. Rzucamy jednocześnie dwa razy dwiema kostkami. Napisz dwumianowe prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X - liczba rzutów parzystą liczbą punktów na dwóch kostkach.

Rozwiązanie. Pozwalać

A=(wyrzuca parzystą liczbę na pierwszej kostce),

B =(rzuca parzystą liczbę na drugiej kostce).

Uzyskanie parzystej liczby na obu kostkach w jednym rzucie wyraża się iloczynem AB. Następnie

R (AB) = R(A)∙R(W) =
.

Wynik drugiego rzutu dwiema kostkami nie zależy od pierwszego, więc wzór Bernoulliego ma zastosowanie, gdy

N = 2,p = 1/4, Q = 1– p = 3/4.

Losowa wartość X może przyjmować wartości 0, 1, 2 , którego prawdopodobieństwo można obliczyć korzystając ze wzoru Bernoulliego:

R(X= 0)= P 2 (0) = Q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙Q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Szereg rozkładowy zmiennej losowej X:

4.11. Urządzenie składa się z dużej liczby niezależnie działających elementów o tym samym bardzo niskim prawdopodobieństwie awarii każdego elementu w czasie T. Znajdź średnią liczbę odmów w czasie T elementów, jeśli prawdopodobieństwo, że w tym czasie co najmniej jeden element ulegnie awarii, wynosi 0,98.

Rozwiązanie. Liczba osób, które odmówiły na przestrzeni czasu T elementy – zmienna losowa X, który rozkłada się zgodnie z prawem Poissona, ponieważ liczba elementów jest duża, elementy działają niezależnie, a prawdopodobieństwo awarii każdego elementu jest małe. Średnia liczba wystąpień zdarzenia w N testy są równe

M(X) = n.p..

Ponieważ prawdopodobieństwo awarii DO elementy z N wyrażone wzorem

R N (DO)
,

gdzie  = n.p., to prawdopodobieństwo, że w tym czasie żaden element nie ulegnie awarii T dochodzimy do K. = 0:

R N (0)= np -  .

Dlatego prawdopodobieństwo wystąpienia odwrotnego zdarzenia jest czasowe T co najmniej jeden element ulega awarii – równa 1 - e -  . Zgodnie z warunkami zadania prawdopodobieństwo to wynosi 0,98. Z równania

1 - mi -  = 0,98,

mi -  = 1 – 0,98 = 0,02,

stąd  = -ln 0,02  4.

A więc z czasem T pracy urządzenia średnio 4 elementy ulegają awarii.

4.12 . Rzucamy kostkami, aż wypadnie „dwa”. Znajdź średnią liczbę rzutów.

Rozwiązanie. Wprowadźmy zmienną losową X– ilość badań, które należy wykonać do momentu wystąpienia interesującego nas zdarzenia. Prawdopodobieństwo, że X= 1 równa się prawdopodobieństwu, że podczas jednego rzutu kostką wypadnie „dwójka”, tj.

R(X= 1) = 1/6.

Wydarzenie X= 2 oznacza, że ​​w pierwszym teście „dwójka” nie wypadła, natomiast w drugim tak. Prawdopodobieństwo zdarzenia X= 2 znajdujemy z reguły mnożenia prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Podobnie,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

itp. Otrzymujemy szereg rozkładów prawdopodobieństwa:

Średnia liczba rzutów (prób) jest oczekiwaniem matematycznym

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + DO (5/6) DO -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + DO (5/6) DO -1 + …)

Znajdźmy sumę szeregu:

DOG DO -1 = (G DO) G 
.

Stąd,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Zatem musisz wykonać średnio 6 rzutów kostką, aż wypadnie „dwa”.

4.13. Niezależne badania przeprowadzane są z takim samym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A w każdym teście. Znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A, jeśli wariancja liczby wystąpień zdarzenia w trzech niezależnych próbach wynosi 0,63 .

Rozwiązanie. Liczba wystąpień zdarzenia w trzech próbach jest zmienną losową X, rozdzielone zgodnie z prawem dwumianu. Wariancja liczby wystąpień zdarzenia w niezależnych próbach (przy takim samym prawdopodobieństwie wystąpienia zdarzenia w każdej próbie) jest równa iloczynowi liczby prób przez prawdopodobieństwa wystąpienia i niewystąpienia zdarzenia wydarzenie (zadanie 4.6)

D(X) = np.

Według warunku N = 3, D(X) = 0,63, więc możesz R znaleźć z równania

0,63 = 3∙R(1-R),

który ma dwa rozwiązania R 1 = 0,7 i R 2 = 0,3.