Kā jūs varat atrast trīsstūra laukumu. Daudzstūra laukuma aprēķināšana no tā virsotņu koordinātām Trijstūra laukuma noteikšana no tā virsotņu koordinātām

Koordinātu metode, ko 17. gadsimtā ierosināja franču matemātiķi R. Dekarts (1596-1650) un P. Fermā (1601-1665), ir spēcīgs aparāts, kas ļauj tulkot ģeometriskos jēdzienus algebriskā valodā. Šīs metodes pamatā ir koordinātu sistēmas jēdziens. Mēs apsvērsim iespēju aprēķināt daudzstūra laukumu no tā virsotņu koordinātām taisnstūra koordinātu sistēmā.

Trijstūra laukums

1. teorēma. Ja ir trīsstūra laukums

tad vienlīdzība ir patiesa

mēs to sauksim par trīsstūra laukuma noteicēju.

Pierādījums. Ļaujiet trijstūra virsotnēm atrasties pirmajā koordinātu kvadrantā. Ir divi iespējamie gadījumi.

1. gadījums. Trijstūra virsotņu atrašanās vietas virziens (vai, vai) sakrīt ar pulksteņa rādītāja gala kustības virzienu (1.30. att.).

Tā kā figūra ir trapecveida.

Līdzīgi mēs to atklājam

Veicot algebriskās transformācijas

mēs to saņemam:

Vienādībā (1.9) platības determinants ir tāpēc izteiksmes priekšā ir mīnusa zīme, jo.

Parādīsim to. Patiešām, šeit

(taisnstūra laukums ar pamatni un augstumu ir lielāks par taisnstūra laukumu summu ar pamatiem un augstumiem; (1.30. att.), no kurienes

2. gadījums. Norādītie virzieni 1. gadījumā ir pretēji pulksteņa rādītāja gala kustības virzienam (1.31. att.)

tā kā figūra ir trapecveida, un

Kur. Patiešām, šeit

Teorēma ir pierādīta, ja trijstūra virsotnes atrodas pirmajā koordinātu kvadrantā.

Izmantojot moduļa jēdzienu, vienādības (1.9) un (1.10) var uzrakstīt šādi:

1. piezīme. Formulu (1.8) atvasinājām, ņemot vērā vienkāršāko virsotņu izvietojumu, kas parādīts 1.30. un 1.31. attēlā; tomēr formula (1.8) ir patiesa jebkuram virsotņu izvietojumam.

Apsveriet 1.32. attēlā attēloto gadījumu.

Tāpēc, veicot vienkāršas ģeometriskas transformācijas:

mēs atkal saņemam ko, kur

N-gona laukums

Daudzstūris var būt izliekts vai neizliekts; virsotņu numerācijas secība tiek uzskatīta par negatīvu, ja virsotnes ir numurētas pulksteņrādītāja virzienā. Daudzstūris, kuram nav malu paškrustojuma, tiks saukts par vienkāršu. Vienkārši tā ir n- sekojošais ir taisnība

2. teorēma. Ja ir pirmskaitļa laukums n-gon, kur, tad vienlīdzība ir patiesa

mēs nosauksim pirmskaitļa laukuma noteicēju n-gon.

Pierādījums. Ir divi iespējamie gadījumi.

1. gadījums. n-gon - izliekts. Pierādīsim formulu (1.11), izmantojot matemātiskās indukcijas metodi.

Jo tas jau ir pierādīts (1. teorēma). Pieņemsim, ka tā ir taisnība n-gon; pierādīsim, ka tas paliek spēkā izliektam ( n+1)-gon.

Daudzstūrim pievienosim vēl vienu virsotni (1.33. att.).

Tādējādi formula ir derīga ( n+1)-gon, un tāpēc ir izpildīti matemātiskās indukcijas nosacījumi, t.i., formula (1.11) izliektas gadījumam n-gon ir pierādīts.

2. gadījums. n-gon - neizliekta.

Jebkurā neizliektā n-gon var uzzīmēt diagonāli, kas atrodas tās iekšpusē, un tāpēc 2. gadījuma pierādījumu neizliektai n-gon ir līdzīgs izliekuma pierādījumam n-gon.

2. piezīme. Izteicienus nav viegli atcerēties. Tāpēc, lai aprēķinātu tās vērtības, ir ērti pierakstīt pirmās, otrās, trešās, ... koordinātas kolonnā. n-th un atkal pirmās virsotnes n-gon un reiziniet saskaņā ar shēmu:

Zīmes kolonnā (1.12) jāsakārto, kā norādīts diagrammā (1.13).

3. piezīme. Sastādot kolonnu (1.12) trīsstūrim, var sākt no jebkuras virsotnes.

4. piezīme. Sastādot kolonnu (1.12) par n-gon () ir jāievēro virsotņu koordinātu izrakstīšanas secība n-gon (nav svarīgi, no kuras virsotnes sākt šķērsošanu). Tāpēc aprēķinot platību n-gon jāsāk ar “aptuvena” zīmējuma izveidošanu.

Trijstūris ir viena no visizplatītākajām ģeometriskajām formām, ar kuru mēs iepazīstam pamatskolā. Katrs skolēns ģeometrijas stundās saskaras ar jautājumu, kā atrast trīsstūra laukumu. Tātad, kādas ir dotās figūras laukuma atrašanas iezīmes? Šajā rakstā mēs apskatīsim pamata formulas, kas nepieciešamas šāda uzdevuma veikšanai, kā arī analizēsim trīsstūru veidus.

Trīsstūru veidi

Trijstūra laukumu var atrast pilnīgi dažādos veidos, jo ģeometrijā ir vairāk nekā viena veida figūras, kas satur trīs leņķus. Šie veidi ietver:

• Stulbs.
• Vienādmalu (pareizi).
• Taisns trīsstūris.
• Vienādsānu.

Apskatīsim tuvāk katru no esošajiem trijstūra veidiem.

Šī ģeometriskā figūra tiek uzskatīta par visizplatītāko, risinot ģeometriskās problēmas. Kad rodas nepieciešamība uzzīmēt patvaļīgu trīsstūri, šī iespēja nāk palīgā.

Akūtā trijstūrī, kā norāda nosaukums, visi leņķi ir asi un kopā veido 180°.

Šāda veida trīsstūris ir arī ļoti izplatīts, taču tas ir nedaudz retāk nekā akūts trīsstūris. Piemēram, risinot trijstūrus (tas ir, ir zināmas vairākas tā malas un leņķi un jāatrod atlikušie elementi), dažreiz ir jānosaka, vai leņķis ir neass vai nē. Kosinuss ir negatīvs skaitlis.

B, viena leņķa vērtība pārsniedz 90°, tāpēc pārējiem diviem leņķiem var būt nelielas vērtības (piemēram, 15° vai pat 3°).

Lai atrastu šāda veida trīsstūra laukumu, jums jāzina dažas nianses, par kurām mēs runāsim vēlāk.

Regulāri un vienādsānu trīsstūri

Regulārs daudzstūris ir figūra, kas ietver n leņķus un kuras malas un leņķi ir vienādi. Lūk, kāds ir regulārs trīsstūris. Tā kā trijstūra visu leņķu summa ir 180°, tad katrs no trim leņķiem ir 60°.

Regulāru trīsstūri tā īpašības dēļ sauc arī par vienādmalu figūru.

Ir arī vērts atzīmēt, ka regulārā trīsstūrī var ierakstīt tikai vienu apli, un ap to var aprakstīt tikai vienu apli, un to centri atrodas vienā punktā.

Papildus vienādmalu tipam var atšķirt arī vienādsānu trīsstūri, kas nedaudz atšķiras no tā. Šādā trīsstūrī divas malas un divi leņķi ir vienādi viens ar otru, un trešā mala (kurai blakus atrodas vienādi leņķi) ir pamatne.

Attēlā parādīts vienādsānu trīsstūris DEF, kura leņķi D un F ir vienādi un DF ir bāze.

Taisns trīsstūris

Taisnstūris ir nosaukts tā, jo viens no tā leņķiem ir taisns, tas ir, vienāds ar 90°. Pārējie divi leņķi kopā veido 90°.

Šāda trīsstūra lielākā mala, kas atrodas pretī 90° leņķim, ir hipotenūza, bet pārējās divas malas ir kājas. Šāda veida trijstūrim tiek piemērota Pitagora teorēma:

Kāju garumu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas garuma kvadrātu.

Attēlā parādīts taisnleņķa trīsstūris BAC ar hipotenūzu AC un kājiņām AB un BC.

Lai atrastu taisnā leņķa trīsstūra laukumu, jums jāzina tā kāju skaitliskās vērtības.

Pāriesim pie formulām dotās figūras laukuma atrašanai.

Pamatformulas apgabala atrašanai

Ģeometrijā ir divas formulas, kas ir piemērotas vairuma veidu trijstūra laukuma noteikšanai, proti, akūtiem, neasiem, regulāriem un vienādsānu trijstūriem. Apskatīsim katru no tiem.

Pēc sāniem un augstuma

Šī formula ir universāla, lai atrastu aplūkojamās figūras laukumu. Lai to izdarītu, pietiek zināt sānu garumu un tai pievilktā augstuma garumu. Pati formula (puse no pamatnes un augstuma reizinājuma) ir šāda:

kur A ir dotā trijstūra mala, un H ir trijstūra augstums.

Piemēram, lai atrastu akūtā trijstūra ACB laukumu, tā mala AB jāreizina ar augstumu CD un iegūtā vērtība jādala ar divi.

Tomēr šādā veidā ne vienmēr ir viegli atrast trīsstūra laukumu. Piemēram, lai izmantotu šo formulu strupam trijstūrim, jāpaplašina viena no tā malām un tikai pēc tam jānovelk augstums virs jūras līmeņa.

Praksē šī formula tiek izmantota biežāk nekā citas.

Abās pusēs un stūrī

Šī formula, tāpat kā iepriekšējā, ir piemērota lielākajai daļai trijstūri un savā nozīmē ir formulas, kas ļauj atrast trijstūra laukumu un augstumu, sekas. Tas ir, attiecīgo formulu var viegli iegūt no iepriekšējās. Tās formulējums izskatās šādi:

S = ½*sinO*A*B,

kur A un B ir trijstūra malas, un O ir leņķis starp malām A un B.

Atgādināsim, ka leņķa sinusu var aplūkot īpašā tabulā, kas nosaukta izcilā padomju matemātiķa V. M. Bradisa vārdā.

Tagad pāriesim pie citām formulām, kas ir piemērotas tikai izņēmuma veida trijstūriem.

Taisnstūra trīsstūra laukums

Papildus universālajai formulai, kas ietver nepieciešamību atrast augstumu trijstūrī, no tā kājām var atrast trijstūra laukumu, kurā ir taisns leņķis.

Tādējādi trijstūra laukums, kurā ir taisns leņķis, ir puse no tā kāju reizinājuma vai:

kur a un b ir taisnleņķa trijstūra kājas.

Regulārs trīsstūris

Šāda veida ģeometriskā figūra atšķiras ar to, ka tās laukumu var atrast tikai ar norādīto vērtību vienai tās malai (jo regulāra trīsstūra visas malas ir vienādas). Tātad, saskaroties ar uzdevumu “atrast trijstūra laukumu, kad malas ir vienādas”, jums ir jāizmanto šāda formula:

S = A 2 *√3/4,

kur A ir vienādmalu trijstūra mala.

Gārņa formula

Pēdējā iespēja trijstūra laukuma atrašanai ir Herona formula. Lai to izmantotu, jums jāzina figūras trīs malu garumi. Herona formula izskatās šādi:

S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),

kur a, b un c ir dotā trijstūra malas.

Dažreiz tiek dota problēma: "regulāra trīsstūra laukums ir atrast tā malas garumu." Šajā gadījumā mums ir jāizmanto formula, ko mēs jau zinām, lai atrastu regulāra trīsstūra laukumu un no tā atvasinātu malas (vai tās kvadrāta) vērtību:

A 2 = 4S / √3.

Eksāmenu uzdevumi

Matemātikā GIA uzdevumos ir daudz formulu. Turklāt diezgan bieži uz rūtainā papīra ir jāatrod trīsstūra laukums.

Šajā gadījumā visērtāk ir uzzīmēt augstumu uz vienu no figūras malām, noteikt tā garumu no šūnām un izmantot universālo formulu laukuma atrašanai:

Tātad, izpētot rakstā sniegtās formulas, jums nebūs problēmu atrast jebkāda veida trīsstūra laukumu.