შუა პერპენდიკულური მართკუთხა სამკუთხედში. სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრე წრეში ჩაწერილი სამკუთხედი

თეორემების მტკიცებულებები სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის თვისებებზე

სეგმენტის შუა პერპენდიკულარულად

განმარტება 1 . სეგმენტის შუა პერპენდიკულარულადამ სეგმენტზე პერპენდიკულარული და მის შუაზე გამავალი სწორი ხაზი (ნახ. 1).

თეორემა 1. სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტრის თითოეული წერტილი არის ბოლოებიდან იმავე მანძილზე ამ სეგმენტს.

მტკიცებულება . განვიხილოთ თვითნებური წერტილი D, რომელიც მდებარეობს AB მონაკვეთის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე (ნახ. 2) და დაამტკიცეთ, რომ ADC და BDC სამკუთხედები ტოლია.

მართლაც, ეს სამკუთხედები არის მართკუთხა სამკუთხედები, რომელთა ფეხები AC და BC ტოლია, ხოლო ფეხები DC საერთოა. ADC და BDC სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს AD და DB სეგმენტების ტოლობა. თეორემა 1 დადასტურებულია.

თეორემა 2 (თეორემა 1-ის შებრუნება). თუ წერტილი არის იმავე მანძილზე სეგმენტის ბოლოებიდან, მაშინ ის დევს ამ სეგმენტის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე.

მტკიცებულება . დავამტკიცოთ თეორემა 2 მეთოდით „წინააღმდეგობით“. ამ მიზნით, დავუშვათ, რომ რაღაც E წერტილი არის იმავე მანძილზე სეგმენტის ბოლოებიდან, მაგრამ არ დევს ამ სეგმენტის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე. მოდით მივიყვანოთ ეს ვარაუდი წინააღმდეგობაში. ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც E და A წერტილები დგანან პერპენდიკულარული ბისექტრის მოპირდაპირე მხარეს (სურ. 3). ამ შემთხვევაში EA სეგმენტი რაღაც წერტილში კვეთს პერპენდიკულარულ ბისექტორს, რომელსაც აღვნიშნავთ ასო D-ით.

დავამტკიცოთ, რომ AE სეგმენტი EB სეგმენტზე გრძელია. მართლაც,

ამრიგად, იმ შემთხვევაში, როდესაც E და A წერტილები დევს პერპენდიკულარული ბისექტრის მოპირდაპირე მხარეს, მივიღეთ წინააღმდეგობა.

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც E და A წერტილები დევს პერპენდიკულარული ბისექტრის ერთ მხარეს (სურ. 4). დავამტკიცოთ, რომ EB სეგმენტი უფრო გრძელია ვიდრე AE სეგმენტი. მართლაც,

შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა ავსებს თეორემა 2-ის დადასტურებას

წრე, რომელიც აკრავს სამკუთხედს

განმარტება 2 . წრე, რომელიც აკრავს სამკუთხედს, მოვუწოდებთ სამკუთხედის სამივე წვეროზე გამავალ წრეს (სურ. 5). ამ შემთხვევაში სამკუთხედი ეწოდება წრეში ჩაწერილი სამკუთხედიან ჩაწერილი სამკუთხედი.

სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის თვისებები. სინუსების თეორემა

ფიგურა	ნახატი	საკუთრება
შუა პერპენდიკულარები სამკუთხედის გვერდებზე		იკვეთება ერთ წერტილში .

ცენტრი შემოიფარგლება წრის მახვილი სამკუთხედის გარშემო		ცენტრში აღწერილია მწვავე-კუთხოვანი შიგნით სამკუთხედი.
ცენტრი მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრე		ცენტრში აღწერილი შესახებ მართკუთხა ჰიპოტენუზის შუა წერტილი .
ცენტრი შემოხაზული წრის ბლაგვი სამკუთხედის გარშემო		ცენტრში აღწერილია ბლაგვი წრის სამკუთხედი დევს გარეთ სამკუთხედი.
		,
მოედანი სამკუთხედი		S= 2რ 2 ცოდვა აცოდვა ბცოდვა C ,
შემოხაზული წრის რადიუსი		ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, ტოლობა მართალია:

სამკუთხედის გვერდების შუა პერპენდიკულარები

ყველა პერპენდიკულარული ბისექტორი დახატული თვითნებური სამკუთხედის გვერდებზე, იკვეთება ერთ წერტილში .

წრე, რომელიც აკრავს სამკუთხედს

ნებისმიერი სამკუთხედი შეიძლება შემოიფარგლოს წრით. . სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი არის წერტილი, სადაც იკვეთება სამკუთხედის გვერდებზე გამოსახული ყველა პერპენდიკულური ბისექტორი.

მკვეთრი სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი

ცენტრში აღწერილია მწვავე-კუთხოვანი წრის სამკუთხედი დევს შიგნით სამკუთხედი.

მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი

ცენტრში აღწერილი შესახებ მართკუთხა წრის სამკუთხედი არის ჰიპოტენუზის შუა წერტილი .

ბლაგვი სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი

ცენტრში აღწერილია ბლაგვი წრის სამკუთხედი დევს გარეთ სამკუთხედი.

ნებისმიერი სამკუთხედისთვის ტოლობები მოქმედებს (სინუს თეორემა):

სადაც a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, A, B, C არის სამკუთხედის კუთხეები, R არის შემოხაზული წრის რადიუსი.

სამკუთხედის ფართობი

ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, ტოლობა მართალია:

S= 2რ 2 ცოდვა აცოდვა ბცოდვა C ,

სადაც A, B, C არის სამკუთხედის კუთხეები, S არის სამკუთხედის ფართობი, R არის შემოხაზული წრის რადიუსი.

შემოხაზული წრის რადიუსი

ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, ტოლობა მართალია:

სადაც a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, S არის სამკუთხედის ფართობი, R არის შემოხაზული წრის რადიუსი.

თეორემების მტკიცებულებები სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის თვისებებზე

თეორემა 3. თვითნებური სამკუთხედის გვერდებზე დახატული ყველა შუა პერპენდიკულა ერთ წერტილში იკვეთება.

მტკიცებულება . განვიხილოთ ABC სამკუთხედის AC და AB გვერდებზე გამოყვანილი ორი პერპენდიკულარული ბისექტორი და აღნიშნეთ მათი გადაკვეთის წერტილი ასო O-სთან (ნახ. 6).

ვინაიდან წერტილი O დგას AC სეგმენტის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე, თეორემა 1-ის მიხედვით ტოლობა მოქმედებს.

შუა პერპენდიკულარული (მედიანური პერპენდიკულარულიან მედიატრიქსი) არის სწორი ხაზი მოცემული სეგმენტის პერპენდიკულარული და გადის მის შუა წერტილში.

Თვისებები

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

სადაც სუბსკრიპტი მიუთითებს მხარეს, რომელზეც პერპენდიკულარია დახატული,

ს

არის სამკუთხედის ფართობი და ასევე ვარაუდობენ, რომ გვერდები დაკავშირებულია უტოლობებით

a \geqslant b \geqslant გ.

p_a\geq p_b

და

p_c\geq p_b.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სამკუთხედისთვის ყველაზე პატარა პერპენდიკულური ბისექტორი შუა სეგმენტს ეხება.

დაწერეთ მიმოხილვა სტატიაზე "შუა პერპენდიკულარი"

შენიშვნები

პერპენდიკულარული ბისექტრის დამახასიათებელი ამონაწერი

კუტუზოვი, რომელიც ღეჭვას წყვეტდა, გაკვირვებული უყურებდა ვოლცოგენს, თითქოს ვერ ხვდებოდა, რას ეუბნებოდნენ. ვოლცოგენმა შეამჩნია des alten Herrn-ის [მოხუცი ჯენტლმენი (გერმანელი)] აღელვება, ღიმილით თქვა:
- მე არ ვთვლიდი ჩემს თავს უფლებას დამემალო თქვენი ბატონობისგან ის, რაც ვნახე... ჯარები სრულ არეულობაში არიან...
- Გინახავს? ნახე? .. - წარბშეკრულმა შესძახა კუტუზოვმა, სწრაფად წამოდგა და ვოლცოგენზე მიიწია. "როგორ ბედავ... როგორ ბედავ...!" დაიყვირა მან, მუქარის ჟესტებს აკეთებდა ხელების ქნევით და ახრჩობით. - როგორ ბედავ, ჩემო ძვირფასო, ეს მითხარი. შენ არაფერი არ იცი. უთხარით ჩემგან გენერალ ბარკლეს, რომ მისი ინფორმაცია არასწორია და ბრძოლის რეალური მიმდინარეობა მე, მთავარსარდალმა, მასზე უკეთ ვიცი.
ვოლცოგენს რაღაცის წინააღმდეგობა სურდა, მაგრამ კუტუზოვმა შეაწყვეტინა.
- მტერი მარცხნივ მოგერიებულია და მარჯვენა ფლანგზე დამარცხებულია. თუ კარგად არ გინახავთ, ძვირფასო ბატონო, ნუ მისცემთ საკუთარ თავს უფლებას თქვათ ის, რაც არ იცით. გთხოვთ, მიდით გენერალ ბარკლეისთან და მიაწოდეთ მას ჩემი შეუცვლელი განზრახვა ხვალ მტერზე თავდასხმის შესახებ, - მკაცრად თქვა კუტუზოვმა. ყველა დუმდა და მოხუცი გენერლის ერთი მძიმე სუნთქვა ისმოდა. - ყველგან მოგერიებული, რისთვისაც მადლობას ვუხდი ღმერთს და ჩვენს მამაც ჯარს. მტერი დამარცხებულია და ხვალ განვადევნეთ წმინდა რუსული მიწიდან, - თქვა კუტუზოვმა გადაჯვარედინად; და უცებ ცრემლები წამოუვიდა. ვოლცოგენი, მხრები აიჩეჩა და ტუჩები ატრიალდა, ჩუმად გადგა გვერდით და გაოცებული იყო uber diese Eingenommenheit des alten Herrn-ით. [მოხუცი ჯენტლმენის ამ ტირანიაზე. (გერმანული)]
”დიახ, ის არის, ჩემო გმირო”, - უთხრა კუტუზოვმა ჭუჭყიან, ლამაზ შავთმიან გენერალს, რომელიც იმ დროს ბორცვზე შედიოდა. ეს იყო რაევსკი, რომელმაც მთელი დღე გაატარა ბოროდინოს ველის მთავარ წერტილში.
რაევსკიმ იტყობინება, რომ ჯარები მტკიცედ იყვნენ თავიანთ ადგილებზე და რომ ფრანგები ვეღარ ბედავდნენ შეტევას. მისი მოსმენის შემდეგ კუტუზოვმა ფრანგულად თქვა:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes ავალდებულებს პენსიონერს? [ასე რომ, სხვების მსგავსად არ ფიქრობთ, რომ უკან დავიხიოთ?]

პრობლემების ახალი კლასის წარმოდგენის შესაქმნელად - გეომეტრიული ფიგურების აგება კომპასისა და მმართველის გამოყენებით მასშტაბის გაყოფის გარეშე.

წარმოგიდგენთ GMT-ის კონცეფციას.

მიეცით პერპენდიკულარული ბისექტრის განმარტება, ასწავლეთ მისი აგება და დაადასტურეთ ტერმინი პერპენდიკულარული ბისექტრის შესახებ, ისევე როგორც მისი შებრუნებული.

Compass-3D კომპიუტერული ნახაზის სისტემის გამოყენებით შეასრულეთ გეომეტრიული კონსტრუქციები, რომლებიც რეკომენდირებულია გეომეტრიის კურსზე განხორციელდეს კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით.

სახელმძღვანელო (დანართი No1)

კომპასით და სახაზავით განყოფილების გარეშე მშენებლობის პრობლემები ყველაზე ხშირად წყდება გარკვეული სქემის მიხედვით:

ᲛᲔ. ანალიზი: დახაზეთ სასურველი ფიგურა სქემატურად და დაამყარეთ კავშირი პრობლემის მონაცემებსა და სასურველ ელემენტებს შორის.

II. Შენობა: გეგმის მიხედვით აშენებენ კომპასით და სახაზავებით.

III. მტკიცებულება: დაამტკიცეთ, რომ აგებული ფიგურა აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს.

IV. Სწავლა: ჩაატარეთ კვლევა, ნებისმიერი მონაცემისთვის, აქვს თუ არა პრობლემას გამოსავალი და თუ ასეა, რამდენი გამოსავალი (არ შესრულდეს ყველა პრობლემაში).

აქ მოცემულია ელემენტარული სამშენებლო ამოცანების რამდენიმე მაგალითი, რომლებსაც განვიხილავთ:

1. გამოყავით ამ სეგმენტის ტოლი (ადრე შესწავლილი).

2. მონაკვეთის პერპენდიკულარული ბისექტრის აგება:

მოცემული სეგმენტის შუა წერტილის აგება;
ააგეთ წრფე, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში და პერპენდიკულარულია მოცემულ წრფეზე (წერტილი შეიძლება იყოს მოცემულ წრფეზე ან არ იყოს).

3. კუთხის ბისექტრის აგება.

4. მოცემულის ტოლი კუთხის აგება.

შუალედი სეგმენტის პერპენდიკულარულად.

განმარტება: სეგმენტის პერპენდიკულური ბისექტორი არის წრფე, რომელიც გადის სეგმენტის შუა წერტილში და პერპენდიკულარულია მასზე.

დავალება: "ააგეთ პერპენდიკულარული ბისექტორი სეგმენტზე." პრეზენტაცია

O - AB-ის შუა

მშენებლობის აღწერა ( სლაიდი ნომერი 4):

სხივი a; A - სხივის დასაწყისი

გარშემოწერილობა (A; r =m)

წრე a = B; AB = m

წრე 1 (A; r 1 > m/2)

წრე 2 (B; r 1)

წრე 1 წრე 2 =

მნ ; MN AB =0, (MN = L)

სადაც MN AB, O არის AB-ის შუა წერტილი

III. მტკიცებულება(სლაიდი ნომერი 5, 6)

1. განვიხილოთ AMN და BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, შესაბამისად AM = BN, AN = BM MN არის საერთო მხარე

(სურათი 3)

ამიტომ, AMN = BNM (3 მხარეს),

აქედან გამომდინარე

1=2 (განმარტებით ტოლია)

3=4 (განმარტებით ტოლია)

2. MAN და NBM არის ტოლფერდა (განმარტებით) ->

1 \u003d 4 და 3 \u003d 2 (ტოლფეროვნების თვისებით)

3. 1 და 2 წერტილებიდან -> 1 = 3 ამიტომ MO არის ტოლფერდა AMB ბისექტორი

4. ამგვარად დავამტკიცეთ, რომ MN არის AB სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტორი

IV. Სწავლა

ამ პრობლემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა, რადგან ნებისმიერ წრფის სეგმენტს აქვს მხოლოდ ერთი შუა წერტილი და მოცემული წერტილის გავლით შეიძლება მოცემული პერპენდიკულარული წრფის დახატვა.

განმარტება: წერტილების გეომეტრიული სიმრავლე (GMT) არის წერტილების ნაკრები, რომლებსაც აქვთ გარკვეული თვისება. (დანართი No2)

თქვენთვის ცნობილია GMT:

სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტორი არის წერტილების სიმრავლე, რომლებიც თანაბარი მანძილით არიან დაშორებულნი სეგმენტის ბოლოებიდან.
კუთხის ბისექტორი - კუთხის გვერდებიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილთა სიმრავლე

მოდით დავამტკიცოთ თეორემა:

თეორემა: "სეგმენტთან პერპენდიკულარული ბისექტრის თითოეული წერტილი თანაბარი მანძილითაა დაშორებული ამ მონაკვეთის ბოლოებიდან."

(სურათი 4)

მოცემული: AB; MO - პერპენდიკულური ბისექტორი

დადასტურება: AM = VM

მტკიცებულება:

1. MO - პერპენდიკულური ბისექტორი (პირობით) -> O - AB სეგმენტის შუა წერტილი, MOAB

2. განვიხილოთ AMO და WMO - მართკუთხა

MO - საერთო ფეხი

AO \u003d VO (O - AB შუა) -\u003e AMO \u003d BMO (2 ფეხზე) -\u003e AM \u003d VM (თანაბარი სამკუთხედების განმარტებით, როგორც შესაბამისი გვერდები)

ქ.ე.დ

საშინაო დავალება: „დაამტკიცეთ თეორემა მოცემულზე შებრუნებული“

თეორემა: "თითოეული წერტილი, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული სეგმენტის ბოლოებიდან, დევს ამ სეგმენტის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე."

(სურათი 5)

მოცემული: AB; MA=MV

დაამტკიცე: წერტილი M დევს პერპენდიკულარულ ბისექტორზე

მტკიცებულება:

რომ. MO - პერპენდიკულური ბისექტორი, რომელიც შეიცავს ყველა წერტილს, რომლებიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული სეგმენტის ბოლოებიდან.

სამკუთხედის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტორების თვისება

ისინი იკვეთებიან ერთ წერტილში და ეს წერტილი არის სამკუთხედის გარშემო წრეწირის ცენტრი, ვისწავლით მერვე კლასში.

სახელოსნო

მატერიალურ-ტექნიკური აღჭურვილობა:

დისტრიბუცია: 29,574 კბ

ოპერაციული სისტემა: Windows 9x/2000/XP

საიტი: http://www.ascon.ru

ახლა კონსტრუქციას გადავიტანთ კომპიუტერის გრაფიკულ გარემოში (სლაიდი ნომერი 7)

ადრე შეძენილი ცოდნა და უნარები უნდა იქნას გამოყენებული კონკრეტულ დავალებაზე. დაინახავთ, რომ კონსტრუქცია არ დაგჭირდებათ იმაზე მეტ დროს, ვიდრე ბლოკნოტში აშენება. სხვა საკითხებთან ერთად, საინტერესოა იმის დანახვა, თუ როგორ ასრულებს კომპიუტერის გარემო ადამიანის ბრძანებებს პლანშეტური ფიგურების ასაგებად. თქვენს წინაშეა დანართი No3, რომელშიც დეტალურად არის აღწერილი თქვენი მშენებლობის საფეხურები. ჩატვირთეთ პროგრამა და გახსენით ახალი ნახაზი ( სლაიდი ნომერი 8, 9).

დახატეთ პრობლემის პირობით განსაზღვრული გეომეტრიული ობიექტები: სხივი აწერტილიდან დაწყებული ადა სეგმენტი ტოლია მ- თვითნებური სიგრძე ( სლაიდი ნომერი 10).

ჩანართის გამოყენებით ნახაზში შეიყვანეთ სხივის, სეგმენტის, სხივის დასაწყისის აღნიშვნა "ინსტრუმენტები"ტექსტი.

ააგეთ წრე სეგმენტის ტოლი რადიუსით მორიენტირებული წვეროზე მოცემული წერტილით ა (სლაიდი ნომერი 11).

მორიენტირებული A წერტილის წვეროზე ( სლაიდი №12, 13).

ააგეთ წრე, რომლის რადიუსი ტოლია 1/2-ზე მეტი სეგმენტის მამისათვის აირჩიეთ ელემენტი " 2 ქულას შორის” (სლაიდი №14, 15, 16).

წრეების გადაკვეთის წერტილების გავლით მ და ნდახაზეთ ხაზი ( სლაიდი №17,18).

გამოყენებული წიგნები:

უგრინოვიჩ ნ.დ. ”ინფორმატიკა. საბაზო კურსი” მე-7 კლასი. - M.: BINOM - 2008 - 175გვ.
უგრინოვიჩ ნ.დ. ”ვორკშოპი ინფორმატიკისა და საინფორმაციო ტექნოლოგიების შესახებ”. სახელმძღვანელო. - მ.: BINOM, 2004-2006 წწ. -
უგრინოვიჩ ნ.დ. „კურსის „ინფორმატიკა და ისტ“ სწავლება დაწყებითი და საშუალო სკოლის 8-11 კლასებში M.: BINOM Knowledge Laboratory, 2008. - 180 გვ.
Ugrinovich ND კომპიუტერული სემინარი CD-ROM-ზე. - მ.: BINOM, 2004-2006 წწ.
ბოგუსლავსკი A.A., Tretyak T.M. ფარაფონოვი ა.ა. "კომპასი - 3D v 5.11-8.0 სემინარი დამწყებთათვის" - M .: SOLON - PRESS, 2006 - 272 გვ.
ატანასიანი L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., და სხვ. „გეომეტრია 7-9. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლებისთვის "- M: განათლება 2006 - 384 გვ.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. „გეომეტრიის შესწავლა 7-9 კლასი. სახელმძღვანელო სახელმძღვანელოსთვის "- M: განათლება 1997 - 255 გვ.
Afanas'eva T.L., Tapilina L.A. ”გაკვეთილის გეგმები ატანასიან ლ.ს მე-8 კლასის სახელმძღვანელოსთვის.” - ვოლგოგრადის "მასწავლებელი" 2010, 166 გვ.

განაცხადი No1

კომპასისა და სახაზავის აგების შესახებ პრობლემების გადაჭრის გეგმა.

ანალიზი.
მშენებლობა.
მტკიცებულება.
Სწავლა.

ახსნა

ანალიზის ჩატარებისას სქემატურად იხატება საჭირო ფიგურა და მყარდება კავშირი ამოცანის მონაცემებსა და საჭირო ელემენტებს შორის.
გეგმის მიხედვით, მშენებლობა კომპასით და სახაზავით მიმდინარეობს.
ისინი ამტკიცებენ, რომ აგებული ფიგურა აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს.
ჩაატარეთ კვლევა: ნებისმიერ მონაცემს აქვს თუ არა პრობლემას გამოსავალი და თუ ასეა, რამდენი გამოსავალი?

ელემენტარული სამშენებლო ამოცანების მაგალითები

გამოვყოთ მოცემულის ტოლი სეგმენტი.
ააგეთ პერპენდიკულური ბისექტორი სეგმენტზე.
ააგეთ სეგმენტის შუა წერტილი.
ააგეთ მოცემულ წერტილში გამავალი წრფე, მოცემული წრფის პერპენდიკულარული (წერტილი შეიძლება იყოს მოცემულ წრფეზე ან არ იყოს).
კუთხის ბისექტრის აგება.
ააგეთ მოცემულის ტოლი კუთხე.

აპლიკაცია №2

წერტილების ლოკუსი (GMT) არის პუნქტების ერთობლიობა, რომლებსაც აქვთ გარკვეული თვისება.

GMT-ის მაგალითები:

სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტორი არის წერტილების სიმრავლე, რომლებიც თანაბარი მანძილით არიან დაშორებულნი სეგმენტის ბოლოებიდან.
წრე არის წერტილების ერთობლიობა, რომლებიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან - წრის ცენტრიდან.
კუთხის ბისექტრი არის კუთხის გვერდებიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ერთობლიობა.

პერპენდიკულარული ბისექტრის თითოეული წერტილი სეგმენტთან თანაბრად არის დაშორებული ამ სეგმენტის ბოლოებიდან.

წინა გაკვეთილზე განვიხილეთ კუთხის ბისექტრის თვისებები, როგორც სამკუთხედში ჩასმული, ასევე თავისუფალი. სამკუთხედი მოიცავს სამ კუთხეს და თითოეული მათგანისთვის დაცულია ბისექტრის განხილული თვისებები.

თეორემა:

სამკუთხედის AA 1, BB 1, CC 1 ბისექტრები იკვეთება O ერთ წერტილში (ნახ. 1).

ბრინჯი. 1. ილუსტრაცია თეორემისთვის

მტკიცებულება:

განვიხილოთ პირველი ორი ბისექტორი BB 1 და СС 1 . ისინი იკვეთებიან, გადაკვეთის წერტილი O არსებობს. ამის დასამტკიცებლად, დავუშვათ პირიქით: მოდით, მოცემული ბისექტრები არ იკვეთონ, ამ შემთხვევაში ისინი პარალელურები არიან. მაშინ BC წრფე არის სეკანტი და კუთხეების ჯამი , ეს ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ მთელ სამკუთხედში კუთხეების ჯამი არის .

ასე რომ, არსებობს ორი ბისექტრის გადაკვეთის O წერტილი. განვიხილოთ მისი თვისებები:

წერტილი O დგას კუთხის ბისექტორზე, რაც ნიშნავს, რომ ის თანაბარი მანძილით არის დაშორებული BA და BC გვერდებისგან. თუ OK არის BC-ის პერპენდიკულარული, OL არის BA-ს პერპენდიკულარული, მაშინ ამ პერპენდიკულარების სიგრძე უდრის -. ასევე, წერტილი O დგას კუთხის ბისექტორზე და თანაბრად არის დაშორებული მისი გვერდებიდან CB და CA, პერპენდიკულარები OM და OK ტოლია.

მივიღეთ შემდეგი თანასწორობები:

, ანუ O წერტილიდან სამკუთხედის გვერდებზე ჩამოშვებული სამივე პერპენდიკულარი ერთმანეთის ტოლია.

ჩვენ გვაინტერესებს OL და OM პერპენდიკულარების ტოლობა. ეს თანასწორობა ამბობს, რომ O წერტილი თანაბრად არის დაშორებული კუთხის გვერდებიდან, ამიტომ ის დევს მის ბისექტორზე AA 1.

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის სამივე ბისექტორი ერთ წერტილში იკვეთება.

გარდა ამისა, სამკუთხედი შედგება სამი სეგმენტისგან, რაც ნიშნავს, რომ უნდა გავითვალისწინოთ ერთი სეგმენტის თვისებები.

სეგმენტი AB მოცემულია. ნებისმიერ სეგმენტს აქვს შუა და მასში პერპენდიკულარული შეიძლება გაივლოს - ჩვენ მას ვნიშნავთ p-ით. ამრიგად, p არის პერპენდიკულარული ბისექტორი.

ბრინჯი. 2. ილუსტრაცია თეორემისთვის

ნებისმიერი წერტილი, რომელიც მდებარეობს პერპენდიკულარულ ბისექტორზე, თანაბრად არის დაშორებული სეგმენტის ბოლოებიდან.

დაამტკიცეთ, რომ (სურ. 2).

მტკიცებულება:

განვიხილოთ სამკუთხედები და. ისინი მართკუთხა და ტოლები არიან, რადგან მათ აქვთ საერთო ფეხი OM, ხოლო AO-სა და OB-ის ფეხები ტოლია პირობით, ამიტომ გვაქვს ორი მართკუთხა სამკუთხედი, რომლებიც ტოლია ორ ფეხში. აქედან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედების ჰიპოტენუსებიც ტოლია, ანუ რაც დასამტკიცებელი იყო.

საპირისპირო თეორემა მართალია.

სეგმენტის ბოლოებიდან თანაბარი დაშორებული თითოეული წერტილი დევს ამ სეგმენტის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე.

მოცემულია AB სეგმენტი, მასზე პერპენდიკულარული ბისექტორი არის p, წერტილი M თანაბრად არის დაშორებული მონაკვეთის ბოლოებიდან. დაამტკიცეთ, რომ წერტილი M დევს მონაკვეთის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე (სურ. 3).

ბრინჯი. 3. ილუსტრაცია თეორემისთვის

მტკიცებულება:

განვიხილოთ სამკუთხედი. ის ტოლფერდაა, როგორც პირობით. განვიხილოთ სამკუთხედის მედიანა: O წერტილი არის AB ფუძის შუა წერტილი, OM არის მედიანა. ტოლფერდა სამკუთხედის თვისების მიხედვით, მის ფუძემდე მიყვანილი მედიანა არის სიმაღლეც და ბისექტრიც. აქედან გამომდინარეობს, რომ. მაგრამ წრფე p ასევე AB-ის პერპენდიკულარულია. ჩვენ ვიცით, რომ AB სეგმენტის ერთი პერპენდიკულარული შეიძლება დახაზული იყოს O წერტილამდე, რაც ნიშნავს, რომ წრფეები OM და p ემთხვევა, აქედან გამომდინარეობს, რომ წერტილი M ეკუთვნის p წრფეს, რომლის დადასტურებაც იყო საჭირო.

პირდაპირი და ინვერსიული თეორემა შეიძლება განზოგადდეს.

წერტილი დევს სეგმენტის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის თანაბრად არის დაშორებული ამ მონაკვეთის ბოლოებიდან.

ასე რომ, ვიმეორებთ, რომ სამკუთხედში სამი სეგმენტია და პერპენდიკულარული ბისექტრის თვისება ვრცელდება თითოეულ მათგანზე.

თეორემა:

სამკუთხედის პერპენდიკულარული ბისექტრები ერთ წერტილში იკვეთება.

მოცემულია სამკუთხედი. მის გვერდებზე პერპენდიკულარული: P 1 BC მხარეს, P 2 AC მხარეს, P 3 AB მხარეს.

დაამტკიცეთ, რომ Р 1, Р 2 და Р 3 პერპენდიკულარები იკვეთება O წერტილში (სურ. 4).

ბრინჯი. 4. ილუსტრაცია თეორემისთვის

მტკიცებულება:

განვიხილოთ ორი შუა პერპენდიკულარი P 2 და P 3, ისინი იკვეთებიან, გადაკვეთის წერტილი O არსებობს. დავამტკიცოთ ეს ფაქტი წინააღმდეგობით - პერპენდიკულარები P 2 და P 3 იყოს პარალელური. მაშინ კუთხე სწორია, რაც ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ სამკუთხედის სამი კუთხის ჯამი არის . ასე რომ, არსებობს სამი პერპენდიკულარული ბისექტრის ორის გადაკვეთის წერტილი O. O წერტილის თვისებები: ის დევს AB გვერდის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე, რაც ნიშნავს, რომ იგი თანაბრად არის დაშორებული AB მონაკვეთის ბოლოებიდან. ის ასევე დევს პერპენდიკულარულ ბისექტორზე AC მხარეს, ასე რომ. ჩვენ მივიღეთ შემდეგი ტოლობები.