საშუალო მნიშვნელობის ფორმულის ლიმიტის შეცდომა. შერჩევის საშუალო და ზღვრული შეცდომები

ნიმუშის ინდიკატორების სანდოობის დასახასიათებლად განასხვავებენ შერჩევის საშუალო და ზღვრულ შეცდომებს, რომლებიც დამახასიათებელია მხოლოდ ნიმუშის დაკვირვებისთვის. ეს მაჩვენებლები ასახავს განსხვავებას ნიმუშსა და შესაბამის ზოგად მაჩვენებლებს შორის.

ნიმუშის საშუალო შეცდომაგანისაზღვრება, უპირველეს ყოვლისა, შერჩევის ზომით და დამოკიდებულია შესასწავლი თვისების სტრუქტურასა და ვარიაციის ხარისხზე.

შერჩევის საშუალო შეცდომის მნიშვნელობა შემდეგია. ნიმუშის ფრაქციის (w) და ნიმუშის საშუალო () გამოთვლილი მნიშვნელობები თავისი ბუნებით შემთხვევითი ცვლადებია. მათ შეუძლიათ მიიღონ სხვადასხვა მნიშვნელობები, იმისდა მიხედვით, თუ ზოგადი პოპულაციის რომელი კონკრეტული ერთეული შედის ნიმუშში. მაგალითად, თუ საწარმოს თანამშრომელთა საშუალო ასაკის დადგენისას, ერთ ნიმუშში უფრო მეტი ახალგაზრდაა შეყვანილი, მეორეში კი უფროსი მუშაკი, მაშინ შერჩევის საშუალებები და შერჩევის შეცდომები განსხვავებული იქნება. შერჩევის საშუალო შეცდომაგანისაზღვრება ფორმულით:

(27) ან - ხელახალი შერჩევა. (28)

სადაც: μ არის შერჩევის საშუალო შეცდომა;

σ არის მახასიათებლის სტანდარტული გადახრა ზოგად პოპულაციაში;

n არის ნიმუშის ზომა.

შეცდომის მნიშვნელობა μ გვიჩვენებს, თუ როგორ განსხვავდება ნიმუშის მიერ დადგენილი მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობა ზოგადი პოპულაციის მახასიათებლის ჭეშმარიტი მნიშვნელობისაგან.

ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ შერჩევის შეცდომა პირდაპირპროპორციულია სტანდარტული გადახრისა და უკუპროპორციულია ნიმუშის ერთეულების რაოდენობის კვადრატული ფესვისა. ეს ნიშნავს, მაგალითად, რომ რაც უფრო დიდია მახასიათებლის მნიშვნელობების გავრცელება ზოგად პოპულაციაში, ანუ რაც უფრო დიდია დისპერსია, მით უფრო დიდი უნდა იყოს ნიმუშის ზომა, თუ გვინდა ვენდოთ შერჩევის კვლევის შედეგებს. . პირიქით, მცირე დისპერსიით, შეიძლება შეიზღუდოს საკუთარი თავი ნიმუშის პოპულაციების მცირე რაოდენობით. შერჩევის შეცდომა მაშინ იქნება მისაღები ფარგლებში.

ვინაიდან საერთო პოპულაციის N ზომა შერჩევის დროს მცირდება განმეორებითი შერჩევისას, დამატებითი ფაქტორი შედის შერჩევის საშუალო შეცდომის გამოთვლის ფორმულაში.

(ერთი-). შერჩევის საშუალო შეცდომის ფორმულა იღებს შემდეგ ფორმას:

საშუალო ცდომილება უფრო მცირეა განმეორებადი შერჩევისთვის, რაც მის უფრო ფართო გამოყენებას ხდის.

პრაქტიკული დასკვნები მოითხოვს ზოგადი პოპულაციის დახასიათებას შერჩევის შედეგების საფუძველზე. სანიმუშო საშუალებები და პროპორციები გამოიყენება ზოგად პოპულაციაზე, მათი შესაძლო შეცდომის ლიმიტის გათვალისწინებით და ამის გარანტირებული ალბათობის დონით. ალბათობის კონკრეტული დონის გათვალისწინებით, არჩეულია ნორმალიზებული გადახრის მნიშვნელობა და განისაზღვრება შერჩევის ზღვრული შეცდომა.

სანდოობა (დარწმუნების ალბათობა) შეფასების X-ზე X*ალბათობა ეწოდება γ , რომელთანაც უთანასწორობა

׀Х-Х*׀< δ, (30)

სადაც δ არის შერჩევის ზღვრული შეცდომა, რომელიც ახასიათებს იმ ინტერვალის სიგანეს, რომელშიც ნაპოვნია საერთო პოპულაციის შესწავლილი პარამეტრის მნიშვნელობა γ ალბათობით.

სანდოდაასახელეთ ინტერვალი (X* - δ; X* + δ), რომელიც ფარავს გამოკვლეულ პარამეტრს X (ანუ X პარამეტრის მნიშვნელობა ამ ინტერვალშია) მოცემული საიმედოობით γ.

ჩვეულებრივ, შეფასების სანდოობა დგინდება წინასწარ და ერთთან ახლოს რიცხვი აღებულია, როგორც γ: 0,95; 0.99 ან 0.999.

შეზღუდვის შეცდომა δ დაკავშირებულია საშუალო შეცდომასთან μ შემდეგნაირად: , (31)

სადაც: t არის ნდობის ფაქტორი, რომელიც დამოკიდებულია P ალბათობაზე, რომლითაც შეიძლება ამტკიცებდეს, რომ ზღვრული შეცდომა δ არ აღემატება t-ჯერ საშუალო შეცდომა μ (მას ასევე უწოდებენ Student-ის განაწილების კრიტიკულ წერტილებს ან კვანტილებს).

როგორც თანაფარდობიდან ჩანს, ზღვრული ცდომილება პირდაპირპროპორციულია შერჩევის საშუალო შეცდომისა და ნდობის კოეფიციენტისა, რაც დამოკიდებულია შეფასების სანდოობის მოცემულ დონეზე.

შერჩევის საშუალო შეცდომის ფორმულიდან და ზღვრული და საშუალო შეცდომების თანაფარდობიდან ვიღებთ:

ნდობის ალბათობის გათვალისწინებით, ეს ფორმულა მიიღებს ფორმას.

როგორც ცნობილია, სტატისტიკაში მასობრივი ფენომენებზე დაკვირვების ორი გზა არსებობს, რაც დამოკიდებულია ობიექტის დაფარვის სისრულეზე: უწყვეტი და არაუწყვეტი. უწყვეტი დაკვირვების ვარიაცია არის შერჩევითი დაკვირვება.

ქვეშ შერჩევითი დაკვირვება გაგებულია, როგორც არა უწყვეტი დაკვირვება, რომელშიც შემთხვევით შერჩეული შესწავლილი პოპულაციის ერთეულები ექვემდებარება სტატისტიკურ გამოკვლევას (დაკვირვებას).

შერჩევითი დაკვირვება აყენებს ამოცანას, დაახასიათოს ერთეულების მთელი პოპულაცია გამოკვლეული ნაწილისთვის, ექვემდებარება სტატისტიკური დაკვირვების ყველა წესსა და პრინციპს და მეცნიერულად ორგანიზებულ მუშაობას ერთეულების შერჩევაზე.

სტატისტიკაში გამოკითხვისთვის შერჩეული ერთეულების ნაკრები ჩვეულებრივ ე.წ ნიმუშის პოპულაცია , და ერთეულთა სიმრავლე, საიდანაც ხდება შერჩევა, ეწოდება საერთო მოსახლეობა . ზოგადი და სანიმუშო პოპულაციის ძირითადი მახასიათებლები წარმოდგენილია ცხრილში 1.

შერჩევითი დაკვირვების ჩატარებისას ხდება სისტემატური და შემთხვევითი შეცდომები. სისტემატური შეცდომები წარმოიქმნება ნიმუშში ერთეულების შერჩევის წესების დარღვევის გამო. შერჩევის წესების შეცვლით, ასეთი შეცდომები შეიძლება აღმოიფხვრას.

შემთხვევითი შეცდომები წარმოიქმნება გამოკითხვის წყვეტილი ხასიათის გამო. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მათ წარმომადგენლობითობის (წარმომადგენლობის) შეცდომებს უწოდებენ. შემთხვევითი შეცდომები იყოფა შერჩევის საშუალო და ზღვრულ შეცდომებად, რომლებიც განისაზღვრება როგორც მახასიათებლის გაანგარიშებისას, ასევე წილის გამოთვლისას.

საშუალო და ზღვრული შეცდომები დაკავშირებულია შემდეგი მიმართებით :Δ = tμ, სადაც Δ არის შერჩევის ზღვრული შეცდომა, μ არის შერჩევის საშუალო შეცდომა, t არის ნდობის ფაქტორი, რომელიც განისაზღვრება ალბათობის დონის მიხედვით. ცხრილი 2 გვიჩვენებს t-ის რამდენიმე მნიშვნელობას, რომელიც აღებულია ალბათობის თეორიიდან.

შერჩევის საშუალო შეცდომის მნიშვნელობა გამოითვლება განსხვავებულად, შერჩევის მეთოდისა და შერჩევის პროცედურის მიხედვით. შერჩევის შეცდომების გამოთვლის ძირითადი ფორმულები მოცემულია ცხრილში 3.

ინდექსი	აღნიშვნა და ფორმულა
	მოსახლეობა	ნიმუშის პოპულაცია
მახასიათებლის საშუალო შეცდომა შემთხვევითი შერჩევისთვის
გაზიარების საშუალო შეცდომა შემთხვევითი შერჩევისთვის
ფუნქციის შეცდომის შეზღუდვა შემთხვევითი ხელახალი შერჩევის შემთხვევაში
ზღვრული გაზიარების შეცდომა შემთხვევითი ხელახალი შერჩევისას
ფუნქციის საშუალო შეცდომა შემთხვევითი არაგანმეორებადი შერჩევისთვის
საშუალო გაზიარების შეცდომა შემთხვევითი არაგანმეორებადი შერჩევისას
ფუნქციის შეცდომის შეზღუდვა შემთხვევითი არაგანმეორებადი შერჩევით
ზღვრული გაზიარების შეცდომა შემთხვევითი არაგანმეორებადი შერჩევისთვის

შერჩევის საშუალო და ზღვრული შეცდომების გაანგარიშება საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ შესაძლო საზღვრები, რომლებშიც იქნება ზოგადი პოპულაციის მახასიათებლები .

მაგალითად, საშუალო ნიმუშისთვის, ასეთი ლიმიტები დადგენილია შემდეგი ურთიერთობების საფუძველზე:

ნიშან-თვისების წილის ლიმიტები ზოგად პოპულაციაში გვ.

ამოცანების გადაჭრის მაგალითები თემაზე "შერჩევის დაკვირვება სტატისტიკაში"

დავალება 1 . არსებობს ინფორმაცია რეგიონის საწარმოებზე 10%-იანი შერჩევითი დაკვირვების საფუძველზე მიღებული პროდუქციის (სამუშაო, მომსახურება) გამოშვების შესახებ:

განსაზღვრეთ: 1) ნიმუშში შემავალი საწარმოებისთვის: ა) პროდუქციის საშუალო ზომა ერთ საწარმოზე; ბ) წარმოების მოცულობის დისპერსიას; გ) საწარმოების წილი, რომელთა წარმოების მოცულობა აღემატება 400 ათას რუბლს; 2) მთლიანი რეგიონისთვის, 0,954 ალბათობით, ლიმიტები, რომლის ფარგლებშიც შეიძლება ველოდოთ: ა) წარმოების საშუალო მოცულობას ერთ საწარმოზე; ბ) საწარმოების წილი, რომელთა წარმოების მოცულობა აღემატება 400 ათას რუბლს; 3) რეგიონში გამოშვების მთლიანი მოცულობა.

გამოსავალი

პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ ვაფართოებთ შემოთავაზებულ ცხრილს.

1) ნიმუშში შემავალი საწარმოებისთვის, პროდუქციის საშუალო ზომა ერთ საწარმოზე

110800/400 = 277 ათასი რუბლი

წარმოების მოცულობის დისპერსიას ვიანგარიშებთ გამარტივებული გზით σ 2 = 35640000/400 - 277 2 = 89100 - 76229 = 12371.

საწარმოების რაოდენობა, რომელთა წარმოების მოცულობა აღემატება 400 ათას რუბლს. უდრის 36+12 = 48-ს და მათი წილი უდრის ω = 48:400 = 0,12 = 12%.

2) ალბათობის თეორიიდან ცნობილია, რომ ალბათობით P=0.954 ნდობის ფაქტორი t=2. შერჩევის ზღვრული შეცდომა

2√12371:400 = 11,12 ათასი რუბლი

დავადგინოთ საერთო საშუალოს საზღვრები: 277-11,12 ≤Xav ≤ 277+11,12; 265.88 ≤Xav ≤ 288.12

საწარმოთა წილის ზღვრული შერჩევის შეცდომა

2√0,12*0,88/400 = 0,03

განვსაზღვროთ საერთო წილის საზღვრები: 0,12-0,03≤ p ≤0,12+0,03; 0.09≤ p≤0.15

3) ვინაიდან საწარმოთა განხილული ჯგუფი შეადგენს რეგიონის საწარმოთა საერთო რაოდენობის 10%-ს, მთლიანობაში რეგიონში 4000 საწარმოა. მაშინ გამომავალი მთლიანი მოცულობა რეგიონში 265,88×4000≤Q≤288,12×4000 ფარგლებშია; 1063520 ≤ Q ≤ 1152480

დავალება 2 . 400 ბიზნეს სტრუქტურის საგადასახადო ორგანოების მიერ ჩატარებული საკონტროლო აუდიტის შედეგების მიხედვით, მათგან 140 საგადასახადო დეკლარაციაში სრულად არ არის მითითებული დაბეგვრას დაქვემდებარებული შემოსავალი. განსაზღვრეთ ზოგადად მოსახლეობაში (მთელი რეგიონისთვის) ბიზნეს სტრუქტურების წილი, რომლებიც მალავდნენ საგადასახადო შემოსავლების ნაწილს 0,954 ალბათობით.

გამოსავალი

პრობლემის პირობის მიხედვით შერჩევის პოპულაციაში ერთეულების რაოდენობაა n=400, განხილული მახასიათებლის მქონე ერთეულების რაოდენობაა m=140, ალბათობა P=0,954.

ალბათობის თეორიიდან ცნობილია, რომ ალბათობით P=0.954 ნდობის ფაქტორი t=2.

ერთეულების წილი, რომლებსაც აქვთ მითითებული ატრიბუტი, განისაზღვრება ფორმულით: p=w+∆p, სადაც w = m/n=140/400=0.35=35%,
ხოლო ∆p მახასიათებლის ზღვრული შეცდომა მიღებულია ფორმულიდან: ∆p= t √w(1-w)/n = 2√0.35×0.65/400 ≈ 0.5 = 5%

შემდეგ p = 35±5%.

უპასუხე : ბიზნეს სტრუქტურების წილი, რომლებმაც დამალეს საგადასახადო შემოსავლის ნაწილი 0,954 ალბათობით, არის 35±5%.

შერჩევითი დაკვირვების ცნება.

შერჩევითიეწოდება ისეთ დაკვირვებას, რომელშიც მოცემულია ერთეულების მთელი სიმრავლის მახასიათებელი მათი ზოგიერთი ნაწილის მიხედვით, შერჩეული შემთხვევითი თანმიმდევრობით.

შერჩევითი დაკვირვების გამოყენების მიზეზები:

1. მატერიალური, შრომის, ფინანსური რესურსების და დროის დაზოგვა.

2. შერჩეული დაკვირვება ხშირად იწვევს მონაცემთა სიზუსტის ზრდას, ვინაიდან დაკვირვების ერთეულების რაოდენობის შემცირება მკვეთრად ამცირებს შეცდომებს ნიშნის მნიშვნელობების დარეგისტრირებისას (არასწორი ბეჭდვა, დათვლა, ორმაგი დათვლა ...).

3. შერჩევითი დაკვირვება ერთადერთია შესაძლებელი, თუ დაკვირვებას თან ახლავს დაკვირვებული ობიექტების სრული ან ნაწილობრივი დაზიანება (კვერცხების პარტიების ხარისხი, ქსოვილის სიმტკიცე და ა.შ.).

ერთეულების იმ ნაწილს, რომელიც შერჩეულია დაკვირვებისთვის, ჩვეულებრივ ე.წ ნიმუშის პოპულაციაან უბრალოდ სინჯის აღებადა ერთეულების მთელი ნაკრები, საიდანაც ხდება არჩევანი - საერთო მოსახლეობა.

მიღებულია შერჩეული და ზოგადად მოსახლეობის ინდიკატორების აღნიშვნის შემდეგი სისტემა.

შერჩევის ტექნიკის გამოყენების მიხედვით, ნიმუში იყოფა სერიულ (ბუდედ) და ტიპოლოგიურად.

· Როდესაც ტიპოლოგიურიშერჩევისას, საერთო პოპულაცია იყოფა ტიპებად (ჯგუფები, რაიონები) და შემდეგ ხდება ერთეულების შემთხვევითი შერჩევა თითოეული ტიპისგან.

· ზე სერიალინიმუში არჩეულია არა ერთეულებით, არამედ გარკვეული სერიებით, ჯგუფებით, უბნებით, რომლებშიც მიმდინარეობს უწყვეტი დაკვირვება.

ნიმუშში ერთეულების არჩევის ორი გზა არსებობს:

- ხელახალი შერჩევა

ნიმუშის თითოეული ერთეული უბრუნდება ზოგად პოპულაციას და აქვს ხელახალი შერჩევის შანსი.

- არაგანმეორებადი შერჩევა

შერჩეული ერთეული არ უბრუნდება პოპულაციას, ხოლო დანარჩენი ერთეულები უფრო სავარაუდოა, რომ შევიდეს ნიმუშში. განმეორებითი შერჩევა უფრო ზუსტ შედეგს იძლევა, მაგრამ ზოგჯერ ამის გაკეთება შეუძლებელია (მომხმარებლის მოთხოვნის კვლევა).

შერჩევის შედეგების ხარისხი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენად წარმოადგენს ნიმუშის შემადგენლობა ზოგად პოპულაციას, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რამდენად არის ნიმუში. წარმომადგენელი(წარმომადგენელი). ნიმუშის წარმომადგენლობითობის უზრუნველსაყოფად აუცილებელია ერთეულების შემთხვევითი შერჩევის პრინციპის დაცვა.

შერჩევის შეცდომა

შერჩევის შეცდომების კონცეფცია და ტიპები

ვინაიდან შესწავლილი სტატისტიკური პოპულაცია შედგება სხვადასხვა მახასიათებლების მქონე ერთეულებისგან, შერჩევის პოპულაციის შემადგენლობა შეიძლება გარკვეულწილად განსხვავდებოდეს ზოგადი პოპულაციის შემადგენლობიდან.

შეუსაბამობა შერჩევის მახასიათებლებსა და ზოგად პოპულაციას შორის არის შერჩევის შეცდომა.

შერჩევის შეცდომების სახეები

შერჩევის მეთოდის მთავარი ამოცანაა წარმომადგენლობითობის შემთხვევითი შეცდომების შესწავლა.

შერჩევის საშუალო შეცდომა

წარმომადგენლობითობის შემთხვევითი შეცდომა დამოკიდებულია შემდეგ ფაქტებზე (ვარაუდობენ, რომ რეგისტრაციის შეცდომები არ არის):

1. რაც უფრო დიდია ნიმუშის ზომა, ceteris paribus, მით უფრო მცირეა შერჩევის შეცდომა, ე.ი. შერჩევის შეცდომა მისი ზომის უკუპროპორციულია.

2. რაც უფრო მცირეა ატრიბუტის ვარიაცია, მით უფრო მცირეა შერჩევის შეცდომა. თუ ნიშანი საერთოდ არ იცვლება და, შესაბამისად, განსხვავება ნულის ტოლია, მაშინ შერჩევის შეცდომა არ იქნება, რადგან მოსახლეობის ნებისმიერი ერთეული ზუსტად დაახასიათებს მთელ მოსახლეობას ამის საფუძველზე. ამრიგად, შერჩევის შეცდომა პირდაპირპროპორციულია დისპერსიის სიდიდისა.

მათემატიკურ სტატისტიკაში დადასტურებულია, რომ შემთხვევითი შერჩევის საშუალო შეცდომის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით

თუმცა, გასათვალისწინებელია, რომ დისპერსიის სიდიდე ზოგად პოპულაციაში s2ჩვენ არ ვიცით, რადგან შერჩევითი დაკვირვება. ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მხოლოდ დისპერსიის შერჩევის პოპულაციაში S2. საერთო და ნიმუშის პოპულაციის ვარიაციების თანაფარდობა გამოიხატება ფორმულით:

(6.2)

Თუ ნდიდი, შესაბამისად

s2 = S2

და საშუალო შერჩევის შეცდომის ფორმულა (6.1.) მიიღებს ფორმას:

მაგრამ აქ ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ შერჩევის შეცდომა ინტერესის მახასიათებლის საშუალო მნიშვნელობისთვის. ასევე არსებობს ინტერესის მახასიათებლის მქონე ერთეულების პროპორციის მაჩვენებელი. ამ ინდიკატორის შეცდომის გაანგარიშებას აქვს საკუთარი მახასიათებლები.

დამახასიათებელი წილის ინდიკატორის განსხვავება განისაზღვრება ფორმულით:

S 2 \u003d w (1-w) (6.4)

მაშინ საშუალო შერჩევის შეცდომა მახასიათებლის წილის საზომისთვის ტოლი იქნება:

(6.5)

ფორმულების (6.3) და (6.5) დადასტურება იწყება ხელახალი შერჩევის სქემიდან. ჩვეულებრივ, ნიმუში ორგანიზებულია არაგანმეორებადი გზით. იმიტომ რომ არაგანმეორებადი შერჩევით, საერთო პოპულაციის ზომა ნშერჩევის კოდში შემოკლებულია, შემდეგ დამატებითი ფაქტორი შედის შერჩევის შეცდომის ფორმულებში , და ფორმულები იღებენ ფორმას:

(6.6)

(6.7)

მაგალითი 1. განვსაზღვროთ რამდენად განსხვავდება ნიმუში და ზოგადი ინდიკატორები მოსწავლეთა მუშაობის 10%-იანი განმეორებითი ნიმუშის მონაცემების მიხედვით.

ხელახალი შერჩევის შეცდომის გამოთვლა საშუალოზე:

ნ= 100 ნ= 1000

იპოვეთ ნიმუშის განსხვავება ფორმულის გამოყენებით:

აქ მნიშვნელობა უცნობია, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს როგორც ჩვეულებრივი შეწონილი საშუალო:

Ამგვარად,

იმათ. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ყველა სტუდენტის () საშუალო ქულა არის 3,65 ± 0,07

ახლა გამოვთვალოთ სტუდენტების პროპორცია საერთო პოპულაციაში, რომლებიც სწავლობენ "4" და "5".

ნიმუშზე ვიპოვით იმ მოსწავლეთა პროპორციას, რომლებმაც მიიღეს ქულები „4“ და „5“.

(ან 64%)

წილის ხელახალი შერჩევის შეცდომის გამოთვლა ხდება ფორმულის მიხედვით:

(ან 4.5%)

ამრიგად, „4“ და „5“-ში ჩარიცხული სტუდენტების წილი საერთო პოპულაციაში ( პ) არის 0,64±0,045 (ან 64%±4,5%).

შერჩევის ზღვრული შეცდომა

ის ფაქტი, რომ ზოგადი საშუალო და საერთო წილი არ გასცდება გარკვეულ საზღვრებს, შეიძლება დადასტურდეს არა აბსოლუტური დარწმუნებით, არამედ მხოლოდ გარკვეული ალბათობით.

მათემატიკურ სტატისტიკაში დადასტურებულია, რომ ზოგადი მახასიათებლები სანიმუშოდან გადახრილია შერჩევის შეცდომის რაოდენობით (± მ), მხოლოდ 0,683 ალბათობით. რაც შეეხება ნიმუშების კვლევებს, ეს ნიშნავს, რომ ლიმიტების მნიშვნელობები გარანტირებულია მხოლოდ 683 შემთხვევაში 1000-დან. დანარჩენ 317 შემთხვევაში, ამ ლიმიტების მნიშვნელობები განსხვავებული იქნება.

განსჯის ალბათობა შეიძლება გაიზარდოს გადახრის საზღვრების გაფართოებით, როგორც საზომი შერჩევის საშუალო შეცდომის აღებით, გაზრდილი ტერთხელ.

იმათ. გარკვეული ალბათობით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ნიმუშის მახასიათებლების გადახრები ზოგადიდან არ აღემატება გარკვეულ მნიშვნელობას, რომელსაც ეწოდება შერჩევის ზღვრული შეცდომა D (დელტა):

სადაც ტ– ნდობის ფაქტორი (შეცდომის სიმრავლის კოეფიციენტი), განისაზღვრება ნდობის დონის მიხედვით, რომლითაც აუცილებელია ნიმუშის კვლევის შედეგების გარანტია.

პრაქტიკაში, ცხრილები გამოიყენება, სადაც ალბათობა გამოითვლება სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის ტ. მოდით შევხედოთ ზოგიერთ მათგანს.

მაგალითად, თუ ჩვენს მაგალითში გვინდა გავზარდოთ განსჯის ალბათობა 0,954-მდე, მაშინ ავიღოთ ტ= 2 და ამით შეცვალეთ ყველა სტუდენტის საშუალო ქულის გადახრის ზღვარი და „4“ და „5“-ში ჩარიცხული სტუდენტების პროპორცია.

ანუ (6.9)

ანუ (6.10)

შერჩევითი დაკვირვების დროს უზრუნველყოფილი უნდა იყოს უბედური შემთხვევაერთეულის შერჩევა. თითოეულ ერთეულს უნდა ჰქონდეს თანაბარი შესაძლებლობა, რომ შეირჩეს სხვებთან ერთად. ეს არის ის, რასაც ეფუძნება შემთხვევითი შერჩევა.

რომ სათანადო შემთხვევითი ნიმუში ეხება ერთეულების შერჩევას მთელი საერთო პოპულაციისგან (მისი წინასწარი დაყოფის გარეშე რომელიმე ჯგუფად) წილისყრით (ძირითადად) ან სხვა მსგავსი მეთოდით, მაგალითად, შემთხვევითი რიცხვების ცხრილის გამოყენებით. შემთხვევითი შერჩევაეს არჩევანი არ არის შემთხვევითი. შემთხვევითობის პრინციპი ვარაუდობს, რომ ნიმუშიდან ობიექტის ჩართვაზე ან გამორიცხვაზე არ შეიძლება გავლენა იქონიოს სხვა ფაქტორმა, გარდა შემთხვევითობისა. Მაგალითი რეალურად შემთხვევითიშერჩევა შეიძლება გახდეს მოგების ტირაჟი: გაცემული ბილეთების მთლიანი რაოდენობადან შემთხვევითად შეირჩევა ნომრების გარკვეული ნაწილი, რომლებშიც გათვალისწინებულია მოგება. უფრო მეტიც, ყველა ნომერს ეძლევა ნიმუშში მოხვედრის თანაბარი შესაძლებლობა. ამ შემთხვევაში, ნიმუშის კომპლექტში შერჩეული ერთეულების რაოდენობა ჩვეულებრივ განისაზღვრება ნიმუშის მიღებული პროპორციის საფუძველზე.

ნიმუშის გაზიარება არის შერჩევის პოპულაციის ერთეულების რაოდენობის თანაფარდობა საერთო პოპულაციის ერთეულების რაოდენობასთან:

ასე რომ, 5% ნიმუშით ნაწილების პარტიიდან 1000 ერთეულში. ნიმუშის ზომა პარის 50 ერთეული, ხოლო 10%-იანი ნიმუშით - 100 ერთეული. და ა.შ. შერჩევის სწორი სამეცნიერო ორგანიზებით, წარმომადგენლობითი შეცდომები შეიძლება შემცირდეს მინიმალურ მნიშვნელობებამდე, შედეგად, შერჩევითი დაკვირვება საკმარისად ზუსტი ხდება.

სწორი შემთხვევითი შერჩევა „სუფთა სახით“ იშვიათად გამოიყენება შერჩევითი დაკვირვების პრაქტიკაში, მაგრამ ის ამოსავალი წერტილია შერჩევის სხვა ტიპებს შორის, შეიცავს და ახორციელებს შერჩევითი დაკვირვების ძირითად პრინციპებს.

მოდით განვიხილოთ შერჩევის მეთოდის თეორიის რამდენიმე კითხვა და მარტივი შემთხვევითი ნიმუშის შეცდომის ფორმულა.

სტატისტიკაში შერჩევის მეთოდის გამოყენებისას ჩვეულებრივ გამოიყენება განზოგადების ინდიკატორების ორი ძირითადი ტიპი: რაოდენობრივი ნიშნის საშუალო მნიშვნელობადა ალტერნატიული მახასიათებლის ფარდობითი მნიშვნელობა(ერთეულების პროპორცია ან პროპორცია სტატისტიკურ პოპულაციაში, რომელიც განსხვავდება ამ პოპულაციის ყველა სხვა ერთეულისგან მხოლოდ შესასწავლი მახასიათებლის არსებობით).

ნიმუშის გაზიარება (ვ),ან სიხშირე, განისაზღვრება იმ ერთეულების რაოდენობის შეფარდებით, რომლებსაც აქვთ შესასწავლი მახასიათებელი ტ,შერჩევის ერთეულების საერთო რაოდენობამდე P:

მაგალითად, თუ 100 ნიმუშის დეტალიდან ( ნ=100), 95 ნაწილი აღმოჩნდა სტანდარტული (ტ=95), შემდეგ ნიმუშის ფრაქცია

ვ=95/100=0,95 .

ნიმუშის ინდიკატორების სანდოობის დასახასიათებლად არსებობს შუადა შერჩევის ზღვრული შეცდომა.

შერჩევის შეცდომა ? ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წარმომადგენლობითი შეცდომა არის განსხვავება შესაბამის ნიმუშსა და ზოგად მახასიათებლებს შორის:

*

*

შერჩევის შეცდომა დამახასიათებელია მხოლოდ შერჩევითი დაკვირვებისთვის. რაც უფრო დიდია ამ შეცდომის მნიშვნელობა, მით უფრო განსხვავდება ნიმუშის ინდიკატორები შესაბამისი ზოგადი ინდიკატორებისგან.

ნიმუშის საშუალო და ნიმუშის წილი თანდაყოლილი არიან შემთხვევითი ცვლადები,რომელსაც შეუძლია მიიღოს სხვადასხვა მნიშვნელობები იმისდა მიხედვით, თუ რომელი პოპულაციის ერთეული იყო შერჩეული. ამიტომ, შერჩევის შეცდომები ასევე შემთხვევითი ცვლადებია და შეიძლება სხვადასხვა მნიშვნელობების მიღება. მაშასადამე, განსაზღვრეთ შესაძლო შეცდომების საშუალო - საშუალო ნიმუშის შეცდომა.

რაზეა დამოკიდებული ნიშნავს შერჩევის შეცდომას?შემთხვევითი შერჩევის პრინციპის გათვალისწინებით, შერჩევის საშუალო ცდომილება ძირითადად განისაზღვრება ნიმუშის ზომა:რაც უფრო დიდია პოპულაცია, ceteris paribus, მით უფრო მცირეა შერჩევის საშუალო შეცდომა. ფართო პოპულაციის ერთეულების მზარდი რაოდენობის შერჩევის გამოკითხვისას ჩვენ უფრო და უფრო ზუსტად ვახასიათებთ მთელ მოსახლეობას.

შერჩევის საშუალო შეცდომა ასევე დამოკიდებულია ვარიაციის ხარისხიშესწავლილი თვისება. ვარიაციის ხარისხი, მოგეხსენებათ, ხასიათდება დისპერსიით? 2 ან w(1-w)-- ალტერნატიული ფუნქციისთვის. რაც უფრო მცირეა მახასიათებლის ვარიაცია და, შესაბამისად, ვარიაცია, მით უფრო მცირეა შერჩევის საშუალო შეცდომა და პირიქით. ნულოვანი დისპერსიით (ატრიბუტი არ იცვლება), შერჩევის საშუალო შეცდომა არის ნული, ანუ ზოგადი პოპულაციის ნებისმიერი ერთეული ზუსტად დაახასიათებს მთელ პოპულაციას ამ ატრიბუტის მიხედვით.

შერჩევის საშუალო შეცდომის დამოკიდებულება მის მოცულობაზე და ატრიბუტის ცვალებადობის ხარისხზე აისახება ფორმულებში, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას შერჩევის საშუალო შეცდომის გამოსათვლელად ნიმუშის დაკვირვების პირობებში, როდესაც ზოგადი მახასიათებლები ( x, p)უცნობია და შესაბამისად, შერჩევის რეალური შეცდომის პოვნა უშუალოდ ფორმულებიდან (ფორმ. 1), (ფორმ. 2) შეუძლებელია.

ვ შემთხვევითი შერჩევით საშუალო შეცდომებითეორიულად გამოითვლება შემდეგი ფორმულებით:

* საშუალო რაოდენობრივი ნიშნისთვის

* გაზიარებისთვის (ალტერნატიული მახასიათებელი)

რამდენადაც პრაქტიკულად ატრიბუტის დისპერსია ზოგად პოპულაციაში? 2 ზუსტად არ არის ცნობილი, პრაქტიკაში ისინი იყენებენ დისპერსიის S 2 მნიშვნელობას, რომელიც გამოითვლება ნიმუშის პოპულაციისთვის დიდი რიცხვების კანონის საფუძველზე, რომლის მიხედვითაც, საკმარისად დიდი ნიმუშის მქონე ნიმუშის პოპულაცია ზუსტად ასახავს მახასიათებლებს. საერთო მოსახლეობა.

Ამგვარად, გაანგარიშების ფორმულები შუა შერჩევის შეცდომები შემთხვევითი შერჩევის წესი იქნება შემდეგი:

* საშუალო რაოდენობრივი ნიშნისთვის

* გაზიარებისთვის (ალტერნატიული მახასიათებელი)

თუმცა, შერჩევის პოპულაციის ვარიაცია არ არის საერთო პოპულაციის ვარიანსის ტოლი და, შესაბამისად, ფორმულებით (ფორმ. 5) და (ფორმ. 6) გამოთვლილი საშუალო შერჩევის შეცდომები იქნება მიახლოებითი. მაგრამ ალბათობის თეორიაში დამტკიცდა, რომ ზოგადი დისპერსია გამოიხატება არჩევითი გზით შემდეგი მიმართებით:

იმიტომ რომ P/(ნ-1) საკმარისად დიდი P --ერთიანობასთან მიახლოებული მნიშვნელობა, შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ და, შესაბამისად, საშუალო შერჩევის შეცდომების პრაქტიკულ გამოთვლებში შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფორმულები (ფორმ. 5) და (ფორმ. 6). და მხოლოდ მცირე ნიმუშის შემთხვევაში (როდესაც ნიმუშის ზომა არ აღემატება 30-ს) აუცილებელია გავითვალისწინოთ კოეფიციენტი პ/(ნ-1) და გამოთვალეთ მცირე ნიმუში საშუალო შეცდომაფორმულის მიხედვით:

W X შემთხვევითი არაგანმეორებადი შერჩევით ზემოაღნიშნულ ფორმულებში საშუალო შერჩევის შეცდომების გამოსათვლელად, აუცილებელია ძირეული გამოხატვის გამრავლება 1-(n/N-ით), ვინაიდან ერთეულების რაოდენობა ზოგად პოპულაციაში მცირდება განმეორებითი შერჩევის პროცესში. ამიტომ, არაგანმეორებადი შერჩევისთვის გაანგარიშების ფორმულები ნიშნავს შერჩევის შეცდომას მიიღებს შემდეგ ფორმას:

* საშუალო რაოდენობრივი ნიშნისთვის

* გაზიარებისთვის (ალტერნატიული მახასიათებელი)

. (ფორმა. 10)

იმიტომ რომ პყოველთვის ნაკლები ნ, შემდეგ დამატებითი ფაქტორი 1-( n/n) ყოველთვის იქნება ერთზე ნაკლები. აქედან გამომდინარეობს, რომ საშუალო ცდომილება არაგანმეორებადი შერჩევისას ყოველთვის ნაკლები იქნება, ვიდრე განმეორებითი შერჩევისას. ამავდროულად, შერჩევის შედარებით მცირე პროცენტით, ეს ფაქტორი ერთს უახლოვდება (მაგალითად, 5%-იანი ნიმუშით არის 0.95; 2%-იანი ნიმუშით არის 0.98 და ა.შ.). ამიტომ, ზოგჯერ პრაქტიკაში, ფორმულები (ფორმები 5) და (ფორმები 6) გამოიყენება შერჩევის საშუალო შეცდომის დასადგენად მითითებული მულტიპლიკატორის გარეშე, თუმცა ნიმუში ორგანიზებულია როგორც განუმეორებელი. ეს ხდება მაშინ, როდესაც N საერთო პოპულაციის ერთეულების რაოდენობა უცნობია ან შეუზღუდავია, ან როდის პძალიან ცოტა შედარებით ნდა არსებითად, დამატებითი ფაქტორის შემოღება, მნიშვნელობით ერთთან ახლოს, პრაქტიკულად არ იმოქმედებს საშუალო შერჩევის შეცდომის მნიშვნელობაზე.

მექანიკური სინჯის აღება მდგომარეობს იმაში, რომ ნიმუშში ერთეულების შერჩევა ზოგადიდან, ნეიტრალური კრიტერიუმით დაყოფილი თანაბარ ინტერვალებად (ჯგუფებად), ხორციელდება ისე, რომ ნიმუშის თითოეული ასეთი ჯგუფიდან შეირჩევა მხოლოდ ერთი ერთეული. სისტემატური შეცდომის თავიდან აცილების მიზნით, უნდა შეირჩეს ერთეული, რომელიც თითოეული ჯგუფის შუაშია.

მექანიკური შერჩევის ორგანიზებისას, მოსახლეობის ერთეულები წინასწარ არის მოწყობილი (ჩვეულებრივ სიაში) გარკვეული თანმიმდევრობით (მაგალითად, ანბანურად, მდებარეობის მიხედვით, ნებისმიერი ინდიკატორის მნიშვნელობების აღმავალი ან კლებადი თანმიმდევრობით, რომელიც არ არის დაკავშირებული. შესასწავლ ქონებასთან და ა.შ.) და ა.შ.), რის შემდეგაც მექანიკურად, გარკვეული ინტერვალით ირჩევა ერთეულების მოცემული რაოდენობა. ამ შემთხვევაში, საერთო პოპულაციაში ინტერვალის ზომა უდრის შერჩევის წილის საპასუხო ნაწილს. ასე რომ, 2% ნიმუშით, ყოველი 50-ე ერთეული (1: 0.02) შეირჩევა და მოწმდება, 5%-იანი ნიმუშით, ყოველი მე-20 ერთეული (1: 0.05), მაგალითად, დაღმავალი დეტალი მანქანიდან.

საკმარისად დიდი პოპულაციის პირობებში, მექანიკური შერჩევა შედეგების სიზუსტის თვალსაზრისით ახლოს არის სათანადო შემთხვევითობასთან. ამიტომ მექანიკური ნიმუშის საშუალო ცდომილების დასადგენად გამოიყენება თვითშემთხვევითი არაგანმეორებადი შერჩევის ფორმულები (ფორმ. 9), (ფორმ. 10).

ჰეტეროგენული პოპულაციისგან ერთეულების შესარჩევად ე.წ ტიპიური ნიმუში , რომელიც გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც საერთო მოსახლეობის ყველა ერთეული შეიძლება დაიყოს რამდენიმე თვისობრივად ერთგვაროვან, მსგავს ჯგუფად იმ მახასიათებლების მიხედვით, რომლებიც გავლენას ახდენენ შესწავლილ მაჩვენებლებზე.

საწარმოების გამოკვლევისას ასეთი ჯგუფები შეიძლება იყოს, მაგალითად, მრეწველობა და ქვესექტორი, საკუთრების ფორმები. შემდეგ, თითოეული ტიპიური ჯგუფიდან, ნიმუშის ერთეულების ინდივიდუალური შერჩევა ხდება შემთხვევითი ან მექანიკური ნიმუშით.

ტიპიური ნიმუში ჩვეულებრივ გამოიყენება რთული სტატისტიკური პოპულაციების შესწავლისას. მაგალითად, ეკონომიკის ცალკეულ სექტორებში დასაქმებულთა და დასაქმებულთა საოჯახო ბიუჯეტის შერჩევისას, საწარმოში მუშაკთა შრომის პროდუქტიულობა, წარმოდგენილი ცალკეული უნარების ჯგუფებით.

ტიპიური ნიმუში იძლევა უფრო ზუსტ შედეგებს ნიმუშების კომპლექტში ერთეულების შერჩევის სხვა მეთოდებთან შედარებით. ზოგადი პოპულაციის ტიპიზაცია უზრუნველყოფს ასეთი ნიმუშის წარმომადგენლობას, მასში თითოეული ტიპოლოგიური ჯგუფის წარმოდგენას, რაც შესაძლებელს ხდის გამოირიცხოს ჯგუფთაშორისი დისპერსიის გავლენა საშუალო შერჩევის შეცდომაზე.

განსაზღვრისას ტიპიური ნიმუშის საშუალო შეცდომაროგორც ვარიაციის მაჩვენებელია ჯგუფშიდა ვარიაციების საშუალო.

შერჩევის საშუალო შეცდომა გვხვდება ფორმულებით:

* საშუალო რაოდენობრივი ნიშნისთვის

(ხელახალი შერჩევა); (ფორმა. 11)

(შეუქცევადი შერჩევა); (ფორმა. 12)

* გაზიარებისთვის (ალტერნატიული მახასიათებელი)

(ხელახალი შერჩევა); (ფორმა.13)

(არაგანმეორებადი შერჩევა), (ფორმ. 14)

სად არის ჯგუფური დისპერსიების საშუალო შერჩევის პოპულაციისთვის;

შერჩევის პოპულაციაში წილის (ალტერნატიული თვისების) შიდაჯგუფური ვარიაციების საშუალო მაჩვენებელი.

სერიული ნიმუშის აღება გულისხმობს საერთო პოპულაციისგან შემთხვევით შერჩევას არა ცალკეული ერთეულების, არამედ მათი თანაბარი ჯგუფების (ბუდეები, სერია), რათა ყველა ერთეული გამონაკლისის გარეშე დაექვემდებაროს დაკვირვებას ასეთ ჯგუფებში.

სერიული სინჯების გამოყენება განპირობებულია იმით, რომ ბევრი საქონელი მათი ტრანსპორტირებისთვის, შესანახად და გასაყიდად შეფუთულია პაკეტებში, ყუთებში და ა.შ. ამიტომ დაფასოებული საქონლის ხარისხის კონტროლისას უფრო რაციონალურია რამდენიმე პაკეტის (სერიის) შემოწმება, ვიდრე ყველა შეფუთვიდან საქონლის საჭირო რაოდენობის შერჩევა.

ვინაიდან ჯგუფებში (სერიებში) ყველა ერთეული გამონაკლისის გარეშე განიხილება, შერჩევის საშუალო შეცდომა (თანაბარი სერიების არჩევისას) დამოკიდებულია მხოლოდ ჯგუფთაშორის (სერიების) დისპერსიაზე.

ვ შერჩევის საშუალო შეცდომა საშუალო ქულისთვის სერიული შერჩევისას ისინი გვხვდება ფორმულებით:

(ხელახალი შერჩევა); (ფორმა.15)

(არაგანმეორებადი შერჩევა), (ფორმ. 16)

სადაც r-შერჩეული სერიების რაოდენობა; R-ეპიზოდების საერთო რაოდენობა.

სერიული ნიმუშის ჯგუფთაშორისი ვარიაცია გამოითვლება შემდეგნაირად:

სად არის საშუალო მე- ე სერია; - ზოგადი საშუალო მთლიანი შერჩევის პოპულაციისთვის.

ვ შერჩევის საშუალო შეცდომა გაზიარებისთვის (ალტერნატიული ფუნქცია) სერიების შერჩევაში:

(ხელახალი შერჩევა); (ფორმა. 17)

(არაგანმეორებადი შერჩევა). (ფორმა. 18)

ჯგუფთაშორისი(სერიებს შორის) სერიული ნიმუშის წილის განსხვავებაგანისაზღვრება ფორმულით:

, (ფორმ. 19)

სად არის ფუნქციის წილი მეე სერია; - თვისების მთლიანი წილი მთელ ნიმუშში.

სტატისტიკური კვლევების პრაქტიკაში, ადრე განხილული შერჩევის მეთოდების გარდა, გამოიყენება მათი კომბინაცია (კომბინირებული შერჩევა).

შერჩევითი დაკვირვების ცნება.

დაკვირვების სტატისტიკური მეთოდით შესაძლებელია დაკვირვების ორი მეთოდის გამოყენება: უწყვეტი, რომელიც მოიცავს მოსახლეობის ყველა ერთეულს და შერჩევითი (არაუწყვეტი).

შერჩევის მეთოდი გაგებულია, როგორც კვლევის მეთოდი, რომელიც დაკავშირებულია მოსახლეობის განზოგადების ინდიკატორების ჩამოყალიბებასთან მისი ზოგიერთი ნაწილისთვის, შემთხვევითი შერჩევის მეთოდის საფუძველზე.

შერჩევითი დაკვირვებით გამოკვლევას ექვემდებარება მთელი მოსახლეობის შედარებით მცირე ნაწილი (5-10%).

შესასწავლი მთლიანობა ე.წ საერთო მოსახლეობა.

საერთო მოსახლეობისგან შერჩეული ერთეულების ის ნაწილი, რომელიც ექვემდებარება გამოკითხვას ე.წ ნიმუშის პოპულაციაან ნიმუში.

ზოგადი და სანიმუშო პოპულაციის დამახასიათებელი ინდიკატორები:

1) ალტერნატიული ნიშნის წილი;

AT მოსახლეობაერთეულების პროპორცია, რომლებსაც აქვთ რაიმე ალტერნატიული თვისება, აღინიშნება ასო "P".

AT ნიმუშის ჩარჩოერთეულების პროპორცია, რომლებსაც აქვთ რაიმე ალტერნატიული ატრიბუტი, აღინიშნება ასო "w".

2) ფუნქციის საშუალო ზომა;

AT მოსახლეობამახასიათებლის საშუალო ზომა აღინიშნება ასოთი (ზოგადი საშუალო).

AT ნიმუშის ჩარჩომახასიათებლის საშუალო ზომა აღინიშნება ასოთი (საშუალო ნიმუში).

შერჩევის შეცდომის განმარტება.

შერჩევითი დაკვირვება ეფუძნება საერთო პოპულაციის ერთეულების ნიმუშში მოხვედრის თანაბარ შესაძლებლობის პრინციპს. ეს თავიდან აიცილებს დაკვირვების სისტემატურ შეცდომებს. თუმცა, იმის გამო, რომ შესწავლილი პოპულაცია შედგება სხვადასხვა მახასიათებლების მქონე ერთეულებისგან, ნიმუშის შემადგენლობა შეიძლება განსხვავდებოდეს ზოგადი პოპულაციის შემადგენლობიდან, რამაც გამოიწვიოს შეუსაბამობები ზოგად და შერჩევის მახასიათებლებს შორის.

ასეთ შეუსაბამობებს უწოდებენ წარმომადგენლობით შეცდომებს ან შერჩევის შეცდომებს.

შერჩევის შეცდომის დადგენა შერჩევითი დაკვირვების დროს გადასაჭრელი მთავარი ამოცანაა.

მათემატიკურ სტატისტიკაში დადასტურებულია, რომ შერჩევის საშუალო შეცდომა განისაზღვრება ფორმულით:

სადაც m არის შერჩევის შეცდომა;

s 2 0 არის ზოგადი პოპულაციის ვარიაცია;

n არის ნიმუშის ერთეულების რაოდენობა.

პრაქტიკაში, შერჩევის პოპულაციის ვარიაცია s 2 გამოიყენება შერჩევის საშუალო შეცდომის დასადგენად.

არსებობს თანასწორობა ზოგად და ნიმუშს შორის:

(2).

ფორმულიდან (2) ჩანს, რომ ზოგადი დისპერსია უფრო მეტია, ვიდრე ნიმუშის ვარიაცია მნიშვნელობით (). თუმცა, საკმარისად დიდი ნიმუშის ზომისთვის, ეს თანაფარდობა ახლოს არის ერთიანობასთან, ასე რომ შეგვიძლია დავწეროთ

თუმცა, ეს ფორმულა საშუალო შერჩევის შეცდომის დასადგენად გამოიყენება მხოლოდ ხელახალი შერჩევისთვის.

პრაქტიკაში, ის ჩვეულებრივ გამოიყენება არაგანმეორებადი შერჩევადა შერჩევის საშუალო შეცდომა გამოითვლება ოდნავ განსხვავებულად, რადგან შერჩევის ზომა მცირდება კვლევის განმავლობაში:

(4)

სადაც n არის ნიმუშის ზომა;

N არის საერთო პოპულაციის ზომა;

s 2 - ნიმუშის განსხვავება.

ალტერნატიული მახასიათებლის პროპორციისთვის, შერჩევის საშუალო შეცდომა ხელახალი შერჩევაგანისაზღვრება ფორმულით:

(5), სადაც

w (1-w) - ალტერნატიული ატრიბუტის ნიმუშის წილის საშუალო ცდომილება;

w არის შერჩევის პოპულაციის ალტერნატიული მახასიათებლის წილი.

ზე ხელახალი შერჩევაალტერნატიული ატრიბუტის წილის საშუალო შეცდომა განისაზღვრება გამარტივებული ფორმულით:

(6)

Თუ ნიმუშის ზომა არ აღემატება 5%-სნიმუშის წილისა და შერჩევის საშუალო ცდომილება განისაზღვრება გამარტივებული ფორმულებით (3) და (6).

ნიმუშის საშუალო ცდომილების და ნიმუშის წილის საშუალო ცდომილების დადგენა აუცილებელია ზოგადი საშუალოს (x) და ზოგადი წილის (P) შესაძლო მნიშვნელობების დასადგენად, ნიმუშის საშუალო (x) და ნიმუშის წილის (w) საფუძველზე.

ერთ-ერთი შესაძლო მნიშვნელობა, რომლის ფარგლებშიც განლაგებულია ზოგადი საშუალო, განისაზღვრება ფორმულით:

ზოგადი წილისთვის, ეს ინტერვალი შეიძლება დაიწეროს როგორც :

(8)

წილის მახასიათებლები და ამ გზით მიღებული საშუალო ზოგად პოპულაციაში განსხვავდება ნიმუშის წილის ღირებულებისგან და შერჩევის საშუალო ღირებულებით. მ.თუმცა, ეს არ შეიძლება იყოს გარანტირებული სრული დარწმუნებით, მაგრამ მხოლოდ გარკვეული ალბათობით.

მათემატიკურ სტატისტიკაში დადასტურებულია, რომ ზოგადი და ნიმუშის საშუალო მახასიათებლების მნიშვნელობების საზღვრები განსხვავდება მმხოლოდ 0,683 ალბათობით. მაშასადამე, 1000-დან მხოლოდ 683 შემთხვევაშია საერთო საშუალო ფარგლებში x= x m x,სხვა შემთხვევაში ის ამ საზღვრებს სცდება.

მსჯელობის ალბათობა შეიძლება გაიზარდოს გადახრების საზღვრების გაფართოებით საშუალო შერჩევის შეცდომის აღების საზომად, გაზრდილი t-ჯერ.

T ფაქტორს ნდობის ფაქტორი ეწოდება. იგი განისაზღვრება ნდობის დონის მიხედვით, რომლითაც აუცილებელია კვლევის შედეგების გარანტია.

მათემატიკოსმა A.M. ლიაპუშევმა გამოთვალა t-ის სხვადასხვა მნიშვნელობები, რომლებიც ჩვეულებრივ მოცემულია მზა ცხრილებში.