იპოვეთ ვექტორის დაშლა ფუძის მიმართ. ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და წრფივი დამოუკიდებლობა

ხაზოვანი დამოკიდებულებადა ხაზოვანი დამოუკიდებლობავექტორები.
ვექტორების საფუძველი. აფინური კოორდინატთა სისტემა

აუდიტორიაში არის ურიკა შოკოლადებით და დღეს ყველა სტუმარი მიიღებს ტკბილ წყვილს - ანალიტიკურ გეომეტრიას ხაზოვანი ალგებრით. ეს სტატია მოიცავს ორ განყოფილებას ერთდროულად. უმაღლესი მათემატიკადა ჩვენ ვნახავთ, როგორ ერწყმიან ისინი ერთ შეფუთვას. დაისვენე, მიირთვით ტვიქსი! ...ჯანდაბა, რა სისულელეა. თუმცა, კარგი, გოლს არ გავიტან, საბოლოო ჯამში, სწავლისადმი დადებითი დამოკიდებულება უნდა გქონდეს.

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება, ხაზოვანი ვექტორული დამოუკიდებლობა, ვექტორების საფუძველიდა სხვა ტერმინებს აქვთ არა მხოლოდ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, არამედ, უპირველეს ყოვლისა, ალგებრული მნიშვნელობა. თავად „ვექტორის“ კონცეფცია თვალსაზრისით ხაზოვანი ალგებრა- ეს ყოველთვის არ არის ის "ჩვეულებრივი" ვექტორი, რომელიც შეგვიძლია გამოვსახოთ თვითმფრინავზე ან სივრცეში. თქვენ არ გჭირდებათ შორს ეძებოთ მტკიცებულება, შეეცადეთ დახატოთ ხუთგანზომილებიანი სივრცის ვექტორი . ან ამინდის ვექტორი, რომელიც ახლახან მივედი Gismeteo-ზე: ტემპერატურა და ატმოსფერული წნევა, შესაბამისად. მაგალითი, რა თქმა უნდა, არასწორია ვექტორული სივრცის თვისებების თვალსაზრისით, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, არავინ კრძალავს ამ პარამეტრების ვექტორად ფორმალიზებას. შემოდგომის სუნთქვა...

არა, არ ვაპირებ მოგწყინოთ თეორიით, წრფივი ვექტორული სივრცეებით, ამოცანაა გაგებაგანმარტებები და თეორემები. ახალი ტერმინები (წრფივი დამოკიდებულება, დამოუკიდებლობა, წრფივი კომბინაცია, საფუძველი და ა.შ.) ვრცელდება ყველა ვექტორზე ალგებრული თვალსაზრისით, მაგრამ მოყვანილი იქნება გეომეტრიული მაგალითები. ამრიგად, ყველაფერი მარტივი, ხელმისაწვდომი და გასაგებია. გარდა ანალიტიკური გეომეტრიის ამოცანებისა, განვიხილავთ ზოგიერთს ტიპიური ამოცანებიალგებრა მასალის ათვისებისთვის სასურველია გაეცნოთ გაკვეთილებს ვექტორები დუიმებისთვისდა როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

სიბრტყის ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა.
სიბრტყის საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

განიხილეთ თქვენი თვითმფრინავი კომპიუტერის მაგიდა(მხოლოდ მაგიდა, საწოლის მაგიდა, იატაკი, ჭერი, რაც მოგწონთ). დავალება შედგება შემდეგი მოქმედებებისგან:

1) აირჩიეთ თვითმფრინავის საფუძველი. უხეშად რომ ვთქვათ, მაგიდას აქვს სიგრძე და სიგანე, ამიტომ ინტუიციურია, რომ ორი ვექტორი იქნება საჭირო საფუძვლის ასაგებად. ერთი ვექტორი აშკარად არ არის საკმარისი, სამი ვექტორი ძალიან ბევრია.

2) შერჩეული საფუძველზე დააყენეთ კოორდინატთა სისტემა(კოორდინატთა ბადე) მაგიდაზე ყველა ობიექტს კოორდინატების მინიჭება.

არ გაგიკვირდეთ, თავიდან ახსნა-განმარტებები თითებზე იქნება. უფრო მეტიც, შენზე. გთხოვთ განათავსოთ მარცხენა საჩვენებელი თითიმაგიდის კიდეზე ისე, რომ მონიტორს უყურებს. ეს იქნება ვექტორი. ახლა მოათავსეთ პატარა თითი მარჯვენა ხელი მაგიდის კიდეზე იგივენაირად - ისე რომ მონიტორის ეკრანზე იყოს მიმართული. ეს იქნება ვექტორი. გაიღიმე, მშვენივრად გამოიყურები! რა შეგვიძლია ვთქვათ ვექტორებზე? მონაცემთა ვექტორები კოლინარული, რაც ნიშნავს ხაზოვანიგამოხატულია ერთმანეთის მეშვეობით:
, კარგად, ან პირიქით: , სად არის რაიმე რიცხვი ნულისაგან განსხვავებული.

ამ მოქმედების სურათი შეგიძლიათ ნახოთ კლასში. ვექტორები დუიმებისთვის, სადაც ავხსენი ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესი.

თქვენი თითები საფუძველს დააყენებს კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყეს? აშკარად არა. კოლინარული ვექტორები მოძრაობენ წინ და უკან გასწვრივ მარტომიმართულება და თვითმფრინავს აქვს სიგრძე და სიგანე.

ასეთ ვექტორებს ე.წ წრფივად დამოკიდებული.

მითითება: სიტყვები „წრფივი“, „წრფივი“ აღნიშნავს იმ ფაქტს, რომ მათემატიკურ განტოლებებსა და გამონათქვამებში არ არის კვადრატები, კუბურები, სხვა ძალა, ლოგარითმები, სინუსები და ა.შ. არსებობს მხოლოდ წრფივი (1-ლი ხარისხის) გამონათქვამები და დამოკიდებულებები.

ორი სიბრტყის ვექტორი წრფივად დამოკიდებულითუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი კოლინარულია.

გადააჯვარედინეთ თითები მაგიდაზე ისე, რომ მათ შორის იყოს 0 ან 180 გრადუსის გარდა სხვა კუთხე. ორი სიბრტყის ვექტორიხაზოვანი არადამოკიდებული თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი არ არიან კოლინარული. ასე რომ, საფუძველი მიიღება. არ არის საჭირო უხერხულობა, რომ საფუძველი აღმოჩნდა "დახრილი" სხვადასხვა სიგრძის არაპერპენდიკულარული ვექტორებით. ძალიან მალე დავინახავთ, რომ არა მხოლოდ 90 გრადუსიანი კუთხეა შესაფერისი მისი ასაგებად და არა მხოლოდ თანაბარი სიგრძის ერთეული ვექტორები.

ნებისმიერითვითმფრინავის ვექტორი ერთადერთი გზაგაფართოებულია საფუძვლის მიხედვით:
, სადაც არის რეალური რიცხვები. ნომრებს ეძახიან ვექტორული კოორდინატებიამ საფუძველზე.

იმასაც ამბობენ ვექტორიწარმოდგენილი როგორც ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები. ანუ გამოთქმა ე.წ ვექტორის დაშლასაფუძველზეან ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები.

მაგალითად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორი იშლება სიბრტყის ორთონორმალური საფუძვლის გასწვრივ, ან შეგვიძლია ვთქვათ, რომ იგი წარმოდგენილია ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

ჩამოვაყალიბოთ საფუძვლის განსაზღვრაფორმალურად: თვითმფრინავის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელი (არასწორხაზოვანი) ვექტორების წყვილი, , ხოლო ნებისმიერისიბრტყის ვექტორი არის საბაზისო ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

განმარტების არსებითი პუნქტია ვექტორების აღების ფაქტი ვ გარკვეული თანმიმდევრობით . ბაზები - ეს ორი სრულიად განსხვავებული საფუძველია! როგორც ამბობენ, მარცხენა ხელის პატარა თითს მარჯვენა ხელის პატარა თითის ნაცვლად ვერ ჩაანაცვლებ.

ჩვენ გავარკვიეთ საფუძველი, მაგრამ საკმარისი არ არის კოორდინატთა ბადის დაყენება და კოორდინატების მინიჭება კომპიუტერის მაგიდის თითოეულ ელემენტზე. რატომ არ არის საკმარისი? ვექტორები თავისუფალია და ტრიალებს მთელ სიბრტყეში. მაშ, როგორ მიანიჭოთ კოორდინატები მაგიდაზე იმ პატარა ბინძურ ლაქებს, რომლებიც შემორჩა ველური შაბათ-კვირას? საჭიროა ამოსავალი წერტილი. და ასეთი ღირსშესანიშნაობა ყველასთვის ნაცნობი წერტილია - კოორდინატების წარმოშობა. მოდით გავიგოთ კოორდინატთა სისტემა:

დავიწყებ "სკოლის" სისტემით. უკვე შესავალ გაკვეთილზე ვექტორები დუიმებისთვისმე ხაზგასმით აღვნიშნე რამდენიმე განსხვავება მართკუთხა კოორდინატთა სისტემასა და ორთონორმალურ საფუძველს შორის. აი სტანდარტული სურათი:

როცა საუბრობენ იმაზე მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, მაშინ ყველაზე ხშირად ისინი გულისხმობენ კოორდინატების წარმოშობას, კოორდინატთა ღერძებიდა მასშტაბი ღერძების გასწვრივ. სცადეთ საძიებო სისტემაში აკრიფოთ „მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა“ და ნახავთ, რომ მრავალი წყარო გეტყვით მე-5-6 კლასიდან ნაცნობი კოორდინატთა ღერძებისა და სიბრტყეზე წერტილების გამოსახატავად.

მეორე მხრივ, როგორც ჩანს მართკუთხა სისტემაკოორდინატები შეიძლება მთლიანად განისაზღვროს ორთონორმალური საფუძველზე. და ეს თითქმის მართალია. ფორმულირება ასეთია:

წარმოშობა, და ორთონორმალურისაფუძველი დგინდება დეკარტის მართკუთხა სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა . ანუ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა აუცილებლადგანისაზღვრება ერთი წერტილით და ორი ერთეული ორთოგონალური ვექტორებით. სწორედ ამიტომ ხედავთ ნახატს, რომელიც ზემოთ დავწერე - ში გეომეტრიული პრობლემებიხშირად (მაგრამ არა ყოველთვის) ვექტორები და კოორდინატთა ღერძები შედგენილია.

ვფიქრობ, ყველას ესმის, რომ წერტილის (წარმოშობის) და ორთონორმალური საფუძვლის გამოყენება ნებისმიერი წერტილი თვითმფრინავზე და ნებისმიერი ვექტორი თვითმფრინავშიკოორდინატები შეიძლება დაინიშნოს. ფიგურალურად რომ ვთქვათ, „თვითმფრინავზე ყველაფერი შეიძლება დაინომროს“.

ვალდებულები არიან კოორდინატთა ვექტორებიიზოლირებული იყოს? არა, მათ შეიძლება ჰქონდეთ თვითნებური არანულოვანი სიგრძე. განვიხილოთ თვითნებური არანულოვანი სიგრძის წერტილი და ორი ორთოგონალური ვექტორი:

ასეთ საფუძველს ე.წ ორთოგონალური. ვექტორებთან კოორდინატების წარმოშობა განისაზღვრება კოორდინატთა ბადით და სიბრტყის ნებისმიერ წერტილს, ნებისმიერ ვექტორს აქვს თავისი კოორდინატები მოცემულ საფუძველზე. მაგალითად, ან. აშკარა უხერხულობა ის არის, რომ კოორდინატის ვექტორები ზოგადად შემთხვევაშიაქვთ განსხვავებული სიგრძე, გარდა ერთიანობისა. თუ სიგრძეები ერთის ტოლია, მაშინ მიიღება ჩვეულებრივი ორთონორმალური საფუძველი.

! შენიშვნა : ორთოგონალურ საფუძველზე და ასევე ქვემოთ შიგნით აფინური ბაზებიგანიხილება სიბრტყე და კოსმოსური ერთეულები ღერძების გასწვრივ პირობითი. მაგალითად, ერთი ერთეული x-ღერძის გასწვრივ შეიცავს 4 სმ-ს, ერთი ერთეული ორდინატთა ღერძის გასწვრივ შეიცავს 2 სმ-ს.

და მეორე კითხვა, რომელზეც რეალურად უკვე გაცემულია პასუხი, არის თუ არა კუთხე ფუძე ვექტორებს შორის 90 გრადუსის ტოლი? არა! როგორც განმარტება ამბობს, საბაზისო ვექტორები უნდა იყოს მხოლოდ არაკოლინარული. შესაბამისად, კუთხე შეიძლება იყოს ნებისმიერი, გარდა 0 და 180 გრადუსისა.

თვითმფრინავის წერტილი ე.წ წარმოშობა, და არაკოლინარულივექტორები, , კომპლექტი აფინური სიბრტყის კოორდინატთა სისტემა :

ზოგჯერ ასეთ კოორდინატულ სისტემას უწოდებენ ირიბისისტემა. როგორც მაგალითები, ნახაზი აჩვენებს წერტილებს და ვექტორებს:

როგორც გესმით, აფინური კოორდინატთა სისტემა კიდევ უფრო ნაკლებად მოსახერხებელია ვექტორებისა და სეგმენტების სიგრძის ფორმულები, რომლებიც გაკვეთილის მეორე ნაწილში განვიხილეთ, მასში არ მუშაობს; ვექტორები დუიმებისთვის, ბევრი გემრიელი ფორმულა დაკავშირებული ვექტორების სკალარული პროდუქტი. მაგრამ ძალაშია ვექტორების დამატებისა და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების წესები, ამ მიმართებაში სეგმენტის გაყოფის ფორმულები, ისევე როგორც სხვა სახის პრობლემები, რომლებსაც მალე განვიხილავთ.

და დასკვნა არის ის, რომ აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე მოსახერხებელი სპეციალური შემთხვევაა დეკარტის მართკუთხა სისტემა. ამიტომ ყველაზე ხშირად გიწევს მისი ნახვა, ჩემო ძვირფასო. ...თუმცა, ამ ცხოვრებაში ყველაფერი ფარდობითია - არის ბევრი სიტუაცია, როდესაც ირიბი კუთხე (ან სხვა, მაგალითად, პოლარული) კოორდინატთა სისტემა. და ჰუმანოიდებს შეიძლება მოსწონდეთ ასეთი სისტემები =)

მოდით გადავიდეთ პრაქტიკულ ნაწილზე. ყველა დავალება ეს გაკვეთილიმოქმედებს როგორც მართკუთხა კოორდინატთა სისტემისთვის, ასევე ზოგადი აფინური შემთხვევისთვის. აქ არაფერია რთული;

როგორ განვსაზღვროთ სიბრტყის ვექტორების კოლინარულობა?

ტიპიური რამ. იმისათვის, რომ ორი სიბრტყე ვექტორი იყო კოლინარული, აუცილებელია და საკმარისია მათი შესაბამისი კოორდინატები იყოს პროპორციულიარსებითად, ეს არის აშკარა ურთიერთობის კოორდინატი კოორდინატის დეტალები.

მაგალითი 1

ა) შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორები კოლინარული .
ბ) ვექტორები ქმნიან საფუძველს? ?

გამოსავალი:
ა) გავარკვიოთ არის თუ არა ვექტორებისთვის პროპორციულობის კოეფიციენტი, ისეთი, რომ ტოლობები დაკმაყოფილდეს:

მე აუცილებლად გეტყვით ამ წესის გამოყენების "ფოპიშ" ვერსიაზე, რომელიც საკმაოდ კარგად მუშაობს პრაქტიკაში. იდეა არის დაუყოვნებლივ შეადგინოთ პროპორცია და ნახოთ სწორია თუ არა:

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია ვექტორების შესაბამისი კოორდინატების შეფარდებით:

შევამოკლოთ:
შესაბამისად, შესაბამისი კოორდინატები პროპორციულია, შესაბამისად,

ურთიერთობა შეიძლება საპირისპირო იყოს, ეს არის ექვივალენტური ვარიანტი:

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის ფაქტი, რომ კოლინარული ვექტორებიწრფივად გამოხატული ერთმანეთის მეშვეობით. ამ შემთხვევაში თანასწორობა ხდება . მათი ვალიდობა მარტივად შეიძლება შემოწმდეს ვექტორებით ელემენტარული ოპერაციებით:

ბ) ორი სიბრტყის ვექტორი ქმნის საფუძველს, თუ ისინი არ არიან ხაზოვანი (წრფივად დამოუკიდებელი). ჩვენ განვიხილავთ ვექტორებს კოლინარობისთვის . მოდით შევქმნათ სისტემა:

პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ , მეორე განტოლებიდან გამომდინარეობს რომ , რაც ნიშნავს სისტემა არათანმიმდევრულია(არ არის გადაწყვეტილებები). ამრიგად, ვექტორების შესაბამისი კოორდინატები არ არის პროპორციული.

დასკვნა: ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

გადაწყვეტის გამარტივებული ვერსია ასე გამოიყურება:

ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებიდან შევადგინოთ პროპორცია :
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

როგორც წესი, ეს ვარიანტი არ არის უარყოფილი რეცენზენტების მიერ, მაგრამ პრობლემა ჩნდება იმ შემთხვევებში, როდესაც ზოგიერთი კოორდინატი ნულის ტოლია. მოსწონს ეს: . ან ასე: . ან ასე: . როგორ ვიმუშაოთ აქ პროპორციით? (ნამდვილად, ნულზე ვერ გაყოფთ). სწორედ ამ მიზეზით მე ვუწოდე გამარტივებულ გადაწყვეტას "ფოპიშ".

პასუხი:ა) , ბ) ფორმა.

პატარა შემოქმედებითი მაგალითიამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

მაგალითი 2

პარამეტრის რა მნიშვნელობაზეა ვექტორები იქნება ისინი კოლინარული?

ნიმუშის ხსნარში პარამეტრი ნაპოვნია პროპორციით.

არსებობს ელეგანტური ალგებრული გზა, რათა შევამოწმოთ ვექტორები კოლინარობისთვის, მოდით, სისტემატიზაცია მოვახდინოთ და დავამატოთ იგი მეხუთე პუნქტად.

ორი სიბრტყე ვექტორისთვის შემდეგი დებულებები ექვივალენტურია:

2) ვექტორები ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის კოლინარული;

+ 5) ამ ვექტორების კოორდინატებისაგან შემდგარი განმსაზღვრელი არის ნულოვანი.

შესაბამისად, შემდეგი საპირისპირო განცხადებები ექვივალენტურია:
1) ვექტორები წრფივია დამოკიდებული;
2) ვექტორები არ ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არის კოლინარული;
4) ვექტორები შეიძლება წრფივად გამოისახოს ერთმანეთის მეშვეობით;
+ 5) განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება ამ ვექტორების კოორდინატებისგან, ნულის ტოლი .

ამის იმედი ნამდვილად მაქვს მომენტშითქვენ უკვე გესმით ყველა ტერმინი და განცხადება, რომელსაც წააწყდებით.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ახალ, მეხუთე პუნქტს: ორი სიბრტყის ვექტორი კოლინარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მოცემული ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია:. ამ ფუნქციის გამოსაყენებლად, რა თქმა უნდა, თქვენ უნდა შეძლოთ იპოვნეთ განმსაზღვრელი.

გადავწყვიტოთმაგალითი 1 მეორე გზით:

ა) გამოვთვალოთ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი დეტერმინანტი :
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები კოლინარულია.

ბ) ორი სიბრტყის ვექტორი ქმნის საფუძველს, თუ ისინი არ არიან ხაზოვანი (წრფივად დამოუკიდებელი). გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი :
, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და ქმნიან საფუძველს.

პასუხი:ა) , ბ) ფორმა.

ეს გამოიყურება ბევრად უფრო კომპაქტური და ლამაზი, ვიდრე პროპორციების მქონე ხსნარი.

განხილული მასალის დახმარებით შესაძლებელია ვექტორების არა მხოლოდ კოლინარობის დადგენა, არამედ სეგმენტების და სწორი ხაზების პარალელურობის დამტკიცება. მოდით განვიხილოთ რამდენიმე პრობლემა კონკრეტული გეომეტრიული ფორმების შესახებ.

მაგალითი 3

მოცემულია ოთხკუთხედის წვეროები. დაამტკიცეთ, რომ ოთხკუთხედი პარალელოგრამია.

მტკიცებულება: არ არის საჭირო პრობლემაში ნახატის აგება, რადგან გამოსავალი იქნება წმინდა ანალიტიკური. გავიხსენოთ პარალელოგრამის განმარტება:
პარალელოგრამი ოთხკუთხედს, რომლის მოპირდაპირე გვერდები წყვილებში პარალელურია, ეწოდება.

ამრიგად, აუცილებელია დაამტკიცოს:
1) მოპირდაპირე მხარეების პარალელიზმი და;
2) მოპირდაპირე მხარეთა პარალელიზმი და.

ჩვენ ვამტკიცებთ:

1) იპოვნეთ ვექტორები:

2) იპოვნეთ ვექტორები:

შედეგი არის იგივე ვექტორი ("სასკოლო სტილი" - თანაბარი ვექტორები). კოლინარულობა საკმაოდ აშკარაა, მაგრამ უმჯობესია გადაწყვეტილების ფორმალიზება მკაფიოდ, შეთანხმებით. გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ვექტორები არის კოლინარული და .

დასკვნა: მოპირდაპირე მხარეებიოთხკუთხედები პარალელურია წყვილებში, რაც ნიშნავს, რომ ის პარალელოგრამია. ქ.ე.დ.

მეტი კარგი და განსხვავებული ფიგურები:

მაგალითი 4

მოცემულია ოთხკუთხედის წვეროები. დაამტკიცეთ, რომ ოთხკუთხედი ტრაპეციაა.

მტკიცებულების უფრო მკაცრი ფორმულირებისთვის, რა თქმა უნდა, უკეთესია, მივიღოთ ტრაპეციის განმარტება, მაგრამ საკმარისია უბრალოდ გავიხსენოთ, როგორ გამოიყურება იგი.

ეს არის ამოცანა, რომელიც თქვენ უნდა გადაჭრათ დამოუკიდებლად. სრული გადაწყვეტაგაკვეთილის ბოლოს.

ახლა კი დროა ნელა გადავიდეთ თვითმფრინავიდან კოსმოსში:

როგორ განვსაზღვროთ სივრცის ვექტორების კოლინარულობა?

წესი ძალიან ჰგავს. იმისთვის, რომ ორი სივრცის ვექტორი თანასწორხაზოვანი იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მათი შესაბამისი კოორდინატები იყოს პროპორციული..

მაგალითი 5

გაარკვიეთ, არის თუ არა შემდეგი სივრცის ვექტორები კოლინარული:

ა) ;
ბ)
V)

გამოსავალი:
ა) შევამოწმოთ არის თუ არა პროპორციულობის კოეფიციენტი ვექტორების შესაბამისი კოორდინატებისთვის:

სისტემას არ აქვს ამონახსნი, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები არ არის კოლინარული.

"გამარტივებული" ფორმალიზდება პროპორციის შემოწმებით. ამ შემთხვევაში:
- შესაბამისი კოორდინატები არ არის პროპორციული, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები არ არის კოლინარული.

პასუხი:ვექტორები არ არის კოლინარული.

ბ-გ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტები. სცადეთ ეს ორი გზით.

არსებობს მესამე რიგის განმსაზღვრელი სივრცითი ვექტორების შემოწმების მეთოდი ვექტორების ვექტორული ნამრავლი.

სიბრტყის შემთხვევის მსგავსად, განხილული ხელსაწყოები შეიძლება გამოყენებულ იქნას სივრცითი სეგმენტების და სწორი ხაზების პარალელურობის შესასწავლად.

მოგესალმებით მეორე განყოფილებაში:

ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება და დამოუკიდებლობა სამგანზომილებიან სივრცეში.
სივრცითი საფუძველი და აფინური კოორდინატთა სისტემა

ბევრი ნიმუში, რომელიც ჩვენ განვიხილეთ თვითმფრინავში, მოქმედი იქნება კოსმოსისთვის. შევეცადე თეორიული შენიშვნები მინიმუმამდე დამეყვანა, რადგან ინფორმაციის ლომის წილი უკვე დაღეჭილია. თუმცა, გირჩევთ ყურადღებით წაიკითხოთ შესავალი ნაწილი, როგორც ახალი ტერმინები და ცნებები გამოჩნდება.

ახლა, კომპიუტერის მაგიდის სიბრტყის ნაცვლად, ჩვენ ვიკვლევთ სამგანზომილებიან სივრცეს. პირველი, მოდით შევქმნათ მისი საფუძველი. ვიღაც ახლა სახლშია, ვიღაც გარეთ, მაგრამ ნებისმიერ შემთხვევაში, ჩვენ ვერ გავექცევით სამ განზომილებას: სიგანეს, სიგრძეს და სიმაღლეს. ამიტომ, საფუძვლის ასაგებად, საჭიროა სამი სივრცითი ვექტორი. ერთი-ორი ვექტორი საკმარისი არ არის, მეოთხე ზედმეტია.

და ისევ თითებზე ვთბებით. გთხოვთ ასწიეთ ხელი მაღლა და გაშალეთ სხვადასხვა მხარეები ცერა თითი, ინდექსი და შუა თითი . ეს იქნება ვექტორები, ისინი იყურებიან სხვადასხვა მიმართულებით, აქვთ სხვადასხვა სიგრძე და აქვთ სხვადასხვა კუთხეები ერთმანეთთან. გილოცავთ, სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი მზად არის! სხვათა შორის, არ არის საჭირო ამის დემონსტრირება მასწავლებლებისთვის, რაც არ უნდა ძნელად ატრიალოთ თითები, მაგრამ არ არის გაქცევა განმარტებებისგან =)

შემდეგი, მოდით ვიკითხოთ მნიშვნელოვანი საკითხი, ნებისმიერი სამი ვექტორი ქმნის საფუძველს სამგანზომილებიანი სივრცე ? გთხოვთ, მტკიცედ დააჭიროთ სამი თითი კომპიუტერის მაგიდის ზედა ნაწილზე. რა მოხდა? სამი ვექტორი განლაგებულია ერთ სიბრტყეში და, უხეშად რომ ვთქვათ, დავკარგეთ ერთ-ერთი განზომილება - სიმაღლე. ასეთი ვექტორებია თანაპლენარულიდა, სრულიად აშკარაა, რომ სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი არ არის შექმნილი.

უნდა აღინიშნოს, რომ თანაპლენარული ვექტორები არ უნდა იყვნენ იმავე სიბრტყეში პარალელური სიბრტყეები(უბრალოდ არ გააკეთოთ ეს თქვენი თითებით, მხოლოდ სალვადორ დალიმ გაიყვანა ამ გზით =)).

განმარტება: ვექტორებს უწოდებენ თანაპლენარული, თუ არის სიბრტყე, რომლის პარალელურია. ლოგიკურია აქ დავამატოთ, რომ თუ ასეთი სიბრტყე არ არსებობს, მაშინ ვექტორები არ იქნება თანაპლენარული.

სამი თანაპლენარული ვექტორი ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული, ანუ წრფივად გამოხატულია ერთმანეთის მეშვეობით. სიმარტივისთვის, კიდევ ერთხელ წარმოვიდგინოთ, რომ ისინი ერთ სიბრტყეში არიან. ჯერ ერთი, ვექტორები არ არის მხოლოდ თანაპლენარული, ისინი ასევე შეიძლება იყოს კოლინარული, შემდეგ ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება იყოს გამოხატული ნებისმიერი ვექტორის საშუალებით. მეორე შემთხვევაში, თუ, მაგალითად, ვექტორები არ არის კოლინარული, მაშინ მესამე ვექტორი გამოიხატება მათ მეშვეობით უნიკალური გზით: (და რატომ არის ადვილი მისახვედრი წინა ნაწილის მასალებიდან).

პირიქითაც მართალია: სამი არათანაბარი ვექტორი ყოველთვის წრფივად დამოუკიდებელია, ანუ ისინი არანაირად არ არიან გამოხატული ერთმანეთის მეშვეობით. და, ცხადია, მხოლოდ ასეთ ვექტორებს შეუძლიათ შექმნან სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი.

განმარტება: სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველიეწოდება წრფივად დამოუკიდებელ (არათანაბლაარულ) ვექტორთა სამმაგი, მიღებული გარკვეული თანმიმდევრობითდა სივრცის ნებისმიერი ვექტორი ერთადერთი გზაიშლება მოცემულ საფუძველზე, სადაც არის ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში

შეგახსენებთ, რომ ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვექტორი წარმოდგენილია სახით ხაზოვანი კომბინაციასაბაზისო ვექტორები.

კოორდინატთა სისტემის კონცეფცია შემოტანილია ზუსტად ისე, როგორც სიბრტყის შემთხვევაში და ნებისმიერი სამი წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორები:

წარმოშობა, და არათანაბარივექტორები, მიღებული გარკვეული თანმიმდევრობით, კომპლექტი სამგანზომილებიანი სივრცის აფინური კოორდინატთა სისტემა :

რა თქმა უნდა, კოორდინატთა ბადე არის „ირიბი“ და მოუხერხებელი, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, აგებული კოორდინატთა სისტემა საშუალებას გვაძლევს აუცილებლადგანსაზღვრეთ ნებისმიერი ვექტორის კოორდინატები და სივრცის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები. თვითმფრინავის მსგავსად, ზოგიერთი ფორმულა, რომელიც უკვე აღვნიშნე, არ იმუშავებს სივრცის აფინურ კოორდინატულ სისტემაში.

აფინური კოორდინატთა სისტემის ყველაზე ნაცნობი და მოსახერხებელი სპეციალური შემთხვევა, როგორც ყველა მიხვდება, არის მართკუთხა სივრცის კოორდინატთა სისტემა:

წერტილი სივრცეში ე.წ წარმოშობა, და ორთონორმალურისაფუძველი დგინდება კარტეზიული მართკუთხა სივრცის კოორდინატთა სისტემა . ნაცნობი სურათი:

სანამ პრაქტიკულ ამოცანებზე გადავიდოდეთ, კვლავ მოვახდინოთ ინფორმაციის სისტემატიზაცია:

ამისთვის სამი ვექტორისივრცეში შემდეგი განცხადებები ექვივალენტურია:
1) ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია;
2) ვექტორები ქმნიან საფუძველს;
3) ვექტორები არ არის თანაპლენარული;
4) ვექტორები არ შეიძლება წრფივად გამოხატული იყოს ერთმანეთის მეშვეობით;
5) განმსაზღვრელი, რომელიც შედგება ამ ვექტორების კოორდინატებისგან, განსხვავდება ნულისაგან.

ვფიქრობ, საპირისპირო განცხადებები გასაგებია.

სივრცის ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება/დამოუკიდებლობა ტრადიციულად მოწმდება დეტერმინანტის გამოყენებით (პუნქტი 5). დარჩენილი პრაქტიკული ამოცანებიექნება გამოხატული ალგებრული ხასიათი. დროა ჩამოკიდოთ გეომეტრიის ჯოხი და ატაროთ ხაზოვანი ალგებრის ბეისბოლის ჯოხი:

სივრცის სამი ვექტორითანაპლენარულია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მოცემული ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი ნულის ტოლია: .

თქვენი ყურადღება მინდა გავამახვილო მცირე ტექნიკურ ნიუანსზე: ვექტორების კოორდინატები შეიძლება ჩაიწეროს არა მხოლოდ სვეტებში, არამედ რიგებშიც (განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება აქედან - იხილეთ განმსაზღვრელთა თვისებები). მაგრამ ეს ბევრად უკეთესია სვეტებში, რადგან უფრო მომგებიანია ზოგიერთი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად.

იმ მკითხველს, ვისაც ცოტათი დაავიწყდა დეტერმინანტების გამოთვლის მეთოდები, ან, შესაძლოა, საერთოდ არ ესმით მათ, ვურჩევ ჩემს ერთ-ერთ უძველეს გაკვეთილს: როგორ გამოვთვალოთ დეტერმინანტი?

მაგალითი 6

შეამოწმეთ არის თუ არა შემდეგი ვექტორები სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს:

გამოსავალი: ფაქტობრივად, მთელი ამონახსნი დგება დეტერმინანტის გამოთვლაზე.

ა) გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი (განმსაზღვრელი ვლინდება პირველ სტრიქონში):

, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია (არა თანაპლენარული) და ქმნიან სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს.

უპასუხე: ეს ვექტორები ქმნიან საფუძველს

ბ) ეს არის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილების პუნქტი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ასევე არსებობს შემოქმედებითი დავალებები:

მაგალითი 7

პარამეტრის რა მნიშვნელობისას იქნება ვექტორები თანაპლენარული?

გამოსავალი: ვექტორები თანაპლენარულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი დეტერმინანტი ნულის ტოლია:

არსებითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება დეტერმინანტით. ჩვენ ნულებივით ვეშვებით ჟერბოებზე - უმჯობესია განმსაზღვრელი გავხსნათ მეორე ხაზში და დაუყოვნებლივ მოვიშოროთ მინუსები:

ჩვენ ვახორციელებთ შემდგომ გამარტივებებს და ვამცირებთ მატერიას უმარტივეს წრფივ განტოლებამდე:

უპასუხე: ზე

ამის შემოწმება ადვილია, თქვენ უნდა შეცვალოთ მიღებული მნიშვნელობა თავდაპირველ განმსაზღვრელში და დარწმუნდეთ, რომ , ისევ გახსნა.

დასასრულს, მოდით შევხედოთ კიდევ ერთს ტიპიური დავალება, რომელიც უფრო ალგებრული ხასიათისაა და ტრადიციულად შედის წრფივი ალგებრის კურსში. ეს იმდენად გავრცელებულია, რომ იმსახურებს საკუთარ თემას:

დაამტკიცეთ, რომ 3 ვექტორი ქმნის სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს
და იპოვეთ მე-4 ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველზე

მაგალითი 8

მოცემულია ვექტორები. აჩვენეთ, რომ ვექტორები ქმნიან საფუძველს სამგანზომილებიან სივრცეში და იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები ამ საფუძველში.

გამოსავალი: ჯერ მოდი, მდგომარეობას გავუმკლავდეთ. პირობით, მოცემულია ოთხი ვექტორი და, როგორც ხედავთ, მათ უკვე აქვთ კოორდინატები გარკვეულ საფუძველზე. რა არის ეს საფუძველი, ჩვენთვის არ არის საინტერესო. და საინტერესოა შემდეგი: სამ ვექტორს შეუძლია შექმნას ახალი საფუძველი. და პირველი ეტაპი მთლიანად ემთხვევა მე-6 მაგალითის ამოხსნას, აუცილებელია შეამოწმოთ არის თუ არა ვექტორები ჭეშმარიტად დამოუკიდებელი:

გამოვთვალოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი განმსაზღვრელი:

, რაც ნიშნავს, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველს წარმოადგენს.

! მნიშვნელოვანი : ვექტორული კოორდინატები აუცილებლადჩაწერეთ სვეტებადგანმსაზღვრელი, არა სიმებიანი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, იქნება დაბნეულობა შემდგომი გადაწყვეტის ალგორითმში.

ვექტორულ გამოთვლებში და მის აპლიკაციებში დიდი ღირებულებააქვს დაშლის ამოცანა, რომელიც შედგება მოცემული ვექტორის სახით რამდენიმე ვექტორის ჯამის სახით, რომელსაც ეწოდება მოცემულის კომპონენტები.

ვექტორი. ეს პრობლემა, რომელსაც ზოგადად აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, სრულად განსაზღვრული ხდება, თუ დავაზუსტებთ კომპონენტის ვექტორების ზოგიერთ ელემენტს.

2. დაშლის მაგალითები.

განვიხილოთ დაშლის რამდენიმე ძალიან გავრცელებული შემთხვევა.

1. მოცემული c ვექტორის დაშლა ორ კომპონენტ ვექტორად, რომელთაგან ერთი, მაგალითად a, მოცემულია სიდიდისა და მიმართულებით.

პრობლემა ორ ვექტორს შორის განსხვავების დადგენაში მოდის. მართლაც, თუ ვექტორები არის c ვექტორის კომპონენტები, მაშინ ტოლობა უნდა დაკმაყოფილდეს

აქედან განისაზღვრება მეორე კომპონენტის ვექტორი

2. დაშალეთ მოცემული c ვექტორი ორ კომპონენტად, რომელთაგან ერთი უნდა იყოს მოცემული თვითმფრინავიხოლო მეორე უნდა იყოს მოცემულ სწორ ხაზზე a.

შემადგენელი ვექტორების დასადგენად ვექტორს ვ გადავაადგილებთ ისე, რომ მისი დასაწყისი ემთხვევა მოცემული სწორი ხაზის სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილს (O წერტილი - იხ. სურ. 18). ვექტორის ბოლოდან (C წერტილი) ვხაზავთ სწორ ხაზს

გადაკვეთა სიბრტყესთან (B არის გადაკვეთის წერტილი), შემდეგ კი C წერტილიდან ვხატავთ სწორ ხაზს პარალელურად

ვექტორები და იქნება სასურველი, ანუ ბუნებრივია, მითითებული გაფართოება შესაძლებელია, თუ სწორი ხაზი a და სიბრტყე პარალელურად არ არის.

3. მოცემულია სამი თანაპლენარული ვექტორი a, b და c, და ვექტორები არ არის წრფივი. საჭიროა ვექტორის c ვექტორებად დაშლა

მოვიყვანოთ სამივე მოცემული ვექტორი ერთ წერტილში O. შემდეგ მათი თანაპლელარობის გამო ისინი განლაგდებიან ერთ სიბრტყეში. ჩართულია მოცემული ვექტორიდიაგონალზე როგორ ავაშენებთ პარალელოგრამს, რომლის გვერდები ვექტორების მოქმედების ხაზების პარალელურია (სურ. 19). ეს კონსტრუქცია ყოველთვის შესაძლებელია (თუ ვექტორები არ არის კოლინარული) და უნიკალური. მდებარეობა ნახ. 19 ცხადია, რომ

სივრცის საფუძველიისინი უწოდებენ ვექტორთა ისეთ სისტემას, რომელშიც ყველა სხვა ვექტორი სივრცეში შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც საფუძველში შემავალი ვექტორების წრფივი კომბინაცია.
პრაქტიკაში, ეს ყველაფერი საკმაოდ მარტივად ხორციელდება. საფუძველი, როგორც წესი, მოწმდება სიბრტყეში ან სივრცეში და ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ ვექტორული კოორდინატებისგან შემდგარი მეორე, მესამე რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი. ქვემოთ მოცემულია სქემატურად დაწერილი პირობები, რომლებშიც ვექტორები ქმნიან საფუძველს

რომ ბ ვექტორის გაფართოება საბაზისო ვექტორებად
e,e...,e[n] აუცილებელია ვიპოვოთ x, ..., x[n] კოეფიციენტები, რომლებისთვისაც e,e...,e[n] ვექტორების წრფივი კომბინაცია უდრის ვექტორი ბ:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = ბ.
ამისათვის ვექტორული განტოლება უნდა გადაკეთდეს სისტემაში წრფივი განტოლებებიდა იპოვნეთ გადაწყვეტილებები. ამის განხორციელება ასევე საკმაოდ მარტივია.
ნაპოვნი კოეფიციენტები x, ..., x[n] ეწოდება b ვექტორის კოორდინატები საფუძველშიე,ე...,ე[ნ].
მოდით გადავიდეთ პრაქტიკული მხარეთემები.

ვექტორის დაშლა საბაზისო ვექტორებად

დავალება 1. შეამოწმეთ a1, a2 ვექტორები ქმნიან თუ არა საფუძველს სიბრტყეზე

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
ამოხსნა: ვექტორების კოორდინატებიდან ვადგენთ განმსაზღვრელს და ვიანგარიშებთ

განმსაზღვრელი არ არის ნული, აქედან გამომდინარე ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია, რაც იმას ნიშნავს, რომ ისინი ქმნიან საფუძველს.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
ამოხსნა: ვიანგარიშებთ ვექტორებისგან შემდგარ დეტერმინანტს

განმსაზღვრელი უდრის 13-ს (არ არის ნულის ტოლი) - აქედან გამომდინარეობს, რომ a1, a2 ვექტორები არის საფუძველი სიბრტყეზე.

---=================---

განვიხილოთ ტიპიური მაგალითები MAUP პროგრამიდან დისციპლინაში „უმაღლესი მათემატიკა“.

დავალება 2. აჩვენეთ, რომ a1, a2, a3 ვექტორები ქმნიან სამგანზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველს და გააფართოვეთ b ვექტორი ამ საფუძვლის მიხედვით (წრფივი სისტემის ამოხსნისას ალგებრული განტოლებებიგამოიყენეთ კრამერის მეთოდი).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
ამოხსნა: ჯერ განვიხილოთ a1, a2, a3 ვექტორების სისტემა და შეამოწმეთ A მატრიცის განმსაზღვრელი.

აგებულია არანულოვან ვექტორებზე. მატრიცა შეიცავს ერთ ნულ ელემენტს, ამიტომ უფრო მიზანშეწონილია გამოვთვალოთ განმსაზღვრელი, როგორც განრიგი პირველ სვეტში ან მესამე რიგში.

გამოთვლების შედეგად აღმოვაჩინეთ, რომ დეტერმინანტი განსხვავდება ნულისაგან a1, a2, a3 ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია.
განმარტებით, ვექტორები ქმნიან საფუძველს R3-ში. დავწეროთ b ვექტორის განრიგი საფუძველზე

ვექტორები ტოლია, როდესაც მათი შესაბამისი კოორდინატები ტოლია.
ამიტომ ვექტორული განტოლებიდან ვიღებთ წრფივი განტოლებათა სისტემას

მოდით მოვაგვაროთ SLAE კრამერის მეთოდი. ამისათვის ჩვენ ვწერთ განტოლებათა სისტემას ფორმაში

SLAE-ის მთავარი განმსაზღვრელი ყოველთვის ტოლია საბაზისო ვექტორებისგან შემდგარ დეტერმინანტს

ამიტომ პრაქტიკაში ორჯერ არ ითვლება. დამხმარე დეტერმინანტების საპოვნელად, მთავარი განმსაზღვრელი თითოეული სვეტის ნაცვლად ვათავსებთ თავისუფალი ტერმინების სვეტს. დეტერმინანტები გამოითვლება სამკუთხედის წესით



მოდი ჩავანაცვლოთ ნაპოვნი განმსაზღვრელი კრამერის ფორმულაში



ასე რომ, b ვექტორის გაფართოებას საფუძვლის მიხედვით აქვს b=-4a1+3a2-a3 ფორმა. b ვექტორის კოორდინატები a1, a2, a3 საფუძველში იქნება (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
ამოხსნა: ჩვენ ვამოწმებთ ვექტორებს საფუძვლად - ვექტორების კოორდინატებიდან ვადგენთ განმსაზღვრელს და ვიანგარიშებთ მას.

მაშასადამე, დეტერმინანტი ნულის ტოლი არ არის ვექტორები ქმნიან საფუძველს სივრცეში. რჩება ვექტორის b განრიგის პოვნა ამ საფუძვლის მეშვეობით. ამისათვის ჩვენ ვწერთ ვექტორულ განტოლებას

და გარდაიქმნება წრფივი განტოლებათა სისტემად

ჩაწერა მატრიცული განტოლება

შემდეგ, კრამერის ფორმულებისთვის ვპოულობთ დამხმარე განმსაზღვრელ ფაქტორებს



ჩვენ ვიყენებთ კრამერის ფორმულებს



ასე რომ მოცემულ b ვექტორს აქვს განრიგი ორი საბაზისო ვექტორის b=-2a1+5a3 და მისი კოორდინატები საფუძველში უდრის b(-2,0, 5).

L. 2-1 ვექტორული ალგებრის ძირითადი ცნებები. ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებზე.

ვექტორის დაშლა საფუძვლების მიხედვით.

ვექტორული ალგებრის ძირითადი ცნებები

ვექტორი არის ყველა მიმართული სეგმენტის სიმრავლე, რომელსაც აქვს იგივე სიგრძედა მიმართულება
.

თვისებები:

ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებზე

1.

პარალელოგრამის წესი:

თან უმმაორი ვექტორი და ვექტორად წოდებული , მომდინარეობს მათი საერთო წარმოშობიდან და არის ვექტორებზე აგებული პარალელოგრამის დიაგონალი და ორივე მხარეს.

პოლიგონის წესი:

ნებისმიერი რაოდენობის ვექტორების ჯამის ასაგებად მე-2-ის დასაწყისი უნდა მოათავსოთ ვექტორის 1-ლი წევრის ბოლოს, მე-2-ის ბოლოს - მე-3-ის დასაწყისში და ა.შ. ვექტორი, რომელიც ხურავს მიღებულს გატეხილი ხაზი, არის ჯამი. მისი დასაწყისი ემთხვევა 1-ის დასაწყისს, ხოლო დასასრული უკანასკნელის დასასრულს.

თვისებები:

2.

ვექტორის პროდუქტი თითო რიცხვზე , არის ვექტორი, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს:
.

თვისებები:

3.

განსხვავებითვექტორები და ვექტორად წოდებული , ვექტორის ჯამის ტოლია და ვექტორი ვექტორის საპირისპირო , ე.ი.
.

- საპირისპირო ელემენტის კანონი (ვექტორი).

ვექტორის დაშლა საფუძვლად

ვექტორების ჯამი განისაზღვრება უნიკალური გზით
(და მხოლოდ ). საპირისპირო ოპერაცია, ვექტორის დაშლა რამდენიმე კომპონენტად, ორაზროვანია: იმისათვის, რომ ის ცალსახა იყოს, აუცილებელია მიუთითოთ ის მიმართულებები, რომლებზეც იშლება მოცემული ვექტორი, ან, როგორც ამბობენ, აუცილებელია მიუთითოთ საფუძველი.

საფუძვლის დადგენისას არსებითია ვექტორების არათანასწორობისა და არაკოლინარობის მოთხოვნა. ამ მოთხოვნის მნიშვნელობის გასაგებად, აუცილებელია გავითვალისწინოთ ვექტორების წრფივი დამოკიდებულების და ხაზოვანი დამოუკიდებლობის კონცეფცია.

ფორმის თვითნებური გამოხატულება: , ეწოდება ხაზოვანი კომბინაციავექტორები
.

რამდენიმე ვექტორის წრფივი კომბინაცია ეწოდება ტრივიალური, თუ მისი ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

ვექტორები
ეძახიან წრფივად დამოკიდებულითუ არსებობს ამ ვექტორების არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ნულის ტოლი:
(1), გათვალისწინებული
.
თუ თანასწორობა (1) მოქმედებს მხოლოდ ყველასთვის ერთდროულადნულის ტოლი
, შემდეგ არანულოვანი ვექტორები ნება.

წრფივი დამოუკიდებელი ადვილი დასამტკიცებელია:.

ნებისმიერი ორი წრფივი ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული, ხოლო ნებისმიერი ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი წრფივად დამოუკიდებელია

დავიწყოთ მტკიცებულება პირველივე განცხადებით. და მოდით ვექტორები
კოლინარული. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ისინი წრფივია დამოკიდებული. მართლაც, თუ ისინი კოლინარულია, მაშინ ისინი განსხვავდებიან ერთმანეთისგან მხოლოდ რიცხვითი ფაქტორით, ე.ი.
, აქედან გამომდინარე და . ვინაიდან მიღებული წრფივი კომბინაცია აშკარად არატრივიალურია და უდრის "0", მაშინ ვექტორები

წრფივად დამოკიდებული. და ახლა განვიხილოთ ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი

. დავამტკიცოთ, რომ ისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან. მოდით ავაშენოთ მტკიცებულება წინააღმდეგობით.
დავუშვათ, რომ ისინი წრფივად არიან დამოკიდებულნი. მაშინ უნდა იყოს არატრივიალური ხაზოვანი კომბინაცია
. დავუშვათ, რომ
, მაშინ და . შედეგად მიღებული ტოლობა ნიშნავს, რომ ვექტორები

არის კოლინარული, ჩვენი საწყისი ვარაუდის საწინააღმდეგოდ. ანალოგიურად შეგვიძლია დავამტკიცოთ:.

ნებისმიერი სამი თანაპლენარული ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული, ხოლო ნებისმიერი ორი არათანაბლანარი ვექტორი წრფივად დამოუკიდებელია დავუბრუნდეთ საფუძვლის ცნებას და ვექტორის გარკვეულ საფუძველზე დაშლის პრობლემას, შეგვიძლია ვთქვათ, რომსიბრტყეზე და სივრცეში საფუძველი იქმნება წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სიმრავლისგან.

საფუძვლის ეს კონცეფცია ზოგადია, რადგან ის ვრცელდება ნებისმიერი რაოდენობის განზომილების სივრცეზე.
გამოთქმა, როგორიცაა: , ეწოდება ვექტორული დაშლა ,…,.

ვექტორებით თუ საფუძველს განვიხილავთ სამგანზომილებიან სივრცეში, მაშინ ვექტორის დაშლა
საფუძველზე
ნება
-, სად.

ვექტორული კოორდინატები თვითნებური ვექტორის გარკვეულ საფუძველზე დაშლის პრობლემაში ძალიან მნიშვნელოვანია შემდეგი განცხადება:ნებისმიერი ვექტორი
. შეიძლება ცალსახად გაფართოვდეს მოცემულ საფუძველზე
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კოორდინატები ნებისმიერი ვექტორისთვის
საფუძველთან შედარებით

ცალსახად არის განსაზღვრული. რიცხვების მოწესრიგებული სამმაგი (წყვილი) – მისი კოორდინატები. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი შედეგი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავამყაროთ კავშირი გეომეტრიულ ობიექტებსა და რიცხვებს შორის, შესაძლებელს ხდის ფიზიკური ობიექტების პოზიციისა და მოძრაობის ანალიტიკურ აღწერას და შესწავლას.

წერტილისა და საფუძვლის სიმრავლე ეწოდება კოორდინატთა სისტემა.

თუ საფუძვლის შემქმნელი ვექტორები ერთეული და წყვილი პერპენდიკულურია, მაშინ კოორდინატთა სისტემა ე.წ. მართკუთხა,და საფუძველი ორთონორმალური.

L. 2-2 ვექტორების პროდუქტი

ვექტორის დაშლა საფუძვლად

განვიხილოთ ვექტორი
, მოცემულია მისი კოორდინატებით:
.

- ვექტორული კომპონენტები საბაზისო ვექტორების მიმართულებების გასწვრივ
.

ფორმის გამოხატვა
ვექტორული დაშლა ეწოდება თუ საფუძველს განვიხილავთ სამგანზომილებიან სივრცეში, მაშინ ვექტორის დაშლა
.

ანალოგიურად შეგვიძლია დაშლა საფუძველზე
ვექტორი
:

.

განხილული ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხეების კოსინუსები საბაზისო ვექტორებით
ეძახიან მიმართულების კოსინუსები

;
;
.

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი.

ორი ვექტორის წერტილოვანი ნამრავლი და არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ამ ვექტორების მოდულების ნამრავლისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსის

ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ერთი ამ ვექტორის მოდულის ნამრავლი და მეორე ვექტორის ორთოგონალური პროექცია პირველის მიმართულებით.
.

თვისებები:

თუ ცნობილია ვექტორების კოორდინატები
და
, შემდეგ ვექტორების საფუძვლად დაშლა
:
და
, მოდი ვიპოვოთ

, იმიტომ
,
, ეს

.

.

ვექტორების პერპენდიკულარული პირობა:
.

რექტორების კოლინარობის პირობა:
.

ვექტორების ვექტორული ნამრავლი

ან

ვექტორული პროდუქტი ვექტორის მიხედვით ვექტორამდე ასეთ ვექტორს უწოდებენ
, რომელიც აკმაყოფილებს პირობებს:

თვისებები:

განხილული ალგებრული თვისებები საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ანალიტიკური გამოხატულება ვექტორული პროდუქტიკომპონენტის ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით ორთონორმალურ საფუძველზე.

მოცემული:
და
.

რადგან ,
,
,
,
,
,
, ეს

. ეს ფორმულა შეიძლება დაიწეროს უფრო მოკლედ, მესამე რიგის დეტერმინანტის სახით:

.

ვექტორების შერეული პროდუქტი

სამი ვექტორის შერეული პროდუქტი ,და არის ვექტორული ნამრავლის ტოლი რიცხვი
, გამრავლებული სკალარი ვექტორზე .

შემდეგი თანასწორობა მართალია:
, სწორედ ამიტომ შერეული სამუშაოჩაწერეთ
.

როგორც განმარტებიდან ჩანს, შერეული შედეგი სამი პროდუქტივექტორები არის რიცხვი. ამ რიცხვს აქვს მკაფიო გეომეტრიული მნიშვნელობა:

შერეული პროდუქტის მოდული
შემცირებულზე აგებული პარალელეპიპედის მოცულობის ტოლია ზოგადი დასაწყისივექტორები ,და .

შერეული პროდუქტის თვისებები:

თუ ვექტორები ,,მითითებულია ორთონორმალურ საფუძველზე
მისი კოორდინატებით, შერეული პროდუქტი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

.

მართლაც, თუ
, ეს

;
;
. დავუშვათ, რომ
.

თუ ვექტორები ,,თანაპლენარულია, შემდეგ ვექტორული ნამრავლი
ვექტორზე პერპენდიკულარული . და პირიქით, თუ
, მაშინ პარალელეპიპედის მოცულობა არის ნული და ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები თანაპლენარულია (წრფივად დამოკიდებული).

ამრიგად, სამი ვექტორი თანაპლანსურია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი შერეული ნამრავლი არის ნული.