Funkcijas y 4x x 2 izpēte. Uzdevumi no Kuzņecova L. krājuma

Risinātājs Kuzņecovs.
III Diagrammas

7. uzdevums. Veikt pilnīgu funkcijas izpēti un izveidot tās grafiku.

        Pirms sākat lejupielādēt savas opcijas, mēģiniet atrisināt problēmu saskaņā ar tālāk sniegto piemēru 3. opcijai. Dažas opcijas tiek arhivētas .rar formātā.

        7.3. Veiciet pilnu funkcijas izpēti un uzzīmējiet to

Risinājums.

        1) Definīcijas joma:         vai        , tas ir        .
.
Tādējādi:         .

        2) Nav krustošanās punktu ar Vērša asi. Patiešām, vienādojumam         nav atrisinājumu.
Nav krustošanās punktu ar Oy asi, jo        .

        3) Funkcija nav ne pāra, ne nepāra. Nav simetrijas attiecībā pret ordinātu asi. Nav arī simetrijas attiecībā uz izcelsmi. Jo
.
Mēs redzam, ka         un        .

        4) Funkcija definīcijas jomā ir nepārtraukta
.

; .

; .
Līdz ar to punkts         ir otrā veida pārrāvuma punkts (bezgalīgā pārtraukuma punkts).

5) Vertikālās asimptotes:       

Atradīsim slīpo asimptotu        . Šeit

;
.
Līdz ar to mums ir horizontāla asimptote: y=0. Slīpu asimptotu nav.

        6) Atradīsim pirmo atvasinājumu. Pirmais atvasinājums:
.
Un tāpēc
.
Atradīsim stacionārus punktus, kur atvasinājums ir vienāds ar nulli, tas ir
.

        7) Atradīsim otro atvasinājumu. Otrais atvasinājums:
.
Un to ir viegli pārbaudīt, jo

Kā izpētīt funkciju un izveidot tās grafiku?

Šķiet, sāku izprast pasaules proletariāta vadoņa, 55 sējumos apkopoto darbu autora garīgi asprātīgo seju... Garais ceļojums sākās ar pamatinformāciju par funkcijas un grafiki, un tagad darbs pie darbietilpīgas tēmas beidzas ar loģisku rezultātu - rakstu par pilnīgu funkcijas izpēti. Ilgi gaidītais uzdevums ir formulēts šādi:

Izpētiet funkciju, izmantojot diferenciālskaitļu metodes, un izveidojiet tās grafiku, pamatojoties uz pētījuma rezultātiem

Vai īsumā: pārbaudiet funkciju un izveidojiet grafiku.

Kāpēc izpētīt? Vienkāršos gadījumos mums nebūs grūti saprast elementārās funkcijas, uzzīmēt grafiku, kas iegūts, izmantojot elementāras ģeometriskās transformācijas un tā tālāk. Tomēr sarežģītāku funkciju īpašības un grafiskie attēlojumi nebūt nav acīmredzami, tāpēc ir nepieciešams viss pētījums.

Risinājuma galvenie soļi ir apkopoti atsauces materiālā Funkciju izpētes shēma, šis ir jūsu sadaļas ceļvedis. Manekeniem ir nepieciešams soli pa solim izskaidrot tēmu, daži lasītāji nezina, ar ko sākt vai kā organizēt savu pētījumu, un progresīvus studentus var interesēt tikai daži punkti. Bet, lai kas arī jūs būtu, dārgais apmeklētāj, piedāvātais kopsavilkums ar norādēm uz dažādām nodarbībām ātri orientēsies un novirzīs jūs interesējošā virzienā. Roboti lej asaras =) Rokasgrāmata tika izkārtota kā pdf fails un ieņēma pienācīgo vietu lapā Matemātiskās formulas un tabulas.

Esmu pieradis funkcijas izpēti sadalīt 5–6 punktos:

6) Papildus punkti un grafiks, pamatojoties uz pētījuma rezultātiem.

Attiecībā uz pēdējo darbību, manuprāt, visiem viss ir skaidrs - būs ļoti sarūgtināts, ja dažu sekunžu laikā tas tiks izsvītrots un uzdevums tiks atgriezts pārskatīšanai. PAREIZS UN PRECĪZS ZĪMĒJUMS ir galvenais risinājuma rezultāts! Tas, visticamāk, "piesegs" analītiskās kļūdas, savukārt nepareizs un/vai neuzmanīgs grafiks radīs problēmas pat ar perfekti veiktu pētījumu.

Jāpiebilst, ka citos avotos izpētes punktu skaits, to realizācijas secība un dizaina stils var būtiski atšķirties no manis piedāvātās shēmas, taču vairumā gadījumu tas ir pilnīgi pietiekami. Vienkāršākā problēmas versija sastāv tikai no 2-3 posmiem un ir formulēta apmēram šādi: “izpēti funkciju, izmantojot atvasinājumu un izveido grafiku” vai “izpēti funkciju, izmantojot 1. un 2. atvasinājumu, izveido grafiku”.

Protams, ja jūsu rokasgrāmatā ir sīki aprakstīts cits algoritms vai jūsu skolotājs stingri pieprasa, lai jūs ievērotu viņa lekcijas, jums būs jāveic daži risinājuma pielāgojumi. Nav grūtāk kā nomainīt motorzāģa dakšiņu ar karoti.

Pārbaudīsim funkciju pāra/nepāra:

Tam seko atbildes veidne:
, kas nozīmē, ka šī funkcija nav pāra vai nepāra.

Tā kā funkcija ir nepārtraukta ieslēgta , nav vertikālu asimptotu.

Nav arī slīpu asimptotu.

Piezīme : Atgādinu, ka jo augstāk izaugsmes secība, nekā , tāpēc galīgais ierobežojums ir tieši “ plus bezgalība."

Noskaidrosim, kā funkcija darbojas bezgalībā:

Citiem vārdiem sakot, ja mēs ejam pa labi, tad grafiks iet bezgalīgi tālu uz augšu, ja mēs ejam pa kreisi, tas iet bezgalīgi tālu uz leju. Jā, vienā ierakstā ir arī divi ierobežojumi. Ja jums ir grūtības atšifrēt zīmes, lūdzu, apmeklējiet nodarbību par bezgalīgi mazas funkcijas.

Tātad funkcija nav ierobežots no augšas Un nav ierobežots no apakšas. Ņemot vērā, ka mums nav pārtraukuma punktu, tas kļūst skaidrs funkciju diapazons: – arī jebkurš reāls skaitlis.

NODERĪGA TEHNISKĀ TEHNIKA

Katrs uzdevuma posms sniedz jaunu informāciju par funkcijas grafiku, tāpēc risinājuma laikā ir ērti izmantot sava veida IZKLĀJUMU. Uzzīmēsim uz melnraksta Dekarta koordinātu sistēmu. Kas jau ir droši zināms? Pirmkārt, grafikā nav asimptotu, tāpēc nav jāzīmē taisnas līnijas. Otrkārt, mēs zinām, kā funkcija darbojas bezgalībā. Saskaņā ar analīzi mēs veicam pirmo tuvinājumu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka sakarā ar nepārtrauktība funkcija ieslēgta un to, ka grafikam vismaz vienu reizi ir jāšķērso ass. Vai varbūt ir vairāki krustošanās punkti?

3) Konstantes zīmes funkcijas nulles un intervāli.

Vispirms atradīsim grafika krustošanās punktu ar ordinātu asi. Tas ir vienkārši. Ir nepieciešams aprēķināt funkcijas vērtību pie:

Pusotru virs jūras līmeņa.

Lai atrastu krustošanās punktus ar asi (funkcijas nulles), mums jāatrisina vienādojums, un šeit mūs sagaida nepatīkams pārsteigums:

Beigās slēpjas brīvs dalībnieks, kas padara uzdevumu daudz grūtāku.

Šādam vienādojumam ir vismaz viena reāla sakne, un visbiežāk šī sakne ir iracionāla. Sliktākajā pasakā mūs gaida trīs sivēntiņi. Vienādojums ir atrisināms, izmantojot t.s Kardano formulas, bet papīra bojājumi ir salīdzināmi ar gandrīz visu pētījumu. Šajā sakarā prātīgāk ir mēģināt atlasīt vismaz vienu vai nu mutiski, vai melnrakstā. vesels sakne. Pārbaudīsim, vai šie skaitļi ir:
- nav piemērots;
- Tur ir!

Šeit paveicās. Neveiksmes gadījumā varat arī pārbaudīt , un, ja šie skaitļi neatbilst, tad baidos, ka ir ļoti maza iespēja rast ienesīgu vienādojuma risinājumu. Tad labāk izlaist izpētes punktu pilnībā - varbūt kaut kas kļūs skaidrāks pēdējā solī, kad tiks izlauzti papildu punkti. Un, ja sakne(-es) ir nepārprotami “slikta”, tad labāk pieticīgi klusēt par zīmju noturības intervāliem un zīmēt uzmanīgāk.

Tomēr mums ir skaista sakne, tāpēc mēs sadalām polinomu bez atlikuma:

Algoritms polinoma dalīšanai ar polinomu ir detalizēti apskatīts nodarbības pirmajā piemērā Sarežģīti ierobežojumi.

Rezultātā sākotnējā vienādojuma kreisā puse sadalās produktā:

Un tagad nedaudz par veselīgu dzīvesveidu. Es, protams, to saprotu kvadrātvienādojumi ir jāatrisina katru dienu, bet šodien mēs izdarīsim izņēmumu: vienādojumu ir divas īstas saknes.

Uzzīmēsim atrastās vērtības uz skaitļu līnijas Un intervāla metode Definēsim funkcijas zīmes:


og Tādējādi uz intervāliem grafiks atrodas
zem x ass un intervālos – virs šīs ass.

Rezultāti ļauj precizēt mūsu izkārtojumu, un otrais diagrammas tuvinājums izskatās šādi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka funkcijai ir jābūt vismaz vienam intervāla maksimumam un vismaz vienam intervāla minimumam. Bet mēs vēl nezinām, cik reižu, kur un kad tiks veikta grafika. Starp citu, funkcijai var būt bezgalīgi daudz galējības.

4) funkcijas palielināšana, samazināšana un ekstrēma.

Atradīsim kritiskos punktus:

Šim vienādojumam ir divas reālas saknes. Novietosim tos uz skaitļu līnijas un noteiksim atvasinājuma zīmes:


Tāpēc funkcija palielinās par un samazinās par .
Tajā brīdī, kad funkcija sasniedz maksimumu: .
Tajā brīdī funkcija sasniedz minimumu: .

Konstatētie fakti ievirza mūsu veidni diezgan stingrā sistēmā:

Lieki piebilst, ka diferenciālrēķini ir spēcīga lieta. Beidzot sapratīsim diagrammas formu:

5) Izliekuma, ieliekuma un lēciena punkti.

Atradīsim otrā atvasinājuma kritiskos punktus:

Definēsim zīmes:


Funkcijas grafiks ir izliekts uz un ieliekts uz . Aprēķināsim lēciena punkta ordinātas: .

Gandrīz viss ir kļuvis skaidrs.

6) Atliek atrast papildu punktus, kas palīdzēs precīzāk izveidot grafiku un veikt pašpārbaudi. Šajā gadījumā to ir maz, taču mēs tos neatstāsim novārtā:

Izveidosim zīmējumu:

Līkuma punkts ir atzīmēts ar zaļu krāsu, papildu punkti ir atzīmēti ar krustiņiem. Kubiskās funkcijas grafiks ir simetrisks pret tās lēciena punktu, kas vienmēr atrodas strikti pa vidu starp maksimumu un minimumu.

Darba gaitā es iesniedzu trīs hipotētiskus starpposma rasējumus. Praksē pietiek uzzīmēt koordinātu sistēmu, atzīmēt atrastos punktus un pēc katra izpētes punkta garīgi novērtēt, kā varētu izskatīties funkcijas grafiks. Studentiem ar labu sagatavotības līmeni nebūs grūti veikt šādu analīzi tikai savā galvā, neiesaistot melnrakstu.

Lai to atrisinātu pats:

2. piemērs

Izpētiet funkciju un izveidojiet grafiku.

Šeit viss ir ātrāk un jautrāk, aptuvens gala noformējuma piemērs nodarbības beigās.

Frakcionētu racionālu funkciju izpēte atklāj daudzus noslēpumus:

3. piemērs

Izmantojiet diferenciālskaitļu metodes, lai izpētītu funkciju un, pamatojoties uz pētījuma rezultātiem, konstruējiet tās grafiku.

Risinājums: pētījuma pirmais posms neizceļas ar neko ievērojamu, izņemot robu definīcijas apgabalā:

1) Funkcija ir definēta un nepārtraukta visā skaitļu rindā, izņemot punktu, domēns: .

, kas nozīmē, ka šī funkcija nav pāra vai nepāra.

Ir skaidrs, ka funkcija ir neperiodiska.

Funkcijas grafiks attēlo divus nepārtrauktus zarus, kas atrodas kreisajā un labajā pusplaknē - tas, iespējams, ir vissvarīgākais 1. punkta secinājums.

2) Asimptotes, funkcijas uzvedība bezgalībā.

a) Izmantojot vienpusējus ierobežojumus, mēs pārbaudām funkcijas darbību aizdomīga punkta tuvumā, kur skaidri jābūt vertikālai asimptotei:

Patiešām, funkcijas iztur bezgalīga plaisa punktā
un taisne (ass) ir vertikālā asimptote grafikas māksla.

b) Pārbaudīsim, vai pastāv slīpi asimptoti:

Jā, tas ir taisns slīps asimptote grafika , ja .

Nav jēgas analizēt robežas, jo jau ir skaidrs, ka funkcija aptver tās slīpo asimptotu nav ierobežots no augšas Un nav ierobežots no apakšas.

Otrais izpētes punkts sniedza daudz svarīgas informācijas par funkciju. Izveidosim aptuvenu skici:

Secinājums Nr. 1 attiecas uz nemainīgas zīmes intervāliem. Pie “mīnus bezgalības” funkcijas grafiks skaidri atrodas zem x ass, un pie “plus bezgalības” tas atrodas virs šīs ass. Turklāt vienpusējās robežas mums norādīja, ka gan pa kreisi, gan pa labi no punkta funkcija arī ir lielāka par nulli. Lūdzu, ņemiet vērā, ka kreisajā pusplaknē grafikam vismaz vienu reizi jāšķērso x ass. Labajā pusplaknē funkcijas nulles var nebūt.

Secinājums Nr. 2 ir tāds, ka funkcija palielinās uz punktu un pa kreisi no tā (iet “no apakšas uz augšu”). Pa labi no šī punkta funkcija samazinās (virzās “no augšas uz leju”). Grafika labajā atzarā noteikti ir jābūt vismaz vienam minimumam. Kreisajā pusē galējības nav garantētas.

Secinājums Nr.3 sniedz ticamu informāciju par grafa ieliekumu punkta tuvumā. Mēs vēl nevaram neko teikt par izliekumu/ieliekumu bezgalībās, jo līniju var nospiest pret savu asimptotu gan no augšas, gan no apakšas. Vispārīgi runājot, šobrīd ir analītisks veids, kā to noskaidrot, taču diagrammas forma kļūs skaidrāka vēlāk.

Kāpēc tik daudz vārdu? Lai kontrolētu turpmākos izpētes punktus un izvairītos no kļūdām! Turpmākiem aprēķiniem nevajadzētu būt pretrunā ar izdarītajiem secinājumiem.

3) Grafa krustošanās punkti ar koordinātu asīm, funkcijas konstantes zīmes intervāli.

Funkcijas grafiks nekrustojas ar asi.

Izmantojot intervāla metodi, mēs nosakām zīmes:

, Ja ;
, Ja .

Šī punkta rezultāti pilnībā atbilst 1. secinājumam. Pēc katra posma apskatiet uzmetumu, garīgi pārbaudiet pētījumu un aizpildiet funkcijas grafiku.

Aplūkotajā piemērā skaitītājs tiek dalīts pēc vārda ar saucēju, kas ir ļoti izdevīgi diferencēšanai:

Faktiski tas jau ir izdarīts, atrodot asimptotus.

- kritiskais punkts.

Definēsim zīmes:

palielinās par un samazinās par

Tajā brīdī funkcija sasniedz minimumu: .

Arī ar Secinājumu Nr.2 nesakritības nebija, un, visticamāk, esam uz pareizā ceļa.

Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks ir ieliekts visā definīcijas jomā.

Lieliski - un jums nekas nav jāzīmē.

Nav lēciena punktu.

Ieliekums saskan ar Secinājumu Nr.3, turklāt norāda, ka bezgalībā (gan tur, gan tur) atrodas funkcijas grafiks augstāks tā slīpā asimptote.

6) Uzdevumu apzinīgi saliksim ar papildu punktiem. Šeit mums būs smagi jāstrādā, jo mēs zinām tikai divus punktus no pētījuma.

Un bilde, ko daudzi droši vien jau sen iedomājās:

Uzdevuma izpildes laikā rūpīgi jāpārliecinās, ka starp pētījuma posmiem nav pretrunu, bet dažkārt situācija ir steidzama vai pat izmisīga strupceļa. Analītiķi “nesavieno” — tas arī viss. Šajā gadījumā es iesaku avārijas paņēmienu: mēs atrodam pēc iespējas vairāk punktu, kas ietilpst grafikā (cik mums ir pacietība), un atzīmējam tos koordinātu plaknē. Atrasto vērtību grafiskā analīze vairumā gadījumu parādīs, kur ir patiesība un kur tā ir nepatiesa. Turklāt grafiku var iepriekš izveidot, izmantojot kādu programmu, piemēram, Excel (protams, tas prasa prasmes).

4. piemērs

Izmantojiet diferenciālskaitļu metodes, lai pētītu funkciju un izveidotu tās grafiku.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Tajā paškontroli pastiprina funkcijas paritāte - grafiks ir simetrisks pret asi, un, ja jūsu pētījumā ir kaut kas, kas ir pretrunā ar šo faktu, meklējiet kļūdu.

Pāra vai nepāra funkciju var izpētīt tikai pie , un pēc tam izmantot diagrammas simetriju. Šis risinājums ir optimāls, taču, manuprāt, izskatās ļoti neparasti. Personīgi es skatos uz visu skaitļu līniju, bet joprojām atrodu papildu punktus tikai labajā pusē:

5. piemērs

Veiciet pilnīgu funkcijas izpēti un izveidojiet tās grafiku.

Risinājums: lietas kļuva grūtas:

1) Funkcija ir definēta un nepārtraukta visā skaitļu rindā: .

Tas nozīmē, ka šī funkcija ir nepāra, tās grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Ir skaidrs, ka funkcija ir neperiodiska.

2) Asimptotes, funkcijas uzvedība bezgalībā.

Tā kā funkcija ir nepārtraukta ieslēgta , nav vertikālu asimptotu

Funkcijai, kurā ir eksponents, tas ir tipisks atsevišķi“bezgalības plus” un “mīnusa” izpēte, tomēr mūsu dzīvi atvieglo grafa simetrija - vai nu pa kreisi un pa labi ir asimptote, vai arī tās nav. Tāpēc abas bezgalīgās robežas var ierakstīt vienā ierakstā. Risinājuma laikā mēs izmantojam L'Hopital likums:

Taisnā līnija (ass) ir diagrammas horizontālā asimptote pie .

Lūdzu, ņemiet vērā, kā es viltīgi izvairījos no pilna algoritma, lai atrastu slīpo asimptotu: ierobežojums ir pilnīgi likumīgs un precizē funkcijas uzvedību bezgalībā, un horizontālā asimptote tika atklāta “it kā tajā pašā laikā”.

No nepārtrauktības un horizontālās asimptotes pastāvēšanas izriet, ka funkcija robežojas augstāk Un ierobežota zemāk.

3) Grafika krustošanās punkti ar koordinātu asīm, konstantes zīmes intervāli.

Šeit mēs arī saīsinām risinājumu:
Grafiks iet caur izcelsmi.

Citu krustošanās punktu ar koordinātu asīm nav. Turklāt zīmes noturības intervāli ir acīmredzami, un ass nav jāzīmē: , kas nozīmē, ka funkcijas zīme ir atkarīga tikai no “x”:
, Ja ;
, Ja.

4) funkcijas palielināšana, samazināšanās, ekstrēma.


- kritiskie punkti.

Punkti ir simetriski ap nulli, kā tam vajadzētu būt.

Nosakīsim atvasinājuma pazīmes:


Funkcija ar intervālu palielinās un ar intervāliem samazinās

Tajā brīdī, kad funkcija sasniedz maksimumu: .

Īpašuma dēļ (funkcijas dīvainība) minimums nav jāaprēķina:

Tā kā funkcija intervālā samazinās, acīmredzami grafiks atrodas “mīnus bezgalībā” zem tā asimptote. Pāri intervālam funkcija arī samazinās, bet šeit ir otrādi - pēc maksimālā punkta iziešanas līnija tuvojas asij no augšas.

No iepriekš minētā arī izriet, ka funkcijas grafiks ir izliekts pie “mīnus bezgalības” un ieliekts pie “plus bezgalības”.

Pēc šī pētījuma punkta tika sastādīts funkciju vērtību diapazons:

Ja jums ir kādi pārpratumi par kādiem punktiem, es vēlreiz aicinu jūs piezīmju grāmatiņā uzzīmēt koordinātu asis un ar zīmuli rokās vēlreiz analizēt katru uzdevuma secinājumu.

5) Grafa izliekums, ieliekums, izliekumi.

- kritiskie punkti.

Punktu simetrija ir saglabāta, un, visticamāk, mēs nekļūdāmies.

Definēsim zīmes:


Funkcijas grafiks ir izliekts uz un ieliekts tālāk .

Tika apstiprināta izliekums / izliekums galējos intervālos.

Visos kritiskajos punktos grafikā ir izliekumi. Atradīsim lēciena punktu ordinātas un atkal samazinām aprēķinu skaitu, izmantojot funkcijas dīvainību:

Ja uzdevums prasa pilnīgu funkcijas f (x) = x 2 4 x 2 - 1 izpēti ar tās grafika konstruēšanu, tad mēs detalizēti apsvērsim šo principu.

Lai atrisinātu šāda veida problēmu, jums vajadzētu izmantot pamata elementāro funkciju īpašības un grafikus. Pētījuma algoritms ietver šādas darbības:

Definīcijas domēna atrašana

Tā kā pētījumi tiek veikti funkcijas definīcijas jomā, jāsāk ar šo soli.

1. piemērs

Dotais piemērs ietver saucēja nulles atrašanu, lai tās izslēgtu no ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Tā rezultātā jūs varat iegūt saknes, logaritmus utt. Tad ODZ var meklēt pāra pakāpes g (x) 4 tipa sakni ar nevienādību g (x) ≥ 0, logaritmu log a g (x) pēc nevienādības g (x) > 0.

ODZ robežu izpēte un vertikālo asimptotu atrašana

Funkcijas robežās ir vertikālas asimptotes, kad vienpusējās robežas šādos punktos ir bezgalīgas.

2. piemērs

Piemēram, apsveriet robežpunktus, kas vienādi ar x = ± 1 2.

Pēc tam ir jāizpēta funkcija, lai atrastu vienpusējo robežu. Tad mēs iegūstam, ka: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

Tas parāda, ka vienpusējās robežas ir bezgalīgas, kas nozīmē, ka taisnes x = ± 1 2 ir grafika vertikālās asimptotes.

Funkcijas izpēte un to, vai tā ir pāra vai nepāra

Ja nosacījums y (- x) = y (x) ir izpildīts, funkcija tiek uzskatīta par pāra. Tas liek domāt, ka grafiks atrodas simetriski attiecībā pret Oy. Ja nosacījums y (- x) = - y (x) ir izpildīts, funkcija tiek uzskatīta par nepāra. Tas nozīmē, ka simetrija ir saistīta ar koordinātu izcelsmi. Ja vismaz viena nevienādība nav izpildīta, mēs iegūstam vispārējās formas funkciju.

Vienādība y (- x) = y (x) norāda, ka funkcija ir pāra. Būvējot jāņem vērā, ka būs simetrija attiecībā pret Oy.

Lai atrisinātu nevienādību, tiek izmantoti pieauguma un samazināšanas intervāli attiecīgi ar nosacījumiem f " (x) ≥ 0 un f " (x) ≤ 0.

1. definīcija

Stacionāri punkti- tie ir punkti, kas pārvērš atvasinājumu uz nulli.

Kritiskie punkti- tie ir iekšējie punkti no definīcijas domēna, kur funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē.

Pieņemot lēmumu, jāņem vērā šādas piezīmes:

• esošajiem pieaugošo un dilstošo nevienādību f " (x) > 0 intervāliem risinājumā neiekļauj kritiskos punktus;
• Punkti, kuros funkcija definēta bez galīga atvasinājuma, ir jāiekļauj pieauguma un samazināšanās intervālos (piemēram, y = x 3, kur punkts x = 0 padara funkciju definētu, atvasinājumam šajā gadījumā ir bezgalības vērtība punkts, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 ir iekļauts pieaugošajā intervālā);
• Lai izvairītos no domstarpībām, ieteicams izmantot Izglītības ministrijas ieteikto matemātisko literatūru.

Kritisko punktu iekļaušana pieauguma un samazināšanās intervālos, ja tie atbilst funkcijas definīcijas jomai.

2. definīcija

Priekš nosakot funkcijas pieauguma un samazināšanās intervālus, ir jāatrod:

• atvasinājums;
• kritiskie punkti;
• sadaliet definīcijas domēnu intervālos, izmantojot kritiskos punktus;
• nosaka atvasinājuma zīmi katrā no intervāliem, kur + ir palielinājums un - ir samazinājums.

3. piemērs

Atrodiet atvasinājumu definīcijas apgabalā f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Risinājums

Lai atrisinātu, jums ir nepieciešams:

• atrast stacionārus punktus, šim piemēram ir x = 0;
• atrodiet saucēja nulles, piemērā x = ± 1 2 ir nulles vērtība.

Mēs novietojam punktus uz skaitļu ass, lai noteiktu katra intervāla atvasinājumu. Lai to izdarītu, ir pietiekami ņemt jebkuru punktu no intervāla un veikt aprēķinu. Ja rezultāts ir pozitīvs, grafikā attēlojam +, kas nozīmē, ka funkcija palielinās, un - nozīmē, ka tā samazinās.

Piemēram, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, kas nozīmē, ka pirmajam intervālam kreisajā pusē ir + zīme. Apsveriet skaitļu līniju.

Atbilde:

• funkcija palielinās uz intervāla - ∞; - 1 2 un (- 1 2 ; 0 ] ;
• ir intervāla samazināšanās [0; 1 2) un 1 2 ; + ∞ .

Diagrammā, izmantojot + un -, ir attēlots funkcijas pozitivitāte un negatīvība, un bultiņas norāda samazinājumu un palielināšanos.

Funkcijas galējie punkti ir punkti, kuros funkcija ir definēta un caur kuriem atvasinājums maina zīmi.

4. piemērs

Ja ņemam vērā piemēru, kur x = 0, tad funkcijas vērtība tajā ir vienāda ar f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Kad atvasinājuma zīme mainās no + uz - un iet caur punktu x = 0, tad punkts ar koordinātām (0; 0) tiek uzskatīts par maksimālo punktu. Kad zīme mainās no - uz +, mēs iegūstam minimālo punktu.

Izliekumu un ieliekumu nosaka, atrisinot formas f "" (x) ≥ 0 un f "" (x) ≤ 0 nevienādības. Retāk tiek lietots nosaukums izliekums uz leju, nevis izliekums, un izliekums uz augšu, nevis izliekums.

3. definīcija

Priekš ieliekuma un izliekuma intervālu noteikšana nepieciešams:

• atrast otro atvasinājumu;
• atrast otrās atvasinātās funkcijas nulles;
• sadaliet definīcijas apgabalu intervālos ar parādītajiem punktiem;
• noteikt intervāla zīmi.

5. piemērs

Atrodiet otro atvasinājumu no definīcijas domēna.

Risinājums

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Mēs atrodam skaitītāja un saucēja nulles, kur mūsu piemērā saucēja x = ± 1 2 nulles.

Tagad jums ir jāatzīmē punkti uz skaitļu līnijas un jānosaka otrā atvasinājuma zīme no katra intervāla. Mēs to saņemam

Atbilde:

• funkcija ir izliekta no intervāla - 1 2 ; 12 ;
• funkcija ir ieliekta no intervāliem - ∞ ; - 1 2 un 1 2; + ∞ .

4. definīcija

Līkuma punkts– šis ir punkts formā x 0 ; f (x 0) . Ja tai ir pieskares funkcijas grafikam, tad, kad tā iet caur x 0, funkcija maina zīmi uz pretējo.

Citiem vārdiem sakot, šis ir punkts, caur kuru iziet otrais atvasinājums un maina zīmi, un pašos punktos tas ir vienāds ar nulli vai neeksistē. Visi punkti tiek uzskatīti par funkcijas domēnu.

Piemērā bija skaidrs, ka nav lēciena punktu, jo otrais atvasinājums maina zīmi, ejot caur punktiem x = ± 1 2. Tie savukārt nav iekļauti definīcijas tvērumā.

Horizontālo un slīpo asimptotu atrašana

Definējot funkciju bezgalībā, jāmeklē horizontālās un slīpās asimptotes.

5. definīcija

Slīpi asimptoti ir attēlotas, izmantojot taisnes, kas dotas ar vienādojumu y = k x + b, kur k = lim x → ∞ f (x) x un b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Ja k = 0 un b nav vienāds ar bezgalību, mēs atklājam, ka slīpā asimptote kļūst horizontāli.

Citiem vārdiem sakot, asimptotes tiek uzskatītas par līnijām, kurām funkcijas grafiks tuvojas bezgalībai. Tas atvieglo funkciju grafika ātru izveidi.

Ja asimptotu nav, bet funkcija ir definēta abās bezgalībās, ir jāaprēķina funkcijas robeža šajās bezgalībās, lai saprastu, kā funkcionēs funkcijas grafiks.

6. piemērs

Apskatīsim kā piemēru to

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

ir horizontāla asimptote. Pēc funkcijas pārbaudes varat sākt to konstruēt.

Funkcijas vērtības aprēķināšana starppunktos

Lai diagrammu padarītu precīzāku, ieteicams starppunktos atrast vairākas funkciju vērtības.

7. piemērs

No mūsu aplūkotā piemēra ir jāatrod funkcijas vērtības punktos x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Tā kā funkcija ir pāra, mēs iegūstam, ka vērtības sakrīt ar vērtībām šajos punktos, tas ir, mēs iegūstam x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Rakstīsim un risināsim:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0, 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Lai noteiktu funkcijas maksimumus un minimumus, lēciena punktus un starppunktus, ir jākonstruē asimptoti. Ērtai apzīmēšanai tiek reģistrēti pieauguma, samazināšanās, izliekuma un ieliekuma intervāli. Apskatīsim attēlu zemāk.

Caur iezīmētajiem punktiem ir jāizvelk grafikas līnijas, kas, sekojot bultiņām, ļaus pietuvoties asimptotiem.

Tas noslēdz pilnu funkcijas izpēti. Ir gadījumi, kad tiek konstruētas dažas elementāras funkcijas, kurām tiek izmantotas ģeometriskās transformācijas.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Jau kādu laiku TheBat iebūvētā sertifikātu datubāze SSL ir pārstājusi pareizi darboties (nav skaidrs, kāda iemesla dēļ).

Pārbaudot ziņu, tiek parādīta kļūda:

Nezināms CA sertifikāts
Serveris sesijā neuzrādīja saknes sertifikātu, un atbilstošais saknes sertifikāts netika atrasts adrešu grāmatā.
Šis savienojums nevar būt slepens. Lūdzu
sazinieties ar sava servera administratoru.

Un jums tiek piedāvāta atbilžu izvēle - JĀ / NĒ. Un tā katru reizi, kad noņemat pastu.

Risinājums

Šajā gadījumā TheBat iestatījumos ir jāaizstāj S/MIME un TLS ieviešanas standarts ar Microsoft CryptoAPI!

Tā kā man vajadzēja apvienot visus failus vienā, es vispirms konvertēju visus doc failus vienā pdf failā (izmantojot programmu Acrobat) un pēc tam pārsūtīju to uz fb2, izmantojot tiešsaistes pārveidotāju. Varat arī konvertēt failus atsevišķi. Formāti var būt pilnīgi jebkuri (avots) - doc, jpg un pat zip arhīvs!

Vietnes nosaukums atbilst būtībai :) Online Photoshop.

Atjaunināts 2015. gada maijs

Es atradu vēl vienu lielisku vietni! Vēl ērtāk un funkcionālāk, lai izveidotu pilnībā pielāgotu kolāžu! Šī ir vietne http://www.fotor.com/ru/collage/. Izbaudiet to savas veselības labā. Un es pats to izmantošu.

Savā dzīvē es saskāros ar elektriskās plīts remonta problēmu. Esmu jau daudz ko darījis, daudz iemācījies, bet kaut kā man bija maz sakara ar flīzēm. Bija nepieciešams nomainīt kontaktus uz regulatoriem un degļiem. Radās jautājums - kā noteikt degļa diametru uz elektriskās plīts?

Atbilde izrādījās vienkārša. Jums nekas nav jāmēra, jūs varat viegli noteikt, kāds izmērs jums ir nepieciešams.

Mazākais deglis- tas ir 145 milimetri (14,5 centimetri)

Vidējais deglis- tas ir 180 milimetri (18 centimetri).

Un visbeidzot, visvairāk liels deglis- tas ir 225 milimetri (22,5 centimetri).

Pietiek, lai noteiktu izmēru ar aci un saprastu, kādam diametram jums ir nepieciešams deglis. Kad es to nezināju, es uztraucos par šiem izmēriem, es nezināju, kā izmērīt, pa kuru malu pārvietoties utt. Tagad esmu gudrs :) Ceru, ka arī tev palīdzēju!

Savā dzīvē es saskāros ar šādu problēmu. Es domāju, ka es neesmu vienīgais.