Formulas, kas savieno proporcionālus segmentus taisnleņķa trijstūrī. Proporcionāli segmenti taisnleņķa trijstūrī

Līdzības pārbaude taisnleņķa trijstūriem

Vispirms ieviesīsim līdzības kritēriju taisnleņķa trijstūriem.

1. teorēma

Līdzības pārbaude taisnleņķa trijstūriem: divi taisnleņķa trīsstūri ir līdzīgi, ja katram no tiem ir vienāds akūts leņķis (1. att.).

1. attēls. Līdzīgi taisnleņķa trīsstūri

Pierādījums.

Pieņemsim, ka $\angle B=\angle B_1$. Tā kā trīsstūri ir taisnleņķi, tad $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Tāpēc tie ir līdzīgi pēc pirmā trīsstūru līdzības kritērija.

Teorēma ir pierādīta.

Augstuma teorēma taisnleņķa trijstūrī

2. teorēma

No taisnleņķa virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstums sadala trijstūri divos līdzīgos taisnleņķa trīsstūros, no kuriem katrs ir līdzīgs dotajam trīsstūrim.

Pierādījums.

Dosim mums taisnleņķa trīsstūri $ABC$ ar taisnu leņķi $C$. Uzzīmēsim augstumu $CD$ (2. att.).

2. attēls. 2. teorēmas ilustrācija

Pierādīsim, ka trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi trijstūrim $ABC$ un ka trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi viens otram.

Tā kā $\angle ADC=(90)^0$, tad trīsstūris $ACD$ ir taisnleņķis. Trijstūriem $ACD$ un $ABC$ ir kopīgs leņķis $A$, tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $ACD$ un $ABC$ ir līdzīgi.

Tā kā $\angle BDC=(90)^0$, tad trīsstūris $BCD$ ir taisnleņķis. Trijstūriem $BCD$ un $ABC$ ir kopīgs leņķis $B$, tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $BCD$ un $ABC$ ir līdzīgi.

Tagad aplūkosim trīsstūrus $ACD$ un $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

Tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi.

Teorēma ir pierādīta.

Vidējais proporcionāls

3. teorēma

No taisnleņķa virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstums ir vidējais proporcionāls segmentiem, kuros augstums sadala dotā trijstūra hipotenūzu.

Pierādījums.

Tādējādi saskaņā ar 2. teorēmu trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi

Teorēma ir pierādīta.

4. teorēma

Taisnleņķa trijstūra kāja ir vidējais proporcionālais rādītājs starp hipotenūzu un hipotenūzas segmentu, kas atrodas starp kāju un augstumu virs jūras līmeņa no leņķa virsotnes.

Pierādījums.

Teorēmas pierādīšanā izmantosim apzīmējumu no 2. attēla.

Tādējādi saskaņā ar 2. teorēmu trijstūri $ACD$ un $ABC$ ir līdzīgi

Teorēma ir pierādīta.

Nodarbības mērķi:

1. ieviest divu segmentu proporcionālā vidējā (ģeometriskā vidējā) jēdzienu;
2. aplūkosim taisnleņķa trijstūra proporcionālo nogriežņu problēmu: taisnleņķa trijstūra augstuma īpašību, kas novilkta no taisnleņķa virsotnes;
3. attīstīt studentu prasmes izmantot pētāmo tēmu problēmu risināšanas procesā.

Nodarbības veids: jauna materiāla apguves nodarbība.

Plāns:

1. Org moments.
2. Zināšanu atjaunināšana.
3. Izpētot taisnleņķa trijstūra augstuma īpašību, kas novilkta no taisnleņķa virsotnes:
   - sagatavošanās posms;
   – ievads;
   - asimilācija.
4. Diviem segmentiem proporcionāla vidējā jēdziena ieviešana.
5. Divu segmentu vidējā proporcionālā jēdziena apgūšana.
6. Seku pierādījumi:
   – taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnleņķa virsotnes, ir vidējais proporcionāls segmentiem, kuros hipotenūza ir dalīta ar šo augstumu;
   – taisnleņķa trijstūra kāja ir vidējais proporcionāls starp hipotenūzu un hipotenūzas segmentu, kas atrodas starp kāju un augstumu.
7. Problēmu risināšana.
8. Apkopojot.
9. Mājas darbu iestatīšana.

Nodarbību laikā

I. ORGANIZĀCIJAS BRĪDIS

- Sveiki puiši, apsēdieties. Vai visi ir gatavi nodarbībai?

Sāksim darbu.

II. ZINĀŠANAS ATJAUNINĀTAS

– Kādu svarīgu matemātisko jēdzienu apguvāt iepriekšējās stundās? ( ar trīsstūru līdzības jēdzienu)

- Atcerēsimies, kurus divus trīsstūrus sauc par līdzīgiem? (divus trīsstūrus sauc par līdzīgiem, ja to leņķi ir attiecīgi vienādi un viena trijstūra malas ir proporcionālas otra trijstūra līdzīgām malām)

– Ko mēs izmantojam, lai pierādītu divu trīsstūru līdzību? (

– Formulējiet šīs zīmes (formulē trīs trīsstūru līdzības zīmes)

III. TAISNSTURA Trijstūra AUGSTUMA ĪPAŠĪBU IZPĒTE, VEIDOT NO TAISLEŅA AUGŠAS

a) sagatavošanās posms

– Puiši, lūdzu, paskatieties uz pirmo slaidu. ( Pieteikums) Šeit ir parādīti divi taisnleņķa trīsstūri – un . un ir attiecīgi augstumi un. .

1. uzdevums. a) Nosakiet, vai un ir līdzīgi.

– Ko mēs izmantojam, lai pierādītu trīsstūru līdzību? ( trīsstūru līdzības pazīmes)

(pirmā zīme, jo uzdevumā nekas nav zināms par trīsstūru malām)

. (Divi pāri: 1. ∟B= ∟B1 (taisni), 2. ∟A= ∟A 1)

– Izdari secinājumu.( pēc pirmā trīsstūru līdzības kritērija ~)

1. uzdevums. b) Nosakiet, vai un ir līdzīgi.

– Kādu līdzības zīmi mēs izmantosim un kāpēc? (pirmā zīme, jo uzdevumā nekas nav zināms par trīsstūru malām)

– Cik vienādu leņķu pāru mums jāatrod? Atrodiet šos pārus (tā kā trijstūri ir taisnleņķi, tad pietiek ar vienu vienādu leņķu pāri: ∟A= ∟A 1)

- Izdariet secinājumu. (pamatojoties uz pirmo trīsstūru līdzības kritēriju, secinām, ka šie trīsstūri ir līdzīgi).

Sarunas rezultātā 1. slaids izskatās šādi:

b) teorēmas atklāšana

2. uzdevums.

– Nosakiet, vai un ir līdzīgi. Sarunas rezultātā tiek veidotas atbildes, kas tiek atspoguļotas slaidā.

– Attēlā bija norādīts, ka . Vai mēs izmantojām šo grādu, atbildot uz uzdevuma jautājumiem? ( Nē, mēs to neizmantojām)

– Puiši, izdariet secinājumu: kādos trīsstūros taisnleņķa trijstūris sadalās ar augstumu, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes? (secināt)

– Rodas jautājums: vai šie divi taisnleņķa trijstūri, kuros augstums sadala taisnstūri, būs līdzīgi viens otram? Mēģināsim atrast vienādu leņķu pārus.

Sarunas rezultātā top ieraksts:

– Tagad izdarīsim pilnīgu secinājumu.( SECINĀJUMS: taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, sadala trīsstūri divās daļās līdzīgi

- Tas. Mēs formulējām un pierādījām teorēmu par taisnleņķa trijstūra augstuma īpašību.

Izveidosim teorēmas struktūru un izveidosim zīmējumu. Kas ir dots teorēmā un kas jāpierāda? Studenti savā piezīmju grāmatiņā ieraksta:

– Pierādīsim teorēmas pirmo punktu jaunajam zīmējumam. Kādu līdzības līdzekli izmantosim un kāpēc? (Pirmais, jo teorēmā nekas nav zināms par trijstūra malām)

– Cik vienādu leņķu pāru mums jāatrod? Atrodiet šos pārus. (Šajā gadījumā pietiek ar vienu pāri: ∟A-vispārīgi)

- Izdariet secinājumu. Trīsstūri ir līdzīgi. Rezultātā tiek parādīts teorēmas paraugs

– Otro un trešo punktu izraksti mājās pats.

c) teorēmas apguve

- Tātad vēlreiz formulējiet teorēmu (Taisnstūra trīsstūra augstums, kas novilkts no taisnleņķa virsotnes, sadala trīsstūri divās daļās līdzīgi taisnleņķa trīsstūri, no kuriem katrs ir līdzīgs šim)

– Cik līdzīgu trijstūru pāru konstrukcijā “taisnleņķa trijstūrī augstums no taisna leņķa virsotnes novilkts” ļauj atrast šī teorēma? ( Trīs pāri)

Studentiem tiek dots šāds uzdevums:

IV. DIVU SEGMENTU VIDĒJĀS PROPORCIONĀLĀS JĒDZIENAS IEVADS

– Un tagad mēs kopā ar jums pētīsim jaunu koncepciju.

Uzmanību!

Definīcija. Līnijas segments XY sauca vidēji proporcionāls (ģeometriskais vidējais) starp segmentiem AB Un CD, Ja

(pierakstiet to piezīmju grāmatiņā).

V. DIVU SEGMENTU VIDĒJĀS PROPORCIONĀLĀS JĒDZIENAS IZPRATNE

– Tagad pāriesim pie nākamā slaida.

1. vingrinājums. Atrodiet vidējo proporcionālo segmentu MN un KP garumus, ja MN = 9 cm, KP = 16 cm.

– Kas ir dots problēmā? ( Divi segmenti un to garumi: MN = 9 cm, KP = 16 cm)

– Kas tev jāatrod? ( Vidējās vērtības garums, kas ir proporcionāls šiem segmentiem)

– Kāda formula izsaka proporcionālo vidējo un kā mēs to atrodam?

(Aizvietojiet datus formulā un atrodiet vidējā statņa garumu.)

Uzdevums Nr.2. Atrodiet segmenta AB garumu, ja nogriežņu AB un CD proporcionālais vidējais ir 90 cm un CD = 100 cm

– Kas ir dots problēmā? (segmenta CD garums = 100 cm un segmentu AB un CD proporcionālais vidējais ir 90 cm)

– Kas ir jāatrod problēmā? ( segmenta AB garums)

– Kā mēs atrisināsim problēmu? (Pierakstīsim vidējo proporcionālo segmentu AB un CD formulu, izteiksim no tās garumu AB un aizvietosim uzdevumā esošos datus.)

VI. IETEKMES SECINĀJUMS

- Labi darīti puiši. Tagad atgriezīsimies pie trīsstūru līdzības, ko pierādījām teorēmā. Izsakiet teorēmu vēlreiz. ( Taisnstūra trīsstūra augstums, kas novilkts no taisnleņķa virsotnes, sadala trīsstūri divās daļās līdzīgi taisnleņķa trīsstūri, no kuriem katrs ir līdzīgs dotajam)

– Vispirms izmantosim trīsstūru līdzību un . Kas no tā izriet? ( Pēc definīcijas līdzības puses ir proporcionālas līdzīgām pusēm)

– Kāda vienlīdzība radīsies, izmantojot proporcijas pamatīpašību? ()

– Izsakiet kompaktdisku un izdariet secinājumu (;.

Secinājums: taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes, ir vidējais proporcionāls segmentiem, kuros hipotenūza ir dalīta ar šo augstumu)

– Tagad pierādiet pats, ka taisnleņķa trijstūra kājiņa ir vidējais proporcionālais starp hipotenūzu un hipotenūzas segmentu, kas atrodas starp kāju un augstumu. No -... atradīsim segmentus, kuros hipotenūza ir sadalīta ar šo augstumu )

Taisnstūra trīsstūra kājiņa ir vidējais proporcionālais starp...(-... hipotenūza un hipotenūzas segments, kas atrodas starp šo kāju un augstumu )

– Kur mēs pielietojam iegūtos apgalvojumus? ( Risinot problēmas)

IX. MĀJAS DARBU UZSTĀDĪŠANA

d/z: Nr.571, Nr.572 (a, d), patstāvīgais darbs piezīmju grāmatiņā, teorija.

Šodien mēs piedāvājam jūsu uzmanību vēl vienai prezentācijai par pārsteidzošu un noslēpumainu tēmu - ģeometriju. Šajā prezentācijā mēs jūs iepazīstināsim ar jaunu ģeometrisko formu īpašību, jo īpaši ar jēdzienu par proporcionāliem segmentiem taisnleņķa trijstūrī.

Pirmkārt, mums vajadzētu atcerēties, kas ir trīsstūris? Šis ir vienkāršākais daudzstūris, kas sastāv no trim virsotnēm, kuras savieno trīs segmenti. Trijstūri, kurā viens no leņķiem ir vienāds ar 90 grādiem, sauc par taisnleņķa trīsstūri. Jūs jau esat ar tiem sīkāk iepazinies mūsu iepriekšējos mācību materiālos, kas tika prezentēti jūsu uzmanībai.

Tātad, atgriežoties pie mūsu šodienas tēmas, atzīmēsim, ka taisnleņķa trijstūra augstums, kas novilkts no 90 grādu leņķa, sadala to divos trīsstūros, kas ir līdzīgi gan viens otram, gan sākotnējam. Visi jūs interesējošie zīmējumi un grafiki ir sniegti piedāvātajā prezentācijā, iesakām tos atsaukties kopā ar aprakstīto skaidrojumu.

Iepriekš minētā darba grafisks piemērs ir redzams otrajā slaidā. Pamatojoties uz pirmo trīsstūru līdzības zīmi, trīsstūri ir līdzīgi, jo tiem ir divi identiski leņķi. Ja precizējam sīkāk, tad līdz hipotenūzai nolaistais augstums ar to veido taisnu leņķi, tas ir, jau ir identiski leņķi, un katram no izveidotajiem leņķiem ir arī viens kopīgs leņķis kā sākotnējam. Rezultāts ir divi leņķi, kas ir vienādi viens ar otru. Tas ir, trīsstūri ir līdzīgi.

Norādīsim arī, ko nozīmē jēdziens “proporcionālais vidējais” vai “ģeometriskais vidējais”? Tas ir noteikts XY segments segmentiem AB un CD, ja tas ir vienāds ar to garumu reizinājuma kvadrātsakni.

No tā arī izriet, ka taisnleņķa trijstūra kāja ir ģeometriskais vidējais starp hipotenūzu un šīs kājas projekciju uz hipotenūzu, tas ir, citu kāju.

Vēl viena taisnleņķa trīsstūra īpašība ir tāda, ka tā augstums, kas novilkts no 90° leņķa, ir vidējais proporcionāls starp kāju projekcijām uz hipotenūzu. Ja pievērsīsieties prezentācijai un citiem jūsu uzmanībai piedāvātajiem materiāliem, jūs redzēsiet, ka ir pierādījumi par šo darbu ļoti vienkāršā un pieejamā formā. Iepriekš mēs jau esam pierādījuši, ka iegūtie trīsstūri ir līdzīgi viens otram un sākotnējam trīsstūrim. Pēc tam, izmantojot šo ģeometrisko figūru kāju attiecību, mēs nonākam pie secinājuma, ka taisnleņķa trijstūra augstums ir tieši proporcionāls kvadrātsaknei no to segmentu reizinājuma, kas izveidoti, pazeminot augstumu no oriģinālā trijstūra taisnais leņķis.

Pēdējā lieta prezentācijā ir tāda, ka taisnleņķa trijstūra kāja ir ģeometriskais vidējais hipotenūzai un tās segmentam, kas atrodas starp kāju un augstumu, kas novilkts no leņķa, kas vienāds ar 90 grādiem. Šis gadījums ir jāaplūko no tā viedokļa, ka norādītie trīsstūri ir līdzīgi viens otram, un viena no tiem kāja izrādās otra hipotenūza. Bet jūs to labāk iepazīsit, izpētot piedāvātos materiālus.

Līdzības pārbaude taisnleņķa trijstūriem

Vispirms ieviesīsim līdzības kritēriju taisnleņķa trijstūriem.

1. teorēma

Līdzības pārbaude taisnleņķa trijstūriem: divi taisnleņķa trīsstūri ir līdzīgi, ja katram no tiem ir vienāds akūts leņķis (1. att.).

1. attēls. Līdzīgi taisnleņķa trīsstūri

Pierādījums.

Pieņemsim, ka $\angle B=\angle B_1$. Tā kā trīsstūri ir taisnleņķi, tad $\angle A=\angle A_1=(90)^0$. Tāpēc tie ir līdzīgi pēc pirmā trīsstūru līdzības kritērija.

Teorēma ir pierādīta.

Augstuma teorēma taisnleņķa trijstūrī

2. teorēma

No taisnleņķa virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstums sadala trijstūri divos līdzīgos taisnleņķa trīsstūros, no kuriem katrs ir līdzīgs dotajam trīsstūrim.

Pierādījums.

Dosim mums taisnleņķa trīsstūri $ABC$ ar taisnu leņķi $C$. Uzzīmēsim augstumu $CD$ (2. att.).

2. attēls. 2. teorēmas ilustrācija

Pierādīsim, ka trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi trijstūrim $ABC$ un ka trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi viens otram.

Tā kā $\angle ADC=(90)^0$, tad trīsstūris $ACD$ ir taisnleņķis. Trijstūriem $ACD$ un $ABC$ ir kopīgs leņķis $A$, tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $ACD$ un $ABC$ ir līdzīgi.

Tā kā $\angle BDC=(90)^0$, tad trīsstūris $BCD$ ir taisnleņķis. Trijstūriem $BCD$ un $ABC$ ir kopīgs leņķis $B$, tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $BCD$ un $ABC$ ir līdzīgi.

Tagad aplūkosim trīsstūrus $ACD$ un $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

Tāpēc saskaņā ar 1. teorēmu trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi.

Teorēma ir pierādīta.

Vidējais proporcionāls

3. teorēma

No taisnleņķa virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstums ir vidējais proporcionāls segmentiem, kuros augstums sadala dotā trijstūra hipotenūzu.

Pierādījums.

Tādējādi saskaņā ar 2. teorēmu trijstūri $ACD$ un $BCD$ ir līdzīgi

Teorēma ir pierādīta.

4. teorēma

Taisnleņķa trijstūra kāja ir vidējais proporcionālais rādītājs starp hipotenūzu un hipotenūzas segmentu, kas atrodas starp kāju un augstumu virs jūras līmeņa no leņķa virsotnes.

Pierādījums.

Teorēmas pierādīšanā izmantosim apzīmējumu no 2. attēla.

Tādējādi saskaņā ar 2. teorēmu trijstūri $ACD$ un $ABC$ ir līdzīgi

Teorēma ir pierādīta.

Nodarbība 40. Proporcionāli nogriežņi taisnleņķa trijstūrī. C. b. a. h. S. bc. N. ac. A. B. No taisnleņķa virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstums sadala trijstūri 2 līdzīgos taisnleņķa trīsstūros, no kuriem katrs ir līdzīgs dotajam trīsstūrim. Līdzības pārbaude taisnleņķa trijstūriem. Divi taisnleņķa trīsstūri ir līdzīgi, ja tiem katram ir vienāds akūts leņķis. Nogriezni XY sauc par proporcionālo vidējo (ģeometrisko vidējo) segmentiem AB un CD, ja īpašība 1. No taisnleņķa virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstums ir proporcionālais vidējais starp kāju projekcijām uz hipotenūzu. Īpašība 2. Taisnstūra trīsstūra kājiņa ir vidējais proporcionāls starp hipotenūzu un šīs kājas projekciju uz hipotenūzu.

Ģeometrija 8. klase

“Problēmu risināšana pēc Pitagora teorēmas” - Trijstūris ABC ir vienādsānu. Pitagora teorēmas praktiskais pielietojums. ABCD ir četrstūris. Kvadrāta platība. Atrodi sauli. Pierādījums. Vienādsānu trapeces pamati. Apsveriet Pitagora teorēmu. Četrstūra laukums. Taisni trīsstūri. Pitagora teorēma. Hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu.

“Paralelograma laukuma atrašana” - bāze. Augstums. Paralelograma augstuma noteikšana. Taisnstūra trīsstūru vienādības zīmes. Paralelograma laukums. Atrodiet trīsstūra laukumu. Apgabalu īpašības. Mutes dobuma vingrinājumi. Atrodiet paralelograma laukumu. Paralelograma augstumi. Atrodiet kvadrāta perimetru. Trijstūra laukums. Atrodiet laukuma laukumu. Atrodiet taisnstūra laukumu. Kvadrāta platība.

""Kvadrāts" 8. klase" - Melnais kvadrāts. Uzdevumi mutiskajam darbam pa laukuma perimetru. Kvadrāta platība. Kvadrāta zīmes. Laukums ir mūsu vidū. Kvadrāts ir taisnstūris ar vienādām malām. Kvadrāts. Soma ar kvadrātveida pamatni. Mutiski uzdevumi. Cik kvadrātu ir parādīti attēlā? Kvadrāta īpašības. Bagāts tirgotājs. Uzdevumi mutiskam darbam laukuma laukumā. Kvadrāta perimetrs.

“Aksiālās simetrijas definīcija” — punkti, kas atrodas vienā perpendikulā. Zīmējiet divas taisnas līnijas. Būvniecība. Uzzīmējiet punktus. Padoms. Figūras, kurām nav aksiālās simetrijas. Līnijas segments. Trūkst koordinātas. attēls. Figūras, kurām ir vairāk nekā divas simetrijas asis. Simetrija. Simetrija dzejā. Konstruējiet trīsstūrus. Simetrijas asis. Segmenta uzbūve. Punkta uzbūve. Figūras ar divām simetrijas asīm. Tautas. Trīsstūri. Proporcionalitāte.

“Līdzīgu trīsstūru definīcija” — daudzstūri. Proporcionālie segmenti. Līdzīgu trīsstūru laukumu attiecība. Divus trīsstūrus sauc par līdzīgiem. Nosacījumi. Izveidojiet trīsstūri, izmantojot dotos divus leņķus un bisektrisi virsotnē. Pieņemsim, ka mums ir jānosaka attālums līdz stabam. Trešā trijstūra līdzības zīme. Uzbūvēsim kaut kādu trīsstūri. ABC. Trijstūri ABC un ABC ir vienādi no trim malām. Objekta augstuma noteikšana.

“Pitagora teorēmas risinājums” - Logu daļas. Vienkāršākais pierādījums. Hammurabi. Diagonāli. Pilnīgs pierādījums. Pierādīšana ar atņemšanas metodi. Pitagorieši. Pierādīšana ar dekompozīcijas metodi. Teorēmas vēsture. Diametrs. Pierādīšana ar pievienošanas metodi. Epšteina pierādījums. Kantors. Trīsstūri. Sekotāji. Pitagora teorēmas pielietojumi. Pitagora teorēma. Teorēmas paziņojums. Perigala pierādījums. Teorēmas pielietojums.