Moduļu definīcijas. Kāds ir skaitļa modulis matemātikā

Instrukcijas

Ja modulis tiek attēlots kā nepārtraukta funkcija, tad tā argumenta vērtība var būt pozitīva vai negatīva: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modulis ir nulle, un jebkura pozitīva skaitļa modulis ir . Ja arguments ir negatīvs, tad pēc iekavu atvēršanas tā zīme mainās no mīnusa uz plusu. Pamatojoties uz to, var secināt, ka pretstatu moduļi ir vienādi: |-x| = |x| = x.

Kompleksā skaitļa modulis tiek atrasts pēc formulas: |a| = √b ² + c ² un |a + b| ≤ |a| + |b|. Ja argumentā kā reizinātājs satur pozitīvu skaitli, tad to var izņemt no iekavas zīmes, piemēram: |4*b| = 4*|b|.

Ja arguments tiek uzrādīts kā komplekss skaitlis, tad aprēķinu ērtībai ir pieļaujama taisnstūrveida iekavās ievietoto izteiksmes terminu secība: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, jo (2-3) ir mazāks par nulli.

Arguments, kas izvirzīts pakāpē, vienlaikus atrodas zem tās pašas kārtas saknes zīmes - tas tiek atrisināts, izmantojot: √a² = |a| = ±a.

Ja jums ir uzdevums, kurā nav norādīts nosacījums moduļu kronšteinu paplašināšanai, tad nav nepieciešams no tiem atbrīvoties - tas būs gala rezultāts. Un, ja tie ir jāatver, tad jānorāda ± zīme. Piemēram, jums jāatrod izteiksmes √(2 * (4-b))² vērtība. Viņa risinājums izskatās šādi: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Tā kā izteiksmes 4-b zīme nav zināma, tā jāatstāj iekavās. Ja pievienojat papildu nosacījumu, piemēram, |4-b| >

Nulles modulis ir vienāds ar nulli, un jebkura pozitīva skaitļa modulis ir vienāds ar sevi. Ja arguments ir negatīvs, tad pēc iekavu atvēršanas tā zīme mainās no mīnusa uz plusu. Pamatojoties uz to, var secināt, ka pretējo skaitļu moduļi ir vienādi: |-x| = |x| = x.

Kompleksā skaitļa modulis tiek atrasts pēc formulas: |a| = √b ² + c ² un |a + b| ≤ |a| + |b|. Ja argumentā kā faktors ir pozitīvs vesels skaitlis, tad to var izņemt no iekavas zīmes, piemēram: |4*b| = 4*|b|.

Modulis nevar būt negatīvs, tāpēc jebkurš negatīvs skaitlis tiek pārveidots par pozitīvu: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Ja arguments tiek uzrādīts kompleksa skaitļa formā, tad aprēķinu ērtībai ir atļauts mainīt taisnstūrveida iekavās ieliktās izteiksmes terminu secību: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, jo (2-3) ir mazāks par nulli.

Ja jums ir uzdevums, kurā nav norādīts nosacījums moduļu kronšteinu paplašināšanai, tad nav nepieciešams no tiem atbrīvoties - tas būs gala rezultāts. Un, ja tie ir jāatver, tad jānorāda ± zīme. Piemēram, jums jāatrod izteiksmes √(2 * (4-b))² vērtība. Viņa risinājums izskatās šādi: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Tā kā izteiksmes 4-b zīme nav zināma, tā jāatstāj iekavās. Ja pievienojat papildu nosacījumu, piemēram, |4-b| > 0, tad rezultāts būs 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Nezināmajam elementam var iestatīt arī noteiktu skaitli, kas jāņem vērā, jo tas ietekmēs izteiksmes zīmi.

Skaitļu modulis pats skaitlis tiek izsaukts, ja tas nav negatīvs, vai tas pats skaitlis ar pretēju zīmi, ja tas ir negatīvs.

Piemēram, skaitļa 5 modulis ir 5, un skaitļa –5 modulis arī ir 5.

Tas ir, skaitļa modulis tiek saprasts kā absolūtā vērtība, šī skaitļa absolūtā vērtība, neņemot vērā tā zīmi.

Apzīmēti šādi: |5|, | X|, |A| utt.

Noteikums:

Paskaidrojums:

|5| = 5
Tas skan šādi: skaitļa 5 modulis ir 5.

|–5| = –(–5) = 5
Tas skan šādi: skaitļa –5 modulis ir 5.

|0| = 0
Tas skan šādi: nulles modulis ir nulle.

Moduļa īpašības:

Moduļa ģeometriskā nozīme.

Skaitļa modulis ir attālums no nulles līdz šim skaitlim.

Piemēram, atkal ņemsim skaitli 5. Attālums no 0 līdz 5 ir tāds pats kā no 0 līdz –5 (1. att.). Un, kad mums ir svarīgi zināt tikai segmenta garumu, tad zīmei ir ne tikai nozīme, bet arī nozīme. Tomēr tā nav pilnīgi taisnība: mēs mērām attālumu tikai ar pozitīviem skaitļiem vai nenegatīviem skaitļiem. Lai mūsu skalas dalījuma cena ir 1 cm, tad segmenta garums no nulles līdz 5 ir 5 cm, no nulles līdz –5 arī ir 5 cm.

Praksē attālumu bieži mēra ne tikai no nulles – atskaites punkts var būt jebkurš skaitlis (2. att.). Bet tas būtību nemaina. Formas |a – b| apzīmējums izsaka attālumu starp punktiem A Un b uz skaitļu līnijas.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu | X – 1| = 3.

Risinājums.

Vienādojuma nozīme ir tāda, ka attālums starp punktiem X un 1 ir vienāds ar 3 (2. att.). Tāpēc no 1. punkta mēs saskaitām trīs dalījumus pa kreisi un trīs dalījumus pa labi - un mēs skaidri redzam abas vērtības X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Mēs to varam aprēķināt.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Atbilde: X 1 = –2; X 2 = 4.

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes moduli:

Risinājums.

Vispirms noskaidrosim, vai izteiksme ir pozitīva vai negatīva. Lai to izdarītu, mēs pārveidojam izteiksmi tā, lai tā sastāvētu no viendabīgiem skaitļiem. Nemeklēsim 5 sakni – tas ir diezgan grūti. Darīsim to vienkāršāk: paaugstināsim 3 un 10 līdz saknei. Pēc tam salīdziniet skaitļu lielumu, kas veido atšķirību.

3 = √9. Tāpēc 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Mēs redzam, ka pirmais skaitlis ir mazāks par otro. Tas nozīmē, ka izteiksme ir negatīva, tas ir, tās atbilde ir mazāka par nulli:

3√5 – 10 < 0.

Bet saskaņā ar likumu negatīva skaitļa modulis ir tāds pats skaitlis ar pretēju zīmi. Mums ir negatīva izpausme. Tāpēc ir jāmaina tā zīme uz pretējo. Pretēja izteiksme 3√5 – 10 ir –(3√5 – 10). Atvērsim tajā esošās iekavas un saņemsim atbildi:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Atbildi .

Modulis ir viena no tām lietām, par kuru it kā visi ir dzirdējuši, bet patiesībā neviens īsti nesaprot. Tāpēc šodien būs lielā nodarbība, kas veltīta vienādojumu risināšanai ar moduļiem.

Es teikšu uzreiz: nodarbība nebūs grūta. Un vispār moduļi ir samērā vienkārša tēma. “Jā, protams, tas nav sarežģīti! Tas satriec manu prātu! ” - teiks daudzi skolēni, bet visi šie smadzeņu lūzumi rodas tāpēc, ka lielākajai daļai cilvēku galvā nav zināšanas, bet gan kaut kādas švakas. Un šīs nodarbības mērķis ir pārvērst muļķības zināšanās :)

Nedaudz teorijas

Tātad, ejam. Sāksim ar vissvarīgāko: kas ir modulis? Atgādināšu, ka skaitļa modulis ir vienkārši tāds pats skaitlis, bet ņemts bez mīnusa zīmes. Tas ir, piemēram, $\left| -5 \right|=5$. Vai $\left| -129,5 \right|=129,5 ASV dolāri.

Vai tas ir tik vienkārši? Jā, vienkārši. Kāda tad ir pozitīva skaitļa absolūtā vērtība? Šeit ir vēl vienkāršāk: pozitīva skaitļa modulis ir vienāds ar pašu skaitli: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 ASV dolāri utt.

Izrādās dīvaina lieta: dažādiem numuriem var būt viens un tas pats modulis. Piemēram: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5\right|=129,5 ASV dolāri. Ir viegli redzēt, kādi ir tie skaitļi, kuru moduļi ir vienādi: šie skaitļi ir pretēji. Tādējādi mēs paši atzīmējam, ka pretējo skaitļu moduļi ir vienādi:

\[\pa kreisi| -a \right|=\left| a\right|\]

Vēl viens svarīgs fakts: modulis nekad nav negatīvs. Neatkarīgi no tā, kādu skaitli mēs ņemtu - vai tas būtu pozitīvs vai negatīvs - tā modulis vienmēr izrādās pozitīvs (vai, ārkārtējos gadījumos, nulle). Tāpēc moduli bieži sauc par skaitļa absolūto vērtību.

Turklāt, ja mēs apvienojam moduļa definīciju pozitīvam un negatīvam skaitlim, mēs iegūstam globālu moduļa definīciju visiem skaitļiem. Proti: skaitļa modulis ir vienāds ar pašu skaitli, ja skaitlis ir pozitīvs (vai nulle), vai vienāds ar pretēju skaitli, ja skaitlis ir negatīvs. To var uzrakstīt kā formulu:

Ir arī nulles modulis, bet tas vienmēr ir vienāds ar nulli. Turklāt nulle ir vienīgais skaitlis, kuram nav pretstata.

Tādējādi, ja ņemam vērā funkciju $y=\left| x \right|$ un mēģiniet uzzīmēt tā grafiku, jūs saņemsiet kaut ko līdzīgu:

Moduļu grafiks un vienādojuma risināšanas piemērs

No šī attēla uzreiz ir skaidrs, ka $\left| -m \right|=\left| m \right|$, un moduļa grafiks nekad nenokrīt zem x ass. Bet tas vēl nav viss: sarkanā līnija apzīmē taisni $y=a$, kas pozitīvam $a$ dod mums uzreiz divas saknes: $((x)_(1))$ un $((x) _(2)) $, bet par to parunāsim vēlāk :)

Papildus tīri algebriskajai definīcijai ir arī ģeometriskā definīcija. Pieņemsim, ka skaitļu rindā ir divi punkti: $((x)_(1))$ un $((x)_(2))$. Šajā gadījumā izteiksme $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ ir vienkārši attālums starp norādītajiem punktiem. Vai, ja vēlaties, segmenta garums, kas savieno šos punktus:

Šī definīcija arī nozīmē, ka modulis vienmēr nav negatīvs. Bet pietiekami daudz definīciju un teorijas - pāriesim pie reāliem vienādojumiem :)

Pamatformula

Labi, mēs esam noskaidrojuši definīciju. Bet tas to nepadarīja vieglāku. Kā atrisināt vienādojumus, kas satur tieši šo moduli?

Mierīgi, vienkārši mierīgi. Sāksim ar visvienkāršākajām lietām. Apsveriet kaut ko līdzīgu šim:

\[\pa kreisi| x\right|=3\]

Tātad $x$ modulis ir 3. Ar ko $x$ varētu būt vienāds? Nu, spriežot pēc definīcijas, mēs esam diezgan apmierināti ar $x=3$. Tiešām:

\[\pa kreisi| 3\right|=3\]

Vai ir citi cipari? Šķiet, ka vāciņš norāda, ka ir. Piemēram, $x=-3$ ir arī $\left| -3 \right|=3$, t.i. prasītā vienlīdzība ir izpildīta.

Tātad varbūt, ja mēs meklēsim un domāsim, mēs atradīsim vairāk skaitļu? Bet atzīsim: skaitļu vairs nav. Vienādojums $\left| x \right|=3$ ir tikai divas saknes: $x=3$ un $x=-3$.

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ļaujiet funkcijai $f\left(x \right)$ palikt zem moduļa zīmes, nevis mainīgā $x$, un ievietojiet patvaļīgu skaitli $a$ trīskāršā labajā pusē. Mēs iegūstam vienādojumu:

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=a\]

Tātad, kā mēs varam to atrisināt? Atgādināšu: $f\left(x \right)$ ir patvaļīga funkcija, $a$ ir jebkurš skaitlis. Tie. Vispār jebko! Piemēram:

\[\pa kreisi| 2x+1 \right|=5\]

\[\pa kreisi| 10x-5 \right|=-65\]

Pievērsīsim uzmanību otrajam vienādojumam. Par viņu uzreiz var teikt: viņam nav sakņu. Kāpēc? Viss ir pareizi: jo tas prasa, lai modulis būtu vienāds ar negatīvu skaitli, kas nekad nenotiek, jo mēs jau zinām, ka modulis vienmēr ir pozitīvs skaitlis vai, ārkārtējos gadījumos, nulle.

Bet ar pirmo vienādojumu viss ir jautrāk. Ir divas iespējas: vai nu zem moduļa zīmes ir pozitīva izteiksme, un pēc tam $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, vai šī izteiksme joprojām ir negatīva, un tad $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Pirmajā gadījumā mūsu vienādojums tiks pārrakstīts šādi:

\[\pa kreisi| 2x+1 \right|=5\Rightbultiņa 2x+1=5\]

Un pēkšņi izrādās, ka submodulārā izteiksme $2x+1$ ir patiešām pozitīva – tā ir vienāda ar skaitli 5. Tas ir mēs varam droši atrisināt šo vienādojumu - iegūtā sakne būs daļa no atbildes:

Īpaši neuzticīgie var mēģināt aizstāt atrasto sakni sākotnējā vienādojumā un pārliecināties, ka zem moduļa patiešām ir pozitīvs skaitlis.

Tagad apskatīsim negatīvas submodulāras izteiksmes gadījumu:

\[\left\( \begin(līdzināt)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(līdzināt) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Labā bultiņa 2x+1=-5\]

Hmm! Atkal viss ir skaidrs: mēs pieņēmām, ka $2x+1 \lt 0$, un rezultātā saņēmām, ka $2x+1=-5$ - tiešām šī izteiksme ir mazāka par nulli. Mēs atrisinām iegūto vienādojumu, jau droši zinot, ka atrastā sakne mums būs piemērota:

Kopumā mēs atkal saņēmām divas atbildes: $x=2$ un $x=3$. Jā, aprēķinu apjoms izrādījās nedaudz lielāks nekā ļoti vienkāršajā vienādojumā $\left| x \right|=3$, bet nekas būtiski nav mainījies. Tātad varbūt ir kāds universāls algoritms?

Jā, šāds algoritms pastāv. Un tagad mēs to analizēsim.

Atbrīvošanās no moduļa zīmes

Dosim vienādojumu $\left| f\left(x \right) \right|=a$ un $a\ge 0$ (pretējā gadījumā, kā mēs jau zinām, nav sakņu). Tad jūs varat atbrīvoties no moduļa zīmes, izmantojot šādu noteikumu:

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Tādējādi mūsu vienādojums ar moduli sadalās divās daļās, bet bez moduļa. Tā ir visa tehnoloģija! Mēģināsim atrisināt pāris vienādojumus. Sāksim ar šo

\[\pa kreisi| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Apskatīsim atsevišķi, kad labajā pusē ir desmit pluss, un atsevišķi, kad ir mīnuss. Mums ir:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\beigt(līdzināt)\]

Tas ir viss! Mēs saņēmām divas saknes: $x=1.2$ un $x=-2.8$. Viss risinājums aizņēma burtiski divas rindas.

Labi, bez šaubām, paskatīsimies uz kaut ko nedaudz nopietnāku:

\[\pa kreisi| 7-5x\right|=13\]

Atkal atveram moduli ar plus un mīnusiem:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\labā bultiņa -5x=-20\labā bultiņa x=4. \\\beigt(līdzināt)\]

Atkal pāris rindiņas - un atbilde gatava! Kā jau teicu, moduļos nav nekā sarežģīta. Jums vienkārši jāatceras daži noteikumi. Tāpēc mēs turpinām un sākam ar patiesi sarežģītākiem uzdevumiem.

Labās puses mainīgā gadījums

Tagad apsveriet šo vienādojumu:

\[\pa kreisi| 3x-2 \right|=2x\]

Šis vienādojums būtiski atšķiras no visiem iepriekšējiem. Kā? Un tas, ka pa labi no vienādības zīmes ir izteiksme $2x$ - un mēs nevaram iepriekš zināt, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs.

Ko darīt šajā gadījumā? Pirmkārt, mums tas reizi par visām reizēm jāsaprot ja vienādojuma labā puse izrādīsies negatīva, tad vienādojumam nebūs sakņu- mēs jau zinām, ka modulis nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

Un, otrkārt, ja labā daļa joprojām ir pozitīva (vai vienāda ar nulli), tad jūs varat rīkoties tieši tāpat kā iepriekš: vienkārši atveriet moduli atsevišķi ar plus zīmi un atsevišķi ar mīnusa zīmi.

Tādējādi mēs formulējam noteikumu patvaļīgām funkcijām $f\left(x \right)$ un $g\left(x \right)$ :

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\(\begin(līdzināt)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(līdzināt) \right.\]

Saistībā ar mūsu vienādojumu mēs iegūstam:

\[\pa kreisi| 3x-2 \right|=2x\RightArrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(līdzināt) \right.\]

Nu kaut kā tiksim galā ar prasību $2x\ge 0$. Galu galā mēs varam muļķīgi aizstāt saknes, ko iegūstam no pirmā vienādojuma, un pārbaudīt, vai nevienlīdzība ir spēkā vai nē.

Tātad atrisināsim pašu vienādojumu:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\labā bultiņa 3x=0\labā bultiņa x=0. \\\beigt(līdzināt)\]

Nu, kura no šīm divām saknēm atbilst prasībai $2x\ge 0$? Jā abi! Tāpēc atbilde būs divi skaitļi: $x=(4)/(3)\;$ un $x=0$. Tāds ir risinājums :)

Man ir aizdomas, ka dažiem studentiem jau sāk palikt garlaicīgi? Nu, apskatīsim vēl sarežģītāku vienādojumu:

\[\pa kreisi| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Lai gan tas izskatās ļauni, patiesībā tas joprojām ir tas pats vienādojums formā “modulis ir vienāds ar funkciju”:

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Un tas tiek atrisināts tieši tādā pašā veidā:

\[\pa kreisi| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\bultiņa pa labi \pa kreisi\( \begin(līdzināt)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Ar nevienlīdzību tiksim galā vēlāk - tas kaut kā ir par ļaunu (patiesībā tas ir vienkārši, bet mēs to neatrisināsim). Pagaidām labāk ir rīkoties ar iegūtajiem vienādojumiem. Apskatīsim pirmo gadījumu - tas ir, kad modulis tiek paplašināts ar plus zīmi:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Nu nav prāta, ka jāsavāc viss no kreisās puses, jāatnes līdzīgi un jāskatās, kas notiks. Un notiek šādi:

\[\begin(līdzināt)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\beigt(līdzināt)\]

Mēs izņemam kopējo koeficientu $((x)^(2))$ no iekavām un iegūstam ļoti vienkāršu vienādojumu:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Labā bultiņa \left[ \begin(līdzināt)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\beigas(līdzināt) \pa labi.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Šeit mēs izmantojām svarīgu reizinājuma īpašību, kuras dēļ mēs aprēķinājām sākotnējo polinomu: reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Tagad tieši tādā pašā veidā tiksim galā ar otro vienādojumu, ko iegūst, paplašinot moduli ar mīnusa zīmi:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\beigt(līdzināt)\]

Atkal tas pats: reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Mums ir:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(līdzināt) \right.\]

Nu, mums ir trīs saknes: $x=0$, $x=1.5$ un $x=(2)/(3)\;$. Nu, kurš no šī komplekta tiks iekļauts galīgajā atbildē? Lai to izdarītu, atcerieties, ka mums ir papildu ierobežojums nevienlīdzības veidā:

Kā šo prasību ņemt vērā? Vienkārši aizstāsim atrastās saknes un pārbaudīsim, vai nevienlīdzība attiecas uz šiem $x$. Mums ir:

\[\begin(align)& x=0\labā bultiņa x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Labā bultiņa x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Labā bultiņa x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\beigt(līdzināt)\]

Tādējādi sakne $x=1.5$ mums neder. Un atbildē būs tikai divas saknes:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2) (3).\]

Kā redzat, arī šajā gadījumā nebija nekā sarežģīta - vienādojumi ar moduļiem vienmēr tiek atrisināti, izmantojot algoritmu. Jums vienkārši ir labi jāizprot polinomi un nevienādības. Tāpēc mēs pārejam pie sarežģītākiem uzdevumiem - jau būs nevis viens, bet divi moduļi.

Vienādojumi ar diviem moduļiem

Līdz šim esam pētījuši tikai vienkāršākos vienādojumus – bija viens modulis un vēl kaut kas. Mēs nosūtījām šo “kaut ko citu” uz citu nevienādības daļu, prom no moduļa, lai galu galā viss tiktu reducēts uz vienādojumu formā $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ vai pat vienkāršāk $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Bet bērnudārzs beidzies – laiks apsvērt ko nopietnāku. Sāksim ar šādiem vienādojumiem:

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Šis ir vienādojums formā “modulis ir vienāds ar moduli”. Būtiski svarīgs punkts ir citu terminu un faktoru trūkums: tikai viens modulis kreisajā pusē, vēl viens modulis labajā pusē - un nekas vairāk.

Kāds tagad domās, ka šādus vienādojumus ir grūtāk atrisināt nekā tos, ko esam pētījuši līdz šim. Bet nē: šos vienādojumus ir vēl vieglāk atrisināt. Šeit ir formula:

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Visi! Mēs vienkārši pielīdzinām submodulāras izteiksmes, vienai no tām ieliekot plusa vai mīnusa zīmi. Un tad mēs atrisinām iegūtos divus vienādojumus - un saknes ir gatavas! Bez papildu ierobežojumiem, bez nevienlīdzības utt. Viss ir ļoti vienkārši.

Mēģināsim atrisināt šo problēmu:

\[\pa kreisi| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Elementārais Vatsons! Moduļu paplašināšana:

\[\pa kreisi| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightbultiņa 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Apskatīsim katru gadījumu atsevišķi:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\kreisais(2x-7 \labais)\bultiņa pa labi 2x+3=-2x+7. \\\beigt(līdzināt)\]

Pirmajam vienādojumam nav sakņu. Jo kad ir $3=-7$? Pie kādām vērtībām $x$? “Kas pie velna ir $x$? Vai tu esi nomētāts ar akmeņiem? Tur vispār nav $x$,” jūs sakāt. Un tev būs taisnība. Mēs esam ieguvuši vienādību, kas nav atkarīga no mainīgā $x$, un tajā pašā laikā pati vienādība ir nepareiza. Tāpēc nav sakņu :)

Ar otro vienādojumu viss ir nedaudz interesantāks, bet arī ļoti, ļoti vienkāršs:

Kā redzat, viss tika atrisināts burtiski pāris rindās - mēs neko citu no lineārā vienādojuma negaidījām :)

Rezultātā galīgā atbilde ir: $x=1$.

Tā kā? Grūti? Protams, nē. Mēģināsim ko citu:

\[\pa kreisi| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Atkal mums ir vienādojums ar formu $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Tāpēc mēs to nekavējoties pārrakstām, atklājot moduļa zīmi:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Varbūt kāds tagad jautās: “Ei, kādas muļķības? Kāpēc “plus-mīnuss” parādās labajā pusē, nevis kreisajā pusē? Nomierinies, es tagad visu paskaidrošu. Patiešām, labā nozīmē mums vajadzēja pārrakstīt mūsu vienādojumu šādi:

Pēc tam jums jāatver iekavas, jāpārvieto visi termini vienā vienādības zīmes pusē (jo vienādojums acīmredzot abos gadījumos būs kvadrātveida) un pēc tam atrodiet saknes. Bet jāatzīst: ja “plus-mīnus” parādās pirms trim vārdiem (īpaši, ja viens no šiem terminiem ir kvadrātveida izteiksme), tas kaut kā izskatās sarežģītāk nekā situācija, kad “plus-mīnus” parādās tikai pirms diviem terminiem.

Bet nekas neliedz mums pārrakstīt sākotnējo vienādojumu šādi:

\[\pa kreisi| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]

Kas notika? Nekas īpašs: viņi vienkārši samainīja kreiso un labo pusi. Mazliet, kas galu galā atvieglos mūsu dzīvi :)

Kopumā mēs atrisinām šo vienādojumu, apsverot iespējas ar plusu un mīnusu:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\bultiņa pa labi ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\bultiņa pa labi ((x)^(2))-2x+1=0. \\\beigt(līdzināt)\]

Pirmajam vienādojumam ir saknes $x=3$ un $x=1$. Otrais parasti ir precīzs kvadrāts:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Tāpēc tai ir tikai viena sakne: $x=1$. Bet mēs jau esam ieguvuši šo sakni agrāk. Tādējādi galīgajā atbildē tiks iekļauti tikai divi skaitļi:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misija pabeigta! Var paņemt no plaukta pīrāgu un apēst. Tās ir 2, tavējā ir vidējā :)

Svarīga piezīme. Identisku sakņu klātbūtne dažādiem moduļa paplašināšanas variantiem nozīmē, ka sākotnējie polinomi tiek faktorizēti, un starp šiem faktoriem noteikti būs kopīgs. Tiešām:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \pa labi|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\beigt(līdzināt)\]

Viens no moduļa rekvizītiem: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (t.i., reizinājuma modulis ir vienāds ar moduļa reizinājumu), tāpēc sākotnējo vienādojumu var pārrakstīt šādi:

\[\pa kreisi| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Kā redzat, mums patiešām ir kopīgs faktors. Tagad, ja jūs savācat visus moduļus vienā pusē, varat izņemt šo faktoru no kronšteina:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \pa labi|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\beigt(līdzināt)\]

Tagad atcerieties, ka reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\beigas(līdzināt) \pa labi.\]

Tādējādi sākotnējais vienādojums ar diviem moduļiem ir samazināts līdz diviem vienkāršākajiem vienādojumiem, par kuriem mēs runājām pašā nodarbības sākumā. Šādus vienādojumus var atrisināt burtiski pāris rindās :)

Šī piezīme var šķist nevajadzīgi sarežģīta un praktiski nepiemērojama. Tomēr patiesībā jūs varat saskarties ar daudz sarežģītākām problēmām nekā tās, kuras mēs šodien aplūkojam. Tajos moduļus var apvienot ar polinomiem, aritmētiskām saknēm, logaritmiem utt. Un šādās situācijās ļoti, ļoti noder iespēja pazemināt vienādojuma kopējo pakāpi, kaut ko izraujot no iekavām :)

Tagad es gribētu apskatīt citu vienādojumu, kas no pirmā acu uzmetiena var šķist traks. Daudzi studenti tajā iestrēgst, pat tie, kuri domā, ka labi saprot moduļus.

Tomēr šo vienādojumu ir pat vieglāk atrisināt nekā iepriekš aplūkoto. Un, ja jūs saprotat, kāpēc, jūs iegūsit vēl vienu triku, lai ātri atrisinātu vienādojumus ar moduļiem.

Tātad vienādojums ir šāds:

\[\pa kreisi| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Nē, tā nav drukas kļūda: tas ir pluss starp moduļiem. Un mums ir jāatrod, cik $x$ divu moduļu summa ir vienāda ar nulli :)

Kas vispār par problēmu? Bet problēma ir tā, ka katrs modulis ir pozitīvs skaitlis vai, ārkārtējos gadījumos, nulle. Kas notiek, ja pievienosiet divus pozitīvus skaitļus? Acīmredzot atkal pozitīvs skaitlis:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(līdzināt)\]

Pēdējā rindiņa var sniegt jums priekšstatu: vienīgā reize, kad moduļu summa ir nulle, ir tad, ja katrs modulis ir nulle:

\[\pa kreisi| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\bultiņa pa labi \pa kreisi\( \begin(līdzināt)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

Un kad modulis ir vienāds ar nulli? Tikai vienā gadījumā - kad submodulārā izteiksme ir vienāda ar nulli:

' x=-2 \\& x=1 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Tādējādi mums ir trīs punkti, kuros pirmais modulis tiek atiestatīts uz nulli: 0, 1 un −1; kā arī divi punkti, kuros otrais modulis tiek atiestatīts uz nulli: −2 un 1. Tomēr abi moduļi ir jāatiestata uz nulli vienlaikus, tāpēc starp atrastajiem skaitļiem ir jāizvēlas tie, kas ir iekļauti abi komplekti. Acīmredzot ir tikai viens šāds skaitlis: $x=1$ — tā būs galīgā atbilde.

Šķelšanas metode

Nu, mēs jau esam aptvēruši daudzas problēmas un apguvuši daudzas metodes. Vai jūs domājat, ka tas ir viss? Bet nē! Tagad mēs apskatīsim galīgo tehniku ​​- un tajā pašā laikā vissvarīgāko. Mēs runāsim par vienādojumu sadalīšanu ar moduli. Par ko mēs vispār runāsim? Atgriezīsimies nedaudz atpakaļ un apskatīsim dažus vienkāršus vienādojumus. Piemēram šis:

\[\pa kreisi| 3x-5 \right|=5-3x\]

Principā mēs jau zinām, kā atrisināt šādu vienādojumu, jo tā ir standarta konstrukcija formā $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Bet mēģināsim paskatīties uz šo vienādojumu no nedaudz cita leņķa. Precīzāk, apsveriet izteiksmi zem moduļa zīmes. Atgādināšu, ka jebkura skaitļa modulis var būt vienāds ar pašu skaitli vai arī tas var būt pretējs šim skaitlim:

\[\pa kreisi| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(līdzināt) \right.\]

Faktiski šī neskaidrība ir visa problēma: tā kā skaitlis zem moduļa mainās (tas ir atkarīgs no mainīgā), mums nav skaidrs, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs.

Bet ko tad, ja sākotnēji pieprasāt, lai šis skaitlis būtu pozitīvs? Piemēram, mēs pieprasām, lai $3x-5 \gt 0$ - šajā gadījumā mēs garantējam, ka zem moduļa zīmes iegūsim pozitīvu skaitli, un mēs varam pilnībā atbrīvoties no šī moduļa:

Tādējādi mūsu vienādojums pārvērtīsies par lineāru, ko var viegli atrisināt:

Tiesa, visām šīm domām ir jēga tikai ar nosacījumu $3x-5 \gt 0$ - mēs paši ieviesām šo prasību, lai nepārprotami atklātu moduli. Tāpēc aizstāsim atrasto $x=\frac(5)(3)$ ar šo nosacījumu un pārbaudīsim:

Izrādās, ka norādītajai vērtībai $x$ mūsu prasība nav izpildīta, jo izteiksme izrādījās vienāda ar nulli, un mums ir nepieciešams, lai tā būtu stingri lielāka par nulli. Skumji :(

Bet tas ir labi! Galu galā ir vēl viens variants $3x-5 \lt 0$. Turklāt: ir arī gadījums $3x-5=0$ - tas arī jāņem vērā, pretējā gadījumā risinājums būs nepilnīgs. Tātad, apsveriet gadījumu $3x-5 \lt 0$:

Acīmredzot modulis tiks atvērts ar mīnusa zīmi. Bet tad rodas dīvaina situācija: gan pa kreisi, gan pa labi sākotnējā vienādojumā izcelsies viena un tā pati izteiksme:

Interesanti, kur $x$ izteiksme $5-3x$ būs vienāda ar izteiksmi $5-3x$? Pat kapteinim Acīmredzamība no šādiem vienādojumiem aizrīsies ar siekalām, taču mēs zinām: šis vienādojums ir identitāte, t.i. tā ir taisnība jebkurai mainīgā vērtībai!

Tas nozīmē, ka mums derēs jebkurš $x$. Tomēr mums ir ierobežojums:

Citiem vārdiem sakot, atbilde nebūs viens skaitlis, bet gan vesels intervāls:

Visbeidzot, jāapsver vēl viens gadījums: $3x-5=0$. Šeit viss ir vienkārši: zem moduļa būs nulle, un arī nulles modulis ir vienāds ar nulli (tas izriet tieši no definīcijas):

Bet tad sākotnējais vienādojums $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ tiks pārrakstīts šādi:

Mēs jau ieguvām šo sakni iepriekš, aplūkojot gadījumu $3x-5 \gt 0$. Turklāt šī sakne ir vienādojuma $3x-5=0$ risinājums - tas ir ierobežojums, ko mēs paši ieviesām, lai atiestatītu moduli.

Tādējādi, papildus intervālam, mēs būsim apmierināti arī ar skaitli, kas atrodas šī intervāla pašās beigās:

Kopējā galīgā atbilde: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Atbildē uz diezgan vienkāršu (būtībā lineāru) vienādojumu ar moduli nav ļoti bieži redzēt šādas muļķības, tiešām, pierodiet pie tā: moduļa grūtības ir tādas, ka atbildes šādos vienādojumos var izrādīties pilnīgi neparedzamas.

Daudz svarīgāks ir kaut kas cits: mēs tikko esam analizējuši universālu algoritmu vienādojuma ar moduli atrisināšanai! Un šis algoritms sastāv no šādām darbībām:

1. Pielīdziniet katru vienādojuma moduli ar nulli. Mēs iegūstam vairākus vienādojumus;
2. Atrisiniet visus šos vienādojumus un atzīmējiet saknes uz skaitļu līnijas. Rezultātā taisne tiks sadalīta vairākos intervālos, katrā no kuriem unikāli tiek atklāti visi moduļi;
3. Atrisiniet katra intervāla sākotnējo vienādojumu un apvienojiet atbildes.

Tas ir viss! Atliek tikai viens jautājums: ko darīt ar 1. solī iegūtajām saknēm? Pieņemsim, ka mums ir divas saknes: $x=1$ un $x=5$. Viņi sadalīs skaitļu līniju 3 daļās:

Tātad, kādi ir intervāli? Ir skaidrs, ka no tiem ir trīs:

1. Kreisākais: $x \lt 1$ — pati mērvienība nav iekļauta intervālā;
2. Centrālā: $1\le x \lt 5$ - šeit viens ir iekļauts intervālā, bet pieci nav iekļauti;
3. Pa labi: $x\ge 5$ — šeit ir iekļauti tikai pieci!

Es domāju, ka jūs jau saprotat modeli. Katrs intervāls ietver kreiso galu un neietver labo.

No pirmā acu uzmetiena šāds ieraksts var šķist neērts, neloģisks un vispār kaut kāds traks. Bet ticiet man: pēc nelielas prakses jūs atklāsiet, ka šī pieeja ir visuzticamākā un netraucē viennozīmīgi atvērt moduļus. Labāk ir izmantot šādu shēmu, nevis katru reizi domāt: dot kreiso/labo galu pašreizējam intervālam vai “iemest” nākamajā.

Ar to nodarbība noslēdzas. Lejupielādējiet uzdevumus, lai atrisinātu pats, praktizējieties, salīdziniet ar atbildēm - un tiekamies nākamajā nodarbībā, kas būs veltīta nevienlīdzībām ar moduļiem.

Vispirms mēs definējam izteiksmes zīmi zem moduļa zīmes un pēc tam izvēršam moduli:

• ja izteiksmes vērtība ir lielāka par nulli, tad mēs to vienkārši noņemam no zem moduļa zīmes,
• ja izteiksme ir mazāka par nulli, tad mēs to noņemam no zem moduļa zīmes, mainot zīmi, kā to darījām iepriekš piemēros.

Nu, mēģināsim? Novērtēsim:

(Aizmirsu, atkārtojiet.)

Ja jā, kāda zīme tam ir? Nu protams,!

Un tāpēc mēs paplašinām moduļa zīmi, mainot izteiksmes zīmi:

Sapratu? Tad izmēģiniet to pats:

Atbildes:

Kādas vēl īpašības piemīt modulim?

Ja mums ir jāreizina skaitļi moduļa zīmes iekšpusē, mēs varam viegli reizināt šo skaitļu moduļus!!!

Matemātiskā izteiksmē, Skaitļu reizinājuma modulis ir vienāds ar šo skaitļu moduļu reizinājumu.

Piemēram:

Ko darīt, ja mums ir jāsadala divi skaitļi (izteiksmes) zem moduļa zīmes?

Jā, tāpat kā ar reizināšanu! Sadalīsim to divos atsevišķos skaitļos (izteiksmēs) zem moduļa zīmes:

ar nosacījumu (jo nevar dalīt ar nulli).

Ir vērts atcerēties vēl vienu moduļa īpašību:

Skaitļu summas modulis vienmēr ir mazāks vai vienāds ar šo skaitļu moduļu summu:

Kāpēc ir tā, ka? Viss ir ļoti vienkārši!

Kā mēs atceramies, modulis vienmēr ir pozitīvs. Bet zem moduļa zīmes var būt jebkurš skaitlis: gan pozitīvs, gan negatīvs. Pieņemsim, ka skaitļi un abi ir pozitīvi. Tad kreisā izteiksme būs vienāda ar labo izteiksmi.

Apskatīsim piemēru:

Ja zem moduļa zīmes viens skaitlis ir negatīvs, bet otrs ir pozitīvs, kreisā izteiksme vienmēr būs mazāka par labo:

Ar šo īpašumu viss šķiet skaidrs, apskatīsim vēl pāris noderīgas moduļa īpašības.

Ko darīt, ja mums ir šāda izteiksme:

Ko mēs varam darīt ar šo izteiksmi? X vērtība mums nav zināma, bet mēs jau zinām, ko, kas nozīmē.

Skaitlis ir lielāks par nulli, kas nozīmē, ka varat vienkārši rakstīt:

Tātad mēs nonākam pie cita īpašuma, kuru kopumā var attēlot šādi:

Ko nozīmē šī izteiksme:

Tātad, mums ir jādefinē zīme zem moduļa. Vai šeit ir jādefinē zīme?

Protams, nē, ja atceraties, ka jebkurš skaitlis kvadrātā vienmēr ir lielāks par nulli! Ja neatceries, skaties tēmu. Tātad, kas notiek? Lūk, kas:

Lieliski, vai ne? Diezgan ērti. Un tagad konkrēts piemērs, kas jāpastiprina:

Nu, kāpēc šaubas? Rīkosimies drosmīgi!

Vai esat to visu izdomājuši? Tad uz priekšu un praktizējieties ar piemēriem!

1. Atrodiet izteiksmes if vērtību.

2. Kuriem skaitļiem ir vienāds modulis?

3. Atrodiet izteicienu nozīmi:

Ja vēl ne viss ir skaidrs un risinājumos ir grūtības, tad izdomāsim:

1. risinājums:

Tātad, aizstāsim vērtības un izteiksmi

2. risinājums:

Kā mēs atceramies, pretējie skaitļi ir vienādi pēc moduļa. Tas nozīmē, ka moduļa vērtība ir vienāda ar diviem skaitļiem: un.

3. risinājums:

A)
b)
V)
G)

Vai tu visu uztvēri? Tad ir pienācis laiks pāriet uz kaut ko sarežģītāku!

Mēģināsim vienkāršot izteiksmi

Risinājums:

Tātad, mēs atceramies, ka moduļa vērtība nevar būt mazāka par nulli. Ja moduļa zīmei ir pozitīvs skaitlis, tad mēs varam vienkārši atmest zīmi: skaitļa modulis būs vienāds ar šo skaitli.

Bet, ja zem moduļa zīmes ir negatīvs skaitlis, tad moduļa vērtība ir vienāda ar pretējo skaitli (tas ir, skaitlis, kas ņemts ar “-” zīmi).

Lai atrastu jebkuras izteiksmes moduli, vispirms ir jānoskaidro, vai tam ir pozitīva vai negatīva vērtība.

Izrādās, ka pirmās izteiksmes vērtība zem moduļa.

Tāpēc izteiksme zem moduļa zīmes ir negatīva. Otrā izteiksme zem moduļa zīmes vienmēr ir pozitīva, jo mēs pievienojam divus pozitīvus skaitļus.

Tātad pirmās izteiksmes vērtība zem moduļa zīmes ir negatīva, otrā ir pozitīva:

Tas nozīmē, ka, paplašinot pirmās izteiksmes moduļa zīmi, šī izteiksme ir jāņem ar “-” zīmi. Kā šis:

Otrajā gadījumā mēs vienkārši atmetam moduļa zīmi:

Vienkāršosim šo izteiksmi kopumā:

Skaitļa modulis un tā īpašības (stingras definīcijas un pierādījumi)

Definīcija:

Skaitļa modulis (absolūtā vērtība) ir pats skaitlis, ja, un skaitlis, ja:

Piemēram:

Piemērs:

Vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums:

Moduļa pamatīpašības

Visiem:

Piemērs:

Pierādīt īpašumu Nr.5.

Pierādījums:

Pieņemsim, ka tādi ir

Izlīdzināsim nevienādības kreiso un labo pusi (to var izdarīt, jo abas nevienlīdzības puses vienmēr nav negatīvas):

un tas ir pretrunā ar moduļa definīciju.

Līdz ar to tādi cilvēki neeksistē, kas nozīmē, ka nevienlīdzība attiecas uz visiem

Neatkarīgu risinājumu piemēri:

1) Pierādīt īpašumu Nr.6.

2) Vienkāršojiet izteiksmi.

Atbildes:

1) Izmantosim īpašību Nr.3: , un kopš, tad

Lai vienkāršotu, jums ir jāpaplašina moduļi. Un, lai paplašinātu moduļus, jums ir jānoskaidro, vai izteiksmes zem moduļa ir pozitīvas vai negatīvas?

a. Salīdzināsim skaitļus un un:

b. Tagad salīdzināsim:

Mēs saskaitām moduļu vērtības:

Skaitļa absolūtā vērtība. Īsumā par galveno.

Skaitļa modulis (absolūtā vērtība) ir pats skaitlis, ja, un skaitlis, ja:

Moduļa īpašības:

1. Skaitļa modulis ir nenegatīvs skaitlis: ;
2. Pretējo skaitļu moduļi ir vienādi: ;
3. Divu (vai vairāku) skaitļu reizinājuma modulis ir vienāds ar to moduļu reizinājumu: ;
4. Divu skaitļu koeficienta modulis ir vienāds ar to moduļu koeficientu: ;
5. Skaitļu summas modulis vienmēr ir mazāks vai vienāds ar šo skaitļu moduļu summu: ;
6. Pastāvīgu pozitīvu reizinātāju var izņemt no moduļa zīmes: at;

Skaitļu modulis ir jauns jēdziens matemātikā. Apskatīsim tuvāk, kas ir skaitļu modulis un kā ar to strādāt?

Apskatīsim piemēru:

Izgājām no mājas, lai dotos uz veikalu. Nogājām 300 m, matemātiski šo izteiksmi var rakstīt kā +300, skaitļa 300 nozīme no “+” zīmes nemainīsies. Skaitļa attālums jeb modulis matemātikā ir tas pats, un to var uzrakstīt šādi: |300|=300. Skaitļa moduļa zīmi norāda divas vertikālas līnijas.

Un tad gājām 200m pretējā virzienā. Matemātiski mēs varam rakstīt atgriešanās ceļu kā -200. Bet mēs nesakām “mēs nogājām mīnus divsimt metru”, lai gan atgriezāmies, jo attālums kā daudzums paliek pozitīvs. Šim nolūkam matemātikā tika ieviests moduļa jēdziens. Skaitļa -200 attālumu vai moduli var uzrakstīt šādi: |-200|=200.

Moduļa īpašības.

Definīcija:
Skaitļa modulis vai skaitļa absolūtā vērtība ir attālums no sākuma punkta līdz galapunktam.

Vesela skaitļa modulis, kas nav vienāds ar nulli, vienmēr ir pozitīvs skaitlis.

Modulis ir uzrakstīts šādi:

1. Pozitīva skaitļa modulis ir vienāds ar pašu skaitli.
| a|=a

2. Negatīvā skaitļa modulis ir vienāds ar pretējo skaitli.
|- a|=a

3. Nulles modulis ir vienāds ar nulli.
|0|=0

4. Pretējo skaitļu moduļi ir vienādi.
| a|=|-a|=a

Saistītie jautājumi:
Kāds ir skaitļa modulis?
Atbilde: Modulus ir attālums no sākuma punkta līdz galapunktam.

Ja veselam skaitlim priekšā ievietojat zīmi “+”, kas notiek?
Atbilde: skaitlis nemainīs savu nozīmi, piemēram, 4=+4.

Ja veselam skaitlim priekšā ievietojat zīmi “-”, kas notiek?
Atbilde: skaitlis mainīsies uz, piemēram, 4 un -4.

Kuriem skaitļiem ir vienāds modulis?
Atbilde: pozitīviem skaitļiem un nullei būs vienāds modulis. Piemēram, 15=|15|.

Kuriem skaitļiem ir pretēja skaitļa modulis?
Atbilde: negatīviem skaitļiem modulis būs vienāds ar pretēju skaitli. Piemēram, |-6|=6.

1. piemērs:
Atrodi skaitļu moduli: a) 0 b) 5 c) -7?

Risinājums:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

2. piemērs:
Vai ir divi dažādi skaitļi, kuru moduļi ir vienādi?

Risinājums:
|10|=10
|-10|=10

Pretējo skaitļu moduļi ir vienādi.

3. piemērs:
Kuriem diviem pretējiem skaitļiem ir modulis 9?

Risinājums:
|9|=9
|-9|=9

Atbilde: 9 un -9.

4. piemērs:
Veiciet šīs darbības: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Risinājums:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

5. piemērs:
Atrodiet: a) skaitļa 2 moduli b) skaitļa 6 moduli c) skaitļa 8 moduli d) skaitļa 1 moduli e) skaitļa 0 moduli.
Risinājums:

a) skaitļa 2 modulis tiek apzīmēts kā |2| vai |+2| Tas ir tas pats.
|2|=2

b) skaitļa 6 modulis tiek apzīmēts kā |6| vai |+6| Tas ir tas pats.
|6|=6

c) skaitļa 8 modulis tiek apzīmēts kā |8| vai |+8| Tas ir tas pats.
|8|=8

d) skaitļa 1 modulis tiek apzīmēts kā |1| vai |+1| Tas ir tas pats.
|1|=1

e) skaitļa 0 modulis tiek apzīmēts kā |0|, |+0| vai |-0| Tas ir tas pats.
|0|=0