ყველაფერი ლოგარითმური უთანასწორობის შესახებ. მაგალითები

მრავალფეროვან ლოგარითმული უთანასწორობისგან ცალკე სწავლობდა ცვლადი ბაზებით. ისინი მოგვარდებიან სპეციალური ფორმულებით, რომლებიც იშვიათად საუბრობენ სკოლაში:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (f (x) - g (x)) · (k (x)) · 0

ნაცვლად DAW "∨", თქვენ შეგიძლიათ განათავსოთ უთანასწორობა: მეტ-ნაკლებად. მთავარია, რომ ორივე უთანასწორობის ნიშნები იგივე იყო.

ამიტომ ჩვენ დავაღწიოთ ლოგარითმებს და შეამცირონ რაციონალური უთანასწორობის ამოცანა. ეს უკანასკნელი ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების გაუქმებისას, დამატებითი ფესვები შეიძლება მოხდეს. შეწყვიტოს, საკმარისია დასაშვები ღირებულებების ფართობი. თუ თქვენ დაგავიწყდებათ otz logarithm, მე მკაცრად გირჩევთ იმეორებს - ვხედავ "რა არის logarithm".

ყველა, რაც დაკავშირებულია დასაშვები ღირებულებების არეალს, უნდა იყოს დაწერილი:

f (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; k (x) ≠ 1.

ეს ოთხი უთანასწორობა ქმნის სისტემას და ერთდროულად უნდა შესრულდეს. როდესაც დასაშვები ღირებულებების ფართობი აღმოჩნდა, ის რჩება რაციონალური უთანასწორობის გზით გადაკვეთა - პასუხი მზად არის.

Დავალება. უთანასწორობის მოგვარება:

დასაწყისისთვის, სასმელი otz logarithm:

პირველი ორი უთანასწორობა ავტომატურად ხორციელდება და ეს უკანასკნელი უნდა მოხდეს. მას შემდეგ, რაც რიცხვის კვადრატი არის ნულოვანი, თუ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ნომერი თავად არის ნულოვანი, ჩვენ გვაქვს:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

აღმოჩნდება, რომ უცნაური ლოგარითმი არის ყველა ნომერი, გარდა ნაკაწრები: X ∈ (-∞ 0) ∪ (0; + ∞). ახლა ჩვენ გადავწყვიტეთ მთავარი უთანასწორობა:

ჩვენ განვახორციელეთ გარდამავალი ლოგარითმული უთანასწორობისგან რაციონალურად. თავდაპირველ უთანასწორობას წარმოადგენს "ნაკლებად" ნიშანი, ეს იმას ნიშნავს, რომ მოპოვებული უთანასწორობაც უნდა იყოს "ნაკლებად" ნიშანი. Ჩვენ გვაქვს:

(10 - (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) · x 2< 0;
(3 - x) · (3 + x) · x 2< 0.

ამ გამოხატვის zeros: x \u003d 3; x \u003d -3; x \u003d 0. უფრო მეტიც, X \u003d 0 არის მეორე მულტიპლიკაციის ფესვი, ეს იმას ნიშნავს, რომ ფუნქცია არ იცვლება მასზე გადართვისას. Ჩვენ გვაქვს:

ჩვენ ვიღებთ x ∈ (-9 -3) ∪ (3; + ∞). ეს კომპლექტი მთლიანად შეიცავს OTZ Logarithm- ში, მაშინ ეს არის პასუხი.

ლოგარითმული უთანასწორობის ტრანსფორმაცია

ხშირად, თავდაპირველი უთანასწორობა განსხვავდება ზემოდან. ლოგარითმებთან მუშაობის სტანდარტული წესების მიხედვით ადვილად გამოსწორება ადვილია - იხილეთ "ლოგარითმების ძირითადი თვისებები". კერძოდ:

1. ნებისმიერი რიცხვი არის იდეა, როგორც ლოგარითმი მოცემული ბაზით;
2. თანხა და სხვაობა ლოგარითმებს შორის იგივე ბაზებით შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითით.

ცალკე, მინდა შევახსენო დასაშვები ღირებულებების ფართობი. მას შემდეგ, რაც შეიძლება იყოს რამდენიმე ლოგარითმი თავდაპირველი უთანასწორობით, საჭიროა თითოეული მათგანის otz- ის მოძებნა. ამდენად, ლოგარითმული უთანასწორობის გადაჭრის საერთო სქემა ასეთია:

1. იპოვეთ OTZ ყველა ლოგარითმი, რომელიც შედის უთანასწორობაში;
2. შეამციროს უთანასწორობა სტანდარტული ფორმულები და ლოგარითმების გამოკლება;
3. მოახდინოს უთანასწორობა სქემის მიხედვით.

Დავალება. უთანასწორობის მოგვარება:

ჩვენ ვიპოვებთ პირველი ლოგარითის განსაზღვრულ არეალს (OTZ):

ჩვენ გადავწყვიტეთ ინტერვალის მეთოდი. ჩვენ ვნახავთ მრიცხველის zeros:

3x - 2 \u003d 0;
x \u003d 2/3.

შემდეგ - დენომინატორის zeros:

x - 1 \u003d 0;
x \u003d 1.

ჩვენ აღვნიშნავთ zeros და ნიშნები კოორდინირებული ისრებით:

ჩვენ ვიღებთ x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). OTZ- ის მეორე ლოგარითმი იგივე იქნება. არ მჯერა - შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ახლა ჩვენ გარდაქმნას მეორე ლოგარითმი ისე, რომ ორჯერ იდგა ბაზაზე:

როგორც ხედავთ, ზედა სამი და ლოგარითმის წინ შემცირდა. მიიღო ორი ლოგარითმი იგივე ბაზაზე. ჩვენ მათ ჩამოაყალიბეთ:

შესვლა 2 (x - 1) 2< 2;
შესვლა 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

მიიღო სტანდარტული ლოგარითმული უთანასწორობა. მოშორება ლოგარითმების მიერ ფორმულებით. თავდაპირველი უთანასწორობის შემდეგ არის "ნაკლები" ნიშანი, რის შედეგადაც რაციონალური გამოხატულება უნდა იყოს ნულოვანი. Ჩვენ გვაქვს:

(F (x) - G (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

ორი კომპლექტი მიიღო:

1. OTZ: X ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
2. კანდიდატი: x ∈ (-1; 3).

ეს რჩება ამ კომპლექტების გადაკვეთაზე - ჩვენ ნამდვილ პასუხს მივიღებთ:

ჩვენ ვართ დაინტერესებული კომპლექტი კვეთა, ამიტომ ჩვენ ვირჩევთ ინტერვალით შეღებილი ორივე ისრებით. ჩვენ ვიღებთ x ∈ (-1; 2/3) ∪ (1; 3) - მოსახლეობის ყველა პუნქტი.

მრავალფეროვან ლოგარითმული უთანასწორობისგან ცალკე სწავლობდა ცვლადი ბაზებით. ისინი მოგვარდებიან სპეციალური ფორმულით, რომ რაღაც მიზეზით იშვიათად განუცხადა სკოლაში. პრეზენტაცია წარმოადგენს C3 Ege - 2014- ის ამოცანებს მათემატიკაში.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

Previewing პრეზენტაციები პრეზენტაციები, შექმნათ ანგარიში (ანგარიში) Google და შეხვიდეთ მას: https://accounts.google.com

ხელმოწერები სლაიდებისთვის:

ლოგარითმის ლოგარითის შემცველი ლოგარითმული უთანასწორობის მოგვარება: მეთოდები, ტექნიკა, ეკვივალური გადასვლები მათემატიკის მასწავლებელი Mbou Sosh № 143 Knyazkina T. V.

მრავალფეროვან ლოგარითმული უთანასწორობისგან ცალკე სწავლობდა ცვლადი ბაზებით. ისინი მოგვარდებიან სპეციალური ფორმულის მიხედვით, რაც გარკვეულწილად იშვიათად განუცხადა სკოლაში: log k (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (K (x) - 1) ∨ 0 Checkbox- ის ნაცვლად "∨" თქვენ შეგიძლიათ განათავსოთ უთანასწორობა: მეტ-ნაკლებად. მთავარია, რომ ორივე უთანასწორობის ნიშნები იგივე იყო. ამიტომ ჩვენ დავაღწიოთ ლოგარითმებს და შეამცირონ რაციონალური უთანასწორობის ამოცანა. ეს უკანასკნელი ბევრად უფრო ადვილია, მაგრამ ლოგარითმების გაუქმებისას, დამატებითი ფესვები შეიძლება მოხდეს. შეწყვიტოს, საკმარისია დასაშვები ღირებულებების ფართობი. ნუ დაგავიწყდებათ otz logarithm! ყველა, რაც დაკავშირებულია დასაშვები ღირებულებების ტერიტორიასთან, უნდა იყოს დაწერილი და გადაწყდება ცალკე: F (x)\u003e 0; g (x)\u003e 0; k (x)\u003e 0; K (x) ≠ 1. ეს ოთხი უთანასწორობა ქმნის სისტემას და ერთდროულად უნდა შესრულდეს. როდესაც დასაშვები ღირებულებების ფართობი აღმოჩნდა, ის რჩება რაციონალური უთანასწორობის გზით გადაკვეთა - პასუხი მზად არის.

უთანასწორობის მოგვარება: OTZ ლოგარითმის დაწყების გადაწყვეტილება ავტომატურად შესრულდება პირველი ორი უთანასწორობა და ეს უკანასკნელი უნდა მოხატული. მას შემდეგ, რაც რიცხვის კვადრატი ნულოვანია, თუ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ნომერი არის ნულოვანი, ჩვენ გვაქვს: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. აღმოჩნდება, რომ უცნაური ლოგარითმი არის ყველა ნომერი, გარდა ნულისა: X ∈ (-∞0) ∪ (0; + ∞). ახლა ჩვენ გადავწყვიტეთ მთავარი უთანასწორობა: ჩვენ ვატარებთ გარდამავალი ლოგარითმული უთანასწორობისგან რაციონალურად. თავდაპირველ უთანასწორობას წარმოადგენს "ნაკლებად" ნიშანი, ეს იმას ნიშნავს, რომ მოპოვებული უთანასწორობაც უნდა იყოს "ნაკლებად" ნიშანი.

ჩვენ გვყავს: (10 - (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 - 1)

ლოგარითმული უთანასწორობის ტრანსფორმაცია ხშირად თავდაპირველი უთანასწორობა განსხვავდება ზემოთ. ლოგარითმების მუშაობის სტანდარტული წესების მიხედვით მარტივი გამოსწორება ადვილია. კერძოდ: ნებისმიერი ნომერი წარმოდგენილია როგორც ლოგარითმა მოცემულ საფუძველზე; თანხა და სხვაობა ლოგარითმებს შორის იგივე ბაზებით შეიძლება შეიცვალოს ერთი ლოგარითით. ცალკე, მინდა შევახსენო დასაშვები ღირებულებების ფართობი. მას შემდეგ, რაც შეიძლება იყოს რამდენიმე ლოგარითმი თავდაპირველი უთანასწორობით, საჭიროა თითოეული მათგანის otz- ის მოძებნა. ამრიგად, ლოგარითმული უთანასწორობის გადაჭრის ზოგადი სქემა ასეთია: თითოეული ლოგარითის OTZ- ის მოძებნა უთანასწორობა; შეამციროს უთანასწორობა სტანდარტული ფორმულები და ლოგარითმების გამოკლება; მოახდინოს უთანასწორობა სქემის მიხედვით.

გადაჭრის უთანასწორობას: მე ვიპოვე პირველი ლოგარითმის განსაზღვრის ადგილის (OTZ) გადაწყვეტა: ჩვენ ინტერვალით გადავწყვიტეთ. ჩვენ ვნახავთ მრიცხველის zeros: 3 x - 2 \u003d 0; x \u003d 2/3. შემდეგ - დენომინატორის zeros: x - 1 \u003d 0; x \u003d 1. ჩვენ აღვნიშნავთ Zeros და ნიშნები კოორდინაციას პირდაპირ:

ჩვენ ვიღებთ x ∈ (-∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). OTZ- ის მეორე ლოგარითმი იგივე იქნება. არ მჯერა - შეგიძლიათ შეამოწმოთ. ახლა ჩვენ გარდაქმნას მეორე ლოგარითმი ისე, რომ ბაზაზე იყო ორი: როგორც ხედავთ, ჯარები ბაზაზე და ლოგარითის წინ შემცირდა. მიიღო ორი ლოგარითმი იგივე ბაზაზე. ჩვენ მათ: log 2 (x - 1) 2

(F (x) - G (x)) · (k (x) - 1)

ჩვენ ვართ დაინტერესებული კომპლექტი კვეთა, ამიტომ ჩვენ ვირჩევთ ინტერვალით შეღებილი ორივე ისრებით. ჩვენ ვიღებთ: X ∈ (-1; 2/3) ∪ (1; 3) - otkolot ყველა პუნქტი. პასუხი: x ∈ (-1; 2/3) ∪ (1; 3)

Ege-2014 ტიპის C3- ის ამოცანების გადაწყვეტა

უთანასწორობის სისტემის მოგვარება. Ost:  1) 2)

გადაწყვიტოს უთანასწორობის სისტემა 3) -7 -3 - 5 X -1 + + + - - (გაგრძელება)

უთანასწორობის სისტემის გადაჭრა 4) ზოგადი გადაწყვეტა: და -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (გაგრძელება)

გადაწყვიტოს უთანასწორობა (გაგრძელება) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

გადაწყვიტოს უთანასწორობის გადაწყვეტა. Otz: 

უთანასწორობის მოგვარება (გაგრძელება)

გადაწყვიტოს უთანასწორობის გადაწყვეტა. OST:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2

ისინი შიგნით ლოგარითმშია.

მაგალითები:

\\ (\\ log_3\u2061x≥ \\ log_3\u20619 \\)
\\ (\\ log_3\u2061 ((x ^ 2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\\ (\\ log_ (x + 1) \u2061 ((x ^ 2 + 3x-7))\u003e 2 \\)
\\ (\\ lg ^ 2\u2061 ((x + 1)) + 10½11 \\ \\ lg\u2061 ((x + 1)) \\)

როგორ უნდა მოგვარდეს ლოგარითმული უთანასწორობა:

ნებისმიერი ლოგარითმული უთანასწორობა უნდა იბრძოლონ ფორმა \\ (\\ log_a\u2061 (f (x)) \\ log_a (\u2061g (x)) \\) (სიმბოლო \\ (\\ \\) ნიშნავს). ეს სახეობები საშუალებას გაძლევთ მოშორებით ლოგარითმებსა და მათ საფუძვლებზე, რათა შეიცავდეს ლოგარითმების ქვეშ გამოხატვის უთანასწორობას, ანუ ფორმა \\ (f (x) ˅ g (x) \\).

მაგრამ ამ გარდამავალი შესრულებისას არის ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი subtlety:
\\ (- \\) თუ ნომერი და 1-ზე მეტია, გარდაცვალების დროს უთანასწორობის ნიშანი იგივეა,
\\ (- \\) თუ ბაზა 0-ზე მეტი რიცხვია, მაგრამ პატარა 1 (ნულოვანი და ერთეულს შორის), მაშინ უთანასწორობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს საპირისპირო, ანუ.

Ძალიან მნიშვნელოვანი! ნებისმიერი უთანასწორობით, ფორმა \\ (\\ log_a (\u2061f (x)) \\ log_a\u2061 (g (x)) \\ log_a\u2061 (g (x)) \\ logarithms- ის გამონათქვამების შედარებით მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ:

მაგალითი . უთანასწორობის მოგვარება: \\ (\\ log \\) \\ (≤-1 \\)

გადაწყვეტილება:

მაგალითი . უთანასწორობის მოგვარება: \\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\)

გადაწყვეტილება:

მარტივი ლოგარითმული უთანასწორობისა და უთანასწორობის, სადაც ლოგარითმის საფუძველია, წარსულში გაკვეთილი განვიხილეთ.

და რა მოხდება, თუ ლოგარითის ბოლოში ცვლადი ხარჯავს?

შემდეგ ჩვენ შევძლებთ სამაშველოში უთანასწორობის რაციონალიზაცია.იმის გაგება, თუ როგორ მუშაობს, მოდით განვიხილოთ, მაგალითად, უთანასწორობა:

$$ \\ log_ (2x) x ^ 2\u003e \\ log_ (2x) x. $$

როგორც ეს უნდა იყოს, დავიწყოთ ...

კენტი

$$ \\ \\ მარცხნივ [\\ დასაწყისი (array) (l) x\u003e 0, \\\\ 2x ≠ 1. \\ end (array) \\ right. $$

უთანასწორობის გადაწყვეტა

მოდით ვილაპარაკოთ, თითქოს ჩვენ გადავწყვიტეთ ფიქსირებული ბაზის უთანასწორობა. თუ ბაზა უფრო მეტი ერთეულია, ლოგარითმების მოშორება და უთანასწორობის ნიშანი არ იცვლება, თუ ერთეულის ცვლილებების ნაკლებია.

ჩვენ დავწერთ მას, როგორც სისტემა:

$$ \\ მარცხნივ [\\ დასაწყისი (array) (l) \\ \\ მარცხენა \\ \\\\ (\\ დაწყება (array) (l) 2x\u003e 1, \\\\ x ^ 2\u003e x; \\ end (array) \\ right. \\\\ \\ left \\ (\\ დასაწყისი (მასივი) (ლ) 2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

შემდგომი მსჯელობისთვის, ჩვენ დავამთავრებთ ყველა უფროს ნაწილს უთანასწორობის მარცხნივ.

$$ \\ \\ მარცხნივ [\\ დასაწყისი) (ლ) \\ \\ "\\\\" (ლ) 2x-1\u003e 0, \\\\ x ^ 2 -X\u003e 0; \\ END (Array) \\\\ \\ \\ Left \\ (\\ დასაწყისი (array) (l) 2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

რას ვაკეთებდით? აღმოჩნდა, რომ ჩვენ გვჭირდება, რომ გამონათქვამები `2x-1` ^ ^ 2 - x` ერთდროულად დადებითი ან უარყოფითი იყო. იგივე შედეგი აღმოჩნდება, თუ უთანასწორობის გადალახვაა:

$$ (2x-1) (X ^ 2 - x)\u003e 0. $$

ეს უთანასწორობა, ისევე როგორც ორიგინალური სისტემა სწორად, თუ ორივე მულტიპლიკატორი ან დადებითი ან უარყოფითი. შესაძლებელია ლოგარითმული უთანასწორობა რაციონალურად წასვლა (OTZ- ის გათვალისწინებით).

ფორმული ლოგარითმული უთანასწორობის რაციონალიზაციის მეთოდი $$ \\ log_ (f (x)) G (x) \\ vee \\ log_ (f (x)) h (x) \\ leftrightarrow (f (x) - 1) (g (x) -h (x)) \\ VEE 0, $$ სადაც `\\ vee` არის უთანასწორობის ნიშანი. ("\u003e`\u003e "შესვლა, ჩვენ უბრალოდ შეამოწმა ფორმულის სამართლიანობა. დანარჩენი, მე ვთავაზობ საკუთარ თავს - ის უკეთესად გაიხსენებს).

დავუბრუნდეთ ჩვენს უთანასწორობას. ფრჩხილების გასწორება (უკეთესი ხილული ნულოვანი ფუნქციისთვის), ჩვენ მივიღებთ

$$ (2x-1) x (x - 1)\u003e 0. $$

ინტერვალის მეთოდი შემდეგ სურათს მისცემს:

(მას შემდეგ, რაც უთანასწორობა არის მკაცრი და ინტერვალით მთავრდება არ არის დაინტერესებული, ისინი არ არის მოხატული.) როგორც ჩანს, ინტერვალით კმაყოფილია OTZ. მიღებული: `(0, \\ frac (1) (2)) \\ cup (1, ∞)`.

მეორე მაგალითია. მოგვარების ლოგარითმული უთანასწორობა ცვლადი ბაზებით

$$ \\ log_ (2-x) 3 \\ leqslant \\ log_ (2-x) x. $$

კენტი

$$ \\ left \\ left \\ (\\ დაწყება (array) (l) 2-x\u003e 0, \\\\ 2-x ≠ 1, \\\\ x\u003e 0. \\ end (array) \\ right. $$

$$ \\ მარცხნივ \\ (\\ დასაწყისი (მასივი) (ლ) x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x > 0. \\ END (Array) \\ Right. $$

უთანასწორობის გადაწყვეტა

მხოლოდ ჩვენ მივიღეთ ლოგარითმული უთანასწორობის რაციონალიზაცია, ჩვენ ვიღებთ, რომ ეს უთანასწორობა იდენტურია (OTZ- ის გათვალისწინებით):

$$ (2-x -1) (3-x) \\ leqslant 0. $$

$$ (1-x) (3-x) \\ leqslant 0. $$

ამ გადაწყვეტილების კომბინაციით OTZ- თან ერთად, პასუხი მივიღებთ: `(1,2)`.

მესამე მაგალითი. ლოგარითმი ფრაქცია

$$ \\ log_x \\ frac (4x + 5) (6-5x) \\ leqslant -1. $$

კენტი

$$ \\ მარცხნივ \\ (\\ დასაწყისი (array) (l) \\ dfrac (4x + 5) (6-5x)\u003e 0, \\\\ x\u003e 0, \\\\ x ≠ 1. \\ END (Array) \\ RIGHT. $ $

მას შემდეგ, რაც სისტემა შედარებით რთულია, დაუყოვნებლივ გავაგრძელოთ რიცხვითი ღერძზე უთანასწორობა:

ასე რომ, OTZ: `(0,1) \\ თასი \\ left (1, \\ frac (6) (5) \\ right)`.

უთანასწორობის გადაწყვეტა

წარმოიდგინეთ `-1` Logarithm- ის სახით ბაზა" x "

$$ \\ log_x \\ frac (4x + 5) (6-5x) \\ leqslant \\ log_x x ^ (- 1). $$$$

ვია ლოგარითმული უთანასწორობის რაციონალიზაცია ჩვენ რაციონალური უთანასწორობა მივიღებთ:

$$ (x-1) \\ მარცხენა (\\ frac (4x + 5) (6-5x) - \\ frac (1) \\ right) \\ leqslant0, $$

$$ (x-1) \\ მარცხნივ (\\ frac (4x ^ 2 + 5x - 6 + 5x) (x (6-5x)) \\ right) \\ leqslant0, $$

$$ (x-1) \\ left (\\ frac (2x ^ 2 + 5x - 3) (x (6-5x)) \\ right) \\ leqslant0. $$$$$$