Liczby do znalezienia nok. Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, nok dla dwóch lub więcej liczb

Znalezienie NOC

W celu znalezienia wspólny mianownik Dodając i odejmując ułamki o różnych mianownikach, musisz wiedzieć i umieć liczyć najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM).

Wielokrotność a to liczba, która sama dzieli się przez a bez reszty.
Liczby będące wielokrotnościami 8 (to znaczy te liczby dzielą się przez 8 bez reszty): są to liczby 16, 24, 32...
Wielokrotności 9: 18, 27, 36, 45...

Istnieje nieskończenie wiele wielokrotności danej liczby a, w przeciwieństwie do dzielników tej samej liczby. Istnieje skończona liczba dzielników.

Wspólną wielokrotnością dwóch liczb naturalnych jest liczba, która dzieli się przez obie te liczby.

• Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) dwóch lub więcej liczb naturalnych to najmniejsza liczba naturalna, która sama jest podzielna przez każdą z tych liczb.

Jak znaleźć NOC
LCM można znaleźć i zapisać na dwa sposoby.

Pierwszy sposób na znalezienie LOC
Ta metoda jest zwykle stosowana w przypadku małych liczb.
1. Zapisz wielokrotności każdej liczby w wierszu, aż znajdziesz wielokrotność taką samą dla obu liczb.
2. Wielokrotność a oznacza się dużą literą „K”.

K(a) = (...,...)
Przykład. Znajdź LOC 6 i 8.
K. (6) = (12, 18, 24, 30, ...)

K(8) = (8, 16, 24, 32, ...)

LCM(6, 8) = 24

Drugi sposób na znalezienie LOC
Ta metoda jest wygodna w użyciu, aby znaleźć LCM dla trzech lub więcej liczb.
1. Podziel podane liczby na prosty mnożniki Więcej informacji na temat zasad rozkładania czynników pierwszych można znaleźć w temacie Jak znaleźć największy wspólny dzielnik (NWD).

2. Zapisz na linii czynniki biorące udział w rozwinięciu największy liczb, a poniżej rozkład pozostałych liczb.

• Liczba identycznych czynników w dekompozycji liczb może być różna.

60 = 2 . 2 . 3 . 5

24 = 2 . 2 . 2 . 3
3. Podkreśl rozkład mniej liczby (mniejsze liczby) czynniki, które nie zostały uwzględnione przy rozwinięciu większej liczby (w naszym przykładzie jest to 2) i dodaj te czynniki do rozwinięcia większej liczby.
LCM(24, 60) = 2. 2. 3. 5. 2
4. Zapisz uzyskany produkt jako odpowiedź.
Odpowiedź: LCM (24, 60) = 120

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) można również sformalizować w następujący sposób. Znajdźmy LOC (12, 16, 24).

24 = 2 . 2 . 2 . 3

16 = 2 . 2 . 2 . 2

12 = 2 . 2 . 3

Jak widzimy z rozkładu liczb, wszystkie czynniki 12 są uwzględniane w rozkładzie 24 (największa z liczb), więc dodajemy tylko jedno 2 z rozkładu liczby 16 do LCM.
LCM(12, 16, 24) = 2. 2. 2. 3. 2 = 48
Odpowiedź: LCM (12, 16, 24) = 48

Szczególne przypadki znalezienia NPL
1. Jeżeli jedna z liczb jest podzielna przez pozostałe, to najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb jest równa tej liczbie.
Na przykład LCM (60, 15) = 60
2. Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb.
Przykład.
LCM(8, 9) = 72

Rozważmy rozwiązanie następującego problemu. Krok chłopca wynosi 75 cm, a krok dziewczynki 60 cm Należy znaleźć najmniejszą odległość, na której oboje wykonają całkowitą liczbę kroków.

Rozwiązanie. Cała ścieżka, którą przejdą dzieci, musi być podzielna przez 60 i 70, ponieważ każde z nich musi wykonać całkowitą liczbę kroków. Innymi słowy, odpowiedź musi być wielokrotnością 75 i 60.

Najpierw zapiszemy wszystkie wielokrotności liczby 75. Otrzymujemy:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Teraz zapiszmy liczby, które będą wielokrotnościami 60. Otrzymujemy:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Teraz znajdujemy liczby znajdujące się w obu wierszach.

• Typowe wielokrotności liczb to 300, 600 itd.

Najmniejszą z nich jest liczba 300. W tym przypadku będzie ona nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.

Wracając do stanu problemu, najmniejsza odległość, na jaką chłopcy wykonają całkowitą liczbę kroków, wyniesie 300 cm, chłopiec pokona tę ścieżkę w 4 krokach, a dziewczyna będzie musiała zrobić 5 kroków.

Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności

• Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych a i b to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością obu liczb a i b.

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb, nie trzeba wpisywać z rzędu wszystkich wielokrotności tych liczb.

Możesz zastosować następującą metodę.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność

Najpierw musisz rozłożyć te liczby na czynniki pierwsze.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Zapiszmy teraz wszystkie czynniki biorące udział w rozwinięciu pierwszej liczby (2,2,3,5) i dodajmy do tego wszystkie brakujące czynniki z rozwinięcia drugiej liczby (5).

W rezultacie otrzymujemy szereg liczb pierwszych: 2,2,3,5,5. Iloczyn tych liczb będzie najmniej wspólnym dzielnikiem tych liczb. 2*2*3*5*5 = 300.

Ogólny schemat znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności

• 1. Podziel liczby na czynniki pierwsze.
• 2. Zapisz czynniki pierwsze wchodzące w skład jednego z nich.
• 3. Dodaj do tych czynników wszystkie, które są w ekspansji innych, ale nie w wybranym.
• 4. Znajdź iloczyn wszystkich zapisanych czynników.

Ta metoda jest uniwersalna. Można go użyć do znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności dowolnej liczby liczb naturalnych.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest bezpośrednio powiązana z największym wspólnym dzielnikiem tych liczb. Ten połączenie pomiędzy GCD i NOC jest określona przez następujące twierdzenie.

Twierdzenie.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych aib jest równa iloczynowi aib podzielonemu przez największy wspólny dzielnik aib, czyli LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Dowód.

Pozwalać M jest pewną wielokrotnością liczb a i b. Oznacza to, że M jest podzielne przez a i zgodnie z definicją podzielności istnieje liczba całkowita k taka, że ​​prawdziwa jest równość M=a·k. Ale M jest także podzielne przez b, zatem a·k jest podzielne przez b.

Oznaczmy gcd(a, b) jako d. Wtedy możemy zapisać równości a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d będą liczbami względnie pierwszymi. W rezultacie warunek uzyskany w poprzednim akapicie, że a · k jest podzielne przez b, można przeformułować w następujący sposób: a 1 · d · k dzieli się przez b 1 · d , co ze względu na właściwości podzielności jest równoważne warunkowi że a 1 · k jest podzielne przez b 1 .

Należy także zapisać dwa ważne wnioski z rozważanego twierdzenia.

Wspólne wielokrotności dwóch liczb są takie same, jak wielokrotności ich najmniejszej wspólnej wielokrotności.

Rzeczywiście tak jest, ponieważ każda wspólna wielokrotność M liczb aib jest określona przez równość M=LMK(a, b)·t dla pewnej wartości całkowitej t.

Najmniejsza wspólna wielokrotność wzajemnie pierwszych liczb dodatnich aib jest równa ich iloczynowi.

Uzasadnienie tego faktu jest dość oczywiste. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to zatem gcd(a, b)=1 NWD(a, b)=a b: NWD(a, b)=a b:1=a b.

Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności trzech lub więcej liczb można sprowadzić do sekwencyjnego znajdowania LCM dwóch liczb. Jak to się robi, pokazuje następujące twierdzenie: a 1 , a 2 , …, a k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb m k-1 i a k ​​zatem pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczby m k . A ponieważ najmniejszą dodatnią wielokrotnością liczby m k jest sama liczba m k, to najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a 1, a 2, ..., a k jest m k.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. i inne Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
• Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
• Mikhelovich Sh.H. Teoria liczb.
• Kulikov L.Ya. i inne Zbiór zagadnień algebry i teorii liczb: Podręcznik dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.

Wielokrotność to liczba, która dzieli się przez daną liczbę bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) grupy liczb to najmniejsza liczba, którą można podzielić przez każdą liczbę w grupie bez pozostawiania reszty. Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, należy znaleźć czynniki pierwsze danych liczb. LCM można również obliczyć przy użyciu szeregu innych metod, które mają zastosowanie do grup dwóch lub więcej liczb.

Kroki

Seria wielokrotności

Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej zastosować, gdy podano dwie liczby, z których każda jest mniejsza niż 10. Jeśli podano większe liczby, użyj innej metody.

• Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność 5 i 8. Są to małe liczby, więc możesz zastosować tę metodę.

1. Wielokrotność to liczba, która dzieli się przez daną liczbę bez reszty. Wielokrotności można znaleźć w tabliczce mnożenia.

   • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 5 to: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapisz ciąg liczb będący wielokrotnością pierwszej liczby. Zrób to pod wielokrotnościami pierwszej liczby, aby porównać dwa zestawy liczb.

   • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 8 to: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Znajdź najmniejszą liczbę występującą w obu zbiorach wielokrotności. Aby znaleźć całkowitą liczbę, konieczne może być napisanie długich serii wielokrotności. Najmniejsza liczba występująca w obu zbiorach wielokrotności jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

   • Na przykład najmniejsza liczba występująca w szeregu wielokrotności 5 i 8 to liczba 40. Dlatego 40 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością 5 i 8.

   Faktoryzacja pierwsza

   1. Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej zastosować, gdy podano dwie liczby, z których każda jest większa niż 10. Jeśli podano mniejsze liczby, użyj innej metody.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 84. Każda z liczb jest większa niż 10, więc możesz zastosować tę metodę.

   2. Rozważ czynniki pierwsze pierwszy numer. Oznacza to, że musisz znaleźć takie liczby pierwsze, które po pomnożeniu dadzą daną liczbę. Po znalezieniu czynników pierwszych zapisz je jako równości.

      Rozłóż drugą liczbę na czynniki pierwsze. Zrób to w taki sam sposób, jak rozłożyłeś pierwszą liczbę, czyli znajdź takie liczby pierwsze, które po pomnożeniu dadzą podaną liczbę.

      Zapisz czynniki wspólne obu liczb. Zapisz takie czynniki, jak operacja mnożenia. Podczas wpisywania każdego czynnika przekreśl go w obu wyrażeniach (wyrażeniach opisujących rozkład liczb na czynniki pierwsze).

      Dodaj pozostałe czynniki do operacji mnożenia. Są to czynniki, które nie są przekreślone w obu wyrażeniach, czyli czynniki, które nie są wspólne dla obu liczb.

      Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność. Aby to zrobić, pomnóż liczby w zapisanej operacji mnożenia.

   Znalezienie wspólnych czynników

   Narysuj siatkę przypominającą grę w kółko i krzyżyk. Taka siatka składa się z dwóch równoległych linii, które przecinają się (pod kątem prostym) z kolejnymi dwiema równoległymi liniami. To da ci trzy wiersze i trzy kolumny (siatka wygląda bardzo podobnie do ikony #). Wpisz pierwszą liczbę w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie. Wpisz drugą liczbę w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie.

   • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 18 i 30. Wpisz liczbę 18 w pierwszym rzędzie i drugiej kolumnie, a liczbę 30 w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie.

   1. Znajdź wspólny dzielnik obu liczb. Zapisz to w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Lepiej jest szukać czynników pierwszych, ale nie jest to wymagane.

      • Na przykład 18 i 30 to liczby parzyste, więc ich wspólny dzielnik wynosi 2. Zatem wpisz 2 w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie.

   2. Podziel każdą liczbę przez pierwszy dzielnik. Wpisz każdy iloraz pod odpowiednią liczbą. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb.

      Znajdź dzielnik wspólny dla obu ilorazów. Jeżeli nie ma takiego dzielnika, pomiń kolejne dwa kroki. W przeciwnym razie wpisz dzielnik w drugim wierszu i pierwszej kolumnie.

      • Na przykład 9 i 15 są podzielne przez 3, więc wpisz 3 w drugim rzędzie i pierwszej kolumnie.

   3. Podziel każdy iloraz przez jego drugi dzielnik. Zapisz każdy wynik dzielenia pod odpowiednim ilorazem.

      Jeśli to konieczne, dodaj dodatkowe komórki do siatki. Powtarzaj opisane kroki, aż ilorazy będą miały wspólny dzielnik.

      Zakreśl liczby w pierwszej kolumnie i ostatnim rzędzie siatki. Następnie zapisz wybrane liczby w formie operacji mnożenia.

   Algorytm Euklidesa

   Zapamiętaj terminologię związaną z operacją dzielenia. Dzielna to liczba, która jest dzielona. Dzielnik to liczba, przez którą jest dzielona. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb. Reszta to liczba, która pozostaje po podzieleniu dwóch liczb.

   Zapisz wyrażenie opisujące operację dzielenia z resztą. Wyrażenie: dywidenda = dzielnik × iloraz + reszta (\ Displaystyle (\ tekst (dzielna)) = (\ tekst (dzielnik)) \ razy (\ tekst (iloraz)) + (\ tekst (reszta))}. Wyrażenie to zostanie użyte do napisania algorytmu Euklidesa w celu znalezienia największego wspólnego dzielnika dwóch liczb.

   Rozważ większą z dwóch liczb jako dywidendę. Rozważ mniejszą z dwóch liczb jako dzielnik. Dla tych liczb napisz wyrażenie opisujące operację dzielenia z resztą.

   Zamień pierwszy dzielnik na nową dywidendę. Pozostałą część wykorzystaj jako nowy dzielnik. Dla tych liczb napisz wyrażenie opisujące operację dzielenia z resztą.

Kontynuujmy rozmowę o najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą rozpoczęliśmy w rozdziale „LCM – najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady”. W tym temacie przyjrzymy się sposobom znalezienia LCM dla trzech lub więcej liczb oraz przyjrzymy się pytaniu, jak znaleźć LCM liczby ujemnej.

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) za pomocą GCD

Ustaliliśmy już związek między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem. Nauczmy się teraz, jak określić LCM za pomocą GCD. Najpierw zastanówmy się, jak to zrobić dla liczb dodatnich.

Definicja 1

Najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć poprzez największy wspólny dzielnik, korzystając ze wzoru LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Przykład 1

Musisz znaleźć LCM liczb 126 i 70.

Rozwiązanie

Weźmy a = 126, b = 70. Podstawmy wartości do wzoru na obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez największy wspólny dzielnik LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Znajduje gcd liczb 70 i 126. Do tego potrzebujemy algorytmu Euklidesa: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, zatem GCD (126 , 70) = 14 .

Obliczmy LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Odpowiedź: LCM(126, 70) = 630.

Przykład 2

Znajdź liczbę 68 i 34.

Rozwiązanie

NWD w tym przypadku nie jest trudne do znalezienia, ponieważ 68 jest podzielne przez 34. Obliczmy najmniejszą wspólną wielokrotność korzystając ze wzoru: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odpowiedź: LCM(68, 34) = 68.

W tym przykładzie zastosowaliśmy regułę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności dodatnich liczb całkowitych aib: jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, LCM tych liczb będzie równy pierwszej liczbie.

Znalezienie LCM poprzez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Przyjrzyjmy się teraz metodzie wyznaczania LCM, która opiera się na rozłożeniu liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 2

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musimy wykonać kilka prostych kroków:

• tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszych liczb, dla których musimy znaleźć LCM;
• wykluczamy wszystkie czynniki pierwsze z ich otrzymanych produktów;
• iloczyn otrzymany po wyeliminowaniu wspólnych czynników pierwszych będzie równy LCM podanych liczb.

Ta metoda znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności opiera się na równości LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jeśli spojrzysz na wzór, stanie się jasne: iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników biorących udział w rozkładzie tych dwóch liczb. W tym przypadku gcd dwóch liczb jest równe iloczynowi wszystkich czynników pierwszych, które są jednocześnie obecne w faktoryzacji tych dwóch liczb.

Przykład 3

Mamy dwie liczby 75 i 210. Możemy je rozłożyć na czynniki w następujący sposób: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Jeśli utworzysz iloczyn wszystkich czynników dwóch pierwotnych liczb, otrzymasz: 2 3 3 5 5 5 7.

Jeśli wykluczymy czynniki wspólne dla liczb 3 i 5, otrzymamy iloczyn w następującej postaci: 2 3 5 5 7 = 1050. Ten produkt będzie naszym LCM dla numerów 75 i 210.

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 441 I 700 , rozkładając obie liczby na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Znajdźmy wszystkie czynniki pierwsze liczb podanych w warunku:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Otrzymujemy dwa łańcuchy liczb: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7.

Iloczyn wszystkich czynników biorących udział w rozkładzie tych liczb będzie miał postać: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Znajdźmy wspólne czynniki. To jest liczba 7. Wykluczmy to z całkowitego produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Okazuje się, że NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odpowiedź: LOC(441, 700) = 44100.

Podajmy inne sformułowanie metody znajdowania LCM poprzez rozkład liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 3

Wcześniej wykluczyliśmy z całkowitej liczby czynników wspólnych dla obu liczb. Teraz zrobimy to inaczej:

• Rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
• dodaj do iloczynu czynników pierwszych pierwszej liczby brakujące czynniki drugiej liczby;
• otrzymujemy iloczyn, który będzie pożądanym LCM dwóch liczb.

Przykład 5

Wróćmy do liczb 75 i 210, dla których szukaliśmy LCM już w jednym z poprzednich przykładów. Podzielmy je na proste czynniki: 75 = 3 5 5 I 210 = 2 3 5 7. Do iloczynu czynników 3, 5 i 5 liczby 75 dodają brakujące czynniki 2 I 7 numery 210. Otrzymujemy: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . To jest LCM liczb 75 i 210.

Przykład 6

Konieczne jest obliczenie LCM liczb 84 i 648.

Rozwiązanie

Rozłóżmy liczby z warunku na proste czynniki: 84 = 2 2 3 7 I 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodajmy do iloczynu czynniki 2, 2, 3 i 7 liczby 84 brakujące czynniki 2, 3, 3 i
3 numery 648. Otrzymujemy produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648.

Odpowiedź: LCM(84, 648) = 4536.

Znajdowanie LCM trzech lub więcej liczb

Niezależnie od tego z iloma liczbami mamy do czynienia, algorytm naszego działania zawsze będzie taki sam: znajdziemy po kolei LCM dwóch liczb. Istnieje twierdzenie dotyczące tego przypadku.

Twierdzenie 1

Załóżmy, że mamy liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k liczby te można znaleźć, obliczając kolejno m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k).

Przyjrzyjmy się teraz, jak twierdzenie można zastosować do rozwiązania konkretnych problemów.

Przykład 7

Musisz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność czterech liczb 140, 9, 54 i 250 .

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenie: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Zacznijmy od obliczenia m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Zastosujmy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD liczb 140 i 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Otrzymujemy: NWD (140, 9) = 1, NWD (140, 9) = 140 9: NWD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Dlatego m 2 = 1260.

Obliczmy teraz według tego samego algorytmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Podczas obliczeń otrzymujemy m 3 = 3 780.

Musimy tylko obliczyć m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Postępujemy według tego samego algorytmu. Otrzymujemy m 4 = 94 500.

LCM czterech liczb z przykładowego warunku wynosi 94500.

Odpowiedź: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Jak widać obliczenia są proste, ale dość pracochłonne. Aby zaoszczędzić czas, możesz wybrać inną drogę.

Definicja 4

Oferujemy następujący algorytm działań:

• rozkładamy wszystkie liczby na czynniki pierwsze;
• do iloczynu czynników pierwszej liczby dodajemy brakujące czynniki z iloczynu drugiej liczby;
• do iloczynu otrzymanego na poprzednim etapie dodajemy brakujące czynniki trzeciej liczby itp.;
• wynikowy iloczyn będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb z warunku.

Przykład 8

Musisz znaleźć LCM pięciu liczb 84, 6, 48, 7, 143.

Rozwiązanie

Rozłóżmy wszystkie pięć liczb na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Liczb pierwszych, czyli liczby 7, nie można rozłożyć na czynniki pierwsze. Liczby takie pokrywają się z ich rozkładem na czynniki pierwsze.

Weźmy teraz iloczyn czynników pierwszych 2, 2, 3 i 7 liczby 84 i dodajmy do nich brakujące czynniki drugiej liczby. Rozłożyliśmy liczbę 6 na 2 i 3. Czynniki te są już w iloczynie pierwszej liczby. Dlatego je pomijamy.

Kontynuujemy dodawanie brakujących mnożników. Przejdźmy do liczby 48, z iloczynu jej czynników pierwszych bierzemy 2 i 2. Następnie dodajemy czynnik pierwszy 7 z czwartej liczby oraz czynniki 11 i 13 z piątej. Otrzymujemy: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48048. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność z pięciu pierwotnych liczb.

Odpowiedź: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb ujemnych, należy najpierw zastąpić te liczby liczbami o przeciwnym znaku, a następnie przeprowadzić obliczenia z wykorzystaniem powyższych algorytmów.

Przykład 9

LCM (54, - 34) = LCM (54, 34) i LCM (- 622, - 46, - 54, - 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takie działania są dopuszczalne ze względu na to, że jeśli to zaakceptujemy A I - za– liczby przeciwne,
następnie zbiór wielokrotności liczby A dopasowuje zbiór wielokrotności liczby - za.

Przykład 10

Konieczne jest obliczenie LCM liczb ujemnych − 145 I − 45 .

Rozwiązanie

Zamieńmy liczby − 145 I − 45 do ich przeciwnych liczb 145 I 45 . Teraz korzystając z algorytmu obliczamy LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, wyznaczywszy wcześniej GCD za pomocą algorytmu Euklidesa.

Otrzymujemy, że LCM liczb wynosi - 145 i − 45 równa się 1 305 .

Odpowiedź: LCM (- 145, - 45) = 1305.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter