იპოვნეთ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების მათემატიკური მოლოდინი. საშუალო და მოლოდინი EXCEL-ში

ასევე იქნება ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, რომლებზეც შეგიძლიათ ნახოთ პასუხები.

მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია შემთხვევითი ცვლადის ყველაზე ხშირად გამოყენებული რიცხვითი მახასიათებლებია. ისინი ახასიათებენ განაწილების ყველაზე მნიშვნელოვან მახასიათებლებს: მის პოზიციას და დისპერსიის ხარისხს. მათემატიკური მოლოდინი ხშირად უბრალოდ საშუალოდ მოიხსენიება. შემთხვევითი ცვლადი. შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია - დისპერსიის, შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის მახასიათებელი. მისი მათემატიკური მოლოდინის გარშემო.

პრაქტიკის ბევრ პრობლემაში, შემთხვევითი ცვლადის სრული, ამომწურავი აღწერა - განაწილების კანონი - ან ვერ მიიღება, ან საერთოდ არ არის საჭირო. ამ შემთხვევებში, ისინი შემოიფარგლება შემთხვევითი ცვლადის სავარაუდო აღწერით რიცხვითი მახასიათებლების გამოყენებით.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი

მოდი მივედით მათემატიკური მოლოდინის ცნებამდე. მოდით, რაღაც ნივთიერების მასა გადანაწილდეს x-ღერძის წერტილებს შორის x1 , x 2 , ..., xნ. უფრო მეტიც, თითოეულ მატერიალურ წერტილს აქვს მას შესაბამისი ალბათობით გვ1 , გვ 2 , ..., გვნ. საჭიროა x ღერძზე ერთი წერტილის არჩევა, რომელიც ახასიათებს მატერიალური წერტილების მთელი სისტემის პოზიციას მათი მასების გათვალისწინებით. ბუნებრივია მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრი ასეთ წერტილად ავიღოთ. ეს არის შემთხვევითი ცვლადის შეწონილი საშუალო X, რომელშიც თითოეული წერტილის აბსციზა xმეშემოდის შესაბამისი ალბათობის ტოლი „წონით“. ამგვარად მიღებული შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა Xმის მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნამრავლების ჯამი და ამ მნიშვნელობების ალბათობა:

მაგალითი 1მოეწყო მომგებიანი ლატარია. არის 1000 მოგება, აქედან 400 თითო 10 რუბლია. თითოეული 300-20 რუბლი თითო 200-100 რუბლი. და თითოეული 100-200 რუბლი. რა არის საშუალო მოგება იმისთვის, ვინც ყიდულობს ერთ ბილეთს?

გადაწყვეტილება. საშუალო მოგებას ვიპოვით, თუ მოგების ჯამური რაოდენობა, რომელიც უდრის 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 რუბლს, გაიყოფა 1000-ზე (მოგების საერთო რაოდენობა). შემდეგ მივიღებთ 50000/1000 = 50 რუბლს. მაგრამ საშუალო მოგების გამოთვლის გამოხატულება ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი ფორმით:

მეორეს მხრივ, ამ პირობებში, მოგების ოდენობა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 10, 20, 100 და 200 რუბლი. 0,4-ის ტოლი ალბათობით; 0.3; 0.2; 0.1. მაშასადამე, მოსალოდნელი საშუალო ანაზღაურება უდრის ანაზღაურების ზომის პროდუქტების ჯამს და მათი მიღების ალბათობას.

მაგალითი 2გამომცემლობამ ახალი წიგნის გამოცემა გადაწყვიტა. წიგნის გაყიდვას 280 მანეთად აპირებს, საიდანაც 200 მას გადაეცემა, 50 წიგნის მაღაზიას, 30 კი ავტორს. ცხრილში მოცემულია ინფორმაცია წიგნის გამოცემის ღირებულებისა და წიგნის გარკვეული რაოდენობის ასლების გაყიდვის ალბათობის შესახებ.

იპოვეთ გამომცემლის მოსალოდნელი მოგება.

გადაწყვეტილება. შემთხვევითი ცვლადი „მოგება“ უდრის სხვაობას გაყიდვიდან შემოსავალსა და დანახარჯების ღირებულებას შორის. მაგალითად, თუ წიგნის 500 ეგზემპლარი გაიყიდება, მაშინ გაყიდვიდან შემოსავალი არის 200 * 500 = 100 000, ხოლო გამოცემის ღირებულება 225 000 რუბლს შეადგენს. ამრიგად, გამომცემელს 125000 რუბლის ზარალი ემუქრება. შემდეგი ცხრილი აჯამებს შემთხვევითი ცვლადის - მოგების მოსალოდნელ მნიშვნელობებს:

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ გამომცემლის მოგების მათემატიკურ მოლოდინს:

.

მაგალითი 3ერთი გასროლით დარტყმის შანსი გვ= 0.2. განსაზღვრეთ ჭურვების მოხმარება, რომლებიც უზრუნველყოფენ 5-ის ტოლი დარტყმების რაოდენობის მათემატიკურ მოლოდინს.

გადაწყვეტილება. იგივე მოლოდინის ფორმულიდან, რომელსაც აქამდე ვიყენებდით, გამოვხატავთ x- ჭურვების მოხმარება:

.

მაგალითი 4დაადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი xდარტყმების რაოდენობა სამი გასროლით, თუ ყოველი გასროლით დარტყმის ალბათობაა გვ = 0,4 .

მინიშნება: იპოვნეთ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ალბათობა ბერნულის ფორმულა .

მოლოდინის თვისებები

განვიხილოთ მათემატიკური მოლოდინის თვისებები.

საკუთრება 1.მუდმივი მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ამ მუდმივას:

საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მოლოდინის ნიშნიდან:

საკუთრება 3.შემთხვევითი ცვლადების ჯამის (განსხვავების) მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს (განსხვავებას):

საკუთრება 4.შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს:

საკუთრება 5.თუ შემთხვევითი ცვლადის ყველა მნიშვნელობა Xკლება (გადიდება) იგივე რაოდენობით FROM, მაშინ მისი მათემატიკური მოლოდინი შემცირდება (გაიზრდება) იგივე რაოდენობით:

როცა მხოლოდ მათემატიკური მოლოდინით ვერ შემოიფარგლები

უმეტეს შემთხვევაში, მხოლოდ მათემატიკური მოლოდინი არ შეუძლია ადეკვატურად დაახასიათოს შემთხვევითი ცვლადი.

დაუშვით შემთხვევითი ცვლადები Xდა იმოცემულია შემდეგი განაწილების კანონებით:

ამ რაოდენობების მათემატიკური მოლოდინი იგივეა - ნულის ტოლია:

თუმცა, მათი განაწილება განსხვავებულია. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xშეუძლია მიიღოს მხოლოდ მნიშვნელობები, რომლებიც ოდნავ განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისა და შემთხვევითი ცვლადისგან იშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები, რომლებიც მნიშვნელოვნად განსხვავდება მათემატიკური მოლოდინისგან. მსგავსი მაგალითი: საშუალო ხელფასი არ იძლევა საშუალებას ვიმსჯელოთ მაღალა და დაბალანაზღაურებადი მუშაკების პროპორციის შესახებ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათემატიკური მოლოდინით არ შეიძლება ვიმსჯელოთ მისგან, საშუალოდ მაინც, რა გადახრებია შესაძლებელი. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია

დისპერსიასდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xმათემატიკური მოლოდინისგან მისი გადახრის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება:

შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა Xარის მისი ვარიაციის კვადრატული ფესვის არითმეტიკული მნიშვნელობა:

.

მაგალითი 5გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადების ვარიაციები და სტანდარტული გადახრები Xდა ი, რომლის განაწილების კანონები მოცემულია ზემოთ მოცემულ ცხრილებში.

გადაწყვეტილება. შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინი Xდა იროგორც ზემოთ ვნახეთ, ნულის ტოლია. დისპერსიული ფორმულის მიხედვით ე(X)=ე(წ)=0 ვიღებთ:

შემდეგ შემთხვევითი ცვლადების სტანდარტული გადახრები Xდა იშეადგენენ

.

ამრიგად, იგივე მათემატიკური მოლოდინებით, შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია Xძალიან პატარა და შემთხვევითი ი- მნიშვნელოვანი. ეს არის მათი განაწილების სხვაობის შედეგი.

მაგალითი 6ინვესტორს აქვს 4 ალტერნატიული საინვესტიციო პროექტი. ცხრილი აჯამებს მონაცემებს ამ პროექტებში მოსალოდნელი მოგების შესახებ შესაბამისი ალბათობით.

იპოვეთ თითოეული ალტერნატივის მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და სტანდარტული გადახრა.

გადაწყვეტილება. მოდით ვაჩვენოთ, თუ როგორ გამოითვლება ეს რაოდენობები მე-3 ალტერნატივისთვის:

ცხრილი აჯამებს ნაპოვნი მნიშვნელობებს ყველა ალტერნატივისთვის.

ყველა ალტერნატივას აქვს ერთი და იგივე მათემატიკური მოლოდინი. ეს ნიშნავს, რომ გრძელვადიან პერსპექტივაში ყველას ერთნაირი შემოსავალი აქვს. სტანდარტული გადახრა შეიძლება განიმარტოს, როგორც რისკის საზომი - რაც უფრო დიდია ის, მით მეტია ინვესტიციის რისკი. ინვესტორი, რომელსაც არ სურს დიდი რისკი, აირჩევს პროექტს 1, რადგან მას აქვს ყველაზე მცირე სტანდარტული გადახრა (0). თუ ინვესტორი უპირატესობას ანიჭებს რისკს და მაღალ შემოსავალს მოკლე პერიოდში, მაშინ ის აირჩევს პროექტს ყველაზე დიდი სტანდარტული გადახრით - პროექტი 4.

დისპერსიული თვისებები

წარმოგიდგენთ დისპერსიის თვისებებს.

საკუთრება 1.მუდმივი მნიშვნელობის დისპერსია ნულია:

საკუთრება 2.მუდმივი ფაქტორის ამოღება შესაძლებელია დისპერსიის ნიშნიდან მისი კვადრატში:

.

საკუთრება 3.შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია ტოლია ამ მნიშვნელობის კვადრატის მათემატიკური მოლოდინისა, რომელსაც აკლდება თავად მნიშვნელობის მათემატიკური მოლოდინის კვადრატი:

,

სადაც .

საკუთრება 4.შემთხვევითი ცვლადების ჯამის (განსხვავების) ვარიაცია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს (განსხვავებას):

მაგალითი 7ცნობილია, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას: −3 და 7. გარდა ამისა, ცნობილია მათემატიკური მოლოდინი: ე(X) = 4. იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია.

გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ მიერ გვალბათობა, რომლითაც შემთხვევითი ცვლადი იღებს მნიშვნელობას x1 = −3 . მაშინ მნიშვნელობის ალბათობა x2 = 7 იქნება 1 − გვ. მოდით გამოვიტანოთ განტოლება მათემატიკური მოლოდინისთვის:

ე(X) = x 1 გვ + x 2 (1 − გვ) = −3გვ + 7(1 − გვ) = 4 ,

სადაც ვიღებთ ალბათობას: გვ= 0.3 და 1 - გვ = 0,7 .

შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიას ფორმულის გამოყენებით დისპერსიის 3 თვისებიდან:

დ(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

იპოვნეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და შემდეგ ნახეთ გამოსავალი

მაგალითი 8დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი Xიღებს მხოლოდ ორ მნიშვნელობას. ის იღებს 3-ს უფრო დიდ მნიშვნელობას 0,4 ალბათობით. გარდა ამისა, ცნობილია შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიაც დ(X) = 6. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

მაგალითი 9ურნა შეიცავს 6 თეთრ და 4 შავ ბურთულას. ურნადან იღებენ 3 ბურთულას. დახატულ ბურთებს შორის თეთრი ბურთების რაოდენობა არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X. იპოვეთ ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია.

გადაწყვეტილება. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xშეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0, 1, 2, 3. შესაბამისი ალბათობები შეიძლება გამოითვალოს ალბათობათა გამრავლების წესი. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

აქედან გამომდინარეობს ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი:

მ(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

მოცემული შემთხვევითი ცვლადის ვარიაციაა:

დ(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის, მათემატიკური მოლოდინის მექანიკური ინტერპრეტაცია ინარჩუნებს იგივე მნიშვნელობას: მასის ცენტრი ერთეული მასისთვის, რომელიც განაწილებულია მუდმივად x ღერძზე სიმკვრივით. ვ(x). დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისგან განსხვავებით, რომლისთვისაც ფუნქციის არგუმენტი xმემკვეთრად იცვლება, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის არგუმენტი მუდმივად იცვლება. მაგრამ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი ასევე დაკავშირებულია მის საშუალო მნიშვნელობასთან.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის საპოვნელად, თქვენ უნდა იპოვოთ განსაზღვრული ინტეგრალები. . თუ მოცემულია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის სიმკვრივის ფუნქცია, მაშინ ის პირდაპირ შედის ინტეგრანდში. თუ მოცემულია ალბათობის განაწილების ფუნქცია, მაშინ მისი დიფერენცირებით, თქვენ უნდა იპოვოთ სიმკვრივის ფუნქცია.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის არითმეტიკული საშუალო ეწოდება მას მათემატიკური მოლოდინი, აღინიშნება ან .

მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება

მათემატიკური მოლოდინი, განსაზღვრება, დისკრეტული და უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინი, შერჩევითი, პირობითი მოლოდინი, გამოთვლა, თვისებები, ამოცანები, მოლოდინის შეფასება, ვარიაცია, განაწილების ფუნქცია, ფორმულები, გამოთვლის მაგალითები

გააფართოვეთ შინაარსი

კონტენტის ჩაკეცვა

მათემატიკური მოლოდინი არის განმარტება

მათემატიკური სტატისტიკისა და ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი კონცეფცია, რომელიც ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ან ალბათობების განაწილებას. ჩვეულებრივ გამოიხატება შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო პარამეტრის შეწონილი საშუალოდ. იგი ფართოდ გამოიყენება ტექნიკურ ანალიზში, რიცხვთა სერიების შესწავლაში, უწყვეტი და გრძელვადიანი პროცესების შესწავლაში. ის მნიშვნელოვანია რისკების შეფასებისას, ფასების ინდიკატორების პროგნოზირება ფინანსურ ბაზრებზე ვაჭრობისას და გამოიყენება აზარტული თამაშების თეორიაში თამაშის ტაქტიკის სტრატეგიებისა და მეთოდების შემუშავებაში.

მათემატიკური მოლოდინი არისშემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა, შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება განიხილება ალბათობის თეორიაში.

მათემატიკური მოლოდინი არისშემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობის საზომი ალბათობის თეორიაში. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი xაღინიშნა M(x).

მათემატიკური მოლოდინი არის

მათემატიკური მოლოდინი არისალბათობის თეორიაში, ყველა შესაძლო მნიშვნელობის შეწონილი საშუალო, რაც ამ შემთხვევით ცვლადს შეუძლია მიიღოს.

მათემატიკური მოლოდინი არისშემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის ნამრავლების ჯამი ამ მნიშვნელობების ალბათობით.

მათემატიკური მოლოდინი არისსაშუალო სარგებელი კონკრეტული გადაწყვეტილებისგან, იმ პირობით, რომ ასეთი გადაწყვეტილება შეიძლება განიხილებოდეს დიდი რიცხვების და შორ მანძილზე თეორიის ფარგლებში.

მათემატიკური მოლოდინი არისაზარტული თამაშების თეორიაში, მოგების ოდენობა, რომელიც მოთამაშეს შეუძლია მიიღოს ან წააგოს, საშუალოდ, თითოეულ ფსონზე. აზარტული მოთამაშეების ენაზე ამას ზოგჯერ უწოდებენ "მოთამაშის ზღვარს" (თუ დადებითია მოთამაშისთვის) ან "სახლის ზღვარს" (თუ უარყოფითია მოთამაშისთვის).

მათემატიკური მოლოდინი არისმოგების პროცენტი გამრავლებული საშუალო მოგებაზე გამოკლებული ზარალის ალბათობა გამრავლებული საშუალო ზარალზე.

შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი მათემატიკურ თეორიაში

შემთხვევითი ცვლადის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი რიცხვითი მახასიათებელია მათემატიკური მოლოდინი. შემოვიღოთ შემთხვევითი ცვლადების სისტემის კონცეფცია. განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადების ნაკრები, რომელიც არის იგივე შემთხვევითი ექსპერიმენტის შედეგი. თუ ეს არის სისტემის ერთ-ერთი შესაძლო მნიშვნელობა, მაშინ მოვლენა შეესაბამება გარკვეულ ალბათობას, რომელიც აკმაყოფილებს კოლმოგოროვის აქსიომებს. შემთხვევითი ცვლადების ნებისმიერი შესაძლო მნიშვნელობისთვის განსაზღვრულ ფუნქციას ეწოდება ერთობლივი განაწილების კანონი. ეს ფუნქცია საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ნებისმიერი მოვლენის ალბათობა. კერძოდ, შემთხვევითი ცვლადების განაწილების ერთობლივი კანონი და, რომლებიც იღებენ მნიშვნელობებს სიმრავლიდან და, მოცემულია ალბათობებით.

ტერმინი „მოლოდინი“ შემოიღო პიერ სიმონ მარკიზ დე ლაპლასმა (1795) და წარმოიშვა „ანაზღაურების მოსალოდნელი ღირებულების“ კონცეფციიდან, რომელიც პირველად გამოჩნდა მე-17 საუკუნეში აზარტული თამაშების თეორიაში ბლეზ პასკალისა და კრისტიან ჰიუგენსის ნაშრომებში. . თუმცა, ამ კონცეფციის პირველი სრული თეორიული გაგება და შეფასება მისცა პაფნუტი ლვოვიჩ ჩებიშევმა (მე-19 საუკუნის შუა ხანები).

შემთხვევითი რიცხვითი ცვლადების განაწილების კანონი (განაწილების ფუნქცია და განაწილების სერია ან ალბათობის სიმკვრივე) სრულად აღწერს შემთხვევითი ცვლადის ქცევას. მაგრამ რიგ პრობლემებში საკმარისია ვიცოდეთ შესასწავლი სიდიდის ზოგიერთი რიცხვითი მახასიათებელი (მაგალითად, მისი საშუალო მნიშვნელობა და მისგან შესაძლო გადახრა), რათა პასუხი გასცეს დასმულ კითხვას. შემთხვევითი ცვლადების ძირითადი რიცხვითი მახასიათებლებია მათემატიკური მოლოდინი, ვარიაცია, რეჟიმი და მედიანა.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის მისი შესაძლო მნიშვნელობებისა და მათი შესაბამისი ალბათობების ნამრავლების ჯამი. ზოგჯერ მათემატიკურ მოლოდინს უწოდებენ შეწონილ საშუალოს, რადგან ის დაახლოებით უდრის შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკულს ექსპერიმენტების დიდი რაოდენობით. მათემატიკური მოლოდინის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მისი მნიშვნელობა არ არის შემთხვევითი ცვლადის უმცირესი შესაძლო სიდიდეზე ნაკლები და არაუმეტეს უდიდესზე. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის არა შემთხვევითი (მუდმივი) ცვლადი.

მათემატიკურ მოლოდინს აქვს მარტივი ფიზიკური მნიშვნელობა: თუ ერთეული მასა მოთავსებულია სწორ ხაზზე, ათავსებს მასას ზოგიერთ წერტილში (დისკრეტული განაწილებისთვის) ან მას გარკვეული სიმკვრივით (აბსოლუტურად უწყვეტი განაწილებისთვის) „დასხამს“). მაშინ მათემატიკური მოლოდინის შესაბამისი წერტილი იქნება კოორდინატი „სიმძიმის ცენტრი“.

შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა არის გარკვეული რიცხვი, რომელიც, როგორც იქნა, მისი "წარმომადგენელია" და ცვლის მას უხეში სავარაუდო გამოთვლებით. როდესაც ჩვენ ვამბობთ: "ნათურის მუშაობის საშუალო დრო 100 საათია" ან "დარტყმის საშუალო წერტილი გადაადგილებულია სამიზნეზე 2 მ-ით მარჯვნივ", ჩვენ ამით მივუთითებთ შემთხვევითი ცვლადის გარკვეულ რიცხვობრივ მახასიათებელს, რომელიც აღწერს მას. მდებარეობა რიცხვით ღერძზე, ე.ი. პოზიციის აღწერა.

ალბათობის თეორიაში პოზიციის მახასიათებლებიდან ყველაზე მნიშვნელოვან როლს ასრულებს შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი, რომელსაც ზოგჯერ უბრალოდ შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობას უწოდებენ.

განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადი X, რომელსაც აქვს შესაძლო მნიშვნელობები x1, x2, ..., xnალბათობით p1, p2, ..., pn. რაღაც რიცხვით უნდა დავახასიათოთ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების პოზიცია x-ღერძზე, იმის გათვალისწინებით, რომ ამ მნიშვნელობებს აქვთ განსხვავებული ალბათობა. ამ მიზნით ბუნებრივია მნიშვნელობების ე.წ. „შეწონილი საშუალო“ გამოყენება xiდა თითოეული xi მნიშვნელობა საშუალოდ გაანგარიშებისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული ამ მნიშვნელობის ალბათობის პროპორციული „წონით“. ამრიგად, ჩვენ გამოვთვლით შემთხვევითი ცვლადის საშუალოს X, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ M|X|:

ამ შეწონილ საშუალოს ეწოდება შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი. ამრიგად, ჩვენ განვიხილეთ ალბათობის თეორიის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნება - მათემატიკური მოლოდინის ცნება. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობის პროდუქტის ჯამი და ამ მნიშვნელობების ალბათობა.

დაე, წარმოიქმნას ნდამოუკიდებელი ექსპერიმენტები, რომელთაგან თითოეულში მნიშვნელობა Xიღებს გარკვეულ მნიშვნელობას. დავუშვათ ღირებულება x1გამოჩნდა m1ჯერ, ღირებულება x2გამოჩნდა მ2ჯერ, ზოგადი მნიშვნელობა xiჯერ კიდევ გამოჩნდა. მოდით გამოვთვალოთ X-ის დაკვირვებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული, რომელიც მათემატიკური მოლოდინისგან განსხვავებით M|X|ჩვენ აღვნიშნავთ M*|X|:

ექსპერიმენტების რაოდენობის მატებასთან ერთად ნსიხშირეები პიმიუახლოვდება (ალბათობით გადაიყრება) შესაბამის ალბათობებს. ამიტომ, შემთხვევითი ცვლადის დაკვირვებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკული M|X|ექსპერიმენტების რაოდენობის მატებასთან ერთად, ის მიუახლოვდება (ალბათობით გადაიხრება) მის მათემატიკურ მოლოდინს. კავშირი არითმეტიკულ საშუალოსა და ზემოთ ჩამოყალიბებულ მათემატიკურ მოლოდინს შორის წარმოადგენს დიდი რიცხვების კანონის ერთ-ერთი ფორმის შინაარსს.

ჩვენ უკვე ვიცით, რომ დიდი რიცხვების კანონის ყველა ფორმა მიუთითებს იმ ფაქტზე, რომ გარკვეული საშუალო მაჩვენებლები სტაბილურია ექსპერიმენტების დიდი რაოდენობით. აქ საუბარია არითმეტიკული საშუალოს სტაბილურობაზე ერთი და იგივე მნიშვნელობის დაკვირვებების სერიიდან. ექსპერიმენტების მცირე რაოდენობით, მათი შედეგების საშუალო არითმეტიკული არის შემთხვევითი; ექსპერიმენტების რაოდენობის საკმარისად გაზრდით, ის ხდება "თითქმის არა შემთხვევითი" და, სტაბილიზირებული, უახლოვდება მუდმივ მნიშვნელობას - მათემატიკურ მოლოდინს.

საშუალო სტაბილურობის თვისება დიდი რაოდენობით ექსპერიმენტებისთვის ადვილია ექსპერიმენტულად გადამოწმებული. მაგალითად, ლაბორატორიაში ნებისმიერი სხეულის აწონვა ზუსტ სასწორზე, აწონვის შედეგად ყოველ ჯერზე ვიღებთ ახალ მნიშვნელობას; დაკვირვების ცდომილების შესამცირებლად სხეულს რამდენჯერმე ავწონით და მიღებული მნიშვნელობების საშუალო არითმეტიკულს ვიყენებთ. ადვილი მისახვედრია, რომ ექსპერიმენტების (აწონის) რაოდენობის შემდგომი მატებასთან ერთად, საშუალო არითმეტიკული რეაქცია უფრო და უფრო ნაკლებად რეაგირებს ამ ზრდაზე და საკმარისად დიდი რაოდენობით ექსპერიმენტებით იგი პრაქტიკულად წყვეტს ცვლილებას.

უნდა აღინიშნოს, რომ შემთხვევითი ცვლადის პოზიციის ყველაზე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი - მათემატიკური მოლოდინი - არ არსებობს ყველა შემთხვევითი ცვლადისთვის. შესაძლებელია ისეთი შემთხვევითი ცვლადების მაგალითების გაკეთება, რომლებისთვისაც მათემატიკური მოლოდინი არ არსებობს, ვინაიდან შესაბამისი ჯამი ან ინტეგრალი განსხვავდება. თუმცა, პრაქტიკისთვის, ასეთი შემთხვევები არ არის მნიშვნელოვანი. ჩვეულებრივ, შემთხვევით ცვლადებს, რომლებთანაც გვაქვს საქმე, აქვთ შესაძლო მნიშვნელობების შეზღუდული დიაპაზონი და, რა თქმა უნდა, აქვთ მოლოდინი.

გარდა შემთხვევითი ცვლადის პოზიციის მახასიათებლებიდან ყველაზე მნიშვნელოვანი - მათემატიკური მოლოდინისა, პრაქტიკაში ზოგჯერ გამოიყენება პოზიციის სხვა მახასიათებლები, კერძოდ, შემთხვევითი ცვლადის რეჟიმი და მედიანა.

შემთხვევითი ცვლადის რეჟიმი მისი ყველაზე სავარაუდო მნიშვნელობაა. ტერმინი "სავარაუდო ღირებულება", მკაცრად რომ ვთქვათ, ეხება მხოლოდ წყვეტილ რაოდენობებს; უწყვეტი სიდიდისთვის რეჟიმი არის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ალბათობის სიმკვრივე მაქსიმალურია. ფიგურებში ნაჩვენებია წყვეტილი და უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების რეჟიმი, შესაბამისად.

თუ განაწილების მრავალკუთხედს (განაწილების მრუდი) აქვს ერთზე მეტი მაქსიმუმი, განაწილება ითვლება "პოლიმოდალური".

ზოგჯერ არის განაწილებები, რომლებსაც შუაში აქვთ არა მაქსიმუმი, არამედ მინიმალური. ასეთ განაწილებებს უწოდებენ "ანტიმოდალურ".

ზოგად შემთხვევაში, რეჟიმი და შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი არ ემთხვევა ერთმანეთს. კონკრეტულ შემთხვევაში, როდესაც განაწილება არის სიმეტრიული და მოდალური (ანუ აქვს რეჟიმი) და არსებობს მათემატიკური მოლოდინი, მაშინ იგი ემთხვევა განაწილების რეჟიმს და სიმეტრიის ცენტრს.

ხშირად გამოიყენება პოზიციის კიდევ ერთი მახასიათებელი - შემთხვევითი ცვლადის მედიანური ე.წ. ეს მახასიათებელი ჩვეულებრივ გამოიყენება მხოლოდ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის, თუმცა ის შეიძლება ოფიციალურად განისაზღვროს უწყვეტი ცვლადისთვისაც. გეომეტრიულად, მედიანა არის იმ წერტილის აბსცისა, რომელზედაც განაწილების მრუდით შემოსაზღვრული ფართობი ორად არის გაყოფილი.

სიმეტრიული მოდალური განაწილების შემთხვევაში მედიანა ემთხვევა საშუალოს და მოდს.

მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა - შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების რიცხვითი მახასიათებელი. ყველაზე ზოგადი გზით, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი X(w)განისაზღვრება, როგორც ლებეგის ინტეგრალი ალბათობის ზომით რთავდაპირველი ალბათობის სივრცეში:

მათემატიკური მოლოდინი ასევე შეიძლება გამოითვალოს ლებეგის ინტეგრალით Xალბათობის განაწილებით pxრაოდენობები X:

ბუნებრივი გზით, შეიძლება განვსაზღვროთ შემთხვევითი ცვლადის კონცეფცია უსასრულო მათემატიკური მოლოდინით. ტიპიური მაგალითია დაბრუნების დრო ზოგიერთ შემთხვევით გასეირნებაში.

მათემატიკური მოლოდინის დახმარებით განისაზღვრება განაწილების მრავალი რიცხვითი და ფუნქციური მახასიათებელი (როგორც შემთხვევითი ცვლადის შესაბამისი ფუნქციების მათემატიკური მოლოდინი), მაგალითად, გენერირების ფუნქცია, დამახასიათებელი ფუნქცია, ნებისმიერი რიგის მომენტები, კერძოდ, დისპერსია. , კოვარიანსი.

მათემატიკური მოლოდინი არის შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების ადგილმდებარეობის მახასიათებელი (მისი განაწილების საშუალო მნიშვნელობა). ამ შესაძლებლობებში, მათემატიკური მოლოდინი ემსახურება როგორც "ტიპიურ" განაწილების პარამეტრს და მისი როლი მსგავსია სტატიკური მომენტის როლის - მასის განაწილების სიმძიმის ცენტრის კოორდინატის - მექანიკაში. სხვა მდებარეობის მახასიათებლებისგან, რომელთა დახმარებითაც განაწილება აღიწერება ზოგადი ტერმინებით - მედიანები, რეჟიმები, მათემატიკური მოლოდინი განსხვავდება იმ დიდი მნიშვნელობით, რაც მას და შესაბამის გაფანტვის მახასიათებელს - დისპერსიას - აქვთ ალბათობის თეორიის ზღვრულ თეორემებში. მათემატიკური მოლოდინის მნიშვნელობას უდიდესი სისრულით ავლენს დიდი რიცხვების კანონი (ჩებიშევის უტოლობა) და დიდი რიცხვების გაძლიერებული კანონი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი

დაე, იყოს რაიმე შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს რამდენიმე რიცხვითი მნიშვნელობიდან ერთ-ერთი (მაგალითად, ქულების რაოდენობა რგოლში შეიძლება იყოს 1, 2, 3, 4, 5 ან 6). ხშირად პრაქტიკაში, ასეთი ღირებულებისთვის, ჩნდება კითხვა: რა მნიშვნელობა აქვს მას "საშუალოდ" ტესტების დიდი რაოდენობით? რა იქნება ჩვენი საშუალო შემოსავალი (ან ზარალი) თითოეული სარისკო ოპერაციიდან?

ვთქვათ, არსებობს რაიმე სახის ლატარია. ჩვენ გვინდა გავიგოთ მომგებიანია თუ არა მასში მონაწილეობა (ან თუნდაც არაერთხელ, რეგულარულად). ვთქვათ, ყოველი მეოთხე ბილეთი იგებს, პრიზი იქნება 300 მანეთი, ხოლო ნებისმიერი ბილეთის ფასი იქნება 100 რუბლი. უსასრულო რაოდენობის მონაწილეობით, ეს არის ის, რაც ხდება. შემთხვევების სამ მეოთხედში ჩვენ დავკარგავთ, ყოველი სამი ზარალი ეღირება 300 მანეთი. ყოველ მეოთხე შემთხვევაში ჩვენ მოვიგებთ 200 რუბლს. (პრიზი მინუს ღირებულება), ანუ ოთხი მონაწილეობისთვის ჩვენ ვკარგავთ საშუალოდ 100 რუბლს, ერთისთვის - საშუალოდ 25 რუბლს. საერთო ჯამში, ჩვენი დანგრევის საშუალო მაჩვენებელი იქნება 25 რუბლი თითო ბილეთზე.

კამათელს ვყრით. თუ ეს არ არის მოტყუება (სიმძიმის ცენტრის გადაადგილების გარეშე და ა.შ.), მაშინ საშუალოდ რამდენი ქულა გვექნება ერთდროულად? ვინაიდან თითოეული ვარიანტი თანაბრად სავარაუდოა, ჩვენ ვიღებთ სულელური არითმეტიკული საშუალოს და ვიღებთ 3.5. ვინაიდან ეს არის საშუალო, არ არის საჭირო აღშფოთება, რომ არც ერთი კონკრეტული სროლა არ მისცემს 3,5 ქულას - კარგი, ამ კუბს არ აქვს სახე ასეთი რიცხვით!

ახლა შევაჯამოთ ჩვენი მაგალითები:

მოდით შევხედოთ სურათს ზემოთ. მარცხნივ არის შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ცხრილი. X-ის მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს n შესაძლო მნიშვნელობიდან ერთ-ერთი (მოცემულია ზედა რიგში). სხვა ღირებულებები არ შეიძლება იყოს. თითოეული შესაძლო მნიშვნელობის ქვეშ, მისი ალბათობა ხელმოწერილია ქვემოთ. მარჯვნივ არის ფორმულა, სადაც M(X) მათემატიკური მოლოდინი ეწოდება. ამ მნიშვნელობის მნიშვნელობა არის ის, რომ ცდების დიდი რაოდენობით (დიდი ნიმუშით), საშუალო მნიშვნელობა სწორედ ამ მათემატიკური მოლოდინისკენ იქნება მიმართული.

დავუბრუნდეთ იმავე სათამაშო კუბს. სროლაში ქულების რაოდენობის მათემატიკური მოლოდინი არის 3,5 (გამოთვალეთ ფორმულის გამოყენებით, თუ არ გჯერათ). ვთქვათ, რამდენჯერმე ესროლე. ამოვარდა 4 და 6. საშუალოდ 5 გამოვიდა, ანუ შორს 3,5-დან. ისევ დააგდეს, 3 ამოვარდა, ანუ საშუალოდ (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... რაღაცნაირად შორს მათემატიკური მოლოდინისგან. ახლა ჩაატარეთ გიჟური ექსპერიმენტი - გააბრტყელეთ კუბი 1000-ჯერ! და თუ საშუალო არ არის ზუსტად 3.5, მაშინ ის ახლოს იქნება.

მოდით გამოვთვალოთ მათემატიკური მოლოდინი ზემოთ აღწერილი ლატარიისთვის. ცხრილი ასე გამოიყურება:

მაშინ მათემატიკური მოლოდინი იქნება, როგორც ზემოთ დავადგინეთ.:

სხვა საქმეა, რომ ისიც „თითებზეა“, ფორმულის გარეშე, მეტი ვარიანტი რომ ყოფილიყო, რთული იქნებოდა. ვთქვათ, იყო 75% წაგებული ბილეთები, 20% მოგებული ბილეთები და 5% მომგებიანი ბილეთები.

ახლა მათემატიკური მოლოდინის ზოგიერთი თვისება.

ამის დამტკიცება ადვილია:

მუდმივი მულტიპლიკატორი შეიძლება ამოღებულ იქნეს მოლოდინის ნიშნიდან, ანუ:

ეს არის მათემატიკური მოლოდინის წრფივი თვისების განსაკუთრებული შემთხვევა.

მათემატიკური მოლოდინის წრფივობის კიდევ ერთი შედეგი:

ანუ შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის შემთხვევითი ცვლადების მათემატიკური მოლოდინების ჯამს.

მოდით X, Y იყოს დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები, შემდეგ:

ეს ასევე ადვილი დასამტკიცებელია) XYთავად არის შემთხვევითი ცვლადი, ხოლო თუ საწყისი მნიშვნელობები შეიძლება მიიღოს ნდა მღირებულებები, შესაბამისად, მაშინ XYშეუძლია მიიღოს ნმ მნიშვნელობები. თითოეული მნიშვნელობის ალბათობა გამოითვლება იმის საფუძველზე, რომ დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობა მრავლდება. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ამას:

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი

უწყვეტ შემთხვევით ცვლადებს აქვთ ისეთი მახასიათებელი, როგორიცაა განაწილების სიმკვრივე (ალბათობის სიმკვრივე). ეს, ფაქტობრივად, ახასიათებს სიტუაციას, რომ შემთხვევითი ცვლადი უფრო ხშირად იღებს ზოგიერთ მნიშვნელობას რეალური რიცხვების სიმრავლიდან, ზოგი - ნაკლებად ხშირად. მაგალითად, განიხილეთ ეს სქემა:

Აქ X- რეალურად შემთხვევითი ცვლადი, f(x)- განაწილების სიმკვრივე. ამ გრაფიკით თუ ვიმსჯელებთ, ექსპერიმენტების დროს მნიშვნელობა Xხშირად იქნება ნულთან მიახლოებული რიცხვი. გადაჭარბების შანსები 3 ან იყოს ნაკლები -3 საკმაოდ წმინდა თეორიულად.

მოდით, მაგალითად, იყოს ერთიანი განაწილება:

ეს საკმაოდ შეესაბამება ინტუიციურ გაგებას. ვთქვათ, თუ მივიღებთ უამრავ შემთხვევით ნამდვილ რიცხვს ერთგვაროვანი განაწილებით, თითოეული სეგმენტი |0; 1| , მაშინ საშუალო არითმეტიკული უნდა იყოს დაახლოებით 0,5.

მათემატიკური მოლოდინის თვისებები - წრფივობა და ა.შ., რომელიც გამოიყენება დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადებზე, აქაც გამოიყენება.

მათემატიკური მოლოდინის კავშირი სხვა სტატისტიკურ მაჩვენებლებთან

სტატისტიკურ ანალიზში, მათემატიკური მოლოდინის პარალელურად, არსებობს ურთიერთდამოკიდებული ინდიკატორების სისტემა, რომელიც ასახავს ფენომენების ერთგვაროვნებას და პროცესების სტაბილურობას. ხშირად, ვარიაციის ინდიკატორებს არ აქვთ დამოუკიდებელი მნიშვნელობა და გამოიყენება შემდგომი მონაცემების ანალიზისთვის. გამონაკლისს წარმოადგენს ვარიაციის კოეფიციენტი, რომელიც ახასიათებს მონაცემთა ერთგვაროვნებას, რაც ღირებული სტატისტიკური მახასიათებელია.

სტატისტიკურ მეცნიერებაში პროცესების ცვალებადობის ან სტაბილურობის ხარისხი შეიძლება გაიზომოს რამდენიმე ინდიკატორის გამოყენებით.

შემთხვევითი ცვლადის ცვალებადობის დამახასიათებელი ყველაზე მნიშვნელოვანი მაჩვენებელია დისპერსია, რომელიც ყველაზე მჭიდროდ და პირდაპირ კავშირშია მათემატიკურ მოლოდინთან. ეს პარამეტრი აქტიურად გამოიყენება სხვა სახის სტატისტიკურ ანალიზში (ჰიპოთეზის ტესტირება, მიზეზ-შედეგობრივი კავშირის ანალიზი და ა.შ.). საშუალო წრფივი გადახრის მსგავსად, დისპერსიაც ასახავს იმას, თუ რამდენად ვრცელდება მონაცემები საშუალოზე.

სასარგებლოა ნიშნების ენის სიტყვების ენაზე თარგმნა. გამოდის, რომ განსხვავება არის გადახრების საშუალო კვადრატი. ანუ, ჯერ გამოითვლება საშუალო მნიშვნელობა, შემდეგ იღებენ განსხვავებას თითოეულ ორიგინალსა და საშუალო მნიშვნელობას შორის, კვადრატში, ემატება და შემდეგ იყოფა ამ პოპულაციაში მნიშვნელობების რაოდენობაზე. განსხვავება ინდივიდუალურ მნიშვნელობასა და საშუალოს შორის ასახავს გადახრის ზომას. ის კვადრატულია იმისთვის, რომ ყველა გადახრები იქცეს ექსკლუზიურად პოზიტიურ რიცხვებად და თავიდან აიცილოს დადებითი და უარყოფითი გადახრების ორმხრივი გაუქმება მათი შეჯამებისას. შემდეგ, კვადრატული გადახრების გათვალისწინებით, ჩვენ უბრალოდ გამოვთვალეთ საშუალო არითმეტიკული. საშუალო - კვადრატი - გადახრები. გადახრები კვადრატულია და საშუალოდ ითვლება. ჯადოსნური სიტყვა „დისპერსიის“ პასუხი მხოლოდ სამი სიტყვაა.

თუმცა, მისი სუფთა სახით, როგორიცაა, მაგალითად, საშუალო არითმეტიკული ან ინდექსი, დისპერსია არ გამოიყენება. ეს უფრო დამხმარე და შუალედური მაჩვენებელია, რომელიც გამოიყენება სხვა ტიპის სტატისტიკური ანალიზისთვის. მას არც კი აქვს ნორმალური საზომი ერთეული. ფორმულით ვიმსჯელებთ, ეს არის ორიგინალური მონაცემთა ერთეულის კვადრატი.

გავზომოთ შემთხვევითი ცვლადი ნჯერ, მაგალითად, ჩვენ ვზომავთ ქარის სიჩქარეს ათჯერ და გვინდა ვიპოვოთ საშუალო მნიშვნელობა. როგორ არის დაკავშირებული საშუალო მნიშვნელობა განაწილების ფუნქციასთან?

ან კამათელს ბევრჯერ დავყრით. ქულების რაოდენობა, რომელიც დაეცემა თხრილზე ყოველი სროლისას, არის შემთხვევითი ცვლადი და შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობა 1-დან 6-მდე. ნის მიდრეკილია ძალიან კონკრეტულ რიცხვზე - მათემატიკური მოლოდინისკენ Mx. ამ შემთხვევაში, Mx = 3.5.

როგორ გაჩნდა ეს ღირებულება? შეუშვით ნგანსაცდელები N1 1 ქულის დაკლების შემდეგ, N2ჯერ - 2 ქულა და ასე შემდეგ. შემდეგ შედეგების რაოდენობა, რომელშიც ერთი ქულა დაეცა:

ანალოგიურად იმ შედეგებისთვის, როდესაც 2, 3, 4, 5 და 6 ქულა დაეცა.

ახლა დავუშვათ, რომ ვიცით x შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი, ანუ ვიცით, რომ შემთხვევით ცვლადს x შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები x1, x2, ..., xk ალბათობით p1, p2, ... , პკ.

შემთხვევითი x ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი Mx არის:

მათემატიკური მოლოდინი ყოველთვის არ არის რაიმე შემთხვევითი ცვლადის გონივრული შეფასება. ასე რომ, საშუალო ხელფასის შესაფასებლად, უფრო მიზანშეწონილია გამოვიყენოთ მედიანის ცნება, ანუ ისეთი მნიშვნელობის, რომ იმ ადამიანთა რიცხვი, რომლებიც იღებენ საშუალო ხელფასზე ნაკლებს და მეტს, იგივე იყოს.

ალბათობა p1 იმისა, რომ x შემთხვევითი ცვლადი x1/2-ზე ნაკლებია და p2 ალბათობა იმისა, რომ x შემთხვევითი ცვლადი x1/2-ზე მეტია, იგივეა და უდრის 1/2-ს. მედიანა ცალსახად არ არის განსაზღვრული ყველა განაწილებისთვის.

სტანდარტული ან სტანდარტული გადახრასტატისტიკაში დაკვირვების მონაცემების ან კომპლექტების გადახრის ხარისხს AVERAGE მნიშვნელობიდან ეწოდება. აღინიშნება ასოებით s ან s. მცირე სტანდარტული გადახრა მიუთითებს, რომ მონაცემები დაჯგუფებულია საშუალოზე, ხოლო დიდი სტანდარტული გადახრა მიუთითებს იმაზე, რომ საწყისი მონაცემები მისგან შორს არის. სტანდარტული გადახრა უდრის იმ სიდიდის კვადრატულ ფესვს, რომელსაც დისპერსიას უწოდებენ. ეს არის საშუალოდან გადახრილი საწყისი მონაცემების კვადრატული სხვაობების ჯამის საშუალო. შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა არის ვარიაციის კვადრატული ფესვი:

მაგალითი. ტესტის პირობებში სამიზნეზე სროლისას გამოთვალეთ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიული და სტანდარტული გადახრა:

Ვარიაცია- მერყეობა, ატრიბუტის მნიშვნელობის ცვალებადობა პოპულაციის ერთეულებში. მახასიათებლის ცალკეული რიცხვითი მნიშვნელობები, რომლებიც გვხვდება შესწავლილ პოპულაციაში, ეწოდება მნიშვნელობების ვარიანტებს. საშუალო მნიშვნელობის არასაკმარისი რაოდენობა მოსახლეობის სრული დახასიათებისთვის საჭიროებს საშუალო მნიშვნელობების შევსებას ინდიკატორებით, რაც შესაძლებელს გახდის შეაფასოს ამ საშუალოების ტიპიურობა შესასწავლი თვისების რყევების (ვარიაციის) გაზომვით. ცვალებადობის კოეფიციენტი გამოითვლება ფორმულით:

დიაპაზონის ვარიაცია(R) არის განსხვავება შესწავლილ პოპულაციაში მახასიათებლის მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს შორის. ეს მაჩვენებელი იძლევა ყველაზე ზოგად წარმოდგენას შესასწავლი თვისების რყევის შესახებ, რადგან ის აჩვენებს განსხვავებას მხოლოდ ვარიანტების უკიდურეს მნიშვნელობებს შორის. ატრიბუტის უკიდურეს მნიშვნელობებზე დამოკიდებულება იძლევა ვარიაციის დიაპაზონს არასტაბილურ, შემთხვევით ხასიათს.

საშუალო წრფივი გადახრაარის გაანალიზებული პოპულაციის ყველა მნიშვნელობის აბსოლუტური (მოდული) გადახრების არითმეტიკული საშუალო საშუალო მნიშვნელობიდან:

მათემატიკური მოლოდინი აზარტული თამაშების თეორიაში

მათემატიკური მოლოდინი არისსაშუალო თანხა, რომელსაც მოთამაშეს შეუძლია მოიგოს ან წააგოს მოცემულ ფსონზე. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი კონცეფცია მოთამაშისთვის, რადგან ის ფუნდამენტურია თამაშის სიტუაციების უმეტესობის შეფასებისთვის. მათემატიკური მოლოდინი ასევე საუკეთესო საშუალებაა ბარათების ძირითადი განლაგებისა და თამაშის სიტუაციების გასაანალიზებლად.

ვთქვათ, თქვენ თამაშობთ მონეტას მეგობართან ერთად და ყოველ ჯერზე აკეთებთ 1$-ის თანაბარ ფსონს, რაც არ უნდა მოხდეს. კუდები - იმარჯვებთ, თავები - წააგებთ. შანსები, რომ კუდები ამოვიდეს არის ერთი ერთზე და თქვენ ფსონს დებთ $1-დან $1-მდე. ამრიგად, თქვენი მათემატიკური მოლოდინი ნულის ტოლია, რადგან მათემატიკურად რომ ვთქვათ, თქვენ არ იცით ორი გათამაშების შემდეგ ლიდერობთ თუ წააგებთ თუ 200-ის შემდეგ.

თქვენი საათობრივი მოგება ნულის ტოლია. საათობრივი გადახდა არის ფულის ოდენობა, რომლის მოგებას ელოდებით ერთ საათში. შეგიძლიათ მონეტა გადაატრიალოთ 500-ჯერ ერთი საათის განმავლობაში, მაგრამ არ მოიგებთ და არ წააგებთ იმიტომ თქვენი შანსები არც დადებითია და არც უარყოფითი. თუ გადავხედავთ, სერიოზული მოთამაშის თვალსაზრისით, ასეთი ფსონების სისტემა ცუდი არ არის. მაგრამ ეს უბრალოდ დროის კარგვაა.

მაგრამ დავუშვათ, რომ ვინმეს სურს ფსონის დადება $2 თქვენს $1-ზე იმავე თამაშში. მაშინ დაუყოვნებლივ გექნებათ დადებითი მოლოდინი 50 ცენტი თითოეული ფსონიდან. რატომ 50 ცენტი? საშუალოდ, თქვენ იგებთ ერთ ფსონს და კარგავთ მეორეს. დადეთ ფსონი პირველ დოლარზე და წააგეთ $1, დადეთ ფსონი მეორეზე და მოიგეთ $2. თქვენ ორჯერ დადეთ $1 და წინ ხართ $1-ით. ასე რომ, თითოეული თქვენი ერთი დოლარის ფსონი მოგცემთ 50 ცენტს.

თუ მონეტა ერთ საათში 500-ჯერ დაეცემა, თქვენი საათობრივი მოგება უკვე $250 იქნება, რადგან. საშუალოდ, თქვენ დაკარგეთ $1 250-ჯერ და მოიგეთ $2 250-ჯერ. $500 გამოკლებული $250 უდრის $250, რაც არის მთლიანი მოგება. გაითვალისწინეთ, რომ მოსალოდნელი ღირებულება, რომელიც არის თანხა, რომელსაც მოიგებთ საშუალოდ ერთ ფსონზე, არის 50 ცენტი. თქვენ მოიგეთ $250 დოლარზე 500-ჯერ დადებით, რაც უდრის თქვენი ფსონის 50 ცენტს.

მათემატიკური მოლოდინი არაფერ შუაშია მოკლევადიან შედეგებთან. თქვენს მოწინააღმდეგეს, რომელმაც გადაწყვიტა 2$-ის დადება თქვენს წინააღმდეგ, შეუძლია მოგაგოთ ზედიზედ პირველი ათი ჩაგდებისას, მაგრამ თქვენ, 2-1-1 ფსონის უპირატესობით, ყველა დანარჩენი თანაბარი, აკეთებთ 50 ცენტს ყოველ $1-ზე ნებისმიერი ფსონის მიხედვით. გარემოებები. არ აქვს მნიშვნელობა მოიგებთ თუ წააგებთ ერთ ფსონს თუ რამდენიმე ფსონს, მაგრამ მხოლოდ იმ პირობით, რომ გექნებათ საკმარისი ნაღდი ფული ხარჯების მარტივად ასანაზღაურებლად. თუ თქვენ განაგრძობთ ფსონებს იმავე გზით, მაშინ დიდი ხნის განმავლობაში თქვენი მოგება მიაღწევს მოსალოდნელი მნიშვნელობების ჯამს ცალკეულ რულონებში.

ყოველთვის, როცა უკეთეს ფსონს აკეთებთ (ფსონი, რომელიც შეიძლება იყოს მომგებიანი გრძელვადიან პერსპექტივაში), როდესაც შანსები თქვენს სასარგებლოდ არის, თქვენ აუცილებლად მოიგებთ მასზე, მიუხედავად იმისა, წააგებთ მას თუ არა მოცემულ ხელში. პირიქით, თუ თქვენ გააკეთეთ ფსონი უარესი შედეგით (ფსონი, რომელიც გრძელვადიან პერსპექტივაში წამგებიანია), როდესაც შანსები არ არის თქვენს სასარგებლოდ, თქვენ დაკარგავთ რაღაცას, მიუხედავად იმისა, მოიგეთ თუ წააგეთ ამ ხელში.

დადებთ ფსონს საუკეთესო შედეგით, თუ თქვენი მოლოდინი დადებითია და პოზიტიურია, თუ შანსები თქვენს სასარგებლოდ არის. ყველაზე ცუდი შედეგით ფსონის დადებისას თქვენ გაქვთ უარყოფითი მოლოდინი, რაც ხდება მაშინ, როდესაც შანსები თქვენს წინააღმდეგაა. სერიოზული მოთამაშეები ფსონს მხოლოდ საუკეთესო შედეგით დებენ, ყველაზე ცუდზე - იკეცებიან. რას ნიშნავს შანსები თქვენს სასარგებლოდ? შეიძლება საბოლოოდ მოიგოთ იმაზე მეტი, ვიდრე რეალური შანსები მოაქვს. კუდების დარტყმის რეალური შანსები არის 1-დან 1-მდე, მაგრამ თქვენ მიიღებთ 2-დან 1-ს ფსონების თანაფარდობის გამო. ამ შემთხვევაში, შანსები თქვენს სასარგებლოდ არის. თქვენ ნამდვილად მიიღებთ საუკეთესო შედეგს დადებითი მოლოდინით 50 ცენტი თითო ფსონზე.

აქ არის მათემატიკური მოლოდინის უფრო რთული მაგალითი. მეგობარი იწერს რიცხვებს ერთიდან ხუთამდე და დადებს 5$-ს თქვენს 1$-ზე, რომ თქვენ არ აირჩევთ ნომერს. ეთანხმებით ასეთ ფსონს? რა არის აქ მოლოდინი?

საშუალოდ, ოთხჯერ შეცდებით. აქედან გამომდინარე, თქვენი რიცხვის გამოცნობის შანსები იქნება 4-დან 1-მდე. შანსები არის, რომ თქვენ დაკარგავთ დოლარს ერთ მცდელობაში. თუმცა, თქვენ იგებთ 5-1-ს, 4-1-ის წაგების შესაძლებლობით. ამიტომ, შანსები თქვენს სასარგებლოდ არის, შეგიძლიათ მიიღოთ ფსონი და იმედი გქონდეთ საუკეთესო შედეგზე. თუ ამ ფსონს ხუთჯერ გააკეთებთ, საშუალოდ წააგებთ ოთხჯერ $1 და მოიგებთ $5 ერთხელ. ამის საფუძველზე, ხუთივე მცდელობისთვის თქვენ მიიღებთ 1 დოლარს დადებითი მათემატიკური მოლოდინით 20 ცენტი თითო ფსონზე.

მოთამაშე, რომელიც აპირებს მეტის მოგებას, ვიდრე დადებს, როგორც ზემოთ მოყვანილ მაგალითში, შანსებს იჭერს. პირიქით, ის შანსებს აფუჭებს, როცა ფსონზე ნაკლებ მოგებას ელის. ფსონის დამდებს შეიძლება ჰქონდეს დადებითი ან უარყოფითი მოლოდინი იმისდა მიხედვით, იჭერს თუ ანადგურებს შანსებს.

თუ დადებთ 50$-ს 10$-ის მოგებაზე 4-დან 1-ის მოგების შანსებით, თქვენ მიიღებთ 2$-ის უარყოფით მოლოდინს, რადგან საშუალოდ, თქვენ მოიგებთ ოთხჯერ $10 და წააგებთ $50 ერთხელ, რაც აჩვენებს, რომ წაგება თითო ფსონზე იქნება $10. მაგრამ თუ დადებთ $30-ს 10$-ის მოსაგებად, იგივე შანსებით, რომ მოიგოთ 4-დან 1-ზე, მაშინ ამ შემთხვევაში თქვენ გაქვთ დადებითი მოლოდინი $2-ს, რადგან თქვენ კვლავ მოიგებთ ოთხჯერ $10 და კარგავთ $30 ერთხელ, 10$ მოგებით. ეს მაგალითები აჩვენებს, რომ პირველი ფსონი ცუდია და მეორე კარგი.

მათემატიკური მოლოდინი არის ნებისმიერი თამაშის სიტუაციის ცენტრი. როდესაც ტოტალიზატორი მოუწოდებს ფეხბურთის გულშემატკივრებს დადონ 11 დოლარი 10 დოლარის მოსაგებად, მათ აქვთ დადებითი მოლოდინი 50 ცენტი ყოველ 10 დოლარზე. თუ კაზინო იხდის თუნდაც ფულს Craps pass ხაზიდან, მაშინ სახლის დადებითი მოლოდინი არის დაახლოებით $1,40 ყოველ $100-ზე; ეს თამაში ისეა სტრუქტურირებული, რომ ყველა, ვინც ამ ხაზზე დადებს ფსონებს, კარგავს საშუალოდ 50.7%-ს და მოიგებს დროის 49.3%-ს. ეჭვგარეშეა, სწორედ ეს ერთი შეხედვით მინიმალური დადებითი მოლოდინი მოაქვს დიდ მოგებას კაზინოს მფლობელებს მთელ მსოფლიოში. როგორც Vegas World კაზინოს მფლობელმა ბობ სტუპაკმა შენიშნა, "პროცენტიანი უარყოფითი ალბათობის მეათასედი საკმარისად დიდ მანძილზე გაკოტრებს მსოფლიოს უმდიდრეს ადამიანს."

მათემატიკური მოლოდინი პოკერის თამაშისას

პოკერის თამაში ყველაზე საილუსტრაციო და საილუსტრაციო მაგალითია მათემატიკური მოლოდინის თეორიისა და თვისებების გამოყენების თვალსაზრისით.

პოკერში მოსალოდნელი ღირებულება არის საშუალო სარგებელი კონკრეტული გადაწყვეტილების მიღებისას, იმ პირობით, რომ ასეთი გადაწყვეტილება შეიძლება განიხილებოდეს დიდი რიცხვების და შორ მანძილზე თეორიის ფარგლებში. წარმატებული პოკერი არის ყოველთვის პოზიტიური მათემატიკური მოლოდინებით სვლების მიღება.

მათემატიკური მოლოდინის მათემატიკური მნიშვნელობა პოკერის თამაშისას მდგომარეობს იმაში, რომ გადაწყვეტილების მიღებისას ხშირად ვხვდებით შემთხვევით ცვლადებს (არ ვიცით, რომელი კარტები აქვს მოწინააღმდეგეს ხელში, რომელი კარტები მოვა ფსონების შემდგომ რაუნდებზე). თითოეული ამონახსნები უნდა განვიხილოთ დიდი რიცხვების თეორიის თვალსაზრისით, რომელიც ამბობს, რომ საკმარისად დიდი ნიმუშით, შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა მის მათემატიკური მოლოდინისკენ მიისწრაფვის.

მათემატიკური მოლოდინის გამოთვლის კონკრეტულ ფორმულებს შორის პოკერში ყველაზე მეტად გამოიყენება შემდეგი:

პოკერის თამაშისას მათემატიკური მოლოდინი შეიძლება გამოითვალოს როგორც ფსონების, ასევე ზარებისთვის. პირველ შემთხვევაში გასათვალისწინებელია fold equity, მეორე შემთხვევაში პოტის საკუთარი შანსები. კონკრეტული ნაბიჯის მათემატიკური მოლოდინის შეფასებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ფოლდს ყოველთვის აქვს ნულოვანი მათემატიკური მოლოდინი. ამრიგად, ბარათების გაუქმება ყოველთვის უფრო მომგებიანი გადაწყვეტილება იქნება, ვიდრე ნებისმიერი უარყოფითი ნაბიჯი.

მოლოდინი გეტყვით, რისი მოლოდინი შეგიძლიათ (მოგება ან ზარალი) ყოველი დოლარისთვის, რომელსაც რისკავთ. კაზინოები ფულს შოულობენ, რადგან ყველა თამაშის მათემატიკური მოლოდინი, რომელიც მათში პრაქტიკულია, კაზინოს სასარგებლოა. საკმარისად გრძელი თამაშების სერიით, მოსალოდნელია, რომ კლიენტი დაკარგავს თავის ფულს, რადგან "ალბათობა" კაზინოს სასარგებლოა. თუმცა, კაზინოს პროფესიონალი მოთამაშეები ზღუდავენ თავიანთ თამაშებს დროის მოკლე პერიოდებით, რითაც ზრდის შანსებს მათ სასარგებლოდ. იგივე ეხება ინვესტიციებს. თუ თქვენი მოლოდინი დადებითია, შეგიძლიათ მეტი ფულის გამომუშავება მოკლე დროში მრავალი გარიგების განხორციელებით. მოლოდინი არის თქვენი მოგების პროცენტი თითო მოგებაზე გამრავლებული თქვენს საშუალო მოგებაზე გამოკლებული თქვენი ზარალის ალბათობა გამრავლებული თქვენს საშუალო დანაკარგზე.

პოკერი ასევე შეიძლება განიხილებოდეს მათემატიკური მოლოდინის თვალსაზრისით. შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ გარკვეული ნაბიჯი მომგებიანია, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში ის შეიძლება არ იყოს საუკეთესო, რადგან სხვა ნაბიჯი უფრო მომგებიანია. ვთქვათ, თქვენ მოხვდით სრულ ჰაუსში ხუთ კარტიანი პოკერში. თქვენი მოწინააღმდეგე ფსონებს დებს. თქვენ იცით, რომ თუ ამაღლდებით, ის დარეკავს. ასე რომ, ამაღლება საუკეთესო ტაქტიკაა. მაგრამ თუ რეიზს გააკეთებთ, დარჩენილი ორი მოთამაშე აუცილებლად დაკეცდება. მაგრამ თუ ფსონს გამოიძახებთ, დარწმუნებული იქნებით, რომ თქვენს შემდეგ დანარჩენი ორი მოთამაშე იგივეს გააკეთებენ. ფსონის გაზრდისას თქვენ მიიღებთ ერთ ერთეულს და უბრალოდ დარეკვით მიიღებთ ორს. ასე რომ, დარეკვა გაძლევთ უფრო მაღალ დადებით მოსალოდნელ მნიშვნელობას და საუკეთესო ტაქტიკაა.

მათემატიკური მოლოდინი ასევე იძლევა წარმოდგენას იმის შესახებ, თუ რომელი პოკერის ტაქტიკაა ნაკლებად მომგებიანი და რომელი უფრო მომგებიანი. მაგალითად, თუ თქვენ თამაშობთ კონკრეტულ ხელზე და ფიქრობთ, რომ თქვენი საშუალო წაგება არის 75 ცენტი ანტეს ჩათვლით, მაშინ უნდა ითამაშოთ ეს ხელი, რადგან ეს უკეთესია, ვიდრე დასაკეცი, როდესაც ანტე არის $1.

მოსალოდნელი ღირებულების გაგების კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი მიზეზი არის ის, რომ ის მოგცემთ სიმშვიდეს, მოიგებთ თუ არა ფსონს: თუ კარგ ფსონს დადებთ ან დროულად დადებთ, თქვენ გეცოდინებათ, რომ გააკეთეთ ან დაზოგეთ გარკვეული თანხა. ფული, რომელიც სუსტმა მოთამაშემ ვერ დაზოგა. გაცილებით რთულია დაკეცვა, თუ იმედგაცრუებული ხარ, რომ მეტოქეს უკეთესი ხელი აქვს გათამაშებაში. ამის თქმით, ფულს, რომელსაც დაზოგავთ ართამაშით, ფსონების ნაცვლად, ემატება თქვენს ერთ ღამეში ან ყოველთვიურ მოგებას.

უბრალოდ დაიმახსოვრეთ, რომ თუ ხელებს გადაცვლით, მოწინააღმდეგე დაგირეკავს და როგორც სტატიაში პოკერის ფუნდამენტური თეორემა დაინახავთ, ეს მხოლოდ თქვენი ერთ-ერთი უპირატესობაა. თქვენ უნდა გაიხაროთ, როდესაც ეს მოხდება. თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ ხელის დაკარგვის სიამოვნებაც, რადგან იცით, რომ თქვენს ფეხსაცმელში სხვა მოთამაშეები ბევრად მეტს დაკარგავდნენ.

როგორც დასაწყისში იყო მონეტების თამაშის მაგალითში განხილული, ანაზღაურების საათობრივი მაჩვენებელი დაკავშირებულია მათემატიკური მოლოდინთან და ეს კონცეფცია განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია პროფესიონალი მოთამაშეებისთვის. როდესაც აპირებთ პოკერის თამაშს, გონებრივად უნდა შეაფასოთ რამდენის მოგება შეგიძლიათ ერთი საათის განმავლობაში. უმეტეს შემთხვევაში, თქვენ უნდა დაეყრდნოთ თქვენს ინტუიციას და გამოცდილებას, მაგრამ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ რამდენიმე მათემატიკური გამოთვლები. მაგალითად, თუ თქვენ თამაშობთ ფრედ ლოუბოლს და ხედავთ, რომ სამი მოთამაშე დადებს 10$-ს და შემდეგ ათამაშებს ორ კარტს, რაც ძალიან ცუდი ტაქტიკაა, შეგიძლიათ თავად გამოთვალოთ, რომ ყოველ ჯერზე, როდესაც ისინი დადებენ $10-ს, ისინი კარგავენ დაახლოებით $2-ს. თითოეული მათგანი ამას აკეთებს რვაჯერ საათში, რაც ნიშნავს, რომ სამივე კარგავს დაახლოებით $48 საათში. თქვენ ხართ ერთ-ერთი დარჩენილი ოთხი მოთამაშიდან, რომლებიც დაახლოებით თანაბარია, ამიტომ ამ ოთხმა მოთამაშემ (და თქვენ მათ შორის) უნდა გაიზიარონ $48 და თითოეული მიიღებს $12 მოგებას საათში. თქვენი საათობრივი განაკვეთი ამ შემთხვევაში არის უბრალოდ თქვენი წილი სამი ცუდი მოთამაშის მიერ საათში დაკარგულ თანხაში.

დიდი ხნის განმავლობაში, მოთამაშის მთლიანი მოგება არის მისი მათემატიკური მოლოდინების ჯამი ცალკეულ განაწილებაში. რაც უფრო მეტს თამაშობ პოზიტიური მოლოდინით, მით მეტს იგებს და პირიქით, რაც მეტ ხელებს თამაშობ ნეგატიური მოლოდინით, მით მეტს კარგავ. შედეგად, პრიორიტეტი უნდა მიანიჭოთ თამაშს, რომელსაც შეუძლია მაქსიმალურად გაზარდოს თქვენი პოზიტიური მოლოდინი ან გააუქმოს თქვენი უარყოფითი მოლოდინი, რათა მაქსიმალურად გაზარდოთ თქვენი საათობრივი მოგება.

დადებითი მათემატიკური მოლოდინი თამაშის სტრატეგიაში

თუ იცით, როგორ დათვალოთ ბარათები, შეიძლება გქონდეთ უპირატესობა კაზინოზე, თუ ისინი არ შეამჩნევენ და გაგაგდებენ. კაზინოებს უყვართ მთვრალი აზარტული მოთამაშეები და ვერ იტანენ ბარათების დათვლას. უპირატესობა საშუალებას მოგცემთ მოიგოთ უფრო მეტი, ვიდრე დროთა განმავლობაში წააგებთ. ფულის კარგი მენეჯმენტი მოლოდინების გამოთვლების გამოყენებით დაგეხმარებათ გამოიყენოთ თქვენი უპირატესობა და შეამციროთ თქვენი ზარალი. უპირატესობის გარეშე, ჯობია, ფული ქველმოქმედებას მისცეთ. საფონდო ბირჟაზე თამაშში უპირატესობას ანიჭებს თამაშის სისტემა, რომელიც უფრო მეტ მოგებას ქმნის, ვიდრე ზარალი, ფასის სხვაობა და საკომისიო. არცერთი ფულის მართვა არ დაზოგავს ცუდ სათამაშო სისტემას.

დადებითი მოლოდინი განისაზღვრება ნულზე მეტი მნიშვნელობით. რაც უფრო დიდია ეს რიცხვი, მით უფრო ძლიერია სტატისტიკური მოლოდინი. თუ მნიშვნელობა ნულზე ნაკლებია, მაშინ მათემატიკური მოლოდინი ასევე უარყოფითი იქნება. რაც უფრო დიდია უარყოფითი მნიშვნელობის მოდული, მით უფრო უარესია სიტუაცია. თუ შედეგი ნულის ტოლია, მაშინ მოლოდინი გარღვევაა. თქვენ შეგიძლიათ მოიგოთ მხოლოდ მაშინ, როდესაც გაქვთ დადებითი მათემატიკური მოლოდინი, გონივრული თამაშის სისტემა. ინტუიციაზე თამაში იწვევს კატასტროფას.

მათემატიკური მოლოდინი და საფონდო ვაჭრობა

მათემატიკური მოლოდინი საკმაოდ ფართოდ მოთხოვნადი და პოპულარული სტატისტიკური მაჩვენებელია სავალუტო ვაჭრობაში ფინანსურ ბაზრებზე. უპირველეს ყოვლისა, ეს პარამეტრი გამოიყენება ვაჭრობის წარმატების გასაანალიზებლად. ძნელი მისახვედრი არ არის, რომ რაც უფრო დიდია ეს მნიშვნელობა, მით მეტია მიზეზი, რომ შესწავლილი ვაჭრობა წარმატებულად მივიჩნიოთ. რა თქმა უნდა, ტრეიდერის მუშაობის ანალიზი არ შეიძლება განხორციელდეს მხოლოდ ამ პარამეტრის დახმარებით. თუმცა, გამოთვლილმა მნიშვნელობამ, სამუშაოს ხარისხის შეფასების სხვა მეთოდებთან ერთად, შეიძლება მნიშვნელოვნად გაზარდოს ანალიზის სიზუსტე.

მათემატიკური მოლოდინი ხშირად გამოითვლება სავაჭრო ანგარიშის მონიტორინგის სერვისებში, რაც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად შეაფასოთ დეპოზიტზე შესრულებული სამუშაო. როგორც გამონაკლისი, შეგვიძლია მოვიყვანოთ სტრატეგიები, რომლებიც იყენებენ წაგებული ვაჭრობის „გადარჩენას“. ტრეიდერს შეიძლება გარკვეული დროით გაუმართლოს და, შესაბამისად, მის საქმიანობაში შეიძლება საერთოდ არ იყოს ზარალი. ამ შემთხვევაში მხოლოდ მოლოდინით ნავიგაცია ვერ იქნება, რადგან სამუშაოში გამოყენებული რისკები არ იქნება გათვალისწინებული.

ბაზარზე ვაჭრობისას მათემატიკური მოლოდინი ყველაზე ხშირად გამოიყენება სავაჭრო სტრატეგიის მომგებიანობის პროგნოზირებისას ან ტრეიდერის შემოსავლის პროგნოზირებისას მისი წინა ვაჭრობის სტატისტიკის საფუძველზე.

რაც შეეხება ფულის მენეჯმენტს, ძალიან მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ნეგატიური მოლოდინებით ვაჭრობის განხორციელებისას არ არსებობს ფულის მართვის სქემა, რომელსაც ნამდვილად შეუძლია მაღალი მოგების მოტანა. თუ გააგრძელებთ ბირჟის თამაშს ამ პირობებში, მაშინ, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ მართავთ თქვენს ფულს, დაკარგავთ მთელ თქვენს ანგარიშს, რაც არ უნდა დიდი იყო დასაწყისში.

ეს აქსიომა არ შეესაბამება მხოლოდ ნეგატიური მოლოდინების თამაშებს ან გარიგებებს, ის ასევე მართალია ლუწი შანსების თამაშებზეც. აქედან გამომდინარე, ერთადერთი შემთხვევა, როდესაც გრძელვადიან პერსპექტივაში სარგებლობის შანსი გაქვთ, არის პოზიტიურ მათემატიკური მოლოდინთან გარიგების დადება.

განსხვავება უარყოფით მოლოდინსა და პოზიტიურ მოლოდინს შორის არის განსხვავება სიცოცხლესა და სიკვდილს შორის. არ აქვს მნიშვნელობა რამდენად დადებითი ან უარყოფითია მოლოდინი; რა მნიშვნელობა აქვს დადებითია თუ უარყოფითი. ამიტომ, სანამ ფულის მართვას განიხილავთ, უნდა იპოვოთ თამაში დადებითი მოლოდინით.

თუ არ გაქვთ ეს თამაში, მაშინ მსოფლიოში არცერთი ფულის მართვა არ გიშველის. მეორეს მხრივ, თუ თქვენ გაქვთ დადებითი მოლოდინი, მაშინ შესაძლებელია, ფულის სწორი მენეჯმენტის საშუალებით, ის გადააქციოთ ექსპონენციალურ ზრდის ფუნქციად. არ აქვს მნიშვნელობა რამდენად მცირეა პოზიტიური მოლოდინი! სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არ აქვს მნიშვნელობა რამდენად მომგებიანია ერთ კონტრაქტზე დაფუძნებული სავაჭრო სისტემა. თუ თქვენ გაქვთ სისტემა, რომელიც იგებს 10$-ს თითო კონტრაქტზე ერთ ვაჭრობაში (საკომისიოების და გადახდების შემდეგ), შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფულის მართვის ტექნიკა, რათა ის უფრო მომგებიანი გახადოთ, ვიდრე სისტემა, რომელიც აჩვენებს საშუალო მოგებას $1000 თითო ვაჭრობაზე (საკომისიოს დაკლების შემდეგ და სრიალი).

მთავარია არა ის, თუ რამდენად მომგებიანი იყო სისტემა, არამედ რამდენად დარწმუნებით შეიძლება ითქვას, რომ სისტემა მომავალში მაინც აჩვენებს მინიმალურ მოგებას. ამიტომ, ყველაზე მნიშვნელოვანი მომზადება, რომელსაც ტრეიდერს შეუძლია, არის დარწმუნდეს, რომ სისტემა აჩვენებს პოზიტიურ მოსალოდნელ მნიშვნელობას მომავალში.

იმისთვის, რომ მომავალში გქონდეთ დადებითი მოსალოდნელი მნიშვნელობა, ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ არ შეზღუდოთ თქვენი სისტემის თავისუფლების ხარისხი. ეს მიიღწევა არა მხოლოდ ოპტიმიზირებული პარამეტრების აღმოფხვრით ან შემცირებით, არამედ რაც შეიძლება მეტი სისტემის წესების შემცირებით. ყოველი პარამეტრი, რომელსაც თქვენ დაამატებთ, ყოველი წესი, რომელსაც აკეთებთ, ყოველი პატარა ცვლილება, რომელსაც სისტემაში აკეთებთ, ამცირებს თავისუფლების ხარისხს. იდეალურ შემთხვევაში, გსურთ შექმნათ საკმაოდ პრიმიტიული და მარტივი სისტემა, რომელიც მუდმივად მოიტანს მცირე მოგებას თითქმის ნებისმიერ ბაზარზე. კიდევ ერთხელ, მნიშვნელოვანია, რომ გესმოდეთ, რომ არ აქვს მნიშვნელობა რამდენად მომგებიანია სისტემა, რამდენადაც ის მომგებიანია. ვაჭრობაში მიღებული ფული მიიღება ფულის ეფექტური მენეჯმენტით.

სავაჭრო სისტემა უბრალოდ ინსტრუმენტია, რომელიც გაძლევს დადებით მათემატიკურ მოლოდინს, რათა გამოიყენო ფულის მართვა. სისტემები, რომლებიც მუშაობენ (აჩვენებენ მინიმუმ მინიმალურ მოგებას) მხოლოდ ერთ ან რამდენიმე ბაზარზე, ან აქვთ სხვადასხვა წესები ან პარამეტრები სხვადასხვა ბაზრისთვის, დიდი ალბათობით არ იმუშავებენ რეალურ დროში დიდი ხნის განმავლობაში. ტექნიკურად ორიენტირებული ტრეიდერების უმეტესობის პრობლემა არის ის, რომ ისინი ხარჯავენ ძალიან დიდ დროსა და ძალისხმევას სავაჭრო სისტემის სხვადასხვა წესებისა და პარამეტრების ოპტიმიზაციაზე. ეს იძლევა სრულიად საპირისპირო შედეგებს. იმის ნაცვლად, რომ დახარჯოთ ენერგია და კომპიუტერული დრო სავაჭრო სისტემის მოგების გაზრდაზე, მიმართეთ თქვენი ენერგია მინიმალური მოგების მიღების საიმედოობის დონის ამაღლებაზე.

იცის, რომ ფულის მენეჯმენტი არის მხოლოდ რიცხვითი თამაში, რომელიც მოითხოვს დადებითი მოლოდინების გამოყენებას, ტრეიდერს შეუძლია შეწყვიტოს საფონდო ვაჭრობის „წმინდა გრაალის“ ძებნა. ამის ნაცვლად, მას შეუძლია დაიწყოს თავისი სავაჭრო მეთოდის ტესტირება, გაარკვიოს, რამდენად ლოგიკურად არის ეს მეთოდი, იძლევა თუ არა დადებით მოლოდინს. ფულის მართვის სწორი მეთოდები, რომლებიც გამოიყენება ნებისმიერი, თუნდაც ძალიან უღიმღამო ვაჭრობის მეთოდებზე, შეასრულებს დანარჩენ სამუშაოს.

ნებისმიერ ტრეიდერს სამუშაოში წარმატების მისაღწევად სჭირდება სამი ყველაზე მნიშვნელოვანი ამოცანის გადაჭრა: . უზრუნველყოს, რომ წარმატებული ტრანზაქციების რაოდენობა აღემატებოდეს გარდაუვალ შეცდომებსა და არასწორ გამოთვლებს; დააყენეთ თქვენი სავაჭრო სისტემა ისე, რომ ფულის შოვნის შესაძლებლობა რაც შეიძლება ხშირად იყოს; მიაღწიეთ თქვენი ოპერაციების სტაბილურ პოზიტიურ შედეგს.

და აქ, ჩვენთვის, მომუშავე ტრეიდერებისთვის, მათემატიკური მოლოდინი კარგი დახმარებაა. ეს ტერმინი ალბათობის თეორიაში ერთ-ერთი მთავარია. მასთან ერთად შეგიძლიათ მისცეთ შემთხვევითი მნიშვნელობის საშუალო შეფასება. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი სიმძიმის ცენტრის მსგავსია, თუ ყველა შესაძლო ალბათობას სხვადასხვა მასის წერტილებად წარმოვიდგენთ.

სავაჭრო სტრატეგიასთან დაკავშირებით, მისი ეფექტურობის შესაფასებლად, ყველაზე ხშირად გამოიყენება მოგების (ან ზარალის) მათემატიკური მოლოდინი. ეს პარამეტრი განისაზღვრება, როგორც მოგება-ზარალის მოცემული დონის პროდუქტების ჯამი და მათი წარმოშობის ალბათობა. მაგალითად, შემუშავებული სავაჭრო სტრატეგია ვარაუდობს, რომ ყველა ოპერაციების 37% მოიტანს მოგებას, ხოლო დანარჩენი ნაწილი - 63% - წამგებიანი იქნება. ამავდროულად წარმატებული ტრანზაქციის საშუალო შემოსავალი იქნება $7, ხოლო საშუალო ზარალი $1.4. მოდით გამოვთვალოთ ვაჭრობის მათემატიკური მოლოდინი შემდეგი სისტემის გამოყენებით:

რას ნიშნავს ეს რიცხვი? ნათქვამია, რომ ამ სისტემის წესების დაცვით, ყოველი დახურული ტრანზაქციისგან საშუალოდ 1,708 დოლარს მივიღებთ. ვინაიდან შედეგად მიღებული ეფექტურობის ქულა ნულზე მეტია, ასეთი სისტემა შეიძლება გამოყენებულ იქნას რეალური სამუშაოსთვის. თუ გაანგარიშების შედეგად მათემატიკური მოლოდინი უარყოფითი აღმოჩნდება, მაშინ ეს უკვე საშუალო დანაკარგზე მიუთითებს და ასეთი ვაჭრობა ნგრევას გამოიწვევს.

მოგების ოდენობა თითო ვაჭრობაზე ასევე შეიძლება გამოისახოს ფარდობითი მნიშვნელობით. Მაგალითად:

– შემოსავლის პროცენტი 1 ტრანზაქციაზე - 5%;

– წარმატებული სავაჭრო ოპერაციების პროცენტი - 62%;

– ზარალის პროცენტი 1 ვაჭრობაზე - 3%;

- წარუმატებელი ტრანზაქციების პროცენტი - 38%;

ანუ საშუალო ტრანზაქცია 1,96%-ს მოიტანს.

შესაძლებელია ისეთი სისტემის შემუშავება, რომელიც წაგებული ვაჭრობის უპირატესობის მიუხედავად, დადებით შედეგს გამოიღებს, ვინაიდან მისი MO>0.

თუმცა მარტო ლოდინი საკმარისი არ არის. ძნელია ფულის გამომუშავება, თუ სისტემა იძლევა ძალიან ცოტა სავაჭრო სიგნალს. ამ შემთხვევაში მისი მომგებიანობა საბანკო პროცენტთან იქნება შედარებული. მოდით, თითოეულმა ოპერაციამ მოიტანოს საშუალოდ მხოლოდ 0,5 დოლარი, მაგრამ რა მოხდება, თუ სისტემა ითვალისწინებს წელიწადში 1000 ტრანზაქციას? ეს საკმაოდ სერიოზული თანხა იქნება შედარებით მოკლე დროში. აქედან ლოგიკურად გამომდინარეობს, რომ კარგი სავაჭრო სისტემის კიდევ ერთი დამახასიათებელი ნიშანი შეიძლება ჩაითვალოს ხანმოკლე შენახვის პერიოდად.

წყაროები და ბმულები

dic.academic.ru - აკადემიური ონლაინ ლექსიკონი

mathematics.ru - საგანმანათლებლო საიტი მათემატიკაზე

nsu.ru – ნოვოსიბირსკის სახელმწიფო უნივერსიტეტის საგანმანათლებლო ვებგვერდი

webmath.ru არის საგანმანათლებლო პორტალი სტუდენტებისთვის, აპლიკანტებისთვის და სკოლის მოსწავლეებისთვის.

exponenta.ru საგანმანათლებლო მათემატიკური საიტი

ru.tradimo.com - უფასო ონლაინ სავაჭრო სკოლა

crypto.hut2.ru - მულტიდისციპლინური საინფორმაციო რესურსი

poker-wiki.ru - პოკერის უფასო ენციკლოპედია

sernam.ru - არჩეული საბუნებისმეტყველო პუბლიკაციების სამეცნიერო ბიბლიოთეკა

reshim.su - ვებგვერდი SOLVE ამოცანების კონტროლის კურსები

unfx.ru – ფორექსი UNFX-ზე: განათლება, სავაჭრო სიგნალები, ნდობის მენეჯმენტი

slovopedia.com - დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

pokermansion.3dn.ru - თქვენი მეგზური პოკერის სამყაროში

statanaliz.info - საინფორმაციო ბლოგი "სტატისტიკური მონაცემების ანალიზი"

forex-trader.rf - პორტალი Forex-Trader

megafx.ru - Forex-ის განახლებული ანალიტიკა

fx-by.com - ყველაფერი ტრეიდერისთვის

ალბათობის თეორიაში და მის მრავალ გამოყენებაში დიდი მნიშვნელობა აქვს შემთხვევითი ცვლადების სხვადასხვა რიცხვობრივ მახასიათებლებს. მთავარია მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება.

1. შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და მისი თვისებები.

ჯერ განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი. დაე, ქარხანამ მიიღოს პარტია, რომელიც შედგება ნსაკისრები. სადაც:

მ 1 x 1,
მ2- საკისრების რაოდენობა გარე დიამეტრით x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- საკისრების რაოდენობა გარე დიამეტრით x n,

Აქ m 1 +m 2 +...+m n =N. იპოვეთ საშუალო არითმეტიკული x იხტარების გარე დიამეტრი. ცხადია,
შემთხვევით ამოღებული საკისრის გარე დიამეტრი შეიძლება ჩაითვალოს შემთხვევით ცვლადად, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს x 1, x 2, ..., x n, შესაბამისი ალბათობით p 1 \u003d m 1 / N, p 2 \u003d m 2 /N, ..., p n =m n /N, რადგან ალბათობა პიგარე დიამეტრის მქონე ტარების გამოჩენა x iუდრის m i / N. ამრიგად, არითმეტიკული საშუალო x იხტარების გარე დიამეტრი შეიძლება განისაზღვროს ურთიერთობის გამოყენებით
მოდით იყოს დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი ალბათობის განაწილების კანონით

მათემატიკური მოლოდინი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადიშემთხვევითი ცვლადის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისა და მათი შესაბამისი ალბათობების წყვილ პროდუქტთა ჯამს ეწოდება, ე.ი. *
ვარაუდობენ, რომ არასწორი ინტეგრალი ტოლობის მარჯვენა მხარეს (40) არსებობს.

განვიხილოთ მათემატიკური მოლოდინის თვისებები. ამით ჩვენ შემოვიფარგლებით მხოლოდ პირველი ორი თვისების დამტკიცებით, რომლებსაც განვახორციელებთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადებისთვის.

1°. C მუდმივის მათემატიკური მოლოდინი ამ მუდმივის ტოლია.
მტკიცებულება.მუდმივი Cშეიძლება განვიხილოთ, როგორც შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა Cერთის ტოლი ალბათობით. ამიტომ

2°. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მოლოდინის ნიშნიდან, ე.ი.
მტკიცებულება.მიმართების (39) გამოყენებით გვაქვს

3°. რამდენიმე შემთხვევითი ცვლადის ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის ამ ცვლადების მათემატიკური მოლოდინების ჯამს.:

დისპერსიაუწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები ეკუთვნის მთელ ღერძს Ox, განისაზღვრება თანასწორობით:

სამსახურის დავალება. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია პრობლემების გადასაჭრელად, რომელშიც ან განაწილების სიმკვრივე f(x) , ან განაწილების ფუნქცია F(x) (იხ. მაგალითი). ჩვეულებრივ, ასეთ ამოცანებში საჭიროა იპოვოთ მათემატიკური მოლოდინი, სტანდარტული გადახრა, დახაზეთ ფუნქციები f(x) და F(x).

ინსტრუქცია. აირჩიეთ შეყვანის მონაცემების ტიპი: განაწილების სიმკვრივე f(x) ან განაწილების ფუნქცია F(x) .

განაწილების სიმკვრივე f(x) მოცემულია:

განაწილების ფუნქცია F(x) მოცემულია:

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი განისაზღვრება ალბათობის სიმკვრივით
(რეილის განაწილების კანონი - გამოიყენება რადიოინჟინერიაში). იპოვეთ M(x) , D(x) .

შემთხვევითი ცვლადი X ეწოდება უწყვეტი , თუ მისი განაწილების ფუნქცია F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია გამოიყენება შემთხვევითი ცვლადის მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობის გამოსათვლელად:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
უფრო მეტიც, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის არ აქვს მნიშვნელობა, შედის თუ არა მისი საზღვრები ამ ინტერვალში:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
განაწილების სიმკვრივე უწყვეტ შემთხვევით ცვლადს ფუნქცია ეწოდება
f(x)=F'(x) , განაწილების ფუნქციის წარმოებული.

განაწილების სიმკვრივის თვისებები