იპოვეთ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა. ფუნქციები

2020 წლის ივლისში NASA იწყებს ექსპედიციას მარსზე. კოსმოსური ხომალდი მარსს მიაწვდის ელექტრონულ საშუალებას ექსპედიციის ყველა რეგისტრირებული მონაწილის სახელებით.

მონაწილეთა რეგისტრაცია ღიაა. მიიღეთ ბილეთი მარსზე ამ ბმულით.

თუ ამ პოსტმა გადაჭრა თქვენი პრობლემა ან უბრალოდ მოგეწონათ, გაუზიარეთ ბმული თქვენს მეგობრებს სოციალურ ქსელებში.

კოდის ერთ-ერთი ვარიანტი უნდა იყოს დაკოპირებული და ჩასმული თქვენი ვებ გვერდის კოდში, სასურველია ტეგებს შორის და ან ტეგის შემდეგ დაუყოვნებლივ. პირველი ვარიანტის მიხედვით MathJax უფრო სწრაფად იტვირთება და ნაკლებად ანელებს გვერდს. მაგრამ მეორე ვარიანტი ავტომატურად აკონტროლებს და ატვირთავს MathJax-ის უახლეს ვერსიებს. თუ პირველ კოდს ჩასვამთ, ის პერიოდულად უნდა განახლდეს. თუ მეორე კოდს ჩასვამთ, გვერდები უფრო ნელა იტვირთება, მაგრამ არ დაგჭირდებათ MathJax-ის განახლებების მუდმივი მონიტორინგი.

MathJax-ის დასაკავშირებლად ყველაზე მარტივი გზაა Blogger-ში ან WordPress-ში: საიტის მართვის პანელში დაამატეთ ვიჯეტი, რომელიც შექმნილია მესამე მხარის JavaScript კოდის ჩასართავად, დააკოპირეთ მასში ზემოთ წარმოდგენილი ჩამოტვირთვის კოდის პირველი ან მეორე ვერსია და მოათავსეთ ვიჯეტი უფრო ახლოს. შაბლონის დასაწყისამდე (სხვათა შორის, ეს საერთოდ არ არის საჭირო, რადგან MathJax სკრიპტი ასინქრონულად იტვირთება). Სულ ეს არის. ახლა ისწავლეთ MathML, LaTeX და ASCIIMathML მარკირების სინტაქსი და მზად ხართ ჩასვათ მათემატიკური ფორმულები თქვენი საიტის ვებ გვერდებზე.

კიდევ ერთი ახალი წლის ღამე... ყინვაგამძლე ამინდი და ფიფქები ფანჯრის მინაზე... ამ ყველაფერმა მიბიძგა კიდევ ერთხელ დავწერო... ფრაქტალებზე და რა იცის ამის შესახებ ვოლფრამ ალფამ. ამ თემაზე არის საინტერესო სტატია, რომელიც შეიცავს ორგანზომილებიანი ფრაქტალური სტრუქტურების მაგალითებს. აქ ჩვენ განვიხილავთ სამგანზომილებიანი ფრაქტალების უფრო რთულ მაგალითებს.

ფრაქტალი შეიძლება ვიზუალურად იყოს წარმოდგენილი (აღწერილი) როგორც გეომეტრიული ფიგურა ან სხეული (რაც ნიშნავს, რომ ორივე არის ერთობლიობა, ამ შემთხვევაში, წერტილების ერთობლიობა), რომლის დეტალებსაც იგივე ფორმა აქვს, რაც თავად თავდაპირველ ფიგურას. ანუ, ეს არის საკუთარი თავის მსგავსი სტრუქტურა, რომლის დეტალების შესწავლისას გადიდებისას დავინახავთ იგივე ფორმას, რაც გადიდების გარეშე. მაშინ როცა ჩვეულებრივი გეომეტრიული ფიგურის შემთხვევაში (არა ფრაქტალი), გადიდებისას დავინახავთ დეტალებს, რომლებსაც უფრო მარტივი ფორმა აქვთ, ვიდრე თავად თავდაპირველი ფიგურა. მაგალითად, საკმარისად მაღალი გადიდებისას, ელიფსის ნაწილი სწორი ხაზის სეგმენტს ჰგავს. ეს არ ხდება ფრაქტალებთან: მათი ნებისმიერი გაზრდისას ჩვენ კვლავ დავინახავთ იმავე რთულ ფორმას, რომელიც მეორდება ყოველი გაზრდისას ისევ და ისევ.

ბენუა მანდელბროტი, ფრაქტალების მეცნიერების ფუძემდებელი, თავის სტატიაში ფრაქტალები და ხელოვნება მეცნიერების სახელით წერდა: „ფრაქტალები არის გეომეტრიული ფორმები, რომლებიც ისეთივე რთულია, როგორც მათი საერთო ფორმით გადიდდება მთლიანის ზომამდე, გამოჩნდება მთლიანობაში, ან ზუსტად, ან შესაძლოა მცირე დეფორმაციით“.

თეორემა 1.5 დაუშვით დახურულ რეგიონში დმითითებული ფუნქცია z=z(x,y), რომელსაც აქვს პირველი რიგის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები. საზღვარი გრეგიონი დარის ნაწილებად გლუვი (ანუ შედგება „შეხებაზე გლუვი“ მოსახვევებისგან ან სწორი ხაზებისგან). მერე რაიონში დფუნქცია ზ(x,y)აღწევს უდიდესს მდა ყველაზე ნაკლებად მღირებულებები.

არანაირი მტკიცებულება.

თქვენ შეგიძლიათ შესთავაზოთ შემდეგი გეგმა საპოვნელად მდა მ.
1. ვაშენებთ ნახატს, ვირჩევთ ტერიტორიის საზღვრის ყველა ნაწილს დდა იპოვნეთ საზღვრის ყველა "კუთხის" წერტილი.
2. იპოვეთ სტაციონარული წერტილები შიგნით დ.
3. იპოვნეთ სტაციონარული წერტილები თითოეულ საზღვრებზე.
4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ყველა სტაციონარული და კუთხის წერტილს და შემდეგ ვირჩევთ ყველაზე დიდს მდა ყველაზე ნაკლებად მმნიშვნელობები.

მაგალითი 1.14 იპოვე უდიდესი მდა ყველაზე ნაკლებად მფუნქციის მნიშვნელობები ზ= 4x2-2xy+y2-8xდახურულ ტერიტორიაზე დ, შეზღუდული: x= 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. ავაშენოთ ტერიტორია დ(სურ. 1.5) თვითმფრინავზე ოჰოო.

კუთხის ქულები: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0).

საზღვარი გრეგიონი დშედგება სამი ნაწილისაგან:

2. იპოვეთ სტაციონარული წერტილები რეგიონის შიგნით დ:

3. სტაციონარული წერტილები საზღვრებზე l 1, l 2, l 3:

4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ექვს მნიშვნელობას:

მაგალითები

მაგალითი 1.

ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის xდა წ, გარდა საწყისისა, სადაც მნიშვნელი მიდის ნულზე.

მრავალწევრი x 2 +y 2ყველგან უწყვეტია და ამიტომ უწყვეტი ფუნქციის კვადრატული ფესვი უწყვეტია.

წილადი ყველგან იქნება უწყვეტი, გარდა იმ წერტილებისა, სადაც მნიშვნელი ნულია. ანუ განსახილველი ფუნქცია უწყვეტია მთელ კოორდინატულ სიბრტყეზე ოჰოოწარმოშობის გამოკლებით.

მაგალითი 2.

შეისწავლეთ ფუნქციის უწყვეტობა z=tg(x,y). ტანგენსი არის განსაზღვრული და უწყვეტი არგუმენტის ყველა სასრული მნიშვნელობისთვის, გარდა სიდიდის კენტი რაოდენობის სიდიდისა. π /2 , ე.ი. პუნქტების გამოკლებით, სადაც

ყოველი გამოსწორებისთვის "კ"განტოლება (1.11) განსაზღვრავს ჰიპერბოლას. აქედან გამომდინარე, განსახილველი ფუნქცია არის უწყვეტი ფუნქცია xდა yმრუდეებზე მდებარე წერტილების გამოკლებით (1.11).

მაგალითი 3.

იპოვნეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები u=z -xy, z > 0.

მაგალითი 4.

აჩვენე ეს ფუნქცია

აკმაყოფილებს პირადობას:

- ეს თანასწორობა მოქმედებს ყველა პუნქტისთვის M(x;y;z), გარდა წერტილისა M 0 (a;b;c).

განვიხილოთ ორი დამოუკიდებელი ცვლადის z=f(x,y) ფუნქცია და დავადგინოთ ნაწილობრივი ცვლადების გეომეტრიული მნიშვნელობა. z"x =f"x(x,y)და z" y =f" y(x,y).

ამ შემთხვევაში, განტოლება z=f(x,y)არის რაღაც ზედაპირის განტოლება (ნახ. 1.3). მოდით დავხატოთ თვითმფრინავი წ= კონსტ. ამ ზედაპირის სიბრტყის მონაკვეთში z=f(x,y)თქვენ მიიღებთ გარკვეულ ხაზს ლ 1კვეთა, რომლის გასწვრივ მხოლოდ რაოდენობა იცვლება Xდა ზ.

ნაწილობრივი წარმოებული z"x(მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა პირდაპირ გამომდინარეობს ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულის ცნობილი გეომეტრიული მნიშვნელობიდან) რიცხობრივად უდრის კუთხის ტანგენტს. α დახრილობა, ღერძის მიმართ ოჰ, ტანგენტი L 1მოსახვევამდე ლ 1, რის შედეგადაც ზედაპირის მონაკვეთი z=f(x,y)თვითმფრინავი წ= კონსტწერტილში M(x,y,f(xy)): z" x = tanα.

ზედაპირის მონაკვეთში z=f(x,y)თვითმფრინავი X= კონსტთქვენ მიიღებთ გადაკვეთის ხაზს ლ 2, რომლის გასწვრივ მხოლოდ რაოდენობა იცვლება ზედა ზ. შემდეგ ნაწილობრივი წარმოებული z" yრიცხობრივად უდრის კუთხის ტანგენტს β დახრილობა ღერძის მიმართ OU, ტანგენტი L 2მითითებულ ხაზამდე ლ 2კვეთა წერტილში M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ.

მაგალითი 5.

რა კუთხეს ქმნის ის ღერძთან? ოჰხაზის ტანგენტი:

წერტილში M(2,4,5)?

ჩვენ ვიყენებთ ნაწილობრივი წარმოებულის გეომეტრიულ მნიშვნელობას ცვლადის მიმართ X(მუდმივი ზე):

მაგალითი 6.

(1.31) მიხედვით:

მაგალითი 7.

ვივარაუდოთ, რომ განტოლება

ირიბად განსაზღვრავს ფუნქციას

იპოვე z"x, z" y.

შესაბამისად, (1.37) მიხედვით ვიღებთ პასუხს.

მაგალითი 8.

გამოიკვლიეთ უკიდურესობამდე:

1. იპოვეთ სტაციონარული წერტილები ამოხსნის სისტემით (1.41):

ანუ ნაპოვნია ოთხი სტაციონარული წერტილი.
2.

თეორემა 1.4-ით იმ წერტილში არის მინიმალური.

მეტიც

4. ჩვენ ვიანგარიშებთ ექვს მნიშვნელობას:

მიღებული ექვსი მნიშვნელობიდან აირჩიეთ ყველაზე დიდი და პატარა.

ბიბლიოგრაფია:

ü ბელკო I.V., Kuzmich K.K. უმაღლესი მათემატიკა ეკონომისტებისთვის. I სემესტრი: ექსპრეს კურსი. – მ.: ახალი ცოდნა, 2002. – 140გვ.

ü Gusak A. A.. მათემატიკური ანალიზი და დიფერენციალური განტოლებები – Mn.: TetraSystems, 1998. – 416გვ.

ü Gusak A. A.. უმაღლესი მათემატიკა. სახელმძღვანელო უნივერსიტეტის სტუდენტებისთვის 2 ტომად. – მნ., 1998. – 544გვ. (1 ტომი), 448 გვ. (2 ტ.).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. უმაღლესი მათემატიკა ეკონომისტებისთვის: სახელმძღვანელო უნივერსიტეტებისთვის / ედ. პროფ. ნ.შ კრემერი – M.: UNITI, 2002. – 471გვ.

ü Yablonsky A.I., Kuznetsov A.V., Shilkina E.I. და სხვ. ზოგადი კურსი: სახელმძღვანელო / ზოგადი. რედ. S. A. Samal – Mn.: Vysh. სკოლა, 2000. – 351გვ.

დაე, ფუნქცია $z=f(x,y)$ იყოს განსაზღვრული და უწყვეტი ზოგიერთ შეზღუდულ დახურულ დომენში $D$. მოდით მოცემულ ფუნქციას ამ რეგიონში ჰქონდეს პირველი რიგის სასრული ნაწილობრივი წარმოებულები (გარდა, შესაძლოა, სასრული რაოდენობის წერტილებისა). მოცემულ დახურულ რეგიონში ორი ცვლადის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების საპოვნელად საჭიროა მარტივი ალგორითმის სამი ნაბიჯი.

რა არის კრიტიკული წერტილები? ჩვენება დამალვა

ქვეშ კრიტიკული წერტილებიგულისხმობს წერტილებს, რომლებშიც პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია (ანუ $\frac(\ ნაწილობრივი z)(\ნაწილობრივი x)=0$ და $\frac(\ნაწილობრივი z)(\ნაწილობრივი y)=0 $) ან თუნდაც ერთი ნაწილობრივი წარმოებული არ არსებობს.

ხშირად უწოდებენ წერტილებს, რომლებშიც პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია სტაციონარული წერტილები. ამრიგად, სტაციონარული წერტილები არის კრიტიკული წერტილების ქვეჯგუფი.

მაგალითი No1

იპოვეთ $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები დახურულ რეგიონში, რომელიც შემოიფარგლება $x=3$, $y=0$ და $y=x ხაზებით. +1$.

ჩვენ მივყვებით ზემოხსენებულს, მაგრამ ჯერ შევეხებით მოცემული ფართობის ნახატს, რომელსაც აღვნიშნავთ ასო $D$-ით. ჩვენ მოცემულია სამი სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც ზღუდავს ამ ფართობს. $x=3$ სწორი ხაზი გადის $(3;0)$ ორდინატთა ღერძის (Oy ღერძი) პარალელურად. სწორი ხაზი $y=0$ არის აბსცისის ღერძის განტოლება (Ox ღერძი). ისე, $y=x+1$ წრფის ასაგებად ჩვენ ვიპოვით ორ წერტილს, რომლითაც გავავლებთ ამ წრფეს. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ შეცვალოთ რამდენიმე თვითნებური მნიშვნელობა $x$-ის ნაცვლად. მაგალითად, $x=10$-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ: $y=x+1=10+1=11$. ჩვენ ვიპოვეთ $(10;11)$ წერტილი, რომელიც მდებარეობს $y=x+1$ წრფეზე. თუმცა, უმჯობესია ვიპოვოთ ის წერტილები, რომლებზეც სწორი ხაზი $y=x+1$ კვეთს $x=3$ და $y=0$ წრფეებს. რატომ არის ეს უკეთესი? იმიტომ, რომ ერთი ქვით მოვკლავთ რამდენიმე ჩიტს: მივიღებთ ორ ქულას $y=x+1$ სწორი ხაზის ასაგებად და ამავდროულად გავარკვიეთ, რომელ წერტილებში კვეთს ეს სწორი ხაზი მოცემული ფართობის შემზღუდველ სხვა ხაზებს. წრფე $y=x+1$ კვეთს $x=3$ წრფეს $(3;4)$ წერტილში, ხოლო $y=0$ წრფე $(-1;0)$ წერტილში. იმისათვის, რომ გადაწყვეტის პროგრესი დამხმარე ახსნა-განმარტებით არ გავაფუჭოთ, ამ ორი პუნქტის მოპოვების საკითხს ჩანაწერში დავდებ.

როგორ იქნა მიღებული $(3;4)$ და $(-1;0)$ ქულები? ჩვენება დამალვა

დავიწყოთ $y=x+1$ და $x=3$ წრფეების გადაკვეთის წერტილიდან. სასურველი წერტილის კოორდინატები ეკუთვნის როგორც პირველ, ასევე მეორე სწორ ხაზებს, ამიტომ უცნობი კოორდინატების მოსაძებნად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა:

$$ \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & y=x+1;\\ & x=3. \end (გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

ასეთი სისტემის ამოხსნა ტრივიალურია: $x=3$-ის ჩანაცვლებით პირველ განტოლებაში გვექნება: $y=3+1=4$. წერტილი $(3;4)$ არის $y=x+1$ და $x=3$ წრფეების სასურველი გადაკვეთის წერტილი.

ახლა ვიპოვოთ $y=x+1$ და $y=0$ წრფეების გადაკვეთის წერტილი. მოდით კვლავ შევადგინოთ და ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა:

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & y=x+1;\\ & y=0. \end (გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

$y=0$-ის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: $0=x+1$, $x=-1$. წერტილი $(-1;0)$ არის $y=x+1$ და $y=0$ (x-ღერძი) ხაზების სასურველი გადაკვეთის წერტილი.

ყველაფერი მზად არის ნახატის შესაქმნელად, რომელიც ასე გამოიყურება:

შენიშვნის კითხვა აშკარად ჩანს, რადგან სურათზე ყველაფერი ჩანს. თუმცა, უნდა გვახსოვდეს, რომ ნახატი არ შეიძლება გახდეს მტკიცებულება. ნახატი მხოლოდ საილუსტრაციო მიზნებისთვისაა.

ჩვენი ფართობი განისაზღვრა ხაზების განტოლებების გამოყენებით, რომლებიც აკავშირებენ მას. ცხადია, ეს ხაზები განსაზღვრავს სამკუთხედს, არა? ან მთლად აშკარა არ არის? ან იქნებ გვეძლევა განსხვავებული არე, იგივე ხაზებით შემოსაზღვრული:

რა თქმა უნდა, პირობა ამბობს, რომ ტერიტორია დახურულია, ამიტომ ნაჩვენები სურათი არასწორია. მაგრამ ასეთი ბუნდოვანების თავიდან ასაცილებლად, უმჯობესია რეგიონები განვსაზღვროთ უთანასწორობებით. გვაინტერესებს თვითმფრინავის ის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს $y=x+1$ სწორი ხაზის ქვეშ? კარგი, ასე რომ, $y ≤ x+1$. უნდა იყოს თუ არა ჩვენი ტერიტორია $y=0$ ხაზის ზემოთ? შესანიშნავია, ეს ნიშნავს $y ≥ 0$. სხვათა შორის, ბოლო ორი უტოლობა ადვილად შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. $$

ეს უტოლობა განსაზღვრავს რეგიონს $D$ და ისინი განსაზღვრავენ მას ცალსახად, ყოველგვარი გაურკვევლობის გარეშე. მაგრამ როგორ გვეხმარება ეს ჩანაწერის დასაწყისში დასმულ კითხვაში? ეს ასევე დაგვეხმარება :) ჩვენ უნდა შევამოწმოთ, $M_1(1;1)$ წერტილი ეკუთვნის თუ არა რეგიონს $D$. მოდით ჩავანაცვლოთ $x=1$ და $y=1$ უტოლობების სისტემაში, რომელიც განსაზღვრავს ამ რეგიონს. თუ ორივე უთანასწორობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ წერტილი რეგიონის შიგნითაა. თუ უთანასწორობიდან ერთი მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მაშინ წერტილი არ ეკუთვნის რეგიონს. Ისე:

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. \;\; \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end (გასწორებული) \მარჯვნივ $$.

ორივე უტოლობა მოქმედებს. წერტილი $M_1(1;1)$ ეკუთვნის $D$ რეგიონს.

ახლა დროა შევისწავლოთ ფუნქციის ქცევა რეგიონის საზღვარზე, ე.ი. წავიდეთ . დავიწყოთ $y=0$ სწორი ხაზით.

სწორი ხაზი $y=0$ (აბსცისის ღერძი) ზღუდავს $D$ რეგიონს $-1 ≤ x ≤ 3$ პირობით. მოდით ჩავანაცვლოთ $y=0$ მოცემულ ფუნქციაში $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. ჩანაცვლების შედეგად მიღებული ერთი $x$ ცვლადის ფუნქციას აღვნიშნავთ, როგორც $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

ახლა $f_1(x)$ ფუნქციისთვის უნდა ვიპოვოთ უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $-1 ≤ x ≤ 3$ ინტერვალზე. ვიპოვოთ ამ ფუნქციის წარმოებული და გავუტოლოთ ნულს:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

ღირებულება $x=2$ ეკუთვნის სეგმენტს $-1 ≤ x ≤ 3$, ამიტომ ჩვენ ასევე დავამატებთ $M_2(2;0)$ პუნქტების სიას. გარდა ამისა, მოდით გამოვთვალოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობები $-1 ≤ x ≤ 3$ სეგმენტის ბოლოებზე, ე.ი. $M_3(-1;0)$ და $M_4(3;0)$ წერტილებზე. სხვათა შორის, თუ წერტილი $M_2$ არ ეკუთვნოდა განსახილველ სეგმენტს, მაშინ, რა თქმა უნდა, არ იქნებოდა საჭირო მასში $z$ ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა.

მოდით გამოვთვალოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობები $M_2$, $M_3$, $M_4$ წერტილებში. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ შეცვალოთ ამ წერტილების კოორდინატები თავდაპირველ გამონათქვამში $z=x^2+2xy-y^2-4x$. მაგალითად, $M_2$ წერტილისთვის მივიღებთ:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

თუმცა, გამოთვლები შეიძლება ოდნავ გამარტივდეს. ამისათვის უნდა გვახსოვდეს, რომ $M_3M_4$ სეგმენტზე გვაქვს $z(x,y)=f_1(x)$. ამას დეტალურად დავწერ:

\ დასაწყისი (გასწორებული) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end (გასწორებული)

რა თქმა უნდა, როგორც წესი, არ არის საჭირო ასეთი დეტალური ჩანაწერები და მომავალში ჩვენ მოკლედ ჩამოვწერთ ყველა გამოთვლას:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

ახლა მივმართოთ სწორ ხაზს $x=3$. ეს სწორი ხაზი ზღუდავს $D$ რეგიონს $0 ≤ y ≤ 4$ პირობით. მოდით ჩავანაცვლოთ $x=3$ მოცემულ ფუნქციაში $z$. ამ ჩანაცვლების შედეგად ვიღებთ ფუნქციას $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ ფუნქციისთვის ჩვენ უნდა ვიპოვოთ უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $0 ≤ y ≤ 4$ ინტერვალზე. ვიპოვოთ ამ ფუნქციის წარმოებული და გავუტოლოთ ნულს:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

ღირებულება $y=3$ ეკუთვნის სეგმენტს $0 ≤ y ≤ 4$, ამიტომ ჩვენ ასევე დავამატებთ $M_5(3;3)$ ადრე ნაპოვნი წერტილებს. გარდა ამისა, საჭიროა გამოვთვალოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებში $0 ≤ y ≤ 4$, ე.ი. $M_4(3;0)$ და $M_6(3;4)$ წერტილებზე. $M_4(3;0)$ წერტილში ჩვენ უკვე გამოვთვალეთ $z$-ის მნიშვნელობა. მოდით გამოვთვალოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობა $M_5$ და $M_6$ წერტილებში. შეგახსენებთ, რომ $M_4M_6$ სეგმენტზე გვაქვს $z(x,y)=f_2(y)$, შესაბამისად:

\begin(გასწორებული) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end (გასწორებული)

და ბოლოს, განვიხილოთ $D$ რეგიონის ბოლო საზღვარი, ე.ი. სწორი ხაზი $y=x+1$. ეს სწორი ხაზი ზღუდავს $D$ რეგიონს $-1 ≤ x ≤ 3$ პირობით. $y=x+1$-ის ჩანაცვლებით $z$ ფუნქციაში, გვექნება:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

კიდევ ერთხელ გვაქვს $x$ ერთი ცვლადის ფუნქცია. და ისევ უნდა ვიპოვოთ ამ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $-1 ≤ x ≤ 3$ ინტერვალზე. ვიპოვოთ $f_(3)(x)$ ფუნქციის წარმოებული და გავუტოლოთ ნულს:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

ღირებულება $x=1$ ეკუთვნის $-1 ≤ x ≤ 3$ ინტერვალს. თუ $x=1$, მაშინ $y=x+1=2$. მოდით დავუმატოთ $M_7(1;2)$ პუნქტების სიას და გავარკვიოთ, რა არის ამ ეტაპზე $z$ ფუნქციის მნიშვნელობა. ქულები სეგმენტის ბოლოებზე $-1 ≤ x ≤ 3$, ე.ი. ადრე განიხილებოდა ქულა $M_3(-1;0)$ და $M_6(3;4)$, მათში უკვე ვიპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

გადაწყვეტის მეორე ეტაპი დასრულებულია. ჩვენ მივიღეთ შვიდი მნიშვნელობა:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

მივმართოთ. მესამე აბზაცში მიღებული რიცხვებიდან ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების არჩევისას გვექნება:

$$z_(წთ)=-4; \; z_(max)=6.$$

პრობლემა მოგვარებულია, რჩება მხოლოდ პასუხის ჩაწერა.

უპასუხე: $z_(წთ)=-4; \; z_(max)=6$.

მაგალითი No2

იპოვეთ $z=x^2+y^2-12x+16y$ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები $x^2+y^2 ≤ 25$.

პირველი, მოდით ავაშენოთ ნახატი. განტოლება $x^2+y^2=25$ (ეს არის მოცემული ფართობის სასაზღვრო ხაზი) ​​განსაზღვრავს წრეს, რომლის ცენტრი სათავეშია (ანუ $(0;0)$ წერტილში) და რადიუსი 5. უტოლობა $x^2 +y^2 ≤ $25 აკმაყოფილებს ყველა წერტილს აღნიშნულ წრეზე და მის შიგნით.

შესაბამისად ვიმოქმედებთ. ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები და გავარკვიოთ კრიტიკული წერტილები.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

არ არსებობს წერტილები, სადაც ნაპოვნი ნაწილობრივი წარმოებულები არ არსებობს. გავარკვიოთ, რომელ წერტილებშია ორივე ნაწილობრივი წარმოებული ერთდროულად ნულის ტოლი, ე.ი. მოდი ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები.

$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ. \;\; \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & x =6;\\ & y=-8 \end(გასწორებული) \მარჯვნივ $$.

ჩვენ მივიღეთ სტაციონარული წერტილი $(6;-8)$. თუმცა, ნაპოვნი წერტილი არ ეკუთვნის $D$ რეგიონს. ამის ჩვენება ადვილია ნახატის გამოყენების გარეშეც კი. მოდით შევამოწმოთ, მოქმედებს თუ არა უტოლობა $x^2+y^2 ≤ 25$, რომელიც განსაზღვრავს ჩვენს რეგიონს $D$. თუ $x=6$, $y=-8$, მაშინ $x^2+y^2=36+64=100$, ე.ი. უტოლობა $x^2+y^2 ≤ 25$ არ მოქმედებს. დასკვნა: წერტილი $(6;-8)$ არ ეკუთვნის $D$ არეალს.

ასე რომ, $D$ რეგიონში არ არის კრიტიკული წერტილები. მოდით გადავიდეთ... უნდა შევისწავლოთ ფუნქციის ქცევა მოცემული ფართობის საზღვარზე, ე.ი. წრეზე $x^2+y^2=25$. ჩვენ შეგვიძლია, რა თქმა უნდა, გამოვხატოთ $y$ $x$-ით და შემდეგ შევცვალოთ მიღებული გამონათქვამი ჩვენს ფუნქციაში $z$. წრის განტოლებიდან ვიღებთ: $y=\sqrt(25-x^2)$ ან $y=-\sqrt(25-x^2)$. მაგალითად, $y=\sqrt(25-x^2)$ მოცემულ ფუნქციაში ჩანაცვლებით, გვექნება:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

შემდგომი გადაწყვეტა სრულიად იდენტური იქნება წინა No1 მაგალითში რეგიონის საზღვარზე ფუნქციის ქცევის შესწავლისა. თუმცა, ამ სიტუაციაში ლაგრანგის მეთოდის გამოყენება უფრო გონივრული მეჩვენება. ჩვენ დავინტერესდებით ამ მეთოდის მხოლოდ პირველი ნაწილით. ლაგრანგის მეთოდის პირველი ნაწილის გამოყენების შემდეგ მივიღებთ წერტილებს, რომლებშიც შევისწავლით $z$ ფუნქციას მინიმალური და მაქსიმალური მნიშვნელობებისთვის.

ჩვენ ვადგენთ ლაგრანგის ფუნქციას:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

ჩვენ ვპოულობთ ლაგრანგის ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს და ვადგენთ განტოლებათა შესაბამის სისტემას:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\ლამბდა x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\ლამბდა y.\\ \მარცხნივ \( \დაწყება (გასწორებული) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & x+\ლამბდა x=6;\\ & y+\ლამბდა y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( გასწორებული)\მარჯვნივ.$ $

ამ სისტემის გადასაჭრელად, დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ $\lambda\neq -1$. რატომ $\lambda\neq -1$? შევეცადოთ $\lambda=-1$ ჩავანაცვლოთ პირველ განტოლებაში:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა $0=6$ მიუთითებს, რომ მნიშვნელობა $\lambda=-1$ მიუღებელია. გამომავალი: $\lambda\neq -1$. მოდით გამოვხატოთ $x$ და $y$ $\lambda$-ით:

\begin(გასწორებული) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ლამბდა)=6;\; x=\frac(6)(1+\ლამბდა). \\ & y+\ლამბდა y=-8;\; y(1+\ლამბდა)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\ლამბდა). \end (გასწორებული)

ვფიქრობ, აქ ცხადი ხდება, თუ რატომ დავაწესეთ პირობა $\lambda\neq -1$. ეს გაკეთდა იმისთვის, რომ გამონათქვამი $1+\lambda$ მნიშვნელებში ჩარევის გარეშე მოერგოს. ანუ დარწმუნებული უნდა იყოს, რომ მნიშვნელი $1+\lambda\neq 0$.

მოდით, მიღებული გამონათქვამები ჩავანაცვლოთ $x$ და $y$ სისტემის მესამე განტოლებაში, ე.ი. $x^2+y^2=25$-ში:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \მარჯვნივ)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\ლამბდა)^2)+\frac(64)((1+\ლამბდა)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\ლამბდა)^2)=25 ; \; (1+\ლამბდა)^2=4. $$

მიღებული თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ $1+\lambda=2$ ან $1+\lambda=-2$. აქედან გამომდინარე, გვაქვს $\lambda$ პარამეტრის ორი მნიშვნელობა, კერძოდ: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. შესაბამისად, ჩვენ ვიღებთ მნიშვნელობების ორ წყვილს $x$ და $y$:

\begin(გასწორებული) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end (გასწორებული)

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ შესაძლო პირობითი ექსტრემის ორი ქულა, ე.ი. $M_1(3;-4)$ და $M_2(-3;4)$. მოდით ვიპოვოთ $z$ ფუნქციის მნიშვნელობები $M_1$ და $M_2$ წერტილებში:

\begin(გასწორებული) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end (გასწორებული)

ჩვენ უნდა შევარჩიოთ ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობები მათგან, რაც მივიღეთ პირველ და მეორე საფეხურზე. მაგრამ ამ შემთხვევაში არჩევანი მცირეა :) გვაქვს:

$$ z_(წთ)=-75; \; z_(max)=125. $$

უპასუხე: $z_(წთ)=-75; \; z_(max)=125$.

პრაქტიკული თვალსაზრისით, ყველაზე დიდი ინტერესი არის წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების მოსაძებნად. რასთან არის ეს დაკავშირებული? მოგების მაქსიმიზაცია, ხარჯების მინიმიზაცია, აღჭურვილობის ოპტიმალური დატვირთვის დადგენა... სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ცხოვრების ბევრ სფეროში გვიწევს ზოგიერთი პარამეტრის ოპტიმიზაციის პრობლემების გადაჭრა. და ეს არის ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნის ამოცანები.

უნდა აღინიშნოს, რომ ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს, როგორც წესი, ეძებენ გარკვეულ X ინტერვალზე, რომელიც არის ფუნქციის მთელი დომენი ან განმარტების დომენის ნაწილი. თავად X ინტერვალი შეიძლება იყოს სეგმენტი, ღია ინტერვალი , უსასრულო ინტერვალი.

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ ერთი ცვლადის y=f(x) მკაფიოდ განსაზღვრული ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნაზე.

გვერდის ნავიგაცია.

მოკლედ გადავხედოთ ძირითად განმარტებებს.

ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა რომ ვინმესთვის უთანასწორობა მართალია.

y=f(x) ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა X ინტერვალზე არის ასეთი მნიშვნელობა რომ ვინმესთვის უთანასწორობა მართალია.

ეს განმარტებები ინტუიციურია: ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობა არის ყველაზე დიდი (უმცირესი) მიღებული მნიშვნელობა აბსცისაზე განსახილველ ინტერვალზე.

სტაციონარული წერტილები არის არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული ხდება ნული.

რატომ გვჭირდება სტაციონარული წერტილები უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნისას? ამ კითხვაზე პასუხს იძლევა ფერმას თეორემა. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ დიფერენცირებად ფუნქციას აქვს უკიდურესი (ადგილობრივი მინიმალური ან ლოკალური მაქსიმუმი) რაღაც მომენტში, მაშინ ეს წერტილი სტაციონარულია. ამრიგად, ფუნქცია ხშირად იღებს თავის უდიდეს (უმცირეს) მნიშვნელობას X ინტერვალზე ამ ინტერვალიდან ერთ-ერთ სტაციონარულ წერტილში.

ასევე, ფუნქციას ხშირად შეუძლია მიიღოს თავისი უდიდესი და მინიმალური მნიშვნელობები იმ წერტილებში, რომლებშიც ამ ფუნქციის პირველი წარმოებული არ არსებობს და თავად ფუნქცია არის განსაზღვრული.

მოდით დაუყოვნებლივ ვუპასუხოთ ერთ-ერთ ყველაზე გავრცელებულ კითხვას ამ თემაზე: „ყოველთვის შესაძლებელია თუ არა ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის დადგენა“? არა ყოველთვის არა. ზოგჯერ X ინტერვალის საზღვრები ემთხვევა ფუნქციის განსაზღვრის დომენის საზღვრებს, ან X ინტერვალი უსასრულოა. და ზოგიერთმა ფუნქციამ უსასრულობაში და განსაზღვრების დომენის საზღვრებში შეიძლება მიიღოს როგორც უსასრულოდ დიდი, ასევე უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობები. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობაზე ვერაფერს ვიტყვით.

სიცხადისთვის, ჩვენ მივცემთ გრაფიკულ ილუსტრაციას. შეხედეთ სურათებს და ბევრი რამ გაირკვევა.

სეგმენტზე

პირველ ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს სეგმენტის შიგნით მდებარე სტაციონარულ წერტილებში [-6;6].

განვიხილოთ მეორე ფიგურაში ნაჩვენები შემთხვევა. მოდით შევცვალოთ სეგმენტი . ამ მაგალითში ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა მიიღწევა სტაციონარულ წერტილში, ხოლო უდიდესი აბსცისის წერტილში, რომელიც შეესაბამება ინტერვალის მარჯვენა საზღვარს.

სურათზე 3, სეგმენტის სასაზღვრო წერტილები [-3;2] არის წერტილების აბსცისები, რომლებიც შეესაბამება ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს.

ღია ინტერვალზე

მეოთხე ფიგურაში ფუნქცია იღებს უდიდეს (max y) და უმცირეს (min y) მნიშვნელობებს ღია ინტერვალის შიგნით მდებარე სტაციონარულ წერტილებში (-6;6).

ინტერვალზე არ შეიძლება დასკვნის გაკეთება ყველაზე დიდი მნიშვნელობის შესახებ.

უსასრულობაში

მეშვიდე ფიგურაში წარმოდგენილ მაგალითში ფუნქცია იღებს უდიდეს მნიშვნელობას (max y) სტაციონარული წერტილის x=1 აბსცისით, ხოლო უმცირესი მნიშვნელობა (min y) მიიღწევა ინტერვალის მარჯვენა საზღვარზე. მინუს უსასრულობაში, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3.

ინტერვალის მანძილზე ფუნქცია არ აღწევს არც უმცირეს და არც უდიდეს მნიშვნელობას. როდესაც x=2 მარჯვნიდან უახლოვდება, ფუნქციის მნიშვნელობები მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე (ხაზი x=2 არის ვერტიკალური ასიმპტოტი), და რადგან აბსცისა მიდრეკილია პლუს უსასრულობისკენ, ფუნქციის მნიშვნელობები ასიმპტომურად უახლოვდება y=3. ამ მაგალითის გრაფიკული ილუსტრაცია ნაჩვენებია სურათზე 8.

მოდით დავწეროთ ალგორითმი, რომელიც საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე.

მოდით გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნის ალგორითმი, რათა ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები სეგმენტზე.

მაგალითი.

იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა

• სეგმენტზე;
• სეგმენტზე [-4;-1].

გამოსავალი.

ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის რეალური რიცხვების მთელი ნაკრები, გარდა ნულისა, ანუ. ორივე სეგმენტი შედის განმარტების დომენში.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

ცხადია, ფუნქციის წარმოებული არსებობს სეგმენტების ყველა წერტილში და [-4;-1].

განტოლებიდან განვსაზღვრავთ უძრავ წერტილებს. ერთადერთი რეალური ფესვი არის x=2. ეს სტაციონარული წერტილი ხვდება პირველ სეგმენტში.

პირველ შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს სეგმენტის ბოლოებში და სტაციონარულ წერტილში, ანუ x=1, x=2 და x=4:

აქედან გამომდინარე, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა x=1-ზე და ყველაზე მცირე მნიშვნელობაზე – x=2-ზე.

მეორე შემთხვევაში, ჩვენ ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს მხოლოდ სეგმენტის ბოლოებში [-4;-1] (რადგან ის არ შეიცავს ერთ სტაციონარულ წერტილს):

გამოსავალი.

დავიწყოთ ფუნქციის დომენით. წილადის მნიშვნელში კვადრატული ტრინომი არ უნდა გაქრეს:

ადვილია იმის შემოწმება, რომ პრობლემის განცხადებიდან ყველა ინტერვალი ეკუთვნის ფუნქციის განსაზღვრის დომენს.

მოდით განვასხვავოთ ფუნქცია:

ცხადია, წარმოებული არსებობს ფუნქციის განსაზღვრის მთელ დომენში.

მოდი ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები. წარმოებული მიდის ნულზე ზე. ეს სტაციონარული წერტილი ხვდება (-3;1] და (-3;2) ინტერვალებში.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეადაროთ თითოეულ წერტილში მიღებული შედეგები ფუნქციის გრაფიკს. ლურჯი წერტილოვანი ხაზები მიუთითებს ასიმპტოტებზე.

ამ ეტაპზე შეგვიძლია დავასრულოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნა. ამ სტატიაში განხილული ალგორითმები საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ შედეგები მინიმალური მოქმედებებით. თუმცა, შეიძლება სასარგებლო იყოს ჯერ განსაზღვროთ ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები და მხოლოდ ამის შემდეგ გამოვიტანოთ დასკვნები ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების შესახებ ნებისმიერ ინტერვალზე. ეს იძლევა უფრო მკაფიო სურათს და შედეგების მკაცრ დასაბუთებას.

§ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების უკიდურესი, მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები - გვერდი No1/1

Წერტილი
დაურეკა მაქსიმალური ქულაფუნქციები
, თუ რაიმე პუნქტისთვის

უთანასწორობა მოქმედებს

.

ანალოგიურად მიუთითეთ
დაურეკა მინიმალური ქულაფუნქციები
, თუ რაიმე პუნქტისთვის
პუნქტის რომელიღაც უბნიდან
უთანასწორობა მოქმედებს

.

შენიშვნები. 1) განმარტებების მიხედვით ფუნქცია
უნდა განისაზღვროს წერტილის რომელიმე სამეზობლოში
. იმათ. ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულები
რეგიონის მხოლოდ შიდა წერტილები შეიძლება იყოს
.

2) თუ არის წერტილის მეზობლობა
, რომელშიც ნებისმიერი წერტილისთვის
განსხვავებულია
უთანასწორობა მოქმედებს

(

), შემდეგ წერტილი
დაურეკა მკაცრი მაქსიმალური წერტილი(შესაბამისად მკაცრი მინიმალური წერტილი) ფუნქციები
. ამასთან დაკავშირებით, ზემოთ განსაზღვრულ მაქსიმალურ და მინიმალურ ქულებს ზოგჯერ უწოდებენ არამკაცრ მაქსიმალურ და მინიმალურ ქულებს.

ექსტრემის ცნებები ლოკალური ხასიათისაა: ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში
შედარებულია ფუნქციის მნიშვნელობებთან საკმაოდ ახლო წერტილებში. მოცემულ არეალში ფუნქციას შეიძლება საერთოდ არ ჰქონდეს უკიდურესობა, ან შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე მინიმუმი, რამდენიმე მაქსიმუმი და ორივეს უსასრულო რაოდენობა. უფრო მეტიც, ზოგიერთი მინიმუმი შეიძლება აღემატებოდეს მის ზოგიერთ მაქსიმუმს. არ აურიოთ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები მის მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებთან.

მოდი ვიპოვოთ ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა. მოდით, მაგალითად,
- ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი
. შემდეგ, განსაზღვრებით, არის gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-პუნქტის სამეზობლო.
ისეთივე როგორც
ნებისმიერი წერტილისთვის
ამ ტერიტორიიდან. Კერძოდ,

(1)

სად
,
, და

(2)

სად
,
. მაგრამ (1) ნიშნავს ერთი ცვლადის ფუნქციას
აქვს წერტილში მაქსიმუმ ან არის ინტერვალზე
მუდმივი. აქედან გამომდინარე,

ან
- არ არსებობს,

⇒
ან
- არ არსებობს.

ანალოგიურად, (2)-დან ვიღებთ ამას

ან
- არ არსებობს.

ამრიგად, შემდეგი თეორემა მოქმედებს.

თეორემა 8.1. (აუცილებელი პირობები ექსტრემისთვის). თუ ფუნქცია
წერტილში
აქვს ექსტრემუმი, მაშინ ამ მომენტში ან მისი პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია, ან ამ ნაწილობრივი წარმოებულებიდან ერთი მაინც არ არსებობს.

გეომეტრიულად თეორემა 8.1 ნიშნავს, რომ თუ
- ფუნქციის უკიდურესი წერტილი
, მაშინ ამ ფუნქციის გრაფაში ტანგენსი სიბრტყე ან სიბრტყის პარალელურია
, ან საერთოდ არ არსებობს. ამის გადასამოწმებლად საკმარისია გავიხსენოთ, როგორ ვიპოვოთ ტანგენტური სიბრტყის განტოლება ზედაპირზე (იხ. ფორმულა (4.6)).

თეორემა 8.1-ის პირობების დამაკმაყოფილებელი პუნქტები ეწოდება კრიტიკული წერტილებიფუნქციები
. ისევე, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციისთვის, ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობები არ არის საკმარისი. იმათ. ფუნქციის ყველა კრიტიკული წერტილი არ იქნება მისი უკიდურესი წერტილი.

მაგალითი.განიხილეთ ფუნქცია
. Წერტილი
კრიტიკულია ამ ფუნქციისთვის, რადგან ამ ეტაპზე მისი ორივე პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებული
და
ნულის ტოლია. თუმცა, ეს არ იქნება უკიდურესი წერტილი. მართლაც,
, მაგრამ წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში
არის წერტილები, რომლებზეც ფუნქცია იღებს დადებით მნიშვნელობებს და წერტილები, სადაც ფუნქცია იღებს უარყოფით მნიშვნელობებს. ამის გადამოწმება ადვილია, თუ ააგებთ ფუნქციის გრაფიკს - ჰიპერბოლური პარაბოლოიდი.

ორი ცვლადის ფუნქციისთვის ყველაზე მოსახერხებელი საკმარისი პირობები მოცემულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა 8.2. (საკმარისი პირობები ორი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობისთვის). დაე
- ფუნქციის კრიტიკული წერტილი
და წერტილის რომელიღაც სამეზობლოში
ფუნქციას აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები მეორე რიგის ჩათვლით. აღვნიშნოთ

,
,
.

მაშინ 1) თუ
, შემდეგ მიუთითეთ
არ არის ექსტრემალური წერტილი;


თუ 8.2 თეორემას გამოვიყენებთ კრიტიკული წერტილის გამოსაკვლევად
ვერ (ანუ თუ
ან ფუნქციას საერთოდ არ აქვს წერტილი სამეზობლოში
საჭირო რიგის უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები), პასუხი კითხვაზე წერტილში ყოფნის შესახებ
extremum მისცემს ფუნქციის გაზრდის ნიშანს ამ ეტაპზე.

მართლაც, განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ ფუნქცია
აქვს წერტილში
მკაცრი მაქსიმუმი მაშინ

ყველა პუნქტისთვის
პუნქტის რომელიღაც უბნიდან
, ან სხვაგვარად

ყველასთვის საკმარისად მცირე
და
. ანალოგიურად, თუ
არის მკაცრი მინიმალური წერტილი, მაშინ ყველასთვის საკმარისად მცირე
და
უთანასწორობა დაკმაყოფილდება
.

ასე რომ, გასარკვევად არის თუ არა კრიტიკული წერტილი
ექსტრემალური წერტილი, ამ ეტაპზე აუცილებელია ფუნქციის ზრდა. თუ ყველა საკმარისად მცირე
და
ის შეინარჩუნებს ნიშანს, შემდეგ წერტილში
ფუნქციას აქვს მკაცრი ექსტრემუმი (მინიმალური თუ
და მაქსიმუმი თუ
).

კომენტარი. წესი რჩება ჭეშმარიტი არა მკაცრი ექსტრემისთვის, მაგრამ შესწორებით, რომელიც ზოგიერთი ღირებულებისთვის
და
ფუნქციის ზრდა იქნება ნული
მაგალითი. იპოვნეთ ფუნქციების უკიდურესი რაოდენობა:

1)
; 2)
.

კრიტიკული წერტილების შესასწავლად ვიყენებთ თეორემა 8.2-ს. Ჩვენ გვაქვს:

,
,
.

მოდით გამოვიკვლიოთ წერტილი
:

,
,
,

;
.

ამიტომ, წერტილში
ამ ფუნქციას აქვს მინიმუმი, კერძოდ
.

კრიტიკული წერტილის შესწავლა
:

,
,
,


.

ამიტომ, მეორე კრიტიკული წერტილი არ არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი.

კრიტიკული წერტილის შესასწავლად ვიყენებთ თეორემა 8.2. Ჩვენ გვაქვს:

,
,
,

,
,
,

.

განსაზღვრეთ ექსტრემის არსებობა ან არარსებობა წერტილში
თეორემა 8.2-ის გამოყენება ვერ მოხერხდა.

განვიხილოთ ფუნქციის გაზრდის ნიშანი წერტილში
:

თუ
, ეს
;

თუ
, ეს
.

Იმიტომ რომ
არ ინახავს ნიშანს წერტილის მიმდებარედ
, მაშინ ამ ეტაპზე ფუნქციას არ აქვს ექსტრემი.

.

ანალოგიურად, ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში
დაურეკა ყველაზე პატარა, თუ რაიმე პუნქტისთვის
რეგიონიდან
უთანასწორობა მოქმედებს

.

ადრე ჩვენ უკვე ვთქვით, რომ თუ ფუნქცია უწყვეტია და ფართობი
- დახურულია და შეზღუდულია, შემდეგ ფუნქცია იღებს თავის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებს ამ სფეროში. ამავე დროს, ქულა
და
შეიძლება მოთავსდეს ორივე ტერიტორიის შიგნით
და მის საზღვარზე. თუ წერტილი
(ან
) მდებარეობს რეგიონის შიგნით
, მაშინ ეს იქნება ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილი
, ე.ი. ფუნქციის კრიტიკული წერტილი რეგიონში
. ამიტომ, იპოვნეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები
ტერიტორიაზე
საჭიროა:
.