ჩვენ ვიანგარიშებთ პარალელოგრამის კუთხეებისა და ფართობის ჯამს: თვისებები და მახასიათებლები. პარალელოგრამის და მისი თვისებების განმარტება პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების და კუთხეების თვისებების დადასტურება

გაკვეთილის თემა

პარალელოგრამის დიაგონალების თვისებები.

გაკვეთილის მიზნები

გაეცანით ახალ განმარტებებს და გაიხსენეთ უკვე შესწავლილი.
ჩამოთვალეთ და დაამტკიცეთ პარალელოგრამის დიაგონალების თვისება.
ისწავლეთ ფორმების თვისებების გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას.
განმავითარებელი - მოსწავლეთა ყურადღების, გამძლეობის, გამძლეობის, ლოგიკური აზროვნების, მათემატიკური მეტყველების განვითარება.
საგანმანათლებლო - გაკვეთილის საშუალებით გამოუმუშავეთ ერთმანეთის მიმართ ყურადღებიანი დამოკიდებულება, ჩაუნერგეთ ამხანაგების მოსმენის უნარი, ურთიერთდახმარება და დამოუკიდებლობა.

გაკვეთილის მიზნები

შეამოწმეთ მოსწავლეთა პრობლემის გადაჭრის უნარები.

Გაკვეთილის გეგმა

შესავალი.
ადრე შესწავლილი მასალის გამეორება.
პარალელოგრამი, მისი თვისებები და მახასიათებლები.
დავალებების მაგალითები.
Თვითშემოწმება.

შესავალი

"მთავარი მეცნიერული აღმოჩენა გადაწყვეტს ძირითად პრობლემას, მაგრამ ნებისმიერი პრობლემის გადაწყვეტაში არის აღმოჩენის მარცვალი."

პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების თვისება

პარალელოგრამს აქვს მოპირდაპირე გვერდები, რომლებიც ტოლია.

მტკიცებულება.

ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. და მოდით, მისი დიაგონალები იკვეთოს O წერტილში.
ვინაიდან Δ AOB = Δ COD სამკუთხედების ტოლობის პირველი კრიტერიუმით (∠ AOB = ∠ COD, როგორც ვერტიკალურად, AO=OC, DO=OB, პარალელოგრამის დიაგონალების თვისებით), მაშინ AB=CD. ანალოგიურად, BOC და DOA სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ BC = DA. თეორემა დადასტურდა.

პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეების თვისება

პარალელოგრამში საპირისპირო კუთხეები ტოლია.

მტკიცებულება.

ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. და მოდით, მისი დიაგონალები იკვეთოს O წერტილში.
რაც დადასტურდა თეორემაში პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების თვისებების Δ ABC = Δ CDA სამ მხარეს (AB=CD, BC=DA დადასტურებულიდან, AC – ზოგადი). სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ ABC = ∠ CDA.
ასევე დადასტურებულია, რომ ∠ DAB = ∠ BCD, რომელიც გამომდინარეობს ∠ ABD = ∠ CDB-დან. თეორემა დადასტურდა.

პარალელოგრამის დიაგონალების თვისება

პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება და იკვეთება გადაკვეთის წერტილში.

მტკიცებულება.

ABCD იყოს მოცემული პარალელოგრამი. დავხატოთ AC დიაგონალი. ავნიშნოთ მასზე შუა O. DO სეგმენტის გაგრძელებაზე განზე ვდებთ OB 1 სეგმენტს DO-ს ტოლი.
წინა თეორემით AB 1 CD არის პარალელოგრამი. მაშასადამე, ხაზი AB 1 არის DC-ის პარალელურად. მაგრამ A წერტილის გავლით მხოლოდ ერთი ხაზის გაყვანა შეიძლება DC-ის პარალელურად. ეს ნიშნავს, რომ სწორი AB 1 ემთხვევა სწორ AB-ს.
ასევე დადასტურებულია, რომ ძვ.წ 1 ემთხვევა ძვ.წ. ეს ნიშნავს, რომ C წერტილი ემთხვევა C 1-ს. პარალელოგრამი ABCD ემთხვევა პარალელოგრამს AB 1 CD. შესაბამისად, პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება და იკვეთება გადაკვეთის წერტილში. თეორემა დადასტურდა.

ჩვეულებრივი სკოლების სახელმძღვანელოებში (მაგალითად, პოგორელოვოში) ასეა დადასტურებული: დიაგონალები ყოფენ პარალელოგრამს 4 სამკუთხედად. განვიხილოთ ერთი წყვილი და გავარკვიოთ - ისინი ტოლია: მათი ფუძეები მოპირდაპირე გვერდებია, მის მიმდებარედ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ისევე როგორც ვერტიკალური კუთხეები პარალელური ხაზებით. ანუ დიაგონალების სეგმენტები წყვილებში ტოლია. ყველა.

Სულ ეს არის?
ზემოთ დადასტურდა, რომ გადაკვეთის წერტილი ყოფს დიაგონალებს - თუ ის არსებობს. ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა არანაირად არ ადასტურებს მის არსებობას. ანუ, თეორემის ნაწილი „პარალელოგრამის დიაგონალების იკვეთება“ დაუმტკიცებელი რჩება.

სასაცილო ის არის, რომ ეს ნაწილი გაცილებით რთული დასამტკიცებელია. ეს, სხვათა შორის, უფრო ზოგადი შედეგიდან გამომდინარეობს: ნებისმიერ ამოზნექილ ოთხკუთხედს ექნება დიაგონალების გადაკვეთა, მაგრამ ნებისმიერ არაამოზნექილ ოთხკუთხედს არა.

გვერდის და ორი მიმდებარე კუთხის გასწვრივ სამკუთხედების ტოლობის შესახებ (სამკუთხედების ტოლობის მეორე ნიშანი) და სხვა.

თალესმა აღმოაჩინა მნიშვნელოვანი პრაქტიკული გამოყენება თეორემაზე ორი სამკუთხედის ტოლობის შესახებ გვერდის და ორი მიმდებარე კუთხის გასწვრივ. მილეტის ნავსადგურში აშენდა მანძილი, რათა დაედგინა მანძილი გემამდე ზღვაში. იგი შედგებოდა სამი ამოძრავებული სამაგრი A, B და C (AB = BC) და მონიშნული სწორი ხაზი SC, პერპენდიკულარული CA. როდესაც გემი გამოჩნდა SK სწორ ხაზზე, ჩვენ აღმოვაჩინეთ D წერტილი ისეთი, რომ D, .B და E წერტილები ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე იყო. როგორც ნახატიდან ირკვევა, CD მანძილი ადგილზე არის სასურველი მანძილი გემამდე.

კითხვები

კვადრატის დიაგონალები იყოფა თუ არა გადაკვეთის წერტილით ნახევრად?
პარალელოგრამის დიაგონალები ტოლია?
პარალელოგრამის საპირისპირო კუთხეები ტოლია?
დაასახელეთ პარალელოგრამის განმარტება?
პარალელოგრამის რამდენი ნიშანია?
შეიძლება რომბი იყოს პარალელოგრამი?

გამოყენებული წყაროების სია

კუზნეცოვი A.V., მათემატიკის მასწავლებელი (5-9 კლასები), კიევი
„ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა 2006წ. მათემატიკა. სასწავლო და სასწავლო მასალები სტუდენტების მოსამზადებლად / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
Mazur K. I. „მ.ი. სკანავის რედაქტორული კრებულის ძირითადი საკონკურსო ამოცანების ამოხსნა მათემატიკაში“
ლ.

ვიმუშავეთ გაკვეთილზე

კუზნეცოვი A.V.

Poturnak S.A.

ევგენი პეტროვი

შეგიძლიათ დასვათ შეკითხვა თანამედროვე განათლების შესახებ, გამოხატოთ აზრი ან გადაჭრათ აქტუალური პრობლემა საგანმანათლებლო ფორუმი, სადაც ახალი აზრისა და მოქმედების საგანმანათლებლო საბჭო იკრიბება საერთაშორისო დონეზე. რომელმაც შექმნა ბლოგი,თქვენ არა მხოლოდ გააუმჯობესებთ კომპეტენტური მასწავლებლის სტატუსს, არამედ მნიშვნელოვან წვლილს შეიტანთ მომავლის სკოლის განვითარებაში. განათლების ლიდერთა გილდიაუხსნის კარს უმაღლესი რანგის სპეციალისტებს და იწვევს მათ ითანამშრომლონ მსოფლიოში საუკეთესო სკოლების შესაქმნელად.

საგნები > მათემატიკა > მათემატიკა მე-8 კლასი

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია წყვილებში. ეს განმარტება უკვე საკმარისია, ვინაიდან პარალელოგრამის დარჩენილი თვისებები მისგან გამომდინარეობს და დადასტურებულია თეორემების სახით.

პარალელოგრამის ძირითადი თვისებებია:

პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი;
პარალელოგრამს აქვს მოპირდაპირე გვერდები, რომლებიც წყვილებში ტოლია;
პარალელოგრამში მოპირდაპირე კუთხეები წყვილებში ტოლია;
პარალელოგრამის დიაგონალები იყოფა შუაზე გადაკვეთის წერტილით.

პარალელოგრამი - ამოზნექილი ოთხკუთხედი

ჯერ დავამტკიცოთ თეორემა, რომ პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი. მრავალკუთხედი ამოზნექილია, თუ მისი რომელი გვერდი სწორ ხაზამდეა გაშლილი, მრავალკუთხედის ყველა სხვა მხარე იქნება ამ სწორი ხაზის იმავე მხარეს.

მიეცით პარალელოგრამი ABCD, რომელშიც AB არის მოპირდაპირე მხარე CD-სთვის, ხოლო BC არის მოპირდაპირე მხარე AD-სთვის. შემდეგ პარალელოგრამის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ AB || CD, BC || ახ.წ.

პარალელურ სეგმენტებს არ აქვთ საერთო წერტილები და არ იკვეთებიან. ეს ნიშნავს, რომ CD დევს AB-ის ერთ მხარეს. ვინაიდან BC სეგმენტი აკავშირებს AB სეგმენტის B წერტილს CD სეგმენტის C წერტილთან, ხოლო AD სეგმენტი აკავშირებს სხვა AB და CD წერტილებს, BC და AD სეგმენტები ასევე დევს AB ხაზის იმავე მხარეს, სადაც დევს CD. ამრიგად, სამივე მხარე - CD, BC, AD - AB-ის ერთ მხარეს დევს.

ანალოგიურად, დადასტურდა, რომ პარალელოგრამის სხვა გვერდებთან მიმართებაში, დანარჩენი სამი მხარე ერთ მხარეს დევს.

მოპირდაპირე მხარეები და კუთხეები ტოლია

პარალელოგრამის ერთ-ერთი თვისებაა ის პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები და მოპირდაპირე კუთხეები წყვილებში ტოლია. მაგალითად, თუ პარალელოგრამი მოცემულია ABCD, მაშინ მას აქვს AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. ეს თეორემა შემდეგნაირად არის დადასტურებული.

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი. ეს ნიშნავს, რომ მას აქვს ორი დიაგონალი. ვინაიდან პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი, ნებისმიერი მათგანი ყოფს მას ორ სამკუთხედად. ABCD პარალელოგრამზე განვიხილოთ სამკუთხედები ABC და ADC, რომლებიც მიღებულია AC დიაგონალის დახაზვით.

ამ სამკუთხედებს ერთი გვერდი აქვთ საერთო - AC. კუთხე BCA უდრის CAD კუთხეს, ისევე როგორც ვერტიკალური, როდესაც BC და AD პარალელურია. კუთხეები BAC და ACD ასევე ტოლია ვერტიკალური კუთხეების, როდესაც AB და CD პარალელურია. ამიტომ, ∆ABC = ∆ADC ორ კუთხით და მათ შორის მდებარე გვერდით.

ამ სამკუთხედებში AB გვერდი შეესაბამება CD მხარეს, ხოლო BC გვერდი შეესაბამება AD. ამიტომ, AB = CD და BC = AD.

კუთხე B შეესაბამება D კუთხეს, ანუ ∠B = ∠D. პარალელოგრამის A კუთხე არის ორი კუთხის ჯამი - ∠BAC და ∠CAD. კუთხე C უდრის ∠BCA და ∠ACD. ვინაიდან კუთხეების წყვილი ერთმანეთის ტოლია, მაშინ ∠A = ∠C.

ამრიგად, დადასტურებულია, რომ პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები და კუთხეები ტოლია.

დიაგონალები იყოფა ნახევრად

ვინაიდან პარალელოგრამი არის ამოზნექილი ოთხკუთხედი, მას აქვს ორი დიაგონალი და ისინი იკვეთებიან. მოცემული იყოს ABCD პარალელოგრამი, მისი დიაგონალები AC და BD იკვეთება E წერტილში. განვიხილოთ მათ მიერ წარმოქმნილი სამკუთხედები ABE და CDE.

ამ სამკუთხედებს აქვთ AB და CD გვერდები პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების ტოლი. ABE კუთხე უდრის CDE კუთხს, როგორც ჯვარედინი მდგომი პარალელური ხაზებით AB და CD. ამავე მიზეზით, ∠BAE = ∠DCE. ეს ნიშნავს ∆ABE = ∆CDE ორ კუთხით და მათ შორის მხარეს.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ კუთხეები AEB და CED ვერტიკალურია და, შესაბამისად, ერთმანეთის ტოლია.

ვინაიდან სამკუთხედები ABE და CDE ერთმანეთის ტოლია, მაშინ მათი ყველა შესაბამისი ელემენტი ტოლია. პირველი სამკუთხედის AE გვერდი შეესაბამება მეორის CE მხარეს, რაც ნიშნავს AE = CE. ანალოგიურად BE = DE. თანაბარი სეგმენტების თითოეული წყვილი წარმოადგენს პარალელოგრამის დიაგონალს. ამრიგად, დადასტურებულია, რომ პარალელოგრამის დიაგონალები იკვეთება მათი გადაკვეთის წერტილით.

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე მხარეები პარალელურია, ანუ ისინი დევს პარალელურ წრფეებზე (ნახ. 1).

თეორემა 1. პარალელოგრამის გვერდებისა და კუთხეების თვისებებზე.პარალელოგრამში მოპირდაპირე გვერდები ტოლია, მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია და პარალელოგრამის ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°.

მტკიცებულება. ამ პარალელოგრამზე ABCD ვხატავთ AC დიაგონალს და ვიღებთ ორ სამკუთხედს ABC და ADC (ნახ. 2).

ეს სამკუთხედები ტოლია, რადგან ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (გადაკვეთის კუთხეები პარალელური ხაზებისთვის), ხოლო გვერდი AC საერთოა. Δ ABC = Δ ADC ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. ერთი მხარის მიმდებარე კუთხეების ჯამი, მაგალითად კუთხეები A და D, უდრის 180°-ს, როგორც ცალმხრივი. პარალელური ხაზებისთვის. თეორემა დადასტურდა.

კომენტარი. პარალელოგრამის მოპირდაპირე გვერდების ტოლობა ნიშნავს, რომ პარალელურებით მოწყვეტილი პარალელების სეგმენტები ტოლია.

დასკვნა 1. თუ ორი წრფე პარალელურია, მაშინ ერთ წრფეზე ყველა წერტილი იმავე მანძილზეა მეორე წრფედან.

მტკიცებულება. მართლაც, დაე, || ბ (ნახ. 3).

მოდით დავხატოთ BA და CD პერპენდიკულარები a სწორ წრფეზე b წრფის ორი B და C წერტილიდან. ვინაიდან AB || CD, შემდეგ ფიგურა ABCD არის პარალელოგრამი და, შესაბამისად, AB = CD.

მანძილი ორ პარალელურ წრფეს შორის არის მანძილი ერთ-ერთი წრფის თვითნებური წერტილიდან მეორე ხაზამდე.

დადასტურებულის მიხედვით, ის უდრის ერთი პარალელური წრფის რომელიღაც წერტილიდან მეორე წრფემდე გამოყვანილი პერპენდიკულურის სიგრძეს.

მაგალითი 1.პარალელოგრამის პერიმეტრია 122 სმ, მისი ერთი გვერდი მეორეზე დიდია 25 სმ. იპოვეთ პარალელოგრამის გვერდები.

გამოსავალი. თეორემა 1-ის მიხედვით, პარალელოგრამის მოპირდაპირე მხარეები ტოლია. პარალელოგრამის ერთი მხარე ავღნიშნოთ x-ით, ხოლო მეორე y-ით. შემდეგ, პირობით $$\left\(\begin(მატრიცა) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(მატრიცა)\right.$$ ამ სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ x = 43, y = 18 ამრიგად, პარალელოგრამის გვერდები არის 18, 43, 18 და 43 სმ.

მაგალითი 2.

გამოსავალი. დაე, სურათი 4 აკმაყოფილებდეს პრობლემის პირობებს.

AB ავღნიშნოთ x-ით, ხოლო BC y-ით. პირობის მიხედვით, პარალელოგრამის პერიმეტრია 10 სმ, ანუ 2(x + y) = 10, ან x + y = 5. ABD სამკუთხედის პერიმეტრი არის 8 სმ და რადგან AB + AD = x + y = 5 შემდეგ BD = 8 - 5 = 3. ასე რომ, BD = 3 სმ.

მაგალითი 3.იპოვეთ პარალელოგრამის კუთხეები, იცოდეთ, რომ ერთი მათგანი 50°-ით მეტია მეორეზე.

გამოსავალი. დაე, სურათი 5 აკმაყოფილებდეს პრობლემის პირობებს.

A კუთხის ხარისხიანი ზომა x-ით ავღნიშნოთ. მაშინ D კუთხის ხარისხიანი ზომაა x + 50°.

კუთხეები BAD და ADC არის ცალმხრივი შიდა კუთხეები პარალელური ხაზებით AB და DC და სეკანტური AD. მაშინ ამ დასახელებული კუთხეების ჯამი იქნება 180°, ე.ი.
x + x + 50° = 180°, ან x = 65°. ამრიგად, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

მაგალითი 4.პარალელოგრამის გვერდებია 4,5 დმ და 1,2 დმ. ბისექტორი გამოყვანილია მწვავე კუთხის წვეროდან. რა ნაწილებად ყოფს ის პარალელოგრამის უფრო დიდ მხარეს?

გამოსავალი. დაე, სურათი 6 აკმაყოფილებდეს პრობლემის პირობებს.

AE არის პარალელოგრამის მწვავე კუთხის ბისექტორი. ამიტომ, ∠ 1 = ∠ 2.

პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები პარალელურია წყვილებში. პარალელოგრამის ფართობი ტოლია მისი ფუძის (a) და სიმაღლის (h) ნამრავლის. თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მისი ფართობი ორი გვერდით და კუთხით და დიაგონალებით.

პარალელოგრამის თვისებები

1. მოპირდაპირე მხარეები იდენტურია

პირველ რიგში დავხატოთ დიაგონალი $AC$ . ჩვენ ვიღებთ ორ სამკუთხედს: $ABC$ და $ADC$.

ვინაიდან $ABCD$ პარალელოგრამია, მართებულია შემდეგი:

$AD || BC \Rightarrow \Angle 1 = \Angle 2$როგორც ჯვარედინი წოლა.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \კუთხე 4$როგორც ჯვარედინი წოლა.

ამიტომ, (მეორე კრიტერიუმის მიხედვით: და $AC$ გავრცელებულია).

და ეს ნიშნავს $\სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC$, შემდეგ $AB = CD$ და $AD = BC$ .

2. მოპირდაპირე კუთხეები იდენტურია

მტკიცებულების მიხედვით თვისებები 1ჩვენ ეს ვიცით $\კუთხე 1 = \კუთხე 2, \კუთხე 3 = \კუთხე 4$. ამრიგად, საპირისპირო კუთხეების ჯამი არის: $\კუთხე 1 + \კუთხე 3 = \კუთხე 2 + \კუთხე 4$. Იმის გათვალისწინებით $\სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC$ვიღებთ $\კუთხე A = \კუთხე C $ , $\კუთხე B = \კუთხე D $ .

3. დიაგონალები იყოფა შუაზე გადაკვეთის წერტილით

ავტორი ქონება 1ჩვენ ვიცით, რომ მოპირდაპირე მხარეები იდენტურია: $AB = CD$ . კიდევ ერთხელ შენიშნეთ ჯვარედინი თანაბარი კუთხეები.

ამრიგად, ცხადია, რომ $\სამკუთხედი AOB = \სამკუთხედი COD$სამკუთხედების ტოლობის მეორე ნიშნის მიხედვით (ორი კუთხე და მათ შორის გვერდი). ანუ $BO = OD$ (კუთხების საპირისპირო $\კუთხე 2$ და $\კუთხე 1$ ) და $AO = OC$ (კუთხების საპირისპირო $\კუთხე 3$ და $ \კუთხე 4$ შესაბამისად).

პარალელოგრამის ნიშნები

თუ თქვენს პრობლემაში მხოლოდ ერთი მახასიათებელია, მაშინ ფიგურა არის პარალელოგრამი და შეგიძლიათ გამოიყენოთ ამ ფიგურის ყველა თვისება.

უკეთესი დასამახსოვრებლად, გაითვალისწინეთ, რომ პარალელოგრამის ნიშანი უპასუხებს შემდეგ კითხვას - "როგორ გავარკვიოთ?". ანუ როგორ გავარკვიოთ, რომ მოცემული ფიგურა პარალელოგრამია.

1. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის ორი გვერდი ტოლი და პარალელურია

$AB = CD$ ; $AB || CD \მარჯვენა ABCD$- პარალელოგრამი.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ. რატომ $AD || BC $?

$\სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC$ავტორი ქონება 1: $AB = CD $ , $\კუთხე 1 = \კუთხე 2 $ ჯვარედინზე, როდესაც $AB $ და $CD $ და სეკანტი $AC $ პარალელურია.

Მაგრამ თუ $\სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC$, შემდეგ $\კუთხე 3 = \კუთხე 4 $ (წოლა მოპირდაპირე $AD || BC $ ($\კუთხე 3 $ და $\კუთხე 4 $ - ჯვარედინი მდგომებიც ტოლია).

პირველი ნიშანი სწორია.

2. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები ტოლია

$AB = CD $ , $AD = BC \Rightarrow ABCD $ არის პარალელოგრამი.

განვიხილოთ ეს ნიშანი. ისევ დავხატოთ $AC$ დიაგონალი.

ავტორი ქონება 1$\სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ACD$.

Აქედან გამომდინარეობს, რომ: $\კუთხე 1 = \კუთხე 2 \Rightarrow AD || BC $და $\კუთხე 3 = \კუთხე 4 \მარჯვენა ისარი AB || CD $, ანუ $ABCD$ არის პარალელოგრამი.

მეორე ნიშანი სწორია.

3. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია

$\კუთხე A = \კუთხე C$ , $\ კუთხე B = \კუთხე D \მარჯვენა ABCD$- პარალელოგრამი.

$2 \ალფა + 2 \ბეტა = 360^(\circ) $(რადგან $\კუთხე A = \კუთხე C$ , $\კუთხე B = \კუთხე D$ პირობით).

თურმე,. მაგრამ $\alpha $ და $\beta $ შიდა ცალმხრივია სეკანტში $AB $ .

Და რა $\ალფა + \ბეტა = 180^(\circ) $ასევე ამბობს, რომ $ახ.წ. || ძვ.წ. $ .

მტკიცებულება

პირველ რიგში დავხატოთ AC დიაგონალი. ჩვენ ვიღებთ ორ სამკუთხედს: ABC და ADC.

ვინაიდან ABCD არის პარალელოგრამი, მართებულია შემდეგი:

AD || BC \მარჯვენა ისარი \კუთხე 1 = \კუთხე 2როგორც ჯვარედინი წოლა.

AB || CD\Rightarrow\angle3 =\Angle 4როგორც ჯვარედინი წოლა.

ამიტომ, \სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC (მეორე კრიტერიუმის მიხედვით: და AC საერთოა).

და, შესაბამისად, \სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC, შემდეგ AB = CD და AD = BC.

დადასტურებული!

2. მოპირდაპირე კუთხეები იდენტურია.

მტკიცებულება

მტკიცებულების მიხედვით თვისებები 1ჩვენ ეს ვიცით \ კუთხე 1 = \კუთხე 2, \კუთხე 3 = \კუთხე 4. ამრიგად, საპირისპირო კუთხეების ჯამი არის: \კუთხე 1 + \კუთხე 3 = \კუთხე 2 + \კუთხე 4. იმის გათვალისწინებით, რომ \სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC მივიღებთ \კუთხე A = \კუთხე C , \კუთხე B = \კუთხე D .

დადასტურებული!

3. დიაგონალები შუაზე იყოფა გადაკვეთის წერტილით.

მტკიცებულება

დავხატოთ კიდევ ერთი დიაგონალი.

ავტორი ქონება 1ჩვენ ვიცით, რომ მოპირდაპირე მხარეები იდენტურია: AB = CD. კიდევ ერთხელ შენიშნეთ ჯვარედინი თანაბარი კუთხეები.

ამრიგად, ცხადია, რომ \სამკუთხედი AOB = \სამკუთხედი COD სამკუთხედების ტოლობის მეორე კრიტერიუმის მიხედვით (ორი კუთხე და მათ შორის გვერდი). ანუ, BO = OD (კუთხეების \კუთხე 2 და \კუთხე 1 საპირისპირო) და AO = OC (კუთხის \კუთხების მოპირდაპირე 3 და კუთხის 4, შესაბამისად).

დადასტურებული!

პარალელოგრამის ნიშნები

1. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის ორი გვერდი ტოლი და პარალელურია.

AB = CD ; AB || CD\Rightarrow ABCD არის პარალელოგრამი.

მტკიცებულება

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ. რატომ AD || ძვ.წ.

\სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC მიერ ქონება 1: AB = CD, AC - საერთო და \კუთხე 1 = \კუთხე 2 ჯვარედინზე დევს პარალელურად AB და CD და სეკანტური AC.

მაგრამ თუ \სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ADC , მაშინ \კუთხე 3 = \კუთხე 4 (შესაბამისად AB და CD მოპირდაპირეა). და ამიტომ AD || BC (\კუთხე 3 და \კუთხე 4 - ჯვარედინად მწოლიც ტოლია).

პირველი ნიშანი სწორია.

2. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე გვერდები ტოლია.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD არის პარალელოგრამი.

მტკიცებულება

განვიხილოთ ეს ნიშანი. ისევ დავხატოთ AC დიაგონალი.

ავტორი ქონება 1\სამკუთხედი ABC = \სამკუთხედი ACD.

Აქედან გამომდინარეობს, რომ: \კუთხე 1 = \კუთხე 2 \Rightarrow AD || ძვ.წ.და \კუთხე 3 = \კუთხე 4 \Rightarrow AB || CD, ანუ ABCD არის პარალელოგრამი.

მეორე ნიშანი სწორია.

3. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის მოპირდაპირე კუთხეები ტოლია.

\ კუთხე A = \კუთხე C, \ კუთხე B = \ კუთხე D \ მარჯვენა ისარი ABCD- პარალელოგრამი.

მტკიცებულება

2 \ალფა + 2 \ბეტა = 360^(\circ)(რადგან ABCD არის ოთხკუთხედი და \კუთხე A = \კუთხე C , \კუთხე B = \კუთხე D პირობით).

გამოდის, რომ \alpha + \beta = 180^(\circ) . მაგრამ \alpha და \beta არის შიდა ცალმხრივი სეკანტურ AB-ზე.

და ის ფაქტი, რომ \alpha + \beta = 180^(\circ) ასევე ნიშნავს, რომ AD || ძვ.წ.

უფრო მეტიც, \alpha და \beta არის შიდა ცალმხრივი AD სეკანტში. და ეს ნიშნავს AB || CD.

მესამე ნიშანი სწორია.

4. პარალელოგრამი არის ოთხკუთხედი, რომლის დიაგონალები შუაზე იყოფა გადაკვეთის წერტილით.

AO = OC; BO = OD \ მარჯვენა ისრის პარალელოგრამი.

მტკიცებულება

BO = OD; AO = OC, \კუთხე 1 = \კუთხე 2 ვერტიკალურად \მარჯვენა ისარი \სამკუთხედი AOB = \სამკუთხედი COD, \მარჯვენა ისარი \კუთხე 3 = \კუთხე 4და \Rightarrow AB || CD.

ანალოგიურად BO = OD; AO = OC, \ კუთხე 5 = \კუთხე 6 \მარჯვენა ისარი \სამკუთხედი AOD = \სამკუთხედი BOC \მარჯვენა ისარი \კუთხე 7 = \კუთხე 8, და \Rightarrow AD || ძვ.წ.

მეოთხე ნიშანი სწორია.