Dažādu figūru laukums. Kāds ir figūras laukums? Personiskās informācijas aizsardzība

Ģeometriskas figūras laukums- ģeometriskas figūras skaitlisks raksturlielums, kas parāda šīs figūras izmēru (virsmas daļa, ko ierobežo šīs figūras slēgtā kontūra). Laukuma lielumu izsaka ar tajā esošo kvadrātvienību skaitu.

Trijstūra laukuma formulas

Formula trīsstūra laukumam pēc sāniem un augstuma
Trijstūra laukums vienāds ar pusi reizinājuma no trijstūra malas garuma un augstuma garuma, kas novilkts uz šo malu
Trijstūra laukuma formula, kuras pamatā ir trīs malas un apļveida loka rādiuss
Trijstūra laukuma formula, kuras pamatā ir trīs malas un ierakstītā apļa rādiuss
Trijstūra laukums ir vienāds ar trijstūra pusperimetra un ierakstītā riņķa rādiusa reizinājumu.

Kvadrātveida laukuma formulas

Formula kvadrāta laukumam pēc sānu garuma
Kvadrātveida laukums vienāds ar tās malas garuma kvadrātu.
Formula kvadrāta laukumam pa diagonāli
Kvadrātveida laukums vienāds ar pusi no tās diagonāles garuma kvadrāta.
S= 1 2
2

Taisnstūra laukuma formula

Taisnstūra laukums

Paralēlogrammas laukuma formulas

Formula paralelograma laukumam, pamatojoties uz malas garumu un augstumu
Paralelograma laukums
Formula paralelograma laukumam, pamatojoties uz divām malām un leņķi starp tām
Paralelograma laukums ir vienāds ar tā malu garuma reizinājumu ar leņķa starp tām sinusu.
a b sin α

Romba laukuma formulas

Formula romba laukumam, pamatojoties uz sānu garumu un augstumu
Romba laukums vienāds ar tās sānu garuma un uz šo pusi nolaistā augstuma reizinājumu.
Formula romba laukumam, pamatojoties uz sānu garumu un leņķi
Romba laukums ir vienāds ar tā malas garuma kvadrāta un leņķa starp romba malām sinusa reizinājumu.
Romba laukuma formula, pamatojoties uz tā diagonāļu garumiem
Romba laukums vienāds ar pusi no tā diagonāļu garumu reizinājuma.

Trapecveida laukuma formulas

Gārņa formula trapecveida formai
kur S ir trapeces laukums,
- trapecveida pamatu garumi,
- trapeces malu garumi,

Kā atrast figūras laukumu?

Zināt un prast dažādu figūru laukumus ir nepieciešams ne tikai vienkāršu ģeometrisku uzdevumu risināšanai. Bez šīm zināšanām nevar iztikt, sastādot vai pārbaudot telpu remonta tāmes, aprēķinot nepieciešamo palīgmateriālu daudzumu. Tātad, izdomāsim, kā atrast dažādu formu apgabalus.

Plaknes daļu, kas atrodas slēgtā kontūrā, sauc par šīs plaknes laukumu. Platību izsaka ar tajā esošo kvadrātvienību skaitu.

Lai aprēķinātu pamata ģeometrisko formu laukumu, jums jāizmanto pareizā formula.

Trijstūra laukums

Apzīmējumi:

Ja ir zināmi h, a, tad vajadzīgā trijstūra laukumu nosaka kā malas garumu un uz šo pusi nolaistā trijstūra augstuma reizinājumu, dalot uz pusēm: S=(a h)/2
Ja ir zināmi a, b, c, tad nepieciešamo laukumu aprēķina, izmantojot Herona formulu: kvadrātsakne, kas iegūta no trijstūra puses perimetra un trīs starpības starp trijstūra pusi perimetra un katras malas reizinājuma: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
Ja ir zināmi a, b, γ, tad trijstūra laukumu nosaka kā pusi no 2 malu reizinājuma, reizinot ar leņķa sinusa vērtību starp šīm malām: S=(a b sin γ)/2
Ja ir zināmi a, b, c, R, tad nepieciešamo laukumu nosaka, dalot trijstūra visu malu garumu reizinājumu ar četriem ierobežotā riņķa rādiusiem: S=(a b c)/4R
Ja ir zināmi p, r, tad nepieciešamo trīsstūra laukumu nosaka, reizinot pusi perimetra ar tajā ierakstītā apļa rādiusu: S=p·r

Kvadrātveida laukums

Apzīmējumi:

Ja mala ir zināma, tad dotās figūras laukumu nosaka kā tās malas garuma kvadrātu: S=a 2
Ja d ir zināms, tad kvadrāta laukumu nosaka kā pusi no tā diagonāles garuma kvadrāta: S=d 2 /2

Taisnstūra laukums

Apzīmējumi:

S - noteikta platība,
a, b - taisnstūra malu garumi.

Ja ir zināmi a, b, tad dotā taisnstūra laukumu nosaka tā divu malu garumu reizinājums: S=a b
Ja malu garumi nav zināmi, tad taisnstūra laukums jāsadala trīsstūros. Šajā gadījumā taisnstūra laukumu nosaka kā to veidojošo trīsstūru laukumu summu.

Paralelograma laukums

Apzīmējumi:

S ir vajadzīgā platība,
a, b - sānu garumi,
h ir dotā paralelograma augstuma garums,
d1, d2 - divu diagonāļu garumi,
α ir leņķis starp malām,
γ ir leņķis starp diagonālēm.

Ja ir zināmi a, h, tad nepieciešamo laukumu nosaka, reizinot malas garumus un uz šo pusi nolaisto augstumu: S=a h
Ja ir zināmi a, b, α, tad paralelograma laukumu nosaka, reizinot paralelograma malu garumus un leņķa sinusu starp šīm malām: S=a b sin α
Ja ir zināmi d 1 , d 2 , γ, tad paralelograma laukumu nosaka kā pusi no diagonāļu garumu reizinājuma un leņķa sinusa starp šīm diagonālēm: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Romba laukums

Apzīmējumi:

S ir vajadzīgā platība,
a - sānu garums,
h - garums garums,
α ir mazākais leņķis starp abām malām,
d1, d2 - divu diagonāļu garumi.

Ja ir zināmi a, h, tad romba laukumu nosaka, reizinot malas garumu ar augstuma garumu, kas nolaista uz šo pusi: S=a h
Ja ir zināmi a, α, tad romba laukumu nosaka, reizinot malas garuma kvadrātu ar leņķa starp malām sinusu: S=a 2 sin α
Ja ir zināmi d 1 un d 2, tad nepieciešamo laukumu nosaka kā pusi no romba diagonāļu garumu reizinājuma: S=(d 1 d 2)/2

Trapecveida laukums

Apzīmējumi:

Ja ir zināmi a, b, c, d, tad nepieciešamo laukumu nosaka pēc formulas: S= (a+b) /2 *√.
Ar zināmu a, b, h nepieciešamo laukumu nosaka kā pusi no pamatu summas un trapeces augstuma reizinājumu: S=(a+b)/2 h.

Izliekta četrstūra laukums

Apzīmējumi:

Ja ir zināmi d 1 , d 2 , α, tad izliekta četrstūra laukumu nosaka kā pusi no četrstūra diagonāļu reizinājuma, reizinot ar leņķa sinusu starp šīm diagonālēm: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
Zināmiem p, r izliekta četrstūra laukumu nosaka kā četrstūra pusperimetra un šajā četrstūrī ierakstītā riņķa rādiusa reizinājumu: S=p r
Ja ir zināmi a, b, c, d, θ, tad izliekta četrstūra laukumu nosaka kā kvadrātsakni no pusperimetra starpības un katras malas garuma reizinājuma, no kuras atņemtas visu malu garumi un kosinusa kvadrāts, kas veido pusi no divu pretējo leņķu summas: S 2 = (p - a )(p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α+) β)/2)

Apļa laukums

Apzīmējumi:

Ja ir zināms r, tad nepieciešamo laukumu nosaka kā skaitļa π un rādiusa kvadrātā reizinājumu: S=π r 2

Ja d ir zināms, tad apļa laukumu nosaka kā skaitļa π reizinājumu ar diametra kvadrātu, kas dalīts ar četri: S=(π d 2)/4

Sarežģītas figūras laukums

Sarežģītās var sadalīt vienkāršās ģeometriskās formās. Sarežģītas figūras laukums tiek definēts kā tā sastāvdaļu laukumu summa vai starpība. Apsveriet, piemēram, gredzenu.

Apzīmējums:

S — gredzena laukums,
R, r - attiecīgi ārējā apļa un iekšējā apļa rādiusi,
D, d ir attiecīgi ārējā un iekšējā apļa diametrs.

Lai atrastu gredzena laukumu, jums ir jāatņem laukums no lielākā apļa laukuma mazāks aplis. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Tādējādi, ja ir zināmi R un r, tad gredzena laukumu nosaka kā ārējā un iekšējā apļa rādiusu kvadrātu starpību, reizinot ar pi: S=π(R 2 -r 2).

Ja ir zināmi D un d, tad gredzena laukumu nosaka kā ceturtdaļu no ārējā un iekšējā apļa diametru kvadrātu starpības, reizinot ar pi: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Plākstera apgabals

Pieņemsim, ka viena kvadrāta (A) iekšpusē ir otrs (B) (mazāka izmēra), un mums jāatrod iekrāsotais dobums starp figūrām "A" un "B". Teiksim, neliela kvadrāta "rāmis". Priekš šī:

Atrodiet attēla "A" laukumu (aprēķināts, izmantojot kvadrāta laukuma atrašanas formulu).
Līdzīgi mēs atrodam attēla "B" laukumu.
Atņemiet apgabalu "B" no apgabala "A". Un tādējādi mēs iegūstam iekrāsotās figūras laukumu.

Tagad jūs zināt, kā atrast dažādu formu apgabalus.

Klase: 5

Manuprāt, skolotāja uzdevums ir ne tikai mācīt, bet arī attīstīt izglītojamā izziņas interesi. Tāpēc, kad vien iespējams, stundu tēmas savienoju ar praktiskiem uzdevumiem.

Nodarbības laikā skolēni skolotāja vadībā sastāda problēmu risināšanas plānu, lai atrastu “sarežģītās figūras” laukumu (remonta tāmes aprēķināšanai), nostiprinātu prasmes problēmu risināšanā, lai atrastu laukumu; notiek uzmanības, pētnieciskās darbības spēju, aktivitātes audzināšanas un patstāvības attīstība.

Strādājot pāros, veidojas komunikācijas situācija starp tiem, kam ir zināšanas, un tiem, kas tās iegūst; Šis darbs ir balstīts uz mācību priekšmeta apmācības kvalitātes uzlabošanu. Veicina intereses veidošanos par mācību procesu un izglītības materiāla dziļāku asimilāciju.

Nodarbība ne tikai sistematizē skolēnu zināšanas, bet arī veicina radošo un analītisko spēju attīstību. Praktiskā satura uzdevumu izmantošana klasē ļauj parādīt matemātikas zināšanu nozīmi ikdienas dzīvē.

Nodarbības mērķi:

Izglītības:

zināšanu nostiprināšana par taisnstūra laukuma, taisnstūra trīsstūra formulām;
uzdevumu analīze “sarežģītas” figūras laukuma aprēķināšanai un to izpildes metodes;
patstāvīga uzdevumu veikšana zināšanu, prasmju un iemaņu pārbaudei.

Izglītības:

garīgās un pētnieciskās darbības metožu izstrāde;
attīstīt spēju klausīties un izskaidrot lēmuma gaitu.

Izglītības:

attīstīt studentu akadēmiskās prasmes;
izkopt mutiskās un rakstiskās matemātiskās runas kultūru;
attīstīt draudzīgu attieksmi klasē un spēju strādāt grupās.

Nodarbības veids: apvienots.

Aprīkojums:

Matemātika: mācību grāmata 5. klasei. vispārējā izglītība iestādes/ N.Ya. Viļenkins, V.I. Žohovs et al., M.: "Mnemosyne", 2010.
Kartes skolēnu grupām ar formām, lai aprēķinātu sarežģītas formas laukumu.
Zīmēšanas rīki.

Nodarbības plāns:

Laika organizēšana.
Zināšanu atjaunināšana.
a) Teorētiskie jautājumi (tests).
b) Problēmas izklāsts.
Iemācījās jaunu materiālu.
a) problēmas risinājuma atrašana;
b) problēmas risinājums.
Materiāla nostiprināšana.
a) kolektīva problēmu risināšana;
Fiziskās audzināšanas minūte.
b) patstāvīgais darbs.
Mājasdarbs.
Nodarbības kopsavilkums. Atspulgs.

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments.

Nodarbību sāksim ar šiem atvadīšanās vārdiem:

Matemātika, draugi,
Pilnīgi visiem tas ir vajadzīgs.
Cītīgi strādājiet klasē
Un veiksme jūs noteikti gaida!

II. Zināšanu atjaunināšana.

A) Frontālais darbs ar signālkartēm (katram skolēnam ir kartītes ar cipariem 1, 2, 3, 4; atbildot uz pārbaudes jautājumu, skolēns paceļ karti ar pareizās atbildes numuru).

1. Kvadrātcentimetrs ir:

kvadrāta laukums ar malu 1 cm;
kvadrāts ar malu 1 cm;
kvadrāts ar perimetru 1 cm.

2. Attēlā redzamā attēla laukums ir vienāds ar:

8 dm;
8 dm 2;
15 dm 2.

3. Vai tā ir taisnība, ka vienādiem skaitļiem ir vienādi permetri un vienādi laukumi?

4. Taisnstūra laukumu nosaka pēc formulas:

S = a2;
S = 2 (a + b);
S = a b.

5. Attēlā redzamā attēla laukums ir vienāds ar:

12 cm;
8 cm;
16 cm.

b) (Problēmas formulējums). Uzdevums. Cik daudz krāsas nepieciešams, lai nokrāsotu grīdu, kurai ir šāda forma (sk. attēlu), ja uz 1 m2 tiek patērēti 200 g krāsas?

III. Jauna materiāla apgūšana.

Kas mums jāzina, lai atrisinātu pēdējo problēmu? (Atrodiet grīdas laukumu, kas izskatās pēc "sarežģītas figūras".)

Skolēni formulē stundas tēmu un mērķus (ja nepieciešams, palīdz skolotājs).

Apsveriet taisnstūri ABCD. Ievilksim tajā līniju KPMN, laužot taisnstūri ABCD divās daļās: ABNMPK Un KPMNCD.

Kas ir apgabals? ABCD? (15 cm 2)

Kāds ir figūras laukums? ABMNPK? (7 cm 2)

Kāds ir figūras laukums? KPMNCD? (8 cm 2)

Analizējiet savus rezultātus. (15 = = 7 + 8)

Secinājums? (Visas figūras laukums ir vienāds ar tās daļu laukumu summu.)

S = S 1 + S 2

Kā mēs varam izmantot šo īpašumu, lai atrisinātu mūsu problēmu? (Sadalīsim sarežģītu figūru daļās, atrodam daļu laukumus, pēc tam visas figūras laukumu.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Izlīdzēsimies problēmu risināšanas plāns, lai atrastu “sarežģītas figūras” laukumu:

Mēs sadalām figūru vienkāršās figūrās.
Vienkāršu figūru laukumu atrašana.

a) 1. uzdevums. Cik flīžu būs nepieciešams, lai izkārtotu šādu izmēru vietni:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60–30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Vai ir kāds cits risinājums? (Mēs apsveram piedāvātās iespējas.)

Atbilde: 2100 dm 2.

2. uzdevums. (kolektīvs lēmums valdē un piezīmju grāmatiņās.) Cik m2 linoleja nepieciešams, lai atjaunotu telpu, kurai ir šāda forma:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5–3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Atbilde: 8 m2.

Fiziskās audzināšanas minūte.

Un tagad, puiši, piecelieties.
Viņi ātri pacēla rokas uz augšu.
Uz sāniem, uz priekšu, atpakaļ.
Pagriezās pa labi, pa kreisi.
Viņi klusi apsēdās un atgriezās darbā.

b) Patstāvīgs darbs (izglītojošs) .

Skolēni tiek sadalīti grupās (spēcīgākas ir Nr. 5–8). Katra grupa ir remonta brigāde.

Uzdevums komandām: noteikt, cik daudz krāsas nepieciešams, lai nokrāsotu grīdu, kurai ir kartītē redzamā figūra, ja nepieciešams 200 g krāsas uz 1 m2.

Jūs izveidojat šo figūru savā piezīmju grāmatiņā un pierakstiet visus datus un sāciet uzdevumu. Jūs varat apspriest risinājumu (bet tikai savā grupā!). Ja kāda grupa ātri tiek galā ar uzdevumu, tad viņiem tiek dots papildu uzdevums (pēc patstāvīgā darba pārbaudes).

Uzdevumi grupām:

V. Mājas darbs.

18.punkts, Nr.718, Nr.749.

Papildu uzdevums. Vasaras dārza (Sanktpēterburga) plāna shēma. Aprēķiniet tā laukumu.

VI. Nodarbības kopsavilkums.

Atspulgs. Turpiniet teikumu:

Šodien uzzināju...
Bija interesanti…
Bija grūti…
Tagad es varu…
Iedeva man mācību uz mūžu...

Iepriekšējā sadaļā, kas veltīta noteikta integrāļa ģeometriskās nozīmes analīzei, mēs saņēmām vairākas formulas līknes trapeces laukuma aprēķināšanai:

S (G) = ∫ a b f (x) d x nepārtrauktai un nenegatīvai funkcijai y = f (x) intervālā [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x nepārtrauktai un nepozitīvai funkcijai y = f (x) intervālā [ a ; b ] .

Šīs formulas ir piemērojamas salīdzinoši vienkāršu uzdevumu risināšanai. Patiesībā mums bieži būs jāstrādā ar sarežģītākām figūrām. Šajā sakarā mēs šo sadaļu veltīsim algoritmu analīzei, lai aprēķinātu to figūru laukumu, ko ierobežo funkcijas tiešā veidā, t.i. piemēram, y = f(x) vai x = g(y).

Teorēma

Lai funkcijas y = f 1 (x) un y = f 2 (x) ir definētas un nepārtrauktas intervālā [ a ; b ] un f 1 (x) ≤ f 2 (x) jebkurai vērtībai x no [ a ; b ] . Tad formula attēla G laukuma aprēķināšanai, ko ierobežo līnijas x = a, x = b, y = f 1 (x) un y = f 2 (x), izskatīsies šādi: S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Līdzīga formula būs piemērojama figūras laukumam, ko ierobežo līnijas y = c, y = d, x = g 1 (y) un x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Pierādījums

Apskatīsim trīs gadījumus, kuriem formula būs derīga.

Pirmajā gadījumā, ņemot vērā laukuma aditivitātes īpašību, sākotnējā attēla G un līknes trapeces G 1 laukumu summa ir vienāda ar attēla G 2 laukumu. Tas nozīmē, ka

Tāpēc S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Pēdējo pāreju varam veikt, izmantojot noteiktā integrāļa trešo īpašību.

Otrajā gadījumā vienādība ir patiesa: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafiskā ilustrācija izskatīsies šādi:

Ja abas funkcijas ir nepozitīvas, mēs iegūstam: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafiskā ilustrācija izskatīsies šādi:

Apskatīsim vispārīgo gadījumu, kad y = f 1 (x) un y = f 2 (x) krustojas ar O x asi.

Mēs apzīmējam krustošanās punktus kā x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Šie punkti sadala segmentu [a; b ] n daļās x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, kur α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Tāpēc

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Mēs varam veikt pēdējo pāreju, izmantojot noteiktā integrāļa piekto īpašību.

Ilustrēsim vispārīgo gadījumu grafikā.

Formulu S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x var uzskatīt par pierādītu.

Tagad pāriesim uz tādu figūru laukuma aprēķināšanas piemēru analīzi, kurus ierobežo līnijas y = f (x) un x = g (y).

Mēs sāksim izskatīt jebkuru piemēru, izveidojot grafiku. Attēls ļaus mums attēlot sarežģītas formas kā vienkāršāku formu savienības. Ja grafiku un attēlu konstruēšana uz tiem jums ir sarežģīta, varat izpētīt sadaļu par pamatelementārajām funkcijām, funkciju grafiku ģeometrisko pārveidošanu, kā arī grafiku konstruēšanu, pētot funkciju.

1. piemērs

Ir nepieciešams noteikt figūras laukumu, ko ierobežo parabola y = - x 2 + 6 x - 5 un taisnes y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Risinājums

Uzzīmēsim līnijas grafikā Dekarta koordinātu sistēmā.

Uz segmenta [ 1 ; 4 ] parabolas y = - x 2 + 6 x - 5 grafiks atrodas virs taisnes y = - 1 3 x - 1 2. Šajā sakarā, lai iegūtu atbildi, mēs izmantojam iepriekš iegūto formulu, kā arī noteiktā integrāļa aprēķināšanas metodi, izmantojot Ņūtona-Leibnica formulu:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Atbilde: S(G) = 13

Apskatīsim sarežģītāku piemēru.

2. piemērs

Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo līnijas y = x + 2, y = x, x = 7.

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir tikai viena taisna līnija, kas atrodas paralēli x asij. Tas ir x = 7. Tas liek mums pašiem atrast otro integrācijas robežu.

Izveidosim grafiku un uzzīmēsim uz tā uzdevuma formulējumā norādītās līnijas.

Ja grafiks ir mūsu acu priekšā, mēs varam viegli noteikt, ka integrācijas apakšējā robeža būs taisnes y = x grafika un pusparabolas y = x + 2 krustošanās punkta abscisa. Lai atrastu abscisu, mēs izmantojam vienādības:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Izrādās, ka krustojuma punkta abscisa ir x = 2.

Vēršam uzmanību uz to, ka vispārīgajā piemērā zīmējumā līnijas y = x + 2, y = x krustojas punktā (2; 2), tāpēc šādi detalizēti aprēķini var šķist lieki. Mēs šeit esam snieguši tik detalizētu risinājumu tikai tāpēc, ka sarežģītākos gadījumos risinājums var nebūt tik acīmredzams. Tas nozīmē, ka vienmēr ir labāk analītiski aprēķināt līniju krustojuma koordinātas.

Uz intervāla [ 2 ; 7] funkcijas y = x grafiks atrodas virs funkcijas y = x + 2 grafika. Lai aprēķinātu laukumu, izmantosim formulu:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Atbilde: S (G) = 59 6

3. piemērs

Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo funkciju y = 1 x un y = - x 2 + 4 x - 2 grafiki.

Risinājums

Uzzīmēsim līnijas grafikā.

Definēsim integrācijas robežas. Lai to izdarītu, mēs nosakām līniju krustošanās punktu koordinātas, pielīdzinot izteiksmes 1 x un - x 2 + 4 x - 2. Ar nosacījumu, ka x nav nulle, vienādība 1 x = - x 2 + 4 x - 2 kļūst ekvivalenta trešās pakāpes vienādojumam - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 ar veseliem skaitļiem. Lai atsvaidzinātu atmiņu par šādu vienādojumu risināšanas algoritmu, mēs varam skatīt sadaļu “Kubisko vienādojumu risināšana”.

Šī vienādojuma sakne ir x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Sadalot izteiksmi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ar binomiālu x - 1, iegūstam: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Atlikušās saknes varam atrast no vienādojuma x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Mēs atradām intervālu x ∈ 1; 3 + 13 2, kurā skaitlis G atrodas virs zilās un zem sarkanās līnijas. Tas palīdz mums noteikt figūras laukumu:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Atbilde: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

4. piemērs

Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo līknes y = x 3, y = - log 2 x + 1 un abscisu ass.

Risinājums

Uzzīmēsim visas līnijas grafikā. Funkcijas y = - log 2 x + 1 grafiku varam iegūt no grafika y = log 2 x, ja to novietojam simetriski ap x asi un pārvietojam par vienu vienību uz augšu. X ass vienādojums ir y = 0.

Atzīmēsim līniju krustošanās punktus.

Kā redzams attēlā, funkciju y = x 3 un y = 0 grafiki krustojas punktā (0; 0). Tas notiek tāpēc, ka x = 0 ir vienīgā reālā vienādojuma x 3 = 0 sakne.

x = 2 ir vienīgā vienādojuma sakne - log 2 x + 1 = 0, tātad funkciju y = - log 2 x + 1 un y = 0 grafiki krustojas punktā (2; 0).

x = 1 ir vienīgā vienādojuma sakne x 3 = - log 2 x + 1 . Šajā sakarā funkciju y = x 3 un y = - log 2 x + 1 grafiki krustojas punktā (1; 1). Pēdējais apgalvojums var nebūt acīmredzams, bet vienādojumam x 3 = - log 2 x + 1 nevar būt vairāk par vienu sakni, jo funkcija y = x 3 stingri palielinās, un funkcija y = - log 2 x + 1 ir stingri samazinās.

Tālākais risinājums ietver vairākas iespējas.

Variants #1

Attēlu G varam iedomāties kā divu līklīniju trapecveida formu summu, kas atrodas virs x ass, no kurām pirmā atrodas zem viduslīnijas uz segmenta x ∈ 0; 1, bet otrais atrodas zem sarkanās līnijas uz segmenta x ∈ 1; 2. Tas nozīmē, ka laukums būs vienāds ar S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Variants Nr.2

G attēlu var attēlot kā divu figūru starpību, no kurām pirmā atrodas virs x ass un zem zilās līnijas segmentā x ∈ 0; 2, un otrā starp sarkanajām un zilajām līnijām segmentā x ∈ 1; 2. Tas ļauj mums atrast apgabalu šādi:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Šajā gadījumā, lai atrastu apgabalu, jums būs jāizmanto formula šādā formā: S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktiski līnijas, kas ierobežo figūru, var attēlot kā argumenta y funkcijas.

Atrisināsim vienādojumus y = x 3 un - log 2 x + 1 attiecībā pret x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Mēs iegūstam nepieciešamo platību:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Atbilde: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

5. piemērs

Ir jāaprēķina figūras laukums, ko ierobežo līnijas y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Risinājums

Ar sarkanu līniju uzzīmējam ar funkciju y = x definēto līniju. Mēs zīmējam līniju y = - 1 2 x + 4 zilā krāsā un līniju y = 2 3 x - 3 melnā krāsā.

Atzīmēsim krustojuma punktus.

Atradīsim funkciju y = x un y = - 1 2 x + 4 grafiku krustpunktus:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Pārbaudiet: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nav Vai vienādojuma risinājums x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 ir vienādojuma ⇒ (4; 2) krustošanās punkts i y = x un y = - 1 2 x risinājums. + 4

Atradīsim funkciju y = x un y = 2 3 x - 3 grafiku krustpunktu:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Pārbaudiet: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 ir vienādojuma ⇒ (9 ; 3) atrisinājums, punkts a s y = x un y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Vienādojumam nav risinājuma

Atradīsim līniju y = - 1 2 x + 4 un y = 2 3 x - 3 krustošanās punktu:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) krustošanās punkts y = - 1 2 x + 4 un y = 2 3 x - 3

Metode Nr.1

Iedomāsimies vajadzīgās figūras laukumu kā atsevišķu figūru laukumu summu.

Tad figūras laukums ir:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metode Nr.2

Sākotnējās figūras laukumu var attēlot kā divu citu figūru summu.

Pēc tam mēs atrisinām līnijas vienādojumu attiecībā pret x un tikai pēc tam pielietojam figūras laukuma aprēķināšanas formulu.

y = x ⇒ x = y 2 sarkanā līnija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 melnā līnija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Tātad apgabals ir:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 g + 9 2 - - 2 g + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 g + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 g + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kā redzat, vērtības ir vienādas.

Atbilde: S (G) = 11 3

Rezultāti

Lai atrastu figūras laukumu, ko ierobežo noteiktās līnijas, mums ir jākonstruē līnijas plaknē, jāatrod to krustošanās punkti un jāizmanto formula, lai atrastu laukumu. Šajā sadaļā mēs apskatījām visbiežāk sastopamos uzdevumu variantus.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Ir bezgalīgi daudz dažādu formu plakanu figūru, gan regulāru, gan neregulāru. Visu figūru kopīgā īpašība ir tāda, ka katrai no tām ir laukums. Figūru laukumi ir šo figūru aizņemtās plaknes daļas izmēri, kas izteikti noteiktās vienībās. Šo vērtību vienmēr izsaka kā pozitīvu skaitli. Mērvienība ir kvadrāta laukums, kura mala ir vienāda ar garuma vienību (piemēram, viens metrs vai viens centimetrs). Jebkuras figūras aptuveno laukumu var aprēķināt, reizinot vienības kvadrātu skaitu, kurā tas ir dalīts ar viena kvadrāta laukumu.

Citas šī jēdziena definīcijas ir šādas:

1. Vienkāršu skaitļu laukumi ir skalāri pozitīvi lielumi, kas atbilst nosacījumiem:

Vienādiem cipariem ir vienādas platības;

Ja figūru sadala daļās (vienkāršās figūrās), tad tās laukums ir šo figūru laukumu summa;

Kvadrāts ar mērvienības malu kalpo kā laukuma vienība.

2. Sarežģītas formas figūru (daudzstūru) laukumi ir pozitīvi lielumi ar šādām īpašībām:

Vienādiem daudzstūriem ir vienādi laukuma izmēri;

Ja daudzstūris sastāv no vairākiem citiem daudzstūriem, tā laukums ir vienāds ar pēdējo laukumu summu. Šis noteikums ir spēkā daudzstūriem, kas nepārklājas.

Kā aksioma tiek pieņemts, ka figūru (daudzstūru) laukumi ir pozitīvi lielumi.

Apļa laukuma definīcija tiek dota atsevišķi kā vērtība, uz kuru tiecas aplī ierakstītā dotā apļa laukums - neskatoties uz to, ka tā malu skaits tiecas līdz bezgalībai.

Neregulāras formas figūru (patvaļīgu figūru) laukumiem nav definīcijas, ir noteiktas tikai to aprēķināšanas metodes.

Jau senos laikos platību aprēķināšana bija nozīmīgs praktisks uzdevums zemes gabalu lieluma noteikšanā. Noteikumus platību aprēķināšanai vairāku simtu gadu garumā formulēja grieķu zinātnieki un izklāstīja Eiklida elementos kā teorēmas. Interesanti, ka vienkāršu figūru laukumu noteikšanas noteikumi tajās ir tādi paši kā šobrīd. Laukumi ar izliektu kontūru tika aprēķināti, izmantojot pāreju līdz robežai.

Vienkārša taisnstūra vai kvadrāta laukumu aprēķināšana, kas visiem pazīstama no skolas, ir diezgan vienkārša. Nav pat nepieciešams iegaumēt burtu simbolus saturošo skaitļu laukumu formulas. Pietiek atcerēties dažus vienkāršus noteikumus:

2. Taisnstūra laukumu aprēķina, reizinot tā garumu ar platumu. Ir nepieciešams, lai garums un platums būtu izteikti vienādās mērvienībās.

3. Mēs aprēķinām sarežģītas figūras laukumu, sadalot to vairākos vienkāršos un saskaitot iegūtos laukumus.

4. Taisnstūra diagonāle sadala to divos trīsstūros, kuru laukumi ir vienādi un vienādi ar pusi no tā laukuma.

5. Trijstūra laukumu aprēķina kā pusi no tā augstuma un pamatnes reizinājuma.

6. Apļa laukums ir vienāds ar rādiusa kvadrāta un labi zināmā skaitļa “π” reizinājumu.

7. Mēs aprēķinām paralelograma laukumu kā blakus esošo malu un starp tām esošā leņķa sinusa reizinājumu.

8. Romba laukums ir ½ rezultāts, reizinot diagonāles ar iekšējā leņķa sinusu.

9. Mēs atrodam trapeces laukumu, reizinot tās augstumu ar viduslīnijas garumu, kas ir vienāds ar bāzu vidējo aritmētisko. Vēl viena iespēja trapeces laukuma noteikšanai ir reizināt tās diagonāles un leņķa sinusu, kas atrodas starp tām.

Skaidrības labad bērniem pamatskolā bieži tiek doti uzdevumi: atrodiet uz papīra uzzīmētas figūras laukumu, izmantojot paleti vai caurspīdīga papīra lapu, kas sadalīta kvadrātos. Uz izmērītās figūras uzliek šādu papīra loksni, saskaita tās kontūrā ietilpīgo pilno šūnu (laukuma vienību) skaitu, pēc tam nepilno, ko sadala uz pusēm.