Szczególne przypadki sprowadzenia do środka dowolnego przestrzennego układu sił. Przypadki redukcji do najprostszej postaci. Formy równań równowagi płaskiego układu sił
Niech na ciało sztywne zostanie jednocześnie przyłożonych kilka par sił o momentach działających w różnych płaszczyznach. Czy można sprowadzić ten układ par do prostszej postaci? Okazuje się, że jest to możliwe, a odpowiedź podpowiada następujące twierdzenie o dodawaniu dwóch par.
Twierdzenie. Dwie pary sił działające w różnych płaszczyznach są równoważne jednej parze sił o momencie równym geometrycznej sumie momentów danych par.
Niech pary zostaną określone przez ich momenty i (ryc. 36,a). Skonstruujmy dwie płaszczyzny prostopadłe do tych wektorów (płaszczyznę działania par) i wybierając pewien odcinek AB na linii przecięcia płaszczyzn ramienia wspólnego dla obu par, skonstruujemy odpowiednie pary: (ryc. 36, b).
Zgodnie z definicją chwili pary możemy pisać
W punktach A i B mamy zbieżne siły. Stosując zasadę równoległoboku sił (aksjomat 3), będziemy mieli:
Podane pary okazują się równoważne dwóm siłom, które również tworzą parę. W ten sposób udowodniono pierwszą część twierdzenia. Drugą część twierdzenia można udowodnić poprzez bezpośrednie obliczenie momentu powstałej pary:
Jeśli istnieje wiele par, to dodając je parami zgodnie z tym twierdzeniem, dowolną liczbę par można zredukować do jednej pary. W rezultacie dochodzimy do następującego wniosku: zbiór (układ) par sił przyłożonych do ciała absolutnie sztywnego można sprowadzić do jednej pary z momentem równym geometrycznej sumie momentów wszystkich danych par.
Matematycznie można to zapisać w następujący sposób:
Na ryc. Rysunek 37 przedstawia geometryczną ilustrację powstałego wniosku.
Dla równowagi par sił wymagane jest, aby moment powstałej pary był równy zeru, co prowadzi do równości
Warunek ten można wyrazić w formie geometrycznej i analitycznej. Warunek geometryczny równowagi par sił: aby układ par sił był w równowadze, konieczne i wystarczające jest, aby wielokąt wektorowy zbudowany z momentów wszystkich par był domknięty.
Warunek analityczny równowagi par sił: aby układ par sił był w równowadze, konieczne i wystarczające jest, aby sumy algebraiczne rzutów wektorów momentów wszystkich par na dowolnie wybrane osie współrzędnych Oxyz były równe zeru:
Jeżeli wszystkie pary leżą w tej samej płaszczyźnie, czyli tworzą płaski układ par, wówczas uzyskuje się tylko jeden warunek równowagi analitycznej – suma momentów algebraicznych par jest równa zeru.
Pytania autotestowe
1. Jaka jest zasada wielokąta siły? Do czego służy wielokąt mocy?
2. Jak analitycznie znaleźć wypadkową sił zbiegających się?
3. Jaki jest warunek geometryczny równowagi zbiegających się sił? Jak ten sam warunek formułuje się analitycznie?
4. Podaj twierdzenie o trzech siłach.
5. Które problemy statyczne nazywamy statycznie zdefiniowanymi, a które statycznie niewyznaczalnymi? Podaj przykład problemu statycznie niewyznaczalnego.
6. Co nazywa się parą sił?
7. Jak nazywa się moment (moment wektorowy) pary sił? Jaki jest kierunek, wielkość i punkt przyłożenia momentu?
8. Co nazywa się momentem algebraicznym pary?
9. Sformułuj regułę dodawania par dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni.
10. Jakie są warunki wektorowe, geometryczne i analityczne równowagi układu par sił?
Główne twierdzenie statyki o doprowadzeniu dowolnego układu sił do danego środka: Dowolny płaski układ sił jest równoważny jednej sile równej głównemu wektorowi układu przyłożonemu w pewnym punkcie (środkowi redukcji) i parze sił, których moment jest równy głównemu momentowi sił układu względem do środka redukcji.
Dowód twierdzenia przeprowadza się w następującej kolejności: wybierz określony punkt (na przykład punkt O) jako środek redukcji i przenieś każdą siłę do tego punktu, dodając, zgodnie z twierdzeniem o równoległym przeniesieniu sił, odpowiednie pary sił. W rezultacie uzyskuje się układ zbieżnych sił przyłożonych w punkcie O, gdzie , oraz system dodanych par sił, których momenty wynoszą . Następnie układ zbieżnych sił zastępuje się wypadkową równą wektorowi głównemu układu, a układ par sił zastępuje się jedną parą sił o momencie równym momentowi głównemu układu względem środka układu zmniejszenie . W rezultacie otrzymujemy to ~. Zatem twierdzenie zostało udowodnione.
Przypadki redukcji przestrzennego układu sił do najprostszej postaci:
1, a – układ sprowadza się do jednej pary sił o momencie równym momentowi głównemu układu, a wartość momentu głównego układu nie zależy od wyboru środka redukcji.
2, a – układ sił sprowadza się do wypadkowej równej wektorowi głównemu układu, którego linia działania przechodzi przez środek O redukcji.
3, oraz – taki układ sił sprowadza się do jednej wypadkowej, równej głównemu wektorowi układu, którego linia działania jest przesunięta o odległość od poprzedniego środka redukcji.
4 Jeżeli wektor główny i moment główny wynoszą , to układ sił będzie zrównoważony, tj. ~0.
2.1.5 Warunki równowagi dla płaskiego układu sił
Warunki konieczne i wystarczające równowagi dowolnego płaskiego układu sił wyznaczają równania:
Wielkość wektora głównego płaskiego układu sił określają zależności: , a moment główny - zależność .
Główny wektor będzie równy zeru tylko wtedy, gdy jednocześnie. W konsekwencji warunki równowagi są spełnione, gdy spełnione są następujące równania analityczne:
Te równania są podstawowymi ( Pierwszy ) postać warunków analitycznych równowagi dowolnego płaskiego układu sił, które formułuje się następująco: dla równowagi dowolnego płaskiego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby suma rzutów wszystkich sił na każdą z dwóch osi współrzędnych oraz suma algebraiczna momentów tych sił względem dowolnego punktu na płaszczyźnie działanie sił jest równe zeru.
Należy zauważyć, że liczba równań równowagi dla dowolnego płaskiego układu sił w przypadku ogólnym wynosi trzy. Można je prezentować w różnej formie.
Istnieją jeszcze dwie formy równań równowagi dla dowolnego płaskiego układu sił, których spełnienie wyraża warunki równowagi ().
Drugi postać warunków równowagi analitycznej zapewnia: dla równowagi dowolnego płaskiego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby suma momentów wszystkich sił względem dwóch punktów oraz suma rzutów tych sił na oś nieprostopadłą do linii prostej przechodzącej przez te punkty punkty są równe zeru:
(linia AB nie prostopadle do osi Oh)
Sformułujmy trzeci postać warunków analitycznych równowagi rozpatrywanego układu sił: dla równowagi dowolnego płaskiego układu sił konieczne i wystarczające jest, aby suma momentów sił układu względem dowolnych trzech punktów nieleżących na tej samej prostej była równa zeru:
W przypadku płaskiego układu sił równoległych można kierować osią Jednostka organizacyjna równolegle do sił układu. Następnie rzuty każdej z sił układu na oś Oh będzie równa zeru. W rezultacie dla płaskiego układu sił równoległych pozostaną dwie formy warunków równowagi.
Dla równowagi płaskiego układu sił równoległych konieczne i wystarczające jest, aby suma rzutów wszystkich sił na równoległą do nich oś oraz suma momentów wszystkich sił względem dowolnego punktu była równa zeru:
Ta pierwsza postać analitycznych warunków równowagi dla płaskiego układu sił równoległych wynika z równań ().
Drugą postać warunków równowagi dla płaskiego układu sił równoległych otrzymujemy z równań ().
Dla równowagi płaskiego układu sił równoległych konieczne i wystarczające jest, aby suma momentów wszystkich sił układu względem dwóch punktów nie leżących na prostej równoległej do sił była równa zeru:
Jak pokazano w § 12, w ogólnym przypadku każdy jest redukowany do siły równej głównemu wektorowi R i przyłożonej w dowolnym środku O oraz do pary z momentem równym momentowi głównemu (patrz ryc. 40, b ). Zastanówmy się, do jakiej najprostszej postaci można sprowadzić przestrzenny układ sił, który nie jest w równowadze. Wynik zależy od wartości, jakie ma ten system dla ilości R i
1. Jeżeli dla danego układu sił , to sprowadza się go do pary sił, których moment jest równy i można go obliczyć za pomocą wzorów (50). W tym przypadku, jak pokazano w § 12, wartość nie zależy od wyboru środka O.
2. Jeżeli dla danego układu sił, to sprowadza się go do wypadkowej równej R, której linia działania przechodzi przez środek O. Wartość R można znaleźć korzystając ze wzorów (49).
3. Jeśli dla danego układu sił ale to układ ten również sprowadza się do wypadkowej równej R, ale nie przechodzącej przez środek O.
Rzeczywiście, gdy para reprezentowana przez wektor i siła R leżą w tej samej płaszczyźnie (ryc. 91).
Następnie dobierając siły pary tak, aby były równe w module R i układając je jak pokazano na rys. 91, stwierdzamy, że siły będą się wzajemnie równoważyć, a układ zostanie zastąpiony jedną wypadkową linią działania, która przechodzi przez punkt O (patrz § 15 ust. 2, b). Odległość ) określa się wzorem (28), gdzie
Łatwo sprawdzić, że rozpatrywany przypadek w szczególności będzie miał miejsce zawsze dla dowolnego układu sił równoległych lub sił leżących w tej samej płaszczyźnie, jeśli wektor główny tego układu Jeśli dla danego układu sił i wektor jest równoległy do R (ryc. 92, a) , oznacza to, że układ sił sprowadza się do kombinacji siły R i pary P, P leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do siły (ryc. 92, b). Taka kombinacja siły i pary nazywana jest śrubą dynamiczną, a linia prosta, wzdłuż której skierowany jest wektor R, jest osią śruby. Dalsze uproszczenie tego układu sił jest niemożliwe. W rzeczywistości, jeśli za środek redukcji przyjmiemy dowolny inny punkt C (ryc. 92, a), wówczas wektor można przenieść do punktu C jako swobodny, a gdy siła R zostanie przeniesiona do punktu C (patrz § 11) , kolejna para z momentem prostopadłym do wektora R, a zatem . W rezultacie moment powstałej pary będzie liczbowo większy, więc moment powstałej pary będzie w tym przypadku najmniejszą wartością, gdy zostanie doprowadzony do środka O. Tego układu sił nie można sprowadzić do jednej siły (wypadkowej) ani do jednej pary.
Jeśli do siły R dodamy jedną z sił pary, na przykład P, wówczas rozważany układ sił można również zastąpić dwoma siłami przecinającymi się, czyli siłami Q i nie leżącymi w tej samej płaszczyźnie (rys. 93). Ponieważ powstały układ sił jest odpowiednikiem śruby dynamicznej, to również nie ma wypadkowej.
5. Jeśli dla danego układu sił i jednocześnie wektory i R nie są do siebie prostopadłe i nie są równoległe, to taki układ sił również sprowadza się do śruby dynamicznej, ale oś śruby nie będzie przejść przez centrum O.
Aby to udowodnić, rozłóżmy wektor na składowe: skierowaną wzdłuż R i prostopadłą do R (ryc. 94). W tym przypadku, gdzie są wektory i R. Para reprezentowana przez wektor i siłę R może być, jak w przypadku pokazanym na ryc. 91, zastąpić jedną siłą R przyłożoną w punkcie O. Wtedy ten układ sił zostanie zastąpiony siłą i parą równoległych momentów obrotowych, a wektor jako swobodny można przyłożyć także w punkcie O. Wynik faktycznie będzie być śrubą dynamiczną, ale z osią przechodzącą przez punkt
Jeżeli po sprowadzeniu przestrzennego układu sił do wybranego środka O, wektor główny i moment główny są równe zeru, tj.
Układ sił jest zrównoważony. Pod wpływem takiego układu sił ciało stałe będzie w równowadze. Oczywiste jest, że w ogólnym przypadku dwa równania wektorowe (4.1) odpowiadają sześciu równaniom skalarnym, odzwierciedlającym równość zerową rzutów tych wektorów na osie wybranego układu współrzędnych (na przykład kartezjańskiego).
Jeżeli po sprowadzeniu przestrzennego układu sił do wybranego środka O, wektor główny jest równy zeru, a moment główny nie jest równy zeru, tj.
Powstała para sił działa na ciało, powodując jego obrót. Należy pamiętać, że w tym przypadku wybór środka redukcji nie ma wpływu na wynik.
Jeżeli po sprowadzeniu przestrzennego układu sił do wybranego środka O, wektor główny nie jest równy zeru, a moment główny jest równy zeru, tj.
Na ciało działa wynikowy układ sił przechodzących przez środek redukcji i zmierzających do przemieszczania ciała wzdłuż linii jego działania. Jest oczywiste, że zależności (4.3.) obowiązują dla wszystkich punktów linii działania wypadkowej.
Należy zauważyć, że działanie układu zbieżnych sił sprowadza się do tego przypadku, jeśli za środek redukcji przyjmujemy punkt przecięcia linii działania sił układu (ponieważ momenty sił względem tego punktu są równe do zera).
Jeżeli po sprowadzeniu przestrzennego układu sił do wybranego środka O, wektor główny i moment główny nie są równe zeru, a ich kierunki tworzą kąt prosty, tj.
wówczas taki układ sił można również sprowadzić do wypadkowego, ale przechodzącego przez inny środek redukcji - punkt. Aby wykonać tę operację, najpierw rozważymy równoważne układy sił pokazane na ryc. 4.2.b i rys. 4.2.b 4.1. Oczywiście, jeśli zmienimy oznaczenie (punkt B nazwiemy środkiem O, punkt A nazwiemy środkiem), stojące przed nami zadanie wymaga wykonania operacji odwrotnej do tej wykonanej w lemacie o równoległym przeniesieniu siły. Biorąc powyższe pod uwagę, punkt musi po pierwsze leżeć w płaszczyźnie prostopadłej do wektora głównego momentu przechodzącego przez środek O, a po drugie leżeć na prostej równoległej do linii działania wektora głównego sił i oddzielony od niego w odległości h równej
Spośród dwóch znalezionych linii należy wybrać tę, dla której punkty wektora momentu głównego są równe zeru (moment głównego wektora sił względem nowego środka powinien być równy co do wielkości i przeciwny do kierunku moment główny układu sił względem punktu O).
W ogólnym przypadku, po sprowadzeniu przestrzennego układu sił do wybranego środka O, nierówny zeru wektor główny i moment główny tworzą ze sobą kąt inny niż prosty (rys. 4.5.a).
Jeżeli moment główny rozłożymy na dwie składowe - wzdłuż wektora głównego sił i prostopadle do niego, to zgodnie z (4.5) można znaleźć środek redukcji, dla którego składowa prostopadła momentu głównego staje się równa zeru, natomiast wielkości i kierunki wektora głównego oraz pierwszych składowych momentu głównego pozostają takie same (rys. 4.5.b). Zbiór wektorów nazywa się śruba mocy Lub dynamo.
Dalsze uproszczenie nie jest możliwe.
Ponieważ przy takiej zmianie środka redukcji zmienia się jedynie rzut momentu głównego na kierunek prostopadły do wektora głównego układu sił, wartość iloczynu skalarnego tych wektorów pozostaje niezmieniona, tj.
To wyrażenie nazywa się drugi niezmiennik
statyka.
Przykład 4.1. Na wierzchołki prostokątnego równoległościanu o bokach i działają siły i (patrz rys. 4.6). Wychodząc ze współrzędnych układu kartezjańskiego wskazanego na rysunku jako środek redukcji układu sił, zapisz wyrażenia na rzuty wektora głównego i momentu głównego.
Zapiszmy zależności trygonometryczne w celu wyznaczenia kątów:
Teraz możemy zapisać wyrażenia na rzuty wektora głównego i głównego momentu sił układu:
Uwaga: znajomość rzutów wektora na osie współrzędnych pozwoli w razie potrzeby obliczyć jego wielkość i cosinusy kierunku.
Jak wykazano powyżej, dowolny układ sił, dowolnie rozmieszczony w przestrzeni, można sprowadzić do jednej siły równej wektorowi głównemu układu i przyłożyć ją do dowolnego środka redukcji O i jedną parę z momentem równym głównemu momentowi układu względem tego samego środka. Zatem w przyszłości dowolny układ sił będzie można zastąpić równoważnym zbiorem dwóch wektorów – siły i momentu przyłożonego w punkcie O. Przy zmianie położenia środka redukcji O główny wektor zachowa wielkość i kierunek, ale główny moment ulegnie zmianie. Udowodnijmy, że jeśli wektor główny jest różny od zera i 
jest prostopadły do momentu głównego, wówczas układ sił sprowadza się do jednej siły, którą w tym przypadku nazwiemy wypadkową (rys. 8). Moment główny można przedstawić za pomocą pary sił ( , ) z ramieniem , wówczas siły i wektor główny tworzą układ dwóch
siły równe zeru, które można odrzucić. Pozostanie jedna siła działająca wzdłuż linii prostej równoległej do głównej
Rysunek 8 do wektora i mijania na odległość
H= z płaszczyzny utworzonej przez wektory i . Rozważany przypadek pokazuje, że jeśli od samego początku wybierzemy środek redukcji na prostej L, wtedy układ sił zostałby natychmiast doprowadzony do wypadkowej, główny moment byłby równy zeru. Teraz udowodnimy, że jeśli wektor główny jest różny od zera i nie jest prostopadły do momentu głównego, to taki punkt można wybrać jako środek redukcji O* że moment główny względem tego punktu i wektor główny będą leżeć na tej samej prostej. Aby to udowodnić, rozłóżmy moment na dwie składowe - jedną skierowaną wzdłuż wektora głównego i drugą prostopadle do wektora głównego. Zatem para sił rozkłada się na dwie pary z momentami: i , oraz płaszczyzna pierwszej pary jest prostopadła do , wówczas płaszczyzna drugiej pary, prostopadła do wektora (rys. 9) zawiera wektor . Połączenie pary z momentem i siłą tworzy układ sił, który można sprowadzić do jednej siły (rys. 8) przechodzącej przez punkt O*. Zatem (ryc. 9) kombinacja wektora głównego i głównego momentu w punkcie O zredukowane do siły przechodzącej przez punkt O*, oraz parę z momentem równoległym do tej prostej, co należało udowodnić. Połączenie siły i pary, której płaszczyzna jest prostopadła do linii działania siły, nazywa się dynamizmem (ryc. 10). Parę sił można przedstawić za pomocą dwóch sił ( , ) o jednakowej wielkości, rozmieszczonych jak pokazano na ryc. 10. Jednak dodając dwie siły i , otrzymujemy ich sumę i pozostałą siłę , z której wynika (ryc. 10 ), że kombinacja głównego wektora i głównego momentu w punkcie O, można zredukować do dwóch nieprzecinających się sił i .
Rozważmy kilka przypadków redukcji układu sił.
1. Płaski układ sił. Dla pewności niech wszystkie siły będą na płaszczyźnie OXY. Następnie w najbardziej ogólnym przypadku
Główny wektor nie jest zerem, główny moment nie jest zerem, ich iloczyn skalarny rzeczywiście wynosi zero
dlatego wektor główny jest prostopadły do momentu głównego: płaski układ sił sprowadza się do wypadkowej.
2. Układ sił równoległych. Dla pewności niech wszystkie siły będą równoległe do osi OZ. Następnie w najbardziej ogólnym przypadku
Tutaj również wektor główny nie jest równy zeru, moment główny nie jest równy zero, a ich iloczyn skalarny jest równy zero
W konsekwencji w tym przypadku wektor główny jest prostopadły do momentu głównego: układ sił równoległych sprowadza się do wypadkowej. W konkretnym przypadku, jeśli jest równy zero, to wektor główny sił jest równy zero, a układ sił sprowadza się do pary sił, których wektor momentu leży w płaszczyźnie OXY. Usystematyzujmy teraz rozpatrywane przypadki. Przypomnijmy: dowolny przestrzenny układ sił przyłożonych do ciała sztywnego jest statycznie równoważny sile równej wektorowi głównemu przyłożonej w dowolnym punkcie ciała (środku redukcji) oraz parze sił o momencie równym główny moment układu sił względem określonego środka redukcji.
