მრავალჯერადი ინტეგრალი (პრობლემები და სავარჯიშოები). მრავალჯერადი ინტეგრალი სიბრტყე ფიგურის მასის ცენტრის კოორდინატები

დეფ . დაე,
,

.

ნაკრები ეწოდება დახურულ ინტერვალს ან დახურულ ზოლს .

კომპლექტს ღია ინტერვალი ეწოდება

ან ღია სხივი შიგნით .

დეფ . ინტერვალების გაზომვა და რაოდენობას ეწოდება:

(Უფრო ზუსტად
).

დეფ . თუ
ისეთივე როგორც
შემდეგ ინტერვალი დეგენერატი ეწოდება და
.

უფსკრული საზომის თვისებები:

ა). პოზიტივი:
, და
მაშინ და მხოლოდ მაშინ - დეგენერატი.

ბ). დადებითი ჰომოგენურობა: .

V). დანამატობა:

* ამისთვის
ისეთივე როგორც
;

* ამისთვის
და

.

გ). ღონისძიების ერთფეროვნება: .

დეფ . სხივის დიამეტრი (უფსკრული) არის მნიშვნელობა:

Გაითვალისწინე
და
- ეს არ არის იგივე. მაგალითად, თუ - მაშინ დეგენერატი
, ა
(ზოგადად).

სადაც: * ;

* ;*
.

დეფ . მთლიანობა
ინტერვალის ქვესპანიები ეწოდება ინტერვალის დანაყოფი , თუ: *;

*
; *
; *
; *
.

მაგნიტუდა
ეწოდება დანაყოფის პარამეტრი პ(სადაც
).

დეფ . გაყოფა დანაყოფის დახვეწას უწოდებენ , თუ დანაყოფის ყველა ელემენტი მიღებული დანაყოფების ელემენტების დაყოფით .

მითითებულია:
. კითხულობს: უფრო პატარა ან უფრო დიდი .

თანაფარდობისთვის "დიდი - პატარა" მართალია შემდეგი:

*. ტრანზიტულობა – ; *.
;

*.


; *.

|
.

§. მრავალჯერადი ინტეგრალის განმარტება

დაე
– ხე-ტყე (უფსკრული) შიგნით ,
– უფსკრულის დაყოფა მე. დანაყოფის ყოველი ინტერვალით მონიშნე წერტილი
.

ვიღებთ
დანაყოფი მონიშნული წერტილებით ამისთვის
.

მაგნიტუდა
ეწოდება რიმანის ინტეგრალური ჯამი ფუნქციისთვის ვ (x) ინტერვალზე მე დანაყოფით მონიშნული წერტილებით
.

დეფ :
=
=
.

აღნიშვნა - ბევრი ფუნქცია ინტეგრირებულია სხივზე მე მოდი დავწეროთ:

დეფ : ε > 0 δ>0<.

თუ ფუნქციისთვის ვ(x) ზე მედა ტიხრები
- აღნიშნეთ
– ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ვ(x) ზე მე კშემდეგ ღირებულებები
=
და
=
ქვედა და ზედა დარბოს ჯამს უწოდებენ.

§. დარბოს კრიტერიუმი მრავალჯერადი ინტეგრალის არსებობისთვის.

თ 0 . ფუნქციონირებს
სხივზე იყო ინტეგრირებული (ისინი.
) აუცილებელი და საკმარისია იმისათვის, რომ

. Δ▲.

განსაზღვრულია ფუნქციის ინტეგრაცია სხივზე ევკლიდეს სივრცეში. როგორ შეიძლება ფუნქციის ინტეგრირება ევკლიდეს სივრციდან თვითნებურ შემოსაზღვრულ სიმრავლეზე?

მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის ინტეგრალი ვ ბევრის მიერ
.

დეფ : დაე
და
– შეზღუდული, ე.ი.
. ფუნქცია
ჩვენ ვუწოდებთ ნაკრების დამახასიათებელ ფუნქციას მ.

შემდეგ:
≡
.

კომპლექტის ინტეგრალის განმარტება არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რომელ სხივს შეიცავს მშერჩეული, ე.ი.

.

ეს ნიშნავს, რომ ინტეგრალის განმარტება სიმრავლეზე სწორია.

ინტეგრირებისთვის აუცილებელი პირობა.ფუნქციონირებს ვ(x) ზე მიყოს ინტეგრირება, აუცილებელია, რომ ვ(x) შემოიფარგლებოდა მ. Δ▲.

§. მრავალი ინტეგრალის თვისებები.

1  . წრფივობა: ბევრი რ მფუნქციები ინტეგრირებული კომპლექტში M -ხაზოვანი

სივრცე და
- ხაზოვანი ფუნქციონალური.

2  . ნორმალიზაციის მდგომარეობა:
. შესვლის კიდევ ერთი ფორმა
არსებითად განსაზღვრავს თვითნებური სიმრავლის ზომას ევკლიდური სივრციდან.

3  . თუ არსებობს ინტეგრალი ლებეგის ზომის ნულის სიმრავლეზე, მაშინ ის

ნულის ტოლი.

Შენიშვნა:Რამოდენიმე მეწოდება ლებეგის ზომის ნულის სიმრავლეს,

თუ

ისეთივე როგორც
და
.

4  . ა.;ბ.;

ვ.თუ
და - ნულიდან გამოყოფილი მ, ეს

5  .
და ვ=გპ.ვ. (თითქმის ყველგან) ჩართულია მ, ეს
.

6  . დანამატობა: თუ
და
რომ

,

Ზოგადად:
.

Δ. თანასწორობიდან გამომდინარეობს: ▲

7  . მონოტონური:
და
რომ
.

8  . უტოლობების ინტეგრირება: თუ
იტო

.

9  . დაე


. Იმისათვის, რომ
, აუცილებელია და საკმარისია კომპლექტის შიდა წერტილის არსებობა მ, სადაც ვ (x) > 0 და უწყვეტი.

10  . ინტეგრირებადი ფუნქციის მოდულის ინტეგრირება:
.

11  . საშუალო მნიშვნელობის თეორემა:
,
on მინარჩუნებს ნიშანს და
, ეს

.

თუ კომპლექტი მ- თანმიმდევრული და ვ(x) – უწყვეტი ჩართვა
რომ
ისეთივე როგორც
.

12  . იმისათვის, რომ არაუარყოფითი ფუნქციის ინტეგრალი იყოს 0-ის ტოლი

აუცილებელი და საკმარისი ვ(x) = 0 თითქმის ყველგან მ.

13  . ფუბინის თეორემა.ორმაგი ინტეგრალისთვის:

დაუშვით ტერიტორია
- მართკუთხედი:. შემდეგ, იმ პირობით, რომ შიდა ერთი ინტეგრალები არსებობს, ორმაგი ინტეგრალის საპოვნელად, შეგიძლიათ გააგრძელოთ განმეორებითი ინტეგრაცია (იხ. ნახ. ა):

, ან

ე

Შენიშვნა:ინტეგრაციის გარე საზღვრები უნდა იყოს მუდმივები; ინტეგრაციის შიდა საზღვრები შეიძლება დამოკიდებული იყოს ცვლადზე, რომელზედაც ინტეგრაცია ჯერ კიდევ არ უნდა განხორციელდეს.

ფორმულა (*) მიიღება კომპლექტის მახასიათებლის ფუნქციის გამოყენებით დ.

მრავალჯერადი ინტეგრალისთვის:

მოდით და ევკლიდეს სივრცეების რამდენიმე ქვესიმრავლე და . მოდით განვსაზღვროთ ამ სიმრავლეთა დეკარტის ნამრავლი, რომელიც არის ევკლიდური სივრცის ქვესიმრავლე
:.

შემდეგ ფუბინის თეორემა ამისთვის
აქვს ფორმა:
.

თეორემა ასევე მოქმედებს სხივებზე Xდა იდა უფრო რთული კონფიგურაციისთვის.

მაგალითები:

1 0 . გამოთვალეთ
, თუ ტერიტორიის საზღვარი
მოცემულია განტოლებებით:

ა).
;

2

–

.

რეცეპტი:ორმაგ ინტეგრალში ინტეგრაციის ლიმიტების დაყენებისას რეკომენდებულია ინტეგრაციის გარე ლიმიტებით დაწყება.

3

გამეორებით ინტეგრალებზე გადასვლა იძლევა:
.

ამავდროულად, სამმაგ ინტეგრალში ლიმიტების განლაგება უნდა დაიწყოს ინტეგრაციის შიდა საზღვრებით. შემდეგ დააპროექტეთ ტერიტორია ვთვითმფრინავამდე xOy

ზონაში საზღვრების დაწესება დ- იწვა თვითმფრინავში xOy.

4 0 . შეცვალეთ ინტეგრაციის თანმიმდევრობა გამეორებულ ინტეგრალში:
.

მრავალჯერადი ინტეგრალი

ფუნქციის ინტეგრალი, რომელიც მითითებულია სიბრტყის ზოგიერთ უბანზე, სამ განზომილებაში ან ნ- განზომილებიანი სივრცე. კ-ს შორის და. განასხვავებენ ორმაგ ინტეგრალებს, სამმაგი ინტეგრალებს და ა.შ. ნ- მრავალი ინტეგრალი.

დაუშვით ფუნქცია ვ(x, y) მოცემულია ზოგიერთ ტერიტორიაზე დთვითმფრინავი xOy.მოდით გავყოთ ტერიტორია დ on ნნაწილობრივი ტერიტორიები მე,რომელთა ფართობი ტოლია მე ვარ,აირჩიეთ თითოეულ სფეროში დ იწერტილი ( ξi, ηi) (სმ. ბრინჯი. ) და შეადგინეთ ინტეგრალური ჯამი

თუ ნაწილობრივი ფართობების მაქსიმალური დიამეტრის შეუზღუდავი შემცირებით დ ითანხები საქვს ლიმიტი ქულების არჩევის მიუხედავად ( ξi, ηi), მაშინ ამ ზღვარს ფუნქციის ორმაგი ინტეგრალი ეწოდება ვ(x, y) რეგიონის მიხედვით დდა აღვნიშნავთ

სამმაგი ინტეგრალი განისაზღვრება ანალოგიურად და, ზოგადად, ნ- მრავალჯერადი ინტეგრალი.

ორმაგი ინტეგრალის არსებობისთვის საკმარისია, მაგალითად, რეგიონი დიყო დახურული კვადრატული რეგიონი (იხ. კვადრატული რეგიონი) და ფუნქცია ვ(x, y) უწყვეტი იყო დ.კ და. აქვს რიგი თვისებების მსგავსი მარტივი ინტეგრალების თვისებები . კ-ის გამოსათვლელად და. ჩვეულებრივ მივყავართ მას გამეორებულ ინტეგრალამდე (იხ. განმეორებადი ინტეგრალი). განსაკუთრებულ შემთხვევებში კ.-ს ინფორმაციისთვის და. გრინის ფორმულა და ოსტროგრადსკის ფორმულა შეიძლება იყოს ქვედა განზომილების ინტეგრალი. კ და. აქვთ ვრცელი გამოყენება: ისინი გამოიყენება სხეულების მოცულობების, მათი მასების, სტატიკური მომენტების, ინერციის მომენტების და ა.შ.

დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია. - მ.: საბჭოთა ენციკლოპედია. 1969-1978 .

ნახეთ, რა არის „მრავალჯერადი ინტეგრალი“ სხვა ლექსიკონებში:

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ინტეგრალი. იგი განისაზღვრება ერთი ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის მსგავსი ინტეგრალური ჯამების გამოყენებით (იხ. ინტეგრალური გამოთვლა). ცვლადების რაოდენობის მიხედვით არის ორმაგი, სამმაგი, n... ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი. არსებობს კ-ის სხვადასხვა ცნება და. (რიმანის ინტეგრალი, Lebesgue ინტეგრალი, Lebesgue Stieltjes ინტეგრალი და ა.შ.). რიმანის მრავალჯერადი ინტეგრალი შემოღებულია იორდანიის საზომის საფუძველზე. მოდით, E იყოს Jordan გაზომვადი... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

მათემატიკურ ანალიზში მრავალჯერადი ან მრავალჯერადი ინტეგრალი არის ცვლადებისგან აღებული ინტეგრალების ერთობლიობა. მაგალითად: შენიშვნა: მრავალჯერადი ინტეგრალი არის განსაზღვრული ინტეგრალი; მისი გამოთვლა ყოველთვის იწვევს რიცხვს. სარჩევი 1... ...ვიკიპედია

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ინტეგრალი. იგი განისაზღვრება ერთი ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალის მსგავსი ინტეგრალური ჯამების გამოყენებით (იხ. ინტეგრალური გამოთვლა). ცვლადების რაოდენობის მიხედვით არის ორმაგი, სამმაგი, n... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ინტეგრალი. განისაზღვრება ინტეგრალური ჯამების გამოყენებით, ანალოგიურად განსაზღვრული. ერთი ცვლადის ფუნქციის ინტეგრალი (იხ. ინტეგრალური გამოთვლა). ცვლადების რაოდენობის მიხედვით არის ორმაგი, სამმაგი, მე... ... ბუნებისმეტყველება. ენციკლოპედიური ლექსიკონი

შენიშვნა: ამ სტატიაში ყველგან, სადაც ნიშანი გამოიყენება, იგულისხმება რიმანის (მრავალჯერადი) ინტეგრალი, თუ სხვა რამ არ არის მითითებული; ყველგან ამ სტატიაში, სადაც ვსაუბრობთ ნაკრების გაზომვაზე, ვგულისხმობთ იორდანიულ გაზომვას, თუ არა... ... ვიკიპედია

ფორმის მრავალჯერადი ინტეგრალი Where, რომელიც არის ტრიგონომეტრიული ჯამის მოდულის 2k ხარისხის საშუალო მნიშვნელობა. ვინოგრადოვის თეორემა ამ ინტეგრალის მნიშვნელობის შესახებ, საშუალო მნიშვნელობის თეორემა, საფუძვლად უდევს ვეილის ჯამების შეფასებას. ლიტერატურა ვინოგრადოვა ინტე... ვიკიპედია

განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც ფიგურის ფართობი ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ინტეგრალი (მნიშვნელობები). ფუნქციის ინტეგრალი ... ვიკიპედია

ინტეგრალი, რომელშიც სხვადასხვა ცვლადებზე ინტეგრაცია თანმიმდევრულად ხორციელდება, ანუ ფორმის ინტეგრალი (1) ფუნქცია f(x, y) განისაზღვრება A სიმრავლეზე, რომელიც მდებარეობს X და Y სივრცეების პირდაპირ ნამრავლში XX Y, რომელშიც s მოცემულია სასრული ზომები mx და my,…… მათემატიკური ენციკლოპედია

ნებისმიერი მრუდის გასწვრივ აღებული ინტეგრალი სიბრტყეზე ან სივრცეში. არიან კ და. 1 და 2 ტიპები. კ და. ტიპი 1 წარმოიქმნება, მაგალითად, ცვლადი სიმკვრივის მრუდის მასის გამოთვლის პრობლემის განხილვისას; დანიშნულია...... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

სიფრთხილე: ინტეგრაციის ინტერვალის შიგნით სინგულარული წერტილებით არასწორი ინტეგრალების გამოთვლისას, თქვენ არ შეგიძლიათ მექანიკურად გამოიყენოთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, რადგან ამან შეიძლება გამოიწვიოს შეცდომები.

Ზოგადი წესი:ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა სწორია, თუ ანტიდერივატია f(x)ამ უკანასკნელის სინგულარულ წერტილში უწყვეტია.

მაგალითი 2.11.

მოდით განვიხილოთ არასათანადო ინტეგრალი სინგულარული წერტილით x = 0. ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა, რომელიც ფორმალურად გამოიყენება, იძლევა

თუმცა, ზოგადი წესი აქ არ მოქმედებს; f(x) = 1/x-ისთვის ანტიწარმოებული ln |x| არ არის განსაზღვრული x = 0-ზე და არის უსასრულოდ დიდი ამ ეტაპზე, ე.ი. არ არის უწყვეტი ამ ეტაპზე. პირდაპირი გადამოწმებით ადვილია იმის შემოწმება, რომ ინტეგრალი განსხვავდება. მართლაც,

შედეგად მიღებული გაურკვევლობა შეიძლება გამოვლინდეს სხვადასხვა გზით, რადგან e და d დამოუკიდებლად მიდრეკილია ნულისკენ. კერძოდ, e = d-ის დაყენებით, ვიღებთ არასათანადო ინტეგრალის ძირითად მნიშვნელობას 0-ის ტოლი. თუ e = 1/n, და d =1/n 2, ე.ი. d მიდრეკილია 0-ით უფრო სწრაფად ვიდრე e, მაშინ მივიღებთ

როდის და პირიქით,

იმათ. ინტეგრალი განსხვავდება.ნ

მაგალითი 2.12.

განვიხილოთ არასათანადო ინტეგრალი სინგულარული წერტილით x = 0. ფუნქციის ანტიწარმოებულს აქვს ფორმა და უწყვეტია x = 0 წერტილში. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა:

განსაზღვრული რიმანის ინტეგრალის ცნების ბუნებრივი განზოგადება რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის შემთხვევისთვის არის მრავალჯერადი ინტეგრალის ცნება. ორი ცვლადის შემთხვევაში, ასეთი ინტეგრალები ეწოდება ორმაგი.

განვიხილოთ ორგანზომილებიანი ევკლიდური სივრცე R'R, ე.ი. თვითმფრინავზე დეკარტის კოორდინატთა სისტემით, კომპლექტი ესაბოლოო ფართობი ს.

მოდით აღვნიშნოთ ( მე = 1, …, კ) დანაყოფის დაყენება ე, ე.ი. მისი ქვეჯგუფების ასეთი სისტემა ემე, მე = 1,. . ., კ, რომ Ø i ¹ j-სთვის და (ნახ. 2.5). აქ ჩვენ აღვნიშნავთ ქვეჯგუფს ემე მისი საზღვრის გარეშე, ე.ი. E i ქვესიმრავლის შიდა წერტილები, რომლებიც მის საზღვართან ერთად გრ ემე ვქმნი დახურულ ქვეჯგუფს ემე, . გასაგებია, რომ ტერიტორია ს(ეი) ქვესიმრავლეები ემე ემთხვევა მისი ინტერიერის ფართობს, ვინაიდან საზღვრის ფართობი GREმე ნულის ტოლია.

დ(E i) აღვნიშნოთ მითითებული დიამეტრიე მე, ე.ი. მაქსიმალური მანძილი მის ორ წერტილს შორის. სიდიდე l(t) = d(E i) დაერქმევა დანაყოფის სიზუსტეტ. თუ ფუნქცია f(x),x = (x, y), განისაზღვრება E-ზე, როგორც ორი არგუმენტის ფუნქცია, მაშინ ფორმის ნებისმიერი ჯამი

X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i, y i),

დამოკიდებულია როგორც f ფუნქციიდან, ასევე t დანაყოფიდან და x i О E i М t წერტილების არჩევით, ე.წ. f ფუნქციის ინტეგრალური ჯამი .

თუ f ფუნქციისთვის არსებობს მნიშვნელობა, რომელიც არ არის დამოკიდებული არც t დანაყოფებზე და არც წერტილების არჩევანზე (i = 1, ..., k), მაშინ ეს ზღვარი ე.წ. ორმაგი რიმანის ინტეგრალი f(x,y)-დან და აღინიშნება

ამ შემთხვევაში იწოდება თავად f ფუნქცია რიმანის ინტეგრირებადი.

შეგახსენებთ, რომ ფუნქციის შემთხვევაში, რომელსაც აქვს ერთი არგუმენტი, როგორც სიმრავლე ერომელზედაც ხდება ინტეგრაცია, ჩვეულებრივ აღებულია სეგმენტი , ხოლო მისი დანაყოფი t ითვლება სეგმენტებისგან შემდგარ დანაყოფად. სხვა კუთხით, როგორც ადვილი შესამჩნევია, ორმაგი რიმანის ინტეგრალის განმარტება იმეორებს განსაზღვრული რიმანის ინტეგრალის განმარტებას ერთი არგუმენტის ფუნქციისთვის.

ორი ცვლადის შეკრული ფუნქციების ორმაგ რიმანის ინტეგრალს აქვს ერთი არგუმენტის ფუნქციებისთვის განსაზღვრული ინტეგრალის ჩვეულებრივი თვისებები - წრფივობა, ადიტიურობაიმ კომპლექტებთან მიმართებაში, რომლებზეც ხდება ინტეგრაცია, კონსერვაციაინტეგრირებისას არამკაცრი უთანასწორობები, პროდუქტის ინტეგრირებაინტეგრირებული ფუნქციები და ა.შ.

რიმანის მრავალი ინტეგრალის გამოთვლა მცირდება გამოთვლამდე გამეორებული ინტეგრალები. განვიხილოთ ორმაგი რიმანის ინტეგრალის შემთხვევა. დაუშვით ფუნქცია f(x,y)განისაზღვრება E სიმრავლეზე, რომელიც დევს X ´ Y, E M X ´ Y სიმრავლეთა დეკარტის ნამრავლში.

განმეორებითი ინტეგრალით f(x, y) ფუნქციის ინტეგრალი ეწოდება, რომელშიც ინტეგრაცია თანმიმდევრულად ხორციელდება სხვადასხვა ცვლადზე, ე.ი. ფორმის ინტეგრალი

ნაკრები E(y) = (x: О E) М X ეწოდება რადიუსიადგენს E მოცემულ y-ს შესაბამისი, y О E y; სიმრავლეს E y ეწოდება - პროექტირებადააყენეთ E Y ღერძზე.

განმეორებადი ინტეგრალისთვის ასევე გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნა:

რაც, ისევე როგორც წინა, ნიშნავს, რომ პირველ რიგში, ფიქსირებული y, y О E y,ფუნქცია ინტეგრირებულია f(x, y)მიერ xსეგმენტის გასწვრივ ე(წ), რომელიც არის ნაკრების ნაწილი ეამის შესაბამისი წ.შედეგად, შიდა ინტეგრალი განსაზღვრავს ერთი ცვლადის გარკვეულ ფუნქციას - წ.ეს ფუნქცია შემდეგ ინტეგრირებულია, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქცია, როგორც ეს მითითებულია გარე ინტეგრალური სიმბოლოთი.

ინტეგრაციის რიგის შეცვლისას ვიღებთ ფორმის განმეორებით ინტეგრალს

სადაც შიდა ინტეგრაცია სრულდება y,და გარე - მიერ x.როგორ უკავშირდება ეს განმეორებადი ინტეგრალი ზემოთ განსაზღვრულ განმეორებით ინტეგრალს?

თუ არსებობს ფუნქციის ორმაგი ინტეგრალი ვ, ე.ი.

მაშინ ორივე განმეორებადი ინტეგრალი არსებობს და ისინი სიდიდით იდენტურია და ტოლია ორმაგი, ე.ი.

ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ ამ განცხადებაში ჩამოყალიბებული პირობა განმეორებით ინტეგრალებში ინტეგრაციის რიგის შეცვლის შესაძლებლობისთვის არის მხოლოდ საკმარისი, მაგრამ არა აუცილებელი.

სხვა საკმარისი პირობებიგანმეორებით ინტეგრალებში ინტეგრაციის რიგის შეცვლის შესაძლებლობები ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

თუ ინტეგრალიდან ერთი მაინც არსებობს

შემდეგ ფუნქცია f(x, y) Riemann ინტეგრირებადი გადასაღებ მოედანზე ე, მისი ორივე განმეორებითი ინტეგრალი არსებობს და უდრის ორმაგ ინტეგრალს. ნ

განმეორებითი ინტეგრალების აღნიშვნაში განვსაზღვროთ პროგნოზების და მონაკვეთების აღნიშვნა.

თუ E სიმრავლე მართკუთხედია

რომ E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d);სადაც E(y) = E x ნებისმიერი y, y О E y. ,ა E(x) = Eyნებისმიერი x-ისთვის , x О E x ..

ოფიციალური შესვლა: " y y О E yÞ E(y) = მაგÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

თუ E სიმრავლეს აქვს მოხრილი საზღვარიდა იძლევა წარმომადგენლობებს

ამ შემთხვევაში განმეორებითი ინტეგრალები იწერება შემდეგნაირად:

მაგალითი 2.13.

გამოთვალეთ ორმაგი ინტეგრალი მართკუთხა ფართობზე, დაიყვანოთ იგი განმეორებად.

ვინაიდან პირობა sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, შემდეგ შეამოწმეთ საკმარისი პირობები I ორმაგი ინტეგრალის არსებობისთვის რომელიმე განმეორებადი ინტეგრალის არსებობის სახით.

არ არის საჭირო ამის კონკრეტულად განხორციელება და შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გააგრძელოთ განმეორებითი ინტეგრალის გამოთვლა

თუ ის არსებობს, მაშინ ორმაგი ინტეგრალიც არსებობს და I = I 1 . Იმიტომ რომ

ასე რომ მე = .n

მაგალითი 2.14.

გამოთვალეთ ორმაგი ინტეგრალი სამკუთხა რეგიონზე (იხ. ნახ. 2.6), დაყვანით გამეორებამდე

გრ(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

პირველ რიგში, მოდით გადავამოწმოთ I ორმაგი ინტეგრალის არსებობა. ამისათვის საკმარისია გადავამოწმოთ განმეორებითი ინტეგრალის არსებობა.

იმათ. ინტეგრადები უწყვეტია ინტეგრაციის ინტერვალებზე, რადგან ისინი ყველა ძალაუფლების ფუნქციაა. მაშასადამე, ინტეგრალი I 1 არსებობს. ამ შემთხვევაში ორმაგი ინტეგრალიც არსებობს და უდრის ნებისმიერ განმეორებითს, ე.ი.

მაგალითი 2.15.

ორმაგი და განმეორებადი ინტეგრალის ცნებებს შორის კავშირის უკეთ გასაგებად, განიხილეთ შემდეგი მაგალითი, რომელიც შეიძლება გამოტოვოთ პირველი წაკითხვისას. მოცემულია ორი ცვლადის ფუნქცია f(x, y).

გაითვალისწინეთ, რომ ფიქსირებული x-ისთვის ეს ფუნქცია კენტია y-ში, ხოლო ფიქსირებული y-სთვის ის არის კენტი x-ში. როგორც E სიმრავლე, რომელზეც ეს ფუნქცია ინტეგრირებულია, ვიღებთ კვადრატს E = ( : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1).

პირველ რიგში განვიხილავთ განმეორებით ინტეგრალს

შიდა ინტეგრალი

მიღებულია ფიქსირებული y, -1 £ y £ 1. ვინაიდან ფიქსირებული y ინტეგრადი უცნაურია x-ში და ამ ცვლადის ინტეგრაცია ხორციელდება სეგმენტზე [-1, 1], სიმეტრიული 0 წერტილის მიმართ, მაშინ შიდა ინტეგრალი უდრის 0-ს. ცხადია, რომ გარე ინტეგრალი ნულოვანი ფუნქციის y ცვლადზე ასევე ტოლია 0-ის, ე.ი.

მეორე განმეორებადი ინტეგრალის მსგავსი მსჯელობა იწვევს იმავე შედეგს:

ასე რომ, განსახილველი f(x, y) ფუნქციისთვის განმეორებადი ინტეგრალები არსებობს და ერთმანეთის ტოლია. თუმცა, არ არსებობს f(x, y) ფუნქციის ორმაგი ინტეგრალი. ამის სანახავად, მოდით მივმართოთ განმეორებითი ინტეგრალების გამოთვლის გეომეტრიულ მნიშვნელობას.

გამეორებადი ინტეგრალის გამოსათვლელად

გამოიყენება E კვადრატის დანაყოფის სპეციალური ტიპი, ასევე ინტეგრალური ჯამების სპეციალური გამოთვლა. სახელდობრ, კვადრატი E იყოფა ჰორიზონტალურ ზოლებად (იხ. ნახ. 2.7) და თითოეული ზოლი დაყოფილია პატარა ოთხკუთხედებად. თითოეული ზოლი შეესაბამება y ცვლადის გარკვეულ მნიშვნელობას; მაგალითად, ეს შეიძლება იყოს ზოლის ჰორიზონტალური ღერძის ორდინატი.

ინტეგრალური ჯამების გამოთვლა ხდება შემდეგნაირად: პირველ რიგში, ჯამები გამოითვლება თითოეული ზოლისთვის ცალ-ცალკე, ე.ი. ფიქსირებულ y-ზე სხვადასხვა x-ისთვის და შემდეგ ეს შუალედური ჯამები ჯდება სხვადასხვა ზოლებისთვის, ე.ი. სხვადასხვა y-სთვის. თუ დანაყოფის სიზუსტე ნულისკენ მიისწრაფვის, მაშინ ლიმიტში ვიღებთ ზემოხსენებულ განმეორებით ინტეგრალს.

ცხადია, რომ მეორე განმეორებადი ინტეგრალისთვის

ნაკრები E იყოფა ვერტიკალურ ზოლებად, რომლებიც შეესაბამება სხვადასხვა x-ს. შუალედური ჯამები გამოითვლება თითოეულ ზოლში მცირე ოთხკუთხედებში, ე.ი. y-ის გასწვრივ და შემდეგ ისინი ჯამდება სხვადასხვა ზოლებისთვის, ე.ი. x-ის მიერ. ლიმიტში, როდესაც დანაყოფის სიზუსტე ნულისკენ მიისწრაფვის, ვიღებთ შესაბამის გამეორებულ ინტეგრალს.

იმის დასამტკიცებლად, რომ ორმაგი ინტეგრალი არ არსებობს, საკმარისია მოვიყვანოთ დანაყოფის ერთი მაგალითი, რომლის ინტეგრალური ჯამების გამოთვლა, იმ ზღვარში, როდესაც დანაყოფის სისუფთავე ნულისკენ მიისწრაფვის, იძლევა მნიშვნელობისგან განსხვავებულ შედეგს. განმეორებითი ინტეგრალების. მოვიყვანოთ ასეთი დანაყოფის მაგალითი, რომელიც შეესაბამება პოლარული კოორდინატთა სისტემას (r, j) (იხ. სურ. 2.8).

პოლარულ კოორდინატთა სისტემაში ნებისმიერი წერტილის პოზიცია სიბრტყეზე M 0 (x 0, y 0), სადაც x 0, y 0 არის M 0 წერტილის დეკარტის კოორდინატები, განისაზღვრება რადიუსის r 0 სიგრძით. აკავშირებს მას საწყისთან და ამ რადიუსით წარმოქმნილ კუთხესთან j 0 დადებითი x ღერძის მიმართულებით (კუთხე ითვლიება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ). აშკარაა კავშირი დეკარტისა და პოლარულ კოორდინატებს შორის:

y 0 = r 0 × sinj 0.

დანაყოფი აგებულია შემდეგნაირად. ჯერ კვადრატი E იყოფა სექტორებად, რადიუსით გამოდის კოორდინატების ცენტრიდან, შემდეგ კი თითოეული სექტორი იყოფა მცირე ტრაპეციებად სექტორის ღერძის პერპენდიკულარული ხაზებით. ინტეგრალური ჯამების გამოთვლა ხდება შემდეგნაირად: ჯერ მცირე ტრაპეციის გასწვრივ თითოეული სექტორის შიგნით მისი ღერძის გასწვრივ (r-ის გასწვრივ), შემდეგ კი ყველა სექტორში (j-ს გასწვრივ). თითოეული სექტორის პოზიცია ხასიათდება მისი j ღერძის კუთხით, ხოლო r(j) ღერძის სიგრძე დამოკიდებულია ამ კუთხეზე:

თუ ან, მაშინ;

თუ , მაშინ ;

თუ, მაშინ

თუ , მაშინ .

პოლარული დანაყოფის ინტეგრალური ჯამების ზღვარზე გადასვლისას, როდესაც დანაყოფის სისუფთავე ნულისკენ მიისწრაფვის, ჩვენ ვიღებთ ორმაგი ინტეგრალის წარმოდგენას პოლარულ კოორდინატებში. ასეთი აღნიშვნა შეიძლება მიღებულ იქნას წმინდა ფორმალური გზით, შეცვალოს დეკარტის კოორდინატები (x, y) პოლარული (r, j).

დეკარტისეულიდან პოლარულ კოორდინატებზე ინტეგრალებში გადასვლის წესების მიხედვით, განმარტებით უნდა დაწეროთ:

პოლარულ კოორდინატებში ფუნქცია f(x, y) ჩაიწერება შემდეგნაირად:

საბოლოოდ გვაქვს

შიდა ინტეგრალი (არასწორი) ბოლო ფორმულაში

სადაც r(j) ფუნქცია ზემოთ არის მითითებული, 0 £ j £ 2p , უდრის +¥ ნებისმიერი j-სთვის, რადგან

მაშასადამე, j-ზე შეფასებული ინტეგრანტი გარე ინტეგრალში არ არის განსაზღვრული რომელიმე j-სთვის. მაგრამ მაშინ თავად გარე ინტეგრალი არ არის განსაზღვრული, ე.ი. ორიგინალური ორმაგი ინტეგრალი არ არის განსაზღვრული.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია f(x, y) არ აკმაყოფილებს ორმაგი ინტეგრალის არსებობის საკმარის პირობას E სიმრავლეზე. ვაჩვენოთ, რომ ინტეგრალი

არ არსებობს. მართლაც,

ანალოგიურად, იგივე შედეგი დადგენილია ინტეგრალისთვის

ჩამოტვირთეთ Depositfiles-დან

ლექციები 5-6

თემა2. მრავალჯერადი ინტეგრალი.

ორმაგი ინტეგრალი.

საკონტროლო კითხვები.

1. ორმაგი ინტეგრალი, მისი გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა

2. ორმაგი ინტეგრალის თვისებები.

3. ორმაგი ინტეგრალის გამოთვლა დეკარტის კოორდინატებში.

4. ცვლადების ცვლილება ორმაგ ინტეგრალში. ორმაგი ინტეგრალის გამოთვლა პოლარულ კოორდინატებში.

დაუშვით ფუნქცია ზ = ვ (x , წ) განსაზღვრულია შეზღუდულ დახურულ რეგიონში დთვითმფრინავი. მოდით გავყოთ ტერიტორია დშემთხვევით ჩართული ნელემენტარული დახურული ადგილები  1 , … , ნ, რომელსაც აქვს ფართობები   1 , …,   ნდა დიამეტრები დ 1 , …, დ ნ შესაბამისად. აღვნიშნოთ დფართობის დიამეტრიდან ყველაზე დიდი  1 , … ,  ნ. ყველა სფეროში  კაირჩიეთ თვითნებური წერტილი პ კ (x კ ,ი კ) და შეადგინეთ განუყოფელი ჯამიფუნქციები ვ(x, y)

ს =
(1)

განმარტება. ორმაგი ინტეგრალიფუნქციები ვ(x, y) რეგიონის მიხედვით დგანუყოფელი ჯამის ზღვარი ეწოდება

, (2)

თუ ის არსებობს.

კომენტარი. კუმულაციური ჯამი სდამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ იყოფა ტერიტორია დდა ქულების შერჩევა პ კ (კ=1, …, ნ). თუმცა, ლიმიტი
თუ ის არსებობს, ეს არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ როგორ არის დაყოფილი ტერიტორია დდა ქულების შერჩევა პ კ .

ორმაგი ინტეგრალის არსებობის საკმარისი პირობა. ორმაგი ინტეგრალი (1) არსებობს, თუ ფუნქცია ვ(x, y) უწყვეტი შიგნით დგარდა სასრული რაოდენობის ცალი გლუვი მოსახვევებისა და შეზღუდულია დ. შემდეგში ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ყველა განხილული ორმაგი ინტეგრალი არსებობს.

ორმაგი ინტეგრალის გეომეტრიული მნიშვნელობა.

თუ ვ(x, y) ≥0 ფართობზე დ, მაშინ ორმაგი ინტეგრალი (1) უდრის ნახატზე ნაჩვენები "ცილინდრული" სხეულის მოცულობას:

ვ =
(3)

ცილინდრული სხეული ქვევით შემოიფარგლება რეგიონით დ, ზემოდან - ზედაპირის ნაწილი ზ = ვ (x , წ), გვერდებიდან - ამ ზედაპირისა და რეგიონის საზღვრების დამაკავშირებელი ვერტიკალური სწორი სეგმენტებით დ.

ორმაგი ინტეგრალის ფიზიკური მნიშვნელობა. ბრტყელი ფირფიტის მასა.

მიეცით ბრტყელი ფირფიტა დცნობილი სიმკვრივის ფუნქციით γ( X,ზე), შემდეგ დაყავით D ფირფიტა D ნაწილებად მედა თვითნებური პუნქტების არჩევა
, ვიღებთ ფირფიტის მასისთვის
ან, ფორმულასთან შედარებით (2):

(4)

4. ორმაგი ინტეგრალის ზოგიერთი თვისება.

წრფივობა.თუ თანარის რიცხვითი მუდმივი, მაშინ

ადიტიურობა.თუ ტერიტორია დ "გატეხილი" უბნებად დ 1 და დ 2, მაშინ

3) შეზღუდული ტერიტორიის ფართობი დტოლია

(5)

ორმაგი ინტეგრალის გამოთვლა დეკარტის კოორდინატებში.

მიეცით ტერიტორია

სურათი 1

D= { (x , წ ): a ≤ x ≤ ბ , φ 1 (x ) ≤ y≤ φ 2 (x ) } (6)

რეგიონი დ ჩასმულია ზოლში სწორ ხაზებს შორის x = ა , წ = ბ, შემოსაზღვრულია ქვემოდან და ზემოდან, შესაბამისად, მოსახვევებით წ = φ 1 (x ) და წ = φ 2 (x ) .

ორმაგი ინტეგრალი (1) რეგიონზე დ(4) გამოითვლება განმეორებით ინტეგრალზე გადასვლით:

(7)

ეს განმეორებადი ინტეგრალი გამოითვლება შემდეგნაირად. პირველ რიგში, გამოითვლება შიდა ინტეგრალი

ცვლადის მიხედვით წ, სადაც xგანიხილება მუდმივი. შედეგი იქნება ცვლადის ფუნქცია x, და შემდეგ გამოითვლება ამ ფუნქციის „გარე“ ინტეგრალი ცვლადზე x .

კომენტარი. (7) ფორმულის მიხედვით განმეორებით ინტეგრალზე გადასვლის პროცესს ხშირად უწოდებენ ინტეგრაციის ლიმიტების განთავსებას ორმაგ ინტეგრალში. ინტეგრაციის ლიმიტების დადგენისას, თქვენ უნდა გახსოვდეთ ორი წერტილი. ჯერ ერთი, ინტეგრაციის ქვედა ზღვარი არ უნდა აღემატებოდეს ზედას და მეორეც, გარე ინტეგრალის საზღვრები უნდა იყოს მუდმივი, შიდა კი, ზოგად შემთხვევაში, დამოკიდებული იყოს გარე ინტეგრალის ინტეგრაციულ ცვლადზე.

მოდით ახლა ტერიტორია დროგორც ჩანს

D= { (x , წ ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (წ ) ≤ x ≤ ψ 2 (წ ) } . (8)

მერე

. (9)

დავუშვათ, რომ ტერიტორია დშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც (6) და (8) ერთდროულად. მაშინ თანასწორობა რჩება

(10)

გადასვლას ერთი განმეორებადი ინტეგრალიდან მეორეზე ტოლობით (10) ეწოდება ინტეგრაციის რიგის შეცვლაორმაგ ინტეგრალში.

მაგალითები.

1) ინტეგრალში ინტეგრაციის რიგის შეცვლა

გამოსავალი. განმეორებითი ინტეგრალის ფორმის გამოყენებით ვპოულობთ რეგიონს

D= { (x , წ ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

მოდით ასახოთ ტერიტორია დ. ფიგურიდან ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ტერიტორია მდებარეობს ჰორიზონტალურ ზოლში სწორ ხაზებს შორის წ =0, წ=2 და ხაზებს შორის x =0 და x= დ

ზოგჯერ, გამოთვლების გასამარტივებლად, ხდება ცვლადების ცვლილება:

,
(11)

თუ ფუნქციები (11) განუწყვეტლივ დიფერენცირებადია და განმსაზღვრელი (იაკობიანი) ნულოვანია განხილულ დომენში:

(12)

რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო

კურსის მუშაობა

დისციპლინა: უმაღლესი მათემატიკა

(ხაზოვანი პროგრამირების საფუძვლები)

თემაზე: მრავლობითი ინტეგრალები

დაასრულა: ______________

მასწავლებელი:___________

თარიღი __________________

კლასი _________________

ხელმოწერა ________________

ვორონეჟი 2008 წ

1 მრავალჯერადი ინტეგრალი

1.1 ორმაგი ინტეგრალი

1.2 სამმაგი ინტეგრალი

1.3 მრავლობითი ინტეგრალი მრუდის კოორდინატებში

1.4 მრავალი ინტეგრალის გეომეტრიული და ფიზიკური გამოყენება

2 მრუდი და ზედაპირული ინტეგრალი

2.1 მრუდი ინტეგრალები

2.2 ზედაპირული ინტეგრალები

2.3 გეომეტრიული და ფიზიკური აპლიკაციები

ბიბლიოგრაფია

1 მრავალჯერადი ინტეგრალი

1.1 ორმაგი ინტეგრალი

განვიხილოთ დახურული რეგიონი D Oxy სიბრტყეში, რომელიც შემოიფარგლება L წრფით. მოდით გავყოთ ეს რეგიონი n ნაწილად რამდენიმე წრფით.

მოდით, D დომენში მოცემული იყოს z = f(x, y) ფუნქცია. მოდით ავღნიშნოთ f(P 1), f(P 2),…, f(P n) ამ ფუნქციის მნიშვნელობები არჩეულ წერტილებზე და შევადგინოთ f(P i)ΔS i ფორმის პროდუქციის ჯამი:

ეწოდება ინტეგრალური ჯამი f(x, y) ფუნქციისთვის D დომენში.

თუ არსებობს ინტეგრალური ჯამების (1) იგივე ზღვარი

ორმაგი ინტეგრალის გამოთვლა ხაზებით შემოსაზღვრულ D რეგიონზე

1.2 სამმაგი ინტეგრალი

სამმაგი ინტეგრალის ცნება შემოტანილია ორმაგი ინტეგრალის ანალოგიით.

მოცემული იყოს V რეგიონი სივრცეში, რომელიც შემოიფარგლება დახურული ზედაპირით S. განვსაზღვროთ უწყვეტი ფუნქცია f(x, y, z) ამ დახურულ რეგიონში. შემდეგ ვყოფთ V რეგიონს თვითნებურ ნაწილებად Δv i, თითოეული ნაწილის მოცულობის გათვალისწინებით Δv i-ის ტოლი და შევადგენთ ფორმის განუყოფელ ჯამს.

ლიმიტი ზე

f(x,y,z) ფუნქციის სამმაგი ინტეგრალი V რეგიონზე ტოლია სამმაგი ინტეგრალის იმავე რეგიონში:

1.3 მრავლობითი ინტეგრალი მრუდის კოორდინატებში

მოდით შემოვიტანოთ მრუდი კოორდინატები სიბრტყეზე, რომელსაც პოლარს უწოდებენ. ავირჩიოთ წერტილი O (პოლუსი) და მისგან გამომავალი სხივი (პოლარული ღერძი).

ბრინჯი. 2 ნახ. 3

M წერტილის კოორდინატები (ნახ. 2) იქნება MO სეგმენტის სიგრძე - პოლარული რადიუსი ρ და კუთხე φ MO-სა და პოლარულ ღერძს შორის: M(ρ,φ). გაითვალისწინეთ, რომ სიბრტყის ყველა წერტილისთვის, გარდა პოლუსისა, ρ > 0 და პოლარული კუთხე φ ჩაითვლება დადებითად, როდესაც იზომება საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით და უარყოფითი, როდესაც იზომება საპირისპირო მიმართულებით.

M წერტილის პოლარულ და დეკარტის კოორდინატებს შორის კავშირი შეიძლება დადგინდეს დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისის პოლუსთან და დადებითი ნახევრადღერძის Ox-ის პოლარული ღერძის გასწორებით (ნახ. 3). შემდეგ x=ρcosφ, y=ρsinφ. აქედან

მოდით განვსაზღვროთ D რეგიონში, რომელიც შემოიფარგლება მრუდებით ρ=Φ 1 (φ) და ρ=Φ 2 (φ), სადაც φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

სამგანზომილებიან სივრცეში შემოტანილია ცილინდრული და სფერული კოორდინატები.

P(ρ,φ,z) წერტილის ცილინდრული კოორდინატები არის ამ წერტილის პროექციის ρ, φ პოლარული კოორდინატები Oxy სიბრტყეზე და ამ z წერტილის აპლიკაცია (ნახ. 5).

სურ.5 სურ.6

ცილინდრულიდან დეკარტის კოორდინატებზე გადასვლის ფორმულები შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

სფერულ კოორდინატებში წერტილის პოზიცია სივრცეში განისაზღვრება წრფივი კოორდინატით r - მანძილი წერტილიდან დეკარტის კოორდინატთა სისტემის საწყისამდე (ან სფერული სისტემის პოლუსამდე), φ - პოლარული კუთხე დადებითს შორის. ნახევრადღერძი Ox და წერტილის პროექცია Ox-ის სიბრტყეზე, და θ - კუთხე Oz ღერძის დადებით ნახევრადღერძსა და OP სეგმენტს შორის (ნახ. 6). სადაც

მოდით დავაყენოთ ფორმულები სფერულიდან დეკარტის კოორდინატებზე გადასვლისთვის:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

შემდეგ სამმაგ ინტეგრალში ცილინდრულ ან სფერულ კოორდინატებზე გადასვლის ფორმულები ასე გამოიყურება:

სადაც F 1 და F 2 არის ფუნქციები, რომლებიც მიღებულია მათი გამონათქვამების ჩანაცვლებით ცილინდრული (8) ან სფერული (9) კოორდინატებით f ფუნქციაში x, y, z-ის ნაცვლად.

1.4 მრავალი ინტეგრალის გეომეტრიული და ფიზიკური გამოყენება

1) ბრტყელი რეგიონის ტერიტორია S:

მაგალითი 1.

იპოვეთ ხაზებით შემოსაზღვრული D ფიგურის ფართობი

მოსახერხებელია ამ ფართობის გამოთვლა y-ის გარე ცვლადად დათვლით. შემდეგ რეგიონის საზღვრები მოცემულია განტოლებებით