Divu apļu relatīvā pozīcija. Teorija

7G, Z klase

Nodarbības tēma: “Divu apļu relatīvais novietojums”
Mērķis: zināt iespējamos divu apļu relatīvās pozīcijas gadījumus; pielietot zināšanas, risinot problēmas.

Mērķi: Izglītojoši: sekmēt divu apļu izkārtojuma iespējamo gadījumu vizuālā attēlojuma veidošanu un nostiprināšanu skolēnos;

Izveidot saikni starp apļu relatīvajām pozīcijām, to rādiusiem un attālumu starp to centriem;

Analizējiet ģeometrisko dizainu un pārveidojiet to garīgi,

Attīstīt planimetrisko iztēli.

Teorētiskās zināšanas studenti varēs pielietot problēmu risināšanā.

Nodarbības veids: stunda, kurā iepazīstina un nostiprina jaunas zināšanas par materiālu.

Aprīkojums: prezentācija nodarbībai; kompass, lineāls, zīmulis un mācību grāmata katram skolēnam.

Apmācība: . “Ģeometrija 7. klase”, Almati “Atamura” 2012.g

Nodarbību laikā.

Laika organizēšana. Mājas darbu pārbaude.

3. Pamatzināšanu papildināšana.

Atkārtojiet apļa, apļa, rādiusa, diametra, hordas, attāluma no punkta līdz taisnei definīcijas.

1) 1) Kādus līnijas un apļa atrašanās vietas gadījumus jūs zināt?

2) Kuru līniju sauc par tangensu?

3) Kuru līniju sauc par sekantu?

4) Teorēma par diametru perpendikulāri hordai?

5) Kāda ir tangensa attiecībā pret riņķa rādiusu?

6) Aizpildiet tabulu (uz kartēm).

Skolēni skolotāja vadībā risina un analizē problēmas.

1) Taisne a ir pieskare riņķim ar centru O. Punkts A ir dots uz taisnes a. Leņķis starp pieskari un nogriezni OA ir 300. Atrodi nogriežņa OA garumu, ja rādiuss ir 2,5 m.

2) Nosakiet līnijas un apļa relatīvo pozīciju, ja:

1. R = 16 cm, d = 12 cm 2. R = 5 cm, d = 4,2 cm 3. R = 7,2 dm, d = 3,7 dm 4. R = 8 cm, d = 1,2 dm 5. R = 5 cm, d = 50 mm

a) taisnei un riņķim nav kopīgu punktu;

b) taisne ir pieskares riņķim;

c) taisne šķērso apli.

d ir attālums no apļa centra līdz taisnei, R ir apļa rādiuss.

3) Ko var teikt par taisnes un apļa relatīvo novietojumu, ja apļa diametrs ir 10,3 cm un attālums no apļa centra līdz līnijai ir 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.

4) Dots aplis ar centru O un punktu A. Kur atrodas punkts A, ja apļa rādiuss ir 7 cm un nogriežņa OA garums ir: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.

4. Kopā ar skolēniem noskaidrot stundas tēmu un formulēt stundas mērķus.

5. Jauna materiāla ieviešana.

Praktiskais darbs grupās.

Izveidojiet 3 apļus. Katram aplim izveidojiet citu apli tā, lai 1) 2 apļi nekrustotos, 2) 2 apļi saskartos, 3) divi apļi krustotos. Atrodiet katra apļa rādiusu un attālumu starp apļu centriem, salīdziniet rezultātus. Ko var secināt?
2) Apkopojiet un pierakstiet piezīmju grāmatiņā divu apļu relatīvā stāvokļa gadījumus.

Divu apļu relatīvais novietojums plaknē.

Apļiem nav kopīgu punktu (nekrustojas). (R1 un R2 ir apļa rādiusi)

Ja R1 + R2< d,

d – attālums starp apļu centriem.

c) Apļiem ir divi kopīgi punkti. (krustoties).

Ja R1 + R2 > d,

Jautājums. Vai diviem apļiem var būt trīs kopīgi punkti?

6. Izpētītā materiāla konsolidācija.

Atrodiet kļūdu datos vai paziņojumā un izlabojiet to, pamatojot savu viedokli:
A) Divi apļi pieskaras. To rādiusi ir vienādi ar R = 8 cm un r = 2 cm, attālums starp centriem ir d = 6.
B) Diviem apļiem ir vismaz divi kopīgi punkti.
B) R = 4, r = 3, d = 5. Apļiem nav kopīgu punktu.
D) R = 8, r = 6, d = 4. Mazākais aplis atrodas lielākā iekšpusē.
D) Divus apļus nevar novietot tā, lai viens būtu otrā iekšpusē.

7. Nodarbības kopsavilkums. Ko jūs iemācījāties nodarbībā? Kāds modelis tika izveidots?

Kā var novietot divus apļus? Kādā gadījumā apļiem ir viens kopīgs punkts? Kā sauc divu apļu kopējo punktu? Kādus pieskārienus jūs zināt? Kad apļi krustojas? Kādus apļus sauc par koncentriskiem?

Nodarbības tēma: " Divu apļu relatīvais novietojums plaknē.

Mērķis :

Izglītojoši - jaunu zināšanu apgūšana par divu apļu relatīvo stāvokli, gatavošanās ieskaitei

Attīstošs - skaitļošanas prasmju attīstība, loģiski-strukturālās domāšanas attīstība; attīstot prasmes racionālu risinājumu meklēšanā un gala rezultātu sasniegšanā; izziņas darbības un radošās domāšanas attīstība .

Izglītojoši – atbildības un konsekvences veidošana skolēnos; kognitīvo un estētisko īpašību attīstība; studentu informācijas kultūras veidošana.

Korekcijas - attīstīt telpisko domāšanu, atmiņu, roku motoriku.

Nodarbības veids: jauna mācību materiāla apguve, konsolidācija.

Nodarbības veids: jauktā nodarbība.

Mācību metode: verbāls, vizuāls, praktisks.

Studiju forma: kolektīvs.

Izglītības līdzekļi: dēlis

NODARBĪBU LAIKĀ:

1. Organizatoriskais posms

- sveicieni;

- sagatavotības pārbaude nodarbībai;

2. Pamatzināšanu atjaunināšana.
Kādas tēmas mēs apspriedām iepriekšējās nodarbībās?

Apļa vienādojuma vispārīgā forma?

Veikt mutiski:

Blitz aptauja

3. Jauna materiāla ieviešana.

Kādu skaitli, jūsuprāt, mēs šodien apsvērsim... Ja nu viņi ir divi??

Kā tos var atrast???

Bērni ar rokām (kaimiņiem) parāda, kā var izkārtot apļus (fiziskās audzināšanas minūte)

Nu, kas, jūsuprāt, mums šodien būtu jāņem vērā? Un uzziniet, kāds ir attālums starp centriem atkarībā no atrašanās vietas.

Nodarbības tēma: « Divu apļu relatīvā pozīcija. Problēmu risināšana. »

1. Koncentriski apļi

2. Nesadalīti apļi

3.Ārējais pieskāriens

4. Krustojošie apļi

5. Iekšējais pieskāriens

Tātad izdarīsim secinājumus

4. Prasmju un iemaņu veidošana

Atrodiet kļūdu datos vai paziņojumā un izlabojiet to, pamatojot savu viedokli:

A) Divi apļi pieskaras. To rādiusi ir vienādi ar R = 8 cm un r = 2 cm, attālums starp centriem ir d = 6.
B) Diviem apļiem ir vismaz divi kopīgi punkti.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Apļiem nav kopīgu punktu.

D) R = 8, r = 6, d = 4. Mazākais aplis atrodas lielākā iekšpusē.

D) Divus apļus nevar novietot tā, lai viens būtu otrā iekšpusē.

5. Prasmju un iemaņu nostiprināšana.

Apļi saskaras ārēji. Mazākā apļa rādiuss ir 5 cm. Kāds ir attālums starp centriem.

Risinājums: 3+5=8(cm)

Apļi saskaras iekšēji. Mazākā apļa rādiuss ir 3 cm Lielā apļa rādiuss ir 5 cm. Kāds ir attālums starp apļu centriem.

Risinājums: 5-3=2(cm)

Apļi saskaras iekšēji. Attālums starp apļu centriem ir 2,5 cm. Kādi ir apļu rādiusi?

atbilde: (5,5 cm un 3 cm), (6,5 cm un 4 cm) utt.

IZPRATNES PĀRBAUDE

1) Kā var novietot divus apļus?

2) Kādā gadījumā apļiem ir viens kopīgs punkts?

3) Kā sauc divu apļu kopējo punktu?

4) Kādus pieskārienus jūs zināt?

5) Kad apļi krustojas?

6) Kādus apļus sauc par koncentriskiem?

Papildus uzdevumi par tēmu: Vektori. Koordinātu metode "(ja ir atlicis laiks)

1)E(4;12),F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Atrast:

a) vektora koordinātasE.F., G.H.

b) vektora garumsFG

c) punkta O koordinātes - vidusE.F.

punktu koordinātasW– vidusG.H.

d) apļa ar diametru vienādojumsFG

e) taisnes vienādojumsFH

6. Mājas darbs

& 96 Nr. 1000. Kuri no šiem vienādojumiem ir apļa vienādojumi. Atrodiet centru un rādiusu

7. Nodarbības rezumēšana (3 min.)

(sniedz kvalitatīvu klases un atsevišķu skolēnu darba novērtējumu).

8. Pārdomu stadija (2 minūtes.)

Ļaujiet apļiem definēt vektoru no sākuma līdz centram un šī apļa rādiusu.

Aplūkosim apļus A un B ar rādiusiem Ra un Rb un rādiusa vektoriem (vektors uz centru) a un b. Turklāt Oa un Ob ir viņu centri. Nezaudējot vispārīgumu, pieņemsim, ka Ra > Rb.

Tad ir izpildīti šādi nosacījumi:

Divu apļu krustošanās punkti

Pieņemsim, ka A un B krustojas divos punktos. Atradīsim šos krustošanās punktus.

Lai to izdarītu, vektors no a līdz punktam P, kas atrodas uz apļa A un atrodas uz OaOb. Lai to izdarītu, jums jāņem vektors b - a, kas būs vektors starp diviem centriem, jānormalizē (aizstāj ar kopvirziena vienības vektoru) un jāreizina ar Ra. Mēs apzīmējam iegūto vektoru kā p. Šo konfigurāciju var redzēt attēlā. 6

Rīsi. 6. Vektori a, b, p un to dzīvesvieta.

Apzīmēsim i1 un i2 kā vektorus no a līdz divu apļu krustpunktiem I1 un I2. Kļūst acīmredzams, ka i1 un i2 iegūst, rotējot no p. Jo mēs zinām visas trijstūra OaI1Ob un OaI2Ob malas (Rādiuss un attālums starp centriem), varam iegūt šo leņķi fi, pagriežot vektoru p vienā virzienā, iegūsim I1, bet otrā I2.

Saskaņā ar kosinusa teorēmu tas ir vienāds ar:

Ja jūs pagriežat p par fi, jūs saņemsiet i1 vai i2 atkarībā no tā, kādā veidā jūs pagriežat. Tālāk vektors i1 vai i2 jāpievieno a, lai iegūtu krustošanās punktu

Šī metode darbosies pat tad, ja viena apļa centrs atrodas otrā. Bet tur vektors p noteikti būs jānorāda virzienā no a līdz b, ko mēs arī darījām. Ja veidosi p, pamatojoties uz citu apli, tad nekas nesanāks

Nu, nobeigumā jāpiemin viens fakts: ja apļi saskaras, tad ir viegli pārbaudīt, vai P ir saskares punkts (tas attiecas gan uz iekšējo, gan ārējo kontaktu).
Šeit jūs varat redzēt vizualizāciju (lai to palaistu, jānoklikšķina).

Šī metode darbojas, taču rotācijas leņķa vietā varat aprēķināt tā kosinusu un caur to sinusu, un pēc tam tos izmantot, pagriežot vektoru. Tas ievērojami vienkāršos aprēķinus, izslēdzot kodu no trigonometriskajām funkcijām.

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija

Pašvaldības budžeta izglītības iestāde

Novosibirskas pilsēta "Ģimnāzija Nr. 4"

Sadaļa: matemātika

PĒTNIECĪBA

par šo tēmu:

DIVU ATKARĪŠANU APĻU ĪPAŠĪBAS

10. klases skolēni:

Haziakhmetovs Radiks Ildarovičs

Zubarevs Jevgeņijs Vladimirovičs

Pārraugs:

L.L. Barinova

Matemātikas skolotājs

Augstākā kvalifikācijas kategorija

1. §. Ievads………..………………………….……………………………………………………3

1.1. § Divu apļu relatīvais novietojums……………………………………………………3

2. § Īpašumi un to pierādījumi……………………………………………………………..……………………………….…4

2.1. § 1. īpašums………………………………………………………..………………………….…4

2. §

2.3. § 3. īpašums………………………………………………………..………………………………6

2.4. § 4. īpašums………………………………………………………..………………………………6

2.5. § 5. īpašums…………………………………..………………………………………………8

2.6. § 6. īpašums……………………………………………………..……………………………………9

3. § Uzdevumi…………………………………………………..……………………………………..…11

Atsauces………………………………………………………………………………….………….13

1. §. Ievads

Daudzas problēmas, kas saistītas ar diviem pieskares apļiem, var atrisināt īsāk un vienkāršāk, zinot dažas īpašības, kas tiks parādītas tālāk.

Divu apļu relatīvā pozīcija

Sākumā noteiksim abu apļu iespējamo relatīvo novietojumu. Var būt 4 dažādi gadījumi.

1. Apļi nedrīkst krustoties.

2. Krustoties.

3. Pieskarieties vienā punktā ārpusē.

4.Pieskarieties vienā punktā iekšpusē.

2. §. Īpašības un to pierādījumi

Pāriesim tieši uz īpašību pierādīšanu.

2.1. § 1. īpašums

Nogriežņi starp pieskares krustpunktiem ar riņķiem ir vienādi viens ar otru un vienādi ar diviem doto apļu ģeometriski vidējiem rādiusiem.

Pierādījums 1. O 1 A 1 un O 2 B 1 – saskares punktiem novilkti rādiusi.

2. О 1 А 1 ┴ А 1 В 1, О2В1 ┴ А 1 В 1 → О 1 А 1 ║ О 2 В 1. (saskaņā ar 1. punktu)

1. ▲O 1 O 2 D – taisnstūrveida, jo О 2 D ┴ О 2 В 1
2. O 1 O 2 = R + r, O 2 D = R – r

1. Saskaņā ar Pitagora teorēmu A 1 B 1 = 2√Rr

(O 1D 2 = (R+r) 2 -(R-r) 2 =R 2 +2Rr+r2-R2 +2Rr-r 2 =√4Rr=2√Rr)

A 2 B 2 = 2√Rr (pierādīts līdzīgi)

1) Nozīmēsim rādiusus pieskares krustpunktos ar riņķiem.

2) Šie rādiusi būs perpendikulāri pieskarēm un paralēli viens otram.

3) Nolaidīsim perpendikulu no mazākā apļa centra uz lielākā apļa rādiusu.

4) Iegūtā taisnleņķa trijstūra hipotenūza ir vienāda ar apļu rādiusu summu. Kāja ir vienāda ar to starpību.

5) Izmantojot Pitagora teorēmu, iegūstam nepieciešamo sakarību.

2.2. § Īpašums 2

Taisnes līnijas, kas krusto riņķu pieskares punktu un neatrodas nevienā no tām ar pieskarēm, krustošanās punkti sadala uz pusēm ārējo pieskares segmentus, kurus ierobežo pieskares punkti, daļās, no kurām katra ir vienāds ar šo apļu rādiusu vidējo ģeometrisko vērtību.

Pierādījums 1.JAUNKUNDZE= MA 1 (kā pieskares segmenti)

2.MC = MV 1 (kā pieskares segmenti)

3.A 1 M = MV 1 = √Rr, A 2 N = NB 2 = √Rr (saskaņā ar 1. un 2. punktu )

Pierādījumā izmantotie apgalvojumi Pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta uz noteiktu apli, ir vienādi. Mēs izmantojam šo īpašumu abiem norādītajiem lokiem.

2.3. § Īpašums 3

Iekšējās pieskares segmenta garums, kas atrodas starp ārējām pieskarēm, ir vienāds ar ārējās pieskares segmenta garumu starp saskares punktiem un ir vienāds ar diviem doto apļu ģeometriski vidējiem rādiusiem.

Pierādījums Šis secinājums izriet no iepriekšējā īpašuma.

MN = MC + CN = 2MC = 2A 1 M = A 1 B 1 = 2√Rr

2.4. § Īpašums 4

Trijstūris, ko veido pieskares apļu centri un pieskares segmenta viduspunkts starp rādiusiem, kas novilkti uz saskares punktiem, ir taisnstūrveida. Tā kāju attiecība ir vienāda ar šo apļu rādiusu sakņu koeficientu.

Pierādījums 1.MO 1 ir leņķa A 1 MS bisektrise, MO 2 ir leņķa B 1 MS bisektrise, jo Leņķī ierakstīta riņķa centrs atrodas uz šī leņķa bisektrise.

2.Saskaņā ar 1. punktu РО 1 MS + РСМО 2 = 0,5 (РА1МС + РСМВ 1) = 0,5 p = p/2

3.РО 1 MO 2 – tiešais. MC ir trijstūra O 1 MO 2 augstums, jo pieskares MN ir perpendikulāra rādiusiem, kas novilkti uz saskares punktiem → trijstūri O 1 MC un MO 2 C ir līdzīgi.

4.O 1 M / MO 2 = O 1 C / MC = r / √Rr = √r / R (līdzīgi)

Pierādījumā izmantotie apgalvojumi 1) Leņķī ierakstīta riņķa centrs atrodas uz šī leņķa bisektrise. Trijstūra kājas ir leņķu bisektrise.

2) Izmantojot faktu, ka šādi izveidotie leņķi ir vienādi, mēs atklājam, ka meklētais leņķis ir taisns leņķis. Mēs secinām, ka šis trīsstūris patiešām ir taisnleņķis.

3) Mēs pierādām trīsstūru līdzību, kuros augstums (jo pieskares ir perpendikulāra rādiusiem, kas novilkti uz pieskares punktiem) sadala taisnleņķa trīsstūri, un pēc līdzības iegūstam nepieciešamo attiecību.

2.5. § 5. īpašums

Trijstūris, ko veido apļu saskares punkts vienam ar otru un apļu krustošanās punkti ar pieskari, ir taisnstūrveida. Tā kāju attiecība ir vienāda ar šo apļu rādiusu sakņu koeficientu.

Pierādījums

1. ▲A 1 MC un ▲SMV 1 ir vienādsānu → ÐMA 1 C = ÐMSA 1 = α, ÐMV 1 C = ÐMSV 1 = β.

1. 2α + 2β + RA 1 MC + RSMV 1 = 2p → 2α + 2β = 2p - (RA 1 MC + RSMV 1) = 2p - p = p, α + β = p/2

1. Bet RA 1 SV 1 = α + β → RA 1 SV 1 – tiešais → RA 1 CO 2 = RS 1 O 2 = p/2 – β = α

1. ▲A 1 MC un ▲CO 2 B 1 ir līdzīgi → A 1 C / SV 1 = MC / O 2 B 1 = √Rr / R = √r / R

Pierādījumā izmantotie apgalvojumi 1) Mēs pierakstām trīsstūru leņķu summu, izmantojot to, ka tie ir vienādsānu. Trīsstūru vienādsānu pierāda, izmantojot pieskares segmentu vienādības īpašību.

2) Šādi uzrakstot leņķu summu, mēs atklājam, ka konkrētajam trīsstūrim ir taisns leņķis, tātad tas ir taisnstūrveida. Apgalvojuma pirmā daļa ir pierādīta.

3) Izmantojot trijstūra līdzību (lai to pamatotu, izmantojam līdzības zīmi divos leņķos) atrodam taisnleņķa trijstūra kāju attiecību.

2.6. § Īpašums 6

Četrstūris, ko veido riņķa līniju krustošanās punkti ar pieskari, ir trapecveida forma, kurā var ierakstīt riņķi.

Pierādījums 1.▲A 1 RA 2 un ▲ B 1 PB 2 ir vienādsānu, jo A 1 P = RA 2 un B 1 P = PB 2 kā pieskares segmenti → ▲A 1 RA 2 un ▲B 1 PB 2 – līdzīgi.

2.A 1 A 2 ║ B 1 B 2, jo sekanta A 1 B 1 krustpunktā izveidotie attiecīgie leņķi ir vienādi.

1. MN – viduslīnija atbilstoši 2. īpašībai → A 1 A 2 + B 1 B 2 = 2MN = 4√Rr

1. A 1 B 1 + A 2 B 2 = 2√Rr + 2√Rr = 4√Rr = A 1 A 2 + B 1 B 2 → trapecē A 2 A 1 B 1 B 2 bāzu summa ir vienāda uz malu summu, un tas ir nepieciešams un pietiekams nosacījums ierakstīta apļa pastāvēšanai.

Pierādījumā izmantotie apgalvojumi 1) Atkal izmantosim pieskares segmentu īpašību. Ar tās palīdzību pierādīsim trijstūru vienādsānu, ko veido pieskares un pieskares punktu krustpunkts.

2) No tā izriet, ka šie trīsstūri ir līdzīgi un to pamati ir paralēli. Pamatojoties uz to, mēs secinām, ka šis četrstūris ir trapecveida forma.

3) Izmantojot iepriekš pierādīto īpašību (2), atrodam trapeces viduslīniju. Tas ir vienāds ar diviem apļa ģeometriskiem vidējiem rādiusiem. Iegūtajā trapecē pamatu summa ir vienāda ar malu summu, un tas ir nepieciešams un pietiekams nosacījums ierakstīta apļa pastāvēšanai.

§ 3. Problēmas

Apskatīsim praktisku piemēru, kā jūs varat vienkāršot problēmas risinājumu, izmantojot iepriekš aprakstītās īpašības.

1. problēma

Trijstūrī ABC mala AC = 15 cm. Otrais aplis pieskaras pirmajam un malām AB un BC. Pusē AB ir izvēlēts punkts F, bet malā BC ir izvēlēts punkts M, lai segments FM būtu riņķa līnijas kopīgs pieskares. Atrodiet trīsstūra BFM un četrstūra AFMC laukumu attiecību, ja FM ir 4 cm un punkts M atrodas divreiz tālāk no viena apļa centra nekā no otra centra.

Ņemot vērā: FM-kopējā tangensa AC=15cm FM=4cm O 2 M=2О 1 M

Atrodiet S BFM / S AFMC

Risinājums:

1) FM = 2√Rr, ​​O 1 M/O 2 M = √r/R

2) 2√Rr=4, √r/R=0,5 →r=1, R=4; PQ=FM=4

3)▲BO 1 P un ▲BO 2 Q ir līdzīgi → BP/BQ=O 1 P/O 2 Q, BP/(BP+PQ)=r/R,BP/(BP+4)=0,25;BP = 4/3

4)FM+BP=16/3, S FBM =r*P FBM =1*(16/3)=16/3; AC+BQ=15+4/3+4=61/3

5)S ABC =R*P ABC =4*(61/3)=244/3 → S BFM /S AFMC =(16/3): (244/3) = 4/61

2. problēma

Vienādsānu trijstūrī ABC ir ierakstīti divi pieskares apļi ar kopējo punktu D un kopējo pieskares punktu FK, kas iet caur šo punktu. Atrodiet attālumu starp šo apļu centriem, ja trijstūra AC pamatne AC = 9 cm un trijstūra malas segments, kas atrodas starp riņķu pieskares punktiem, ir 4 cm.

Ņemot vērā: ABC – vienādsānu trīsstūris; FK – ierakstīto apļu kopējā tangensa. AC = 9 cm; ZA = 4 cm

Risinājums:

Ļaujiet taisnēm AB un CD krustoties punktā O. Tad OA = OD, OB = OC, tātad CD = = AB = 2√Rr

Punkti O 1 un O 2 atrodas uz leņķa AOD bisektrise. Vienādsānu trijstūra AOD bisektrise ir tā augstums, tātad AD ┴ O 1 O 2 un BC ┴ O 1 O 2, kas nozīmē

AD ║ BC un ABCD – vienādsānu trapece.

Segments MN ir tā viduslīnija, tāpēc AD + BC = 2MN = 2AB = AB + CD

Tāpēc šajā trapecē var ierakstīt apli.

Lai AP ir trapeces augstums, taisnleņķa trijstūri ARB un O 1 FO 2 ir līdzīgi, tāpēc AP/O 1 F = AB/O 1 O 2 .

No šejienes mēs to atrodam

Bibliogrāfija

• Laikraksta “Pirmais septembris” pielikums “Matemātika” Nr.43 2003.g.
• Vienotais valsts eksāmens 2010. Matemātika. Uzdevums C4. Gordins R.K.