Kartes projekcijas. Karšu projekciju veidi un to būtība Kurām kartēm izmanto cilindrisko projekciju?

Kartes projekcija ir matemātiski definēta metode zemes elipsoīda virsmas attēlošanai plaknē. Tas nosaka funkcionālas attiecības starp zemes elipsoīda virsmas punktu ģeogrāfiskajām koordinātām un šo punktu taisnstūra koordinātām plaknē, t.i.

X= ƒ 1 (B, L) Un Y= ƒ 2 (IN,L).

Kartogrāfiskās projekcijas tiek klasificētas pēc deformācijas rakstura, pēc palīgvirsmas veida, pēc normālā režģa veida (meridiāniem un paralēlēm), pēc palīgvirsmas orientācijas attiecībā pret polāro asi utt.

Pēc izkropļojuma rakstura Izšķir šādas prognozes:

1. vienādstūrveida, kas bez kropļojumiem pārraida leņķu lielumu un tāpēc neizkropļo bezgalīgi mazu figūru formas, un garuma skala jebkurā punktā paliek nemainīga visos virzienos. Šādās projekcijās deformācijas elipses ir attēlotas kā dažādu rādiusu apļi (2. att. A).

2. vienāda izmēra, kurā nav apgabalu kropļojumu, t.i. Apgabalu laukumu attiecības kartē un elipsoīdā ir saglabātas, bet bezgalīgi mazu figūru formas un garuma skalas dažādos virzienos ir stipri izkropļotas. Bezgalīgi mazi apļi dažādos šādu projekciju punktos ir attēloti kā vienāda laukuma elipses ar dažādiem pagarinājumiem (2. att. b).

3. patvaļīgi, kurā ir izkropļojumi dažādās proporcijās gan leņķos, gan laukumos. Starp tiem izceļas vienādā attālumā esošie, kuros garuma skala pa vienu no galvenajiem virzieniem (meridiāniem vai paralēlēm) paliek nemainīga, t.i. tiek saglabāts vienas elipses ass garums (2. att.). V).

Pēc dizaina palīgvirsmas veida Izšķir šādas prognozes:

1. Azimutāls, kurā zemes elipsoīda virsma tiek pārnesta uz pieskares jeb sekantes plakni.

2. Cilindrisks, kurā palīgvirsma ir cilindra sānu virsma, kas pieskaras elipsoīdam vai griež to.

3. Konusveida, kurā elipsoīda virsma tiek pārnesta uz konusa sānu virsmu, pieskaroties elipsoīdam vai nogriežot to.

Pamatojoties uz palīgvirsmas orientāciju attiecībā pret polāro asi, projekcijas iedala:

A) normāli, kurā palīgfigūras ass sakrīt ar zemes elipsoīda asi; azimutālajās projekcijās plakne ir perpendikulāra normālai, sakrīt ar polāro asi;

b) šķērsvirziena, kurā palīgvirsmas ass atrodas zemes ekvatora plaknē; azimutālajās projekcijās palīgplaknes normāls atrodas ekvatoriālajā plaknē;

V) slīpi, kurā figūras palīgvirsmas ass sakrīt ar normālu, kas atrodas starp zemes asi un ekvatoriālo plakni; azimutālajās projekcijās plakne ir perpendikulāra šai normai.

3. attēlā parādītas dažādas plaknes pozīcijas, kas pieskaras zemes elipsoīda virsmai.

Projekciju klasifikācija pēc parastā režģa veida (meridiāni un paralēles) ir viens no galvenajiem. Pamatojoties uz šo pazīmi, izšķir astoņas projekciju klases.

a B C

Rīsi. 3. Projekciju veidi pēc orientācijas

palīgvirsma attiecībā pret polāro asi.

A-normāls; b-šķērsvirziena; V- slīps.

1. Azimutāls. Parastās azimutālās projekcijās meridiāni tiek attēloti kā taisnas līnijas, kas saplūst vienā punktā (polā) leņķos, kas vienādi ar to garumu starpību, un paralēles tiek attēlotas kā koncentriski apļi, kas novilkti no kopīga centra (pola). Slīpajās un lielākajā daļā šķērsenisko azimutālo projekciju meridiāni, izņemot vidējo, un paralēles ir izliektas līnijas. Ekvators šķērsprojekcijās ir taisna līnija.

2. Konisks. Parastās koniskās projekcijās meridiāni tiek attēloti kā taisnas līnijas, kas saplūst vienā punktā leņķos, kas ir proporcionāli attiecīgajām garuma atšķirībām, un paralēles tiek attēlotas kā koncentrisku apļu loki ar centru meridiānu konverģences punktā. Slīpajās un šķērseniskajās ir paralēles un meridiāni, izņemot vidējo, ir izliektas līnijas.

3. Cilindrisks. Parastās cilindriskās projekcijās meridiāni tiek attēloti kā vienādā attālumā esošas paralēlas līnijas, bet paralēles - kā tām perpendikulāras līnijas, kuras kopumā nav vienādā attālumā. Slīpās un šķērseniskās projekcijās paralēlēm un meridiāniem, izņemot vidējo, ir izliektas līnijas.

4. Polikonisks. Konstruējot šīs projekcijas, meridiānu un paralēlu tīkls tiek pārnests uz vairākiem konusiem, no kuriem katrs izvēršas plaknē. Paralēles, izņemot ekvatoru, ir attēlotas ar ekscentrisku apļu lokiem, kuru centri atrodas vidējā meridiāna turpinājumā, kas izskatās kā taisna līnija. Atlikušie meridiāni ir līknes, simetriski vidējam meridiānam.

5. Pseidoazimuts, kuru paralēles ir koncentriski apļi, bet meridiāni ir līknes, kas saplūst pola punktā un ir simetriski ap vienu vai diviem taisniem meridiāniem.

6. Pseidokonisks, kurā paralēles ir koncentrisku apļu loki, bet meridiāni ir izliektas līnijas, kas ir simetriskas attiecībā pret vidējo taisnvirziena meridiānu, kuras var nebūt attēlotas.

7. Pseidocilindrisks, kurā paralēles ir attēlotas kā paralēlas taisnas līnijas un meridiāni kā līknes, kas ir simetriski attiecībā pret vidējo taisnvirziena meridiānu, kas var nebūt attēlots.

8. Apļveida, kuru meridiāni, izņemot vidējo, un paralēles, izņemot ekvatoru, ir attēloti ar ekscentrisku apļu lokiem. Vidējais meridiāns un ekvators ir taisnas līnijas.

Konformāla šķērsvirziena cilindriska Gausa–Krūgera projekcija. Projekcijas zonas. Zonu un kolonnu skaitīšanas secība. Kilometru režģis. Topogrāfiskās kartes lapas zonas noteikšana, digitalizējot kilometru režģi

Mūsu valsts teritorija ir ļoti liela. Tas rada ievērojamus izkropļojumus, kad tas tiek pārnests uz plakni. Šī iemesla dēļ, veidojot topogrāfiskās kartes Krievijā, uz plakni tiek pārnesta nevis visa teritorija, bet gan tās atsevišķas zonas, kuru garums garuma grādos ir 6°. Zonu pārvietošanai tiek izmantota šķērsvirziena cilindriskā Gausa–Krūgera projekcija (Krievija izmanto kopš 1928. gada). Projekcijas būtība ir tāda, ka visa zemes virsma ir attēlota ar meridionālajām zonām. Šāda zona tiek iegūta, sadalot zemeslodi ar meridiāniem ik pēc 6°.

Attēlā 2.23. attēlā parādīta cilindra pieskare elipsoīdam, kura ass ir perpendikulāra elipsoīda mazajai asij.

Konstruējot zonu uz atsevišķa pieskares cilindra, elipsoīdam un cilindram ir kopīga pieskares līnija, kas iet pa zonas vidējo meridiānu. Pārejot uz plakni, tas netiek deformēts un saglabā savu garumu. Šo meridiānu, kas iet caur zonas vidu, sauc aksiāls meridiāns.

Kad zona tiek projicēta uz cilindra virsmas, tā tiek sagriezta gar tās ģenerātrijām un atlocīta plaknē. Atlocot, aksiālais meridiāns tiek attēlots bez taisnas līnijas kropļojumiem RR′ un tas tiek ņemts par asi X. Ekvators VIŅA' arī attēlota ar taisnu līniju, kas ir perpendikulāra aksiālajam meridiānam. Tas tiek ņemts par asi Y. Katras zonas koordinātu sākumpunkts ir aksiālā meridiāna un ekvatora krustpunkts (2.24. att.).

Rezultātā katra zona ir koordinātu sistēma, kurā jebkura punkta pozīciju nosaka plakanas taisnstūra koordinātas X Un Y.

Zemes elipsoīda virsma ir sadalīta 60 sešu grādu garuma zonās. Zonas tiek skaitītas no Griničas meridiāna. Pirmā sešu grādu zona būs 0°–6°, otrā zona 6°–12° utt.

Krievijā pieņemtā 6° platuma zona sakrīt ar Valsts kartes lokšņu kolonnu mērogā 1:1 000 000, bet zonas numurs nesakrīt ar šīs kartes lapu kolonnas numuru.

Pārbaudiet zonām notiek no Griniča meridiāns, A pārbaudiet kolonnas – no meridiāns 180°.

Kā jau teicām, katras zonas koordinātu sākumpunkts ir ekvatora krustošanās punkts ar zonas vidējo (aksiālo) meridiānu, kas projekcijā ir attēlots ar taisnu līniju un ir abscisu ass. Abscises tiek uzskatītas par pozitīvām uz ziemeļiem no ekvatora un par negatīvām uz dienvidiem. Ordinātu ass ir ekvators. Ordinātas uzskata par pozitīvām uz austrumiem un negatīvas uz rietumiem no aksiālā meridiāna (2.25. att.).

Tā kā abscises mēra no ekvatora līdz poliem, Krievijas teritorijai, kas atrodas ziemeļu puslodē, tās vienmēr būs pozitīvas. Ordinātas katrā zonā var būt pozitīvas vai negatīvas atkarībā no tā, kur punkts atrodas attiecībā pret aksiālo meridiānu (rietumos vai austrumos).

Lai aprēķini būtu ērti, katrā zonā ir jāatbrīvojas no negatīvām ordinātu vērtībām. Turklāt attālums no zonas aksiālā meridiāna līdz galējam meridiānam zonas platākajā vietā ir aptuveni 330 km (2.25. att.). Lai veiktu aprēķinus, ērtāk ir ņemt attālumu, kas vienāds ar apaļu kilometru skaitu. Šim nolūkam ass X nosacīti piešķirti uz rietumiem 500 km. Tādējādi punkts ar koordinātām tiek ņemts par koordinātu sākumpunktu zonā x = 0, y = 500 km. Tāpēc punktu ordinātu, kas atrodas uz rietumiem no zonas aksiālā meridiāna, vērtības būs mazākas par 500 km, bet punktu, kas atrodas uz austrumiem no aksiālā meridiāna, vērtības būs lielākas par 500 km.

Tā kā punktu koordinātas atkārtojas katrā no 60 zonām, tad ordinātas ir priekšā Y norādiet zonas numuru.

Lai attēlotu punktus pēc koordinātām un noteiktu punktu koordinātas topogrāfiskajās kartēs, ir izveidots taisnstūra režģis. Paralēli asīm X Un Y zīmē līnijas cauri 1 vai 2 km (uzņemts kartes mērogā), un tāpēc tās tiek sauktas kilometru līnijas, un taisnstūra koordinātu režģis ir kilometru režģis.

Kartes projekcijas

visas Zemes elipsoīda virsmas (sk. Zemes elipsoīdu) vai jebkuras tās daļas kartēšana plaknē, kas iegūta galvenokārt kartes konstruēšanas nolūkos.

Mērogs. Kontroles stacijas ir uzbūvētas noteiktā mērogā. Garīgi samazinot zemes elipsoīdu uz M reizes, piemēram, 10 000 000 reižu, mēs iegūstam tā ģeometrisko modeli - Globusu, kura dabiskā izmēra attēls plaknē dod šī elipsoīda virsmas karti. 1. vērtība: M(1. piemērā: 10 000 000) nosaka galveno vai vispārīgo kartes mērogu. Tā kā elipsoīda un lodītes virsmas nevar attīstīt līdz plaknei bez pārrāvumiem un ielocēm (tās neietilpst attīstāmo virsmu klasē (sk. attīstāmo virsmu)), tad jebkurai kompozīcijas virsmai ir raksturīgi līniju garuma izkropļojumi, leņķi utt., kas raksturīgi jebkurai kartei. Kosmosa sistēmas galvenais raksturlielums jebkurā punktā ir daļējā skala μ. Šī ir bezgalīgi maza segmenta attiecības apgrieztā vērtība ds uz zemes elipsoīda līdz tās attēlam dσ plaknē: μ min ≤ μ ≤ μ max, un vienlīdzība šeit ir iespējama tikai atsevišķos punktos vai pa dažām kartes līnijām. Tādējādi kartes galvenais mērogs to raksturo tikai vispārīgi, kaut kādā vidējā formā. Attieksme μ/M ko sauc par relatīvo mērogu vai garuma pieaugumu, starpība M = 1.

Galvenā informācija. K. p. teorija - Matemātiskā kartogrāfija - Tās mērķis ir izpētīt visu veidu kropļojumus, kartējot zemes elipsoīda virsmu plaknē, un izstrādāt metodes tādu projekciju konstruēšanai, kurās kropļojumiem būtu vai nu vismazākās (jebkurā nozīmē) vērtības, vai iepriekš noteikts sadalījums.

Pamatojoties uz kartogrāfijas vajadzībām (sk. Kartogrāfiju), kartogrāfijas teorijā tiek aplūkoti zemes elipsoīda virsmas kartējumi uz plaknes. Tā kā zemes elipsoīdam ir zema saspiešana un tā virsma nedaudz novirzās no sfēras, kā arī tāpēc, ka eliptiski elementi ir nepieciešami vidēja un maza mēroga karšu sastādīšanai ( M> 1 000 000), tad tie bieži aprobežojas ar kartēšanu ar kāda rādiusa sfēras plakni. R, kuru novirzes no elipsoīda var atstāt novārtā vai kaut kādā veidā ņemt vērā. Tāpēc zemāk mēs domājam kartējumus uz plakni xOy sfēra, apzīmēta ar ģeogrāfiskajām koordinātām φ (platums) un λ (garums).

Jebkura QP vienādojumiem ir forma

x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ), (1)

Kur f 1 un f 2 - funkcijas, kas atbilst dažiem vispārīgiem nosacījumiem. Meridiāna attēli λ = konst un paralēles φ = konst dotajā kartē tie veido kartogrāfisku režģi. K.p var noteikt arī ar diviem vienādojumiem, kuros parādās netaisnstūra koordinātas X,plkst lidmašīnas, bet jebkura cita. Dažas projekcijas [piemēram, perspektīvas projekcijas (jo īpaši ortogrāfiskas, rīsi. 2 ) perspektīva-cilindrisks ( rīsi. 7 ) utt.] var noteikt ar ģeometriskām konstrukcijām. Karti nosaka arī atbilstošā kartogrāfiskā režģa konstruēšanas noteikums vai tai raksturīgās īpašības, no kurām var iegūt formas (1) vienādojumus, kas pilnībā nosaka projekciju.

Īsa vēsturiska informācija. Kartogrāfijas teorijas, kā arī visas kartogrāfijas attīstība ir cieši saistīta ar ģeodēzijas, astronomijas, ģeogrāfijas un matemātikas attīstību. Kartogrāfijas zinātniskie pamati tika likti Senajā Grieķijā (6.-1.gs.pmē.). Gnomoniskā projekcija, ko Thales no Milētas izmantoja, lai izveidotu zvaigžņoto debesu kartes, tiek uzskatīta par vecāko CG. Pēc tās izveidošanas 3. gs. BC e. Zemes sfēriskā forma. C. sāka izgudrot un izmantot ģeogrāfisko karšu sastādīšanā (Hipparhs, Ptolemajs utt.). Ievērojamais kartogrāfijas pieaugums 16. gadsimtā, ko izraisīja Lielie ģeogrāfiskie atklājumi, radīja vairākas jaunas prognozes; viens no tiem, ko ierosinājis G. Merkators, To lieto arī mūsdienās (skat. Mercator projekciju). 17. un 18. gadsimtā, kad plašā topogrāfisko uzmērījumu organizācija sāka nodrošināt uzticamu materiālu karšu sastādīšanai plašā teritorijā, kartes tika izstrādātas kā topogrāfisko karšu pamats (franču kartogrāfs R. Bonns, J. D. Kasīni). kā arī tika veikti pētījumi par atsevišķām svarīgākajām kvantu lauku grupām (I. Lamberts, L. Eilers, J. Lagrange un utt.). Militārās kartogrāfijas attīstība un topogrāfisko darbu apjoma tālākais pieaugums 19. gs. prasīja nodrošināt matemātisku bāzi liela mēroga kartēm un taisnstūra koordinātu sistēmas ieviešanu uz ģeometriskiem aprēķiniem piemērotāka pamata Tas noveda K. Gausu pie fundamentālas ģeodēziskās projekcijas izstrādes (sk. Ģeodēziskās projekcijas). Visbeidzot, 19. gadsimta vidū. A. Tiso (Francija) sniedza vispārīgu teoriju par KP kropļojumiem, KP teorijas attīstība Krievijā bija cieši saistīta ar prakses vajadzībām un deva daudz oriģinālu rezultātu (L. Eilers, F. I. Šūberts, P. L. Čebiševs, D. A. Kaps u.c.). Padomju kartogrāfu V. V. Kavraiski (skat. Kavraiskis), N. A. Urmajeva un citu darbos tika izstrādātas jaunas karšu grupas, to individuālie varianti (līdz praktiskās izmantošanas stadijai) un svarīgi vispārīgās karšu teorijas jautājumi. to klasifikācijas utt.

Izkropļojumu teorija. Izkropļojumi bezgalīgi mazā apgabalā ap jebkuru projekcijas punktu atbilst noteiktiem vispārīgiem likumiem. Jebkurā kartes punktā projekcijā, kas nav konformāla (skat. zemāk), ir divi šādi savstarpēji perpendikulāri virzieni, kas arī atbilst savstarpēji perpendikulāriem virzieniem uz attēlotās virsmas, tie ir tā sauktie galvenie displeja virzieni. Šo virzienu skalām (galvenajām skalām) ir galējās vērtības: μ max = a Un μ min = b. Ja kādā projekcijā meridiāni un paralēles kartē krustojas taisnā leņķī, tad to virzieni šai projekcijai ir galvenie. Garuma kropļojums noteiktā projekcijas punktā vizuāli attēlo kropļojumu elipsi, kas ir līdzīga un līdzīgi atrodas bezgalīgi maza apļa attēlam, kas apvilkts ap atbilstošo attēlotās virsmas punktu. Šīs elipses pusdiametri ir skaitliski vienādi ar daļējām skalām dotajā punktā attiecīgajos virzienos, elipses pusasis ir vienādas ar galējām skalām, un to virzieni ir galvenie.

Saikni starp deformācijas elipses elementiem, QP kropļojumiem un funkciju (1) daļējiem atvasinājumiem nosaka deformāciju teorijas pamatformulas.

Kartes projekciju klasifikācija pēc izmantoto sfērisko koordinātu pola stāvokļa. Sfēras stabi ir īpaši ģeogrāfiskās koordinācijas punkti, lai gan sfērai šajos punktos nav nekādu iezīmju. Tas nozīmē, ka kartējot apgabalus, kas satur ģeogrāfiskos polus, dažreiz ir vēlams izmantot nevis ģeogrāfiskās koordinātas, bet gan citas, kurās stabi izrādās parastie koordinācijas punkti. Tāpēc uz sfēras tiek izmantotas sfēriskas koordinātas, kuru koordinātu līnijas, tā sauktās vertikāles (nosacītais garums uz tām a = konst) un almucantarates (kur polārie attālumi z = konst), līdzīgi ģeogrāfiskiem meridiāniem un paralēlēm, bet to pols Z 0 nesakrīt ar ģeogrāfisko polu P0 (rīsi. 1 ). Pāreja no ģeogrāfiskajām koordinātām φ , λ jebkuram sfēras punktam līdz tā sfēriskajām koordinātām z, a noteiktā pole pozīcijā Z 0 (φ 0 , λ 0) veikts, izmantojot sfēriskās trigonometrijas formulas. Jebkuru QP, kas dots ar vienādojumu (1), sauc par normālu vai tiešo ( φ 0 = π/2). Ja vienu un to pašu sfēras projekciju aprēķina, izmantojot tās pašas formulas (1), kurā vietā φ , λ parādās z, a, tad šo projekciju sauc par šķērsvirzienu, kad φ 0 = 0, λ 0 un slīpi, ja 0 . Slīpu un šķērsenisku izvirzījumu izmantošana samazina kropļojumus. Ieslēgts rīsi. 2 parāda sfēras (bumbiņas virsmas) parasto (a), šķērsvirziena (b) un slīpo (c) ortogrāfisko projekciju (sk. Ortogrāfisko projekciju).

Kartes projekciju klasifikācija pēc izkropļojumu rakstura. Vienādstūrveida (konformālajos) punktos skala ir atkarīga tikai no punkta stāvokļa un nav atkarīga no virziena. Izkropļojuma elipses deģenerējas apļos. Piemēri — Merkatora projekcija, Stereogrāfiskā projekcija.

Vienāda izmēra (līdzvērtīgās) telpās platības tiek saglabātas; precīzāk, šādās projekcijās sastādītajās kartēs figūru laukumi ir proporcionāli atbilstošo figūru laukumiem dabā, un proporcionalitātes koeficients ir kartes galvenā mēroga kvadrāta apgrieztais lielums. Izkropļojuma elipsēm vienmēr ir vienāds laukums, kas atšķiras pēc formas un orientācijas.

Patvaļīgi kompozītmateriāli nav ne vienādstūrveida, ne vienādi pēc platības. No tiem izšķir vienādā attālumā esošās, kurās viena no galvenajām skalām ir vienāda ar vienotību, un ortodromiskos, kurās lodes lielie apļi (ortodromi) ir attēloti kā taisni.

Attēlojot sfēru plaknē, nav savienojamas vienādstūra, vienādmaluma, vienlīdzības un ortodromiskuma īpašības. Lai parādītu izkropļojumus dažādās attēlotā apgabala vietās, izmantojiet: a) kropļojumu elipses, kas konstruētas dažādās režģa vai kartes skices vietās ( rīsi. 3 ); b) izokolas, t.i., līnijas ar vienādu kropļojuma vērtību (ieslēgts rīsi. 8v skatīt leņķu с lielākā izkropļojuma izokolus un laukuma skalas izokolus R); c) dažās kartes vietās attēli no dažām sfēriskām līnijām, parasti ortodromiem (O) un loksodromiem (L), sk. rīsi. 3a ,3b un utt.

Parasto karšu projekciju klasifikācija pēc meridiānu un paralēlu attēlu veida, kas ir CP teorijas vēsturiskās attīstības rezultāts, aptver lielāko daļu zināmo projekciju. Tajā ir saglabāti nosaukumi, kas saistīti ar projekciju iegūšanas ģeometrisko metodi, bet aplūkojamās grupas tagad ir definētas analītiski.

Cilindriskie izvirzījumi ( rīsi. 3 ) - projekcijas, kurās meridiāni ir attēloti kā vienādā attālumā esošas paralēlas līnijas, bet paralēles - kā taisnas līnijas, kas ir perpendikulāras meridiānu attēliem. Noderīga, lai attēlotu teritorijas, kas stiepjas gar ekvatoru vai kādas paralēles. Navigācija izmanto Mercator projekciju — konformālu cilindrisku projekciju. Gausa-Krūgera projekcija ir konformāla šķērsvirziena cilindriska projekcija, ko izmanto topogrāfisko karšu sastādīšanā un triangulāciju apstrādē.

Azimutālās projekcijas ( rīsi. 5 ) - projekcijas, kurās paralēles ir koncentriski apļi, meridiāni ir to rādiusi, un leņķi starp pēdējiem ir vienādi ar attiecīgajām garuma atšķirībām. Īpašs azimutālo projekciju gadījums ir perspektīvas projekcijas.

Pseidokoniskas projekcijas ( rīsi. 6 ) - projekcijas, kurās paralēles ir attēlotas kā koncentriski apļi, vidējais meridiāns kā taisne, bet pārējie meridiāni kā līknes. Bieži tiek izmantota Bonnas vienāda laukuma pseidokoniskā projekcija; Kopš 1847. gada tā sastādīja Krievijas Eiropas daļas karti ar trim verstiem (1: 126 000).

Pseidocilindriskas projekcijas ( rīsi. 8 ) - projekcijas, kurās paralēles attēlotas kā paralēlas taisnes, vidējais meridiāns kā taisne, kas ir perpendikulāra šīm taisnēm un ir projekciju simetrijas ass, bet pārējie meridiāni kā līknes.

Polikoniskas projekcijas ( rīsi. 9 ) - projekcijas, kurās paralēles ir attēlotas kā apļi ar centriem, kas atrodas uz vienas taisnas līnijas, kas attēlo vidējo meridiānu. Konstruējot konkrētas polikoniskas projekcijas, tiek izvirzīti papildu nosacījumi. Viena no polikoniskām projekcijām ir ieteicama starptautiskajai (1:1 000 000) kartei.

Ir daudzas prognozes, kas nepieder pie šiem veidiem. Cilindriskās, koniskās un azimutālās projekcijas, ko sauc par vienkāršākajām, bieži klasificē kā apļveida projekcijas plašā nozīmē, no tām atšķirot apļveida projekcijas šaurā nozīmē - projekcijas, kurās visi meridiāni un paralēles ir attēloti kā apļi, piemēram, Lagranža konformālās projekcijas, Grintena projekcija utt.

Kartes projekciju izmantošana un atlase galvenokārt ir atkarīgi no kartes mērķa un mēroga, kas bieži vien nosaka pieļaujamo izkropļojumu raksturu izvēlētajā metrikā.Metrikas uzdevumu risināšanai paredzētas liela un vidēja mēroga kartes parasti tiek sastādītas konformālās projekcijās, un maza mēroga kartes kartes, ko izmanto vispārīgiem apsekojumiem un jebkuru teritoriju platību attiecības noteikšanai - vienādās platībās. Šajā gadījumā ir iespējams daži šo projekciju definējošos nosacījumu pārkāpumi ( ω ≡ 0 vai p ≡ 1), kas neizraisa pamanāmas kļūdas, t.i., pieļaujam patvaļīgas projekcijas izvēli, no kurām biežāk tiek izmantotas projekcijas, kas atrodas vienādā attālumā gar meridiāniem. Pēdējais tiek izmantots arī tad, ja kartes mērķis nemaz neparedz leņķu vai laukumu saglabāšanu. Izvēloties projekcijas, tās sākas ar vienkāršākajām, tad pāriet uz sarežģītākām projekcijām, pat, iespējams, tās modificējot. Ja neviens no zināmajiem KP neatbilst sastādāmās kartes prasībām sava mērķa ziņā, tad tiek meklēts jauns, piemērotākais KP, cenšoties (iespēju robežās) samazināt tajā kropļojumus. Problēma par izdevīgāko KP konstruēšanu, kurā kropļojumi jebkurā ziņā tiek samazināti līdz minimumam, vēl nav pilnībā atrisināta.

C. punktus izmanto arī navigācijā, astronomijā, kristalogrāfijā u.c.; tie tiek meklēti, lai kartētu Mēnesi, planētas un citus debess ķermeņus.

Projekciju transformācija.Ņemot vērā divus QP, ko nosaka atbilstošās vienādojumu sistēmas: x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ) Un X = g 1 (φ, λ), Y = g 2 (φ, λ), ir iespējams, no šiem vienādojumiem izslēdzot φ un λ, izveidot pāreju no viena no tiem uz otru:

X = F 1 (x, y), Y = F2 (x, y).

Šīs formulas, norādot funkciju veidu F 1 ,F 2, pirmkārt, sniedz vispārīgu metodi tā saukto atvasināto projekciju iegūšanai; otrkārt, tie veido teorētisko pamatu visām iespējamām karšu zīmēšanas tehnisko metožu metodēm (skat. Ģeogrāfiskās kartes). Piemēram, afīnās un daļējās lineārās transformācijas tiek veiktas, izmantojot kartogrāfiskos transformatorus (sk. Kartogrāfiskais transformators). Tomēr vispārīgākām transformācijām ir jāizmanto jaunas, jo īpaši elektroniskās tehnoloģijas. Ideālu CP transformatoru radīšanas uzdevums ir aktuāla mūsdienu kartogrāfijas problēma.

Lit.: Vitkovskis V., Kartogrāfija. (Kartes projekciju teorija), Sanktpēterburga. 1907. gads; Kavraisky V.V., Matemātiskā kartogrāfija, M. - L., 1934; viņa, Izbr. darbi, 2. sēj., gs. 1-3, [M.], 1958-60; Urmajevs N. A., Matemātiskā kartogrāfija, M., 1941; viņam, Metodes jaunu kartogrāfisko projekciju atrašanai, M., 1947; Graur A.V., Matemātiskā kartogrāfija, 2. izdevums, Ļeņingrada, 1956; Ginzburg G. A., Kartogrāfiskās projekcijas, M., 1951; Meshcheryakov G. A., Matemātiskās kartogrāfijas teorētiskie pamati, M., 1968.

G. A. Meščerjakovs.

2. Bumba un tās ortogrāfiskās projekcijas.

3a. Cilindriskie izvirzījumi. Mercator vienādstūrveida.

3b. Cilindriskie izvirzījumi. Vienādā attālumā (taisnstūrveida).

3c. Cilindriskie izvirzījumi. Vienāda platība (izocilindriska).

4a. Konusveida izvirzījumi. Vienādstūrveida.

4b. Konusveida izvirzījumi. Vienādā attālumā.

4c. Konusveida izvirzījumi. Vienāda izmēra.

Rīsi. 5a. Azimutālās projekcijas. Konformāls (stereogrāfisks) pa kreisi - šķērseniski, pa labi - slīps.

Rīsi. 5 B. Azimutālās projekcijas. Tikpat starpposma (kreisajā pusē - šķērsvirziena, labajā pusē - slīpi).

Rīsi. 5. gadsimts Azimutālās projekcijas. Vienāda izmēra (kreisajā pusē - šķērseniski, labajā pusē - slīpi).

Rīsi. 8.a. Pseidocilindriskas projekcijas. Molveida vienādās laukuma projekcija.

Rīsi. 8b. Pseidocilindriskas projekcijas. V. V. Kavraiska sinusoidālā vienāda laukuma projekcija.

Rīsi. 8. gadsimts Pseidocilindriskas projekcijas. Patvaļīga TsNIIGAIK projekcija.

Rīsi. 8g. Pseidocilindriskas projekcijas. BSAM projekcija.

Rīsi. 9a. Polikoniskas projekcijas. Vienkārši.

Rīsi. 9b. Polikoniskas projekcijas. G. A. Ginzburga patvaļīga projekcija.

Lielā padomju enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. 1969-1978 .

Skatiet, kas ir “Kartes projekcijas” citās vārdnīcās:

Matemātiskās metodes zemes elipsoīda jeb sfēras virsmas attēlošanai plaknē. Kartes projekcijas nosaka attiecību starp punktu koordinātām uz zemes elipsoīda virsmas un plaknē. Sakarā ar nespēju paplašināties...... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

KARTES PROJEKCIJAS, sistemātiskas metodes Zemes meridiānu un paralēlu zīmēšanai uz līdzenas virsmas. Teritorijas un formas var ticami attēlot tikai uz zemeslodes. Plakanās lielu platību kartēs izkropļojumi ir neizbēgami. Prognozes ir... Zinātniskā un tehniskā enciklopēdiskā vārdnīca

KARTES PROJEKCIJA UN TO VEIDI

Pamatojums rindkopas tēmas izvēlei

Darbam izvēlējāmies tēmu “Kartes projekcijas”. Šobrīd ģeogrāfijas mācību grāmatās šī tēma praktiski nav aplūkota, informācija par dažādām karšu projekcijām ir redzama tikai 6. klases atlantā. Uzskatām, ka studentiem būs interesanti uzzināt, pēc kādiem principiem tiek atlasītas un konstruētas dažādas ģeogrāfisko karšu projekcijas. Olimpiādes uzdevumos bieži tiek uzdoti jautājumi par karšu projekcijām. Tie parādās arī vienotajā valsts eksāmenā. Turklāt atlantu kartes, kā likums, tiek veidotas dažādās projekcijās, kas rada jautājumus studentos.Kartogrāfiskā projekcija ir karšu konstruēšanas pamats. Tādējādi zināšanas par karšu projekciju konstruēšanas pamatprincipiem noderēs skolēniem, izvēloties pilota, jūrnieka, ģeologa profesiju. Šajā sakarā mēs uzskatām par lietderīgu šo materiālu iekļaut ģeogrāfijas mācību grāmatā. Tā kā 6. klases līmenī skolēnu matemātiskā sagatavotība vēl nav tik spēcīga, mūsuprāt, šo tēmu ir jēga apgūt 7. klases sākumā sadaļā “Zemes dabas vispārīgās iezīmes”. materiāls par ģeogrāfiskās informācijas avotiem.

Kartes projekcijas

Nav iespējams iedomāties ģeogrāfisko karti bez paralēlu un meridiānu sistēmas, kas to veido grādu tīkls. Tieši tie ļauj mums precīzi noteikt objektu atrašanās vietu, no tiem tiek noteiktas horizonta malas kartē. Pat attālumus kartē var aprēķināt, izmantojot grādu tīklu. Aplūkojot kartes atlantā, pamanīsit, ka grādu tīkls dažādās kartēs izskatās savādāk. Dažās kartēs paralēles un meridiāni krustojas taisnā leņķī un veido paralēlu un perpendikulāru līniju režģi. Citās kartēs meridiāni izplūst no vienas melanholijas, un paralēles tiek attēlotas kā loki. Antarktīdas kartē meridiāni izskatās kā sniegpārslas, un paralēles stiepjas no centra koncentriskos apļos.

KARTES IZVEIDE

Kartogrāfijas darbu veidošanu veic kartogrāfijas kartogrāfijas daļa. Kartogrāfija ir zinātnes, ražošanas un tehnoloģiju nozare, kas aptver kartogrāfijas vēsturi un kartogrāfijas darbu izpēti, radīšanu un izmantošanu. Kartes tiek veidotas, izmantojot karšu projekcijas – pārejas metodi no reālas, ģeometriski sarežģītas zemes virsmas uz kartes plakni. Lai to izdarītu, viņi vispirms pāriet uz matemātiski pareizu elipsoīda vai lodes figūru un pēc tam projicē attēlu plaknē, izmantojot matemātiskas atkarības.

Projekciju veidi

Kas ir kartes projekcija?

Kartes projekcija – matemātiski definēts virsmas attēlošanas veids elipsoīds uz virsmas. Tiek saukta šai kartes projekcijai pieņemtā meridiānu un paralēlu tīkla attēlošanas sistēma kartogrāfiskais režģis.

Pēc kartogrāfijas konstruēšanas metodes parastā sieta visas projekcijas ir sadalītas koniskās, cilindriskās, nosacītās, azimutālās utt.

Uz konusveida izvirzījumiem pārnesot Zemes koordinātu līnijas uz plakni, izmanto konusu.Pēc attēla iegūšanas uz tā virsmas konuss tiek nogriezts un atlocīts uz plaknes Lai iegūtu konisku režģi, konusa asij precīzi jāsakrīt ar Zemes ass. Iegūtajā kartē paralēles ir attēlotas kā apļveida loki, meridiāni - kā taisnas līnijas, kas izplūst no viena punkta. Šādā projekcijā jūs varat attēlot mūsu planētas ziemeļu vai dienvidu puslodi, Ziemeļameriku vai Eirāziju. Ģeogrāfijas apguves procesā konusveida projekcijas visbiežāk būs atrodamas jūsu atlantos, veidojot Krievijas karti.

Kartes projekcijas

Uz cilindriskām izvirzījumiem parastā sieta iegūšana tiek veikta, projicējot to uz cilindra sienām, kura ass sakrīt ar Zemes asi. Pēc tam tas tiek izlocīts plaknē. Režģi iegūst no savstarpēji perpendikulārām paralēlu un meridiānu taisnēm.

Uz azimutālām projekcijām projekcijas plaknē uzreiz iegūst parasto sietu. Lai to izdarītu, plaknes centrs ir izlīdzināts ar Zemes polu. Rezultātā paralēles izskatās kā koncentriski apļi, kuru rādiuss palielinās līdz ar attālumu no centra, un meridiāni izskatās kā taisnas līnijas, kas krustojas centrā.

Nosacītās projekcijas tiek būvēti saskaņā ar dažiem iepriekš noteiktiem nosacījumiem. Šo kategoriju nevar klasificēt kopā ar citiem projekcijas veidiem. To skaits ir neierobežots.

Protams, ir absolūti neiespējami pārnest attēlu no bumbas virsmas uz plakni. Ja mēs to izmēģināsim, mēs neizbēgami nonāksim pie attēla plīsuma. Taču mēs šīs nepilnības kartē neredzam, un pat pārnesot attēlu uz cilindra, konusa vai plaknes virsmu, attēls izrādās viendabīgs. Kas noticis?

Projicējot punktus no zemeslodes virsmas uz nākotnes kartes virsmu, mēs iegūstam izkropļotus attēlus. Ja iedomājamies Zemes virsmas projicēšanu uz plaknes ēnas formā, ko iegūst, izceļot objektu no Zemes centra, tad jo tālāk objekts atrodas no kartes virsmas tiešā saskares vietas ar bumbu. , jo vairāk mainīsies tā attēls.

Pamatojoties uz kropļojumu raksturu, visas projekcijas ir sadalītas vienādstūra, vienāda laukuma un patvaļīgās.

Uz konformālām projekcijām Leņķi uz zemes starp jebkuriem virzieniem ir vienādi ar leņķiem kartē starp tiem pašiem virzieniem, tas ir, tiem (leņķiem) nav izkropļojumu. Mērogs ir atkarīgs tikai no punkta stāvokļa un nav atkarīgs no virziena. Leņķis uz zemes vienmēr ir vienāds ar leņķi kartē, līnija, kas ir taisna uz zemes, ir taisna līnija kartē. Bezgalīgi mazas figūras kartē, pateicoties līdzsvara īpašībai, būs līdzīgas tām pašām figūrām uz Zemes. Bet lineārajiem izmēriem šīs projekcijas kartēs būs izkropļojumi.Iedomājieties perfekti apaļu ezeru.Neatkarīgi no tā, kur tas atrodas iegūtajā kartē, tā forma paliks apaļa, bet izmēri var būtiski mainīties. Upes gultne locīsies tāpat kā uz zemes, taču attālums starp tās līkumiem neatbildīs reālajam.

Vienāda laukuma projekcija

Uz vienādu laukumu projekcijām Teritorijas netiek deformētas, tiek saglabāta to proporcionalitāte. Bet leņķi un formas ir stipri izkropļotas. Kad tās kontūra tiek pārnesta uz karti bumbiņas un topošās kartes virsmas saskares punktā, tās attēls būs tikpat apaļš. Tajā pašā laikā, jo tālāk tas atrodas no saskares līnijas, jo vairāk izstiepsies tā aprises, lai gan ezera platība paliks nemainīga.

Uz patvaļīgām prognozēm Gan leņķi, gan laukumi ir izkropļoti, figūru līdzība netiek saglabāta, taču tām piemīt dažas īpašas īpašības, kas nav raksturīgas citām projekcijām, tāpēc tās ir visvairāk izmantotas.

Kartes tiek veidotas vai nu tieši apgabala topogrāfisko uzmērījumu rezultātā, vai uz citu karšu bāzes, tas ir, galu galā, atkal uzmērīšanas rezultātā. Šobrīd lielākā daļa topogrāfisko karšu tiek veidotas ar aerofotografēšanas metodi, kas ļauj ātri iegūt plašas teritorijas topogrāfisko karti. Daudzas apkārtnes fotogrāfijas (aerofotogrāfijas) tiek uzņemtas no lidojošas lidmašīnas, izmantojot īpašas fotografēšanas ierīces. Pēc tam šīs aerofotogrāfijas tiek apstrādātas, izmantojot īpašas ierīces. Pirms kļūst par karti, aerofotogrāfiju sērija iziet cauri ilgam un sarežģītam ražošanas procesam.

Elipsoīds

Visas maza mēroga vispārīgās ģeogrāfiskās un speciālās kartes (arī elektroniskās GPS kartes) tiek veidotas uz citu karšu bāzes, tikai lielākā mērogā.

Noteikumi

Grāda tīkls- meridiānu un paralēlu sistēma uz ģeogrāfiskajām kartēm un globusiem, kas kalpo zemes virsmas punktu ģeogrāfisko koordinātu saskaitīšanai - garuma un platuma grādiem.

Elipsoīds- slēgta virsma. Elipsoīdu var iegūt no lodītes virsmas, ja bumba tiek saspiesta (izstiepta) patvaļīgās attiecībās trīs savstarpēji perpendikulāros virzienos.

Normāls siets- katras projekciju klases kartogrāfiskais režģis, kura meridiānu un paralēlu attēlam ir visvienkāršākā forma.

Koncentriski apļi- apļi, kuriem ir kopīgs centrs un atrodas vienā plaknē.

Jautājumi

1. Kas ir kartes projekcija? 2. Kādus karšu projekciju veidus jūs zināt? 3. Kura kartogrāfijas nozare nodarbojas ar projekciju veidošanu? 4. Kas nosaka izkropļojumu raksturu kartē?

Darbs mājās

1. Piezīmju grāmatiņā aizpildiet tabulu, kurā parādītas dažādu karšu projekciju īpašības.

2. Noteikt, kādās projekcijās būvētas atlanta kartes. Kurš projekcijas veids tika izmantots visbiežāk? Kāpēc?

Uzdevums zinātkārajiem

Izmantojot papildu informācijas avotus, atrodiet, kurā projekcijā ir konstruēta pusložu karte.

Informācijas resursi šīs tēmas padziļinātai izpētei

Literatūra par tēmu

A.M.Berlyant "Karte - otrā ģeogrāfijas valoda: (esejas par kartogrāfiju)".192 lpp. MASKAVA. IZGLĪTĪBA. 1985. gads

Pārejot no Zemes fiziskās virsmas uz tās attēlošanu plaknē (kartē), tiek veiktas divas darbības: zemes virsmas projicēšana ar tās komplekso reljefu uz zemes elipsoīda virsmu, kura izmēri tiek noteikti ar ģeodēzisko palīdzību. un astronomiskos mērījumus, un attēlojot elipsoīda virsmu plaknē, izmantojot vienu no kartogrāfiskajām projekcijām.
Kartes projekcija ir īpašs veids, kā attēlot elipsoīda virsmu plaknē.
Zemes virsmas attēlošana plaknē tiek veikta dažādos veidos. Vienkāršākais ir perspektīva . Tās būtība ir projicēt attēlu no Zemes modeļa virsmas (globuss, elipsoīds) uz cilindra vai konusa virsmu, kam seko pagrieziens plaknē (cilindrisks, konisks) vai tieši projicēt sfērisku attēlu uz plakne (azimutāla).
Viens vienkāršs veids, kā saprast, kā kartes projekcijas maina telpiskās īpašības, ir vizualizēt gaismas projekciju caur Zemi uz virsmas, ko sauc par projekcijas virsmu.
Iedomājieties, ka Zemes virsma ir caurspīdīga, un tai ir uzlikts kartes režģis. Aptiniet papīra gabalu ap Zemi. Gaismas avots Zemes centrā radīs ēnas no koordinātu režģa uz papīra lapas. Tagad jūs varat atlocīt papīru un novietot to plakaniski. Koordinātu režģa forma uz līdzenas papīra virsmas ļoti atšķiras no tās formas uz Zemes virsmas (5.1. att.).

Rīsi. 5.1. Ģeogrāfiskās koordinātu sistēmas karšu režģis, kas projicēts uz cilindriskas virsmas

Kartes projekcija izkropļoja kartes režģi; objekti, kas atrodas netālu no staba, ir iegareni.
Lai veidotu perspektīvā veidā, nav jāizmanto matemātikas likumi. Lūdzu, ņemiet vērā, ka mūsdienu kartogrāfijā tiek veidoti karšu režģi analītisks (matemātiski) veidā. Tās būtība ir kartogrāfiskā režģa mezglpunktu (meridiānu un paralēlu krustošanās punktu) stāvokļa aprēķināšana. Aprēķins tiek veikts, pamatojoties uz vienādojumu sistēmas atrisināšanu, kas saista mezglu punktu ģeogrāfisko platumu un ģeogrāfisko garumu ( φ, λ ) ar to taisnstūra koordinātām ( x, y) uz virsmas. Šo atkarību var izteikt ar diviem formas vienādojumiem:

sauc par kartes projekcijas vienādojumiem. Tie ļauj aprēķināt taisnstūra koordinātas x, y punkts attēlots pēc ģeogrāfiskām koordinātām φ Un λ . Iespējamo funkcionālo atkarību un līdz ar to arī prognožu skaits ir neierobežots. Ir tikai nepieciešams, lai katrs punkts φ , λ elipsoīdu plaknē attēloja unikāli atbilstošs punkts x, y un ka attēls ir nepārtraukts.

5.2. KRropļojumi

Nav vieglāk saplacināt sferoīdu nekā saplacināt arbūza mizas gabalu. Pārejot uz plakni, parasti tiek izkropļoti leņķi, laukumi, līniju formas un garumi, tāpēc konkrētiem mērķiem ir iespējams izveidot projekcijas, kas būtiski samazina jebkura veida kropļojumus, piemēram, laukumus. Kartogrāfiskie kropļojumi ir zemes virsmas laukumu un uz tiem esošo objektu ģeometrisko īpašību pārkāpums, kad tie ir attēloti plaknē. .
Visu veidu izkropļojumi ir cieši saistīti viens ar otru. Viņi ir tādās attiecībās, ka viena veida izkropļojumu samazināšanās nekavējoties izraisa otra veida izkropļojumu palielināšanos. Samazinoties laukuma deformācijai, palielinās leņķa deformācija utt. Rīsi. 5.2. attēlā parādīts, kā tiek saspiesti trīsdimensiju objekti, lai tos varētu novietot uz līdzenas virsmas.

Rīsi. 5.2. Sfēriskas virsmas projicēšana uz projekcijas virsmu

Dažādās kartēs izkropļojumi var būt dažāda izmēra: liela mēroga kartēs tie ir gandrīz nemanāmi, bet maza mēroga kartēs tie var būt ļoti lieli.
19. gadsimta vidū franču zinātnieks Nikolass Ogists Tiso sniedza vispārēju deformācijas teoriju. Savā darbā viņš ierosināja izmantot īpašu deformācijas elipses, kas ir bezgalīgi mazas elipses jebkurā kartes punktā, kas ir bezgalīgi mazu apļu atspulgs attiecīgajā zemes elipsoīda vai globusa virsmas punktā. Elipse kļūst par apli nulles kropļojuma punktā. Elipses formas maiņa atspoguļo leņķu un attālumu izkropļojumu pakāpi, bet izmēru - apgabalu izkropļojumu pakāpi.

Rīsi. 5.3. Elipse uz kartes ( A) un atbilstošo apli uz zemeslodes ( b)

Izkropļojuma elipse kartē var ieņemt dažādas pozīcijas attiecībā pret meridiānu, kas iet caur tās centru. Parasti tiek noteikta kropļojuma elipses orientācija kartē tās puslielākās ass azimuts . Leņķi starp meridiāna ziemeļu virzienu, kas iet caur deformācijas elipses centru, un tā tuvāko puslielāko asi sauc deformācijas elipses orientācijas leņķis. Attēlā 5.3, Ašis leņķis ir norādīts ar burtu A 0 , un attiecīgais leņķis uz zemeslodes α 0 (5.3. att. b).
Jebkura virziena azimuti kartē un uz zemeslodes vienmēr tiek mērīti no meridiāna ziemeļu virziena pulksteņrādītāja virzienā, un to vērtības var būt no 0 līdz 360°.
Jebkurš patvaļīgs virziens ( labi) uz kartes vai zemeslodes ( PAR 0 UZ 0 ) var noteikt vai nu pēc dotā virziena azimuta ( A- kartē, α - uz zemeslodes) vai leņķis starp puslielāko asi, kas ir vistuvāk meridiāna ziemeļu virzienam, un šo virzienu ( v- kartē, u- uz zemeslodes).

5.2.1. Garuma kropļojumi

Garuma kropļojumi ir pamata kropļojumi. No tā loģiski izriet atlikušie kropļojumi. Garuma kropļojums nozīmē plakana attēla mēroga nekonsekvenci, kas izpaužas skalas maiņā no punkta uz punktu un pat tajā pašā punktā atkarībā no virziena.
Tas nozīmē, ka kartē ir 2 mērogu veidi:

• galvenā skala (M);
• privāts mērogs .

Galvenā skala kartēs sauc zemeslodes vispārējās samazināšanas pakāpi līdz noteiktiem zemeslodes izmēriem, no kuriem zemes virsma tiek pārnesta uz plakni. Tas ļauj mums spriest par segmentu garuma samazināšanos, pārnesot tos no zemeslodes uz zemeslodi. Galvenais mērogs ir rakstīts zem kartes dienvidu rāmja, taču tas nenozīmē, ka jebkurā vietā kartē izmērītais segments atbildīs attālumam uz zemes virsmas.
Tiek saukts mērogs noteiktā kartes punktā noteiktā virzienā Privāts . To definē kā bezgalīgi maza segmenta attiecību kartē dl UZ uz atbilstošo segmentu uz elipsoīda virsmas dl Z . Privātā mēroga attiecība pret galveno, ko apzīmē ar μ , raksturo garumu deformāciju

(5.3)

Lai novērtētu noteiktas skalas novirzi no galvenās, tiek izmantots jēdziens tuvināšana (AR), ko nosaka attiecība

(5.4)

No formulas (5.4.) izriet, ka:

• plkst AR= 1 privātā skala ir vienāda ar galveno skalu ( µ = M), t.i., nav garuma izkropļojumu noteiktā kartes punktā noteiktā virzienā;
• plkst AR> 1 privātā skala lielāka par galveno ( µ > M);
• plkst AR < 1 частный масштаб мельче главного (µ < М ).

Piemēram, ja galvenais kartes mērogs ir 1: 1 000 000, tālummaiņa AR ir vienāds ar 1,2, tad µ = 1,2/1 000 000 = 1/833 333, t.i., viens centimetrs kartē atbilst aptuveni 8,3 km uz zemes. Daļējā skala ir lielāka par galveno (frakcijas izmērs ir lielāks).
Attēlojot globusa virsmu plaknē, daļējās skalas būs skaitliski lielākas vai mazākas par galveno mērogu. Ja ņemam galveno skalu, kas vienāda ar vienotību ( M= 1), tad daļējās skalas skaitliski būs lielākas vai mazākas par vienību. Šajā gadījumā pēc noteikta mēroga, kas skaitliski ir vienāds ar mēroga palielinājumu, ir jāsaprot bezgalīgi maza segmenta attiecība noteiktā kartes punktā noteiktā virzienā pret attiecīgo bezgalīgi mazo segmentu uz zemeslodes:

(5.5)

Privātā mēroga novirze (µ )no viena nosaka garuma kropļojumu noteiktā kartes punktā noteiktā virzienā ( V):

V = µ - 1 (5.6)

Garuma kropļojumu bieži izsaka kā vienības, t.i., galvenās skalas, procentuālo daļu, un to sauc par relatīvā garuma kropļojums :

q = 100 (µ - 1) = V × 100(5.7)

Piemēram, kad µ = 1,2 garuma kropļojums V= +0,2 vai relatīvā garuma kropļojums V= +20%. Tas nozīmē, ka segments, kura garums ir 1 cm, uzņemts uz zemeslodes, kartē tiks attēlots kā segments, kura garums ir 1,2 cm.
Ir ērti spriest par garuma izkropļojumu esamību kartē, salīdzinot meridiānu segmentu izmērus starp blakus esošajām paralēlēm. Ja tie visur ir vienādi, tad gar meridiāniem nav garumu izkropļojumu, ja šādas vienādības nav (5.5. att. segmenti AB Un CD), tad ir izkropļoti līniju garumi.

Rīsi. 5.4. Daļa no austrumu puslodes kartes, kurā redzami kartogrāfiskie izkropļojumi

Ja kartē ir attēlots tik liels laukums, ka tajā ir redzams gan ekvators 0º, gan 60° platuma paralēle, tad pēc tās nav grūti noteikt, vai gar paralēles ir izkropļotas. Lai to izdarītu, ir pietiekami salīdzināt ekvatora segmentu garumu un paralēli ar 60 ° platumu starp blakus esošajiem meridiāniem. Ir zināms, ka 60° platuma paralēle ir uz pusi garāka nekā ekvators. Ja kartē norādīto segmentu attiecība ir vienāda, tad garumi pa paralēlēm nav izkropļoti; pretējā gadījumā tas ir pieejams.
Lielākais garuma kropļojumu rādītājs noteiktā punktā (izkropļojuma elipses puslielākā ass) ir apzīmēts ar latīņu burtu A, un mazākā (deformācijas elipses daļēji mazā ass) - b. Savstarpēji perpendikulāri virzieni, kuros piemēro lielāko un mazāko garuma kropļojumu līmeni, sauc par galvenajiem virzieniem .
Lai novērtētu dažādus izkropļojumus kartēs, no visiem privātajiem mērogiem svarīgākie ir privātie mērogi divos virzienos: gar meridiāniem un gar paralēlēm. Privātais mērogs gar meridiānu parasti apzīmē ar burtu m , un privātā mēroga gar paralēli - vēstule n.
Relatīvi mazu teritoriju (piemēram, Ukrainas) maza mēroga kartēs garuma mērogu novirzes no kartē norādītā mēroga ir nelielas. Kļūdas garumu mērīšanā šajā gadījumā nepārsniedz 2 - 2,5% no izmērītā garuma, un tās var atstāt novārtā, strādājot ar skolas kartēm. Dažās kartēs ir ietverta mērīšanas skala un paskaidrojošs teksts aptuveniem mērījumiem.
Ieslēgts jūras kartes , kas konstruēts Merkatora projekcijā un uz kura loksodroms ir attēlots kā taisna līnija, īpaša lineārā skala nav dota. Tās lomu spēlē kartes austrumu un rietumu kadri, kas ir meridiāni, kas sadalīti sadalījumos ik pēc 1′ platuma.
Jūras navigācijā attālumus parasti mēra jūras jūdzēs. Jūras jūdze - tas ir vidējais meridiāna loka garums 1′ platuma grādos. Tas satur 1852 m. Tādējādi jūras karšu kadri faktiski ir sadalīti segmentos, kas vienādi ar vienu jūras jūdzi. Nosakot taisnās līnijas attālumu starp diviem kartes punktiem meridiāna minūtēs, iegūstam faktisko attālumu jūras jūdzēs gar loksodromu.

5.5. attēls. Attālumu mērīšana, izmantojot jūras karti.

5.2.2. Leņķa kropļojums

Leņķu izkropļojumi loģiski izriet no garumu kropļojumiem. Leņķu atšķirība starp virzieniem kartē un atbilstošajiem virzieniem uz elipsoīda virsmas tiek uzskatīta par leņķu izkropļojuma raksturlielumu kartē.
Stūra deformācijas indikatoram starp kartogrāfiskā režģa līnijām ņem to novirzes vērtību no 90° un apzīmē ar grieķu burtu ε (epsilons).
ε = Ө - 90°, (5.8)
kur iekšā Ө (teta) - kartē izmērītais leņķis starp meridiānu un paralēli.

5.4. attēlā norādīts, ka leņķis Ө ir vienāds ar 115°, tāpēc ε = 25°.
Vietā, kur meridiāna un paralēles krustošanās leņķis kartē paliek taisns, leņķus starp citiem virzieniem kartē var mainīt, jo jebkurā konkrētā punktā leņķu izkropļojumu apjoms var mainīties, mainoties virziens.
Vispārējais leņķa izkropļojuma rādītājs ω (omega) tiek uzskatīts par lielāko leņķa kropļojumu noteiktā punktā, kas ir vienāds ar starpību starp tā vērtību kartē un zemes elipsoīda (sfēras) virsmā. Kad zināms x rādītāji A Un b Izmērs ω nosaka pēc formulas:

(5.9)

5.2.3. Apgabala izkropļojumi

Laukuma kropļojumi loģiski izriet no garuma kropļojumiem. Izkropļojuma elipses laukuma novirze no oriģinālā laukuma uz elipsoīda tiek uzskatīta par laukuma kropļojumu raksturlielumu.
Vienkāršs veids, kā noteikt šāda veida kropļojumus, ir salīdzināt kartogrāfiskā režģa šūnu laukumus, ko ierobežo viena nosaukuma paralēles: ja šūnu laukumi ir vienādi, izkropļojuma nav. Tas jo īpaši notiek puslodes kartē (4.4. att.), kurā iekrāsotās šūnas atšķiras pēc formas, bet tām ir vienāds laukums.
Apgabala kropļojumu indikators (R) tiek aprēķināts kā lielākā un mazākā garuma kropļojumu rādītāju reizinājums noteiktā vietā kartē
p = a × b (5.10)
Galvenie virzieni noteiktā kartes punktā var sakrist ar kartogrāfiskā režģa līnijām, bet var nesakrist ar tām. Tad rādītāji A Un b saskaņā ar zināmo m Un n aprēķina pēc formulas:

(5.11)
(5.12)

Vienādojumos iekļautais deformācijas koeficients Ršajā gadījumā viņi atpazīs pēc darba:

Kur ε (epsilons) - kartogrāfiskā režģa krustošanās leņķa novirzes vērtība no 9 0°.

5.2.4. Formu kropļojumi

Formu sagrozīšana sastāv no tā, ka objekta vai teritorijas forma, ko aizņem objekts kartē, atšķiras no tās formas uz līdzenas Zemes virsmas. Šāda veida izkropļojumu esamību kartē var noteikt, salīdzinot kartogrāfiskā režģa šūnu formu, kas atrodas vienā platuma grādos: ja tās ir vienādas, tad izkropļojuma nav. 5.4. attēlā divas iekrāsotas šūnas ar formas atšķirību norāda uz šāda veida izkropļojumiem. Varat arī identificēt noteikta objekta (kontinenta, salas, jūras) formas izkropļojumus pēc tā platuma un garuma attiecības analizētajā kartē un uz zemeslodes.
Formas izkropļojumu indekss (k) ir atkarīgs no lielākās ( A) un mazākais ( b) garuma izkropļojumu indikatori noteiktā vietā kartē un tiek izteikti ar formulu:

(5.14)

Pētot un izvēloties kartes projekciju, izmantojiet isokols - vienādu kropļojumu līnijas. Tos var attēlot kartē kā punktētas līnijas, lai parādītu izkropļojumu lielumu.

Rīsi. 5.6. Lielāko leņķa izkropļojumu izokoli

5.3. PROJEKCIJU KLASIFIKĀCIJA PĒC KRĀPJUMU BŪTAS

Dažādiem nolūkiem tiek veidotas projekcijas ar dažāda veida kropļojumiem. Projekcijas izkropļojumu raksturu nosaka tas, ka tajā nav noteiktu izkropļojumu (leņķi, garumi, laukumi). Atkarībā no tā visas kartogrāfiskās projekcijas tiek iedalītas četrās grupās atbilstoši izkropļojuma veidam:
— līdzstūrveida (konformāls);
- vienādā attālumā (vienādā attālumā);
— vienāda izmēra (ekvivalents);
- patvaļīgi.

5.3.1. Konformālas projekcijas

Vienādstūrveida Tās sauc par projekcijām, kurās virzieni un leņķi ir attēloti bez kropļojumiem. Konformālās projekciju kartēs izmērītie leņķi ir vienādi ar attiecīgajiem leņķiem uz zemes virsmas. Bezgalīgi mazs aplis šajās projekcijās vienmēr paliek aplis.
Vienādstūra projekcijās garuma skalas jebkurā punktā visos virzienos ir vienādas, tāpēc tajās nav bezgalīgi mazu figūru formas un nav leņķu deformācijas (5.7. att., B). Šo konformālo projekciju vispārīgo īpašību izsaka ar formulu ω = 0°. Bet reālo (galīgo) ģeogrāfisko objektu formas, kas aizņem veselus apgabalus kartē, ir izkropļotas (5.8. att., a). Konformālās projekcijās ir īpaši lieli laukuma izkropļojumi (ko skaidri parāda kropļojumu elipses).

Rīsi. 5.7. Izkropļojuma elipses skats vienāda laukuma projekcijās —- A, vienādstūrveida - B, patvaļīgi - IN, ieskaitot vienādā attālumā gar meridiānu - G un vienādā attālumā pa paralēli - D. Diagrammas parāda 45° leņķa kropļojumus.

Šīs projekcijas tiek izmantotas, lai noteiktu virzienus un izkārtotu maršrutus pa noteiktu azimutu, tāpēc tos vienmēr izmanto topogrāfiskajās un navigācijas kartēs. Konformālo projekciju trūkums ir tas, ka to laukumi ir stipri izkropļoti (5.7. att., a).

Rīsi. 5.8. Izkropļojumi cilindriskajā projekcijā:
a - līdzstūrveida; b - vienādā attālumā; c - vienāda izmēra

5.6.2. Vienādu attālumu projekcijas

Vienādā attālumā projekcijas ir projekcijas, kurās tiek saglabāta (paliek nemainīga) viena no galvenajiem virzieniem garuma mērogs (5.7. att., D. 5.7. att., E.) Tās galvenokārt tiek izmantotas neliela mēroga atskaites karšu un zvaigžņu karšu veidošanai.

5.6.3. Vienādu laukumu prognozes

Vienāda izmēra Tiek sauktas projekcijas, kurās nav laukuma izkropļojumu, t.i., kartē izmērītas figūras laukums ir vienāds ar tās pašas figūras laukumu uz Zemes virsmas. Vienādu apgabalu kartes projekcijās apgabala mērogs visur ir vienāds. Šo vienādu laukumu projekciju īpašību var izteikt ar formulu:

Šo projekciju vienāda izmēra neizbēgamas sekas ir to leņķu un formu spēcīga deformācija, ko labi izskaidro deformācijas elipses (5.7. att., A).

5.6.4. Patvaļīgas projekcijas

Uz patvaļīgu Tie ietver projekcijas, kurās ir garumu, leņķu un laukumu izkropļojumi. Nepieciešamība izmantot patvaļīgas projekcijas ir izskaidrojama ar to, ka, risinot dažus uzdevumus, ir nepieciešams vienā kartē izmērīt leņķus, garumus un laukumus. Bet neviena projekcija vienlaikus nevar būt gan vienāda, gan vienāda attāluma, gan vienāda laukuma. Iepriekš tika teikts, ka, samazinoties Zemes virsmas attēlotajam laukumam plaknē, samazinās arī attēla kropļojumi. Attēlojot nelielus zemes virsmas laukumus patvaļīgā projekcijā, leņķu, garumu un laukumu izkropļojumu lielums ir nenozīmīgs, un, risinot daudzas problēmas, tos var ignorēt.

5.4. PROJEKCIJU KLASIFIKĀCIJA PĒC PARASTĀ KARTOGRAFISKĀ REŽĢA TIPA

Kartogrāfijas praksē izplatīta projekciju klasifikācija ir balstīta uz ģeometriskās palīgvirsmas veidu, ko var izmantot to konstrukcijā. No šī viedokļa prognozes izšķir: cilindrisks kad cilindra sānu virsma kalpo kā palīgvirsma; konusveida, kad palīgplakne ir konusa sānu virsma; azimutāls, kad palīgvirsma ir plakne (attēla plakne).
Virsmas, uz kurām tiek projicēts globuss, var būt tam pieskares vai nogrieztas. Tie var būt dažādi orientēti.
Projekcijas, kuru konstruēšanas laikā cilindra un konusa asis tika izlīdzinātas ar zemeslodes polāro asi, un attēla plakne, uz kuras attēls tika projicēts, tika novietota tangenciāli pola punktā, sauc par normālām.
Šo izvirzījumu ģeometriskā konstrukcija ir ļoti skaidra.

5.4.1. Cilindriskie izvirzījumi

Spriešanas vienkāršības labad elipsoīda vietā izmantosim bumbu. Ieslēgsim lodi cilindrā, kas pieskaras ekvatoram (5.9. att., a).

Rīsi. 5.9. Kartes režģa uzbūve vienāda laukuma cilindriskā projekcijā

Turpināsim meridiānu PA, PB, PV, ... plaknes un ņemsim šo plakņu krustpunktus ar cilindra sānu virsmu par meridiānu attēlu uz tā. Ja nogriežam cilindra sānu virsmu pa ģenerāci aAa 1 un izvērsiet to uz plaknes, tad meridiāni tiks attēloti kā paralēlas, vienādi izvietotas taisnas līnijas aAa 1 , bBBb 1 , vVv 1 ..., perpendikulāri ekvatoram ABC.
Paralēļu tēlu var iegūt dažādos veidos. Viens no tiem ir paralēlu plakņu turpinājums, līdz tās krustojas ar cilindra virsmu, kas izstrādē dos otru paralēlu taisnu saimi, kas ir perpendikulāra meridiāniem.
Iegūtā cilindriskā projekcija (5.9. att., b) būs vienāda izmēra, jo sfēriskās jostas AGED sānu virsma, kas vienāda ar 2πRh (kur h ir attālums starp plaknēm AG un ED), atbilst šīs jostas attēla laukumam skenēšanas laikā. Galvenā skala tiek uzturēta gar ekvatoru; daļējas skalas pa paralēli palielinās, un gar meridiāniem tie samazinās līdz ar attālumu no ekvatora.
Vēl viens paralēlu novietojuma noteikšanas veids ir balstīts uz meridiānu garumu saglabāšanu, t.i., galvenās skalas saglabāšanu pa visiem meridiāniem. Šajā gadījumā cilindriskā projekcija būs vienādā attālumā gar meridiāniem(5.8. att., b).
Priekš vienādstūrveida Cilindriskai projekcijai ir nepieciešama mēroga noturība visos virzienos jebkurā punktā, kas prasa mēroga palielināšanu gar meridiāniem, attālinoties no ekvatora atbilstoši mēroga palielinājumam pa paralēlēm attiecīgajos platuma grādos (sk. 5.8. att. ).
Bieži vien pieskares cilindra vietā tiek izmantots cilindrs, kas griež sfēru pa divām paralēlēm (5.10. att.), pa kurām izstrādes laikā tiek saglabāta galvenā skala. Šajā gadījumā daļējās skalas visās paralēlēs starp posma paralēlēm būs mazākas, bet uz pārējām paralēlēm tās būs lielākas par galveno mērogu.

Rīsi. 5.10. Cilindrs, kas griež bumbu pa divām paralēlēm

5.4.2. Konusveida projekcijas

Lai konstruētu konisku projekciju, lodi aptveram konusa pieskare lodei pa paralēlo ABCD (5.11. att., a).

Rīsi. 5.11. Kartes režģa uzbūve vienādā attālumā esošā konusveida projekcijā

Līdzīgi kā iepriekšējā konstrukcijā, turpināsim meridiānu PA, PB, PV, ... plaknes un ņemsim to krustojumus ar konusa sānu virsmu kā meridiānu attēlu uz tā. Pēc konusa sānu virsmas atlocīšanas plaknē (5.11. att., b) meridiāni tiks attēloti kā radiālas taisnas līnijas TA, TB, TV,..., kas izplūst no punkta T. Lūdzu, ņemiet vērā, ka leņķi starp tiem (meridiānu konverģence) būs proporcionāls (bet nav vienāds) ar garuma atšķirībām. Gar pieskares ABC paralēli (apļveida loka rādiuss TA) tiek saglabāta galvenā skala.
Citu paralēlu stāvokli, kas attēlotas ar koncentrisku apļu lokiem, var noteikt pēc noteiktiem nosacījumiem, no kuriem viens - saglabājot galveno mērogu gar meridiāniem (AE = Ae) - noved pie konusiskas vienādā attālumā esošās projekcijas.

5.4.3. Azimutālās projekcijas

Azimutālās projekcijas konstruēšanai izmantosim plaknes pieskares lodei pola punktā P (5.12. att.). Meridiānu plakņu krustojumi ar pieskares plakni dod priekšstatu par meridiāniem Pa, Pe, Pv,... taisnu līniju veidā, kuru leņķi ir vienādi ar garuma starpībām. Paralēles, kas ir koncentriski apļi, var definēt dažādos veidos, piemēram, velkot rādiusus, kas vienādi ar meridiānu iztaisnotajiem lokiem no pola līdz atbilstošajai paralēlei PA = Pa. Šī projekcija būs vienādā attālumā Autors meridiāni un saglabā galveno mērogu gar tiem.

Rīsi. 5.12. Kartes režģa uzbūve azimutālajā projekcijā

Īpašs azimutālo projekciju gadījums ir daudzsološs projekcijas, kas konstruētas saskaņā ar ģeometriskās perspektīvas likumiem. Šajās projekcijās katrs zemeslodes virsmas punkts tiek pārnests uz attēla plakni pa stariem, kas izplūst no viena punkta AR, ko sauc par skatu punktu. Atkarībā no skata punkta stāvokļa attiecībā pret zemeslodes centru projekcijas iedala:

• centrālais - skata punkts sakrīt ar zemeslodes centru;
• stereogrāfisks - skata punkts atrodas uz zemeslodes virsmas punktā, kas ir diametrāli pretējs attēla plaknes saskares punktam ar zemeslodes virsmu;
• ārējā - skats tiek ņemts ārpus zemeslodes;
• ortogrāfisks - skats tiek ņemts līdz bezgalībai, t.i., projektēšanu veic paralēli stari.

Rīsi. 5.13. Perspektīvo projekciju veidi: a - centrālais;
b - stereogrāfisks; c - ārējais; g - ortogrāfisks.

5.4.4. Nosacītās projekcijas

Nosacītās projekcijas ir projekcijas, kurām nevar atrast vienkāršus ģeometriskus analogus. Tie ir veidoti, pamatojoties uz jebkuriem nosacījumiem, piemēram, vēlamo ģeogrāfiskā režģa veidu, īpašu izkropļojumu sadalījumu kartē, noteikta veida režģi utt. Jo īpaši pseidocilindriskai, pseidokonusiskai, pseidoazimutālai un citas projekcijas, kas iegūtas, pārveidojot vienu vai vairākas sākotnējās projekcijas.
U pseidocilindrisks projekcijas, ekvators un paralēles ir taisnas līnijas, kas ir paralēlas viena otrai (kas padara tās līdzīgas cilindriskām projekcijām), un meridiāni ir līknes, kas ir simetriskas attiecībā pret vidējo taisnvirziena meridiānu (5.14. att.)

Rīsi. 5.14. Kartes režģa skats pseidocilindriskā projekcijā.

U pseidokonisks paralēlu projekcijas ir koncentrisku apļu loki, un meridiāni ir līknes, kas ir simetriskas attiecībā pret vidējo taisnvirziena meridiānu (5.15. att.);

Rīsi. 5.15. Kartes režģis vienā no pseidokoniskajām projekcijām

Iebūvējot tīklu polikoniskā projekcija var attēlot, projicējot zemeslodes grādu režģa sekcijas uz virsmas vairākas pieskares konusi un sekojoša attīstība uz konusu virsmas izveidoto svītru plaknē. Šādas konstrukcijas vispārējais princips ir parādīts 5.16. attēlā.

Rīsi. 5.16. Polikoniskas projekcijas konstruēšanas princips:
a - konusu novietojums; b - svītras; c - skenēšana

Vēstules S Konusu virsotnes ir norādītas attēlā. Katram konusam blakus atbilstošā konusa pieskares paralēlei tiek projicēts zemeslodes virsmas platuma griezums.
Kartogrāfisko režģu ārējam izskatam polikoniskā projekcijā ir raksturīgi, ka meridiāniem ir izliektas līnijas (izņemot vidējo - taisnas), un paralēles ir ekscentrisku apļu loki.
Polikoniskajās projekcijās, ko izmanto pasaules karšu konstruēšanai, ekvatoriālā daļa tiek projicēta uz pieskares cilindru, tāpēc iegūtajā režģī ekvatoram ir taisnas līnijas forma, kas ir perpendikulāra vidējam meridiānam.
Pēc konusu skenēšanas tiek iegūts šo laukumu attēls svītru veidā uz plaknes; svītras pieskaras gar kartes vidējo meridiānu. Galīgo sieta izskatu iegūst pēc spraugu likvidēšanas starp sloksnēm stiepjot (5.17. att.).

Rīsi. 5.17. Kartes režģis vienā no polikoniem

Daudzskaldņu projekcijas - projekcijas, kas iegūtas, projicējot uz daudzskaldņa virsmu (5.18. att.), lodītes pieskares vai sekanta (elipsoīda). Visbiežāk katra seja ir vienādmalu trapece, lai gan ir iespējamas arī citas iespējas (piemēram, sešstūri, kvadrāti, rombi). Ir dažādi daudzskaldņu veidi vairāku joslu projekcijas, Turklāt svītras var “izgriezt” gan gar meridiāniem, gan paralēlēm. Šādas projekcijas ir izdevīgas ar to, ka kropļojumi katrā sejā vai joslā ir ļoti mazi, tāpēc tās vienmēr tiek izmantotas vairāku lapu kartēm. Topogrāfiskie un uzmērīšanas-topogrāfiskie tiek veidoti tikai daudzpusīgā projekcijā, un katras loksnes rāmis ir trapecveida forma, kas sastāv no meridiānu un paralēlu līnijām. Jums ir "par to jāmaksā" - karšu lapu bloku nevar apvienot kopējos kadros bez pārtraukumiem.

Rīsi. 5.18. Daudzskaldņu projekcijas shēma un karšu lapu izvietojums

Jāpiebilst, ka mūsdienās palīgvirsmas netiek izmantotas karšu projekciju iegūšanai. Neviens neliek bumbu cilindrā un neliek tam konusu. Tās ir tikai ģeometriskas analoģijas, kas ļauj izprast projekcijas ģeometrisko būtību. Prognožu meklēšana tiek veikta analītiski. Datormodelēšana ļauj ātri aprēķināt jebkuru projekciju ar dotajiem parametriem, un automātiskie ploteri viegli uzzīmē atbilstošo meridiānu un paralēlu režģi un, ja nepieciešams, izokola karti.
Ir speciāli projekciju atlanti, kas ļauj izvēlēties pareizo projekciju jebkurai teritorijai. Pēdējā laikā ir izveidoti elektroniskie projekciju atlanti, ar kuru palīdzību ir viegli atrast piemērotu sietu, nekavējoties novērtēt tā īpašības un, ja nepieciešams, interaktīvi veikt noteiktas modifikācijas vai transformācijas.

5.5. PROJEKCIJU KLASIFIKĀCIJA ATKARĪBĀ NO PALĪGKARTOGRAFISKĀS VIRSMAS ORIENTĀCIJAS

Normālas projekcijas - projekcijas plakne pieskaras globusam pola punktā jeb cilindra (konusa) ass sakrīt ar Zemes rotācijas asi (5.19. att.).

Rīsi. 5.19. Parastās (tiešās) projekcijas

Šķērsvirziena projekcijas - projektētā plakne pieskaras ekvatoram jebkurā punktā vai cilindra (konusa) ass sakrīt ar ekvatoriālo plakni (5.20. att.).

Rīsi. 5.20. Šķērsvirziena projekcijas

Slīpas projekcijas - projektētā plakne pieskaras zemeslodei jebkurā dotajā punktā (5.21. att.).

Rīsi. 5.21. Slīpas projekcijas

No slīpajām un šķērseniskajām projekcijām visbiežāk tiek izmantotas slīpās un šķērseniskās cilindriskās, azimutālās (perspektīvās) un pseidoazimutālās projekcijas. Šķērseniskās azimutālās tiek izmantotas pusložu kartēm, slīpās - teritorijām, kurām ir noapaļota forma. Kontinentu kartes bieži tiek sastādītas šķērseniskās un slīpās azimutālās projekcijās. Šķērsvirziena cilindriskā Gausa-Krūgera projekcija tiek izmantota valsts topogrāfiskajām kartēm.

5.6. PROJEKCIJU IZVĒLE

Prognožu izvēli ietekmē daudzi faktori, kurus var grupēt šādi:

• kartētās teritorijas ģeogrāfiskās iezīmes, atrašanās vieta uz zemeslodes, izmērs un konfigurācija;
• kartes mērķis, mērogs un priekšmets, paredzamais patērētāju loks;
• kartes lietošanas nosacījumi un metodes, uzdevumi, kas tiks risināti, izmantojot karti, prasības mērījumu rezultātu precizitātei;
• pašas projekcijas pazīmes - garumu, laukumu, leņķu izkropļojumu lielums un to sadalījums pa teritoriju, meridiānu un paralēlu forma, to simetrija, stabu attēls, īsākā attāluma līniju izliekums.

Sākotnēji tiek noteiktas pirmās trīs faktoru grupas, no tām atkarīga ceturtā. Ja karte tiek sastādīta navigācijas nolūkos, jāizmanto līdzstūra cilindriskā Mercator projekcija. Ja Antarktīda tiek kartēta, tad gandrīz noteikti tiks pieņemta parastā (polārā) azimutālā projekcija utt.
Šo faktoru nozīme var būt dažāda: vienā gadījumā pirmajā vietā tiek izvirzīta redzamība (piemēram, sienas skolas kartei), citā - kartes lietošanas pazīmes (navigācija), trešajā - atrašanās vieta. teritorija uz zemeslodes (polārais reģions). Ir iespējamas jebkuras kombinācijas, un tāpēc ir iespējamas dažādas projekcijas iespējas. Turklāt izvēle ir ļoti liela. Bet joprojām ir iespējams norādīt dažas vēlamās un tradicionālākās prognozes.
Pasaules kartes parasti sastādītas cilindriskās, pseidocilindriskās un polikoniskās projekcijās. Lai samazinātu kropļojumus, bieži tiek izmantoti atdalāmie cilindri, un dažreiz tiek veidotas pseidocilindriskas projekcijas ar pārtraukumiem okeānos.
Pusložu kartes vienmēr konstruēts azimutālās projekcijās. Rietumu un austrumu puslodē ir dabiski ņemt šķērseniskās (ekvatoriālās), ziemeļu un dienvidu puslodēs - parastās (polārās), bet citos gadījumos (piemēram, kontinentālajā un okeāna puslodē) - slīpas azimutālās projekcijas.
Kontinentu kartes Eiropa, Āzija, Ziemeļamerika, Dienvidamerika, Austrālija un Okeānija visbiežāk tiek būvētas vienāda laukuma slīpās azimutālās projekcijās, Āfrikai tās ņem šķērseniskās, bet Antarktīdai - parastās azimutālās projekcijās.
Atsevišķu valstu kartes , administratīvie reģioni, provinces, štati tiek veikti slīpās vienādstūra un vienāda laukuma koniskās vai azimutālās projekcijās, taču daudz kas ir atkarīgs no teritorijas konfigurācijas un tās stāvokļa uz zemeslodes. Nelieliem laukumiem projekcijas izvēles problēma zaudē savu aktualitāti, var izmantot dažādas konformālās projekcijas, paturot prātā, ka laukuma izkropļojumus mazos apgabalos gandrīz nevar pamanīt.
Topogrāfiskās kartes Ukraina ir izveidota Gausa šķērsvirziena cilindriskajā projekcijā, un ASV un daudzas citas Rietumu valstis ir izveidotas universālajā šķērsvirziena cilindriskajā Mercator projekcijā (saīsināti UTM). Abas projekcijas pēc īpašībām ir līdzīgas; Būtībā abi ir vairāku dobumu.
Jūras un aeronavigācijas kartes vienmēr ir dotas tikai cilindriskā Mercator projekcijā, un jūru un okeānu tematiskās kartes tiek veidotas visdažādākajās, dažkārt diezgan sarežģītās projekcijās. Piemēram, lai kopā parādītu Atlantijas un Ziemeļu Ledus okeānu, tiek izmantotas īpašas projekcijas ar ovāliem izokoliem, bet visa Pasaules okeāna attēlošanai tiek izmantotas vienādas platības projekcijas ar pārtraukumiem kontinentos.
Jebkurā gadījumā, izvēloties projekciju, īpaši tematiskajām kartēm, jāpatur prātā, ka parasti kartes kropļojumi centrā ir minimāli un ātri palielinās virzienā uz malām. Turklāt, jo mazāks ir kartes mērogs un plašāks telpiskais pārklājums, jo lielāka uzmanība projekcijas izvēlē ir jāpievērš “matemātiskiem” faktoriem un otrādi - maziem laukumiem un lieliem mērogiem “ģeogrāfiskiem” faktoriem. kļūt nozīmīgāki.

5.7. PROJEKCIJAS ATZĪŠANA

Atpazīt projekciju, kurā karte ir uzzīmēta, nozīmē noteikt tās nosaukumu, noteikt, vai tā pieder noteiktam tipam vai klasei. Tas ir nepieciešams, lai būtu priekšstats par projekcijas īpašībām, izkropļojumu raksturu, izplatību un lielumu - vārdu sakot, lai zinātu, kā lietot karti un ko no tās var sagaidīt.
Dažas normālas projekcijas uzreiz atpazīts pēc meridiānu un paralēlu parādīšanās. Piemēram, normālas cilindriskas, pseidocilindriskas, koniskas un azimutālas projekcijas ir viegli atpazīstamas. Bet pat pieredzējis kartogrāfs uzreiz neatpazīst daudzas patvaļīgas projekcijas; būs nepieciešami īpaši mērījumi kartē, lai noteiktu to vienādstūrumu, vienādmalu vai vienādību vienā no virzieniem. Tam ir īpaši paņēmieni: pirmkārt, tie nosaka rāmja formu (taisnstūris, aplis, elipse), nosaka, kā tiek attēloti stabi, pēc tam mēra attālumus starp blakus esošajām paralēlēm gar meridiānu, blakus esošo režģa šūnu laukumus, meridiānu un paralēlu krustošanās leņķi, to izliekuma raksturs utt. .P.
Ir īpaši projekciju definīciju tabulas pasaules, pusložu, kontinentu un okeānu kartēm. Veicot nepieciešamos mērījumus uz režģa, jūs varat atrast projekcijas nosaukumu šādā tabulā. Tas sniegs priekšstatu par tā īpašībām, ļaus novērtēt kvantitatīvo noteikšanu šajā kartē un izvēlēties atbilstošo karti ar izokoliem labojumu veikšanai.

Video
Projekciju veidi atbilstoši deformāciju raksturam

Jautājumi paškontrolei:

1. Kādi elementi veido kartes matemātisko pamatu?
2. Kāds ir ģeogrāfiskās kartes mērogs?
3. Kāds ir galvenais kartes mērogs?
4. Kas ir privātās kartes mērogs?
5. Kas izraisa konkrēta mēroga novirzi no galvenā ģeogrāfiskajā kartē?
6. Kā izmērīt attālumu starp punktiem jūras kartē?
7. Kas ir deformācijas elipse un kādam nolūkam to izmanto?
8. Kā jūs varat noteikt lielāko un mazāko skalu no kropļojuma elipses?
9. Kādas metodes pastāv zemes elipsoīda virsmas pārvietošanai uz plakni, kāda ir to būtība?
10. Kā sauc kartes projekciju?
11. Kā prognozes tiek klasificētas pēc to izkropļojumu rakstura?
12. Kādas projekcijas sauc par konformālām, kā uz šīm projekcijām attēlot kropļojumu elipsi?
13. Kādas projekcijas sauc par vienādā attālumā, kā uz šīm projekcijām attēlot kropļojuma elipsi?
14. Kādas projekcijas sauc par vienādu laukumu, kā uz šīm projekcijām attēlot kropļojuma elipsi?
15. Kādas prognozes sauc par patvaļīgām?

Cilvēki ir izmantojuši ģeogrāfiskās kartes kopš seniem laikiem. Pirmos mēģinājumus to attēlot Senajā Grieķijā veica tādi zinātnieki kā Eratostens un Hiparhs. Protams, kopš tā laika kartogrāfija kā zinātne ir gājusi garu ceļu. Mūsdienu kartes tiek veidotas, izmantojot satelītattēlus un datortehnoloģijas, kas, protams, palīdz palielināt to precizitāti. Un tomēr katrā ģeogrāfiskajā kartē ir daži izkropļojumi attiecībā uz dabiskajām formām, leņķiem vai attālumiem uz zemes virsmas. Šo izkropļojumu raksturs un līdz ar to arī kartes precizitāte ir atkarīga no kartes projekciju veidiem, kas tiek izmantoti, lai izveidotu konkrētu karti.

Kartes projekcijas jēdziens

Ļaujiet mums sīkāk izpētīt, kas ir kartogrāfiskā projekcija un kādi to veidi tiek izmantoti mūsdienu kartogrāfijā.

Kartes projekcija ir attēls plaknē. No zinātniskā viedokļa dziļāka definīcija izklausās šādi: kartogrāfiskā projekcija ir Zemes virsmas punktu attēlošanas metode noteiktā plaknē, kurā tiek noteikta analītiska sakarība starp attēlojamo un attēlojamo punktu atbilstošo punktu koordinātām. parādītās virsmas.

Kā tiek veidota kartes projekcija?

Jebkura veida kartes projekciju konstruēšana notiek divos posmos.

1. Pirmkārt, ģeometriski neregulārā Zemes virsma tiek kartēta uz kādu matemātiski regulāru virsmu, ko sauc par atbilstības virsmu. Visprecīzākajai tuvināšanai šajā kapacitātē visbiežāk tiek izmantots ģeoīds - ģeometrisks ķermenis, ko ierobežo visu jūru un okeānu ūdens virsma, kuras ir savstarpēji saistītas (jūras līmenis) un kurām ir viena ūdens masa. Katrā ģeoīda virsmas punktā gravitācijas spēks tiek pielietots normāli. Tomēr ģeoīdu, tāpat kā planētas fizisko virsmu, arī nevar izteikt ar vienu matemātisku likumu. Tāpēc ģeoīda vietā par atskaites virsmu tiek ņemts apgriezienu elipsoīds, piešķirot tam maksimālu līdzību ģeoīdam, izmantojot saspiešanas pakāpi un orientāciju Zemes ķermenī. Šo ķermeni sauc par zemes elipsoīdu vai atsauces elipsoīdu, un dažādās valstīs tiem ir atšķirīgi parametri.
2. Otrkārt, pieņemtā atbilstības virsma (references elipsoīds) tiek pārnesta uz plakni, izmantojot vienu vai otru analītisko atkarību. Rezultātā mēs iegūstam plakanu kartes projekciju

Projekcijas kropļojums

Vai esat kādreiz domājuši, kāpēc dažādās kartēs kontinentu kontūras nedaudz atšķiras? Dažas kartes projekcijas liek dažām pasaules daļām izskatīties lielākas vai mazākas attiecībā pret dažiem orientieriem nekā citas. Tas viss ir par kropļojumiem, ar kādiem Zemes projekcijas tiek pārnestas uz līdzenu virsmu.

Bet kāpēc kartes projekcijas šķiet izkropļotas? Atbilde ir pavisam vienkārša. Sfērisku virsmu plaknē nav iespējams atlocīt bez ielocēm vai plīsumiem. Tāpēc attēlu no tā nevar parādīt bez kropļojumiem.

Prognožu iegūšanas metodes

Pētot karšu projekcijas, to veidus un īpašības, jāmin to veidošanas metodes. Tātad kartes projekcijas iegūst, izmantojot divas galvenās metodes:

• ģeometrisks;
• analītisks.

Pamatā ģeometriskā metode ir lineārās perspektīvas likumi. Parasti tiek pieņemts, ka mūsu planēta ir noteikta rādiusa sfēra un projicēta uz cilindriskas vai koniskas virsmas, kas var tai pieskarties vai izgriezt tai cauri.

Šādā veidā iegūtās projekcijas sauc par perspektīvu. Atkarībā no novērošanas punkta stāvokļa attiecībā pret Zemes virsmu perspektīvās projekcijas tiek iedalītas tipos:

• gnomonisks vai centrālais (kad skata punkts tiek apvienots ar zemes sfēras centru);
• stereogrāfisks (šajā gadījumā novērošanas punkts atrodas uz atskaites virsmas);
• ortogrāfisks (kad virsma tiek novērota no jebkura punkta ārpus Zemes sfēras; projekciju veido, pārnesot sfēras punktus, izmantojot paralēlas līnijas, kas ir perpendikulāras kartēšanas virsmai).

Analītiskā metode kartes projekciju konstruēšana balstās uz matemātiskām izteiksmēm, kas savieno punktus atbilstības sfērā un displeja plakni. Šī metode ir universālāka un elastīgāka, ļaujot izveidot patvaļīgas projekcijas atbilstoši iepriekš noteiktam kropļojuma raksturam.

Kartes projekciju veidi ģeogrāfijā

Lai izveidotu ģeogrāfiskās kartes, tiek izmantoti daudzu veidu Zemes projekcijas. Tos klasificē pēc dažādiem kritērijiem. Krievijā tiek izmantota Kavraisky klasifikācija, kurā izmantoti četri kritēriji, kas nosaka galvenos karšu projekciju veidus. Kā raksturīgie klasifikācijas parametri tiek izmantoti:

• deformācijas raksturs;
• parastā režģa koordinātu līniju attēlošanas forma;
• pola punkta atrašanās vieta parastajā koordinātu sistēmā;
• pielietošanas veids.

Tātad, kādi karšu projekcijas veidi pastāv saskaņā ar šo klasifikāciju?

Prognožu klasifikācija

Pēc izkropļojuma rakstura

Kā minēts iepriekš, kropļojumi būtībā ir jebkuras Zemes projekcijas raksturīga īpašība. Jebkurš virsmas raksturlielums var tikt izkropļots: garums, laukums vai leņķis. Pēc izkropļojuma veida ir:

• Konformālas vai konformālas projekcijas, kurā azimuti un leņķi tiek pārnesti bez kropļojumiem. Koordinātu režģis konformālās projekcijās ir ortogonāls. Šādā veidā iegūtās kartes ieteicams izmantot attālumu noteikšanai jebkurā virzienā.
• Vienāda platība vai līdzvērtīgas projekcijas, kur tiek saglabāts laukumu mērogs, kas pieņemts vienāds ar vienu, t.i., laukumi tiek attēloti bez kropļojumiem. Šādas kartes izmanto apgabalu salīdzināšanai.
• Vienādā vai vienādā attālumā esošās projekcijas, kuras būvniecības laikā mērogs tiek saglabāts pa vienu no galvenajiem virzieniem, kas tiek pieņemts par vienību.
• Patvaļīgas projekcijas, kas var saturēt visu veidu izkropļojumus.

Atbilstoši parastā režģa koordinātu līniju attēlošanas formai

Šī klasifikācija ir pēc iespējas skaidrāka un tāpēc visvieglāk saprotama. Tomēr ņemiet vērā, ka šis kritērijs attiecas tikai uz projekcijām, kas orientētas normāli novērošanas punktam. Tātad, pamatojoties uz šo raksturīgo iezīmi, tiek izdalīti šādi kartes projekciju veidi:

Apļveida, kur paralēles un meridiāni ir attēloti ar apļiem, bet režģa ekvatoru un vidējo meridiānu attēlo taisnas līnijas. Līdzīgas projekcijas tiek izmantotas, lai attēlotu Zemes virsmu kopumā. Apļveida projekciju piemēri ir Lagranža konformālā projekcija, kā arī patvaļīgā Grintena projekcija.

Azimutāls. Šajā gadījumā paralēles ir attēlotas koncentrisku apļu veidā, bet meridiāni - taisnu līniju saišķa veidā, kas radiāli atšķiras no paralēlu centra. Šāda veida projekcija tiek izmantota tiešā pozīcijā, lai attēlotu Zemes polus ar blakus esošajām teritorijām, un šķērseniskā stāvoklī kā rietumu un austrumu puslodes karte, kas visiem pazīstama no ģeogrāfijas stundām.

Cilindrisks, kur meridiāni un paralēles ir attēlotas ar taisnēm, kas parasti krustojas. Ar minimālu izkropļojumu šeit tiek parādītas teritorijas, kas atrodas blakus ekvatoram vai stiepjas gar noteiktu standarta platumu.

Konusveida, kas attēlo konusa sānu virsmas attīstību, kur paralēles ir apļu loki, kuru centrs atrodas konusa virsotnē, un meridiāni ir vadotnes, kas atšķiras no konusa virsotnes. Šādas projekcijas visprecīzāk attēlo teritorijas, kas atrodas vidējos platuma grādos.

Pseidokoniskās projekcijas ir līdzīgi koniskiem, tikai meridiāni šajā gadījumā ir attēloti ar izliektām līnijām, kas ir simetriskas attiecībā pret režģa taisnvirziena aksiālo meridiānu.

Pseidocilindriskas projekcijas atgādina cilindriskus, tikai, tāpat kā pseidokoniskajos, meridiāni ir attēloti ar izliektām līnijām, kas ir simetriskas aksiālajam taisnvirziena meridiānam. Izmanto, lai attēlotu visu Zemi (piemēram, Molveida elipsveida projekcija, Sansona vienāda laukuma sinusoidāla u.c.).

Polikonisks, kur paralēles attēlotas apļu veidā, kuru centri atrodas uz režģa vidējā meridiāna vai tā pagarinājuma, meridiāni līkņu veidā, kas atrodas simetriski taisnai līnijai

Pēc pola punkta stāvokļa parastajā koordinātu sistēmā

• Polārais vai normāli- koordinātu sistēmas pols sakrīt ar ģeogrāfisko polu.
• Šķērsvirziena vai transversija- parastās sistēmas pols ir saskaņots ar ekvatoru.
• Slīpi vai slīpi- parastā koordinātu tīkla pols var atrasties jebkurā punktā starp ekvatoru un ģeogrāfisko polu.

Pēc pielietošanas metodes

Pēc izmantošanas metodes izšķir šādus karšu projekciju veidus:

• Ciets- visas teritorijas projicēšana plaknē tiek veikta saskaņā ar vienu likumu.
• Daudzjoslu- kartētais laukums ir nosacīti sadalīts vairākās platuma zonās, kuras tiek projicētas uz displeja plaknes saskaņā ar vienu likumu, bet ar mainīgiem parametriem katrai zonai. Šādas projekcijas piemērs ir trapecveida Müfling projekcija, ko PSRS izmantoja liela mēroga kartēm līdz 1928. gadam.
• Daudzšķautņaina- teritorija ir nosacīti sadalīta noteiktā skaitā zonu pēc garuma, projekcija uz plakni tiek veikta saskaņā ar vienu likumu, bet ar dažādiem parametriem katrai zonai (piemēram, Gausa-Krūgera projekcija).
• Kompozīts, kad kāda teritorijas daļa tiek attēlota plaknē, izmantojot vienu modeli, bet pārējā teritorijas daļa, izmantojot citu.

Gan daudzjoslu, gan daudzšķautņu projekciju priekšrocība ir augstā displeja precizitāte katrā zonā. Tomēr būtisks trūkums ir neiespējamība iegūt nepārtrauktu attēlu.

Protams, katru kartes projekciju var klasificēt, izmantojot katru no iepriekš minētajiem kritērijiem. Tādējādi slavenā Merkatora Zemes projekcija ir konformāla (vienstūrveida) un šķērsvirziena (transversija); Gausa-Krūgera projekcija - konformāla šķērseniska cilindriska utt.