კომპასის გამოყენებით შემოსაზღვრული წრის აგება. კომპასისა და მმართველის კონსტრუქცია

მიზნები:

სტუდენტებში "წრის", "წრის" ცნებების კონსოლიდაცია; გამოყავით ცნება "წრის რადიუსი"; ისწავლეთ მოცემული რადიუსის წრეების აშენება; განავითარონ მსჯელობის, ანალიზის უნარი.

პირადი UUD:
პოზიტიური დამოკიდებულების ჩამოყალიბება მათემატიკის გაკვეთილების მიმართ;
ინტერესი საგნობრივი კვლევითი საქმიანობის მიმართ;

მეტასუბუქტური ამოცანები

მარეგულირებელი UUD:
მიიღოს და შეინახოს სასწავლო დავალება;
მასწავლებელთან და კლასთან თანამშრომლობით იპოვნონ გამოსავალთა რამდენიმე ვარიანტი;

შემეცნებითი UUD:
პრობლემის განმარტება და გადაწყვეტა:
დამოუკიდებლად გამოავლინოს და ჩამოაყალიბოს პრობლემა;
ზოგადი საგანმანათლებლო:
საჭირო ინფორმაციის მოძიება სახელმძღვანელოში;
კომპასის გამოყენებით ააშენეთ მოცემული რადიუსის წრე;
ტვინის თიზერი:
ჩამოყალიბდეს "რადიუსის" კონცეფცია;
კლასიფიკაციის, შედარების განხორციელება;
დამოუკიდებლად ჩამოაყალიბეთ დასკვნები;

კომუნიკაციური UUD:
აქტიურად მონაწილეობა მიიღონ კოლექტიურ მუშაობაში, მეტყველების საშუალებების გამოყენების დროს;
ამტკიცებენ თქვენს აზრს;

ნივთის ცოდნა:
"წრის რადიუსის" ცნებების არსებითი მახასიათებლების დადგენა;
წრეების აშენება სხვადასხვა რადიუსით;
რადიოს ამოცნობა ნახატზე.

გაკვეთილების დროს

სასწავლო საქმიანობის მოტივაცია

- მოდით გადავამოწმოთ, ყველა მზად არის გაკვეთილისთვის?

"ემოციური შესვლა გაკვეთილზე":

გაიღიმეთ მზესავით.

ღრუბლებივით შუბლშეკრული

წვიმებივით ტირილი

გააკვირვე, თითქოს ცისარტყელა დაინახე

ახლა ჩემს შემდეგ გაიმეორე

თამაში "მეგობრული ექო"

2. ცოდნის განახლება

ვერბალური დათვლა

ა) 60-40 36 + 12 10 + 20 58-12 90-50 31 + 13

გახსენით ნიმუში. გააგრძელეთ მწკრივი.

პასუხი: 20, 48,30,46,40,44 50,42

ბ) პრობლემის გადაჭრა:

1. პირველ დღეს მაღაზიაში გაიყიდა 42 კგ ხილი, მეორე დღეს კი 2 კგ მეტი. რამდენი კილო გაიყიდა მეორე დღეს?

რა უნდა შეიცვალოს ისე, რომ ამოცანა გადაწყდეს 2 ნაბიჯით.

ბურთები - 16 ცალი.

თოკი - 28 ცალი.

იპოვნეთ გამოსავალი ამ პრობლემაზე.

28-16 28+16

შეცვალეთ კითხვა ისე, რომ პრობლემა ამოიღონ გამოკლებით.

3. საგანმანათლებლო პრობლემის განცხადება

1. დაასახელეთ გეომეტრიული ფორმები

წრის წრის ოვალური ბურთი

რომელი ციფრია ზედმეტი?

რა საერთო აქვთ ციფრებს? (წრეს, წრეს, ბურთს იგივე ფორმა აქვს)

Რა არის განსხვავება?

2. შიგნით

რა წერტილები ეკუთვნის წრეს? რა წერტილებია წრის გარეთ?

რას ნიშნავს O წერტილი? (წრის ცენტრი)

რა ჰქვია OB სეგმენტს?

რამდენი რადიუსის დახატვა შეგიძლიათ წრეში?

რომელი ხაზი არ არის რადიუსი? რატომ?

რა დასკვნის გაკეთება შეიძლება?

დასკვნა: ყველა რადიუსს აქვს იგივე სიგრძე .

3. რამდენი წრეა სურათზე?

რით განსხვავდება წრეები? (ზომა)

რა განსაზღვრავს წრის ზომას?

რა დასკვნის გაკეთება შეიძლება?

დასკვნა: რაც უფრო დიდია წრე, მით უფრო დიდია მისი რადიუსი.

გაკვეთილის თემის განსაზღვრა.

თემა: კომპასის გამოყენებით ქმნის მოცემული რადიუსის წრეს.

რა ამოცანები შეიძლება დავაყენოთ ამ გაკვეთილისთვის?

4. იმუშავეთ თემაზე

ა) წრის აგება.

რა უნდა იცოდეთ მოცემული ზომის წრის დასახატად?

დახაზეთ წრე 3 სმ რადიუსით.

ბ) პროექტის საქმიანობისთვის მომზადება

1) განვიხილოთ ნახაზი

როგორია პეპლის ფორმები? წრეები იგივე რადიუსით?

2) მუშაობა წყვილებში.

აღადგინეთ ეტაპების თანმიმდევრობა პროექტში.

პროექტის პრეზენტაცია ან დემო

კონცეფცია (გააკეთე ესკიზი)

შეადგინეთ ფიგურები გეგმის განსახორციელებლად

გაითვალისწინეთ რა რადიუსი უნდა ჰქონდეს ფორმებს

გ) პროექტზე მუშაობა.

ჯგუფებში მუშაობა შედგენილი ალგორითმის მიხედვით

ეს გაკვეთილი ორიენტირებულია წრისა და წრის შესწავლაზე. ასევე, მასწავლებელი გასწავლით დახურული და ღია ხაზების გარჩევას. თქვენ გაეცნობით წრის ძირითად თვისებებს: ცენტრი, რადიუსი და დიამეტრი. შეიტყვეთ მათი განმარტებები. ისწავლეთ რადიუსის დადგენა, თუ დიამეტრი ცნობილია და პირიქით.

თუ წრის შიგნით ავსებთ ადგილს, მაგალითად, დახატეთ წრე კომპასით ქაღალდზე ან მუყაოზე და ამოჭერით, მიიღებთ წრეს (ნახ .10).

ფიგურა: 10. წრე

Წრე არის წრის მიერ შემოზღუდული სიბრტყის ნაწილი.

მდგომარეობა:ვიტია ვერხოგლიადკინმა თავის წრეში დახაზა 11 დიამეტრი (ნახ .11). როდესაც მან რადიოები დაითვალა, მან მიიღო 21. სწორად დაითვალა?

ფიგურა: 11. პრობლემის ილუსტრაცია

გადაწყვეტილება:რადიუსი დიამეტრზე ორჯერ დიდი უნდა იყოს, შესაბამისად:

ვითიამ არასწორად დაითვალა.

ცნობების სია

1. მათემატიკა. 3 კლასი. სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის. ინსტიტუტები adj. ელექტრონამდე. გადამზიდავი. 2 საათზე ნაწილი 1 / [M.I. მორო, მ. ბანტოვა, გ.ვ. ბელტუიკოვა და სხვები] - მე -2 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2012 წ. - 112 გვ. ავად. - (რუსეთის სკოლა).
2. რუდნიცკაია ვ.ნ., იუდაჩევა ტ.ვ. მათემატიკა, მე –3 კლასი. - მ.: VENTANA-GRAF.
3. პეტერსონი ლ.გ. მათემატიკა, მე –3 კლასი. - მ.: იუვენტა.

1. Mypresentation.ru ().
2. Sernam.ru ().
3. სკოლა- asistant.ru ().

Საშინაო დავალება

1. მათემატიკა. 3 კლასი. სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის. ინსტიტუტები adj. ელექტრონამდე. გადამზიდავი. 2 საათზე ნაწილი 1 / [M.I. მორო, მ. ბანტოვა, გ.ვ. ბელტუიკოვა და სხვები] - მე -2 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2012., ხელოვნება. 94 No 1, მუხ. 95 No3.

2. გადაწყვიტე გამოცანა.

მე და ჩემი ძმა ერთად ვცხოვრობთ

ერთად ძალიან ბევრი ვიხალისეთ

ჩვენ ფურცელზე დავდებთ კათხაზე (ნახ .12),

მონახაზი ფანქრით.

აღმოჩნდა, რაც გჭირდებათ -

დარეკა ...

3. საჭიროა განისაზღვროს წრის დიამეტრი, თუ ცნობილია, რომ რადიუსი არის 5 მ.

4. * კომპასის გამოყენებით, რადიუსით დახაზეთ ორი წრე: ა) 2 სმ და 5 სმ; ბ) 10 მმ და 15 მმ.

სამშენებლო პრობლემების დროს კომპასი და მმართველი იდეალურ იარაღად ითვლება, კერძოდ, მმართველს არა აქვს დანაყოფები და აქვს უსასრულო სიგრძის მხოლოდ ერთი მხარე, ხოლო კომპასს შეიძლება ჰქონდეს თვითნებურად დიდი ან თვითნებურად მცირე გახსნა.

მოქმედი კონსტრუქციები. სამშენებლო დავალებებში დასაშვებია შემდეგი ოპერაციები:

1. აღნიშნე წერტილი:

• თვითმფრინავის თვითნებური წერტილი;
• თვითნებური წერტილი მოცემულ სწორ ხაზზე;
• თვითნებური წერტილი მოცემულ წრეზე;
• ორი მოცემული ხაზის გადაკვეთის წერტილი;
• მოცემული წრფის და მოცემული წრის გადაკვეთის / თანხების წერტილები;
• ორი მითითებული წრის გადაკვეთის / თანხვედრის წერტილები.

2. მმართველის გამოყენებით შეგიძლიათ აშენოთ სწორი ხაზი:

• თვითნებური სწორი ხაზი თვითმფრინავზე;
• თვითნებური სწორი ხაზი, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში;
• სწორი ხაზი, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში.

3. კომპასის გამოყენებით შეგიძლიათ შექმნათ წრე:

• თვითნებური წრე თვითმფრინავში;
• თვითნებური წრე, რომლის ცენტრშია მოცემული წერტილი;
• თვითნებური წრე, რომლის რადიუსი ტოლია მანძილს ორ მითითებულ წერტილს შორის;
• წრე, რომელიც ორიენტირებულია მითითებულ წერტილში და რადიუსით ტოლია მანძილი ორ მითითებულ წერტილს შორის.

შენობის პრობლემების გადაჭრა. მშენებლობის პრობლემის გადაჭრა შეიცავს სამ მნიშვნელოვან ნაწილს:

1. სასურველი ობიექტის აგების მეთოდის აღწერა.
2. დასტური იმისა, რომ აღწერილი გზით აშენებული ობიექტი ნამდვილად სასურველია.
3. აღწერილი კონსტრუქციის მეთოდის ანალიზი საწყისი პირობების სხვადასხვა ვარიანტებზე მისი გამოყენების, აგრეთვე აღწერილი მეთოდით მიღებული ხსნარის უნიკალურობის ან არაუალურობისათვის.

დახაზეთ წრფის სეგმენტი, რომელიც მოცემულია. მოდით, იქ მიეცეს სხივი წარმოშობის წერტილში $ O $ და სეგმენტი $ AB $. სხივზე $ OP \u003d AB $ სეგმენტის შესაქმნელად, თქვენ უნდა ააშენოთ წრე ცენტრთან $ O $ რადიუსში $ AB $. სხივის გადაკვეთის წერტილი წრეზე იქნება სასურველი წერტილი $ P $.

აგებს მოცემული კუთხის ტოლ კუთხეს. მოდით, იქ მიეცეს სხივი წარმოშობის წერტილში $ O $ და კუთხე $ ABC $. ცენტრში $ B $ წერტილში ვაშენებთ წრეს თვითნებური რადიუსით $ r $. მოდით აღვნიშნოთ წრის გადაკვეთის წერტილები $ BA $ და $ BC $ სხივებთან, შესაბამისად $ A "$ და $ C" $.

ააშენეთ წრე, რომლის ცენტრშია $ O $ რადიუსი $ r $. წრის წვერის გადაკვეთის წერტილი აღინიშნება $ P $ - ით. ააშენეთ წრე ცენტრში $ P $ რადიუსის $ A "B" $ წერტილში. წრეების გადაკვეთის წერტილი აღინიშნება $ Q $ - ით. დახაზეთ სხივი $ OQ $.

მივიღებთ $ POQ $ კუთხეს, $ ABC $ კუთხის ტოლს, რადგან სამკუთხედები $ POQ $ და $ ABC $ სამ მხარეს ტოლია.

აშენებს ხაზის სეგმენტის პერპენდიკულარულ შუა წერტილს. მოდით ავაშენოთ თვითნებური რადიუსის გადაკვეთადი ორი წრე სეგმენტის ბოლოების ცენტრებთან. მათი გადაკვეთის ორი წერტილის შეერთებით, მივიღებთ შუა პერპენდიკულურს.

კუთხის ბისექტრის აგება. მოდით დავხატოთ თვითნებური რადიუსის წრე, რომელიც ორიენტირებულია კუთხის წვერზე. მოდით ავაშენოთ თვითნებური რადიუსის გადაკვეთადი ორი წრე ცენტრებით პირველი წრის გადაკვეთის წერტილებში კუთხის მხარეებთან. კუთხის წვერის დაკავშირება ამ ორი წრის გადაკვეთის ნებისმიერ წერტილთან, მივიღებთ კუთხის ბისექტორს.

ორი სეგმენტის ჯამის აგება.მოცემული სხივის ორი მოცემული სეგმენტის ჯამის ტოლი სეგმენტის შესაქმნელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ორჯერ ამ სეგმენტის აგების მეთოდი.

ორი კუთხის ჯამის გამოსახვა. იმისათვის, რომ მოცემული სხივიდან გადადოთ კუთხე, რომელიც ტოლია ორი მოცემული კუთხის ჯამის, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ორჯერ ამ კუთხის ტოლი კუთხის აგების მეთოდი.

წრფის სეგმენტის შუა წერტილის პოვნა. იმისათვის, რომ აღნიშნოთ მოცემული სეგმენტი, თქვენ უნდა ააშენოთ სეგმენტის შუა პერპენდიკულური და აღნიშნოთ პერპენდიკულარის გადაკვეთის წერტილი თვით სეგმენტთან.

მოცემული წერტილის მეშვეობით ქმნის პერპენდიკულარულ ხაზს. დაე მოეთხოვებოდეს მოცემული წერტილის პერპენდიკულარულად სწორი ხაზის აგებას და მოცემულ წერტილზე გავლას. დახაზეთ თვითნებური რადიუსის წრე, რომელიც ორიენტირებულია მოცემულ წერტილში (იმისდა მიუხედავად, იგი სწორ ხაზზე მდებარეობს თუ არა), სწორ ხაზს კვეთს ორ წერტილზე. ჩვენ ვაშენებთ სეგმენტის პერპენდიკულარულ შუა წერტილს, რომელიც მთავრდება წრფის გადაკვეთის წერტილებში სწორი ხაზით. ეს იქნება სასურველი პერპენდიკულარული ხაზი.

მოცემულ წერტილში გადის პარალელურ სწორ ხაზს. მოდით, საჭირო იყოს მოცემული ხაზის პარალელურად სწორი ხაზის აგება და მოცემული წერტილის გავლა სწორი ხაზის გარეთ. ააშენეთ სწორი ხაზი, რომელიც გადის მოცემულ წერტილში, ამ სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად. შემდეგ ჩვენ ვაშენებთ სწორ ხაზს, რომელიც ამ წერტილში გადის, აშენებული პერპენდიკულურის პერპენდიკულარულად. ამ შემთხვევაში მიღებული სწორი ხაზი იქნება სასურველი.

ხის ნაწილების დამზადების ან დამუშავებისას, ზოგიერთ შემთხვევაში, საჭიროა განისაზღვროს მათი გეომეტრიული ცენტრი. თუ ნაწილს აქვს კვადრატული ან მართკუთხა ფორმა, მაშინ ამის გაკეთება არ არის რთული. საკმარისია საპირისპირო კუთხეების დიაგონალებთან დაკავშირება, რომლებიც ზუსტად გადაკვეთენ ჩვენი ფიგურის ცენტრში.
პროდუქტებისთვის, რომლებსაც წრის ფორმა აქვთ, ეს გამოსავალი არ იმუშავებს, რადგან მათ კუთხეები და დიაგონალები არ აქვთ. ამ შემთხვევაში, თქვენ გჭირდებათ სხვა მიდგომა, რომელიც დაფუძნებულია სხვადასხვა პრინციპებზე.

ისინი არსებობენ და მრავალფეროვნებით. ზოგი მათგანი საკმაოდ რთულია და საჭიროებს რამდენიმე ინსტრუმენტს, სხვისი განსახორციელებლად მარტივია და მათ განსახორციელებლად საჭირო არ არის მთელი რიგი ინსტრუმენტები.
ახლა ჩვენ მიმოვიხილავთ წრის ცენტრის პოვნის ერთ-ერთ უმარტივეს გზას მხოლოდ ჩვეულებრივი სახაზავისა და ფანქრის გამოყენებით.

წრის ცენტრის პოვნის თანმიმდევრობა:

წინადადებას, რომელიც განმარტავს კონკრეტული გამოთქმის ან სახელის მნიშვნელობას, ეწოდება განმსაზღვრელი... ჩვენ უკვე შევხვდით განმარტებებს, მაგალითად, კუთხის, მომიჯნავე კუთხეების, ტოლფერდა სამკუთხედის და ა.შ. განმარტეთ სხვა გეომეტრიული ფიგურა - წრე.

განმარტება

ამ წერტილს ეწოდება წრის ცენტრი, და ცენტრის დამაკავშირებელი სეგმენტი წრის ნებისმიერ წერტილთან არის წრის რადიუსი (სურათი 77). წრის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ ყველა რადიუსს აქვს იგივე სიგრძე.

ფიგურა: 77

წრის ორ წერტილს დამაკავშირებელ სეგმენტს ეწოდება მისი აკორდი. აკორდს, რომელიც წრის ცენტრში გადის, მას უწოდებენ დიამეტრი.

78-ე ნახაზზე, AB და EF სეგმენტები წრის აკორდებია, CD სეგმენტი არის წრის დიამეტრი. ცხადია, წრის დიამეტრი მის რადიუსზე ორჯერ მეტია. წრის ცენტრი არის ნებისმიერი დიამეტრის შუა წერტილი.

ფიგურა: 78

წრის ნებისმიერი ორი წერტილი მას ორ ნაწილად ყოფს. თითოეულ ამ ნაწილს წრიულ რკალს უწოდებენ. ნახატზე 79 ALB და AMB არის რკალები, რომლებიც შემოზღუდულია A და B წერტილებით.

ფიგურა: 79

ნახატზე წრის გამოსახატავად გამოიყენეთ კომპასი (სურ. 80).

ფიგურა: 80

მიწაზე წრის დასახატად შეგიძლიათ გამოიყენოთ თოკი (ნახ. 81).

ფიგურა: 81

წრის მიერ შემოზღუდული სიბრტყის ნაწილს წრე ეწოდება (ნახ. 82).

ფიგურა: 82

კომპასისა და მმართველის კონსტრუქცია

ჩვენ უკვე შევეხეთ გეომეტრიულ კონსტრუქციებს: ჩვენ დავხაზეთ სწორი ხაზები, ჩამოვყალიბდით მონაცემების ტოლი სეგმენტები, დავხაზეთ კუთხეები, სამკუთხედები და სხვა ფორმები. ამით გამოვიყენეთ მასშტაბის მმართველი, კომპასები, პროტრაქტორი, სახატავი კვადრატი.

აღმოჩნდება, რომ მრავალი კონსტრუქციის შესრულება შესაძლებელია მხოლოდ კომპასისა და მმართველის გამოყენებით, მასშტაბის დანაწევრების გარეშე. ამიტომ, გეომეტრიაში, სპეციალურად გამოირჩევა ის სამშენებლო ამოცანები, რომელთა გადაჭრა ხდება მხოლოდ ამ ორი საშუალების გამოყენებით.

რისი გაკეთება შეგიძლია მათთან? აშკარაა, რომ მმართველი საშუალებას გაძლევთ დახატოთ თვითნებური სწორი ხაზი, ასევე ააშენოთ სწორი ხაზი, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში. კომპასის გამოყენებით შეგიძლიათ დახაზოთ თვითნებური რადიუსის წრე, აგრეთვე წრე მოცემული წერტილის ცენტრით და მოცემული სეგმენტის რადიუსი. ამ მარტივი ოპერაციების შესრულებით, ჩვენ შეგვიძლია მრავალი საინტერესო სამშენებლო პრობლემის მოგვარება:

ააშენეთ მოცემული კუთხის ტოლი კუთხე;
დახაზეთ სწორი ხაზი ამ წერტილის გავლით, ამ სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად;
ამ სეგმენტის გაყოფა შუაზე და სხვა დავალებებზე.

დავიწყოთ მარტივი დავალებიდან.

Დავალება

მოცემულ სხივზე მისი თავიდანვე გადადება მოცემული სეგმენტის გადადება.

გადაწყვეტილება

ასახეთ პრობლემის პირობებში მოცემული ფიგურები: სხივი OS და სეგმენტი AB (ნახ .83, ა). შემდეგ, კომპასით, ჩვენ ვაშენებთ AB რადიუსის წრეს O ცენტრით (ნახ. 83, ბ). ეს წრე გარკვეულ მომენტში გადაკვეთს OS სხივს D. სეგმენტი OD არის საჭირო.

ფიგურა: 83

სამშენებლო ამოცანების მაგალითები

დახაზეთ მოცემული კუთხის ტოლი კუთხე

Დავალება

მოცემული კუთხე განზე დააყენეთ მოცემული სხივისგან.

გადაწყვეტილება

ეს კუთხე A მწვერვალთან და სხივთან OM ნაჩვენებია ნახატზე 84. საჭიროა A კუთხის ტოლი კუთხის აგება, ისე რომ მისი რომელიმე მხარე ემთხვეოდეს OM სხივს.

ფიგურა: 84

დავხატოთ თვითნებური რადიუსის წრე, რომელიც ორიენტირებულია მოცემული კუთხის A წვერზე. ეს წრე კვეთს კუთხის მხარეებს B და C წერტილებში (ნახ .85, ა). შემდეგ ვხატავთ იმავე რადიუსის წრეს, რომელიც ორიენტირებულია მოცემულ სხივზე OM. იგი გადაკვეთს სხივს D წერტილში (ნახ .85, ბ). ამის შემდეგ ააშენეთ წრე D ცენტრით, რომლის რადიუსი უდრის ძვ. წრეები O და D ცენტრებით იკვეთება ორ წერტილზე. ამ წერტილებს ერთს აღვნიშნავთ წერილით E. მოდით დავამტკიცოთ, რომ MOE კუთხე არის საჭირო.

ფიგურა: 85

განვიხილოთ სამკუთხედები ABC და ODE. სეგმენტები AB და AC არის წრის რადიუსი A ცენტრით, ხოლო OD და OE სეგმენტები წრის რადიუსი O ცენტრით (იხ. ნახ. 85, ბ). ვინაიდან, კონსტრუქციით, ამ წრეებს თანაბარი რადიუსი აქვთ, შემდეგ AB \u003d OD, AC \u003d OE. ასევე, კონსტრუქციის მიხედვით, ВС \u003d DE.

ამიტომ, Δ ABC \u003d Δ ODE სამ მხარეს. ამიტომ, ∠DOE \u003d ∠BAC, ანუ აგებული კუთხე MOE ტოლია მოცემული A კუთხის.

იგივე კონსტრუქციის შესრულება შესაძლებელია ადგილზე, თუ კომპასის ნაცვლად იყენებთ თოკს.

კუთხის ბისექტრის აგება

Დავალება

მოცემული კუთხის ბისეტის აგება.

გადაწყვეტილება

ეს კუთხე BAC ნაჩვენებია ნახატზე 86. დახაზეთ თვითნებური რადიუსის წრე, რომელიც მდებარეობს A მწვერვალზე. ის კვეთს კუთხის გვერდებს B და C წერტილებში.

ფიგურა: 86

შემდეგ ჩვენ ვხატავთ იგივე რადიუსის BC ორ წრეს ცენტრებით B და C წერტილებზე (ამ წრეების მხოლოდ ნაწილებია ნაჩვენები ნახატზე). ისინი გადაკვეთენ ორ წერტილს, რომელთაგან ერთი მაინც მდგომარეობს კუთხეში. მოდით, ამას აღვნიშნავთ ასო ე-ით. დავამტკიცოთ, რომ სხივი AE მოცემული BAC კუთხის ბისექტორია.

განვიხილოთ ACE და ABE სამკუთხედები. ისინი სამი მხრიდან ტოლია. მართლაც, AE არის საერთო მხარე; AC და AB ტოლია, როგორც ერთი და იგივე წრის რადიუსი; CE \u003d BE კონსტრუქციით.

ACE და ABE სამკუთხედების თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ ∠CAE \u003d EBAE, ანუ, სხივი AE მოცემული BAC კუთხის ბისექტორია.

კომენტარი

შესაძლებელია თუ არა მოცემული კუთხის დაყოფა ორ თანაბარკუთხედზე კომპასისა და მმართველის გამოყენებით? გასაგებია, რომ ეს შესაძლებელია - ამისათვის საჭიროა ამ კუთხის ბისექტრის დახაზვა.

ეს კუთხე ასევე შეიძლება დაიყოს ოთხ თანაბარ კუთხედ. ამისათვის თქვენ უნდა გაყოთ შუაზე, შემდეგ კი გაანაწილოთ თითოეული ნახევარი ისევ შუაზე.

შესაძლებელია თუ არა ამ კუთხის დაყოფა სამ ტოლ კუთხედ კომპასისა და მმართველის გამოყენებით? ეს დავალება გახმოვანებულია კუთხის ტრიცირების პრობლემები, საუკუნეების განმავლობაში მიიპყრო მათემატიკოსების ყურადღება. მხოლოდ მე -19 საუკუნეში დაამტკიცეს, რომ ასეთი კონსტრუქცია თვითნებური კუთხისთვის შეუძლებელია.

პერპენდიკულარული ხაზების დახატვა

Დავალება

მოცემულია სწორი ხაზი და მასზე წერტილი. ააშენეთ მოცემული წერტილის გავლით და ამ ხაზის პერპენდიკულარულად წრფე.

გადაწყვეტილება

ამ ხაზის კუთვნილი a და მოცემული M წერტილი ნაჩვენებია ნახატზე 87.

ფიგურა: 87

A სწორი ხაზის სხივებზე, M წერტილიდან გამოსული, გადავდებთ MA და MB თანაბარ სეგმენტებს. შემდეგ ჩვენ ვაშენებთ ორ წრეს AB რადიუსის A და B ცენტრებით. ისინი იკვეთებიან ორ წერტილზე: P და Q.

მოდით გავამახვილოთ სწორი ხაზი M წერტილისა და ამ წერტილებიდან ერთ – ერთი, მაგალითად, სწორი ხაზი MP (იხ. სურ. 87) და დავამტკიცოთ, რომ ეს ხაზი არის ძებნილი, ანუ ის არის მოცემული წრფის პერპენდიკულარული a.

მართლაც, ვინაიდან იზოლირებული სამკუთხედის PAB საშუალო PM ასევე არის სიმაღლე, PM ⊥ a.

დახაზეთ წრფივი სეგმენტის შუა წერტილი

Დავალება

ამ სეგმენტის შუა ნაწილის აგება.

გადაწყვეტილება

მოდით AB იყოს მოცემული სეგმენტი. მოდით ავაშენოთ ორი წრე AB რადიუსის A და B ცენტრებით. ისინი იკვეთებიან P და Q წერტილებში. დახაზეთ PQ ხაზი. ამ ხაზის გადაკვეთის O წერტილი AB სეგმენტთან არის AB სეგმენტის სასურველი შუა წერტილი.

მართლაც, სამკუთხედები APQ და BPQ სამი მხრიდან ტოლია, ამიტომ ∠1 \u003d ∠2 (ნახ. 89).

ფიგურა: 89

შესაბამისად, PO სეგმენტი არის იზოსელური სამკუთხედის APB- ის ნახევარმცველი და, აქედან გამომდინარე, მედიანა, ანუ წერტილი O არის AB სეგმენტის შუა წერტილი.

Დავალებები

143. 90-ე სურათზე ნაჩვენები სეგმენტებიდან რომელია: ა) წრის აკორდები; ბ) წრის დიამეტრი; გ) წრის რადიუსები?

ფიგურა: 90

144. სეგმენტები AB და CD - წრის დიამეტრი. დაამტკიცეთ, რომ: ა) აკორდები BD და AC ტოლია; ბ) აკორდები AD და BC ტოლია; გ) ∠ ცუდი \u003d BCD.

145. სეგმენტი MK - წრის დიამეტრი O ცენტრით, და MP და PK - ამ წრის თანაბარი აკორდები. იპოვნეთ OMPOM.

146. AB და CD სეგმენტები - წრის დიამეტრი O ცენტრით. იპოვნეთ AOD სამკუთხედის პერიმეტრი, თუ იცით რომ CB \u003d 13 სმ, AB \u003d 16 სმ.

147. A და B წერტილები აღინიშნება წრეზე O ცენტრით, ისე რომ AOB კუთხე იყოს სწორი ხაზი. სეგმენტი BC - წრის დიამეტრი. დაამტკიცეთ, რომ აკორდები AB და AC ტოლია.

148. ორი და A წერტილები მოცემულია სწორ ხაზზე. B A სხივის გაფართოებაზე განვსაზღვროთ სეგმენტი BC ისე რომ BC \u003d 2AB.

149. მოცემულია a სწორი ხაზი, B წერტილი, რომელიც მასზე არ მდებარეობს და სეგმენტი PQ. ა წერტილზე ავაშენოთ M წერტილი ისე, რომ BM \u003d PQ. აქვს პრობლემას ყოველთვის გადაჭრა?

150. მოცემულია წრე, A წერტილი, რომელიც მასზე არ წევს და სეგმენტი PQ. წრეზე M წერტილის აგება ისე, რომ AM \u003d PQ. აქვს პრობლემას ყოველთვის გადაჭრა?

151. მოცემულია მწვავე კუთხე BAC და XY სხივი. ააშენეთ YXZ კუთხე ისე, რომ YXZ \u003d 2∠BAC.

152. მოცემულია ბლაგვი კუთხე AOB. ააშენეთ OX სხივი ისე, რომ XOA და XOB კუთხეები იყოს თანაბარი ბლაგვი კუთხეები.

153. მოცემულია a და M წერტილები, რომლებიც მასზე არ მდებარეობს. M წერტილის გავლით და a წრფის პერპენდიკულარული ხაზის აგება.

გადაწყვეტილება

მოდით, ავაშენოთ წრე მოცემულ M წერტილზე ორიენტირებული, მოცემულ წრფეზე a გადაკვეთს ორ წერტილს, რომელსაც აღვნიშნავთ ასოებით A და B (ნახ. 91). შემდეგ ჩვენ ვაშენებთ ორ წრეს A და B ცენტრებით, რომლებიც გადიან M წერტილს. ეს წრეები იკვეთება M წერტილში და კიდევ ერთ წერტილში, რასაც აღვნიშნავთ ასო N- ით. ჩვენ ვხატავთ MN სწორ ხაზს და ვამტკიცებთ, რომ ეს ხაზი არის საჭირო, ანუ ის არის პერპენდიკულარული პირდაპირ ა.

ფიგურა: 91

მართლაც, სამკუთხედები AMN და BMN სამი მხრიდან ტოლია, ამიტომ ∠1 \u003d 2. აქედან გამომდინარეობს, რომ სეგმენტი MC (C არის a და MN წრფეების გადაკვეთის წერტილი) არის AMB- ის ტოლფერდა სამკუთხედის ბისექტრული და, შესაბამისად, სიმაღლე. ამრიგად, MN ⊥ AB, ანუ MN a.

154. მოცემულია სამკუთხედი ABC. აშენება: ა) ბისექტრული AK; ბ) VM– ს მედიანა; გ) CH სამკუთხედის სიმაღლე. 155. კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით ავაშენოთ კუთხე, ტოლი: ა) 45 °; ბ) 22 ° 30 ”.

პრობლემებზე პასუხები

152. მითითება. პირველ რიგში, ავაშენეთ AOB კუთხის ბისექტრული.