კუთხე სიბრტყეებს შორის და გამოითვლება ფორმულით. სად არის მნიშვნელოვანი განხილულ გეომეტრიულ ობიექტებს შორის კუთხეების ცოდნა? თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

ეს სტატია ეხება სიბრტყეებს შორის კუთხეს და როგორ უნდა იპოვოთ იგი. პირველ რიგში მოცემულია ორ სიბრტყეს შორის კუთხის განმარტება და მოცემულია გრაფიკული ილუსტრაცია. ამის შემდეგ გაანალიზდა კოორდინატთა მეთოდით ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნის პრინციპი და მიიღეს ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ კუთხე გადაკვეთის სიბრტყეს შორის. ცნობილი კოორდინატებიამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები. დასასრულს ნაჩვენებია დეტალური გადაწყვეტილებებიდამახასიათებელი ამოცანები.

გვერდის ნავიგაცია.

კუთხე სიბრტყეებს შორის - განმარტება.

წარმოვადგინოთ არგუმენტები, რომლებიც საშუალებას მოგვცემს თანდათან მივუდგეთ ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის განსაზღვრას.

მოგვცეს ორი გადამკვეთი სიბრტყე და . ეს სიბრტყეები იკვეთება სწორი ხაზით, რომელსაც აღვნიშნავთ c ასოთი. ავაშენოთ სიბრტყე, რომელიც გადის c წრფის M წერტილზე და c წრფეზე პერპენდიკულარულია. ამ შემთხვევაში თვითმფრინავი გადაკვეთს სიბრტყეებს და. სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები იკვეთება, ავღნიშნოთ, როგორც a, და სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები იკვეთება, როგორც b. ცხადია, a და b წრფეები იკვეთება M წერტილში.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ a და b ხაზებს შორის კუთხე არ არის დამოკიდებული M წერტილის მდებარეობაზე c წრფეზე, რომლითაც გადის სიბრტყე.

ავაშენოთ c წრფის პერპენდიკულარული და სიბრტყისგან განსხვავებული სიბრტყე. სიბრტყე იკვეთება სიბრტყეებით და სწორი ხაზებით, რომლებსაც აღვნიშნავთ, შესაბამისად, როგორც 1 და b 1.

სიბრტყეების აგების მეთოდიდან გამომდინარეობს, რომ a და b წრფეები პერპენდიკულარულია c წრფეზე, ხოლო a 1 და b 1 წრფეები პერპენდიკულარულია c წრფეზე. ვინაიდან წრფეები a და a დევს ერთ სიბრტყეში და პერპენდიკულარულია c წრფეზე, მაშინ ისინი პარალელურები არიან. ანალოგიურად, b და b 1 წრფეები დევს ერთ სიბრტყეში და პერპენდიკულარულია c წრფეზე, შესაბამისად, ისინი პარალელურია. ამრიგად, შესაძლებელია სიბრტყის პარალელური გადატანა სიბრტყეში, რომელშიც სწორი ხაზი a 1 ემთხვევა სწორ ხაზს a, ხოლო სწორი ხაზი b სწორ ხაზს b 1. აქედან გამომდინარე, კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს შორის a 1 და b 1 კუთხის ტოლი a და b ხაზებს შორის.

ეს ამტკიცებს, რომ კუთხე a და b ხაზებს შორის, რომლებიც გადამკვეთ სიბრტყეებში მდებარეობს და არ არის დამოკიდებული M წერტილის არჩევანზე, რომლითაც გადის სიბრტყე. მაშასადამე, ლოგიკურია ეს კუთხე მივიღოთ, როგორც კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთქვათ კუთხის განსაზღვრა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის და.

განმარტება.

კუთხე ორ სიბრტყეს შორის, რომლებიც იკვეთებიან სწორ ხაზზე და- ეს არის კუთხე a და b გადამკვეთ წრფეს შორის, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები და კვეთენ სიბრტყეს პერპენდიკულარულ c წრფეზე.

ორ სიბრტყეს შორის კუთხის განმარტება შეიძლება ოდნავ განსხვავებულად იყოს მოცემული. თუ სწორ ხაზზე c, რომლის გასწვრივაც კვეთენ სიბრტყეები და იკვეთება, მონიშნეთ წერტილი M და დახაზეთ სწორი ხაზები a და b მასში, პერპენდიკულარული c სწორი წრფისა და სიბრტყეში მდებარე და, შესაბამისად, კუთხე სწორ ხაზებს შორის a. და b არის კუთხე სიბრტყეებს შორის და. ჩვეულებრივ პრაქტიკაში სწორედ ასეთი კონსტრუქციები კეთდება სიბრტყეებს შორის კუთხის მისაღებად.

ვინაიდან კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის არ აღემატება , აღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ხარისხის საზომიგამოსახულია კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის ნამდვილი რიცხვიინტერვალიდან. ამ შემთხვევაში გადამკვეთ სიბრტყეებს უწოდებენ პერპენდიკულარული, თუ მათ შორის კუთხე ოთხმოცდაათი გრადუსია. კუთხე პარალელურ სიბრტყეებს შორის ან საერთოდ არ არის განსაზღვრული ან ითვლება ნულის ტოლად.

კუთხის პოვნა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ჩვეულებრივ, ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნისას ჯერ უნდა შეასრულოთ დამატებითი კონსტრუქციები, რათა დაინახოთ გადამკვეთი სწორი ხაზები, რომელთა შორის კუთხე უდრის სასურველ კუთხს და შემდეგ დააკავშიროთ ეს კუთხე ორიგინალურ მონაცემებთან თანასწორობის ტესტების, მსგავსების გამოყენებით. ტესტები, კოსინუსის თეორემა ან კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის განმარტებები. გეომეტრიის კურსში უმაღლესი სკოლამსგავსი პრობლემები ხდება.

მაგალითად, მოვიყვანოთ C2 ამოცანის ამოხსნა მათემატიკაში 2012 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან (პირობა განზრახ შეიცვალა, მაგრამ ეს არ მოქმედებს ამოხსნის პრინციპზე). მასში თქვენ უბრალოდ უნდა გეპოვათ კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

მაგალითი.

გამოსავალი.

პირველ რიგში, მოდით გავაკეთოთ ნახატი.

შევასრულოთ დამატებითი კონსტრუქციები სიბრტყეებს შორის კუთხის „დასანახად“.

ჯერ განვსაზღვროთ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ ABC და BED 1 სიბრტყეები იკვეთება. წერტილი B არის მათი ერთ-ერთი საერთო წერტილი. მოდი ვიპოვოთ ამ სიბრტყეების მეორე საერთო წერტილი. ხაზები DA და D 1 E დევს ერთსა და იმავე სიბრტყეში ADD 1 და ისინი არ არიან პარალელური და, შესაბამისად, იკვეთებიან. მეორეს მხრივ, ხაზი DA დევს ABC სიბრტყეში, ხოლო ხაზი D 1 E - BED 1 სიბრტყეში, შესაბამისად, DA და D 1 E ხაზების გადაკვეთის წერტილი იქნება. საერთო წერტილითვითმფრინავები ABC და BED 1. მაშ ასე, გავაგრძელოთ DA და D 1 E ხაზები მათ გადაკვეთამდე, აღვნიშნოთ მათი გადაკვეთის წერტილი F ასოთი. მაშინ BF არის სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ ABC და BED 1 სიბრტყეები იკვეთება.

რჩება ABC და BED 1 სიბრტყეში მოთავსებული ორი ხაზის აგება, შესაბამისად, რომელიც გადის BF წრფის ერთ წერტილზე და BF წრფეზე პერპენდიკულარულად - ამ წრფეებს შორის კუთხე, განსაზღვრებით, ტოლი იქნება სასურველ კუთხეს შორის. თვითმფრინავები ABC და BED 1. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

Წერტილი A არის E წერტილის პროექცია ABC სიბრტყეზე. დავხატოთ სწორი წრფე, რომელიც კვეთს BF წრფეს მარჯვენა კუთხით M წერტილში. მაშინ სწორი ხაზი AM არის სწორი ხაზის EM პროექცია ABC სიბრტყეზე და სამი პერპენდიკულარულის თეორემით.

ამრიგად, ABC და BED 1 სიბრტყეს შორის საჭირო კუთხე უდრის .

ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ამ კუთხის (და შესაბამისად თავად კუთხე) სინუსი, კოსინუსი ან ტანგენსი AEM მართკუთხა სამკუთხედიდან, თუ ვიცით მისი ორი გვერდის სიგრძეები. მდგომარეობიდან მარტივია AE სიგრძის პოვნა: რადგან წერტილი E ყოფს AA 1 მხარეს 4-დან 3-ის თანაფარდობით, დათვლის A წერტილიდან და AA 1 მხარის სიგრძე არის 7, მაშინ AE = 4. ვიპოვოთ სიგრძე AM.

ამისათვის განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი ABF მართი კუთხით A, სადაც AM არის სიმაღლე. პირობით AB = 2. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ AF გვერდის სიგრძე DD 1 F და AEF მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსებიდან:

პითაგორას თეორემის გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ სამკუთხედს ABF. ჩვენ ვპოულობთ AM სიგრძეს სამკუთხედის ABF ფართობის გავლით: ერთ მხარეს სამკუთხედის ფართობი ABF უდრის , მეორეს მხრივ , სად .

ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედიდან AEM გვაქვს .

მაშინ საჭირო კუთხე ABC და BED 1 სიბრტყეს შორის ტოლია (გაითვალისწინეთ, რომ ).

პასუხი:

ზოგიერთ შემთხვევაში, ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის მოსაძებნად, მოსახერხებელია Oxyz-ის დაყენება და კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება. იქ გავჩერდეთ.

დავსვათ დავალება: ვიპოვოთ კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის და . სასურველი კუთხე ავღნიშნოთ როგორც .

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მოცემულ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში Oxyz ჩვენ ვიცით გადამკვეთი სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატები და ან გვაქვს მათი პოვნის შესაძლებლობა. დაე არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი და არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორი. ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ კუთხე გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის და ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით.

ავღნიშნოთ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები და იკვეთება, როგორც c. C წრფეზე M წერტილის გავლით ვხატავთ სიბრტყეს c წრფეზე პერპენდიკულარულად. სიბრტყე კვეთს სიბრტყეებს და a და b ხაზების გასწვრივ, შესაბამისად, a და b წრფეები იკვეთება M წერტილში. განმარტებით, კუთხე გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის და ტოლია კუთხის a და b ხაზებს შორის.

გამოვსახოთ ნორმალური ვექტორები და სიბრტყეები და M წერტილიდან სიბრტყეში. ამ შემთხვევაში, ვექტორი დევს წრფეზე, რომელიც პერპენდიკულარულია a წრფეზე, ხოლო ვექტორი მდებარე წრფეზე, რომელიც არის b წრფის პერპენდიკულარული. ამრიგად, სიბრტყეში ვექტორი არის a წრფის ნორმალური ვექტორი, არის b წრფის ნორმალური ვექტორი.

სტატიაში, სადაც ვიპოვეთ კუთხის გადაკვეთა ხაზებს შორის, მივიღეთ ფორმულა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის კოსინუსი ნორმალური ვექტორების კოორდინატების გამოყენებით. ამრიგად, a და b წრფეებს შორის კუთხის კოსინუსი და, შესაბამისად, გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის კოსინუსიდა გვხვდება ფორმულით, სადაც და არის სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები და შესაბამისად. შემდეგ გამოითვლება როგორც .

კოორდინატთა მეთოდით გადავწყვიტოთ წინა მაგალითი.

მაგალითი.

დენ კუბოიდური ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, რომელშიც AB=2, AD=3, AA 1 =7 და წერტილი E ყოფს AA 1 მხარეს 4-დან 3-ის თანაფარდობით, ითვლის A წერტილიდან. იპოვეთ კუთხე ABC და BED 1 სიბრტყეს შორის.

გამოსავალი.

ვინაიდან მართკუთხა პარალელეპიპედის გვერდები ერთ წვეროზე პერპენდიკულარულია წყვილებში, მოსახერხებელია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის Oxyz შემოღება შემდეგნაირად: გაასწორეთ დასაწყისი C წვეროსთან და კოორდინატთა ღერძები Ox, Oy და Oz მიმართულია CD, CB და CC 1 გვერდებზე შესაბამისად.

ABC და BED 1 სიბრტყეებს შორის კუთხე შეიძლება მოიძებნოს ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით ფორმულის გამოყენებით, სადაც და არიან ABC და BED 1 სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები, შესაბამისად. განვსაზღვროთ ნორმალური ვექტორების კოორდინატები.

თეორემა

სიბრტყეებს შორის კუთხე არ არის დამოკიდებული ჭრის სიბრტყის არჩევანზე.

მტკიცებულება.

იყოს ორი სიბრტყე α და β, რომლებიც იკვეთება c სწორი ხაზის გასწვრივ. დავხატოთ γ სიბრტყე პერპენდიკულარული c სწორი ხაზის. შემდეგ γ სიბრტყე კვეთს α და β სიბრტყეებს a და b სწორი ხაზების გასწვრივ, შესაბამისად. კუთხე α და β სიბრტყეებს შორის ტოლია a და b წრფეებს შორის კუთხის ტოლი.
ავიღოთ სხვა ჭრის სიბრტყე γ`, c-ზე პერპენდიკულარული. შემდეგ γ` სიბრტყე კვეთს α და β სიბრტყეებს a` და b` სწორი ხაზების გასწვრივ, შესაბამისად.
პარალელური გადაყვანისას γ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილი c სწორ ხაზთან გადავა სიბრტყის γ` სწორ წრფესთან c. ამ შემთხვევაში, პარალელური თარგმნის თვისების მიხედვით, a სტრიქონი გადავა a`-ში, b - b`-ში. ამიტომ კუთხეები a და b, a` და b` წრფეებს შორის ტოლია. თეორემა დადასტურდა.

ეს სტატია ეხება სიბრტყეებს შორის კუთხეს და როგორ უნდა იპოვოთ იგი. პირველ რიგში მოცემულია ორ სიბრტყეს შორის კუთხის განმარტება და მოცემულია გრაფიკული ილუსტრაცია. ამის შემდეგ გაანალიზდა კოორდინატთა მეთოდით ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნის პრინციპი და მიიღეს ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ კუთხე გადაკვეთის სიბრტყეებს შორის ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების ცნობილი კოორდინატების გამოყენებით. დასასრულს, ნაჩვენებია ტიპიური პრობლემების დეტალური გადაწყვეტილებები.

გვერდის ნავიგაცია.

კუთხე სიბრტყეებს შორის - განმარტება.

მასალის წარდგენისას გამოვიყენებთ სტატიებში მოცემულ განმარტებებსა და ცნებებს: სიბრტყე სივრცეში და ხაზი სივრცეში.

წარმოვადგინოთ არგუმენტები, რომლებიც საშუალებას მოგვცემს თანდათან მივუდგეთ ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის განსაზღვრას.

მოგვცეს ორი გადამკვეთი სიბრტყე და . ეს სიბრტყეები იკვეთება სწორი ხაზის გასწვრივ, რომელსაც ასოთი აღვნიშნავთ გ. ავაშენოთ სიბრტყე, რომელიც გადის წერტილში მსწორი გდა ხაზის პერპენდიკულარული გ. ამ შემთხვევაში თვითმფრინავი გადაკვეთს სიბრტყეებს და. ავღნიშნოთ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივაც სიბრტყეები იკვეთება და როგორც ა, და სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ თვითმფრინავები იკვეთება და როგორ ბ. აშკარად სწორი ადა ბიკვეთება წერტილში მ.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის ადა ბარ არის დამოკიდებული წერტილის მდებარეობაზე მსწორ ხაზზე გრომლის მეშვეობითაც თვითმფრინავი გადის.

ავაშენოთ სიბრტყე წრფის პერპენდიკულარულად გდა განსხვავდება თვითმფრინავისგან. სიბრტყე იკვეთება სიბრტყეებით და სწორი ხაზებით, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ a 1და ბ 1შესაბამისად.

თვითმფრინავების აგების მეთოდიდან გამომდინარეობს, რომ სწორი ხაზები ადა ბხაზის პერპენდიკულარული გდა სწორი a 1და ბ 1ხაზის პერპენდიკულარული გ. მას შემდეგ რაც პირდაპირ ადა a 1 გ, მაშინ ისინი პარალელურები არიან. ანალოგიურად, პირდაპირ ბდა ბ 1წევენ იმავე სიბრტყეში და არიან წრფის პერპენდიკულარული გმაშასადამე, ისინი პარალელურია. ამრიგად, შესაძლებელია თვითმფრინავის პარალელური გადატანა იმ სიბრტყეში, რომელშიც სწორი ხაზია a 1ემთხვევა სწორ ხაზს ადა სწორი ხაზი ბსწორი ხაზით ბ 1. მაშასადამე, კუთხე ორ ხაზს შორის a 1და ბ 1გადამკვეთ ხაზებს შორის კუთხის ტოლია ადა ბ.

ეს ადასტურებს, რომ კუთხე გადაკვეთის ხაზებს შორის ადა ბ, გადამკვეთ სიბრტყეებში წოლა და , არ არის დამოკიდებული წერტილის არჩევანზე მრომლის მეშვეობითაც თვითმფრინავი გადის. მაშასადამე, ლოგიკურია ეს კუთხე მივიღოთ, როგორც კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთქვათ კუთხის განსაზღვრა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის და.

განმარტება.

კუთხე ორ გადამკვეთ სწორ ხაზს შორის გთვითმფრინავები დაარის კუთხე ორ გადამკვეთ წრფეს შორის ადა ბ, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები და კვეთენ წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეს გ.

ორ სიბრტყეს შორის კუთხის განმარტება შეიძლება ოდნავ განსხვავებულად იყოს მოცემული. თუ სწორ ხაზზე თან, რომლის გასწვრივ თვითმფრინავები და იკვეთება, მონიშნეთ წერტილი მდა დახაზეთ სწორი ხაზები მასში ადა ბ, ხაზის პერპენდიკულარულად გდა სიბრტყეში დაწოლა და, შესაბამისად, მაშინ სწორ ხაზებს შორის კუთხე ადა ბწარმოადგენს კუთხეს სიბრტყეებს შორის და . ჩვეულებრივ პრაქტიკაში სწორედ ასეთი კონსტრუქციები კეთდება სიბრტყეებს შორის კუთხის მისაღებად.

ვინაიდან გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხე არ აღემატება , აღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ კუთხის ხარისხიანი ზომა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის გამოიხატება რეალური რიცხვით ინტერვალიდან. ამ შემთხვევაში გადამკვეთ სიბრტყეებს უწოდებენ პერპენდიკულარული, თუ მათ შორის კუთხე ოთხმოცდაათი გრადუსია. კუთხე პარალელურ სიბრტყეებს შორის ან საერთოდ არ არის განსაზღვრული ან ითვლება ნულის ტოლად.

გვერდის ზედა

კუთხის პოვნა ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ჩვეულებრივ, ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის პოვნისას ჯერ უნდა შეასრულოთ დამატებითი კონსტრუქციები, რათა დაინახოთ გადამკვეთი სწორი ხაზები, რომელთა შორის კუთხე უდრის სასურველ კუთხს და შემდეგ დააკავშიროთ ეს კუთხე ორიგინალურ მონაცემებთან თანასწორობის ტესტების, მსგავსების გამოყენებით. ტესტები, კოსინუსის თეორემა ან კუთხის სინუსის, კოსინუსის და ტანგენსის განმარტებები. საშუალო სკოლის გეომეტრიის კურსში მსგავსი პრობლემები ჩნდება.

მაგალითად, მოვიყვანოთ C2 ამოცანის ამოხსნა მათემატიკაში 2012 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან (პირობა განზრახ შეიცვალა, მაგრამ ეს არ მოქმედებს ამოხსნის პრინციპზე). მასში თქვენ უბრალოდ უნდა გეპოვათ კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, რომელშიც AB=3, AD=2, AA 1 =7და პერიოდი ეყოფს მხარეს AA 1ურთიერთობაში 4 რომ 3 , დათვლა წერტილიდან ა ABCდა საწოლი 1.

პირველ რიგში, მოდით გავაკეთოთ ნახატი.

შევასრულოთ დამატებითი კონსტრუქციები სიბრტყეებს შორის კუთხის „დასანახად“.

ჯერ განვსაზღვროთ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივაც თვითმფრინავები იკვეთება ABCდა საწოლი 1. Წერტილი IN- ეს მათი ერთ-ერთი საერთო წერტილია. მოდი ვიპოვოთ ამ სიბრტყეების მეორე საერთო წერტილი. პირდაპირი დ.ა.და D 1 Eდაწექი იმავე თვითმფრინავში დაამატე 1და ისინი არ არიან პარალელური, მაგრამ, შესაბამისად, იკვეთებიან. მეორეს მხრივ, პირდაპირ დ.ა.წევს თვითმფრინავში ABCდა სწორი ხაზი D 1 E– თვითმფრინავში საწოლი 1მაშასადამე, ხაზების გადაკვეთის წერტილი დ.ა.და D 1 Eიქნება თვითმფრინავების საერთო წერტილი ABCდა საწოლი 1. ასე რომ გავაგრძელოთ პირდაპირ დ.ა.და D 1 Eსანამ ისინი იკვეთებიან, მათი გადაკვეთის წერტილს ასოებით აღვნიშნავთ ფ. მაშინ ბ.ფ.- სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ თვითმფრინავები იკვეთება ABCდა საწოლი 1.

რჩება თვითმფრინავებში ორი სწორი ხაზის აგება ABCდა საწოლი 1შესაბამისად, ხაზის ერთი წერტილის გავლით ბ.ფ.და ხაზის პერპენდიკულარული ბ.ფ., - ამ სწორ ხაზებს შორის კუთხე, განსაზღვრებით, ტოლი იქნება სიბრტყეებს შორის სასურველი კუთხის ABCდა საწოლი 1. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

Წერტილი აწერტილის პროექციაა ეთვითმფრინავამდე ABC. დახაზეთ ხაზი, რომელიც კვეთს ხაზს მარჯვენა კუთხით VFწერტილში მ. მერე პირდაპირ ᲕᲐᲠარის ხაზის პროექცია ჭამეთვითმფრინავამდე ABCდა სამი პერპენდიკულარულის თეორემით.

ამრიგად, სასურველი კუთხე თვითმფრინავებს შორის ABCდა საწოლი 1ტოლია .

ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ამ კუთხის სინუსი, კოსინუსი ან ტანგენსი (და შესაბამისად თავად კუთხე) მართკუთხა სამკუთხედიდან. AEMთუ ვიცით მისი ორი გვერდის სიგრძეები. მდგომარეობიდან ადვილია სიგრძის პოვნა AE: წერტილიდან ეყოფს მხარეს AA 1ურთიერთობაში 4 რომ 3 , დათვლა წერტილიდან ადა გვერდის სიგრძე AA 1ტოლია 7 , ეს AE=4. მოდი ვიპოვოთ სხვა სიგრძე ᲕᲐᲠ.

ამისათვის განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი ABFსწორი კუთხით ა, სად ᲕᲐᲠარის სიმაღლე. პირობით AB=2. გვერდის სიგრძე AFჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედების მსგავსებიდან DD 1 Fდა AEF:

პითაგორას თეორემის მიხედვით სამკუთხედიდან ABFჩვენ ვიპოვეთ . სიგრძე ᲕᲐᲠიპოვეთ სამკუთხედის ფართობით ABF: ერთ მხარეს სამკუთხედის ფართობი ABFტოლია, მეორეს მხრივ, საიდანაც.

ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედიდან AEMჩვენ გვაქვს .

შემდეგ სასურველი კუთხე თვითმფრინავებს შორის ABCდა საწოლი 1ტოლია (გაითვალისწინეთ, რომ ).

ზოგიერთ შემთხვევაში, ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის კუთხის საპოვნელად მოსახერხებელია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის მითითება. ოქსიზიდა გამოიყენეთ კოორდინატთა მეთოდი. იქ გავჩერდეთ.

დავსვათ დავალება: ვიპოვოთ კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის და . სასურველი კუთხე ავღნიშნოთ როგორც .

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ოქსიზიჩვენ ვიცით გადამკვეთი სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატები და ან გვაქვს მათი პოვნის შესაძლებლობა. მოდით იყოს სიბრტყის ნორმალური ვექტორი და იყოს სიბრტყის ნორმალური ვექტორი. ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ კუთხე გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის და ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით.

ავღნიშნოთ სწორი ხაზი, რომლის გასწვრივ სიბრტყეები და იკვეთება როგორც გ. წერტილის მეშვეობით მსწორ ხაზზე გდახაზეთ სიბრტყე წრფის პერპენდიკულარულად გ. თვითმფრინავი კვეთს სიბრტყეებს და სწორი ხაზების გასწვრივ ადა ბშესაბამისად, სწორი ადა ბიკვეთება ერთ წერტილში მ. განმარტებით, კუთხე გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის და ტოლია გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის ადა ბ.

პუნქტიდან გადავდოთ მსიბრტყეში ნორმალური ვექტორები და სიბრტყეები და . ამ შემთხვევაში ვექტორი დევს წრფეზე, რომელიც წრფის პერპენდიკულარულია ა, და ვექტორი არის წრფეზე, რომელიც წრფის პერპენდიკულარულია ბ. ამრიგად, სიბრტყეში ვექტორი არის წრფის ნორმალური ვექტორი ა, - ნორმალური ხაზის ვექტორი ბ.

სტატიაში, სადაც ვიპოვეთ კუთხის გადაკვეთა ხაზებს შორის, მივიღეთ ფორმულა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხის კოსინუსი ნორმალური ვექტორების კოორდინატების გამოყენებით. ამრიგად, ხაზებს შორის კუთხის კოსინუსი ადა ბდა, შესაბამისად, გადამკვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის კოსინუსიდა გვხვდება ფორმულით, სადაც და არიან სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები და, შესაბამისად. მაშინ კუთხე გადაკვეთის სიბრტყეებს შორისგამოითვლება როგორც.

კოორდინატთა მეთოდით გადავწყვიტოთ წინა მაგალითი.

მოცემულია მართკუთხა პარალელეპიპედი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, რომელშიც AB=3, AD=2, AA 1 =7და პერიოდი ეყოფს მხარეს AA 1ურთიერთობაში 4 რომ 3 , დათვლა წერტილიდან ა. იპოვნეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის ABCდა საწოლი 1.

ვინაიდან მართკუთხა პარალელეპიპედის გვერდები ერთ წვეროზე პერპენდიკულარულია წყვილებში, მოსახერხებელია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის შემოღება. ოქსიზიასე: დასაწყისი გასწორებულია ზევით თანდა კოორდინატთა ღერძები ოქსი, ოიდა ოზიმიუთითეთ გვერდებზე CD, C.B.და CC 1შესაბამისად.

კუთხე თვითმფრინავებს შორის ABCდა საწოლი 1შეიძლება მოიძებნოს ამ სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით ფორმულის გამოყენებით, სადაც და არის სიბრტყეების ნორმალური ვექტორები ABCდა საწოლი 1შესაბამისად. განვსაზღვროთ ნორმალური ვექტორების კოორდინატები.

თვითმფრინავიდან მოყოლებული ABCემთხვევა საკოორდინაციო თვითმფრინავი ოქსი, მაშინ მისი ნორმალური ვექტორი არის კოორდინატთა ვექტორი, ანუ .

როგორც თვითმფრინავის ნორმალური ვექტორი საწოლი 1მიღება შეიძლება ვექტორული პროდუქტივექტორები და , თავის მხრივ, ვექტორების კოორდინატები და შეიძლება ვიპოვოთ წერტილების კოორდინატების მეშვეობით IN, ედა D 1(როგორც სტატიაში წერია, ვექტორის კოორდინატები მისი დასაწყისისა და დასასრულის წერტილების კოორდინატებით) და წერტილების კოორდინატები IN, ედა D 1შემოღებულ კოორდინატულ სისტემაში განვსაზღვრავთ პრობლემის პირობებიდან.

ცხადია,. ვინაიდან , წერტილების კოორდინატებიდან ვპოულობთ (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სეგმენტის არტიკული დაყოფა მოცემულ თანაფარდობაში). შემდეგ და ოქსიზის განტოლებები და .

როცა ვსწავლობდით ზოგადი განტოლებაპირდაპირი ფორმა , შემდეგ გავარკვიეთ, რომ კოეფიციენტები ა, INდა თანწარმოადგენენ სიბრტყის ნორმალური ვექტორის შესაბამის კოორდინატებს. ამრიგად, და არის თვითმფრინავების ნორმალური ვექტორები და, შესაბამისად.

ჩვენ ვცვლით სიბრტყეების ნორმალური ვექტორების კოორდინატებს ფორმულაში, რათა გამოვთვალოთ კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის:

მაშინ . ვინაიდან კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის არ არის ბლაგვი, გამოიყენეთ მთავარი ტრიგონომეტრიული იდენტურობაიპოვეთ კუთხის სინუსი: .

კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება კუთხის გამოსათვლელად

თვითმფრინავებს შორის

ყველაზე ზოგადი მეთოდიკუთხის პოვნასიბრტყეებს შორის - კოორდინატთა მეთოდი (ზოგჯერ ვექტორების გამოყენებით). ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას, როდესაც ყველა დანარჩენი უკვე გამოსცადეს. მაგრამ არის სიტუაციები, როდესაც კოორდინატთა მეთოდის გამოყენებას აზრი აქვს დაუყოვნებლივ, კერძოდ, როდესაც კოორდინატთა სისტემა ბუნებრივად არის დაკავშირებული პრობლემის დებულებაში მითითებულ პოლიედრონთან, ე.ი. ნათლად ჩანს სამი წყვილი პერპენდიკულარული ხაზი, რომლებზეც შეიძლება განისაზღვროს კოორდინატთა ღერძი. ასეთი პოლიედრებია მართკუთხა პარალელეპიპედი და რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა. პირველ შემთხვევაში, კოორდინატთა სისტემა შეიძლება განისაზღვროს ერთი წვეროდან გაშლილი კიდეებით (ნახ. 1), მეორეში - ფუძის სიმაღლით და დიაგონალებით (ნახ. 2).

კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება შემდეგია.

Გააცნო მართკუთხა სისტემაკოორდინატები სივრცეში. მიზანშეწონილია მისი შემოღება "ბუნებრივი" გზით - "დაკავშირება" წყვილი პერპენდიკულარული ხაზების სამეულთან, რომლებსაც აქვთ საერთო წერტილი.

თითოეული სიბრტყისთვის, რომლის კუთხეც მოძებნილია, შედგენილია განტოლება. ასეთი განტოლების შესაქმნელად უმარტივესი გზაა იცოდეთ სიბრტყეზე სამი წერტილის კოორდინატები, რომლებიც არ დევს იმავე წრფეზე.

თვითმფრინავის განტოლება ზოგადი ხედიროგორც ჩანს Ax + By + Cz + D = 0.

კოეფიციენტები A, B, C ამ განტოლებაში არის სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები (ვექტორი, სიბრტყეზე პერპენდიკულარული). შემდეგ განვსაზღვრავთ სიგრძეებს და სკალარული პროდუქტინორმალური ვექტორები სიბრტყეებზე, რომელთა შორის კუთხეა მოძიებული. თუ ამ ვექტორების კოორდინატები(A 1, B 1; C 1) და (A 2; B 2; C 2 ), შემდეგ სასურველი კუთხეგამოითვლება ფორმულით

კომენტარი. უნდა გვახსოვდეს, რომ ვექტორებს შორის კუთხე (სიბრტყეებს შორის კუთხისგან განსხვავებით) შეიძლება იყოს ბლაგვი და შესაძლო გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, ფორმულის მარჯვენა მხარეს მრიცხველი შეიცავს მოდულს.

ამ პრობლემის გადაჭრა კოორდინატთა მეთოდით.

ამოცანა 1. მოცემულია კუბი ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . წერტილი K არის AD კიდის შუა, წერტილი L არის CD კიდის შუა. რა არის კუთხე A სიბრტყეს შორის? 1 KL და A 1 AD?

გამოსავალი . კოორდინატთა სისტემის საწყისი იყოს წერტილი A, და კოორდინატთა ღერძები მიდის სხივების გასწვრივ AD, AB, AA 1 (ნახ. 3). ავიღოთ კუბის კიდე 2-ის ტოლი (მოსახერხებელია მისი გაყოფა შუაზე). შემდეგ წერტილების კოორდინატები A 1, K, L არის შემდეგი: A 1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).

ბრინჯი. 3

ჩამოვწეროთ სიბრტყის განტოლება 1 კლ ზოგადად. შემდეგ ჩვენ მასში ვცვლით ამ სიბრტყის არჩეული წერტილების კოორდინატებს. ჩვენ ვიღებთ სამი განტოლების სისტემას ოთხი უცნობით:

გამოვხატოთ კოეფიციენტები A, B, C-დან D-მდე და მივდივართ განტოლებამდე

ორივე ნაწილად დაყოფა D (რატომ D = 0?) და შემდეგ -2-ზე გამრავლებით მივიღებთ სიბრტყის განტოლებას A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. მაშინ ამ სიბრტყის ნორმალურ ვექტორს აქვს კოორდინატები (2: -2; 1). სიბრტყის განტოლება 1 AD არის: y=0, და მისთვის ნორმალური ვექტორის კოორდინატებია, მაგალითად, (0; 2:0). სიბრტყეებს შორის კუთხის კოსინუსის ზემოთ მოყვანილი ფორმულის მიხედვით ვიღებთ:

კუთხე ორ განსხვავებულ სიბრტყეს შორის შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერისთვის შედარებითი პოზიციათვითმფრინავები.

ტრივიალური შემთხვევა, თუ თვითმფრინავები პარალელურია. მაშინ მათ შორის კუთხე ითვლება ნულის ტოლი.

არატრივიალური შემთხვევა, თუ თვითმფრინავები იკვეთება. ეს საქმე შემდგომი განხილვის საგანია. ჯერ კონცეფცია გვჭირდება დიედრული კუთხე.

9.1 დიჰედრული კუთხე

დიედრული კუთხე არის ორი ნახევრად სიბრტყე საერთო სწორი ხაზით (რომელსაც დიედრული კუთხის კიდე ეწოდება). ნახ. 50 გვიჩვენებს დიედრალურ კუთხეს, რომელიც წარმოიქმნება ნახევრად სიბრტყეებით და; ამ დიჰედრული კუთხის კიდე არის სწორი ხაზი a, საერთო ამ ნახევრად სიბრტყეებისთვის.

ბრინჯი. 50. დიჰედრული კუთხე

დიედრული კუთხე შეიძლება გაიზომოს გრადუსებში ან რადიანებში ერთი სიტყვით, შეიყვანეთ დიედრული კუთხის კუთხური მნიშვნელობა. ეს კეთდება შემდეგნაირად.

ნახევრად სიბრტყეებით წარმოქმნილი დიჰედრული კუთხის კიდეზე და ვიღებთ თვითნებურ წერტილს M. დავხატოთ MA და MB სხივები, რომლებიც დევს შესაბამისად ამ ნახევრად სიბრტყეში და კიდეზე პერპენდიკულარულად (სურ. 51).

ბრინჯი. 51. წრფივი დიედრული კუთხე

შედეგად მიღებული კუთხე AMB არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე. კუთხე " = \AMB არის ზუსტად ჩვენი დიედრული კუთხის კუთხის მნიშვნელობა.

განმარტება. კუთხოვანი მნიშვნელობადიედრული კუთხე არის მოცემული დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის სიდიდე.

დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია (ბოლოს და ბოლოს, ისინი ერთმანეთისგან მიიღება პარალელური გადანაცვლებით). Ამიტომაც ამ განმარტებასსწორია: მნიშვნელობა " არ არის დამოკიდებული M წერტილის კონკრეტულ არჩევანზე დიედრული კუთხის კიდეზე.

9.2 სიბრტყეებს შორის კუთხის განსაზღვრა

როდესაც ორი სიბრტყე იკვეთება, მიიღება ოთხი დიედრული კუთხე. თუ ყველას აქვს იგივე ზომა(90-ით), მაშინ სიბრტყეებს პერპენდიკულარული ეწოდება; მაშინ სიბრტყეებს შორის კუთხე არის 90.

თუ ყველა დიედრული კუთხე არ არის ერთნაირი (ანუ არის ორი მწვავე და ორი ბლაგვი), მაშინ სიბრტყეებს შორის კუთხე არის მწვავე დიედრული კუთხის მნიშვნელობა (ნახ. 52).

ბრინჯი. 52. კუთხე სიბრტყეებს შორის

9.3 პრობლემის გადაჭრის მაგალითები

მოდით შევხედოთ სამ პრობლემას. პირველი მარტივია, მეორე და მესამე არის დაახლოებით C2 დონეზე მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის შესახებ.

ამოცანა 1. იპოვეთ კუთხე წესიერი ტეტრაედნის ორ სახეს შორის.

გამოსავალი. მოდით ABCD რეგულარული ტეტრაედონი. დავხატოთ შესაბამისი სახეების AM და DM მედიანები, ასევე ტეტრაედრის DH სიმაღლე (სურ. 53).

ბრინჯი. 53. დავალება 1

როგორც მედიანები, AM და DM ასევე სიმაღლეა ტოლგვერდა სამკუთხედები ABC და DBC. მაშასადამე, კუთხე " = \AMD არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ABC და DBC სახეებით. მას ვპოულობთ სამკუთხედიდან DHM:

პასუხი: arccos 1 3 .

ამოცანა 2. ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდაში SABCD (S წვერით) გვერდითი კიდე ფუძის გვერდის ტოლია. წერტილი K არის SA კიდის შუა. იპოვნეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის

გამოსავალი. წრფე BC არის AD-ის პარალელურად და, შესაბამისად, სიბრტყის ADS-ის პარალელურად. მაშასადამე, KBC სიბრტყე კვეთს ADS სიბრტყეს KL სწორი ხაზის გასწვრივ BC-ის პარალელურად (ნახ. 54).

ბრინჯი. 54. დავალება 2

ამ შემთხვევაში, KL ასევე იქნება AD წრფის პარალელურად; აქედან გამომდინარე KL შუა ხაზისამკუთხედი ADS და წერტილი L არის DS-ის შუა წერტილი.

ვიპოვოთ პირამიდის SO სიმაღლე. დაე N იყოს DO-ს შუა. მაშინ LN არის DOS სამკუთხედის შუა ხაზი და, შესაბამისად, LN k SO. ეს ნიშნავს, რომ LN არის ABC სიბრტყის პერპენდიკულარული.

N წერტილიდან ვამცირებთ პერპენდიკულარულ NM-ს BC სწორ ხაზზე. სწორი ხაზი NM იქნება დახრილი LM-ის პროექცია ABC სიბრტყეზე. სამი პერპენდიკულარული თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ LM ასევე პერპენდიკულარულია BC.

ამრიგად, კუთხე " = \LMN არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება KBC და ABC ნახევრად სიბრტყეებით. ამ კუთხეს ვეძებთ LMN მართკუთხა სამკუთხედიდან.

პირამიდის კიდე ტოლი იყოს a. ჯერ ვიპოვით პირამიდის სიმაღლეს:

გამოსავალი. ვთქვათ L იყოს A1 K და AB წრფეების გადაკვეთის წერტილი. შემდეგ თვითმფრინავი A1 KC კვეთს ABC სიბრტყეს CL სწორი ხაზის გასწვრივ (ნახ.55).

ა C

ბრინჯი. 55. პრობლემა 3

სამკუთხედები A1 B1 K და KBL ტოლია ფეხით და მწვავე კუთხით. ამიტომ, სხვა ფეხები ტოლია: A1 B1 = BL.

განვიხილოთ სამკუთხედი ACL. მასში BA = BC = BL. კუთხე CBL არის 120; შესაბამისად, \BCL = 30 . ასევე, \BCA = 60 . ამიტომ \ACL = \BCA + \BCL = 90.

მაშ, LC? AC. მაგრამ ხაზი AC ემსახურება როგორც A1 C ხაზის პროექციას ABC სიბრტყეზე. სამი პერპენდიკულარულის თეორემით დავასკვნათ, რომ LC ? A1 C.

ამრიგად, A1 CA კუთხე არის A1 KC და ABC ნახევრად სიბრტყეების მიერ წარმოქმნილი დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე. ეს არის სასურველი კუთხე. ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედიდან A1 AC ვხედავთ, რომ ის უდრის 45-ს.

სამუშაოს ტიპი: 14
თემა: კუთხე სიბრტყეებს შორის

მდგომარეობა

დანა სწორი პრიზმა ABCDA_1B_1C_1D_1, M და N არის AB და BC კიდეების შუა წერტილები, შესაბამისად, წერტილი K არის MN-ის შუა წერტილი.

ა)დაამტკიცეთ, რომ წრფეები KD_1 და MN პერპენდიკულარულია.

ბ)იპოვეთ კუთხე MND_1 და ABC სიბრტყეს შორის თუ AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

გამოსავალი

ა)\ სამკუთხედში DCN და \triangle MAD გვაქვს: \კუთხე C=\კუთხე A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD=DA.

აქედან გამომდინარე, \სამკუთხედი DCN=\სამკუთხედი MAD ორ ფეხზე. მაშინ MD=DN, \სამკუთხედი DMNტოლფერდა. ეს ნიშნავს, რომ მედიანური DK ასევე არის სიმაღლე. ამიტომ, DK \perp MN.

DD_1 \perp MND პირობით, D_1K - ირიბი, KD - პროექცია, DK \perp MN.

აქედან გამომდინარე, თეორემით სამი პერპენდიკულარული MN\perp D_1K.

ბ)როგორც დადასტურდა ა), DK \perp MN და MN \perp D_1K, მაგრამ MN არის MND_1 და ABC სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი, რაც ნიშნავს, რომ \ კუთხე DKD_1 არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე MND_1 და ABC სიბრტყეებს შორის.

\სამკუთხედში DAM პითაგორას თეორემის მიხედვით DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2.ამიტომ, \სამკუთხედში DKM პითაგორას თეორემით DK= \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2.შემდეგ \სამკუთხედში DKD_1, tg\კუთხე DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

ეს ნიშნავს \ კუთხე DKD_1=45^(\circ).

უპასუხე

45^ (\ circ).

სამუშაოს ტიპი: 14
თემა: კუთხე სიბრტყეებს შორის

მდგომარეობა

მარჯვნივ ოთხკუთხა პრიზმაფუძის ABCDA_1B_1C_1D_1 მხარე არის 4, გვერდითი ნეკნებიუდრის 6-ს. წერტილი M არის CC_1 კიდეს შუა, N წერტილი მონიშნულია BB_1 კიდეზე, ისე, რომ BN:NB_1=1:2.

ა)რა თანაფარდობით ყოფს AMN სიბრტყე ზღვარს DD_1?

ბ)იპოვეთ კუთხე ABC და AMN სიბრტყეს შორის.

გამოსავალი

ა)სიბრტყე AMN კვეთს კიდეს DD_1 K წერტილში, რომელიც არის მოცემული პრიზმის მონაკვეთის მეოთხე წვერო ამ სიბრტყით. განივი კვეთა არის პარალელოგრამი ANMK, რადგან მოცემული პრიზმის საპირისპირო სახეები პარალელურია.

BN =\frac13BB_1=2.დავხატოთ KL \პარალელური CD, შემდეგ სამკუთხედები ABN და KLM ტოლია, რაც ნიშნავს ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD=LC=1.მაშინ KD_1=6-1=5. ახლა შეგიძლიათ იპოვოთ თანაფარდობა KD:KD_1=1:5.

ბ) F არის CD და KM სწორი ხაზების გადაკვეთის წერტილი. თვითმფრინავები ABC და AMN იკვეთება AF სწორი ხაზის გასწვრივ. კუთხე \კუთხე KHD =\ალფა არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე (HD\perp AF, შემდეგ თეორემით, თეორემის საპირისპიროდაახლოებით სამი პერპენდიკულარი, KH \perp AF ), და არის მწვავე კუთხემართკუთხა სამკუთხედი KHD, ფეხი KD=1.

სამკუთხედები FKD და FMC მსგავსია (KD \პარალელური MC), შესაბამისად FD:FC=KD:MC პროპორციის FD:(FD+4)=1:3 ამოხსნით ვიღებთ FD=2. IN მართკუთხა სამკუთხედი AFD (\კუთხე D=90^(\circ)) 2 და 4 ფეხებით გამოთვალეთ ჰიპოტენუზა AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)= \frac4 (\sqrt 5).

მართკუთხა სამკუთხედში KHD ვპოულობთ tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4,ეს ნიშნავს სასურველ კუთხეს \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

უპასუხე

ა) 1:5;

ბ) arctg\frac(\sqrt 5)4.

წყარო: „მათემატიკა. 2017 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მზადება. პროფილის დონე" რედ. F. F. Lysenko, S. Yu.

სამუშაოს ტიპი: 14
თემა: კუთხე სიბრტყეებს შორის

მდგომარეობა

დანა მართალია ოთხკუთხა პირამიდა KMNPQ ბაზის გვერდით MNPQ ტოლი 6-ისა და გვერდითი ნეკნით 3\sqrt (26).

ა)ააგეთ პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის NF წრფეზე დიაგონალური MP-ის პარალელურად, თუ წერტილი F არის MK კიდის შუა.

ბ)იპოვეთ კუთხე მონაკვეთის სიბრტყესა და KMP სიბრტყეს შორის.

გამოსავალი

ა)მოდით KO იყოს პირამიდის სიმაღლე, F MK-ის შუა წერტილი; FE\პარალელური დეპუტატი (PKM სიბრტყეში) . ვინაიდან FE არის \სამკუთხედის PKM შუა ხაზი, მაშინ FE=\frac(MP)2.

მოდით ავაშენოთ პირამიდის მონაკვეთი სიბრტყით, რომელიც გადის NF-ზე და პარალელურად MP-ს, ანუ სიბრტყის NFE-ს. L არის EF და KO-ს გადაკვეთის წერტილი. ვინაიდან L და N წერტილები მიეკუთვნება სასურველ მონაკვეთს და დევს KQN სიბრტყეში, მაშინ T წერტილი, რომელიც მიღებულია როგორც LN და KQ კვეთა, ასევე არის სასურველი მონაკვეთისა და კიდის KQ გადაკვეთის წერტილი. NETF არის საჭირო განყოფილება.

ბ)თვითმფრინავები NFE და MPK იკვეთება FE სწორი ხაზის გასწვრივ. ეს ნიშნავს, რომ ამ სიბრტყეებს შორის კუთხე უდრის OFEN დიედრული კუთხის წრფივ კუთხეს, მოდით ავაშენოთ იგი: LO\perpMP, MP\პარალელური FE,აქედან გამომდინარე, LO\perpFE;\სამკუთხედი NFE - ტოლფერდა (NE=NF, როგორც შესაბამისი მედიანები თანაბარი სამკუთხედები KPN და KMN ), NL არის მისი მედიანა (EL=LF, ვინაიდან PO=OM და \სამკუთხედი KEF \sim \სამკუთხედი KPM) . აქედან გამომდინარე NL \perp FE და \angle NLO არის სასურველი.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\სამკუთხედი KON - მართკუთხა.

ფეხი KO პითაგორას თეორემის მიხედვით უდრის KO=\sqrt (KN^2-ON^2).

OL = \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6= 3\sqrt 6.

tg\კუთხე NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

\კუთხე NLO=30^(\circ).

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. 2017 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მზადება. პროფილის დონე." რედ. F. F. Lysenko, S. Yu.

სამუშაოს ტიპი: 14
თემა: კუთხე სიბრტყეებს შორის

მდგომარეობა

ყველა ნეკნი სწორია სამკუთხა პრიზმა ABCA_(1)B_(1)C_(1) უდრის 6-ს. საჭრელი სიბრტყე დახაზულია AC და BB_(1) კიდეების შუა წერტილებში და A_(1) წვეროზე.

ა)დაამტკიცეთ, რომ BC ზღვარი იყოფა ჭრის სიბრტყით 2:1 თანაფარდობით, C წვეროდან დათვლა.

ბ)იპოვეთ კუთხე საჭრელ სიბრტყესა და საბაზისო სიბრტყეს შორის.

გამოსავალი

ა)მოდით D და E იყოს AC და BB_(1) კიდეების შუა წერტილები.

AA_(1)C_(1) სიბრტყეში ვხაზავთ A_(1)D სწორ ხაზს, რომელიც კვეთს CC_(1) სწორ ხაზს K წერტილში, სიბრტყეში BB_(1)C_(1) - სწორი ხაზი. KE, რომელიც კვეთს BC კიდეს F წერტილში. AA_(1)B_(1) სიბრტყეში მდებარე A_(1) და E წერტილების შეერთებით, ასევე ABC სიბრტყეში მდებარე D და F, ვიღებთ A_(1)EFD მონაკვეთს.

\დიდი სამკუთხედი AA_(1)D=\დიდი სამკუთხედი CDKფეხის გასწვრივ AD=DC და მწვავე კუთხე.

\კუთხე ADA_(1)=\კუთხე CDK - ვერტიკალურის მსგავსად, აქედან გამომდინარეობს, რომ AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF და \bigtriangleup BFE მსგავსია ორი კუთხით \კუთხე FBE=\კუთხე KCF=90^\circ,\angle BFE=\კუთხე CFK - როგორც ვერტიკალური.

\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2,ანუ მსგავსების კოეფიციენტი არის 2, რაც ნიშნავს, რომ CF:FB=2:1.

ბ)განვახორციელოთ AH \perp DF. კუთხე მონაკვეთის სიბრტყესა და ფუძის სიბრტყეს შორის ტოლია კუთხის AHA_(1). მართლაც, სეგმენტი AH \perp DF (DF არის ამ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი) ​​არის A_(1)H მონაკვეთის პროექცია საბაზისო სიბრტყეზე, შესაბამისად, სამი პერპენდიკულარულის თეორემის მიხედვით, A_(1)H. \perp DF. \კუთხე AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH). AA_(1)=6.

მოდი ვიპოვოთ AH. \კუთხე ADH =\კუთხე FDC (იგივე ვერტიკალური).

კოსინუსების თეორემით \bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2- 2DF\cdot DC\cdot\cos\კუთხის FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \კუთხე FDC,

\cos \კუთხე FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

ძირითადი ტრიგონომეტრიული იდენტობის შედეგად

\sin \კუთხე FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13))\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .\bigtriangleup ADH-დან ვიპოვით AH:

AH=AD \cdot \sin \კუთხე ADH, (\კუთხე FDC=\კუთხე ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)).

\კუთხე AHA_(1)= arctg\frac(AA_(1))(AH)= arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))= arctg\frac(\sqrt(39))(3).

უპასუხე

arctg\frac(\sqrt(39))(3).

წყარო: „მათემატიკა. 2017 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მზადება. პროფილის დონე." რედ. F. F. Lysenko, S. Yu.

სამუშაოს ტიპი: 14
თემა: კუთხე სიბრტყეებს შორის

მდგომარეობა

მარჯვენა პრიზმის ფუძე ABCDA_(1)B_(1)C_(1)D_(1) არის რომბი ბლაგვი კუთხე B უდრის 120^\circ. ამ პრიზმის ყველა კიდე უდრის 10-ს. წერტილები P და K არის CC_(1) და CD კიდეების შუა წერტილები, შესაბამისად.

ა)დაამტკიცეთ, რომ წრფეები PK და PB_(1) პერპენდიკულარულია.

ბ)იპოვეთ კუთხე PKB_(1) და C_(1)B_(1)B სიბრტყეებს შორის.

გამოსავალი

ა)ჩვენ გამოვიყენებთ კოორდინატთა მეთოდს. ვიპოვოთ \vec(PK) და \vec(PB_(1) ვექტორების სკალარული ნამრავლი, შემდეგ კი ამ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი. მოდით მივმართოთ Oy ღერძი CD-ს გასწვრივ, Oz ღერძი CC_(1) და Ox ღერძი \perp CD. C არის წარმოშობა.

შემდეგ C (0;0;0); C_(1) (0;0;10); P(0;0;5); კ(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0),ანუ B(5\sqrt(3); 5;0), B_(1) (5\sqrt(3); 5;10).

ვიპოვოთ ვექტორების კოორდინატები: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\).

მოდით კუთხე \vec(PK) და \vec(PB_(1)) შორის იყოს \alpha-ის ტოლი.

ვიღებთ \cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)= \frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0.

\cos \alpha =0, ​​რაც ნიშნავს \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) და ხაზები PK და PB_(1) პერპენდიკულარულია.

ბ)სიბრტყეებს შორის კუთხე ტოლია ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულ არანულოვან ვექტორებს შორის (ან, თუ კუთხე ბლაგვია, მის მიმდებარე კუთხეს) შორის. ასეთ ვექტორებს სიბრტყეების ნორმალურებს უწოდებენ. მოდი ვიპოვოთ ისინი.

მოდით \vec(n_(1))=\(x; y; z\) იყოს PKB_(1) სიბრტყის პერპენდიკულარული. მოდი ვიპოვოთ ის სისტემის ამოხსნით \begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \დასრულება (შემთხვევები)

\begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \დასრულება (შემთხვევები)

\begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \დასრულება (შემთხვევები)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \დასრულება (შემთხვევები)

Მოდი ავიღოთ y=1; z=1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)), \vec(n_(1))=\მარცხნივ \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \მარჯვნივ \).

მოდით \vec(n_(2))=\(x; y; z\) იყოს C_(1)B_(1)B სიბრტყის პერპენდიკულარული. მოდი ვიპოვოთ ის სისტემის ამოხსნით \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \დასრულება (შემთხვევები)

\vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \დასრულება (შემთხვევები)

\ დასაწყისი (შემთხვევები) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \დასრულება (შემთხვევები)

\begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \დასრულება (შემთხვევები)

Მოდი ავიღოთ x=1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\).

ვიპოვოთ სასურველი კუთხის \beta კოსინუსი (ის მოდულის ტოლი\vec(n_(1)) და \vec(n_(2)) შორის კუთხის კოსინუსი.

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)= \frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \მარჯვნივ |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))= \frac(\dfrac(5)(\sqrt(3)))(2\sqrt(\dfrac(10)(3)))= \frac(\sqrt(10))(4).

\cos \beta =\frac(\sqrt(10))(4), \beta=\arccos\frac(\sqrt(10))(4).

უპასუხე

\arccos\frac(\sqrt(10))(4)

წყარო: „მათემატიკა. 2017 წლის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მზადება. პროფილის დონე." რედ. F. F. Lysenko, S. Yu.

ABCD არის კვადრატი და გვერდითი სახეები- თანაბარი ოთხკუთხედები.

ვინაიდან მონაკვეთის სიბრტყე გადის M და D წერტილებში AC დიაგონალის პარალელურად, მაშინ მისი ასაგებად A_(1)AC სიბრტყეში M წერტილის გავლით ვხატავთ MN სეგმენტს AC-ის პარალელურად. ვიღებთ AC \პარალელელს (MDN) წრფისა და სიბრტყის პარალელიზმზე დაყრდნობით.

სიბრტყე MDN კვეთს პარალელურ სიბრტყეებს A_(1)AD და B_(1)BC, შემდეგ თვისებით პარალელური სიბრტყეები, A_(1)ADD_(1) და B_(1)BCC_(1) სახეების გადაკვეთის ხაზები MDN სიბრტყესთან პარალელურია.

დავხატოთ NE სეგმენტი MD სეგმენტის პარალელურად.

ოთხკუთხედი DMEN არის აუცილებელი განყოფილება.

ბ)ვიპოვოთ კუთხე მონაკვეთის სიბრტყესა და ფუძის სიბრტყეს შორის. მოდით, მონაკვეთის სიბრტყე გადაკვეთოს საბაზისო სიბრტყეს D წერტილის გავლით რომელიღაც სწორი ხაზის გასწვრივ p. AC \პარალელური MN, მაშასადამე, AC \პარალელური p (თუ სიბრტყე გადის სხვა სიბრტყის პარალელურ წრფეზე და კვეთს ამ სიბრტყეს, მაშინ სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზი ამ წრფის პარალელურია). BD \perp AC როგორც კვადრატის დიაგონალები, რაც ნიშნავს BD \perp p. BD არის ED-ის პროექცია ABC სიბრტყეზე, შემდეგ სამი პერპენდიკულარულის თეორემა ED \perp p, შესაბამისად, \კუთხე EDB არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე მონაკვეთის სიბრტყესა და საბაზისო სიბრტყეს შორის.

დააყენეთ ოთხკუთხა DMEN-ის ტიპი. MD \პარალელური EN, ME \პარალელური DN-ის მსგავსი, რაც ნიშნავს, რომ DMEN არის პარალელოგრამი, და ვინაიდან MD=DN (მართკუთხა სამკუთხედები MAD და NCD ტოლია ორ ფეხზე: AD=DC როგორც კვადრატის გვერდები, AM=CN როგორც მანძილი AC და MN პარალელურ ხაზებს შორის), ამიტომ DMEN არის რომბი. აქედან გამომდინარე, F არის MN-ის შუა წერტილი.

პირობით AM:MA_(1)=2:3, მაშინ AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6).

AMNC არის მართკუთხედი, F არის MN-ის შუა, O არის AC-ის შუა. ნიშნავს, FO\პარალელური MA, FO\perp AC, FO=MA=2\sqrt(6).

იმის ცოდნა, რომ კვადრატის დიაგონალი არის a\sqrt(2),სადაც a არის კვადრატის მხარე, მივიღებთ BD=4\sqrt(2). OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2).

მართკუთხა სამკუთხედში FOD\ensspace tg \კუთხე FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3).ამიტომ, \ კუთხე FDO=60^\circ.