Vienkāršojiet trigonometriskās izteiksmes tiešsaistē. Trigonometrisko izteiksmju identiskas transformācijas

IN identitātes transformācijas trigonometriskās izteiksmes Var izmantot šādus algebriskos paņēmienus: identisku terminu saskaitīšana un atņemšana; kopējā faktora izlikšana iekavās; reizināšana un dalīšana ar to pašu lielumu; saīsināto reizināšanas formulu pielietošana; pilna kvadrāta izvēle; kvadrātiskā trinoma faktorēšana; jaunu mainīgo lielumu ieviešana, lai vienkāršotu transformācijas.

Konvertējot trigonometriskās izteiksmes, kas satur daļskaitļus, varat izmantot proporcijas īpašības, daļskaitļu samazināšanu vai daļskaitļu samazināšanu līdz kopsaucējam. Turklāt jūs varat izmantot visas daļskaitļa daļas atlasi, reizinot skaitītāju un saucēju ar tādu pašu summu, kā arī, ja iespējams, ņemt vērā skaitītāja vai saucēja viendabīgumu. Ja nepieciešams, daļu var attēlot kā vairāku vienkāršāku daļskaitļu summu vai starpību.

Turklāt, piemērojot visas nepieciešamās metodes trigonometrisko izteiksmju konvertēšanai, ir pastāvīgi jāņem vērā konvertējamo izteiksmju pieļaujamo vērtību diapazons.

Apskatīsim dažus piemērus.

1. piemērs.

Aprēķināt A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ grēks (3π/2 – x) grēks (2x –5π/2)) 2

Risinājums.

No samazinājuma formulām izriet:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

No kurienes, pamatojoties uz argumentu pievienošanas formulām un galveno trigonometrisko identitāti, mēs iegūstam

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Atbilde: 1.

2. piemērs.

Pārvērtiet izteiksmi M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ par reizinājumu.

Risinājums.

No formulām argumentu pievienošanai un formulām trigonometrisko funkciju summas pārvēršanai produktā pēc atbilstošas ​​grupēšanas mēs esam ieguvuši

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Atbilde: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

3. piemērs.

Parādiet, ka izteiksme A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) ņem vienu visiem x no R un tāda pati nozīme. Atrodiet šo vērtību.

Risinājums.

Šeit ir divi veidi, kā atrisināt šo problēmu. Pielietojot pirmo metodi, izolējot pilnu kvadrātu un izmantojot atbilstošās trigonometriskās pamatformulas, iegūstam

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =

Grēks 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Atrisinot uzdevumu otrajā veidā, apsveriet A kā x funkciju no R un aprēķiniet tā atvasinājumu. Pēc pārvērtībām mēs iegūstam

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x) + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + grēks ((x + π/6) + (x – π/6)) – grēks 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + grēks (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = grēks 2x – grēks 2x ≡ 0.

Tādējādi, ņemot vērā intervālā diferencējamas funkcijas noturības kritēriju, mēs secinām, ka

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 — cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Atbilde: A = 3/4 par x € R.

Galvenās trigonometriskās identitātes pierādīšanas metodes ir:

A) identitātes kreisās puses samazināšana uz labo pusi, izmantojot atbilstošas ​​transformācijas;
b) identitātes labās puses samazināšana uz kreiso pusi;
V) identitātes labās un kreisās puses samazināšana līdz vienai formai;
G) līdz nullei samazinot atšķirību starp pierādāmās identitātes kreiso un labo pusi.

4. piemērs.

Pārbaudiet, vai cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Risinājums.

Pārveidojot šīs identitātes labo pusi, izmantojot atbilstošās trigonometriskās formulas, mēs iegūstam

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Identitātes labā puse ir samazināta uz kreiso pusi.

5. piemērs.

Pierādīt, ka sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, ja α, β, γ ir kāda trijstūra iekšējie leņķi.

Risinājums.

Ņemot vērā, ka α, β, γ ir kāda trīsstūra iekšējie leņķi, mēs iegūstam, ka

α + β + γ = π un līdz ar to γ ​​= π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + grēks 2 β + grēks 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + grēks 2 β + grēks 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Sākotnējā vienlīdzība ir pierādīta.

6. piemērs.

Pierādīt, ka, lai viens no trijstūra leņķiem α, β, γ būtu vienāds ar 60°, nepieciešams un pietiekami, ka sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Risinājums.

Šīs problēmas nosacījums ietver gan nepieciešamības, gan pietiekamības pierādīšanu.

Vispirms pierādīsim nepieciešamība.

To var parādīt

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Tādējādi, ņemot vērā, ka cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, iegūstam, ja viens no leņķiem α, β vai γ ir vienāds ar 60°, tad

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 un līdz ar to sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Tagad pierādīsim atbilstība norādītais nosacījums.

Ja sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, tad cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, un tāpēc

vai nu cos (3α/2) = 0, vai cos (3β/2) = 0, vai cos (3γ/2) = 0.

Tāpēc

vai 3α/2 = π/2 + πk, t.i. α = π/3 + 2πk/3,

vai 3β/2 = π/2 + πk, t.i. β = π/3 + 2πk/3,

vai 3γ/2 = π/2 + πk,

tie. γ = π/3 + 2πk/3, kur k ϵ Z.

No tā, ka α, β, γ ir trijstūra leņķi, mums ir

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Tāpēc, ja α = π/3 + 2πk/3 vai β = π/3 + 2πk/3 vai

γ = π/3 + 2πk/3 no visiem kϵZ ir piemērots tikai k = 0.

No tā izriet, ka vai nu α = π/3 = 60°, vai β = π/3 = 60°, vai γ = π/3 = 60°.

Apgalvojums ir pierādīts.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā vienkāršot trigonometriskās izteiksmes?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Sadaļas: Matemātika

Klase: 11

1. nodarbība

Temats: 11. klase (gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam)

Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana.

Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšana. (2 stundas)

Mērķi:

• Sistematizēt, vispārināt, paplašināt studentu zināšanas un prasmes, kas saistītas ar trigonometrijas formulu lietošanu un vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšanu.

Aprīkojums nodarbībām:

Nodarbības struktūra:

1. Organizatoriskais brīdis
2. Testēšana klēpjdatoros. Rezultātu diskusija.
3. Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana
4. Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšana
5. Patstāvīgs darbs.
6. Nodarbības kopsavilkums. Mājas darba uzdevuma skaidrojums.

1. Organizatoriskais moments. (2 minūtes.)

Skolotājs sveicina klātesošos, izziņo stundas tēmu, atgādina, ka viņiem iepriekš tika dots uzdevums atkārtot trigonometrijas formulas, un sagatavo skolēnus testēšanai.

2. Testēšana. (15 min + 3 min diskusija)

Mērķis ir pārbaudīt zināšanas par trigonometriskajām formulām un prasmi tās pielietot. Katram skolēnam uz galda ir klēpjdators ar testa versiju.

Var būt daudz iespēju, es sniegšu vienu no tām piemēru:

I variants.

Vienkāršojiet izteiksmes:

a) trigonometriskās pamatidentitātes

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) saskaitīšanas formulas

3. sin5x - sin3x;

c) produkta pārvēršana summā

6. 2sin8y cos3y;

d) dubultleņķa formulas

7. 2sin5x cos5x;

e) formulas pusleņķiem

f) trīskāršā leņķa formulas

g) universālā aizstāšana

h) pakāpes samazinājums

16. cos 2 (3x/7);

Skolēni savas atbildes redz klēpjdatorā blakus katrai formulai.

Darbu uzreiz pārbauda dators. Rezultāti tiek parādīti uz liela ekrāna, lai ikviens to varētu redzēt.

Tāpat pēc darba pabeigšanas skolēnu portatīvajos datoros tiek parādītas pareizās atbildes. Katrs skolēns redz, kur pieļauta kļūda un kādas formulas viņam jāatkārto.

3. Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana. (25 min.)

Mērķis ir atkārtot, praktizēt un nostiprināt trigonometrijas pamatformulu lietošanu. Problēmu risināšana B7 no vienotā valsts eksāmena.

Šajā posmā klasi ir ieteicams sadalīt spēcīgu studentu grupās (strādā patstāvīgi ar sekojošām pārbaudēm) un vājos studentos, kuri strādā kopā ar skolotāju.

Spēcīgo studentu uzdevums (iepriekš sagatavots uz drukāta pamata). Galvenais uzsvars tiek likts uz samazinājuma un dubultleņķa formulām saskaņā ar vienoto valsts eksāmenu 2011.

Vienkāršojiet izteicienus (spēcīgiem studentiem):

Tajā pašā laikā skolotājs strādā ar vājiem skolēniem, apspriežot un risinot uzdevumus uz ekrāna pēc skolēnu diktāta.

Aprēķināt:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Vienkāršot:

Pienāca laiks apspriest spēcīgās grupas darba rezultātus.

Atbildes parādās uz ekrāna, kā arī, izmantojot videokameru, tiek parādīti 5 dažādu skolēnu darbi (katram viens uzdevums).

Vāja grupa redz risinājuma stāvokli un metodi. Notiek diskusija un analīze. Izmantojot tehniskos līdzekļus, tas notiek ātri.

4. Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšana. (30 min.)

Mērķis ir atkārtot, sistematizēt un vispārināt vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājumu un pierakstīt to saknes. Problēmas B3 risinājums.

Jebkurš trigonometriskais vienādojums, neatkarīgi no tā, kā mēs to atrisinām, noved pie vienkāršākā.

Veicot uzdevumu, skolēniem jāpievērš uzmanība speciālo gadījumu vienādojumu sakņu un vispārīgās formas rakstīšanai un sakņu izvēlei pēdējā vienādojumā.

Atrisiniet vienādojumus:

Pierakstiet mazāko pozitīvo sakni kā savu atbildi.

5. Patstāvīgais darbs (10 min.)

Mērķis ir pārbaudīt iegūtās prasmes, identificēt problēmas, kļūdas un to novēršanas veidus.

Daudzlīmeņu darbs tiek piedāvāts pēc studenta izvēles.

Iespēja "3"

1) Atrodiet izteiksmes vērtību

2) Vienkāršojiet izteiksmi 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Atrisiniet vienādojumu

Iespēja "4"

1) Atrodiet izteiksmes vērtību

2) Atrisiniet vienādojumu Pieraksti savā atbildē mazāko pozitīvo sakni.

Iespēja "5"

1) Atrast tanα ja

2) Atrodiet vienādojuma sakni Pierakstiet mazāko pozitīvo sakni kā savu atbildi.

6. Nodarbības kopsavilkums (5 min.)

Skolotāja rezumē, ka stundas laikā atkārtoja un pastiprināja trigonometriskās formulas un risināja vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus.

Mājasdarbi tiek uzdoti (iepriekš sagatavoti drukātā veidā) ar izlases veida pārbaudi nākamajā nodarbībā.

Atrisiniet vienādojumus:

9)

10) Atbildē norādiet mazāko pozitīvo sakni.

2. nodarbība

Temats: 11. klase (gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam)

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes. Sakņu izvēle. (2 stundas)

Mērķi:

• Vispārināt un sistematizēt zināšanas par dažāda veida trigonometrisko vienādojumu risināšanu.
• Veicināt skolēnu matemātiskās domāšanas attīstību, spēju novērot, salīdzināt, vispārināt un klasificēt.
• Mudiniet skolēnus pārvarēt grūtības garīgās darbības procesā, paškontroli un savu darbību pašpārbaudi.

Aprīkojums nodarbībām: KRMu, portatīvie datori katram skolēnam.

Nodarbības struktūra:

1. Organizatoriskais brīdis
2. Diskusija par d/z un sevi. darbs no pēdējās nodarbības
3. Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metožu apskats.
4. Trigonometrisko vienādojumu risināšana
5. Sakņu izvēle trigonometriskajos vienādojumos.
6. Patstāvīgs darbs.
7. Nodarbības kopsavilkums. Mājasdarbs.

1. Organizatoriskais brīdis (2 min.)

Skolotājs sveicina klātesošos, paziņo stundas tēmu un darba plānu.

2. a) Mājas darbu analīze (5 min.)

Mērķis ir pārbaudīt izpildi. Viens darbs tiek parādīts uz ekrāna, izmantojot videokameru, pārējie tiek selektīvi savākti skolotāja pārbaudei.

b) Patstāvīgā darba analīze (3 min.)

Mērķis ir analizēt kļūdas un norādīt veidus, kā tās pārvarēt.

Atbildes un risinājumi ir uz ekrāna, studenti jau iepriekš izsniedz savus darbus. Analīze notiek ātri.

3. Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metožu apskats (5 min.)

Mērķis ir atsaukt atmiņā metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.

Pajautājiet skolēniem, kādas trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes viņi zina. Uzsveriet, ka pastāv tā sauktās pamata (bieži izmantotās) metodes:

• mainīga nomaiņa,
• faktorizēšana,
• viendabīgi vienādojumi,

un ir piemērotas metodes:

• izmantojot formulas, lai pārvērstu summu reizinājumā un reizinājumu summā,
• saskaņā ar pakāpes samazināšanas formulām,
• universāla trigonometriskā aizstāšana
• palīgleņķa ieviešana,
• reizināšana ar kādu trigonometrisku funkciju.

Jāatgādina arī, ka vienu vienādojumu var atrisināt dažādos veidos.

4. Trigonometrisko vienādojumu atrisināšana (30 min.)

Mērķis ir vispārināt un nostiprināt zināšanas un prasmes par šo tēmu, sagatavoties C1 risinājumam no vienotā valsts eksāmena.

Uzskatu, ka būtu ieteicams kopā ar studentiem atrisināt vienādojumus katrai metodei.

Skolēns diktē risinājumu, skolotājs to pieraksta planšetdatorā, un viss process tiek parādīts ekrānā. Tas ļaus ātri un efektīvi atsaukt atmiņā iepriekš aplūkoto materiālu.

Atrisiniet vienādojumus:

1) aizstājot mainīgo 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizācija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) viendabīgi vienādojumi sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) summas pārvēršana reizinājumā cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) reizinājumu pārvēršot summā 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) pakāpes sin2x samazināšana - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) universālā trigonometriskā aizstāšana sinx + 5cosx + 5 = 0.

Risinot šo vienādojumu, jāņem vērā, ka šīs metodes izmantošana noved pie definīcijas diapazona sašaurināšanās, jo sinusu un kosinusu aizstāj ar tg(x/2). Tāpēc pirms atbildes rakstīšanas jums jāpārbauda, ​​vai skaitļi no kopas π + 2πn, n Z ir šī vienādojuma zirgi.

8) palīgleņķa ieviešana √3sinx + cosx - √2 = 0

9) reizināšana ar kādu trigonometrisku funkciju cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonometrisko vienādojumu sakņu izvēle (20 min.)

Tā kā sīvas konkurences apstākļos, iestājoties augstskolās, ar eksāmena pirmās daļas atrisināšanu vien nepietiek, lielākajai daļai studentu uzmanība jāpievērš otrās daļas (C1, C2, C3) uzdevumiem.

Tāpēc šī nodarbības posma mērķis ir atcerēties iepriekš apgūto materiālu un sagatavoties vienotā valsts eksāmena 2011 uzdevuma C1 risināšanai.

Ir trigonometriski vienādojumi, kuros, rakstot atbildi, ir jāizvēlas saknes. Tas ir saistīts ar dažiem ierobežojumiem, piemēram: daļdaļas saucējs nav vienāds ar nulli, izteiksme zem pāra saknes nav negatīva, izteiksme zem logaritma zīmes ir pozitīva utt.

Šādi vienādojumi tiek uzskatīti par paaugstinātas sarežģītības vienādojumiem un vienotā valsts eksāmena versijā ir atrodami otrajā daļā, proti, C1.

Atrisiniet vienādojumu:

Daļa ir vienāda ar nulli, ja tad izmantojot vienības apli, mēs atlasīsim saknes (skat. 1. attēlu)

1. attēls.

iegūstam x = π + 2πn, n Z

Atbilde: π + 2πn, n Z

Ekrānā sakņu atlase tiek parādīta uz apļa krāsainā attēlā.

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli, un loks nezaudē savu nozīmi. Tad

Izmantojot vienības apli, mēs izvēlamies saknes (sk. 2. attēlu)

Video nodarbība “Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana” paredzēta, lai attīstītu skolēnu prasmes trigonometrisko uzdevumu risināšanā, izmantojot pamata trigonometriskās identitātes. Video nodarbības laikā tiek apspriesti trigonometrisko identitāšu veidi un piemēri problēmu risināšanai, izmantojot tos. Izmantojot uzskates līdzekļus, skolotājam ir vieglāk sasniegt stundas mērķus. Spilgts materiāla izklāsts palīdz atcerēties svarīgus punktus. Animācijas efektu un balss pārraides izmantošana ļauj pilnībā aizstāt skolotāju materiāla izskaidrošanas posmā. Tādējādi, izmantojot šo uzskates līdzekli matemātikas stundās, skolotājs var paaugstināt mācīšanas efektivitāti.

Video nodarbības sākumā tiek izziņota tās tēma. Tad mēs atceramies iepriekš pētītās trigonometriskās identitātes. Ekrānā tiek parādītas vienādības sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kur t≠π/2+πk kϵZ, ctg t=cos t/sin t, pareizi t≠πk, kur kϵZ, tg t· ctg t=1, ja t≠πk/2, kur kϵZ, ko sauc par pamata trigonometriskajām identitātēm. Jāatzīmē, ka šīs identitātes bieži tiek izmantotas tādu problēmu risināšanā, kurās nepieciešams pierādīt vienlīdzību vai vienkāršot izteiksmi.

Tālāk mēs aplūkojam piemērus šo identitāšu pielietošanai problēmu risināšanā. Pirmkārt, tiek piedāvāts apsvērt izteicienu vienkāršošanas problēmu risināšanu. 1. piemērā ir jāvienkāršo izteiksme cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Lai atrisinātu piemēru, vispirms iekavās izņemiet kopējo koeficientu cos 2 t. Šīs iekavās esošās transformācijas rezultātā tiek iegūta izteiksme 1- cos 2 t, kuras vērtība no trigonometrijas galvenās identitātes ir vienāda ar sin 2 t. Pēc izteiksmes pārveidošanas redzams, ka no iekavām var izņemt vēl vienu kopīgu faktoru sin 2 t, pēc kura izteiksme iegūst formu sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). No tās pašas pamatidentitātes iegūstam izteiksmes vērtību iekavās, kas vienāda ar 1. Vienkāršošanas rezultātā iegūstam cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

2. piemērā ir jāvienkāršo izteiksme izmaksas/(1- sint)+ izmaksas/(1+ sint). Tā kā abu daļskaitļu skaitītāji satur izteiksmes izmaksas, to var izņemt no iekavām kā kopējo faktoru. Tad iekavās esošās daļas tiek reducētas līdz kopsaucējam, reizinot (1- sint)(1+ sint). Pēc līdzīgu terminu ienesšanas skaitītājs paliek 2, bet saucējs 1 - sin 2 t. Ekrāna labajā pusē tiek atsaukta trigonometriskā pamata identitāte sin 2 t+cos 2 t=1. Izmantojot to, atrodam daļskaitļa cos 2 t saucēju. Pēc frakcijas samazināšanas iegūstam izteiksmes izmaksu/(1- sint)+ izmaksas/(1+ sint)=2/izmaksas vienkāršotu formu.

Tālāk tiek aplūkoti identitāšu pierādījumu piemēri, kuros izmantotas iegūtās zināšanas par trigonometrijas pamatidentitātēm. 3. piemērā ir jāpierāda identitāte (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Ekrāna labajā pusē ir redzamas trīs identitātes, kas būs nepieciešamas pierādījumam - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t un tg t=sin t/cos t ar ierobežojumiem. Lai pierādītu identitāti, vispirms tiek atvērtas iekavas, pēc kurām tiek veidots produkts, kas atspoguļo galvenās trigonometriskās identitātes izteiksmi tg t·ctg t=1. Pēc tam atbilstoši identitātei no kotangensa definīcijas tiek pārveidots ctg 2 t. Pārveidojumu rezultātā tiek iegūta izteiksme 1-cos 2 t. Izmantojot galveno identitāti, mēs atrodam izteiksmes nozīmi. Tādējādi ir pierādīts, ka (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

4. piemērā jāatrod izteiksmes tg 2 t+ctg 2 t vērtība, ja tg t+ctg t=6. Lai aprēķinātu izteiksmi, vispirms kvadrātā vienādības labās un kreisās puses (tg t+ctg t) 2 =6 2. Ekrāna labajā pusē tiek atgādināta saīsinātā reizināšanas formula. Pēc iekavu atvēršanas izteiksmes kreisajā pusē veidojas summa tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, kuras transformācijai var pielietot kādu no trigonometriskajām identitātēm tg t·ctg t=1 , kura forma tiek atgādināta ekrāna labajā pusē. Pēc pārveidošanas tiek iegūta vienādība tg 2 t+ctg 2 t=34. Vienādības kreisā puse sakrīt ar uzdevuma nosacījumu, tāpēc atbilde ir 34. Problēma ir atrisināta.

Video nodarbību “Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana” ieteicams izmantot tradicionālās skolas matemātikas stundā. Materiāls noderēs arī skolotājiem, kuri nodrošina tālmācību. Lai attīstītu prasmes trigonometrisko uzdevumu risināšanā.

TEKSTA DEKODĒŠANA:

"Trigonometrisko izteiksmju vienkāršošana."

Vienlīdzības

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinuss kvadrāts te plus kosinuss kvadrāts te ir vienāds ar vienu)

2)tgt =, ja t ≠ + πk, kϵZ (tangenss te ir vienāds ar sinusa te attiecību pret kosinusu te, kur te nav vienāds ar pi ar divi plus pi ka, ka pieder pie zet)

3)ctgt = , ja t ≠ πk, kϵZ (kotangenta te ir vienāda ar kosinusa te attiecību pret sinusu te, kur te nav vienāds ar pi ka, ka pieder pie zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 pie t ≠ , kϵZ (pieskares te reizinājums ar kotangentu te ir vienāds ar vienu, ja te nav vienāds ar maksimumu ka, dalīts ar divi, ka pieder pie zet)

sauc par pamata trigonometriskām identitātēm.

Tos bieži izmanto, lai vienkāršotu un pierādītu trigonometriskās izteiksmes.

Apskatīsim piemērus šo formulu izmantošanai, lai vienkāršotu trigonometriskās izteiksmes.

PIEMĒRS 1. Vienkāršojiet izteiksmi: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izteiksme kosinuss kvadrātā te mīnus ceturtās pakāpes kosinuss te plus ceturtās pakāpes sinuss te).

Risinājums. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(izņemam kopējo koeficientu kosinusu kvadrātā te, iekavās iegūstam atšķirību starp vienotību un kvadrātā kosinusu te, kas ir vienāda ar sinusu te kvadrātā ar pirmo identitāti. Iegūstam ceturtā pakāpju sinusa te summu no reizinājums kosinuss kvadrāts te un sinusa kvadrāts te Izņemam ārpus iekavām kopējo koeficientu sinusus kvadrāts te, iekavās iegūstam kosinusa un sinusa kvadrātu summu, kas pēc trigonometriskās pamatidentitātes ir vienāda ar 1 Rezultātā mēs iegūstam sinusa te).

PIEMĒRS 2. Vienkāršojiet izteiksmi: + .

(izteiksme ir divu daļskaitļu summa pirmā kosinusa te skaitītājā saucējā viens mīnus sinuss te, otrā kosinusa skaitītājā te otrā kosinusa saucējā plus sine te).

(Izņemsim kopējo koeficientu kosinusu te no iekavām, un iekavās mēs to savedīsim līdz kopsaucējam, kas ir viena mīnus sinusa te reizinājums ar vienu plus sinusus te.

Skaitītājā iegūstam: viens plus sinuss te plus viens mīnus sinuss te, dodam līdzīgus, skaitītājs ir vienāds ar divi pēc līdzīgu atnesšanas.

Saucējā var pielietot saīsināto reizināšanas formulu (kvadrātu starpība) un iegūt atšķirību starp vienību un sinusa te kvadrātu, kas saskaņā ar trigonometrisko pamatidentitāti

vienāds ar kosinusa te kvadrātu. Samazinot ar kosinusu te, mēs iegūstam galīgo atbildi: divi dalīti ar kosinusu te).

Apskatīsim piemērus šo formulu izmantošanai, pierādot trigonometriskās izteiksmes.

PIEMĒRS 3. Pierādiet identitāti (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (pieskares te un sinusa te kvadrātu starpības reizinājums ar kotangences te kvadrātu ir vienāds ar sine te).

Pierādījums.

Pārveidosim vienlīdzības kreiso pusi:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t

(Atvērsim iekavas; no iepriekš iegūtās attiecības zināms, ka pieskares te kvadrātu reizinājums ar kotangenti te ir vienāds ar vienu. Atgādināsim, ka kotangenta te ir vienāda ar kosinusa te attiecību pret sinusu te, kas nozīmē, ka kotangensa kvadrāts ir kosinusa te kvadrāta attiecība pret sinusa te kvadrātu.

Pēc samazināšanas par sinusa kvadrātu te iegūstam atšķirību starp vienotību un kosinusu kvadrātu te, kas ir vienāda ar sinusa kvadrātu te). Q.E.D.

PIEMĒRS 4. Atrodiet izteiksmes tg 2 t + ctg 2 t vērtību, ja tgt + ctgt = 6.

(tangences te un kotangences te kvadrātu summa, ja pieskares un kotangences summa ir seši).

Risinājums. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Izlīdzināsim abas sākotnējās vienādības puses:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (tangences te un kotangences te summas kvadrāts ir vienāds ar sešiem kvadrātiem). Atcerēsimies saīsinātās reizināšanas formulu: divu lielumu summas kvadrāts ir vienāds ar pirmā lieluma kvadrātu plus divreiz pirmā reizinājums ar otro plus otrās kvadrāts. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Iegūstam tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (pieskares kvadrātā te plus dubultā tangenses reizinājums ar kotangenti te plus kotangences kvadrāts te ir vienāds trīsdesmit seši) .

Tā kā pieskares te un kotangences te reizinājums ir vienāds ar vienu, tad tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (tangences te un kotangences te un divi kvadrātu summa ir vienāda ar trīsdesmit seši),