Ģeometrijas uzdevumu risināšana: četrstūri. Paralelograma laukums Paralelograma laukums ir vienāds ar pusi no tā diagonāļu reizinājuma

4. uzdevums.

Viena no paralelograma diagonālēm ar garumu 4√6 veido 60° leņķi ar pamatni, bet otrā diagonāle ar to pašu pamatni veido 45° leņķi. Atrodiet otro diagonāli.

Risinājums.

1. AO = 2√6.

2. Trijstūrim AOD piemērojam sinusa teorēmu.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Atbilde: 12.

5. uzdevums.

Paralelogramam ar malām 5√2 un 7√2 mazākais leņķis starp diagonālēm ir vienāds ar paralelograma mazāko leņķi. Atrodiet diagonāļu garumu summu.

Risinājums.

Pieņemsim, ka paralelograma diagonāles ir d 1, d 2, un leņķis starp diagonālēm un paralelograma mazāko leņķi ir vienāds ar φ.

1. Saskaitīsim divus dažādus
tā apgabalā.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Iegūstam vienādību 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f vai

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2;

2. Izmantojot sakarību starp paralelograma malām un diagonālēm, rakstām vienādību

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Izveidosim sistēmu:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Sareizināsim sistēmas otro vienādojumu ar 2 un pievienosim pirmajam.

Mēs iegūstam (d 1 + d 2) 2 = 576. Tādējādi Id 1 + d 2 I = 24.

Tā kā d 1, d 2 ir paralelograma diagonāļu garumi, tad d 1 + d 2 = 24.

Atbilde: 24.

6. uzdevums.

Paralelograma malas ir 4 un 6. Akūtais leņķis starp diagonālēm ir 45 grādi. Atrodiet paralelograma laukumu.

Risinājums.

1. No trijstūra AOB, izmantojot kosinusa teorēmu, rakstām sakarību starp paralelograma malu un diagonālēm.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Līdzīgi mēs rakstām relāciju trijstūrim AOD.

Ņemsim to vērā<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Iegūstam vienādojumu d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Mums ir sistēma
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Atņemot pirmo no otrā vienādojuma, iegūstam 2d 1 · d 2 √2 = 80 vai

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Piezīme:Šajā un iepriekšējā uzdevumā sistēma nav jāatrisina pilnībā, paredzot, ka šajā uzdevumā ir nepieciešams diagonāļu reizinājums, lai aprēķinātu laukumu.

Atbilde: 10.

7. uzdevums.

Paralelograma laukums ir 96, un tā malas ir 8 un 15. Atrodiet mazākās diagonāles kvadrātu.

Risinājums.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Veiksim aizstāšanu formulā.

Mēs iegūstam 96 = 8 · 15 · grēks ВAD. Tātad grēks ВAD = 4/5.

2. Atradīsim cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Atbilstoši uzdevuma nosacījumiem mēs atrodam mazākās diagonāles garumu. Diagonāle ВD būs mazāka, ja leņķis ВАD ir akūts. Tad cos VAD = 3/5.

3. No trijstūra ABD, izmantojot kosinusa teorēmu, atrodam diagonāles BD kvadrātu.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145.

Atbilde: 145.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt ģeometrijas problēmu?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.
Pirmā nodarbība bez maksas!

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

1. teorēma. Trapeces laukums ir vienāds ar pusi no tās pamatu un augstuma summas:

2. teorēma. Trapeces diagonāles sadala to četros trīsstūros, no kuriem divi ir līdzīgi, bet pārējiem ir vienāds laukums:

3. teorēma. Paralelograma laukums ir vienāds ar pamatnes un augstuma reizinājumu, ko nolaiž noteiktā pamatne, vai divu malu reizinājumu un leņķa sinusu starp tām:

4. teorēma. Paralelogrammā diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tā malu kvadrātu summu:

5. teorēma. Patvaļīga izliekta četrstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā diagonāļu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājuma:

6. teorēma. Ap apli norobežota četrstūra laukums ir vienāds ar šī četrstūra pusperimetra un dotā riņķa rādiusa reizinājumu:

7. teorēma.Četrstūris, kura virsotnes ir patvaļīga izliekta četrstūra malu viduspunkti, ir paralelograms, kura laukums ir vienāds ar pusi no sākotnējā četrstūra laukuma:

8. teorēma. Ja izliektam četrstūrim ir diagonāles, kas ir savstarpēji perpendikulāras, tad šī četrstūra pretējo malu kvadrātu summa ir vienāda:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

Raksts publicēts ar uzņēmuma "DKROST" atbalstu. Bērnu slidkalniņi, mājiņas, smilšu kastes un daudz kas cits - bērnu rotaļu laukumu ražošana un tirdzniecība vairumtirdzniecība un mazumtirdzniecība. Zemākās cenas, atlaides, īsi ražošanas termiņi, speciālistu vizīte un konsultācija, kvalitātes garantija. Jūs varat uzzināt vairāk par uzņēmumu, apskatīt preču katalogu, cenas un kontaktus tīmekļa vietnē, kas atrodas: http://dkrost.ru/.

Dažu teorēmu pierādījumi

2. teorēmas pierādījums. Lai ABCD ir dota trapece, AD un BC tās pamati, O šīs trapeces diagonāļu AC un BD krustošanās punkts. Pierādīsim, ka trijstūriem AOB un COD ir vienāds laukums. Lai to izdarītu, nolaidiet perpendikulus BP un ​​CQ no punktiem B un C līdz līnijai AD. Tad trijstūra ABD laukums ir

Un trīsstūra ACD laukums ir

Tā kā BP = CQ, tad S∆ABD = S∆ACD. Bet trijstūra AOB laukums ir atšķirība starp trijstūra ABD un AOD laukumiem, un trijstūra COD laukums ir atšķirība starp trijstūra ACD un AOD laukumiem. Tāpēc trīsstūru AOB un COD laukumi ir vienādi, kā tas ir jāpierāda.

4. teorēmas pierādījums. Lai ABCD ir paralelograms, AB = CD = a, AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Trijstūrim ABD piemērosim kosinusa teorēmu:

Tagad, piemērojot kosinusa teorēmu trīsstūrim ACD, mēs iegūstam:

Saskaitot iegūtās vienādības pēc termiņa, mēs iegūstam to Q.E.D.

5. teorēmas pierādījums. Lai ABCD ir patvaļīgs izliekts četrstūris, E tā diagonāļu krustpunkts, AE = a, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Mums ir:

Q.E.D.

6. teorēmas pierādījums. Lai ABCD ir patvaļīgs četrstūris, kas norobežots ap apli, O šī riņķa centrs, OK, OL, OM un ON perpendikuli, kas novilkti no punkta O uz attiecīgi taisnēm AB, BC, CD un AD. Mums ir:

kur r ir apļa rādiuss un p ir četrstūra ABCD pusperimetrs.

7. teorēmas pierādījums. Pieņemsim, ka ABCD ir patvaļīgs izliekts četrstūris, K, L, M un N attiecīgi malu AB, BC, CD un AD viduspunkti. Tā kā KL ir trijstūra ABC viduslīnija, tad taisne KL ir paralēla taisnei AC un tāpat taisne MN ir paralēla taisnei AC un tāpēc KLMN ir paralelograms. Apsveriet trīsstūri KBL. Tās laukums ir vienāds ar vienu ceturtdaļu no trīsstūra ABC laukuma. Trijstūra MDN laukums ir arī vienāds ar ceturtdaļu no trīsstūra ACD laukuma. Tāpēc

Tāpat

Tas nozīmē, ka

kur no tā izriet

8. teorēmas pierādījums. Lai ABCD ir patvaļīgs izliekts četrstūris, kura diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras, lai E ir tā diagonāļu krustpunkts,
AE = a, BE = b, CE = c, DE = d. Pielietosim Pitagora teorēmu trijstūriem ABE un CDE:
AB2 = AE2 + BE2 = a 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
tātad,
AB2 + CD2 = a 2+b2+c2+d2.
Tagad, piemērojot Pitagora teorēmu trijstūriem ADE un BCE, mēs iegūstam:
AD2 = AE2 + DE2 = a 2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
kur no tā izriet
AD2 + BC2 = a 2+b2+c2+d2.
Tas nozīmē AB2 + CD2 = AD2 + BC2, kas ir tas, kas bija jāpierāda.

Problēmu risinājumi

1. problēma. Ap apli aprakstīta trapece ar bāzes leņķiem α un β. Atrodiet trapeces laukuma attiecību pret apļa laukumu.

Risinājums. Lai ABCD ir dota trapece, AB un CD tās pamati, DK un CM ir perpendikuli, kas novilkti no punktiem C un D līdz taisnei AB. Nepieciešamā attiecība nav atkarīga no apļa rādiusa. Tāpēc pieņemsim, ka rādiuss ir 1. Tad apļa laukums ir vienāds ar π, atradīsim trapeces laukumu. Tā kā trijstūris ADK ir taisnleņķa, tad

Līdzīgi, no taisnleņķa trijstūra BCM mēs atklājam, ka tā kā apli var ierakstīt dotajā trapecveidā, pretējo malu summas ir vienādas:
AB + CD = AD + BC,
no kurienes mēs to atrodam?

Tātad trapeces laukums ir

un nepieciešamā attiecība ir vienāda ar
Atbilde:

2. problēma. Izliektā četrstūrī ABCD leņķis A ir vienāds ar 90°, un leņķis C nepārsniedz 90°. No virsotnēm B un D perpendikuli BE un DF tiek nomesti uz diagonāli AC. Ir zināms, ka AE = CF. Pierādiet, ka leņķis C ir pareizs.

Pierādījums. Tā kā leņķis A ir 90°,
un leņķis C nepārsniedz 90°, tad punkti E un F atrodas uz diagonāles AC. Nezaudējot vispārīgumu, mēs varam pieņemt, ka AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. Mums pietiek pierādīt, ka α + β + γ + δ = π. Jo

no kurienes mēs iegūstam to, kas bija jāpierāda.

3. problēma. Ap apli apvilktas vienādsānu trapeces perimetrs ir vienāds ar p. Atrodiet šī apļa rādiusu, ja ir zināms, ka trapeces pamatnes asais leņķis ir vienāds ar α.
Risinājums. Lai ABCD ir dota vienādsānu trapece ar bāzēm AD un BC, lai BH ir šīs trapeces augstums, kas nomests no virsotnes B.
Tā kā dotajā trapecveidā var ierakstīt apli, tad

Tāpēc

No taisnleņķa trīsstūra ABH mēs atrodam,

Atbilde:

4. problēma. Dota trapece ABCD ar bāzēm AD un BC. Diagonāles AC un BD krustojas punktā O, un taisnes AB un CD krustojas punktā K. Taisne KO krusto malas BC un AD attiecīgi punktos M un N, un leņķis BAD ir 30°. Ir zināms, ka trapecē ABMN un NMCD var ierakstīt apli. Atrodiet trijstūra BKC un trapeces ABCD laukumu attiecību.

Risinājums. Kā zināms, patvaļīgai trapecveida formai taisna līnija, kas savieno diagonāļu krustpunktu un sānu malu pagarinājumu krustpunktu, sadala katru no pamatiem uz pusēm. Tātad BM = MC un AN = ND. Turklāt, tā kā trapecē ABMN un NMCD var ierakstīt apli, tad
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
No tā izriet, ka AB = CD, tas ir, trapece ABCD ir vienādsānu. Nepieciešamā laukuma attiecība nav atkarīga no mēroga, tāpēc varam pieņemt, ka KN = x, KM = 1. No taisnleņķa trijstūriem AKN un BKM iegūstam, ka Rakstot vēlreiz jau iepriekš izmantoto sakarību.
BM + AN = AB + MN ⇔

Mums jāaprēķina attiecība:

Šeit mēs izmantojām faktu, ka trijstūri AKD un BKC ir saistīti kā malu KN un KM kvadrāti, tas ir, kā x2.

Atbilde:

5. uzdevums. Izliektā četrstūrī ABCD punkti E, F, H, G ir attiecīgi malu AB, BC, CD, DA viduspunkti, bet O ir nogriežņu EH un FG krustošanās punkts. Ir zināms, ka EH = a, FG = b, Atrast četrstūra diagonāļu garumus.

Risinājums. Ir zināms, ka, virknē savienojot patvaļīga četrstūra malu viduspunktus, jūs iegūstat paralelogramu. Mūsu gadījumā EFHG ir paralelograms, un O ir tā diagonāļu krustošanās punkts. Tad

Trijstūrim FOH piemērosim kosinusa teorēmu:

Tā kā FH ir trijstūra BCD viduslīnija, tad

Līdzīgi, piemērojot kosinusa teorēmu trīsstūrim EFO, mēs iegūstam to

Atbilde:

6. uzdevums. Trapeces sānu malas ir 3 un 5. Ir zināms, ka trapecē var ierakstīt apli. Trapeces viduslīnija sadala to divās daļās, to laukumu attiecība ir vienāda ar Atrodi trapeces pamatus.

Risinājums. Lai ABCD ir dota trapece, AB = 3 un CD = 5 tās sānu malas, punkti K un M ir attiecīgi malu AB un CD viduspunkti. Precizitātei pieņemsim AD > BC, tad trapeces AKMD laukums būs lielāks par trapeces KBCM laukumu. Tā kā KM ir trapeces ABCD viduslīnija, trapecveida AKMD un KBCM augstumi ir vienādi. Tā kā trapeces laukums ir vienāds ar pusi no pamatu un augstuma summas reizinājumu, ir taisnība:

Tālāk, tā kā trapecē ABCD var ierakstīt apli, tad AD + BC = AB + CD = 8. Tad KM = 4 kā trapeces ABCD viduslīnija. Lai BC = x, tad AD = 8 – x. Mums ir:
Tātad BC = 1 un AD = 7.

Atbilde: 1 un 7.

7. problēma. Trapeces ABCD pamatne AB ir divreiz garāka par CD pamatni un divreiz garāka par malu AD. Diagonāles AC garums ir a, un malas BC garums ir vienāds ar b. Atrodiet trapeces laukumu.

Risinājums. Trapeces sānu malu paplašinājumu krustpunkts E ir un CD = x, tad AD = x, AB = 2x. Segments CD ir paralēls segmentam AB un ir puse no tā garuma, kas nozīmē, ka CD ir trijstūra ABE viduslīnija. Tāpēc CE = BC = b un DE = AD = x, tātad AE = 2x. Tātad trīsstūris ABE ir vienādsānu (AB = AE) un AC ir tā mediāna. Tāpēc AC ir arī šī trīsstūra augstums, kas nozīmē

Tā kā trijstūris DEC ir līdzīgs trijstūrim AEB ar līdzības koeficientu, tad

Atbilde:

8. problēma. Trapeces ABCD diagonāles krustojas punktā E. Atrodiet trīsstūra BCE laukumu, ja trapeces pamatu garumi ir AB = 30, DC = 24, malas AD = 3 un leņķis DAB ir 60°.

Risinājums. Lai DH ir trapeces augstums. No trijstūra ADH mēs to atklājam

Tā kā no virsotnes C nomestā trijstūra ABC augstums ir vienāds ar trapeces augstumu DH, mums ir:

Atbilde:

9. problēma. Trapecveida formā viduslīnija ir 4, un leņķi vienā no pamatnēm ir 40° un 50°. Atrodiet trapeces pamatus, ja segments, kas savieno pamatu viduspunktus, ir vienāds ar 1.

Risinājums. Lai ABCD ir dota trapece, AB un CD tās bāzes (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Izstiepiet malas DA un CB līdz krustojumam punktā E. Aplūkosim trīsstūri ABE, kurā ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
tāpēc ∠AEB = 90°. Šī trijstūra mediāna EM, kas novilkta no taisnā leņķa virsotnes, ir vienāda ar pusi no hipotenūzas: EM = AM. Pieņemsim, ka EM = x, tad AM = x, DN = 4 – x. Atbilstoši uzdevuma nosacījumam MN = 1, tāpēc
EN = x + 1. No trīsstūru AEM un DEN līdzības iegūstam:

Tas nozīmē, ka AB = 3 un CD = 5.

Atbilde: 3 un 5.

10. problēma. Izliekts četrstūris ABCD ir norobežots ap apli, kura centrs atrodas punktā O, ar AO = OC = 1, BO = OD = 2. Atrodiet četrstūra ABCD perimetru.

Risinājums. Apļa ar malām AB, BC, CD, DA attiecīgi pieskares punkti K, L, M, N un apļa rādiuss r. Tā kā riņķa pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz pieskares punktam, trijstūri AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO ir taisnstūrveida. Piemērojot šiem trijstūriem Pitagora teorēmu, mēs iegūstam to

Tāpēc AB = BC = CD = DA, tas ir, ABCD ir rombs. Romba diagonāles ir perpendikulāras viena otrai, un to krustošanās punkts ir ierakstītā apļa centrs. No šejienes mēs viegli konstatējam, ka romba mala ir vienāda un tāpēc romba perimetrs ir vienāds ar

Atbilde:

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

S-1. Ap apli ar rādiusu r ir norobežota vienādmalu trapece ABCD. Lai E un K ir šī riņķa pieskares punkti ar trapeces malām. Leņķis starp trapeces pamatni AB un malu AD ir 60°. Pierādīt, ka EK ir paralēla AB, un atrodiet trapeces ABEK laukumu.
S-2. Trapecveida formā diagonāles ir 3 un 5, un segments, kas savieno pamatu viduspunktus, ir 2. Atrodiet trapeces laukumu.
S-3. Vai ir iespējams aprakstīt apli ap četrstūri ABCD, ja ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
S-4. Trapecveida ABCD (AB ir bāze) leņķu DAB, BCD, ADC, ABD un ADB vērtības veido aritmētisko progresiju (secībā, kādā tās ir rakstītas). Atrodiet attālumu no virsotnes C līdz diagonālei BD, ja trapeces augstums ir h.
S-5. Dota vienādsānu trapece, kurā ir ierakstīts aplis un ap kuru ir norobežots aplis. Trapeces augstuma attiecība pret ierobežotā apļa rādiusu ir Atrodi trapeces leņķus.
S-6. Taisnstūra ABCD laukums ir 48, bet diagonāles garums ir 10. Plaknē, kurā atrodas taisnstūris, punktu O izvēlas tā, lai OB = OD = 13. Atrodiet attālumu no punkta O līdz taisnstūra virsotne, kas atrodas vistālāk no tās.
S-7. Paralelograma ABCD perimetrs ir 26. Leņķis ABC ir 120°. Trijstūrī BCD ierakstītā riņķa rādiuss ir Atrast paralelograma malu garumus, ja zināms, ka AD > AB.
S-8.Četrstūris ABCD ir ierakstīts aplī, kura centrs atrodas punktā O. Rādiuss OA ir perpendikulārs rādiusam OB, un rādiuss OC ir perpendikulārs rādiusam OD. No punkta C līdz taisnei AD nomestā perpendikula garums ir vienāds ar 9. Nogriežņa BC garums ir puse no segmenta AD garuma. Atrodiet trīsstūra AOB laukumu.
S-9. Izliektā četrstūrī ABCD virsotnes A un C ir pretējas, un malas AB garums ir 3. Leņķis ABC ir vienāds ar leņķi BCD ir vienāds ar Atrast malas AD garumu, ja zināt, ka četrstūra laukums ir vienāds ar

S-10. Izliektā četrstūrī ABCD ir novilktas diagonāles AC un BD. Ir zināms, ka
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, un attālums starp trijstūra ABD bisektoru krustpunktu un trijstūra ACD bisektoru krustpunktu ir Atrast malas BC garumu.
S-11. Apzīmēsim izliekta četrstūra ABCD diagonāļu krustpunktu M, kura malas AB, AD un BC ir vienādas. Atrodiet leņķi CMD, ja ir zināms, ka DM = MC,
un ∠CAB ≠ ∠DBA.
S-12.Četrstūrī ABCD mēs zinām, ka ∠A = 74°, ∠D = 120°. Atrodiet leņķi starp leņķu B un C bisektriecēm.
S-13. Apli var ierakstīt četrstūrī ABCD. Ar K ir tā diagonāļu krustpunkts. Ir zināms, ka AB > BC > KC un trijstūra BKC perimetrs un laukums ir attiecīgi 14 un 7. Atrodiet DC.
S-14. Trapecē, kas apvilkta ap apli, ir zināms, ka BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Atrodiet AB, ja trapeces ABCD laukums ir 10.
S-15. Trapecē ABCD ar bāzēm AB un CD zināms, ka ∠CAB = 2∠DBA. Atrodiet trapeces laukumu.
S-16. Paralelogrammā ABCD zināms, ka AC = a, ∠CAB = 60°. Atrodiet paralelograma laukumu.
S-17. Četrstūrī ABCD diagonāles AC un BD krustojas punktā K. Punkti L un M ir attiecīgi malu BC un AD viduspunkti. Nogrieznis LM satur punktu K. Četrstūris ABCD ir tāds, ka tajā var ierakstīt apli. Atrodiet šī apļa rādiusu, ja AB = 3 un LK: KM = 1: 3.
S-18. Izliektā četrstūrī ABCD ir novilktas diagonāles AC un BD. Šajā gadījumā ∠BAC =
= ∠BDC, un ap trijstūri BDC apvilktā apļa laukums ir vienāds ar
a) Atrodi ap trijstūri ABC apzīmētā riņķa rādiusu.
b) Zinot, ka BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, atrodiet četrstūra ABCD laukumu.

Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (paralelogrammas sadaļa). Ja jums ir jāatrisina ģeometrijas problēma, kuras šeit nav, rakstiet par to forumā. Lai norādītu kvadrātsaknes izvilkšanas darbību problēmu risinājumos, tiek izmantots simbols √ vai sqrt(), iekavās norādot radikāļu izteiksmi.

Teorētiskais materiāls

Paskaidrojumi paralelograma laukuma atrašanas formulām:

1. Paralelograma laukums ir vienāds ar vienas malas garuma un šīs malas augstuma reizinājumu
2. Paralelograma laukums ir vienāds ar tā divu blakus esošo malu un leņķa sinusa reizinājumu starp tām
3. Paralelograma laukums ir vienāds ar pusi no tā diagonāļu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājuma

Problēmas ar paralelograma laukuma atrašanu

Risinājums.
Apzīmēsim paralelograma ABCD mazāko augstumu no punkta B uz lielāko bāzi AD kā BK.
Atradīsim taisnleņķa trijstūra ABK kājas vērtību, ko veido mazāks augstums, mazāka mala un daļa no lielākas pamatnes. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82–81
AK = 1

Pagarināsim paralelograma BC augšējo pamatni un nolaidīsim augstumu AN no tā apakšējās pamatnes. AN = BK kā taisnstūra ANBK malas. Atradīsim iegūtā taisnleņķa trijstūra ANC kāju NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225–81
NC 2 = √144
NC=12

Tagad atradīsim paralelograma ABCD lielāko bāzi BC.
BC = NC - NB
Ņemsim vērā, ka NB = AK kā taisnstūra malas, tad
BC = 12 - 1 = 11

Paralelograma laukums ir vienāds ar pamatnes reizinājumu un augstumu līdz šai pamatnei.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Atbilde: 99 cm 2 .

Uzdevums

Risinājums.
Nometīsim vēl vienu perpendikulāru DK uz diagonāles AC.
Attiecīgi trijstūri AOB un DKC, COB un AKD ir pa pāriem vienādi. Viena no malām ir paralelograma pretējā puse, viens no leņķiem ir taisns leņķis, jo tas ir perpendikulārs diagonālei, un viens no pārējiem leņķiem ir iekšējais krusts, kas atrodas paralelograma paralēlajām malām un nogriezni. diagonāli.

Tādējādi paralelograma laukums ir vienāds ar norādīto trīsstūru laukumu. Tas ir
Paralēli = 2S AOB + 2S BOC

Taisnstūra trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no kāju reizinājuma. Kur
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Atbilde: 56 cm 2 .

Paralelograma laukuma formula

Paralelograma laukums ir vienāds ar tā malas un šīs malas augstuma reizinājumu.

Pierādījums

Ja paralelograms ir taisnstūris, tad vienādību apmierina teorēma par taisnstūra laukumu. Tālāk mēs pieņemam, ka paralelograma leņķi nav pareizi.

Lai $\angle BAD$ ir akūts leņķis paralelogrammā $ABCD$ un $AD > AB$. Pretējā gadījumā mēs pārdēvēsim virsotnes. Tad augstums $BH$ no virsotnes $B$ līdz taisnei $AD$ nokrīt uz sānu $AD$, jo kājiņa $AH$ ir īsāka par hipotenūzu $AB$, un $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Salīdzināsim paralelograma $ABCD$ laukumu un taisnstūra $HBCK$ laukumu. Paralelograma laukums ir lielāks par laukumu $\trijstūris ABH$, bet mazāks par laukumu $\trijstūris DCK$. Tā kā šie trīsstūri ir vienādi, to laukumi ir vienādi. Tas nozīmē, ka paralelograma laukums ir vienāds ar taisnstūra laukumu ar malu garumu uz sāniem un paralelograma augstumu.

Formula paralelograma laukumam, izmantojot malas un sinusu

Paralelograma laukums ir vienāds ar blakus esošo malu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājumu.

Pierādījums

Paralelograma $ABCD$ augstums, kas nomests uz malas $AB$, ir vienāds ar segmenta $BC$ un leņķa $\angle ABC$ sinusa reizinājumu. Atliek piemērot iepriekšējo apgalvojumu.

Formula paralelograma laukumam, izmantojot diagonāles

Paralelograma laukums ir vienāds ar pusi no diagonāļu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājuma.

Pierādījums

Ļaujiet paralelograma $ABCD$ diagonālēm krustoties punktā $O$ ar leņķi $\alpha$. Tad $AO=OC$ un $BO=OD$ pēc paralelograma īpašības. To leņķu sinusi, kuru summa ir $180^\circ$, ir vienādi: $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Tas nozīmē, ka leņķu sinusi diagonāļu krustpunktā ir vienādi ar $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\trijstūris AOB) + S_(\trijstūris BOC) + S_(\trijstūris COD) + S_(\trijstūris AOD)$

saskaņā ar laukuma mērīšanas aksiomu. Mēs pielietojam trijstūra laukuma formulu $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ šiem trijstūriem un leņķiem, kad diagonāles krustojas. Katras malas ir vienādas ar pusi no diagonālēm, un arī sinusi ir vienādi. Tāpēc visu četru trīsstūru laukumi ir vienādi ar $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Apkopojot visu iepriekš minēto, mēs iegūstam

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Risinot problēmas par šo tēmu, izņemot pamata īpašības paralelograms un atbilstošās formulas, varat atcerēties un lietot sekojošo:

1. Paralelograma iekšējā leņķa bisektrise nogriež no tā vienādsānu trīsstūri
2. Iekšējo leņķu bisektrise, kas atrodas blakus vienai no paralelograma malām, ir savstarpēji perpendikulāras
3. Bisektori, kas nāk no pretējiem paralelograma iekšējiem stūriem, ir paralēli viens otram vai atrodas uz vienas taisnes
4. Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar tā malu kvadrātu summu
5. Paralelograma laukums ir vienāds ar pusi no diagonāļu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājuma

Apskatīsim problēmas, kurās šīs īpašības tiek izmantotas.

1. uzdevums.

Paralelograma ABCD leņķa C bisektrise krusto malu AD punktā M un malas AB turpinājumu aiz punkta A punktā E. Atrast paralelograma perimetru, ja AE = 4, DM = 3.

Risinājums.

1. Trijstūris CMD ir vienādsānu. (Īpašums 1). Tāpēc CD = MD = 3 cm.

2. Trijstūris EAM ir vienādsānu.
Tāpēc AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetrs ABCD = 20 cm.

Atbilde. 20 cm.

2. uzdevums.

Izliektā četrstūrī ABCD ir ievilktas diagonāles. Ir zināms, ka trīsstūru ABD, ACD, BCD laukumi ir vienādi. Pierādīt, ka šis četrstūris ir paralelograms.

Risinājums.

1. Trijstūra ABD augstums BE, trijstūra ACD augstums CF. Tā kā atbilstoši uzdevuma nosacījumiem trīsstūru laukumi ir vienādi un tiem ir kopīga bāze AD, tad šo trijstūri augstumi ir vienādi. BE = CF.

2. BE, CF ir perpendikulāri AD. Punkti B un C atrodas vienā pusē attiecībā pret taisni AD. BE = CF. Tāpēc taisne BC || A.D. (*)

3. Apzīmēsim AL trijstūra ACD augstumu, BK — trijstūra BCD augstumu. Tā kā atbilstoši uzdevuma nosacījumiem trīsstūru laukumi ir vienādi un tiem ir kopīgs pamats CD, tad šo trijstūri augstumi ir vienādi. AL = BK.

4. AL un BK ir perpendikulāri CD. Punkti B un A atrodas vienā pusē attiecībā pret taisnu līniju CD. AL = BK. Tāpēc taisne AB || CD (**)

5. No nosacījumiem (*), (**) izriet, ka ABCD ir paralelograms.

Atbilde. Pierādīts. ABCD ir paralelograms.

3. uzdevums.

Paralelograma ABCD malās BC un CD attiecīgi atzīmēti punkti M un H, lai nogriežņi BM un HD krustotos punktā O;<ВМD = 95 о,