Funkcijas robežu aprēķins ar detalizētu risinājumu. Secības un funkciju ierobežojums

Robežu atrašanas uzdevumu risināšana Risinot ierobežojumus, jāatceras daži ierobežojumi, lai katru reizi tās nepārrēķinātu. Apvienojot šos zināmos ierobežojumus, mēs atradīsim jaunus ierobežojumus, izmantojot 4. § norādītās īpašības. Ērtības labad mēs piedāvājam visbiežāk sastopamos ierobežojumus: Ierobežojumi 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X-> o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), ja f (x) ir nepārtraukts x a Ja ir zināms, ka funkcija ir nepārtraukta, tad tā vietā, lai atrastu robežu, mēs aprēķinām funkcijas vērtību. Piemērs 1. Atrodiet lim (x*-6l:+ 8). Tā kā vairāku termiņu X->2 terminu funkcija ir nepārtraukta, tad lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 2. piemērs. Atrast lim -G. . Vispirms atrodam saucēja robežu: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; tas nav vienāds ar X-Y1 nulli, kas nozīmē, ka mēs varam piemērot rekvizītu 4 § 4, tad x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. saucējs X X ir vienāds ar nulli, tāpēc nevar piemērot 4. paragrāfa īpašību, jo skaitītājs ir konstants skaitlis, un saucējs ir [x2x) -> -0, ja x - - 1, tad visa daļa palielinās bezgalīgi. absolūtā vērtībā, t.i. lim " 1 X - * - - 1 x* + x Piemērs 4. Atrodiet lim\-ll*"!"" "Saucēja robeža ir nulle: lim (xr-6lg+ 8) = 2* -6-2 + 8 = 0, tātad X rekvizīts 4. § 4 nav piemērojams. Bet arī skaitītāja robeža ir nulle: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Tātad skaitītāja un saucēja robežas vienlaikus ir vienādas ar nulli. Tomēr skaitlis 2 ir gan skaitītāja, gan saucēja sakne, tāpēc daļu var samazināt par starpību x-2 (saskaņā ar Bezout teorēmu). Faktiski x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" tāpēc xr- - f- 6 g x-3 -1 1 5. piemērs. Atrodiet lim xn (n vesels skaitlis, pozitīvs). X ar Mums ir xn = X* X . . X, n reizes Tā kā katrs faktors aug bez ierobežojuma, arī produkts aug bez ierobežojuma, t.i., lim xn=oo. x oo 6. piemērs. Atrodiet lim xn(n vesels skaitlis, pozitīvs). X -> - CO Mums ir xn = x x... x. Tā kā katrs faktors aug absolūtā vērtībā, paliekot negatīvs, tad pāra pakāpes gadījumā reizinājums augs bezgalīgi, paliekot pozitīvs, t.i., lim *n = + oo (pāra n). *-* -о Nepāra pakāpes gadījumā reizinājuma absolūtā vērtība palielinās, bet tā paliek negatīva, t.i., lim xn = - oo (par n nepāra). p -- 00 Piemērs 7. Atrodiet lim . x x-*- co * Ja m>pu tad varam rakstīt: m = n + kt kur k>0. Tāpēc xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Mēs nonācām pie 6. piemēra. Ja ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Šeit skaitītājs paliek nemainīgs, un saucējs pieaug absolūtā vērtībā, tāpēc lim -ь = 0. X - *oo X* Ieteicams atcerēties šī piemēra rezultātu Šāda forma: Jaudas funkcija aug, jo ātrāk, jo lielāks ir eksponents. $хв_Зхг + 7 8. piemērs. Atrodiet lim g L -г-= Šajā piemērā x-*® «J* "Г bХ -ох-о un skaitītājs un saucējs pieaug bez ierobežojumiem. Sadalīsim gan skaitītāju, gan skaitītāju. saucējs ar lielāko x pakāpju, t.i. uz xb, tad 3 7_ Piemērs 9. Atrodi liru Veicot transformācijas, iegūstam lira ^ = lim X CO + 3 7 3 Tā kā lim -5 = 0, lim -, = 0. , tad saucēja robeža ir vienāda ar 1. Līdz ar to visa daļa pieaug bez ierobežojuma, t.i., lim Aprēķināsim saucēja robežu S, atceroties, ka cos*-funkcija ir nepārtraukta: lira (2 + cos x) = 2. + mājīgs =2 Tad x->- S lim (l-fsin*) 15. piemērs. Atrast lim *.<*-e>2 un lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO prese (l: - a)2 = z; tā kā (l;-a)2 vienmēr aug nenegatīvi un bez ierobežojumiem ar x, tad priekš x - ±oo jaunais mainīgais z-*oc. Tāpēc mēs iegūstam qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (skat. piezīmi par §5). g -*■ co Līdzīgi lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, jo x ± oo g m - (x- a)z bez ierobežojumiem samazinās kā x ->±oo (skat. piezīmi §

Ierobežojumi visiem matemātikas studentiem sagādā daudz nepatikšanas. Lai atrisinātu ierobežojumu, dažreiz ir jāizmanto daudz triku un jāizvēlas no dažādām risināšanas metodēm tieši tā, kas ir piemērota konkrētam piemēram.

Šajā rakstā mēs nepalīdzēsim izprast jūsu spēju robežas vai izprast kontroles robežas, bet mēģināsim atbildēt uz jautājumu: kā izprast robežas augstākajā matemātikā? Sapratne nāk ar pieredzi, tāpēc vienlaikus sniegsim vairākus detalizētus ierobežojumu risināšanas piemērus ar skaidrojumiem.

Robežu jēdziens matemātikā

Pirmais jautājums ir: kāda ir šī robeža un kāda robeža? Var runāt par skaitlisko secību un funkciju robežām. Mūs interesē funkcijas robežas jēdziens, jo ar to visbiežāk saskaras studenti. Bet vispirms vispārīgākā ierobežojuma definīcija:

Pieņemsim, ka ir kāda mainīga vērtība. Ja šī vērtība pārmaiņu procesā neierobežoti tuvojas noteiktam skaitlim a , Tas a – šīs vērtības robeža.

Funkcijai, kas definēta noteiktā intervālā f(x)=y šādu skaitli sauc par limitu A , ko funkcija mēdz kad X , tiecas uz noteiktu punktu A . Punkts A pieder intervālam, kurā funkcija ir definēta.

Tas izklausās apgrūtinoši, bet tas ir uzrakstīts ļoti vienkārši:

Lim- no angļu valodas ierobežojums- ierobežojums.

Robežas noteikšanai ir arī ģeometrisks skaidrojums, taču šeit mēs neiedziļināsimies teorijā, jo mūs vairāk interesē jautājuma praktiskā, nevis teorētiskā puse. Kad mēs to sakām X tiecas uz kādu vērtību, tas nozīmē, ka mainīgais nepieņem skaitļa vērtību, bet tuvojas tam bezgalīgi tuvu.

Sniegsim konkrētu piemēru. Uzdevums ir atrast robežu.

Lai atrisinātu šo piemēru, mēs aizstājam vērtību x=3 par funkciju. Mēs iegūstam:

Starp citu, ja jūs interesē, izlasiet atsevišķu rakstu par šo tēmu.

Piemēros X var tendence uz jebkuru vērtību. Tas var būt jebkurš skaitlis vai bezgalība. Šeit ir piemērs, kad X tiecas uz bezgalību:

Intuitīvi, jo lielāks skaitlis saucējā, jo mazāku vērtību izmantos funkcija. Tātad, ar neierobežotu izaugsmi X nozīmē 1/x samazināsies un tuvosies nullei.

Kā redzat, lai atrisinātu ierobežojumu, funkcijā vienkārši jāaizstāj vērtība, pēc kuras tiekties X . Tomēr šis ir vienkāršākais gadījums. Bieži vien robežas atrašana nav tik acīmredzama. Robežās pastāv veida nenoteiktības 0/0 vai bezgalība/bezgalība . Ko darīt šādos gadījumos? Izmantojiet trikus!

Neskaidrības iekšienē

Formas bezgalība/bezgalība nenoteiktība

Lai ir ierobežojums:

Ja mēģināsim funkcijā aizstāt bezgalību, mēs iegūsim bezgalību gan skaitītājā, gan saucējā. Kopumā ir vērts teikt, ka šādu neskaidrību risināšanā ir zināms mākslas elements: jums ir jāpamana, kā jūs varat pārveidot funkciju tā, lai nenoteiktība pazustu. Mūsu gadījumā mēs dalām skaitītāju un saucēju ar X vecākajā pakāpē. Kas notiks?

No piemēra, kas jau tika apspriests iepriekš, mēs zinām, ka termini, kas satur x saucējā, parasti ir nulle. Tad ierobežojuma risinājums ir:

Lai atrisinātu veida nenoteiktības bezgalība/bezgalība daliet skaitītāju un saucēju ar X augstākajā pakāpē.

Starp citu! Mūsu lasītājiem tagad ir 10% atlaide

Cits nenoteiktības veids: 0/0

Kā vienmēr, vērtību aizstāšana funkcijā x=-1 dod 0 skaitītājā un saucējā. Paskatieties nedaudz uzmanīgāk, un jūs pamanīsit, ka skaitītājā ir kvadrātvienādojums. Atradīsim saknes un rakstīsim:

Samazināsim un iegūsim:

Tātad, ja jūs saskaraties ar veida nenoteiktību 0/0 – reizināt skaitītāju un saucēju.

Lai atvieglotu piemēru risināšanu, mēs piedāvājam tabulu ar dažu funkciju ierobežojumiem:

L'Hopital likums iekšā

Vēl viens spēcīgs veids, kā novērst abu veidu nenoteiktību. Kāda ir metodes būtība?

Ja limitā ir nenoteiktība, ņemiet skaitītāja un saucēja atvasinājumu, līdz nenoteiktība pazūd.

L'Hopital noteikums izskatās šādi:

Svarīgs punkts : robeža, kurā jāpastāv skaitītāja un saucēja atvasinājumiem skaitītāja un saucēja vietā.

Un tagad - reāls piemērs:

Pastāv tipiska nenoteiktība 0/0 . Ņemsim skaitītāja un saucēja atvasinājumus:

Voila, nenoteiktība tiek atrisināta ātri un eleganti.

Mēs ceram, ka jums izdosies šo informāciju lietderīgi pielietot praksē un rast atbildi uz jautājumu “kā atrisināt robežas augstākajā matemātikā”. Ja jums ir jāaprēķina secības robeža vai funkcijas robeža kādā punktā un šim darbam nav absolūti laika, sazinieties ar profesionālu studentu servisu, lai saņemtu ātru un detalizētu risinājumu.

Šajā tēmā mēs aplūkosim visas trīs iepriekš uzskaitītās ierobežojumu grupas ar iracionalitāti. Sāksim ar ierobežojumiem, kas satur nenoteiktību formā $\frac(0)(0)$.

Nenoteiktības atklāšana $\frac(0)(0)$.

Šāda veida standarta piemēru risinājums parasti sastāv no diviem posmiem:

Mēs atbrīvojamies no iracionalitātes, kas izraisīja nenoteiktību, reizinot ar tā saukto “konjugētā” izteiksmi;
Ja nepieciešams, faktorējiet izteiksmi skaitītājā vai saucējā (vai abos);
Mēs samazinām faktorus, kas rada nenoteiktību, un aprēķinām vēlamo limita vērtību.

Iepriekš izmantotais termins "konjugētā izteiksme" tiks detalizēti izskaidrots piemēros. Pagaidām nav iemesla pie tā sīkāk pakavēties. Kopumā jūs varat iet citu ceļu, neizmantojot konjugāta izteiksmi. Dažreiz labi izvēlēts aizstājējs var novērst neracionalitāti. Standarta testos šādi piemēri ir reti, tāpēc aizvietošanas izmantošanai mēs izskatīsim tikai vienu piemēru Nr. 6 (skat. šīs tēmas otro daļu).

Mums būs vajadzīgas vairākas formulas, kuras es pierakstīšu zemāk:

\begin(vienādojums) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(vienādojums) \begin(vienādojums) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2) +ab+b^2) \beigas(vienādojums) \begin(vienādojums) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \beigas(vienādojums) \begin (vienādojums) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\beigas(vienādojums)

Turklāt mēs pieņemam, ka lasītājs zina kvadrātvienādojumu risināšanas formulas. Ja $x_1$ un $x_2$ ir kvadrātiskā trinoma $ax^2+bx+c$ saknes, tad to var faktorizēt, izmantojot šādu formulu:

\begin(vienādojums) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(vienādojums)

Formulas (1)-(5) ir pilnīgi pietiekamas, lai atrisinātu standarta uzdevumus, pie kurām mēs tagad pāriesim.

Piemērs Nr.1

Atrodiet $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Kopš $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ un $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, tad dotajā limitā mums ir formas $\frac(0)(0)$ nenoteiktība. Atšķirība $\sqrt(7-x)-2$ neļauj mums atklāt šo nenoteiktību. Lai atbrīvotos no šādām iracionalitātēm, tiek izmantota reizināšana ar tā saukto “konjugēto izteiksmi”. Tagad mēs apskatīsim, kā darbojas šāda reizināšana. Reiziniet $\sqrt(7-x)-2$ ar $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Lai atvērtu iekavas, izmantojiet , aizstājot $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ minētās formulas labajā pusē:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Kā redzat, ja reizinat skaitītāju ar $\sqrt(7-x)+2$, tad sakne (t.i., iracionalitāte) skaitītājā pazudīs. Šī izteiksme $\sqrt(7-x)+2$ būs konjugāts uz izteiksmi $\sqrt(7-x)-2$. Tomēr mēs nevaram vienkārši reizināt skaitītāju ar $\sqrt(7-x)+2$, jo tas mainīs daļu $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$ zem ierobežojuma. . Vienlaicīgi jāreizina gan skaitītājs, gan saucējs:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Tagad atcerieties, ka $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ un atveriet iekavas. Un pēc iekavu atvēršanas un nelielas transformācijas $3-x=-(x-3)$ mēs samazinām daļu par $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\līdz 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Nenoteiktība $\frac(0)(0)$ ir pazudusi. Tagad jūs varat viegli iegūt atbildi uz šo piemēru:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Es atzīmēju, ka konjugētā izteiksme var mainīt savu struktūru — atkarībā no tā, kāda veida iracionalitāte tai jānoņem. Piemēros Nr. 4 un Nr. 5 (skatiet šīs tēmas otro daļu) tiks izmantots cita veida konjugāta izteiksme.

Atbilde: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Piemērs Nr.2

Atrodiet $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Kopš $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ un $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, tad mēs nodarbojas ar formas $\frac(0)(0)$ nenoteiktību. Atbrīvosimies no iracionalitātes šīs frakcijas saucējā. Lai to izdarītu, mēs pievienojam gan skaitļa $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ skaitītāju un saucēju. izteiksme $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugēta ar saucēju:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Atkal, tāpat kā piemērā Nr. 1, jums ir jāizmanto iekavas, lai izvērstu. Minētās formulas labajā pusē aizstājot $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$, iegūstam šādu saucēja izteiksmi:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ pa labi)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\right)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\right)^2=x^2+5-(7x) ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Atgriezīsimies pie mūsu robežas:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x) ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

Piemērā Nr. 1 gandrīz uzreiz pēc reizināšanas ar konjugāta izteiksmi daļa tika samazināta. Šeit pirms samazināšanas jums būs jāfaktorizē izteiksmes $3x^2-5x-2$ un $x^2-4$ un tikai tad jāturpina samazināt. Lai faktorētu izteiksmi $3x^2-5x-2$, jāizmanto . Vispirms atrisināsim kvadrātvienādojumu $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(līdzināts) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(līdzināts) $$

Aizstājot $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ ar , mēs iegūsim:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Tagad ir pienācis laiks faktorizēt izteiksmi $x^2-4$. Izmantosim , aizstājot $a=x$, $b=2$:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Izmantosim iegūtos rezultātus. Tā kā $x^2-4=(x-2)(x+2)$ un $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, tad:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x) ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Samazinot ar iekavu $x-2$, mēs iegūstam:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Visi! Nenoteiktība ir pazudusi. Vēl viens solis, un mēs nonākam pie atbildes:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Atbilde: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4) $.

Nākamajā piemērā apsveriet gadījumu, kad iracionalitāte būs gan skaitītājā, gan daļskaitļa saucējā.

Piemērs Nr.3

Atrodiet $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Kopš $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ un $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, tad mums ir formas $ nenoteiktība \frac (0)(0)$. Tā kā šajā gadījumā saknes ir gan saucējā, gan skaitītājā, lai atbrīvotos no nenoteiktības, jums būs jāreizina ar divām iekavām uzreiz. Pirmkārt, izteiksmei $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ konjugējieties ar skaitītāju. Un, otrkārt, izteiksmei $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjugējiet ar saucēju.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(līdzināts) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(līdzināts) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Izteiksmei $x^2-8x+15$ mēs iegūstam:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(līdzināts) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10) (2) = 5. \end(līdzināts)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Iegūto paplašinājumu $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ un $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ aizstāšana ierobežojumā tiks izskatīts:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2) -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ kvadrāts(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\līdz 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Atbilde: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

Nākamajā (otrajā) daļā mēs apskatīsim vēl pāris piemērus, kuros konjugāta izteiksmei būs cita forma nekā iepriekšējās problēmās. Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka konjugāta izteiksmes izmantošanas mērķis ir atbrīvoties no iracionalitātes, kas rada nenoteiktību.

Elementārās funkcijas un to grafiki.

Galvenās elementārās funkcijas ir: jaudas funkcija, eksponenciālā funkcija, logaritmiskā funkcija, trigonometriskās funkcijas un apgrieztās trigonometriskās funkcijas, kā arī polinoms un racionālā funkcija, kas ir divu polinomu attiecība.

Elementārfunkcijās ietilpst arī tās funkcijas, kuras iegūst no elementārajām, pielietojot četras aritmētiskās pamatoperācijas un veidojot kompleksu funkciju.

Elementāro funkciju grafiki

	Taisne- lineāras funkcijas grafiks y = cirvis + b. Funkcija y monotoni palielinās, ja a > 0, un samazinās, ja a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabola- kvadrātveida trinoma funkcijas grafiks y = ax 2 + bx + c. Tam ir vertikāla simetrijas ass. Ja a > 0, ir minimums, ja a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0
	Hiperbola- funkcijas grafiks. Kad a > O tas atrodas I un III ceturksnī, kad a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) vai y - - x(a< 0).
	Eksponenciālā funkcija. Izstādes dalībnieks(eksponenciāla funkcija bāzei e) y = e x. (Vēl viena pareizrakstība y = exp(x)). Asimptote ir abscisu ass.
	Logaritmiskā funkcija y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Sinusa vilnis- periodiska funkcija ar periodu T = 2π

Funkciju ierobežojums.

Funkcijai y=f(x) ir skaitlis A kā ierobežojums, jo x tiecas uz a, ja jebkuram skaitlim ε › 0 ir skaitlis δ › 0, lai | y – A | ‹ ε ja |x - a| ‹ δ,

vai lim y = A

Funkciju nepārtrauktība.

Funkcija y=f(x) ir nepārtraukta punktā x = a, ja lim f(x) = f(a), t.i.

funkcijas robeža punktā x = a ir vienāda ar funkcijas vērtību dotajā punktā.

Funkciju robežu atrašana.

Pamatteorēmas par funkciju robežām.

1. Konstantas vērtības robeža ir vienāda ar šo nemainīgo vērtību:

2. Algebriskās summas robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu algebrisko summu:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Vairāku funkciju reizinājuma robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu reizinājumu:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Divu funkciju koeficienta robeža ir vienāda ar šo funkciju robežu koeficientu, ja saucēja robeža nav vienāda ar 0:

lim------- = ----------

Pirmā ievērojamā robeža: lim --------- = 1

Otrā ievērojamā robeža: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Funkciju robežu atrašanas piemēri.

5.1. Piemērs:

Jebkurš ierobežojums sastāv no trim daļām:

1) labi zināmā ierobežojuma ikona.

2) Ieraksti zem ierobežojuma ikonas. Ieraksts skan “X ir tendence uz vienu”. Visbiežāk tas ir x, lai gan “x” vietā var būt jebkurš cits mainīgais. Viena vietā var būt pilnīgi jebkurš skaitlis, kā arī bezgalība 0 vai .

3) Funkcijas zem ierobežojuma zīmes, šajā gadījumā .

Pats ieraksts skan šādi: "funkcijas kā x robežai ir tendence uz vienotību."

Ļoti svarīgs jautājums – ko nozīmē izteiciens “x”? tiecas uz vienu"? Izteiciens "x" tiecas uz vienu” jāsaprot šādi: “x” konsekventi pārņem vērtības kas tuvojas vienotībai bezgala tuvu un praktiski ar to sakrīt.

Kā atrisināt iepriekš minēto piemēru? Pamatojoties uz iepriekš minēto, jums vienkārši jāaizstāj viens funkcijā zem ierobežojuma zīmes:

Tātad pirmais noteikums : Ja ir noteikts ierobežojums, vispirms vienkārši pievienojiet skaitli funkcijai.

5.2. Piemērs ar bezgalību:

Noskaidrosim, kas tas ir? Tas ir gadījumā, ja tas palielinās bez ierobežojumiem.

Tātad ja , tad funkcija mēdz mīnus bezgalība:

Saskaņā ar mūsu pirmo noteikumu “X” vietā mēs funkcijā aizstājam bezgalība un mēs saņemam atbildi.

5.3. Vēl viens piemērs ar bezgalību:

Atkal mēs sākam palielināties līdz bezgalībai un aplūkojam funkcijas darbību.
Secinājums: funkcija palielinās neierobežoti

5.4. Piemēru sērija:

Mēģiniet pats garīgi analizēt šādus piemērus un atrisināt vienkāršākos ierobežojumu veidus:

, , , , , , , , ,

Kas jums ir jāatceras un jāsaprot no iepriekš minētā?

Ja ir noteikts ierobežojums, vispirms vienkārši pievienojiet skaitli funkcijai. Tajā pašā laikā jums ir jāsaprot un nekavējoties jāatrisina vienkāršākie ierobežojumi, piemēram, , , utt.

6. Robežas ar tipa nenoteiktību un metode to risināšanai.

Tagad mēs apsvērsim ierobežojumu grupu, kad , un funkcija ir daļa, kuras skaitītājs un saucējs satur polinomus.

6.1. Piemērs:

Aprēķināt limitu

Saskaņā ar mūsu likumu mēs cenšamies funkcijā aizstāt bezgalību. Ko mēs iegūstam augšpusē? Bezgalība. Un kas notiek zemāk? Arī bezgalība. Tādējādi mums ir tā sauktā sugas nenoteiktība. Varētu domāt, ka = 1, un atbilde ir gatava, bet vispārīgā gadījumā tas nepavisam tā nav, un jums ir jāpiemēro kāda risināšanas tehnika, ko mēs tagad apsvērsim.

Kā atrisināt šāda veida ierobežojumus?

Vispirms skatāmies uz skaitītāju un atrodam lielāko jaudu:

Skaitītāja vadošais spēks ir divi.

Tagad mēs skatāmies uz saucēju un atrodam to arī ar augstāko pakāpi:

Augstākā saucēja pakāpe ir divi.

Tad mēs izvēlamies skaitītāja un saucēja lielāko pakāpju: šajā piemērā tie ir vienādi un vienādi ar diviem.

Tātad risinājuma metode ir šāda: lai atklātu nenoteiktību skaitītājs un saucējs jādala ar vecākajā pakāpē.

Tādējādi atbilde nav 1.

Piemērs

Atrodiet robežu

Atkal skaitītājā un saucējā mēs atrodam visaugstākajā pakāpē:

Maksimālais grāds skaitītājā: 3

Maksimālā pakāpe saucējā: 4

Izvēlieties lielākais vērtība, šajā gadījumā četri.
Saskaņā ar mūsu algoritmu, lai atklātu nenoteiktību, mēs dalām skaitītāju un saucēju ar .

Piemērs

Atrodiet robežu

Maksimālā “X” pakāpe skaitītājā: 2

Maksimālā “X” pakāpe saucējā: 1 (var rakstīt kā)
Lai atklātu nenoteiktību, skaitītājs un saucējs jāsadala ar . Galīgais risinājums varētu izskatīties šādi:

Sadaliet skaitītāju un saucēju ar

Risinājums tiešsaistes funkciju ierobežojumi. Atrodiet funkcijas vai funkcionālās secības robežvērtību punktā, aprēķiniet galīgais funkcijas vērtība bezgalībā. skaitļu sērijas konverģences noteikšana un daudz ko citu var paveikt, pateicoties mūsu tiešsaistes pakalpojumam -. Mēs ļaujam ātri un precīzi atrast funkciju ierobežojumus tiešsaistē. Jūs pats ievadāt funkcijas mainīgo un robežu, līdz kurai tas tiecas, un mūsu serviss veic visus aprēķinus jūsu vietā, sniedzot precīzu un vienkāršu atbildi. Un priekš ierobežojumu atrašana tiešsaistē varat ievadīt gan skaitliskās sērijas, gan analītiskās funkcijas, kas satur konstantes burtiskā izteiksmē. Šajā gadījumā funkcijas atrastā robeža saturēs šīs konstantes kā konstantes argumentus izteiksmē. Mūsu pakalpojums atrisina visas sarežģītas atrašanas problēmas ierobežojumi tiešsaistē, pietiek norādīt funkciju un punktu, kurā nepieciešams aprēķināt funkcijas robežvērtība. Aprēķinot tiešsaistes ierobežojumi, to risināšanai varat izmantot dažādas metodes un noteikumus, vienlaikus pārbaudot iegūto rezultātu ar ierobežojumu risināšana tiešsaistē vietnē www.vietne, kas novedīs pie veiksmīgas uzdevuma izpildes - jūs izvairīsities no savām kļūdām un pārrakstīšanās kļūdām. Vai arī varat mums pilnībā uzticēties un izmantot mūsu rezultātu savā darbā, netērējot papildu pūles un laiku, lai patstāvīgi aprēķinātu funkcijas limitu. Mēs atļaujam ievadīt robežvērtības, piemēram, bezgalību. Ir jāievada skaitļu virknes kopīgs dalībnieks un www.vietne aprēķinās vērtību ierobežojums tiešsaistē līdz plus vai mīnus bezgalībai.

Viens no matemātiskās analīzes pamatjēdzieniem ir funkciju ierobežojums Un secības ierobežojums punktā un bezgalībā ir svarīgi prast pareizi atrisināt robežas. Izmantojot mūsu pakalpojumu, tas nebūs grūti. Tiek pieņemts lēmums ierobežojumi tiešsaistē dažu sekunžu laikā atbilde ir precīza un pilnīga. Matemātiskās analīzes izpēte sākas ar pāreja uz robežu, robežas tiek izmantoti gandrīz visās augstākās matemātikas jomās, tāpēc ir lietderīgi, ja pa rokai ir serveris tiešsaistes ierobežojumu risinājumi, kas ir vietne.