ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება ონლაინ რეჟიმში. ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების იდენტური ტრანსფორმაციები

-ში იდენტური ტრანსფორმაციები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები შეიძლება გამოყენებულ იქნას შემდეგი ალგებრული ტექნიკა: იგივე პირობების დამატება და გამოკლება; ფრჩხილების საერთო ფაქტორი; გამრავლება და გაყოფა იმავე ღირებულებით; შემოკლებით გამრავლების ფორმულების გამოყენება; სრული კვადრატის გამოყოფა; მოედანზე დაშლა სამი გადაწყვეტილებაა მულტიპლიკატორებზე; ახალი ცვლადების შესავალი ტრანსფორმაციის გამარტივების მიზნით.

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების ტრანსფორმაციებში, რომელიც შეიცავს ფრაქციებს, შესაძლებელია გამოიყენოთ პროპორციული თვისებები, ფრაქციების შემცირება ან საერთო დენომინატორისთვის ფრაქციების შემოტანა. გარდა ამისა, თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნაწილი ფრაქცია, გამრავლების მრიცხველის და denominator ფრაქცია იმავე ღირებულებას, ისევე როგორც, თუ შესაძლებელია, გაითვალისწინოს მრიცხველის ან დენომინატორის ერთიანობა. საჭიროების შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ წარმოადგინოთ ფრაქცია თანხის სახით ან რამდენიმე მარტივი ფრაქციის სხვაობა.

გარდა ამისა, ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების ტრანსფორმირების ყველა საჭირო მეთოდის გამოყენება აუცილებელია მუდმივად გაითვალისწინოს გარდაიქმნება გამონათქვამების დაბრკოლებებზე.

განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1.

გამოთვალეთ \u003d (2x - π) · Cos (3π - x) + Sin (2x - 9π / 2) · Cos (x + π / 2)) 2 + (cos (x - π / 2) · Cos ( 2x - 7π / 2)
+ sin (3π / 2 - x) · SIN (2x -5π / 2)) 2

გადაწყვეტილება.

შემოტანილი ფორმულადან:

sIN (2x - π) \u003d -Sin 2x; Cos (3π - x) \u003d -cos x;

sIN (2x - 9π / 2) \u003d -COS 2X; cos (x + π / 2) \u003d -Sin x;

cos (x - π / 2) \u003d SIN X; Cos (2x - 7π / 2) \u003d -Sin 2x;

ცოდვა (3π / 2 - x) \u003d -COS X; SIN (2x - 5π / 2) \u003d -COS 2X.

სად არის ფორმულა არგუმენტებისა და ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის დამატებით, ჩვენ მივიღებთ

A \u003d (Sin 2x + Cos 2x + Cos 2x · Sin x) 2 + (-Sin x · Sin 2x + cos x · Cos 2x 2x) 2 \u003d Sin 2 (2x + x) + COS 2 (x + 2x) \u003d
\u003d SIN 2 3X + COS 2 3X \u003d 1

პასუხი: 1.

მაგალითი 2.

კონვერტაციის გამოხატვა M \u003d cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β - Sin (α + β) · Sin γ + cos γ.

გადაწყვეტილება.

არგუმენტების დამატებით ფორმულები და ფორმულები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამის კონვერტაციისთვის შესაბამისი დაჯგუფების შემდეგ

M \u003d (COS (α + β) · Cos γ - Sin (α + β) · Sin γ) + Cos α + (cos β + cos γ) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · Cos ((β - γ) / 2) + (Cos α + cos (α + β + γ)) \u003d

2COS ((β + γ) / 2) · Cos ((β - γ) / 2) + 2cos (α + (β + β + γ) / 2) · Cos ((β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) (cos ((β - γ) / 2) + cos (α + (β + γ) / 2)) \u003d

2cos ((β + γ) / 2) · 2cos ((β - γ) / 2 + α + + (β + γ) / 2) / 2) · Cos ((β - γ) / 2) - (α + ( β + γ) / 2) / 2) \u003d

4COS ((β + γ) / 2) · Cos ((α + β) / 2) · Cos ((α + γ) / 2).

პასუხი: M \u003d 4cos ((α + β) / 2) · Cos ((α + γ) / 2) · Cos ((β + γ) / 2).

მაგალითი 3..

აჩვენეთ ეს გამოთქმა \u003d COS 2 (x + π / 6) - Cos (x + π / 6) · Cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) იღებს ყველა x- სგან ერთი და იგივე მნიშვნელობა. იპოვეთ ეს მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება.

ამ პრობლემის მოსაგვარებლად ორი გზა მივცემთ. სრული მეთოდის გამოყენებით სრული კვადრატული შერჩევით და შესაბამისი ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) · cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x · Sin 2 π / 6 + 1/2 (COS 2x + cos π / 3) \u003d

Sin 2 x + 1/2 · Cos 2x + 1/4 \u003d 1/2 · (1 - COS 2X) + 1/2 · Cos 2x + 1/4 \u003d 3/4.

პრობლემის გადაჭრით მეორე გზით, ჩვენ ვგულისხმობთ ფუნქციას X- დან R და გამოთვალეთ მისი წარმოებული. ტრანსფორმაციის შემდეგ, ჩვენ მივიღებთ

A '\u003d -2COS (x + π / 6) · Sin (x + π / 6) + (sin (x + π / 6) · cos (x - π / 6) + cos (x + π / 6) · · sin (x + π / 6)) - 2cos (x - π / 6) · SIN (X - π / 6) \u003d

Sin 2 (x + π / 6) + sin ((x + π / 6) + (x - π / 6)) - sin 2 (x - π / 6) \u003d

Sin 2x - (Sin (2x + π / 3) + Sin (2x - π / 3)) \u003d

Sin 2x - 2sin 2x · Cos · Cos · / 3 \u003d SIN 2X - SIN 2X ≡ 0.

აქედან, ინტერვალით განსხვავებული ფუნქციის კრიტერიუმების გამო, ჩვენ დავასკვნათ, რომ

A (x) ≡ (0) \u003d COS 2 π / 6 - Cos 2 π / 6 + cos 2 π / 6 \u003d (√3 / 2) 2 \u003d 3/4, X € R.

პასუხი: a \u003d 3/4 x € რ

ტრიგონომეტრიული იდენტობის მტკიცებულების ძირითადი მეთოდებია:

მაგრამ) იდენტობის მარცხენა ნაწილის შემცირება შესაბამისი ტრანსფორმაციის სწორი გზით;
ბ) მარცხნივ იდენტობის მარჯვენა მხარეს შემცირება;
სისტემაში იდენტობის მარჯვენა და მარცხენა ნაწილების შემცირება იმავე ფორმით;
დ) გონება ნულოვანი განსხვავება მარცხნივ და მარჯვენა ნაწილებს შორის დამადასტურებელი პიროვნება.

მაგალითი 4.

შეამოწმეთ, რომ COS 3x \u003d -4COS X · Cos (x + π / 3) · Cos (x + 2π / 3).

გადაწყვეტილება.

ამ პირადობის მარჯვენა მხარეს კონვერტაცია შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფორმულების მიხედვით, ჩვენ გვაქვს

4COS X · Cos (X + π / 3) · Cos (x + 2π / 3) \u003d

2cos x · (cos (x + π / 3) + (x + 2π / 3)) + cos ((x + π / 3) - (x + 2π / 3))) \u003d

2cos x · (cos (2x + π) + cos π / 3) \u003d

2cos x · Cos 2x - cos x \u003d (COS 3x + cos x) - cos x \u003d cos 3x.

იდენტობის მარჯვენა მხარეს მცირდება მარცხნივ.

მაგალითი 5.

დაამტკიცეთ, რომ Sin 2 α + Sin 2 β + Sin 2 γ - 2COS α α α α α β γ γ \u003d 2, თუ α, β, γ არის სამკუთხედის შიდა კუთხეები.

გადაწყვეტილება.

იმის გათვალისწინებით, რომ α, β, γ - ზოგიერთი სამკუთხედის შიდა კუთხეები, ჩვენ ამას

α + β + γ \u003d π და, აქედან გამომდინარე, γ \u003d π - α - β.

sin 2 α + Sin 2 β + Sin 2 γ - 2cos α cos γ \u003d

Sin 2 α + Sin 2 β + Sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) \u003d

Sin 2 α + Sin 2 β + Sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) · (cos (α + β) \u003d

Sin 2 α + Sin 2 β + (Sin 2 (α + β) + Cos 2 (α + β)) + cos (α - β) · (cos (α + β) \u003d

1/2 · (1 - cos 2 α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (COS 2 ა + COS 2β) \u003d 2.

თავდაპირველი თანასწორობა დადასტურებულია.

მაგალითი 6.

იმის დასამტკიცებლად, რომ ერთ-ერთი კუთხით α, β, სამკუთხედის სამკუთხედის 60 °, აუცილებელია და საკმარისია SIN 3α + SIN 3β + SIN 3γ \u003d 0.

გადაწყვეტილება.

ამ ამოცანის მდგომარეობა გულისხმობს ორივე საჭიროებისა და საკმარისობის მტკიცებულებას.

პირველი დაამტკიცეთ აუცილებლობა.

თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ ეს

sin 3a + Sin 3β + Sin 3γ \u003d -4COS (3A / 2) · Cos (3β / 2) · Cos (3γ / 2).

აქედან გამომდინარე, იმის გათვალისწინებით, რომ COS (3/2 · 60 °) \u003d COS 90 ° \u003d 0, ჩვენ მივიღეთ, რომ თუ ერთი კუთხე α, β ან γ არის 60 °, მაშინ

cos (3A / 2) · Cos (3β / 2) · Cos (3γ / 2) \u003d 0 და, შესაბამისად, Sin 3 α + Sin 3β + Sin 3γ \u003d 0.

ჩვენ ახლა დავამტკიცებთ ადაპასტური მითითებული მდგომარეობა.

თუ Sin 3 ai + Sin 3β + Sin 3γ \u003d 0, მაშინ Cos (3A / 2) · Cos (3β / 2) · Cos (3γ / 2) \u003d 0, ამიტომ

ან COS (3α / 2) \u003d 0, ან COS (3β / 2) \u003d 0, ან COS (3γ / 2) \u003d 0.

აქედან გამომდინარე,

ან 3 α / 2 \u003d π / 2 + πk, I.E. α \u003d π / 3 + 2πk / 3,

ან 3β / 2 \u003d π / 2 + πk, I.E. β \u003d π / 3 + 2πk / 3,

ან 3γ / 2 \u003d π / 2 + πk,

ისინი. γ \u003d π / 3 + 2πk / 3, სადაც k ε z.

ის ფაქტი, რომ α, β, γ არის სამკუთხედის კუთხეები, ჩვენ გვაქვს

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

ამიტომ, α \u003d π / 3 + 2πk / 3 ან β \u003d π / 3 + 2πk / 3 ან

γ \u003d π / 3 + 2πk / 3 ყველა kεz განკუთვნილია მხოლოდ k \u003d 0.

საიდანაც ის შემდეგნაირად, რომ ან α \u003d π / 3 \u003d 60 °, ან β \u003d π / 3 \u003d 60 °, ან γ \u003d π / 3 \u003d 60 °.

განცხადება დადასტურებულია.

აქვს კითხვები? არ ვიცი, როგორ გამარტივდეს ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები?
მასწავლებლის მისაღებად დახმარება - რეგისტრაცია.
პირველი გაკვეთილი თავისუფალია!

საჭიროა ორიგინალური წყაროს მატერიალური მითითების სრული ან ნაწილობრივი კოპირება.

სექციები: მათემატიკა

Კლასი: 11

Გაკვეთილი 1.

თემა: Grade 11 (მომზადება გამოყენებისათვის)

ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება.

მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლების გადაწყვეტა. (2 საათი)

მიზნები:

• Systematize, შეჯამება, გაფართოების, ცოდნისა და უნარების ცოდნა, რომელიც დაკავშირებულია Trigonometry ფორმულების გამოყენებასთან დაკავშირებით და მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების გადაწყვეტას.

გაკვეთილისთვის აღჭურვილობა:

გაკვეთილის სტრუქტურა:

1. Orgmoment
2. ლეპტოპებზე ტესტირება. შედეგების განხილვა.
3. ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება
4. მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლების გადაწყვეტა
5. დამოუკიდებელი მუშაობა.
6. გაკვეთილის შედეგი. სახლის ამოცანის ახსნა.

1. ორმხრივი. (2 წუთი.)

პედაგოგი მიესალმება აუდიტორიას, აცხადებს გაკვეთილის საგანი, შეახსენებს, რომ ამოცანა ადრე იყო განმეორებითი ტრიგონომეტრიის ფორმულები და სტუდენტების შესამოწმებლად.

2. ტესტირება. (15min + 3min დისკუსია)

მიზანია ტრიგონომეტრიული ფორმულების ცოდნა და მათი გამოყენების უნარი. თითოეულ სტუდენტს აქვს ლეპტოპი მაგიდა, რომელშიც ტესტი ვერსიაა.

პარამეტრები შეიძლება იყოს ისეთივე, როგორიც მოგეწონება, ერთი მათგანის მაგალითს მივცემ:

მე ვარ ვარიანტი.

გამარტივების გამოხატვა:

ა) ძირითადი ტრიგონომეტრიული ვინაობა

1. SIN 2 3 3 + COS 2 3Y + 1;

ბ) ფორმულების დამატება

3. Sin5x - Sin3x;

გ) მუშაობის ტრანსფორმაცია ოდენობით

6. 2sin8y cos3y;

დ) ორმაგი კუთხე ფორმულა

7. 2sin5x cos5x;

ე) ნახევარი კუთხეები

ე) სამმაგი კუთხეების ფორმულები

ზ) უნივერსალური ჩანაცვლება

თ) ქვედა ხარისხი

16. COS 2 (3x / 7);

ლეპტოპზე მოსწავლეები ყოველ ფორმულას საპირისპირო პასუხობენ.

მუშაობა მყისიერად ამოწმებს კომპიუტერს. შედეგები ნაჩვენებია დიდ ეკრანზე უნივერსალური ფერისისთვის.

ასევე, სამუშაოს დასრულების შემდეგ, სწორი პასუხები ლაპტოპებზეა ნაჩვენები. თითოეული სტუდენტი ხედავს, სადაც შეცდომა ხდება, და რა ფორმულები უნდა გავიმეოროთ.

3. ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება. (25 წთ.)

მიზანი არის განმეორებითი, შეიმუშაოს და გააძლიეროს ტრიგონომეტრიის ძირითადი ფორმულების გამოყენება. ამოცანების გადაჭრა B7 გამოცდისგან.

ამ ეტაპზე, კლასი მიზანშეწონილია გაყოფილი ჯგუფების ძლიერი (მუშაობა დამოუკიდებლად მოჰყვა შემოწმებას) და სუსტი სტუდენტები, რომლებიც მუშაობენ პედაგოგთან.

ამოცანა ძლიერი სტუდენტებისათვის (მომზადებული ბეჭდური საფუძველზე). ძირითადი აქცენტი გაკეთებულია 2011 წლის Ege 2011- ის მიერ შემოტანილი და ორმაგი კუთხის ფორმულაზე.

გამარტივება გამონათქვამები (ძლიერი სტუდენტებისათვის):

პარალელურად, პედაგოგი სუსტ სტუდენტებთან ერთად მუშაობს, რომლებიც განიხილავენ ეკრანზე ამოცანების მოსწავლეთა კარნახით.

გამოთვალეთ:

5) Sin (270º - α) + Cos (270º + α)

6)

გამარტივება:

ძლიერი ჯგუფის შედეგების განხილვა იყო.

ეკრანზე გამოჩნდება პასუხები, ასევე, ვიდეოკამერის დახმარებით, ნაჩვენებია 5 სხვადასხვა სტუდენტი (თითოეული ამოცანა თითოეული).

სუსტი ჯგუფი ხედავს მდგომარეობას და გამოსავალი მეთოდს. არსებობს დისკუსია და ანალიზი. ტექნიკური საშუალებების გამოყენება სწრაფად ხდება.

4. მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების გადაწყვეტა. (30 წუთი.)

მიზანია გავიმეოროთ, სისტემატიზაცია და შეჯამება მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების გადაწყვეტა, ჩაწერეთ მათი ფესვები. პრობლემის მოგვარება B3.

ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული განტოლება, არ აქვს მნიშვნელობა, თუ როგორ გადაჭრას, იწვევს მარტივი.

ამოცანების შესრულებისას მოსწავლეები უნდა გადაიხადონ სპეციალური შემთხვევების განტოლების ფესვებისა და ზოგადი ფორმით და ბოლო განტოლებაში ფესვების შერჩევისას.

განტოლებების მოგვარება:

საპასუხოდ პატარა დადებითი ფესვის დაწერის საპასუხოდ.

5. დამოუკიდებელი მუშაობა (10 წთ.)

მიზანი არის, რათა შეამოწმოთ უნარების, პრობლემების იდენტიფიცირებას, შეცდომები და მათი აღმოფხვრის გზები.

იგი შემოთავაზებულია vulneravas მუშაობა აირჩიოს სტუდენტი.

ვარიანტი "3"

1) იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

2) გამარტივება გამოხატვა 1 - SIN 2 3 ა - COS 2 3 ა

3) მოგვარება განტოლება

ვარიანტი "4"

1) იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა

2) მოგვარება განტოლება საპასუხოდ პატარა დადებითი ფესვის დაწერის საპასუხოდ.

ვარიანტი "5"

1) იპოვეთ TGA თუ

2) იპოვეთ განტოლების ფესვი საპასუხოდ, დაწერეთ პატარა პოზიტიური ფესვი.

6. შედეგი გაკვეთილი (5 წთ.)

პედაგოგი აჯამებს, რომ ტრიგონომეტრიული ფორმულები, მარტივი ტრიგონომეტრიული განტოლებების გადაწყვეტა, განმეორდა და გაკვეთილი იყო.

საშინაო არის (მომზადებულია დაბეჭდილი საფუძველზე წინასწარ) ერთად შერჩევითი შემოწმება მომდევნო გაკვეთილი.

განტოლებების მოგვარება:

9)

10) საპასუხოდ მიუთითეთ ყველაზე პატარა დადებითი ფესვი.

გაკვეთილი 2.

თემა: Grade 11 (მომზადება გამოყენებისათვის)

ტრიგონომეტრიული განტოლებების გადაწყვეტილებების მეთოდები. ფესვების შერჩევა. (2 საათი)

მიზნები:

• შეჯამება და სისტემატიზაცია ცოდნა სხვადასხვა ტიპის ტრიგონომეტრიული განტოლების მოსაგვარებლად.
• ხელი შეუწყოს მათემატიკური აზროვნების სტუდენტები, უნარი დაიცვან, შედარება, შეჯამება, classify.
• გადატანა სტუდენტები სირთულეების პროცესში ფსიქიკური საქმიანობის, თავშეკავება, თვითანალიზის საქმიანობას.

გაკვეთილისთვის აღჭურვილობა: Crum, ლაპტოპები თითოეული სტუდენტი.

გაკვეთილის სტრუქტურა:

1. Orgmoment
2. დისკუსია D / S და SAMOT. ბოლო გაკვეთილის მუშაობა
3. ტრიგონომეტრიული განტოლებების გადაწყვეტილებების გამეორება.
4. ტრიგონომეტრიული განტოლებების გადაჭრა
5. ტრიგონომეტრიული განტოლების ფესვების შერჩევა.
6. დამოუკიდებელი მუშაობა.
7. გაკვეთილის შედეგი. Საშინაო დავალება.

1. Orgmoment (2 წთ.)

მასწავლებელი მიესალმება დამსწრე საზოგადოებას, აცხადებს გაკვეთილის თემა და სამუშაო გეგმა.

ა) საშინაო დავალება (5 წთ.)

მიზანი არის აღსრულების შემოწმება. ერთი სამუშაო ვიდეოკამერის გამოყენებით ეკრანზე არის ნაჩვენები, დანარჩენი შერჩევით აპირებს მასწავლებლის შემოწმებას.

ბ) დამოუკიდებელი სამუშაოს ანალიზი (3 წთ.)

მიზანი არის შეცდომები, მიუთითოთ დაძლევა მათ.

ეკრანზე პასუხები და გადაწყვეტილებები, სტუდენტები წინასწარ გაცემული მათი მუშაობა. ანალიზი სწრაფად არის.

3. განმეორება მეთოდების გადაჭრის ტრიგონომეტრიული განტოლებები (5 წთ.)

მიზანია, რომ გავიხსენოთ მეთოდები გადაჭრის ტრიგონომეტრიული განტოლებები.

ჰკითხეთ სტუდენტებს, რა მეთოდებს ტრიგონომეტრიული განტოლებების გადაწყვეტილებებს იცნობენ. ხაზგასმით აღვნიშნოთ, რომ არსებობს ე.წ. ძირითადი (ხშირად გამოყენებული) მეთოდები:

• ჩანაცვლება ცვლადი
• ფაქტორიზაცია,
• ერთგვაროვანი განტოლებები

და გამოყენებითი მეთოდები:

• თანხის ოდენობის ტრანსფორმაციის ფორმულების მიხედვით, თანხა,
• შემცირების ფორმულების მიხედვით,
• უნივერსალური Trigonometric ჩანაცვლება
• დამხმარე კუთხის დანერგვა
• გამრავლების ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია.

ასევე აუცილებელია გავიხსენოთ, რომ ერთი განტოლება შეიძლება მოგვარდეს სხვადასხვა გზით.

4. ტრიგონომეტრიული განტოლებების გადაწყვეტა (30 წთ.)

მიზანი არის ამ თემაზე ცოდნისა და უნარ-ჩვევების დაკმაყოფილება და კონსოლიდაცია, გამოცდისგან C1- ის გადაწყვეტილების მომზადება.

მიმაჩნია, რომ შესაბამისი თითოეული მეთოდით განტოლება სტუდენტებთან ერთად.

სტუდენტი იღებს გადაწყვეტილებას, მასწავლებლის ჩანაწერებს ტაბლეტზე, მთელ პროცესს ეკრანზე გამოჩნდება. ეს საშუალებას მოგცემთ სწრაფად და ეფექტურად აღდგენას ადრე გავიდა მასალა.

განტოლებების მოგვარება:

1) შეცვლის ცვლადი 6cos 2 x + 5sinx - 7 \u003d 0

2) 3cos მულტიპლიკატორის დაშლა (x / 3) + 4cos 2 (x / 3) \u003d 0

3) უნიფიცირებული განტოლებები Sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x \u003d 0

4) ტრანსფორმირება თანხა COS5X + COS7X \u003d COS (π + 6x)

5) პროდუქტის კონვერტაცია 2sinx sin2x + cos3x \u003d 0

6) Sin2X - Sin 2 2x + Sin 2 3x \u003d 0.5

7) უნივერსალური Trigonometric ჩანაცვლება Sinx + 5cosx + 5 \u003d 0.

ამ განტოლების მოგვარება, უნდა აღინიშნოს, რომ ამ მეთოდის გამოყენება იწვევს დეფინიციის არეალის შევიწროებას, რადგან სინუსი და კოსინი შეიცვალა TG (X / 2). აქედან გამომდინარე, პასუხი გასვლამდე, თქვენ უნდა შეამოწმოთ თუ არა ნომრები, რომლებიც მზადდება კომპლექტი π + 2πn, n z ცხენები ამ განტოლების.

8) დამხმარე კუთხის დანერგვა √3sinx + cosx - √2 \u003d 0

9) გამრავლების ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია Cosx Cos2X Cos4x \u003d 1/8.

5. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ფესვების შერჩევა (20 წთ.)

მას შემდეგ, რაც მკაცრი კონკურენციის დროს უნივერსიტეტებში შესვლისას, გამოცდის ერთი პირველი ნაწილის გადაწყვეტა არ არის საკმარისი, მაშინ ყველაზე მოსწავლეები ყურადღებას უთმობენ მეორე ნაწილის (C1, C2, C3) ამოცანებს.

აქედან გამომდინარე, ოკუპაციის ამ ეტაპის მიზანი არის ადრე შესწავლილი მასალა, 2011 წლის C1 პრობლემის მოგვარების მიზნით.

არსებობს Trigonometric განტოლებები, რომელშიც ფესვების შერჩევა უნდა შეირჩეს, როდესაც პასუხი გაწერილია. ეს არის გარკვეული შეზღუდვები, მაგალითად: ფრაქციის დენომინატორი არ არის ნულოვანი, თუნდაც ხარისხის ფესვთა გამოხატულება არეგულირებს ლოგარითის ნიშანს, დადებითად და ა.შ.

ასეთი განტოლებები ითვლება გაზრდილი სირთულის განტოლებებზე და გამოყენების ვერსიაში მეორე ნაწილში, კერძოდ C1.

განტოლების მოგვარება:

ფრაქცია არის ნულოვანი თუ მაშინ ერთი წრის გამოყენებით, ჩვენ გავაკეთებთ ძირეული შერჩევას (იხ. სურათი 1)

სურათი 1.

ჩვენ მივიღებთ x \u003d π + 2πn, n z

პასუხი: π + 2πn, n z

ეკრანზე, ფესვების შერჩევა ფერის გამოსახულებაში წრეზეა ნაჩვენები.

მუშაობა არის ნულოვანი, როდესაც მინიმუმ ერთი მულტიპლიკერი არის ნულოვანი და რკალი, ხოლო, არ დაკარგავს აზრს. მაშინ

ერთი წრის დახმარებით, ფესვების შენახვა (იხ. სურათი 2)

ვიდეო გაკვეთილი "ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივება" განკუთვნილია სტუდენტებისთვის უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბებისათვის ტრიკონომეტრიული პრობლემების მოგვარებაში ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის გამოყენებით. ვიდეოს სამეურვეო, ტრიგონომეტრიული იდენტობის ტიპები, მათი გამოყენების პრობლემების მოგვარების მაგალითები. ვიზუალური სახელმძღვანელოს გამოყენება, მასწავლებელი უფრო ადვილია გაკვეთილის მიზნების მისაღწევად. მატერიალური ნათელი პრეზენტაცია ხელს უწყობს მნიშვნელოვან საკითხებს. ანიმაციური ეფექტების გამოყენება და ჟღერადობა საშუალებას იძლევა, მასწავლებლის მატერიალური ახსნა-განმარტების ფაზაში მთლიანად შეცვალოს. ამდენად, ამ ვიზუალური დახმარების გამოყენება მათემატიკის გაკვეთილებში, მასწავლებელს შეუძლია გაზარდოს სწავლის ეფექტურობა.

ვიდეოს დასაწყისში, მისი თემა გამოცხადდა. მაშინ ტრიგონომეტრიული ვინაობა ადრე შესწავლილი იქნა. ეკრანი აჩვენებს თანასწორობას 2 t + cos 2 t \u003d 1, tg t \u003d sin t / cos t, სადაც t ≠ π / 2 + πk for kεz, ctg t \u003d cos t / sin t, სწორი t ≠ πk, სადაც kεz, tg t \u003d c \u003d 1, t ≠ πk / 2, სადაც kεz, მოუწოდა ძირითადი ტრიგონომეტრიული ვინაობა. აღსანიშნავია, რომ ეს ვინაობა ხშირად გამოიყენება ამოცანების გადაჭრისას, სადაც აუცილებელია თანასწორობის დამტკიცება ან გამოხატვის გამარტივება.

მაგალითები ითვლება ამოცანების გადაჭრის პირადობის გამოყენების მაგალითებზე. პირველ რიგში, იგი შემოთავაზებულია განიხილოს ამოცანების გააქტიურება გამოხატვის გამარტივების მიზნით. მაგალითად, 1, აუცილებელია გამარტივდეს გამოხატვის COS 2 T- COS 4 T + SIN 4 T. მაგალითის მოსაგვარებლად, ზოგადი მულტიპლიკატორი COS 2 T არის წარმოდგენილი ფრჩხილებში. ფრჩხილებში ასეთი ტრანსფორმაციის შედეგად, გამოხატულება 1-COS 2 T არის მიღებული, რომლის ღირებულებაც ტრიგონომეტრიის ძირითად ვინაობას წარმოადგენს SIN 2 T. გამოხატვის კონვერტაციის შემდეგ, კიდევ ერთი ზოგადი მულტიპლიკატორის ბრწყინვალების გათხრების შესაძლებლობა აშკარაა, რის შემდეგაც გამოხატულებაა ცოდვის ტიპი 2 T (SIN 2 T + COS 2 T). იმავე ძირითადი იდენტობით, ჩვენ გამომდინარეობს ფრჩხილებში გამოხატვის ღირებულება, ტოლია 1. გამარტივების შედეგად, ჩვენ მივიღებთ COS 2 T- COS 4 T + SIN 4 T \u003d SIN 2 T.

მაგალითად, 2, გამოხატვის ღირებულება / (1- sint) + ღირებულება / (1 + sint) უნდა იყოს გამარტივებული. მას შემდეგ, რაც ორივე ფრაქციის მრიცხველების ხარჯების გამოხატულებაა, ეს შეიძლება იყოს bracket როგორც საერთო ფაქტორი. მაშინ ფრაქციები ფრჩხილებში გადაეცემა საერთო დენომინატორის გამრავლებას (1 + sint). მას შემდეგ, რაც ამგვარი პირობების შემდეგ მრიცხველს, 2 რჩება და დენომინატორში 1- ცოდვა 2 T. ეკრანის მარჯვენა მხარეს ჰგავს ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის SIN 2 T + COS 2 T \u003d 1. მისი გამოყენება, ჩვენ გვყავს COS 2 T Denomoter. ფრაქციების ჭრის შემდეგ, ჩვენ მივიღებთ გამარტივებული ტიპის ღირებულებას / (1- Sint) გამოხატვის + ღირებულება / (1+ Sint) \u003d 2 / ღირებულება.

გამოყენებული იქნა იდენტობის მტკიცებულებების მაგალითები, რომელშიც გამოიყენება ტრიგონომეტრიის ძირითად ვინაობაში მიღებული ცოდნა. მაგალითად, 3, აუცილებელია პირადობის დამტკიცება (TG 2 T-Sin 2 T) · CTG 2 T \u003d SIN 2 T. ეკრანის მარჯვენა მხარეს გამოჩნდება სამი ვინაობა, რომელიც საჭირო იქნება Proof - TG T • CTG T \u003d 1, CTG T \u003d COS T / SIN T და TG T \u003d SIN T / COS T შეზღუდვები. პირადობის დამტკიცების დასადასტურებლად, ფრჩხილებში პირველად გამოვლინდა, რის შემდეგაც პროდუქტი ჩამოყალიბებულია, რომელიც ასახავს ძირითად ტრიგონომეტრიულ იდენტურობის გამოხატვას TG T · CTG T \u003d 1. შემდეგ, იდენტობის მიხედვით, Kotangent- ის განმარტებით, CTG 2 T არის მოაქცია. ტრანსფორმაციის შედეგად, გამოხატულება 1-COC 2 T არის მიღებული. ძირითადი იდენტობის გამოყენებით, ჩვენ ვნახავთ გამოხატვის ღირებულებას. ამდენად, დადასტურდა, რომ (TG 2 T-Sin 2 T) · CTG 2 T \u003d SIN 2 T.

მაგალითად, 4, აუცილებელია გამოხატვის მნიშვნელობა TG 2 T + CTG 2 T, IF TG T + CTG T \u003d 6. გამოხატვის გამოთვლა, პირველი უფლება და მარცხენა ნაწილი თანასწორობის (TG T + CTG T) 2 \u003d 6 2. მოკლე გამრავლების ფორმულა ეკრანის მარჯვენა მხარეს შეახსენებს. გამოხატვის მარცხენა ნაწილში ფრჩხილების გამჟღავნების შემდეგ, თანხა TG 2 T + 2 · TG T · CTG T + CTG 2 T იქმნება, რათა გარდაქმნას, რომელი TG T · CTG T \u003d 1-ის ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ვინაობაა , რომლის ხედვა ეკრანის მარჯვენა მხარეს შეახსენებს. ტრანსფორმაციის შემდეგ, თანასწორობა TG 2 T + CTG 2 T \u003d 34 მიიღება. თანასწორობის მარცხენა ნაწილი ემთხვევა პრობლემის მდგომარეობას, ამიტომ პასუხი არის 34. ამოცანა მოგვარდება.

მათემატიკის ტრადიციულ სკოლაში გაკვეთილში რეკომენდირებულია ვიდეო გაკვეთილი "გამარტივება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები". გარდა ამისა, მასალა სასარგებლო იქნება მასწავლებლისთვის, რომელიც დისტანციურ სწავლებას ახორციელებს. ტრიგონომეტრიული ამოცანების გადაჭრის უნარი.

ტექსტის დეკოდირება:

"გამარტივება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამები".

Თანასწორობა

1) SIN 2 T + COS 2 T \u003d 1 (Sinus Square Te Plus Cosinous Square PE ტოლია ერთი)

2) tgt \u003d, t ≠ + πk, kεz (Tenthene PE უტოლდება თანაფარდობა სინუსური te to cosine of te არ არის ტოლია ორი plus pi, ka ეკუთვნის კომპლექტი)

3) CTGT \u003d, t ≠ πk, kεz (te catangent ტოლია თანაფარდობა cosine te to sinus ერთად pe ერთად pi, ka ეკუთვნის კომპლექტი).

4) tgt ∙ ctgt \u003d 1 at t ≠, kεz (tegens te on kotangent pe ტოლია ერთი PE არ არის ტოლი PI, გაყოფილი ორი, Kat ეკუთვნის კომპლექტი)

მოუწოდა ძირითადი ტრიგონომეტრიული ვინაობა.

ხშირად ისინი გამოიყენება ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებასა და მტკიცებულებაში.

განიხილეთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების გამარტივებისას.

მაგალითი 1. სიცოცხლის გამოხატვა: Cos 2 T - Cos 4 T + Sin 4 T. (გამოხატვა და Cosine Square Te Minus Cosine მეოთხე ხარისხის PA PLUS Sinus მეოთხე ხარისხის TE).

გადაწყვეტილება. Cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t \u003d cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t \u003d sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) \u003d sin 2 t · 1 \u003d sin 2 t

(მე მოუტანს საერთო მულტიპლიკაციას Cosine Square Te ფრჩხილებში, ფრჩხილებში, ჩვენ განსხვავება შორის ერთეული და კვადრატული cosine te, რომელიც უდრის პირველი პირადობის მოედანზე sine te. ჩვენ ვიღებთ თანხას სინუსური კვადრატული კვადრატული მეოთხე და სინუსის მოედანი TE. Te Multiplier უკან ფრჩხილებში, ფრჩხილებში ჩვენ მიიღებთ ჯამი კვადრატების cosine და sinus, რომელიც უდრის მთავარ Trigonometic იდენტობას . შედეგად, ჩვენ ვიღებთ Sinus Te- ს კვადრატს).

მაგალითი 2. გამოხატვა: +.

(გამოხატულება იყოს ორი ფრაქციის ჯამი, პირველი Cosine of Te in Te in Denominator ერთეული Minus Sinus Te, მეორე cosine of Te in Te in Denominator, მეორე ერთეული პლუს Sinus Te).

(მე შევაჯამებინა cosine te ფრჩხილებში, და ფრჩხილებში ჩვენ საერთო denominator, რომელიც არის სამუშაო ერთი მინუს სინუსური te ერთი პლუს sinus te.

მრიცხველში ჩვენ მივიღებთ: ერთეულის პლუს Sinus Te Plus ერთეული MINUS SINUS TE, ჩვენ ვაძლევთ, მრიცხველი არის ორი შემდეგ შემოტანა მოსწონს.

დენომინატორში შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემოკლებით გამრავლების ფორმულა (კვადრატების სხვაობა) და მიიღონ განსხვავება ერთეულად და სინუსური TE- ს კვადრატს შორის, რაც მთავარ ტრიგონომეტრიულ იდენტობას წარმოადგენს

თანაბრად, კვადრატული კვადრატი. TE- ს Cosine- ის ჭრის შემდეგ, საბოლოო პასუხს მივიღებთ: ორი გაყოფილია Cosine Te).

განიხილეთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითები ტრიგონომეტრიული გამონათქვამების მტკიცებულებაში.

მაგალითი 3. პირადობის დამტკიცების დასადასტურებლად (TG 2 T - Sin 2 T) ∙ CTG 2 T \u003d SIN 2 T (Tegens Te და Sinus Te Sinus Te- ის კვადრატების პროდუქტის პროდუქტი Cotangent PE- ს მოედანზე ტოლია te sinus of).

მტკიცებულება.

ჩვენ გარდაქმნას თანასწორობის მარცხენა ნაწილი:

(TG 2 T - SIN 2 T) ∙ CTG 2 T \u003d TG 2 T ∙ CTG 2 T - SIN 2 T ∙ CTG 2 T \u003d 1 - SIN 2 T ∙ CTG 2 T \u003d 1 - SIN 2 T ∙ \u003d 1 - COS 2 t \u003d sin 2 t

(ჩვენ გავაანალიზებთ ფრჩხილებს, ადრე მიღებული ურთიერთობისგან, ცნობილია, რომ Tegens Te- ის კვადრატების პროდუქტი Cotangent PE- ზე ტოლია. შეგახსენებთ, რომ Cotangent PE არის თანაფარდობა cosine of cosine of the სინუსური საქართველოს TE, ეს ნიშნავს, რომ Kotangen მოედანზე თანაფარდობა კოსინუსი კვადრატული TE sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus sinus Sine

სინუსის შემცირების შემდეგ, TE- ს კვადრატი მიიღებს განსხვავებას TE- ს კვადრატულ ერთეულში და cosine- ს, რაც TE- ს სინუსის მოედნის ტოლია). Q.e.d.

მაგალითი 4. გამოაცხადეთ გამოხატვის ღირებულება TG 2 T + CTG 2 T, თუ TGT + CTGT \u003d 6.

(თანხა მოედნებზე Tangent TE და Kotangens TE, თუ თანხა Tangent და Kotangent არის ექვსი).

გადაწყვეტილება. (TGT + CTGT) 2 \u003d 6 2

tG 2 T + 2 ∙ TGT ∙ CTGT + CTG 2 T \u003d 36

tG 2 T + 2 + CTG 2 T \u003d 36

tG 2 T + CTG 2 T \u003d 36-2

tG 2 T + CTG 2 T \u003d 34

მოედანზე თავდაპირველი თანასწორობის ორივე ნაწილის ჩამოყალიბება:

(TGT + CTGT) 2 \u003d 6 2 (Tegens Te და Cotgensa TE- ის კვადრატული კვადრატი ექვსი ტოლია). გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულა: ორი ღირებულების ჯამის მოედანი ტოლია პირველი პლუს ორმაგი პროდუქტის პირველივე პლუს მეორე კვადრატში. (A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2 ჩვენ მივიღებთ TG 2 T + 2 ∙ TGT + CTGT + CTG 2 T \u003d 36 (Tangent Square Te Plus The Cotangent PE PLUS- ზე ორმაგი პროდუქტი გაუტოლდება ოცდაათი ექვსი).

მას შემდეგ, რაც Tangens Te on Cotangent PE უდრის ერთი, მაშინ TG 2 T + 2 + CTG 2 T \u003d 36 (Tangent Te და Kotangens Te- ის სკვერების ჯამი და ორი ტოლია ოცდაექვსი),