Vairāki integrāļi (problēmas un vingrinājumi). Vairāki integrāļi Plaknes figūras masas centra koordinātas

Def . Ļaujiet,
,

.

Kopu sauc par slēgtu intervālu vai slēgtu joslu .

Kopu sauc par atvērto intervālu

vai atvērta stara iekšā .

Def . Intervālu mērīšana Un daudzumu sauc:

(Precīzāk
).

Def . Ja
tāds, ka
tad intervāls sauc par deģenerētu un
.

Atstarpes mēra īpašības:

A). Pozitīvisms:
, un
tad un tikai tad – deģenerēts.

b). Pozitīva viendabība: .

V). Pievienotība:

* Priekš
tāds, ka
;

* Priekš
Un

.

G). Pasākuma monotonitāte: .

Def . Sijas diametrs (atstarpe) ir vērtība:

Pieraksti to
Un
– tas nav viens un tas pats. Piemēram, ja – tad deģenerāts
,a
(vispārīgi runājot).

Kur: * ;

* ;*
.

Def . Kopums
intervāla apakšpārkāpumi sauc par intervāla nodalījumu , Ja: *;

*
; *
; *
; *
.

Lielums
sauc par nodalījuma parametru P(kurā
).

Def . Sadalīšana sauc par nodalījuma precizēšanu , ja visi nodalījuma elementi kas iegūti, sadalot nodalījuma elementus .

Norāda:
. Lasa: mazāks vai lielāks .

Attiecībā uz attiecību “lielāks – mazāks” ir taisnība:

*. tranzitivitāte – ; *.
;

*.


; *.

|
.

§. Vairāku integrāļa definīcija

Ļaujiet
– kokmateriāli (sprauga) in ,
– spraugas sadalīšana es. Katrā nodalījuma intervālā atzīmējiet punktu
.

Mēs saņemam
nodalījums ar atzīmētiem punktiem priekš
.

Lielums
tiek saukta par funkcijas Rīmana integrālo summu f (x) par intervālu es ar nodalījumu ar atzīmētiem punktiem
.

Def :
=
=
.

Apzīmējot – daudzas funkcijas, kas integrētas starā es rakstīsim:

Def : ε > 0 δ>0<.

Ja par funkciju f(x) ieslēgts es un starpsienas
- apzīmē ar
– funkcijas lielākā un mazākā vērtība f(x) ieslēgts es k tad vērtības
=
Un
=
tiek sauktas par apakšējām un augšējām Darboux summām.

§. Darbu kritērijs vairākkārtēja integrāļa esamībai.

T 0 . Lai funkcionētu
tika integrēts uz sijas (tie.
) ir nepieciešams un pietiekams, lai

. Δ▲.

Ir definēta funkcijas integrācija pār staru Eiklīda telpā. Kā var integrēt funkciju pār patvaļīgu ierobežotu kopu no Eiklīda telpas?

Definēsim funkcijas integrāli f daudzi
.

Def : Ļaujiet
Un
– ierobežots, t.i.
. Funkcija
mēs saucam par kopas raksturīgo funkciju M.

Pēc tam:
≡
.

Kopas integrāļa definīcija nav atkarīga no tā, kurš stars satur M izvēlēts, t.i.

.

Tas nozīmē, ka kopas integrāļa definīcija ir pareiza.

Nepieciešams nosacījums integrējamībai. Lai funkcionētu f(x) ieslēgts M būt integrējamam, tas ir nepieciešams f(x) bija ierobežots līdz M. Δ▲.

§. Vairāku integrāļu īpašības.

1  . Linearitāte: daudzi R M komplektā integrējamas funkcijas M – lineārs

telpa un
– lineāra funkcionāla.

2  . Normalizācijas nosacījumi:
. Vēl viens ieejas veids
būtībā nosaka patvaļīgas kopas mēru no Eiklīda telpas.

3  . Ja pastāv integrālis virs Lēbesga mēra nulles kopas, tad tas

vienāds ar nulli.

Piezīme:ķekars M sauc par Lēbesga mēra nulles kopu,

Ja

tāds, ka
Un
.

4  . A.;b.;

V. Ja
Un – atdalīts no nulles ar M, Tas

5  .
Un f=g p.v. (gandrīz visur) ieslēgts M, Tas
.

6  . Pievienotība: Ja
Un
Tas

,

Vispārīgi:
.

Δ. No vienlīdzības izriet: ▲

7  . Monotons:
Un
Tas
.

8  . Integrējot nevienlīdzības: ja
ito

.

9  . Ļaujiet


. Lai
, tas ir nepieciešams un pietiekams, lai būtu komplekta iekšējais punkts M, kurā f (x) > 0 un nepārtraukti.

10  . Integrējamā funkciju moduļa integrējamība:
.

11  . Vidējās vērtības teorēma:
,
ieslēgts M saglabā zīmi un
, Tas

.

Ja komplekts M– saskaņota un f(x) – nepārtraukti ieslēgts
Tas
tāds, ka
.

12  . Lai nenegatīvas funkcijas integrālis būtu vienāds ar 0

nepieciešams un pietiekams f(x) = 0 gandrīz visur ieslēgts M.

13  . Fubīni teorēma. Dubultajam integrālam:

Ļaujiet zonai
- taisnstūris:. Pēc tam, ja pastāv iekšējie atsevišķi integrāļi, lai atrastu dubulto integrāli, varat pāriet uz atkārtotu integrāciju (skat. a attēlu):

, vai

E

Piezīme: Integrācijas ārējām robežām jābūt konstantēm; integrācijas iekšējās robežas var būt atkarīgas no mainīgā, pār kuru integrācija vēl jāveic.

Formulu (*) var iegūt, izmantojot iestatīto raksturlielumu funkciju D.

Vairākiem integrāļiem:

Ļaujiet un dažas Eiklīda telpu apakškopas Un . Definēsim šo kopu Dekarta reizinājumu, kas ir Eiklīda telpas apakškopa
:.

Tad Fubīni teorēma par
ir šāda forma:
.

Teorēma derīga arī sijām X Un Y, un sarežģītākām konfigurācijām.

Piemēri:

1 0 . Aprēķināt
, ja apgabala robeža
ko dod vienādojumi:

A).
;

2

–

.

Recepte: Iestatot integrācijas ierobežojumus dubultā integrālā, ieteicams sākt ar ārējiem integrācijas ierobežojumiem.

3

Pāreja uz iterētajiem integrāļiem dod:
.

Tajā pašā laikā trīskāršā integrālā robežu izvietošana jāsāk ar integrācijas iekšējām robežām. Pēc tam projektējiet zonu V uz lidmašīnu xOy

ierobežojumu noteikšana apgabalā D– guļ lidmašīnā xOy.

4 0 . Mainiet integrācijas secību iterētajā integrālī:
.

Vairāki integrālie

funkcijas integrālis, kas norādīts kādā plaknes apgabalā, trīs dimensijās vai n- dimensiju telpa. Starp K. un. atšķirt dubultintegrāļus, trīskāršus integrāļus utt. n-vairāki integrāļi.

Ļaujiet funkcijai f(x, y) ir norādīts kādā apgabalā D lidmašīna xOy. Sadalīsim zonu D ieslēgts n daļējas zonas d i, kuru platības ir vienādas es esmu, izvēlēties katrā jomā d i punkts ( ξi, ηi) (cm. rīsi. ) un sastādiet integrālsummu

Ja, ar neierobežotu daļēju laukumu maksimālā diametra samazinājumu d i summas S ir ierobežojums neatkarīgi no punktu izvēles ( ξi, ηi), tad šo robežu sauc par funkcijas dubulto integrāli f(x, y) pēc reģiona D un apzīmē

Trīskāršais integrālis tiek definēts līdzīgi, un kopumā n-vairāki integrālis.

Dubultā integrāļa pastāvēšanai pietiek, piemēram, ar to, ka apgabals D bija slēgts kvadrātveida reģions (sk. kvadrātveida reģions), un funkcija f(x, y) bija nepārtraukts D. K. un. ir vairākas īpašības, kas līdzīgas vienkāršu integrāļu īpašībām . Lai aprēķinātu K. un. parasti noved to uz iterētu integrāli (skatiet iterētu integrāli). Īpašos gadījumos K. informācijai un. Grīna formula un Ostrogradska formula var kalpot kā zemākas dimensijas integrāļi. K. un. ir plaši pielietojumi: tos izmanto, lai izteiktu ķermeņu tilpumus, to masas, statiskos momentus, inerces momentus utt.

Lielā padomju enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. 1969-1978 .

Skatiet, kas ir “vairāki integrālis” citās vārdnīcās:

Vairāku mainīgo funkcijas integrālis. To nosaka, izmantojot integrāļu summas, līdzīgi kā viena mainīgā funkcijas noteiktais integrālis (sk. Integrālrēķinu). Atkarībā no mainīgo skaita ir dubultā, trīskāršā, n... ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Vairāku mainīgo funkcijas noteikts integrālis. Ir dažādi jēdzieni K. un. (Rīmaņa integrālis, Lēbesga integrālis, Lēbesga Stīljesa integrālis utt.). Daudzkārtējais Rīmaņa integrālis tiek ieviests, pamatojoties uz Jordānas mēru. Lai E ir Jordānas izmērāmais... ... Matemātiskā enciklopēdija

Matemātiskajā analīzē daudzkārtējs vai daudzkārtējs integrālis ir integrāļu kopa, kas ņemta no mainīgajiem. Piemēram: Piezīme: vairākkārtējs integrālis ir noteikts integrālis; tā aprēķina rezultātā vienmēr tiek iegūts skaitlis. Saturs 1... ...Wikipedia

Vairāku mainīgo funkcijas integrālis. To nosaka, izmantojot integrāļu summas, līdzīgi kā viena mainīgā funkcijas noteiktais integrālis (sk. Integrālrēķinu). Atkarībā no mainīgo skaita ir dubultā, trīskāršā, n... ... enciklopēdiskā vārdnīca

Vairāku mainīgo funkcijas integrālis. Noteikts, izmantojot integrālās summas, līdzīgi definētas. viena mainīgā funkcijas integrālis (sk. Integrālrēķinu). Atkarībā no mainīgo skaita ir dubultā, trīskāršā, i... ... Dabaszinātnes. enciklopēdiskā vārdnīca

Piezīme: visur šajā rakstā, kur tiek lietota zīme, ir domāts (vairākkārtējs) Rīmaņa integrālis, ja vien nav norādīts citādi; Visur šajā rakstā, kur mēs runājam par kopas izmērāmību, mēs domājam Jordānijas izmērāmību, ja ne... ... Wikipedia

Daudzkārtējs integrālis ar formu kur, kas ir trigonometriskās summas moduļa pakāpes 2k vidējā vērtība. Vinogradova teorēma par šī integrāļa vērtību, vidējās vērtības teorēma, ir Veila summu aplēšu pamatā. Literatūra Vinogradova inte... Wikipedia

Noteikts integrālis kā figūras laukums Šim terminam ir arī citas nozīmes, skatiet sadaļu Integrālis (nozīmes). Funkcijas integrāls ... Wikipedia

Integrālis, kurā secīgi tiek veikta integrācija pār dažādiem mainīgajiem, t.i., formas integrālis (1) Funkcija f(x, y) ir definēta kopā A, kas atrodas atstarpju X un Y tiešajā reizinājumā XX Y, kurā s ir doti galīgi mēri mx un mans,… … Matemātiskā enciklopēdija

Integrālis, kas ņemts pa jebkuru līkni plaknē vai telpā. Ir K. un. 1. un 2. tips. K. un. 1. tips rodas, piemēram, apsverot mainīga blīvuma līknes masas aprēķināšanas problēmu; tas ir apzīmēts...... Lielā padomju enciklopēdija

Uzmanību: Aprēķinot nepareizus integrāļus ar vienskaitļa punktiem integrācijas intervālā, nevar mehāniski piemērot Ņūtona–Leibnica formulu, jo tas var izraisīt kļūdas.

Vispārējs noteikums:Ņūtona-Leibnica formula ir pareiza, ja antiatvasinājums no f(x) pēdējā vienskaitļa punktā ir nepārtraukts.

Piemērs 2.11.

Apskatīsim nepareizu integrāli ar vienskaitļa punktu x = 0. Formāli pielietotā Ņūtona–Leibnica formula dod

Tomēr vispārējais noteikums šeit nav piemērojams; ja f(x) = 1/x antiatvasinājums ln |x| nav definēts pie x = 0 un šajā punktā ir bezgalīgi liels, t.i. šajā brīdī nav nepārtraukts. Ar tiešu pārbaudi ir viegli pārbaudīt, vai integrālis atšķiras. Tiešām,

Rezultātā iegūto nenoteiktību var atklāt dažādos veidos, jo e un d ir tendence uz nulli neatkarīgi. Konkrēti, iestatot e = d, mēs iegūstam nepareizā integrāļa galveno vērtību, kas vienāda ar 0. Ja e = 1/n un d =1/n 2, t.i. d mēdz uz 0 ātrāk nekā e, tad mēs iegūstam

kad un otrādi,

tie. integrālis atšķiras.n

Piemērs 2.12.

Apskatīsim nepareizu integrāli ar vienskaitļa punktu x = 0. Funkcijas antiatvasinājumam ir tāda forma un tas ir nepārtraukts punktā x = 0. Tāpēc mēs varam izmantot Ņūtona–Leibnica formulu:

Dabisks noteikta Rīmaņa integrāļa jēdziena vispārinājums vairāku mainīgo funkcijas gadījumam ir vairāku integrāļa jēdziens. Divu mainīgo gadījumā šādus integrāļus sauc dubultā.

Apsveriet divu dimensiju Eiklīda telpu R´R, t.i. plaknē ar Dekarta koordinātu sistēmu, kopa E gala zona S.

Apzīmēsim ar ( i = 1, …, k) iestatīt nodalījumu E, t.i. šāda tā apakškopu sistēma E i, i = 1,. . ., k, ka Ø i ¹ j un (2.5. att.). Šeit mēs apzīmējam apakškopu E es bez tās robežas, t.i. apakškopas E i iekšējie punkti, kas kopā ar tās robežu Gr E es veidoju slēgtu apakškopu E es, . Ir skaidrs, ka apgabals S(E i) apakškopas E i sakrīt ar tās iekšpuses laukumu, jo robežas laukums GrE i ir vienāds ar nulli.

Apzīmēsim ar d(E i). iestatīt diametru E i, t.i. maksimālais attālums starp diviem tā punktiem. Tiks izsaukts lielums l(t) = d(E i). starpsienas smalkums t. Ja funkcija f(x),x = (x, y) ir definēta uz E kā divu argumentu funkcija, tad jebkura formas summa

X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),

atkarībā gan no funkcijas f un nodalījuma t, gan no punktu izvēles x i О E i М t, sauc funkcijas f integrālā summa .

Ja funkcijai f eksistē vērtība, kas nav atkarīga ne no nodalījumiem t, ne punktu izvēles (i = 1, ..., k), tad šo robežu sauc dubultais Rīmaņa integrālis no f(x,y) un ir apzīmēts

Šajā gadījumā tiek izsaukta pati funkcija f Riemann integrējams.

Atgādiniet to, ja funkcija ir ar vienu argumentu kā kopu E pār kuru tiek veikta integrācija, parasti tiek ņemts segments , un tā nodalījums t tiek uzskatīts par nodalījumu, kas sastāv no segmentiem. Citos aspektos, kā tas ir viegli redzams, dubultā Rīmaņa integrāļa definīcija atkārto noteiktā Rīmaņa integrāļa definīciju viena argumenta funkcijai.

Divu mainīgo ierobežoto funkciju dubultajam Rīmana integrālim ir noteikta integrāļa parastās īpašības viena argumenta funkcijām – linearitāte, aditivitāte attiecībā uz kopām, kurās tiek veikta integrācija, saglabāšana integrējot nevienlīdzība, produkta integrējamība integrētās funkcijas utt.

Vairāku Rīmaņa integrāļu aprēķins tiek samazināts līdz aprēķinam iterēti integrāļi. Apskatīsim dubultā Rīmaņa integrāļa gadījumu. Ļaujiet funkcijai f(x,y) ir definēts uz kopas E, kas atrodas kopu X ´ Y, E М X ´ Y Dekarta reizinājumā.

Pēc atkārtota integrāļa funkcijas f(x, y) sauc par integrāli, kurā integrācija tiek veikta secīgi pa dažādiem mainīgajiem, t.i. formas integrālis

Iestatiet E(y) = (x: О E) М X tiek izsaukts šķērsgriezums nosaka E, kas atbilst dotajam y, y О E y ; kopu E y sauc - projekcija iestatiet E uz Y ass.

Atkārtotajam integrālam tiek izmantots arī šāds apzīmējums:

kas, tāpat kā iepriekšējais, nozīmē, ka pirmkārt, par fiksētu y, y О E y , funkcija ir integrēta f(x, y) Autors x gar segmentu E(y), kas ir komplekta sadaļa E atbilst šim y. Rezultātā iekšējais integrālis definē kādu viena mainīgā funkciju - y. Pēc tam šī funkcija tiek integrēta kā viena mainīgā funkcija, ko norāda ārējais integrāļa simbols.

Mainot integrācijas secību, iegūstam atkārtotu formas integrāli

kur tiek veikta iekšējā integrācija y, un ārējais - ar x. Kā šis iterētais integrālis ir saistīts ar iepriekš definēto iterēto integrāli?

Ja ir funkcijas dubultais integrālis f, t.i.

tad pastāv abi atkārtotie integrāļi, un tie ir identiski pēc lieluma un vienādi ar dubultu, t.i.

Mēs uzsveram, ka šajā paziņojumā formulētais nosacījums iespējai mainīt integrācijas secību iterētajos integrāļos ir tikai pietiekams, bet nav nepieciešams.

Citi pietiekami nosacījumi integrācijas secības maiņas iespējas iterētajos integrāļos formulētas šādi:

ja eksistē vismaz viens no integrāļiem

tad funkcija f(x, y) Komplektā integrējams Rīmanis E, abi tā atkārtotie integrāļi pastāv un ir vienādi ar dubulto integrāli. n

Norādīsim projekciju un griezumu apzīmējumus iterēto integrāļu apzīmējumā.

Ja kopa E ir taisnstūris

Tas E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); kurā E(y) = E x jebkuram y, y О E y . , A E(x) = Ey jebkuram x , x О E x ..

Oficiāls ieraksts: " y y О E yÞ E(y) = E xÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

Ja kopai E ir izliekta robeža un ļauj attēlot

Šajā gadījumā atkārtotie integrāļi tiek rakstīti šādi:

Piemērs 2.13.

Aprēķiniet dubulto integrāli uz taisnstūra laukuma, samazinot to līdz atkārtojumam.

Tā kā nosacījums sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, pēc tam pārbaudot pietiekamu nosacījumu izpildi dubultā integrāļa I pastāvēšanai jebkura atkārtotā integrāļa esamības formā

tas nav īpaši jāveic, un jūs varat nekavējoties pāriet pie atkārtotā integrāļa aprēķināšanas

Ja tas pastāv, tad pastāv arī dubultais integrālis, un I = I 1 . Tāpēc ka

Tātad I = .n

Piemērs 2.14.

Aprēķiniet dubulto integrāli virs trīsstūra apgabala (skat. 2.6. att.), samazinot to uz atkārtotu

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Vispirms pārbaudīsim dubultā integrāļa I esamību. Lai to izdarītu, pietiek pārbaudīt atkārtotā integrāļa esamību.

tie. integrandi ir nepārtraukti integrācijas intervālos, jo tie visi ir jaudas funkcijas. Tāpēc integrālis I 1 pastāv. Šajā gadījumā pastāv arī dubultais integrālis un ir vienāds ar jebkuru atkārtotu, t.i.

Piemērs 2.15.

Lai labāk izprastu saistību starp dubulto un iterēto integrāļu jēdzieniem, apsveriet šādu piemēru, kuru pirmajā lasījumā var izlaist. Ir dota divu mainīgo f(x, y) funkcija

Ņemiet vērā, ka fiksētajam x šī funkcija ir nepāra y, bet fiksētai y tā ir nepāra x. Kā kopu E, kurā šī funkcija ir integrēta, mēs ņemam kvadrātu E = ( : -1 £ x 1 £, -1 £ y £ 1).

Vispirms apsveram iterēto integrāli

Iekšējais integrālis

tiek ņemts fiksētam y, -1 £ y £ 1. Tā kā fiksētā y integrāde ir nepāra x un integrācija virs šī mainīgā tiek veikta segmentā [-1, 1], simetrisks attiecībā pret punktu 0, tad iekšējais integrālis ir vienāds ar 0. Acīmredzot, ka ārējais integrālis virs nulles funkcijas mainīgā y arī ir vienāds ar 0, t.i.

Līdzīgs pamatojums otrajam iterētajam integrālim noved pie tāda paša rezultāta:

Tātad aplūkotajai funkcijai f(x, y) pastāv atkārtoti integrāļi un ir vienādi viens ar otru. Tomēr funkcijas f(x, y) dubultā integrāļa nav. Lai to redzētu, pievērsīsimies atkārtotu integrāļu aprēķināšanas ģeometriskajai nozīmei.

Lai aprēķinātu iterēto integrāli

tiek izmantots īpašs kvadrāta E nodalījuma veids, kā arī īpašs integrālsummu aprēķins. Proti, kvadrāts E ir sadalīts horizontālās svītrās (skat. 2.7. att.), un katra josla ir sadalīta mazos taisnstūros. Katra sloksne atbilst noteiktai mainīgā y vērtībai; piemēram, tā varētu būt sloksnes horizontālās ass ordināta.

Integrālo summu aprēķins tiek veikts šādi: pirmkārt, summas tiek aprēķinātas katrai joslai atsevišķi, t.i. pie fiksētā y dažādiem x, un tad šīs starpsummas tiek summētas dažādām joslām, t.i. dažādiem y. Ja nodalījuma smalkums tiecas uz nulli, tad limitā iegūstam iepriekš minēto atkārtoto integrāli.

Ir skaidrs, ka otrajam iterētajam integrālim

kopa E ir sadalīta vertikālās svītrās, kas atbilst dažādiem x. Starpsummas tiek aprēķinātas katrā joslā mazos taisnstūros, t.i. gar y, un tad tie tiek summēti dažādām joslām, t.i. ar x. Robežā, kad nodalījuma smalkums tiecas uz nulli, mēs iegūstam atbilstošo iterēto integrāli.

Lai pierādītu, ka dubultā integrāļa nav, pietiek norādīt vienu nodalījuma piemēru, kura integrāļa summu aprēķins robežās, kad nodalījuma smalkums tiecas uz nulli, dod rezultātu, kas atšķiras no vērtības. no atkārtotajiem integrāļiem. Sniegsim piemēru šādai sadalīšanai, kas atbilst polāro koordinātu sistēmai (r, j) (skat. 2.8. att.).

Polārajā koordinātu sistēmā jebkura punkta atrašanās vietu plaknē M 0 (x 0, y 0), kur x 0, y 0 ir punkta M 0 Dekarta koordinātas, nosaka rādiusa garums r 0. savienojot to ar izcelsmi un šī rādiusa veidoto leņķi j 0 ar pozitīvu x ass virzienu (leņķis tiek skaitīts pretēji pulksteņrādītāja virzienam). Saikne starp Dekarta koordinātām un polārajām koordinātām ir acīmredzama:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

Sadalījums ir izveidots šādi. Vispirms kvadrāts E tiek sadalīts sektoros ar rādiusiem, kas izplūst no koordinātu centra, un pēc tam katrs sektors tiek sadalīts mazās trapecēs ar līnijām, kas ir perpendikulāras sektora asij. Integrālo summu aprēķins tiek veikts šādi: vispirms pa mazām trapecām katrā sektorā pa tās asi (gar r), un pēc tam pa visiem sektoriem (gar j). Katra sektora stāvokli raksturo tā ass j leņķis, un tā ass garums r(j) ir atkarīgs no šī leņķa:

ja vai , tad ;

ja tad ;

ja tad

ja tad .

Pārejot uz polārā nodalījuma integrāļa summu robežu, kad nodalījuma smalkums tiecas uz nulli, iegūstam dubultā integrāļa attēlojumu polārajās koordinātēs. Šādu apzīmējumu var iegūt tīri formāli, aizvietojot Dekarta koordinātas (x, y) ar polārajām (r, j).

Saskaņā ar pārejas noteikumiem integrāļos no Dekarta uz polārajām koordinātām, pēc definīcijas ir jāraksta:

Polārajās koordinātēs funkcija f(x, y) tiks uzrakstīta šādi:

Beidzot mums ir

Iekšējais integrālis (nepareizs) pēdējā formulā

kur funkcija r(j) ir norādīta iepriekš, 0 £ j £ 2p , ir vienāda ar +¥ jebkuram j, jo

Tāpēc integrands ārējā integrālī, kas novērtēts virs j, nav definēts nevienam j. Bet tad pats ārējais integrālis nav definēts, t.i. sākotnējais dubultais integrālis nav definēts.

Ņemiet vērā, ka funkcija f(x, y) neizpilda pietiekamo nosacījumu dubultā integrāļa pastāvēšanai virs kopas E. Parādīsim, ka integrālis

neeksistē. Tiešām,

Līdzīgi tāds pats rezultāts tiek noteikts arī integrālim

Lejupielādējiet no vietnes Depositfiles

Lekcijas 5.-6

2. tēma. Vairāki integrāļi.

Dubultais integrālis.

Kontroles jautājumi.

1. Dubultais integrālis, tā ģeometriskā un fiziskā nozīme

2. Dubultā integrāļa īpašības.

3. Dubultā integrāļa aprēķins Dekarta koordinātēs.

4. Mainīgo maiņa dubultā integrālī. Dubultā integrāļa aprēķins polārajās koordinātēs.

Ļaujiet funkcijai z = f (x , y) definēts ierobežotā slēgtā reģionā D lidmašīna. Sadalīsim zonu D nejauši ieslēgts n elementāras slēgtas zonas  1 , … , n, kam platības   1 , …,   n un diametri d 1 , …, d n attiecīgi. Apzīmēsim d lielākais no laukuma diametriem  1 , … ,  n. Katrā jomā  k izvēlieties patvaļīgu punktu P k (x k ,y k) un izveidojiet integrālā summa funkcijas f(x,y)

S =
(1)

Definīcija. Dubultais integrālis funkcijas f(x,y) pēc reģiona D sauc par integrālās summas robežu

, (2)

ja tāda pastāv.

komentēt. Kumulatīvā summa S atkarīgs no tā, kā platība ir sadalīta D un izvēloties punktus P k (k=1, …, n). Tomēr robeža
, ja tas pastāv, nav atkarīgs no tā, kā apgabals ir sadalīts D un izvēloties punktus P k .

Pietiekams nosacījums dubultā integrāļa pastāvēšanai. Dubultais integrālis (1) pastāv, ja funkcija f(x,y) nepārtraukts iekšā D izņemot ierobežotu skaitu gabalos gludu līkņu un ir ierobežots D. Turpinājumā pieņemsim, ka visi aplūkojamie dubultintegrāļi eksistē.

Dubultā integrāļa ģeometriskā nozīme.

Ja f(x,y) ≥0 apgabalā D, tad dubultais integrālis (1) ir vienāds ar attēlā parādītā “cilindriskā” korpusa tilpumu:

V =
(3)

Cilindrisko korpusu apakšā ierobežo reģions D, no augšas - daļa no virsmas z = f (x , y), no sāniem - ar vertikāliem taisniem segmentiem, kas savieno šīs virsmas un reģiona robežas D.

Dubultā integrāļa fiziskā nozīme. Plakanas plāksnes masa.

Ļaujiet dot plakanu šķīvi D ar zināmu blīvuma funkciju γ( X,plkst), pēc tam sadaliet plāksni D daļās D i un patvaļīgu punktu izvēle
, iegūstam plāksnes masai
vai, salīdzinot ar formulu (2):

(4)

4. Dažas dubultintegrāļa īpašības.

Linearitāte. Ja AR tad ir skaitliska konstante

Aditivitāte. Ja apgabals D “sadalīti” zonās D 1 Un D 2, tad

3) Ierobežotās teritorijas platība D vienāds ar

(5)

Dubultā integrāļa aprēķins Dekarta koordinātēs.

Lai platība ir dota

1. attēls

D= { (x , y ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (x ) ≤ y≤ φ 2 (x ) } (6)

Novads D ielikts sloksnē starp taisnām līnijām x = a , y = b, ko no apakšas un no augšas ierobežo attiecīgi līknes y = φ 1 (x ) Un y = φ 2 (x ) .

Dubultais integrālis (1) virs reģiona D(4) aprēķina, pārejot uz iterēto integrāli:

(7)

Šo iterēto integrāli aprēķina šādi. Pirmkārt, tiek aprēķināts iekšējais integrālis

pēc mainīgā y, kurā x uzskatīts par nemainīgu. Rezultāts būs mainīgā funkcija x, un pēc tam tiek aprēķināts šīs funkcijas “ārējais” integrālis pār mainīgo x .

komentēt. Pārejas process uz atkārtoto integrāli pēc formulas (7) bieži tiek saukts par integrācijas robežu izvietošanu dubultā integrālī. Nosakot integrācijas ierobežojumus, jums jāatceras divi punkti. Pirmkārt, integrācijas apakšējai robežai nevajadzētu pārsniegt augšējo, un, otrkārt, ārējā integrāļa robežām jābūt nemainīgām, un iekšējai vispārīgā gadījumā jābūt atkarīgai no ārējā integrāļa integrācijas mainīgā.

Ļaujiet tagad platība D izskatās kā

D= { (x , y ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

Tad

. (9)

Pieņemsim, ka apgabals D var attēlot kā (6) un (8) vienlaikus. Tad vienlīdzība ir spēkā

(10)

Tiek saukta pāreja no viena iterēta integrāļa uz otru vienādībā (10). mainot integrācijas kārtību dubultā integrālā.

Piemēri.

1) Mainiet integrācijas secību integrālī

Risinājums. Izmantojot iterētā integrāļa formu, mēs atrodam reģionu

D= { (x , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Attēlosim apgabalu D. No attēla redzam, ka šī zona atrodas horizontālā joslā starp taisnām līnijām y =0, y=2 un starp rindām x =0 Un x= D

Dažreiz, lai vienkāršotu aprēķinus, tiek veiktas mainīgo lielumu izmaiņas:

,
(11)

Ja funkcijas (11) ir nepārtraukti diferencējamas un determinants (Jacobian) aplūkojamajā domēnā nav nulle:

(12)

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija

Kursa darbs

Disciplīna: Augstākā matemātika

(Lineārās programmēšanas pamati)

Par tēmu: MULTIPLE INTEGRALS

Aizpildījis: __________________

Skolotājs:___________

Datums ___________________

__________________

Paraksts ________________

VOROŅEŠA 2008. gads

1 Vairāki integrāļi

1.1 Dubultais integrālis

1.2 Trīskāršais integrālis

1.3. Vairāki integrāļi līknes koordinātēs

1.4. Vairāku integrāļu ģeometriski un fiziski pielietojumi

2 Līklīnijas un virsmas integrāļi

2.1. Līklīnijas integrāļi

2.2 Virsmas integrāļi

2.3. Ģeometriski un fiziski pielietojumi

Bibliogrāfija

1 Vairāki integrāļi

1.1 Dubultais integrālis

Apskatīsim slēgtu apgabalu D Oxy plaknē, ko ierobežo taisne L. Sadalīsim šo apgabalu n daļās ar dažām taisnēm.

Apgabalā D ir dota funkcija z = f(x, y). Apzīmēsim ar f(P 1), f(P 2),…, f(P n) šīs funkcijas vērtības izvēlētajos punktos un sastādīsim f(P i)ΔS i formas reizinājumu summu:

sauc par integrālo summu funkcijai f(x, y) domēnā D.

Ja ir tāda pati integrālsummu robeža (1) par

Dubultā integrāļa aprēķins apgabalā D, ko ierobežo līnijas

1.2 Trīskāršais integrālis

Trīskāršā integrāļa jēdziens tiek ieviests pēc analoģijas ar dubulto integrāli.

Telpā ir dots noteikts apgabals V, ko ierobežo slēgta virsma S. Definēsim nepārtrauktu funkciju f(x, y, z) šajā slēgtajā apgabalā. Tad mēs sadalām apgabalu V patvaļīgās daļās Δv i, ņemot vērā katras daļas tilpumu vienādu ar Δv i, un veidojam formas integrālo summu

Ierobežojums plkst

Funkcijas f(x,y,z) trīskāršais integrālis apgabalā V ir vienāds ar trīskāršo integrāli tajā pašā apgabalā:

1.3. Vairāki integrāļi līknes koordinātēs

Ieviesīsim plaknē līklīnijas koordinātas, ko sauc par polārajām. Izvēlēsimies punktu O (polu) un no tā izplūstošo staru (polārā ass).

Rīsi. 2 att. 3

Punkta M koordinātas (2. att.) būs nogriežņa MO garums - polārais rādiuss ρ un leņķis φ starp MO un polāro asi: M(ρ,φ). Ņemiet vērā, ka visos plaknes punktos, izņemot polu, ρ > 0 un polārais leņķis φ tiks uzskatīts par pozitīvu, mērot pretēji pulksteņrādītāja virzienam, un negatīvu, mērot pretējā virzienā.

Sakarību starp punkta M polārajām un Dekarta koordinātām var iestatīt, izlīdzinot Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktu ar polu, bet pozitīvo pusass Ox ar polāro asi (3. att.). Tad x=ρcosφ, y=ρsinφ. No šejienes

Definēsim apgabalā D, ko ierobežo līknes ρ=Φ 1 (φ) un ρ=Φ 2 (φ), kur φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

Trīsdimensiju telpā tiek ieviestas cilindriskas un sfēriskas koordinātas.

Punkta P(ρ,φ,z) cilindriskās koordinātas ir šī punkta projekcijas uz Oxy plakni polārās koordinātas ρ, φ un šī punkta z aplikācija (5. att.).

5. att. 6. att

Formulas pārejai no cilindriskām uz Dekarta koordinātām var norādīt šādi:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

Sfēriskās koordinātēs punkta pozīciju telpā nosaka lineārā koordināte r - attālums no punkta līdz Dekarta koordinātu sistēmas sākumam (vai sfēriskās sistēmas polam), φ - polārais leņķis starp pozitīvo. pusass Ox un punkta projekcija uz Ox plakni, un θ - leņķis starp ass Oz pozitīvo pusasi un segmentu OP (6. att.). Kurā

Iestatīsim formulas pārejai no sfēriskām uz Dekarta koordinātām:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Tad formulas pārejai uz cilindriskām vai sfēriskām koordinātām trīskāršā integrālā izskatīsies šādi:

kur F 1 un F 2 ir funkcijas, kas iegūtas, aizstājot to izteiksmes ar cilindriskām (8) vai sfēriskām (9) koordinātām funkcijā f, nevis x, y, z.

1.4. Vairāku integrāļu ģeometriski un fiziski pielietojumi

1) Plakanā reģiona S platība:

1. piemērs.

Atrodiet attēla D laukumu, ko ierobežo līnijas

Šo laukumu ir ērti aprēķināt, skaitot y kā ārējo mainīgo. Tad apgabala robežas tiek norādītas ar vienādojumiem