Atrisiniet viendabīgu lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu piemērus. Pamatlēmumu sistēma (konkrēts piemērs)

Pakalpojuma mērķis. Tiešsaistes kalkulators ir paredzēts, lai atrastu netriviālu un fundamentālu SLAE risinājumu. Iegūtais risinājums tiek saglabāts Word failā (skatiet risinājuma piemēru).

Instrukcijas. Izvēlieties matricas dimensiju:

Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmu īpašības

Teorēma. Sistēmai gadījumā m=n ir netriviāls risinājums tad un tikai tad, ja šīs sistēmas determinants ir vienāds ar nulli.

Teorēma. Jebkura sistēmas risinājumu lineāra kombinācija ir arī šīs sistēmas risinājums.
Definīcija. Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmas risinājumu kopu sauc pamata risinājumu sistēma, ja šī kopa sastāv no lineāri neatkarīgiem risinājumiem un jebkurš sistēmas risinājums ir šo risinājumu lineāra kombinācija.

Teorēma. Ja sistēmas matricas rangs r ir mazāks par nezināmo skaitu n, tad pastāv fundamentāla risinājumu sistēma, kas sastāv no (n-r) risinājumiem.

Algoritms lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmu risināšanai

1. Matricas ranga atrašana.
2. Mēs izvēlamies pamata minoru. Mēs izšķiram atkarīgos (pamata) un brīvos nezināmos.
3. Izsvītrojam tos sistēmas vienādojumus, kuru koeficienti nav iekļauti pamata minorā, jo tie ir pārējo (saskaņā ar teorēmu uz pamata minora) sekas.
4. Mēs pārvietojam brīvos nezināmos vienādojumu nosacījumus uz labo pusi. Rezultātā mēs iegūstam r vienādojumu sistēmu ar r nezināmajiem, kas ir ekvivalenti dotajam, kuras determinants nav nulle.
5. Mēs atrisinām iegūto sistēmu, novēršot nezināmos. Mēs atrodam attiecības, kas izsaka atkarīgos mainīgos, izmantojot brīvos.
6. Ja matricas rangs nav vienāds ar mainīgo skaitu, tad mēs atrodam sistēmas fundamentālo risinājumu.
7. Gadījumā, ja rangs = n, mums ir triviāls risinājums.

Piemērs. Atrodi vektoru sistēmas bāzi (a 1, a 2,...,a m), sarindo un izsaka vektorus, pamatojoties uz bāzi. Ja 1 =(0,0,1,-1) un 2 =(1,1,2,0) un 3 =(1,1,1,1) un 4 =(3,2,1 ,4) un 5 =(2,1,0,3).
Pierakstīsim sistēmas galveno matricu:

Viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa, un tai ir triviāls risinājums
. Lai pastāvētu netriviāls risinājums, ir nepieciešams, lai matricas rangs bija mazāks par nezināmo skaitu:

.

Fundamentāla risinājumu sistēma viendabīga sistēma
izsauciet risinājumu sistēmu kolonnu vektoru formā
, kas atbilst kanoniskajam pamatam, t.i. pamats, kurā patvaļīgas konstantes
pārmaiņus tiek iestatīti vienādi ar vienu, bet pārējie ir iestatīti uz nulli.

Tad viendabīgās sistēmas vispārējam risinājumam ir šāda forma:

Kur
- patvaļīgas konstantes. Citiem vārdiem sakot, kopējais risinājums ir pamata risinājumu sistēmas lineāra kombinācija.

Tādējādi no vispārīgā risinājuma var iegūt pamatrisinājumus, ja brīvajiem nezināmajiem pēc kārtas piešķir vienu vērtību, visus pārējos nosakot vienādus ar nulli.

Piemērs. Meklēsim risinājumu sistēmai

Pieņemsim , tad saņemsim risinājumu formā:

Tagad izveidosim fundamentālu risinājumu sistēmu:

.

Vispārējais risinājums tiks rakstīts šādi:

Homogēnu lineāro vienādojumu sistēmas risinājumiem ir šādas īpašības:

Citiem vārdiem sakot, jebkura viendabīgas sistēmas risinājumu lineāra kombinācija atkal ir risinājums.

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ar Gausa metodi

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšana ir interesējusi matemātiķus vairākus gadsimtus. Pirmie rezultāti tika iegūti 18. gadsimtā. 1750. gadā G. Krāmers (1704–1752) publicēja savus darbus par kvadrātmatricu determinantiem un piedāvāja algoritmu apgrieztās matricas atrašanai. 1809. gadā Gauss izklāstīja jaunu risinājuma metodi, kas pazīstama kā eliminācijas metode.

Gausa metode jeb nezināmo secīgas likvidēšanas metode sastāv no tā, ka, izmantojot elementāras transformācijas, vienādojumu sistēma tiek reducēta uz līdzvērtīgu pakāpiena (vai trīsstūra) formas sistēmu. Šādas sistēmas ļauj secīgi atrast visus nezināmos noteiktā secībā.

Pieņemsim, ka sistēmā (1)
(kas vienmēr ir iespējams).

(1)

Reizinot pirmo vienādojumu pa vienam ar t.s piemēroti skaitļi

un saskaitot reizināšanas rezultātu ar atbilstošajiem sistēmas vienādojumiem, iegūstam ekvivalentu sistēmu, kurā visos vienādojumos, izņemot pirmo, nebūs neviena nezināmā X 1

(2)

Tagad reizinosim sistēmas (2) otro vienādojumu ar piemērotiem skaitļiem, pieņemot, ka

,

un pievienojot to ar zemākajiem, mēs izslēdzam mainīgo no visiem vienādojumiem, sākot no trešā.

Turpinot šo procesu, pēc
solis, ko iegūstam:

(3)

Ja vismaz viens no numuriem
nav vienāds ar nulli, tad atbilstošā vienādība ir pretrunīga un sistēma (1) ir nekonsekventa. Un otrādi, jebkurai kopīgu skaitļu sistēmai
ir vienādi ar nulli. Numurs ir nekas vairāk kā sistēmas (1) matricas rangs.

Tiek izsaukta pāreja no sistēmas (1) uz (3). taisni uz priekšu Gausa metode un nezināmo atrašana no (3) - atpakaļgaitā .

komentēt : Transformācijas ir ērtāk veikt nevis ar pašiem vienādojumiem, bet gan ar sistēmas paplašināto matricu (1).

Piemērs. Meklēsim risinājumu sistēmai

.

Uzrakstīsim sistēmas paplašināto matricu:

.

Pievienosim pirmo rindiņām 2,3,4, attiecīgi reizinot ar (-2), (-3), (-2):

.

Apmainīsim 2. un 3. rindu, pēc tam iegūtajā matricā pievienosim 2. rindu 4. rindai, reizinot ar :

.

Pievienot 4. rindiņai 3. rindai reizināt ar
:

.

Ir skaidrs, ka
, tāpēc sistēma ir konsekventa. No iegūtās vienādojumu sistēmas

mēs atrodam risinājumu ar apgrieztu aizstāšanu:

,
,
,
.

2. piemērs. Atrodiet sistēmas risinājumu:

.

Ir skaidrs, ka sistēma ir nekonsekventa, jo
, A
.

Gausa metodes priekšrocības :

Mazāk darbietilpīga nekā Kramera metode.

Viennozīmīgi nosaka sistēmas savietojamību un ļauj rast risinājumu.

Ļauj noteikt jebkuras matricas rangu.

Lineāro vienādojumu sauc viendabīgs, ja tā brīvais loceklis ir vienāds ar nulli un citādi nehomogēns. Sistēmu, kas sastāv no viendabīgiem vienādojumiem, sauc par viendabīgu, un tai ir vispārīga forma:

Ir skaidrs, ka katra viendabīga sistēma ir konsekventa un tai ir nulles (triviāls) risinājums. Tāpēc, piemērojot viendabīgām lineāro vienādojumu sistēmām, bieži vien ir jāmeklē atbilde uz jautājumu par nulles atrisinājumu esamību. Atbildi uz šo jautājumu var formulēt kā šādu teorēmu.

Teorēma . Viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai ir atrisinājums, kas nav nulle, tad un tikai tad, ja tās rangs ir mazāks par nezināmo skaitu .

Pierādījums: Pieņemsim, ka sistēmai, kuras rangs ir vienāds, ir risinājums, kas nav nulle. Acīmredzot tas nepārsniedz. Gadījumā, ja sistēmai ir unikāls risinājums. Tā kā viendabīgu lineāru vienādojumu sistēmai vienmēr ir nulles risinājums, tad nulles risinājums būs šis unikālais risinājums. Tādējādi risinājumi, kas atšķiras no nulles, ir iespējami tikai .

Secinājums 1 : Viendabīgai vienādojumu sistēmai, kurā vienādojumu skaits ir mazāks par nezināmo skaitu, vienmēr ir atrisinājums, kas nav nulle.

Pierādījums: Ja vienādojumu sistēmai ir , tad sistēmas rangs nepārsniedz vienādojumu skaitu, t.i. . Tādējādi nosacījums ir izpildīts, un tāpēc sistēmai ir risinājums, kas atšķiras no nulles.

Secinājums 2 : Viendabīgai vienādojumu sistēmai ar nezināmajiem ir atrisinājums, kas nav vienāds ar nulli, tad un tikai tad, ja tās determinants ir nulle.

Pierādījums: Pieņemsim, ka lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmai, kuras matrica ar determinantu , ir atrisinājums, kas nav nulle. Tad saskaņā ar pārbaudīto teorēmu, un tas nozīmē, ka matrica ir vienskaitļa, t.i. .

Homogēna lineāro algebrisko vienādojumu sistēma.

M lineāro vienādojumu sistēmu ar n mainīgajiem sauc par lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmu, ja visi brīvie vārdi ir vienādi ar 0. Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēma vienmēr ir konsekventa, jo tam vienmēr ir vismaz nulles risinājums. Lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmai ir nulles atrisinājums tad un tikai tad, ja tās mainīgo koeficientu matricas rangs ir mazāks par mainīgo skaitu, t.i. rangam A (n. Jebkura lineāra kombinācija

Lin sistēmu risinājumi. viendabīgs. ur-ii ir arī šīs sistēmas risinājums.

Lineāru neatkarīgu risinājumu e1, e2,...,еk sistēmu sauc par fundamentālu, ja katrs sistēmas risinājums ir lineāra risinājumu kombinācija. Teorēma: ja lineāru viendabīgu vienādojumu sistēmas mainīgo koeficientu matricas rangs r ir mazāks par mainīgo skaitu n, tad katra sistēmas atrisinājumu fundamentālā sistēma sastāv no n-r risinājumiem. Tāpēc lineārās sistēmas vispārīgais risinājums. viena diena ur-th ir formā: c1e1+c2e2+...+skek, kur e1, e2,..., ek ir jebkura pamata atrisinājumu sistēma, c1, c2,...,ck ir patvaļīgi skaitļi un k=n-r. M lineāro vienādojumu sistēmas ar n mainīgajiem vispārējais risinājums ir vienāds ar summu

tam atbilstošās sistēmas vispārējā risinājuma ir viendabīgs. lineāri vienādojumi un patvaļīgs konkrēts šīs sistēmas risinājums.

7. Lineāras telpas. Apakštelpas. Pamats, dimensija. Lineārs apvalks. Lineāro telpu sauc n-dimensiju, ja tajā ir lineāri neatkarīgu vektoru sistēma un jebkura sistēma ar lielāku vektoru skaitu ir lineāri atkarīga. Numurs tiek izsaukts dimensija (izmēru skaits) lineārā telpa un tiek apzīmēta ar . Citiem vārdiem sakot, telpas dimensija ir maksimālais šīs telpas lineāri neatkarīgo vektoru skaits. Ja šāds skaitlis pastāv, tad telpu sauc par galīgo dimensiju. Ja jebkuram naturālam skaitlim n telpā ir sistēma, kas sastāv no lineāri neatkarīgiem vektoriem, tad šādu telpu sauc par bezgalīgu dimensiju (rakstīts: ). Turpmāk, ja nav norādīts citādi, tiks aplūkotas ierobežotas dimensijas telpas.

N-dimensiju lineārās telpas pamats ir sakārtota lineāri neatkarīgu vektoru kolekcija ( bāzes vektori).

8.1. teorēma par vektora izplešanos bāzes izteiksmē. Ja ir n-dimensiju lineārās telpas pamats, tad jebkuru vektoru var attēlot kā bāzes vektoru lineāru kombināciju:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+lv
un turklāt vienīgajā veidā, t.i. koeficienti tiek noteikti unikāli. Citiem vārdiem sakot, jebkuru telpas vektoru var izvērst par pamatu un turklāt unikālā veidā.

Patiešām, telpas dimensija ir. Vektoru sistēma ir lineāri neatkarīga (tas ir pamats). Pēc jebkura vektora pievienošanas bāzei mēs iegūstam lineāri atkarīgu sistēmu (jo šī sistēma sastāv no n-dimensiju telpas vektoriem). Izmantojot 7 lineāri atkarīgu un lineāri neatkarīgu vektoru īpašību, iegūstam teorēmas secinājumu.

6.3. HOMOGĒNĀS LINEĀRO VIENĀDĀJUMU SISTĒMAS

Ielaist sistēmā (6.1).

Viendabīga sistēma vienmēr ir konsekventa. risinājums () tiek saukts nulle, vai triviāls.

Viendabīgai sistēmai (6.1.) ir nulles atrisinājums tad un tikai tad, ja tās rangs ( ) ir mazāks par nezināmo skaitu. Jo īpaši viendabīgai sistēmai, kurā vienādojumu skaits ir vienāds ar nezināmo skaitu, ir risinājums, kas nav vienāds ar nulli, tad un tikai tad, ja tā determinants ir nulle.

Jo šoreiz viss, formulu (6.6) vietā iegūstam sekojošo:

(6.7)

Formulas (6.7.) satur jebkuru viendabīgās sistēmas (6.1.) šķīdumu.

1. Visu homogēnās lineāro vienādojumu sistēmas (6.1) atrisinājumu kopa veido lineāru telpu.

2. Lineārā telpaRvisus homogēnās lineāro vienādojumu sistēmas (6.1) atrisinājumus arnnezināmie un galvenās matricas rangs ir vienāds arr, ir dimensijan–r.

Jebkurš komplekts (n–r) viendabīgas sistēmas (6.1) lineāri neatkarīgi risinājumi veido pamatu telpāRvisus lēmumus. Tas tiek saukts fundamentāli viendabīgās vienādojumu sistēmas (6.1.) atrisinājumu kopa. Īpašs uzsvars tiek likts uz "normāls" homogēnās sistēmas risinājumu pamatkopa (6.1.):

(6.8)

Pēc pamata definīcijas jebkurš risinājums X homogēnu sistēmu (6.1) var attēlot formā

(6.9)

Kur – patvaļīgas konstantes.

Tā kā formula (6.9.) satur jebkuru viendabīgās sistēmas (6.1.) šķīdumu, tā dod kopīgs lēmumsšī sistēma.

Piemērs.

Risinājums atrodiet, izmantojot kalkulatoru. Risinājuma algoritms ir tāds pats kā lineāru nehomogēnu vienādojumu sistēmām.
Darbojoties tikai ar rindām, mēs atrodam matricas rangu, bāzes minoru; Mēs pasludinām atkarīgos un brīvos nezināmos un atrodam vispārīgu risinājumu.

2. piemērs. Atrast sistēmas vispārīgo risinājumu un fundamentālo risinājumu sistēmu
Risinājums.



,
no tā izriet, ka matricas rangs ir 3 un vienāds ar nezināmo skaitu. Tas nozīmē, ka sistēmai nav brīvu nezināmo, un tāpēc tai ir unikāls risinājums - triviāls.

Vingrinājums . Izpētiet un atrisiniet lineāro vienādojumu sistēmu.
4. piemērs

Vingrinājums . Atrodiet katras sistēmas vispārīgos un īpašos risinājumus.
Risinājums. Pierakstīsim sistēmas galveno matricu:

Uzdevums . Atrodiet fundamentālu risinājumu kopu viendabīgai lineāro vienādojumu sistēmai.