Sāciet zinātnē. Koordinātu plakne Koordinātu plakne, kā noteikt koordinātas

Ja plaknē izveidojam divas savstarpēji perpendikulāras skaitliskās asis: VĒRSIS Un OY, tad viņus sauks koordinātu asis. Horizontālā ass VĒRSIS sauca x-ass(ass x), vertikālā ass OY - y ass(ass y).

Punkts O, kas stāv asu krustpunktā, sauc izcelsmi. Tas ir nulles punkts abām asīm. Pozitīvie skaitļi tiek parādīti uz abscisu ass ar punktiem pa labi, bet uz ordinātu ass - uz augšu no nulles punkta. Negatīvie skaitļi tiek attēloti ar punktiem pa kreisi un uz leju no sākuma (punkti O). Tiek izsaukta plakne, uz kuras atrodas koordinātu asis koordinātu plakne.

Koordinātu asis sadala plakni četrās daļās, ko sauc ceturtdaļas vai kvadranti. Šos ceturkšņus pieņemts numurēt ar romiešu cipariem tādā secībā, kādā tie numurēti zīmējumā.

Punktu koordinātas plaknē

Ja ņemam patvaļīgu punktu koordinātu plaknē A un no tā novelciet perpendikulu uz koordinātu asīm, tad perpendikulu pamati atradīsies uz diviem skaitļiem. Tiek izsaukts skaitlis, uz kuru norāda vertikālais perpendikuls abscisu punkts A. Skaitlis, uz kuru norāda horizontālais perpendikuls, ir - punktu ordināta A.

Uz punkta abscisas zīmējuma A ir 3 un ordināta ir 5.

Abscisu un ordinātu sauc par konkrētā plaknes punkta koordinātām.

Punkta koordinātas ir ierakstītas iekavās pa labi no punkta apzīmējuma. Vispirms raksta abscisu, pēc tam ordinātu. Tātad ierakstiet A(3; 5) nozīmē, ka punkta abscisa A ir vienāds ar trīs, un ordināta ir piecas.

Punkta koordinātas ir skaitļi, kas nosaka tā atrašanās vietu plaknē.

Ja punkts atrodas uz x ass, tad tā ordināta ir nulle (piemēram, punkts B ar koordinātām -2 un 0). Ja punkts atrodas uz y ass, tad tā abscisa ir nulle (piemēram, punkts C ar koordinātām 0 un -4).

Izcelsme - punkts O- gan abscisa, gan ordināta ir vienāda ar nulli: O (0; 0).

Šo koordinātu sistēmu sauc taisnstūrveida vai Dekarta.

Šīs video nodarbības tēma: Koordinātu plakne.

Nodarbības mērķi un uzdevumi:

Pazīstams ar taisnstūra koordinātu sistēma plaknē
- iemācīties brīvi orientēties koordinātu plaknē
- veidot punktus atbilstoši tai dotajām koordinātām
- noteikt koordinātu plaknē atzīmēta punkta koordinātas
- labi uztver koordinātas pēc auss
- precīzi un precīzi veikt ģeometriskās konstrukcijas
- radošo spēju attīstība
- intereses celšana par tēmu

Termiņš " koordinātas"Atvasināts no latīņu vārda -" pasūtīts "

Lai norādītu punkta atrašanās vietu plaknē, tiek ņemtas divas perpendikulāras līnijas X un Y.

X ass — abscisa
Y ass y ass
Punkts O - izcelsme

Tiek izsaukta plakne, kurā norādīta koordinātu sistēma koordinātu plakne.

Katrs punkts M koordinātu plaknē atbilst skaitļu pārim: tā abscisei un ordinātai. Gluži pretēji, katrs skaitļu pāris atbilst vienam plaknes punktam, kuram šie skaitļi ir koordinātes.

Apskatītie piemēri:

• konstruējot punktu pēc tā koordinātām
• koordinātu plaknē izvietota punkta koordinātu atrašana

Daža papildu informācija:

Ideja noteikt punkta stāvokli plaknē radās senatnē - galvenokārt astronomu vidū. II gadsimtā. Sengrieķu astronoms Klaudijs Ptolemajs kā koordinātas izmantoja platumu un garumu. Koordinātu izmantošanas apraksts sniegts grāmatā "Ģeometrija" 1637. gadā.

Koordinātu lietojuma aprakstu grāmatā "Ģeometrija" 1637. gadā sniedza franču matemātiķis Renē Dekarts, tāpēc taisnstūrveida koordinātu sistēmu mēdz dēvēt par Dekartu.

Vārdi" abscisa», « ordinātas», « koordinātas» pirmo reizi sāka lietot XVII beigās.

Lai labāk izprastu koordinātu plakni, iedomāsimies, ka mums ir dots: ģeogrāfiskais globuss, šaha galds, teātra biļete.

Lai noteiktu punkta atrašanās vietu uz zemes virsmas, jums jāzina garums un platums.
Lai noteiktu figūras pozīciju uz šaha galdiņa, jāzina divas koordinātas, piemēram: e3.
Sēdvietas auditorijā tiek noteiktas pēc divām koordinātēm: rinda un sēdeklis.

Papildu uzdevums.

Pēc video nodarbības apguves, lai nostiprinātu materiālu, iesaku paņemt kastē pildspalvu un papīru, uzzīmēt koordinātu plakni un veidot figūras pēc dotajām koordinātām:

Sēnīte
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
mazā pele 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) Aste: (3; - 3), (5; - 3), (5; 3).
3) Acs: (- 1; 5).
Gulbis
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) Knābis: (- 4; 8), (- 2; 7), (- 4; 6).
3) Spārns: (1; - 3), (4; - 2), (7; - 3), (4; - 5), (1; - 3).
4) Acs: (0; 7).
Kamielis
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) Acs: (- 6; 7).
Zilonis
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) Acis: (2; 4), (6; 4).
Zirgs
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) Acs: (- 2; 7).

Punkti ir “reģistrēti” - “iedzīvotāji”, katram punktam ir savs “mājas numurs” - tā koordināte. Ja punkts tiek uzņemts lidmašīnā, tad tā “reģistrēšanai” ir jānorāda ne tikai “mājas numurs”, bet arī “dzīvokļa numurs”. Atcerieties, kā tas tiek darīts.

Nozīmēsim divas savstarpēji perpendikulāras koordinātu taisnes un par sākumpunktu uz abām taisnēm uzskatīsim to krustpunktu punktu O. Tādējādi plaknē tiek uzstādīta taisnstūra koordinātu sistēma (20. att.), kas pārveido ierasto. lidmašīna saskaņot. Punktu O sauc par koordinātu sākumpunktu, koordinātu līnijas (x ass un y ass) sauc par koordinātu asīm, bet taisnos leņķus, ko veido koordinātu asis, sauc par koordinātu leņķiem. Koordinātu taisnstūra stūri ir numurēti, kā parādīts 20. attēlā.

Un tagad pievērsīsimies 21. attēlam, kurā redzama taisnstūra koordinātu sistēma un atzīmēts punkts M. Novelkam cauri taisnu līniju paralēli y asij. Līnija kādā punktā krustojas ar x asi, šim punktam ir koordināte - uz x ass. Punktam, kas parādīts 21. attēlā, šī koordināta ir -1,5, to sauc par punkta M abscisu. Tālāk caur punktu M novelkam taisnu līniju, kas ir paralēla x asij. Līnija kādā punktā krusto y asi, šim punktam ir koordināte - uz y ass.

Punktam M, kas parādīts 21. attēlā, šī koordināte ir 2, to sauc par punkta M ordinātu. Īsi rakstīts šādi: M (-1,5; 2). Abscisa ir rakstīta pirmajā vietā, ordināta - otrajā. Ja nepieciešams, viņi izmanto citu apzīmējumu: x = -1,5; y = 2.

1. piezīme . Praksē, lai atrastu punkta M koordinātas, parasti taisnu līniju vietā, kas paralēlas koordinātu asīm un iet caur punktu M, no punkta M uz koordinātu asīm tiek veidoti šo līniju segmenti (22. att.).

2. piezīme. Iepriekšējā sadaļā mēs ieviesām dažādus skaitlisko intervālu apzīmējumus. Jo īpaši, kā mēs vienojāmies, apzīmējums (3, 5) nozīmē, ka uz koordinātu līnijas tiek uzskatīts intervāls ar galiem punktos 3 un 5. Šajā sadaļā mēs uzskatām skaitļu pāri par punkta koordinātām; piemēram, (3; 5) ir punkts uz koordinātu plakne ar abscisu 3 un ordinātu 5. Kā pareizi pēc simboliskā apzīmējuma noteikt, kas ir uz spēles: par intervālu vai par punkta koordinātām? Lielāko daļu laika tas ir skaidrs no teksta. Ko darīt, ja tas nav skaidrs? Pievērsiet uzmanību vienai detaļai: mēs izmantojām komatu intervāla apzīmējumā un semikolu koordinātu apzīmējumā. Tas, protams, nav īpaši nozīmīgs, bet tomēr atšķirība; mēs to pielietosim.

Ņemot vērā ieviestos terminus un apzīmējumus, horizontālo koordinātu līniju sauc par abscisu jeb x asi, bet vertikālo koordinātu līniju par y asi vai y asi. Apzīmējumi x, y parasti tiek lietoti, norādot taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē (skat. 20. att.) un tie bieži saka tā: ir dota xOy koordinātu sistēma. Taču ir arī citi apzīmējumi: piemēram, 23. attēlā ir dota koordinātu sistēma tOs.
Algoritms punkta M koordinātu atrašanai, kas dots taisnstūra koordinātu sistēmā хОу

Tieši tā mēs rīkojāmies, 21. attēlā atrodot punkta M koordinātas. Ja punkts M 1 (x; y) pieder pirmajam koordinātu leņķim, tad x\u003e 0, y\u003e 0; ja punkts M 2 (x; y) pieder otrajam koordinātu leņķim, tad x< 0, у >0; ja punkts M 3 (x; y) pieder trešajam koordinātu leņķim, tad x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).

Bet kas notiek, ja punkts, kura koordinātas ir jāatrod, atrodas uz vienas no koordinātu asīm? Lai punkts A atrodas uz x ass, bet punkts B atrodas uz y ass (25. att.). Nav jēgas caur punktu A vilkt taisnu līniju paralēli y asij un atrast šīs līnijas krustošanās punktu ar x asi, jo šāds krustošanās punkts jau pastāv - tas ir punkts A, tā koordināte ( abscisa) ir 3. Tādā pašā veidā jums nav jāvelk caur punktu Un taisni, kas ir paralēla x asij - šī taisne ir pati x ass, kas krusto y asi punktā O ar koordinātu ( ordināta) 0. Rezultātā punktam A iegūstam A (3; 0). Līdzīgi punktam B iegūstam B(0; - 1,5). Un punktam O mums ir O(0; 0).

Parasti jebkuram punktam uz x ass ir koordinātes (x; 0), un jebkuram punktam uz y ass ir koordinātes (0; y)

Tātad, mēs apspriedām, kā atrast punkta koordinātas koordinātu plaknē. Bet kā atrisināt apgriezto uzdevumu, t.i., kā, iedodot koordinātas, konstruēt atbilstošo punktu? Lai izstrādātu algoritmu, mēs veiksim divus palīgargumentus, bet tajā pašā laikā svarīgus argumentus.

Pirmā diskusija. Iezīmēsim I xOy koordinātu sistēmā paralēli y asij un krustoju x asi punktā ar koordinātu (abscisu) 4

(26. att.). Jebkuram punktam, kas atrodas uz šīs līnijas, ir abscisa 4. Tātad punktiem M 1, M 2, M 3 mums ir M 1 (4; 3), M 2 (4; 6), M 3 (4; - 2). Citiem vārdiem sakot, jebkura taisnes punkta M abscisa atbilst nosacījumam x \u003d 4. Viņi saka, ka x \u003d 4 - vienādojums līnija l vai šī līnija I apmierina vienādojumu x = 4.

27. attēlā parādītas līnijas, kas atbilst vienādojumu x = - 4 (rinda I 1), x = - 1
(taisne I 2) x = 3,5 (taisne I 3). Un kura rinda apmierina vienādojumu x = 0? Uzminēji? y ass

Otrā diskusija. Ļaujiet xOy koordinātu sistēmā novilkt taisni I, kas ir paralēla x asij un krustojas ar y asi punktā ar koordinātu (ordinātu) 3 (28. att.). Jebkuram punktam, kas atrodas uz šīs taisnes, ir ordināta 3. Tātad punktiem M 1, M 2, M 3 mums ir: M 1 (0; 3), M 2 (4; 3), M 3 (- 2; 3). ) . Citiem vārdiem sakot, jebkura līnijas I punkta M ordināta atbilst nosacījumam y \u003d 3. Viņi saka, ka y \u003d 3 ir I līnijas vienādojums vai līnija I apmierina vienādojumu y \u003d 3.

29. attēlā parādītas līnijas, kas apmierina vienādojumus y \u003d - 4 (rinda l 1), y \u003d - 1 (rinda I 2), y \u003d 3.5 (rinda I 3) - A kura līnija apmierina vienādojumu y \u003d 01 Uzminiet? x ass.

Ņemiet vērā, ka matemātiķi, tiecoties pēc runas īsuma, saka "taisne x = 4", nevis "taisne, kas apmierina vienādojumu x = 4". Tāpat viņi saka "rinda y = 3", nevis "rinda, kas atbilst y = 3". Mēs darīsim tieši tāpat. Tagad atgriezīsimies pie 21. attēla. Lūdzu, ņemiet vērā, ka tur parādītais punkts M (- 1,5; 2) ir taisnes x \u003d -1,5 un taisnes y \u003d 2 krustošanās punkts. , punkta konstruēšanas algoritms būs skaidrs pēc tā dotajām koordinātām.

Algoritms punkta M (a; b) konstruēšanai taisnstūra koordinātu sistēmā хОу

PIEMĒRS xOy koordinātu sistēmā konstruē punktus: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Risinājums. Punkts A ir taisnes x = 1 un y = 3 krustpunkts (skat. 30. att.).

Punkts B ir taisnes x = - 2 un y = 1 krustošanās punkts (30. att.). Punkts C pieder pie x ass, bet punkts D pieder pie y ass (skat. 30. att.).

Nodaļas noslēgumā mēs atzīmējam, ka pirmo reizi plaknes taisnstūra koordinātu sistēma tika aktīvi izmantota, lai aizstātu algebrisko. modeļiemģeometriskais franču filozofs Renē Dekarts (1596-1650). Tāpēc dažreiz viņi saka "Dekarta koordinātu sistēma", "Dekarta koordinātas".

Pilns tēmu saraksts pa klasēm, kalendāra plāns saskaņā ar skolas matemātikas programmu tiešsaistē, kadrus matemātikā 7. klasei lejupielādēt

A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm

1.§ Koordinātu sistēma: definīcija un konstruēšanas metode

Šajā nodarbībā iepazīsimies ar jēdzieniem "koordinātu sistēma", "koordinātu plakne", "koordinātu asis", uzzināsim, kā plaknē veidot punktus pēc koordinātām.

Paņemiet koordinātu līniju x ar sākuma punktu O, pozitīvo virzienu un vienības segmentu.

Caur koordinātu līnijas x sākuma punktu O mēs novelkam citu koordinātu līniju y, kas ir perpendikulāra x, iestatām pozitīvo virzienu uz augšu, vienības segments ir vienāds. Tādējādi mēs esam izveidojuši koordinātu sistēmu.

Sniegsim definīciju:

Divas savstarpēji perpendikulāras koordinātu taisnes, kas krustojas punktā, kas ir katras no tām sākuma punkts, veido koordinātu sistēmu.

§ 2 Koordinātu ass un koordinātu plakne

Līnijas, kas veido koordinātu sistēmu, sauc par koordinātu asīm, kurām katrai ir savs nosaukums: x koordinātu līnija ir abscisu ass, y koordinātu līnija ir ordinātu ass.

Plakni, uz kuras ir izvēlēta koordinātu sistēma, sauc par koordinātu plakni.

Aprakstīto koordinātu sistēmu sauc par taisnstūrveida. Bieži to sauc par Dekarta koordinātu sistēmu par godu franču filozofam un matemātiķim Renē Dekartam.

Katram koordinātu plaknes punktam ir divas koordinātes, kuras var noteikt, nometot perpendikulus uz koordinātu ass no punkta. Plaknes punkta koordinātas ir skaitļu pāris, no kuriem pirmais skaitlis ir abscisa, otrais ir ordinātas. Abscisa rāda perpendikulu x asij, ordināta rāda perpendikulāru y asij.

Atzīmējam punktu A koordinātu plaknē, no tā novelkam perpendikulu uz koordinātu sistēmas asīm.

Gar perpendikulāri abscisu asij (x ass), mēs nosakām punkta A abscisu, tas ir vienāds ar 4, punkta A ordināts - pa perpendikulāru ordinātu asij (y ass) ir 3. Mūsu koordinātas punkts ir 4 un 3. A (4; 3). Tādējādi koordinātas var atrast jebkuram koordinātu plaknes punktam.

§ 3 Punkta uzbūve plaknē

Un kā plaknē uzbūvēt punktu ar dotām koordinātēm, t.i. noteikt tās atrašanās vietu pēc plaknes punkta koordinātām? Šajā gadījumā mēs veicam darbības apgrieztā secībā. Uz koordinātu asīm atrodam dotajām koordinātām atbilstošos punktus, caur kuriem novelkam taisnes, kas ir perpendikulāras x un y asīm. Perpendikulu krustpunkts būs vēlamais, t.i. punkts ar dotām koordinātām.

Izpildīsim uzdevumu: uz koordinātu plaknes uzbūvēsim punktu M (2; -3).

Lai to izdarītu, uz x ass atrodam punktu ar koordinātu 2, caur šo punktu novelkam taisnu līniju, kas ir perpendikulāra x asij. Uz y ass atrodam punktu ar koordinātu -3, caur to novelkam līniju, kas ir perpendikulāra y asij. Perpendikulāro līniju krustpunkts būs dotais punkts M.

Tagad apskatīsim dažus īpašus gadījumus.

Koordinātu plaknē atzīmējam punktus A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4).

Šo punktu abscises ir vienādas ar 0. Attēlā redzams, ka visi punkti atrodas uz y ass.

Tāpēc punkti, kuru abscises ir vienādas ar nulli, atrodas uz y ass.

Apmainīsim šo punktu koordinātas.

Iegūstiet A (2; 0), B (-3; 0) C (4; 0). Šajā gadījumā visas ordinātas ir 0 un punkti atrodas uz x ass.

Tas nozīmē, ka punkti, kuru ordinātas ir vienādas ar nulli, atrodas uz abscisu ass.

Apskatīsim vēl divus gadījumus.

Koordinātu plaknē atzīmējiet punktus M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Ir viegli redzēt, ka visas punktu abscises ir vienādas. Ja šie punkti ir savienoti, jūs iegūstat taisnu līniju, kas ir paralēla ordinātu asij un perpendikulāra abscisu asij.

Secinājums liecina par sevi: punkti, kuriem ir vienāda abscisa, atrodas uz vienas taisnes, kas ir paralēla ordinātu asij un perpendikulāra abscisu asij.

Ja vietām mainām punktu M, N, P koordinātas, tad iegūstam M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Punktu ordinātas kļūs vienādas. Šajā gadījumā, ja savienojat šos punktus, jūs iegūstat taisnu līniju, kas ir paralēla abscisu asij un perpendikulāra ordinātu asij.

Tādējādi punkti ar vienādu ordinātu atrodas uz vienas taisnes, kas ir paralēla abscisu asij un ir perpendikulāra ordinātu asij.

Šajā nodarbībā jūs iepazināties ar jēdzieniem "koordinātu sistēma", "koordinātu plakne", "koordinātu asis - abscisu ass un y ass". Mēs iemācījāmies atrast punkta koordinātas koordinātu plaknē un mācījāmies, kā plaknē veidot punktus pēc koordinātām.

Izmantotās literatūras saraksts:

1. Matemātika. 6. klase: stundu plāni mācību grāmatai I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičs // autors-sastādītājs L.A. Topilin. - Mnemosyne, 2009.
2. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovičs.- M.: Mnemozina, 2013.
3. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm / G.V. Dorofejevs, I.F. Šarigins, S.B. Suvorovs un citi / rediģēja G.V. Dorofejeva, I.F. Sharygin; Krievijas Zinātņu akadēmija, Krievijas Izglītības akadēmija. - M.: "Apgaismība", 2010. gads
4. Matemātikas rokasgrāmata - http://lyudmilanik.com.ua
5. Rokasgrāmata vidusskolas skolēniem http://shkolo.ru

Izpratne par koordinātu plakni

Katram objektam (piemēram, mājai, vietai auditorijā, punktam kartē) ir sava sakārtota adrese (koordinātas), kurai ir ciparu vai alfabēta apzīmējums.

Matemātiķi ir izstrādājuši modeli, kas ļauj noteikt objekta stāvokli un tiek saukts koordinātu plakne.

Lai izveidotu koordinātu plakni, ir jānozīmē $2$ perpendikulāras līnijas , kuru beigās ir norādītas ar virziena "pa labi" un "augšup" bultiņām. Līnijām tiek piemēroti dalījumi, un līniju krustošanās punkts ir abu skalu nulles atzīme.

1. definīcija

Horizontālo līniju sauc x-ass un tiek apzīmēts ar x, un tiek izsaukta vertikālā līnija y ass un ir atzīmēts ar y.

Divas perpendikulāras asis x un y ar dalījumu ir taisnstūrveida, vai Dekarta, koordinātu sistēma ierosināja franču filozofs un matemātiķis Renē Dekarts.

Koordinātu plakne

Punkta koordinātas

Punktu koordinātu plaknē nosaka divas koordinātas.

Lai noteiktu punkta $A$ koordinātas koordinātu plaknē, caur to jāvelk taisnas līnijas, kas būs paralēlas koordinātu asīm (attēlā tās apzīmētas ar punktētu līniju). Taisnes krustpunkts ar x asi dod $x$ koordinātu $A$, un krustojums ar y asi dod $A$ y koordinātu. Rakstot punkta koordinātas, vispirms tiek ierakstīta $x$ koordināte un tad $y$ koordināte.

Punktam $A$ attēlā ir koordinātes $(3; 2)$, bet punktam $B (–1; 4)$.

Lai uzzīmētu punktu koordinātu plaknē, rīkojieties apgrieztā secībā.

Punkta izveidošana pēc dotajām koordinātām

1. piemērs

Konstruēt punktus $A(2;5)$ un $B(3; –1).$ koordinātu plaknē

Risinājums.

Celtniecības punkts $A$:

• uzliek skaitli $2$ uz $x$ ass un novelk perpendikulāru līniju;
• uz y ass uzzīmējam skaitli $5$ un novelkam taisnu līniju, kas ir perpendikulāra $y$ asij. Perpendikulāru līniju krustpunktā iegūstam punktu $A$ ar koordinātām $(2; 5)$.

Celtniecības punkts $B$:

• uzzīmējiet skaitli $3$ uz $x$ ass un novelciet taisnu līniju, kas ir perpendikulāra x asij;
• uzzīmējiet skaitli $(–1)$ uz $y$ ass un novelciet taisnu līniju, kas ir perpendikulāra $y$ asij. Perpendikulāru līniju krustpunktā iegūstam punktu $B$ ar koordinātām $(3; –1)$.

2. piemērs

Konstruēt punktus koordinātu plaknē ar dotajām koordinātēm $C (3; 0)$ un $D(0; 2)$.

Risinājums.

Punkta $C$ uzbūve:

• novietojiet skaitli $3$ uz $x$ ass;
• $y$ koordināte ir vienāda ar nulli, tāpēc punkts $C$ atradīsies uz $x$ ass.

Punkta $D$ būvniecība:

• novietojiet skaitli $2$ uz $y$ ass;
• koordināte $x$ ir vienāda ar nulli, kas nozīmē, ka punkts $D$ atradīsies uz $y$ ass.

1. piezīme

Tāpēc pie koordinātas $x=0$ punkts atradīsies uz $y$ ass, bet koordinātē $y=0$ punkts atradīsies uz $x$ ass.

3. piemērs

Noteikt punktu A, B, C, D koordinātas.$

Risinājums.

Noteiksim punkta $A$ koordinātas. Lai to izdarītu, caur šo punktu $2$ novelkam taisnas līnijas, kas būs paralēlas koordinātu asīm. Taisnes krustojums ar abscisu asi dod $x$ koordinātu, taisnes krustojums ar y asi dod $y$ koordinātu. Tādējādi mēs iegūstam, ka punkts $A (1; 3).$

Noteiksim punkta $B$ koordinātas. Lai to izdarītu, caur šo punktu $2$ novelkam taisnas līnijas, kas būs paralēlas koordinātu asīm. Taisnes krustojums ar abscisu asi dod $x$ koordinātu, taisnes krustojums ar y asi dod $y$ koordinātu. Iegūstam, ka punkts $B (–2; 4).$

Noteiksim punkta $C$ koordinātas. Jo tas atrodas uz $y$ ass, tad šī punkta $x$ koordināte ir vienāda ar nulli. Y koordināta ir $–2 $. Tādējādi punkts ir $C (0; –2)$.

Noteiksim punkta $D$ koordinātas. Jo tas atrodas uz $x$ ass, tad $y$ koordināte ir vienāda ar nulli. Šī punkta $x$ koordināte ir $–5$. Tādējādi punkts $D (5; 0).$

4. piemērs

Konstruēt punktus $E(–3; –2), F(5; 0), G(3; 4), H(0; –4), O(0; 0).$

Risinājums.

Punkta $E$ būvniecība:

• uzliek skaitli $(–3)$ uz $x$ ass un novelk perpendikulāru līniju;
• uzliek skaitli $(–2)$ uz $y$ ass un novelk līniju, kas ir perpendikulāra $y$ asij;
• perpendikulāru taisnes krustpunktā iegūstam punktu $E (–3; –2).$

Celtniecības punkts $F$:

• koordināte $y=0$, tātad punkts atrodas uz $x$ ass;
• Atzīmējiet skaitli $5$ uz $x$ ass un iegūstiet punktu $F(5; 0).$

$G$ punkta uzbūve:

• novietojiet skaitli $3$ uz $x$ ass un novelciet līniju, kas ir perpendikulāra $x$ asij;
• ielieciet skaitli $4$ uz $y$ ass un novelciet līniju, kas ir perpendikulāra $y$ asij;
• perpendikulāru taisnes krustpunktā iegūstam punktu $G(3; 4).$

Punkta $H$ būvniecība:

• koordināte $x=0$, tātad punkts atrodas uz $y$ ass;
• uzzīmējiet skaitli $(–4)$ uz $y$ ass un iegūstiet punktu $H(0; –4).$

Punkta $O$ uzbūve:

• abas punkta koordinātas ir vienādas ar nulli, kas nozīmē, ka punkts atrodas gan uz $y$ ass, gan uz $x$ ass, tāpēc tas ir abu asu krustpunkts (koordinātu sākumpunkts).