როგორ ავაშენოთ მოცემულის ტოლი ვექტორი. ვექტორები მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის

სტანდარტული განმარტება: "ვექტორი არის მიმართული სეგმენტი." ეს არის, როგორც წესი, კურსდამთავრებულის ცოდნა ვექტორების შესახებ. ვის სჭირდება რაიმე „მიმართული სეგმენტები“?

მაგრამ მართლაც, რა არის ვექტორები და რისთვის არიან ისინი?
ამინდის პროგნოზი. "ჩრდილო-დასავლეთის ქარი, სიჩქარე 18 მეტრი წამში." ვეთანხმები, ქარის მიმართულებაც (საიდან უბერავს) და მოდული (ანუ აბსოლუტური მნიშვნელობა) მისი სიჩქარე.

სიდიდეებს, რომლებსაც არ აქვთ მიმართულება, ეწოდება სკალარული. მასა, სამუშაო, ელექტრო მუხტიარ არის მიმართული არსად. ისინი ხასიათდებიან მხოლოდ რიცხვითი მნიშვნელობა- "რამდენი კილოგრამი" ან "რამდენი ჯოული".

ფიზიკური რაოდენობები, რომლებსაც არა მარტო აბსოლუტური მნიშვნელობა, არამედ მიმართულებას უწოდებენ ვექტორს.

სიჩქარე, ძალა, აჩქარება - ვექტორები. მათთვის „რამდენი“ მნიშვნელოვანია და „სად“ მნიშვნელოვანია. მაგალითად, აჩქარება თავისუფალი დაცემა მიმართულია დედამიწის ზედაპირისკენ და მისი სიდიდეა 9,8 მ/წმ 2. იმპულსი, ელექტრული ველის სიძლიერე, ინდუქცია მაგნიტური ველი- ასევე ვექტორული რაოდენობები.

გახსოვთ ეს ფიზიკური რაოდენობითაღინიშნება ასოებით, ლათინური ან ბერძნული. ასოს ზემოთ ისარი მიუთითებს, რომ რაოდენობა ვექტორულია:

აი კიდევ ერთი მაგალითი.
მანქანა მოძრაობს A-დან B-მდე. საბოლოო შედეგი არის მისი მოძრაობა A წერტილიდან B წერტილამდე, ანუ მოძრაობა ვექტორით.

ახლა გასაგებია, რატომ არის ვექტორი მიმართული სეგმენტი. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ვექტორის ბოლო არის ისარი. ვექტორის სიგრძეამ სეგმენტის სიგრძეს უწოდებენ. მითითებულია: ან

აქამდე ვიმუშავეთ სკალარული რაოდენობები, არითმეტიკისა და ელემენტარული ალგებრის წესების მიხედვით. ვექტორები ახალი კონცეფციაა. ეს არის მათემატიკური ობიექტების კიდევ ერთი კლასი. მათ აქვთ საკუთარი წესები.

ოდესღაც ჩვენ არაფერი ვიცოდით ციფრების შესახებ. ჩემი მათთან გაცნობა დაწყებით სკოლაში დაიწყო. აღმოჩნდა, რომ რიცხვების ერთმანეთთან შედარება, დამატება, გამოკლება, გამრავლება და გაყოფა შეიძლება. გავიგეთ, რომ არსებობს რიცხვი ერთი და რიცხვი ნული.
ახლა ჩვენ გავეცნობით ვექტორებს.

ვექტორებისთვის "მეტი" და "ნაკლები" ცნებები არ არსებობს - ყოველივე ამის შემდეგ, მათი მიმართულებები შეიძლება განსხვავებული იყოს. მხოლოდ ვექტორული სიგრძის შედარება შეიძლება.

მაგრამ არსებობს ვექტორების თანასწორობის კონცეფცია.
თანაბარივექტორებს უწოდებენ იგივე სიგრძეებიდა იგივე მიმართულება. ეს ნიშნავს, რომ ვექტორი შეიძლება გადავიდეს თავის პარალელურად სიბრტყის ნებისმიერ წერტილში.
მარტოხელაარის ვექტორი, რომლის სიგრძეა 1. ნული არის ვექტორი, რომლის სიგრძე არის ნული, ანუ მისი დასაწყისი ემთხვევა დასასრულს.

ყველაზე მოსახერხებელია ვექტორებთან მუშაობა მართკუთხა სისტემაკოორდინატები - იგივე, რომელშიც ვხატავთ ფუნქციის გრაფიკებს. კოორდინატთა სისტემის თითოეულ წერტილს შეესაბამება ორი რიცხვი - მისი x და y კოორდინატები, აბსცისა და ორდინატი.
ვექტორი ასევე მითითებულია ორი კოორდინატით:

აქ ვექტორის კოორდინატები იწერება ფრჩხილებში - x და y-ში.
ისინი უბრალოდ გვხვდება: ვექტორის დასასრულის კოორდინატი მინუს მისი დასაწყისის კოორდინატი.

თუ ვექტორის კოორდინატები მოცემულია, მისი სიგრძე ფორმულით არის ნაპოვნი

ვექტორის დამატება

ვექტორების დამატების ორი გზა არსებობს.

1. პარალელოგრამის წესი. ვექტორების დასამატებლად და , ვათავსებთ ორივეს საწყისს ერთ წერტილში. ვაშენებთ პარალელოგრამამდე და იმავე წერტილიდან ვხატავთ პარალელოგრამის დიაგონალს. ეს იქნება ვექტორების ჯამი და .

გახსოვთ ზღაპარი გედების, კიბოსა და პიკის შესახებ? ძალიან ცდილობდნენ, მაგრამ ურემი ადგილიდან არ გადაუძვრათ. ყოველივე ამის შემდეგ, ძალების ვექტორული ჯამი, რომელიც მათ მიმართეს ეტლზე, ნულის ტოლი იყო.

2. ვექტორების დამატების მეორე გზა არის სამკუთხედის წესი. ავიღოთ იგივე ვექტორები და . მეორის დასაწყისს დავამატებთ პირველი ვექტორის ბოლოს. ახლა დავაკავშიროთ პირველის დასაწყისი და მეორის დასასრული. ეს არის ვექტორების ჯამი და .

იგივე წესის გამოყენებით შეგიძლიათ დაამატოთ რამდენიმე ვექტორი. ვაწყობთ მათ ერთმანეთის მიყოლებით და შემდეგ ვაკავშირებთ პირველის დასაწყისს უკანასკნელის ბოლოს.

წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ მიდიხართ A წერტილიდან B წერტილამდე, B-დან C-მდე, C-დან D-მდე, შემდეგ E-მდე და F-მდე. ამ მოქმედებების საბოლოო შედეგი არის მოძრაობა A-დან F-მდე.

ვექტორების დამატებისას მივიღებთ:

ვექტორული გამოკლება

ვექტორი მიმართულია ვექტორის საპირისპიროდ. ვექტორების სიგრძე და ტოლია.

ახლა გასაგებია რა არის ვექტორული გამოკლება. ვექტორული განსხვავება და არის ვექტორისა და ვექტორის ჯამი.

ვექტორის გამრავლება რიცხვზე

როდესაც ვექტორი მრავლდება k რიცხვზე, მიიღება ვექტორი, რომლის სიგრძე k-ჯერ განსხვავდება სიგრძისგან. ის თანამიმართულებულია ვექტორთან, თუ k ნულზე მეტია და საპირისპიროა, თუ k ნულზე ნაკლებია.

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი

ვექტორები შეიძლება გამრავლდეს არა მხოლოდ რიცხვებით, არამედ ერთმანეთითაც.

ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსის ნამრავლი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჩვენ გავამრავლეთ ორი ვექტორი და შედეგი იყო სკალარი, ანუ რიცხვი. მაგალითად, ფიზიკაში მექანიკური მუშაობაორი ვექტორის სკალარული ნამრავლის ტოლია - ძალა და გადაადგილება:

თუ ვექტორები პერპენდიკულარულია, მათი წერტილოვანი პროდუქტიუდრის ნულს.
და ასე გამოიხატება სკალარული ნამრავლი ვექტორების კოორდინატებით და:

სკალარული პროდუქტის ფორმულიდან შეგიძლიათ იპოვოთ კუთხე ვექტორებს შორის:

ეს ფორმულა განსაკუთრებით მოსახერხებელია სტერეომეტრიაში. მაგალითად, პრობლემა 14 პროფილის ერთიანი სახელმწიფო გამოცდამათემატიკაში თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის ან წრფესა და სიბრტყეს შორის. პრობლემა 14 ხშირად რამდენიმეჯერ უფრო სწრაფად წყდება ვექტორული მეთოდის გამოყენებით, ვიდრე კლასიკური მეთოდის გამოყენებით.

IN სკოლის სასწავლო გეგმამათემატიკაში ისინი სწავლობენ ვექტორების მხოლოდ სკალარული ნამრავლს.
გამოდის, რომ სკალარულის გარდა, არსებობს ასევე ვექტორული პროდუქტიორი ვექტორის გამრავლებისას ვექტორი მიიღება. ვინც ფიზიკაში გადის ერთიან სახელმწიფო გამოცდას, იცის რა არის ლორენცის ძალა და ამპერის ძალა. ამ ძალების პოვნის ფორმულები მოიცავს ვექტორულ პროდუქტებს.

ვექტორები ძალიან სასარგებლო მათემატიკური ინსტრუმენტია. ამას პირველ წელს ნახავთ.

შესვლის დონე

კოორდინატები და ვექტორები. ყოვლისმომცველი სახელმძღვანელო (2019)

ამ სტატიაში ჩვენ დავიწყებთ ერთი „ჯადოსნური ჯოხის“ განხილვას, რომელიც საშუალებას მოგცემთ შეამციროთ მრავალი გეომეტრიის პრობლემა მარტივ არითმეტიკამდე. ამ „ჯოხს“ შეუძლია თქვენი ცხოვრება ბევრად გაგიადვილოთ, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც არ ხართ დარწმუნებული სივრცითი ფიგურების, სექციების და ა.შ. აგებულებაში. ეს ყველაფერი გარკვეულ ფანტაზიას და პრაქტიკულ უნარებს მოითხოვს. მეთოდი, რომლის განხილვას დავიწყებთ აქ, საშუალებას მოგცემთ თითქმის მთლიანად აბსტრაგირებული იყოს ნებისმიერი სახისგან გეომეტრიული კონსტრუქციებიდა მსჯელობა. მეთოდს ე.წ "კოორდინაციის მეთოდი". ამ სტატიაში განვიხილავთ შემდეგ კითხვებს:

1. საკოორდინაციო თვითმფრინავი
2. წერტილები და ვექტორები სიბრტყეზე
3. ვექტორის აგება ორი წერტილიდან
4. ვექტორის სიგრძე (მანძილი ორ წერტილს შორის).
5. სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატები
6. ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი
7. კუთხე ორ ვექტორს შორის

ვფიქრობ, თქვენ უკვე მიხვდით, რატომ ჰქვია ასე კოორდინატულ მეთოდს? მართალია, მან მიიღო ეს სახელი, რადგან არ მუშაობს გეომეტრიული ობიექტებიდა მათთან ერთად რიცხვითი მახასიათებლები(კოორდინატები). ხოლო თავად ტრანსფორმაცია, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ გეომეტრიიდან ალგებრაზე, შედგება კოორდინატთა სისტემის შემოღებაში. თუ თავდაპირველი ფიგურა ბრტყელია, მაშინ კოორდინატები ორგანზომილებიანია, ხოლო თუ ფიგურა სამგანზომილებიანია, მაშინ კოორდინატები სამგანზომილებიანია. ამ სტატიაში განვიხილავთ მხოლოდ ორგანზომილებიან შემთხვევას. და სტატიის მთავარი მიზანია გასწავლოთ, თუ როგორ გამოიყენოთ კოორდინატთა მეთოდის რამდენიმე ძირითადი ტექნიკა (ისინი ზოგჯერ გამოსადეგი აღმოჩნდება პლანიმეტრიაზე ამოცანების გადაჭრისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის B ნაწილში). ამ თემაზე შემდეგი ორი ნაწილი ეძღვნება C2 ამოცანების გადაჭრის მეთოდების განხილვას (სტერეომეტრიის პრობლემა).

სად იქნება ლოგიკური კოორდინატთა მეთოდის განხილვის დაწყება? ალბათ კოორდინატთა სისტემის კონცეფციიდან. გაიხსენეთ, როდესაც პირველად შეხვდით მას. მე-7 კლასში მეჩვენება, როცა არსებობის შესახებ შეიტყვე ხაზოვანი ფუნქცია, მაგალითად. ნება მომეცით შეგახსენოთ, რომ თქვენ ააგეთ იგი წერტილი-პუნქტით. გახსოვს? თქვენ აირჩიეთ თვითნებური რიცხვი, ჩაანაცვლეთ იგი ფორმულაში და ასე გამოთვალეთ. მაგალითად, თუ, მაშინ, თუ, მაშინ და ა.შ. რა მიიღეთ საბოლოოდ? და მიიღეთ ქულები კოორდინატებით: და. შემდეგ დახატეთ „ჯვარი“ (კოორდინატთა სისტემა), შეარჩიეთ მასზე სკალა (რამდენი უჯრედი გექნებათ ერთეულ სეგმენტად) და მონიშნეთ მასზე მიღებული წერტილები, რომლებიც შემდეგ სწორი ხაზით დააკავშირეთ ხაზი არის ფუნქციის გრაფიკი.

აქ არის რამდენიმე პუნქტი, რომელიც ცოტა უფრო დეტალურად უნდა აგიხსნათ:

1. მოხერხებულობის გამო ირჩევთ ერთ სეგმენტს, რათა ყველაფერი ლამაზად და კომპაქტურად მოთავსდეს ნახაზში.

2. მიღებულია, რომ ღერძი მიდის მარცხნიდან მარჯვნივ, ხოლო ღერძი ქვემოდან ზემოთ.

3. ისინი იკვეთებიან სწორი კუთხით და მათი გადაკვეთის წერტილს საწყისს უწოდებენ. ეს მითითებულია ასოებით.

4. წერტილის კოორდინატების ჩაწერისას, მაგალითად, მარცხნივ ფრჩხილებში არის წერტილის კოორდინატი ღერძის გასწვრივ, ხოლო მარჯვნივ, ღერძის გასწვრივ. კერძოდ, ეს უბრალოდ იმას ნიშნავს, რომ ამ ეტაპზე

5. ნებისმიერი წერტილის დასაყენებლად კოორდინატთა ღერძი, თქვენ უნდა მიუთითოთ მისი კოორდინატები (2 ნომერი)

6. ღერძზე მდებარე ნებისმიერი წერტილისთვის,

7. ღერძზე მდებარე ნებისმიერი წერტილისთვის,

8. ღერძს x-ღერძი ეწოდება

9. ღერძს y-ღერძი ეწოდება

ახლა გადავდგათ შემდეგი ნაბიჯი: მონიშნეთ ორი წერტილი. მოდით დავაკავშიროთ ეს ორი წერტილი სეგმენტთან. და ჩვენ დავსვამთ ისარს ისე, თითქოს ვხატავთ სეგმენტს წერტილიდან წერტილამდე: ანუ, ჩვენ ვაქცევთ ჩვენს სეგმენტს მიმართულს!

გახსოვთ რა ჰქვია სხვა მიმართულების სეგმენტს? მართალია, ამას ვექტორი ჰქვია!

ასე რომ, თუ დავუკავშირებთ წერტილს წერტილს, და დასაწყისი იქნება წერტილი A, დასასრული იქნება წერტილი B,შემდეგ ვიღებთ ვექტორს. თქვენც გააკეთეთ ეს მშენებლობა მე-8 კლასში, გახსოვს?

გამოდის, რომ ვექტორები, ისევე როგორც წერტილები, შეიძლება აღინიშნოს ორი რიცხვით: ამ რიცხვებს ვექტორული კოორდინატები ეწოდება. კითხვა: როგორ ფიქრობთ, საკმარისია ჩვენთვის ვიცოდეთ ვექტორის დასაწყისი და დასასრული კოორდინატების საპოვნელად? გამოდის, რომ დიახ! და ეს კეთდება ძალიან მარტივად:

ამრიგად, ვინაიდან ვექტორში წერტილი არის დასაწყისი და დასასრული დასასრული, ვექტორს აქვს შემდეგი კოორდინატები:

მაგალითად, თუ, მაშინ ვექტორის კოორდინატები

ახლა გავაკეთოთ პირიქით, ვიპოვოთ ვექტორის კოორდინატები. რა უნდა შევცვალოთ ამისთვის? დიახ, თქვენ უნდა შეცვალოთ დასაწყისი და დასასრული: ახლა ვექტორის დასაწყისი იქნება წერტილში, ხოლო დასასრული იქნება წერტილში. შემდეგ:

დააკვირდით, რა განსხვავებაა ვექტორებსა და? მათი განსხვავება მხოლოდ კოორდინატებში ნიშნებია. ისინი საპირისპიროები არიან. ეს ფაქტი ჩვეულებრივ ასე იწერება:

ზოგჯერ, თუ კონკრეტულად არ არის მითითებული, რომელი წერტილია ვექტორის დასაწყისი და რომელი დასასრული, მაშინ ვექტორები აღინიშნება ორზე მეტით. დიდი ასოებითდა ერთი პატარა, მაგალითად: და ა.შ.

ახლა ცოტა პრაქტიკასაკუთარ თავს და იპოვე შემდეგი ვექტორების კოორდინატები:

გამოცდა:

ახლა მოაგვარეთ ოდნავ უფრო რთული პრობლემა:

წერტილში დასაწყისის მქონე ვექტორს აქვს co-or-di-na-you. იპოვეთ abs-cis-su წერტილები.

ერთი და იგივე საკმაოდ პროზაულია: მოდით იყოს წერტილის კოორდინატები. მაშინ

მე შევადგინე სისტემა იმის მიხედვით, თუ რა არის ვექტორული კოორდინატები. შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები. ჩვენ გვაინტერესებს აბსცისი. მაშინ

პასუხი:

კიდევ რა შეგიძლიათ გააკეთოთ ვექტორებთან? დიახ, თითქმის ყველაფერი იგივეა, რაც ჩვეულებრივი ნომრები(გარდა იმისა, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოფა, მაგრამ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ორი გზით, რომელთაგან ერთს აქ ცოტა მოგვიანებით განვიხილავთ)

1. ვექტორები შეიძლება დაემატოს ერთმანეთს
2. ვექტორები შეიძლება გამოკლდეს ერთმანეთს
3. ვექტორები შეიძლება გამრავლდეს (ან გაიყოს) თვითნებურად არა ნულოვანი რიცხვი
4. ვექტორები შეიძლება გამრავლდეს ერთმანეთზე

ყველა ამ ოპერაციას აქვს ძალიან მკაფიო გეომეტრიული წარმოდგენა. მაგალითად, სამკუთხედის (ან პარალელოგრამის) წესი შეკრებისა და გამოკლებისთვის:

ვექტორი იჭიმება ან იკუმშება ან იცვლის მიმართულებას, როდესაც მრავლდება ან იყოფა რიცხვზე:

თუმცა, აქ ჩვენ დავინტერესდებით, რა ემართება კოორდინატებს.

1. ორი ვექტორის შეკრებისას (გამოკლებისას) ელემენტ-ელემენტს ვამატებთ (ვაკლებთ) მათ კოორდინატებს. ანუ:

2. ვექტორის რიცხვზე გამრავლების (გაყოფისას) მისი ყველა კოორდინატი მრავლდება (იყოფა) ამ რიცხვზე:

მაგალითად:

· იპოვეთ კო-ორ-დი-ნატ საუკუნე-მდე-რა.

ჯერ ვიპოვოთ თითოეული ვექტორის კოორდინატები. ორივეს ერთი და იგივე წარმოშობა აქვს - საწყისი წერტილი. მათი ბოლოები განსხვავებულია. შემდეგ,. ახლა გამოვთვალოთ ვექტორის კოორდინატები მაშინ მიღებული ვექტორის კოორდინატების ჯამი ტოლია.

პასუხი:

ახლა თავად მოაგვარეთ შემდეგი პრობლემა:

· იპოვეთ ვექტორული კოორდინატების ჯამი

ჩვენ ვამოწმებთ:

ახლა განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა: ჩვენ გვაქვს ორი წერტილი საკოორდინაციო თვითმფრინავი. როგორ მოვძებნოთ მანძილი მათ შორის? დაე, პირველი წერტილი იყოს და მეორე. მოდით აღვნიშნოთ მათ შორის მანძილი. მოდით გავაკეთოთ შემდეგი ნახაზი სიცხადისთვის:

რა გავაკეთე? პირველ რიგში, მე დავაკავშირე წერტილები და აასევე წერტილიდან გავავლე ღერძის პარალელური წრფე, ხოლო წერტილიდან ღერძის პარალელურად. გადაიკვეთა ისინი ერთ წერტილში და ქმნიან შესანიშნავ ფიგურას? რა არის მისი განსაკუთრებული? დიახ, მე და შენ თითქმის ყველაფერი ვიცით მართკუთხა სამკუთხედი. კარგად, პითაგორას თეორემა ნამდვილად. საჭირო სეგმენტი არის ამ სამკუთხედის ჰიპოტენუზა, ხოლო სეგმენტები - ფეხები. რა არის წერტილის კოორდინატები? დიახ, მათი პოვნა ადვილია სურათიდან: ვინაიდან სეგმენტები ღერძების პარალელურია და, შესაბამისად, მათი სიგრძის პოვნა ადვილია: თუ სეგმენტების სიგრძეებს, შესაბამისად, აღვნიშნავთ, მაშინ

ახლა გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა. ჩვენ ვიცით ფეხების სიგრძე, ვიპოვით ჰიპოტენუზას:

ამრიგად, ორ წერტილს შორის მანძილი არის კოორდინატებისგან კვადრატული განსხვავებების ჯამის ფესვი. ან - ორ წერტილს შორის მანძილი არის მათი დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე.

ადვილი მისახვედრია, რომ წერტილებს შორის მანძილი არ არის დამოკიდებული მიმართულებაზე. შემდეგ:

აქედან გამოვიტანთ სამ დასკვნას:

მოდით ვივარჯიშოთ ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლაზე:

მაგალითად, თუ, მაშინ მანძილი და-ს შორის უდრის

ან სხვა გზით წავიდეთ: ვიპოვოთ ვექტორის კოორდინატები

და იპოვნეთ ვექტორის სიგრძე:

როგორც ხედავთ, ეს იგივეა!

ახლა ცოტა ივარჯიშეთ:

დავალება: იპოვნეთ მანძილი მითითებულ წერტილებს შორის:

ჩვენ ვამოწმებთ:

აქ არის კიდევ რამდენიმე პრობლემა იმავე ფორმულის გამოყენებით, თუმცა ისინი ოდნავ განსხვავებულად ჟღერს:

1. იპოვეთ ქუთუთოს სიგრძის კვადრატი.

2. იპოვეთ ქუთუთოს სიგრძის კვადრატი

ვფიქრობ, თქვენ გაუმკლავდით მათ უპრობლემოდ? ჩვენ ვამოწმებთ:

1. და ეს ყურადღებისთვის) ჩვენ უკვე ვიპოვეთ ვექტორების კოორდინატები ადრე: . მაშინ ვექტორს აქვს კოორდინატები. მისი სიგრძის კვადრატი ტოლი იქნება:

2. იპოვეთ ვექტორის კოორდინატები

მაშინ მისი სიგრძის კვადრატი არის

არაფერი რთული, არა? მარტივი არითმეტიკა, მეტი არაფერი.

1. ქვემოთ მოყვანილი პრობლემების ცალსახად კლასიფიკაცია არ შეიძლება, ისინი უფრო ზოგად ერუდიციას და მარტივი ნახატების დახატვის უნარს ეხება.

იპოვეთ კუთხის სინუსი ჭრილიდან, წერტილის დამაკავშირებელი აბსცისის ღერძით.

და

როგორ ვაპირებთ აქ გაგრძელებას? ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ღერძისა და კუთხის სინუსი. სად ვეძიოთ სინუსი? მართალია, მართკუთხა სამკუთხედში. მაშ რა უნდა გავაკეთოთ? ააშენე ეს სამკუთხედი!

რა დაგვრჩენია გასაკეთებელი? იპოვეთ ჰიპოტენუზა. ამის გაკეთება შეგიძლიათ ორი გზით: პითაგორას თეორემის გამოყენებით (ფეხები ცნობილია!) ან ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით (ფაქტობრივად, იგივეა, რაც პირველი მეთოდი!). მე მეორე გზით წავალ:

პასუხი:

შემდეგი ამოცანა კიდევ უფრო ადვილი მოგეჩვენებათ. ის არის წერტილის კოორდინატებზე.

დავალება 2.წერტილიდან პერ-პენ-დი-კუ-ლიარი დაშვებულია აბ-ცისის ღერძზე. ნაი-დი-ტე აბს-სის-სუ ოს-ნო-ვა-ნია პერ-პენ-დი-კუ-ლა-რა.

მოდით დავხატოთ ნახატი:

პერპენდიკულარის ფუძე არის წერტილი, სადაც ის კვეთს x ღერძს (ღერძს), ჩემთვის ეს არის წერტილი. ნახაზი აჩვენებს, რომ მას აქვს კოორდინატები: . ჩვენ გვაინტერესებს აბსციზა - ეს არის "x" კომპონენტი. ის თანაბარია.

პასუხი: .

დავალება 3.წინა ამოცანის პირობებში იპოვეთ მანძილების ჯამი წერტილიდან კოორდინატთა ღერძებამდე.

ამოცანა ზოგადად ელემენტარულია, თუ იცით რა მანძილია წერტილიდან ღერძებამდე. იცი? იმედი მაქვს, მაგრამ მაინც შეგახსენებთ:

მაშ, ჩემს ნახატში უკვე დავხატე ერთი ასეთი პერპენდიკულარი? რომელ ღერძზეა? ღერძამდე. და რა არის მისი სიგრძე მაშინ? ის თანაბარია. ახლა თავად დახაზეთ ღერძის პერპენდიკულარი და იპოვეთ მისი სიგრძე. თანაბარი იქნება, არა? მაშინ მათი ჯამი ტოლია.

პასუხი: .

დავალება 4.მე-2 ამოცანის პირობებში იპოვეთ აბსცისის ღერძის მიმართ სიმეტრიული წერტილის ორდინატი.

ვფიქრობ, თქვენთვის ინტუიციურად გასაგებია, რა არის სიმეტრია? ბევრი ობიექტი აქვს: ბევრი შენობა, მაგიდა, თვითმფრინავი, ბევრი გეომეტრიული ფორმები: ბურთი, ცილინდრი, კვადრატი, რომბი და ა.შ. უხეშად რომ ვთქვათ, სიმეტრია შეიძლება ასე გავიგოთ: ფიგურა შედგება ორი (ან მეტი) იდენტური ნახევრისგან. ამ სიმეტრიას ეწოდება ღერძული სიმეტრია. მაშინ რა არის ღერძი? ეს არის ზუსტად ის ხაზი, რომლის გასწვრივ ფიგურა შეიძლება, შედარებით რომ ვთქვათ, "გაიჭრას". იდენტური ნახევრები(ამ სურათზე სიმეტრიის ღერძი სწორია):

ახლა დავუბრუნდეთ ჩვენს ამოცანას. ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენ ვეძებთ წერტილს, რომელიც სიმეტრიულია ღერძის მიმართ. მაშინ ეს ღერძი არის სიმეტრიის ღერძი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა აღვნიშნოთ წერტილი ისე, რომ ღერძი სეგმენტს ორ თანაბარ ნაწილად ჭრის. შეეცადეთ თავად მონიშნოთ ასეთი წერტილი. ახლა შეადარეთ ჩემს გადაწყვეტას:

შენთანაც ასე გამოვიდა? კარგად! გვაინტერესებს ნაპოვნი წერტილის ორდინატი. თანაბარია

პასუხი:

ახლა მითხარი, რამდენიმე წამის ფიქრის შემდეგ როგორი იქნება წერტილის სიმეტრიული აბსციზა ორდინატთან მიმართებით A წერტილთან? რა არის შენი პასუხი? სწორი პასუხი:.

ზოგადად, წესი შეიძლება დაიწეროს ასე:

აბსცისის ღერძის მიმართ სიმეტრიულ წერტილს აქვს კოორდინატები:

სიმეტრიულ წერტილს ორდინატთა ღერძთან მიმართებაში აქვს კოორდინატები:

ისე, ახლა სრულიად საშინელებაა დავალება: იპოვეთ წერტილის სიმეტრიული წერტილის კოორდინატები საწყისის მიმართ. ჯერ შენ თვითონ იფიქრე და მერე ჩემს ნახატს შეხედე!

პასუხი:

ახლა პარალელოგრამის პრობლემა:

დავალება 5: წერტილები გამოჩნდება ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. იპოვეთ ან-დი-იმ წერტილი.

ამ პრობლემის გადაჭრა შეგიძლიათ ორი გზით: ლოგიკით და კოორდინატთა მეთოდით. ჯერ კოორდინატთა მეთოდს გამოვიყენებ, შემდეგ კი გეტყვით, როგორ შეგიძლიათ მისი სხვაგვარად ამოხსნა.

სავსებით ნათელია, რომ წერტილის აბსციზა ტოლია. (ის დევს წერტილიდან აბსცისის ღერძამდე გამოყვანილ პერპენდიკულარზე). ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ორდინატი. ვისარგებლოთ იმით, რომ ჩვენი ფიგურა პარალელოგრამია, ეს ნიშნავს იმას. მოდით ვიპოვოთ სეგმენტის სიგრძე ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით:

ჩვენ ვამცირებთ წერტილის ღერძთან დამაკავშირებელ პერპენდიკულარს. გადაკვეთის წერტილს ასოთი აღვნიშნავ.

სეგმენტის სიგრძე ტოლია. (თქვენ თვითონ იპოვეთ პრობლემა, სადაც განვიხილეთ ეს წერტილი), შემდეგ ჩვენ ვიპოვით სეგმენტის სიგრძეს პითაგორას თეორემის გამოყენებით:

სეგმენტის სიგრძე ზუსტად ემთხვევა მის ორდინატს.

პასუხი: .

კიდევ ერთი გამოსავალი (მე უბრალოდ მივცემ სურათს, რომელიც ასახავს მას)

გადაწყვეტის პროგრესი:

1. ჩატარება

2. იპოვეთ წერტილისა და სიგრძის კოორდინატები

3. დაამტკიცე რომ.

კიდევ ერთი სეგმენტის სიგრძის პრობლემა:

წერტილები გამოჩნდება სამკუთხედების თავზე. იპოვეთ მისი შუა ხაზის სიგრძე, პარალელური.

გახსოვთ რა არის შუა ხაზისამკუთხედი? მაშინ ეს ამოცანა თქვენთვის ელემენტარულია. თუ არ გახსოვთ, მაშინ შეგახსენებთ: სამკუთხედის შუა ხაზი არის ხაზი, რომელიც აკავშირებს შუა წერტილებს მოპირდაპირე მხარეები. ის ფუძის პარალელურია და მისი ნახევრის ტოლია.

ბაზა არის სეგმენტი. მისი სიგრძე ადრე უნდა გვეძია, თანაბარია. მაშინ შუა ხაზის სიგრძე ნახევრად დიდი და ტოლია.

პასუხი: .

კომენტარი: ამ პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია სხვა გზით, რასაც ცოტა მოგვიანებით შევეხებით.

ამასობაში, აქ არის რამდენიმე პრობლემა თქვენთვის, ივარჯიშეთ მათთან ერთად, ისინი ძალიან მარტივია, მაგრამ ისინი დაგეხმარებათ უკეთ გამოიყენოთ კოორდინატთა მეთოდი!

1. ქულები არის ტრაპეციების ზედა. იპოვეთ მისი შუა ხაზის სიგრძე.

2. ქულები და გარეგნობა ვერ-ში-ნა-მი პა-რალ-ლე-ლო-გრამ-მა. იპოვნეთ ან-დი-იმ წერტილი.

3. იპოვეთ სიგრძე ჭრილიდან, წერტილის დამაკავშირებელი და

4. იპოვეთ ფართობი ფერადი ფიგურის უკან კოორდინატულ სიბრტყეზე.

5. წერტილში გადის წრე, რომლის ცენტრია na-cha-le ko-or-di-nat. იპოვეთ მისი რა-დი-უს.

6. წრის იპოვე-დი-ტე რა-დი-უს, აღწერე-სან-ნოი მართკუთხა-ნო-კა-ს შესახებ, რაღაცის მწვერვალები აქვს თანა-ან -დი-ნა-ასე პასუხისმგებელი ხარ.

გადაწყვეტილებები:

1. ცნობილია, რომ ტრაპეციის შუა ხაზი უდრის მისი ფუძეების ჯამის ნახევარს. ბაზა ტოლია და ფუძე. მაშინ

პასუხი:

2. ამ პრობლემის გადაჭრის უმარტივესი გზაა ამის აღნიშვნა (პარალელოგრამის წესი). ვექტორების კოორდინატების გამოთვლა არ არის რთული: . ვექტორების დამატებისას ემატება კოორდინატები. შემდეგ მას აქვს კოორდინატები. წერტილს ასევე აქვს ეს კოორდინატები, რადგან ვექტორის საწყისი არის წერტილი კოორდინატებთან. ჩვენ გვაინტერესებს ორდინატი. ის თანაბარია.

პასუხი:

3. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვმოქმედებთ ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის მიხედვით:

პასუხი:

4. შეხედე სურათს და მითხარი, რომელ ორ ფიგურას შორის არის დაჩრდილული ადგილი „სენდვიჩში“? ის მოქცეულია ორ კვადრატს შორის. მაშინ სასურველი ფიგურის ფართობი უდრის დიდი კვადრატის ფართობს გამოკლებული პატარას ფართობი. მხარე პატარა მოედანიარის წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი და მისი სიგრძეა

მაშინ პატარა მოედნის ფართობია

იგივე ვაკეთებთ დიდ კვადრატს: მისი გვერდი არის წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი და მისი სიგრძე უდრის

მაშინ დიდი კვადრატის ფართობია

ჩვენ ვპოულობთ სასურველი ფიგურის ფართობს ფორმულის გამოყენებით:

პასუხი:

5. თუ წრეს აქვს საწყისი ცენტრი და გადის წერტილს, მაშინ მისი რადიუსი ზუსტად იქნება სიგრძის ტოლისეგმენტი (გააკეთეთ ნახატი და მიხვდებით, რატომ არის ეს აშკარა). მოდით ვიპოვოთ ამ სეგმენტის სიგრძე:

პასუხი:

6. ცნობილია, რომ მართკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი ნახევარის ტოლიმისი დიაგონალები. მოდით ვიპოვოთ ორი დიაგონალიდან რომელიმეს სიგრძე (ბოლოს და ბოლოს, მართკუთხედში ისინი ტოლია!)

პასუხი:

აბა, გაუმკლავდი ყველაფერს? არც ისე რთული იყო ამის გარკვევა, არა? აქ მხოლოდ ერთი წესი არსებობს - შეძლოთ ვიზუალური სურათის გაკეთება და უბრალოდ „წაიკითხოთ“ მისგან ყველა მონაცემი.

ძალიან ცოტა დაგვრჩა. ფაქტიურად არის კიდევ ორი ​​წერტილი, რომელზეც მინდა განვიხილო.

შევეცადოთ გადავჭრათ ეს მარტივი პრობლემა. მოდით ორი ქულა და მიეცით. იპოვეთ სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატები. ამ პრობლემის გადაწყვეტა შემდეგია: წერტილი იყოს სასურველი შუა, შემდეგ მას აქვს კოორდინატები:

ანუ: სეგმენტის შუა კოორდინატები = სეგმენტის ბოლოების შესაბამისი კოორდინატების საშუალო არითმეტიკული.

ეს წესი ძალიან მარტივია და, როგორც წესი, არ უქმნის სირთულეებს სტუდენტებს. ვნახოთ რა პრობლემებში და როგორ გამოიყენება:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point და

2. ქულები, როგორც ჩანს, მსოფლიოს მწვერვალია. იპოვნეთ-დი-ტე ან-დი-ნა-ტუ წერტილები მის დია-გო-ნა-ლეის პერ-რე-სე-ჩე-ნია.

3. იპოვე-დი-ტე აბს-ცის-სუ ცენტრი წრის, აღწერე-სან-ნოი მართკუთხა-ნო-კა-ს შესახებ, რაღაცის მწვერვალები აქვს კო-ორ-დი-ნა-შენ ასე-პასუხისმგებლობით-მაგრამ.

გადაწყვეტილებები:

1. პირველი პრობლემა უბრალოდ კლასიკაა. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვაგრძელებთ სეგმენტის შუა ნაწილს. მას აქვს კოორდინატები. ორდინატი ტოლია.

პასუხი:

2. ადვილი მისახვედრია, რომ ეს ოთხკუთხედი პარალელოგრამია (თუნდაც რომბი!). ამის დამტკიცება თავად შეგიძლიათ გვერდების სიგრძის გამოთვლით და ერთმანეთთან შედარებით. რა ვიცი პარალელოგრამების შესახებ? მისი დიაგონალები იყოფა შუაზე გადაკვეთის წერტილით! ჰო! რა არის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი? ეს არის ნებისმიერი დიაგონალის შუა! მე ავირჩევ, კერძოდ, დიაგონალს. მაშინ წერტილს აქვს კოორდინატები წერტილის ორდინატი უდრის.

პასუხი:

3. რას ემთხვევა მართკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი? იგი ემთხვევა მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს. რა იცით მართკუთხედის დიაგონალების შესახებ? ისინი ტოლია და გადაკვეთის წერტილი მათ შუაზე ყოფს. დავალება შემცირდა წინაზე. ავიღოთ დიაგონალი, მაგალითად. მაშინ თუ არის წრეწირის ცენტრი, მაშინ არის შუა წერტილი. ვეძებ კოორდინატებს: აბსციზა ტოლია.

პასუხი:

ახლა ცოტა დამოუკიდებლად ივარჯიშე, მე უბრალოდ გავცემ პასუხებს თითოეულ პრობლემაზე, რათა შეძლოთ საკუთარი თავის გამოცდა.

1. წრის იპოვე-დი-ტე რა-დი-უს, აღწერე-სან-ნოი სამკუთხედის-ნო-კა-ს შესახებ, რაღაცის მწვერვალებს აქვს კო-ორ-დი -შენზე.

2. იპოვე-დი-ტე ან-დი-წრის ის ცენტრი, აღწერე-სან-ნოი სამკუთხედის-ნო-კა-ს შესახებ, რომლის ზევით აქვს კოორდინატები.

3. როგორი რა-დი-უ-სა უნდა იყოს წრე, რომლის ცენტრია წერტილში ისე, რომ ის ეხებოდეს აბ-ცისის ღერძს?

4. იპოვნეთ-დი-ის ან-დი-იმ ღერძის ხელახლა გადაკვეთის წერტილი და ამოჭრა, შეაერთეთ წერტილი და

პასუხები:

ყველაფერი წარმატებული იყო? ამის დიდი იმედი მაქვს! ახლა - ბოლო ბიძგი. ახლა განსაკუთრებით ფრთხილად იყავით. მასალა, რომელსაც ახლა ავხსნი, პირდაპირ კავშირშია არა მხოლოდ მარტივი დავალებებიკოორდინატულ მეთოდამდე B ნაწილიდან, მაგრამ ასევე გვხვდება ყველგან C2 პრობლემაში.

ჩემი დაპირებებიდან რომელი ჯერ არ შემისრულებია? გახსოვთ, ვექტორებზე რომელ ოპერაციებს დავპირდი შემოღებას და რომელი შევიტანე საბოლოოდ? დარწმუნებული ხარ რომ არაფერი დამავიწყდა? დაგავიწყდა! დამავიწყდა აეხსნა რას ნიშნავს ვექტორული გამრავლება.

ვექტორის ვექტორზე გამრავლების ორი გზა არსებობს. არჩეული მეთოდიდან გამომდინარე, მივიღებთ სხვადასხვა ბუნების ობიექტებს:

ჯვარედინი პროდუქტი კეთდება საკმაოდ ჭკვიანურად. როგორ გავაკეთოთ ეს და რატომ არის საჭირო, განვიხილავთ შემდეგ სტატიაში. და ამ ერთში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ სკალარულ პროდუქტზე.

არსებობს ორი გზა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ იგი:

როგორც მიხვდით, შედეგი იგივე უნდა იყოს! ასე რომ, ჯერ პირველ მეთოდს გადავხედოთ:

წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატების საშუალებით

იპოვეთ: - ზოგადად მიღებული აღნიშვნა სკალარული პროდუქტისთვის

გაანგარიშების ფორმულა შემდეგია:

ანუ სკალარული ნამრავლი = ვექტორული კოორდინატების ნამრავლების ჯამი!

მაგალითი:

იპოვე-დი-ტე

გამოსავალი:

ვიპოვოთ თითოეული ვექტორის კოორდინატები:

ჩვენ ვიანგარიშებთ სკალარულ პროდუქტს ფორმულის გამოყენებით:

პასუხი:

ნახეთ, აბსოლუტურად არაფერი რთული!

აბა, ახლა თავად სცადე:

· იპოვეთ საუკუნეების სკალარული პრო-იზ-ვე-დე-ნი და

მოახერხე? იქნებ შენიშნეთ პატარა დაჭერა? მოდით შევამოწმოთ:

ვექტორული კოორდინატები, როგორც წინა პრობლემაში! პასუხი:.

გარდა კოორდინატისა, არსებობს სკალარული ნამრავლის გამოთვლის კიდევ ერთი გზა, კერძოდ, ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსის მეშვეობით:

აღნიშნავს კუთხეს ვექტორებს შორის და.

ანუ სკალარული ნამრავლი უდრის ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლს.

რატომ გვჭირდება ეს მეორე ფორმულა, თუ გვაქვს პირველი, რომელიც გაცილებით მარტივია, ყოველ შემთხვევაში, მასში კოსინუსები არ არის. და ეს საჭიროა იმისთვის, რომ პირველი და მეორე ფორმულებიდან მე და შენ გამოვიტანოთ როგორ მოვძებნოთ კუთხე ვექტორებს შორის!

მოდით დაიმახსოვროთ ვექტორის სიგრძის ფორმულა!

შემდეგ თუ ამ მონაცემს ჩავანაცვლებ სკალარული პროდუქტის ფორმულაში, მივიღებ:

მაგრამ მეორეს მხრივ:

მერე რა მივიღეთ მე და შენ? ახლა გვაქვს ფორმულა, რომელიც საშუალებას გვაძლევს გამოვთვალოთ კუთხე ორ ვექტორს შორის! ხანდახან ასევე იწერება ასე მოკლედ:

ანუ ვექტორებს შორის კუთხის გამოთვლის ალგორითმი შემდეგია:

1. გამოთვალეთ სკალარული პროდუქტი კოორდინატების საშუალებით
2. იპოვეთ ვექტორების სიგრძეები და გაამრავლეთ ისინი
3. 1 პუნქტის შედეგი გავყოთ მე-2 პუნქტის შედეგზე

ვივარჯიშოთ მაგალითებით:

1. იპოვეთ კუთხე ქუთუთოებს შორის და. მიეცით პასუხი grad-du-sah-ში.

2. წინა ამოცანის პირობებში იპოვეთ ვექტორებს შორის კოსინუსი

მოდი ასე მოვიქცეთ: მე დაგეხმარები პირველი პრობლემის გადაჭრაში, მეორე კი თავად სცადე! ვეთანხმები? მაშინ დავიწყოთ!

1. ეს ვექტორები ჩვენი ძველი მეგობრები არიან. ჩვენ უკვე გამოვთვალეთ მათი სკალარული ნამრავლი და ტოლი იყო. მათი კოორდინატებია: , . შემდეგ ვიპოვით მათ სიგრძეებს:

შემდეგ ვეძებთ კოსინუსს ვექტორებს შორის:

რა არის კუთხის კოსინუსი? ეს არის კუთხე.

პასუხი:

აბა, ახლა თავად მოაგვარე მეორე პრობლემა და მერე შეადარე! მე მოგცემთ ძალიან მოკლე გამოსავალს:

2. აქვს კოორდინატები, აქვს კოორდინატები.

მოდით იყოს კუთხე ვექტორებს შორის და, შემდეგ

პასუხი:

უნდა აღინიშნოს, რომ პრობლემები უშუალოდ ვექტორებზე და კოორდინატთა მეთოდი B ნაწილში საგამოცდო ფურცელისაკმაოდ იშვიათი. თუმცა, C2 ამოცანების დიდი უმრავლესობა ადვილად გადაიჭრება კოორდინატთა სისტემის შემოღებით. ასე რომ, შეგიძლიათ ეს სტატია ჩათვალოთ საფუძვლად, რომლის საფუძველზეც ჩვენ გავაკეთებთ საკმაოდ ჭკვიანურ კონსტრუქციებს, რომელთა გადაჭრაც დაგვჭირდება რთული ამოცანები.

კოორდინატები და ვექტორები. საშუალო დონე

მე და შენ ვაგრძელებთ კოორდინატთა მეთოდის შესწავლას. ბოლო ნაწილში ჩვენ მივიღეთ სერია მნიშვნელოვანი ფორმულები, რომელიც საშუალებას იძლევა:

1. იპოვნეთ ვექტორული კოორდინატები
2. იპოვეთ ვექტორის სიგრძე (ალტერნატიულად: მანძილი ორ წერტილს შორის)
3. ვექტორების დამატება და გამოკლება. გაამრავლეთ ისინი რეალურ რიცხვზე
4. იპოვეთ სეგმენტის შუა წერტილი
5. გამოთვალეთ ვექტორების წერტილის ნამრავლი
6. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის

რა თქმა უნდა, მთელი კოორდინატთა მეთოდი არ ჯდება ამ 6 პუნქტში. ის საფუძვლად უდევს ისეთ მეცნიერებას, როგორიცაა ანალიტიკური გეომეტრია, რომელსაც უნივერსიტეტში გაეცნობით. მე უბრალოდ მინდა ავაშენო საძირკველი, რომელიც საშუალებას მოგცემთ გადაჭრათ პრობლემები ერთ სახელმწიფოში. გამოცდა. ჩვენ განვიხილეთ B ნაწილის ამოცანები. ახლა დროა გადავიდეთ მაღალ ხარისხზე ახალი დონე! ეს სტატია დაეთმობა C2 ამოცანების გადაჭრის მეთოდს, რომლებშიც გონივრული იქნება კოორდინატულ მეთოდზე გადასვლა. ეს გონივრულობა განისაზღვრება იმით, თუ რა უნდა მოიძებნოს პრობლემაში და რა ფიგურაა მოცემული. ასე რომ, მე გამოვიყენებდი კოორდინატთა მეთოდს, თუ კითხვებია:

1. იპოვეთ კუთხე ორ სიბრტყეს შორის
2. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის
3. იპოვეთ კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის
4. იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე
5. იპოვეთ მანძილი წერტილიდან ხაზამდე
6. იპოვნეთ მანძილი სწორი ხაზიდან სიბრტყემდე
7. იპოვნეთ მანძილი ორ ხაზს შორის

თუ პრობლემის ფორმულირებაში მოცემული ფიგურა არის ბრუნვის სხეული (ბურთი, ცილინდრი, კონუსი...)

კოორდინატთა მეთოდისთვის შესაფერისი ფიგურებია:

1. მართკუთხა პარალელეპიპედი
2. პირამიდა (სამკუთხა, ოთხკუთხა, ექვსკუთხა)

ასევე ჩემი გამოცდილებიდან ამისთვის კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება შეუსაბამოა:

1. განივი უბნების მოძიება
2. სხეულების მოცულობის გამოთვლა

თუმცა, დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ კოორდინატთა მეთოდისთვის სამი „არახელსაყრელი“ სიტუაცია პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია. უმეტეს დავალებაში, ის შეიძლება გახდეს თქვენი მხსნელი, განსაკუთრებით იმ შემთხვევაში, თუ თქვენ არ ხართ ძალიან კარგად სამგანზომილებიანი კონსტრუქციები (რაც ზოგჯერ შეიძლება საკმაოდ რთული იყოს).

რა არის ყველა ის ფიგურა, რომელიც ზემოთ ჩამოვთვალე? ისინი აღარ არიან ბრტყელი, როგორიცაა, მაგალითად, კვადრატი, სამკუთხედი, წრე, მაგრამ მოცულობითი! შესაბამისად, უნდა განვიხილოთ არა ორგანზომილებიანი, არამედ სამგანზომილებიანი სისტემაკოორდინატები მისი აგება საკმაოდ მარტივია: უბრალოდ, აბსცისა და ორდინატთა ღერძის გარდა, შემოგთავაზებთ კიდევ ერთ ღერძს, აპლიკაციურ ღერძს. ფიგურა სქემატურად გვიჩვენებს მათ შედარებით პოზიციას:

ყველა მათგანი ერთმანეთის პერპენდიკულარულია და იკვეთება ერთ წერტილში, რომელსაც კოორდინატების საწყისს დავარქმევთ. როგორც ადრე, აღვნიშნავთ აბსცისის ღერძს, ორდინატთა ღერძს - , ხოლო შემოღებულ აპლიკაციურ ღერძს - .

თუ ადრე სიბრტყის თითოეულ წერტილს ახასიათებდა ორი რიცხვი - აბსცისა და ორდინატი, მაშინ სივრცეში თითოეული წერტილი უკვე აღწერილია სამი რიცხვით - აბსცისი, ორდინატი და აპლიკატი. მაგალითად:

შესაბამისად, წერტილის აბსციზა ტოლია, ორდინატი არის , ხოლო აპლიკაცია არის .

ზოგჯერ წერტილის აბსცისს ასევე უწოდებენ წერტილის პროექციას აბსცისის ღერძზე, ორდინატს - წერტილის პროექციას ორდინატთა ღერძზე, ხოლო აპლიკატს - წერტილის პროექციას აპლიკაციურ ღერძზე. შესაბამისად, თუ მოცემულია წერტილი, მაშინ წერტილი კოორდინატებით:

ეწოდება წერტილის პროექცია სიბრტყეზე

ეწოდება წერტილის პროექცია სიბრტყეზე

ჩნდება ბუნებრივი კითხვა: მოქმედებს თუ არა სივრცეში ორგანზომილებიანი შემთხვევისთვის მიღებული ყველა ფორმულა? პასუხი არის დიახ, ისინი სამართლიანები არიან და აქვთ იგივე გარეგნობა. პატარა დეტალისთვის. მგონი უკვე მიხვდით რომელია. ყველა ფორმულაში ჩვენ უნდა დავამატოთ კიდევ ერთი ტერმინი, რომელიც პასუხისმგებელია აპლიკაციის ღერძზე. სახელდობრ.

1. თუ მოცემულია ორი ქულა: , მაშინ:

• ვექტორული კოორდინატები:
• მანძილი ორ წერტილს შორის (ან ვექტორის სიგრძე)
• სეგმენტის შუა წერტილს აქვს კოორდინატები

2. თუ მოცემულია ორი ვექტორი: და, მაშინ:

• მათი სკალარული ნამრავლი უდრის:
• ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი ტოლია:

თუმცა სივრცე არც ისე მარტივია. როგორც გესმით, კიდევ ერთი კოორდინატის დამატება მნიშვნელოვან მრავალფეროვნებას შემოაქვს ამ სივრცეში „მოსახლე“ ფიგურების სპექტრში. და შემდგომი თხრობისთვის დამჭირდება შემოვიტანო სწორი ხაზის ზოგიერთი, უხეშად რომ ვთქვათ, „განზოგადება“. ეს "განზოგადება" იქნება თვითმფრინავი. რა იცით თვითმფრინავის შესახებ? შეეცადეთ უპასუხოთ კითხვას, რა არის თვითმფრინავი? ძალიან ძნელი სათქმელია. თუმცა, ჩვენ ყველა ინტუიციურად წარმოვიდგენთ როგორ გამოიყურება:

უხეშად რომ ვთქვათ, ეს არის ერთგვარი გაუთავებელი "ფურცელი", რომელიც კოსმოსშია ჩარჩენილი. "უსასრულობა" უნდა გვესმოდეს, რომ თვითმფრინავი ვრცელდება ყველა მიმართულებით, ანუ მისი ფართობი უსასრულობის ტოლია. თუმცა, ეს "პრაქტიკული" ახსნა არ იძლევა ოდნავი წარმოდგენას თვითმფრინავის სტრუქტურის შესახებ. და ის არის ის, ვინც დაინტერესდება ჩვენით.

გავიხსენოთ გეომეტრიის ერთ-ერთი ძირითადი აქსიომა:

• სწორი ხაზი გადის სიბრტყის ორ სხვადასხვა წერტილს და მხოლოდ ერთს:

ან მისი ანალოგი სივრცეში:

რა თქმა უნდა, გახსოვთ, თუ როგორ უნდა გამოიტანოთ წრფის განტოლება ორი მოცემული წერტილიდან, ეს სულაც არ არის რთული: თუ პირველ წერტილს აქვს კოორდინატები: ხოლო მეორე, მაშინ წრფის განტოლება იქნება შემდეგი:

თქვენ ეს აიღეთ მე-7 კლასში. სივრცეში წრფის განტოლება ასე გამოიყურება: მოგვცეს ორი წერტილი კოორდინატებით: , მაშინ მათზე გამავალი წრფის განტოლებას აქვს ფორმა:

მაგალითად, ხაზი გადის წერტილებს:

როგორ უნდა გავიგოთ ეს? ეს უნდა გავიგოთ შემდეგნაირად: წერტილი დევს წრფეზე, თუ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს შემდეგ სისტემას:

ჩვენ დიდად არ დავინტერესდებით წრფის განტოლებით, მაგრამ ყურადღება უნდა მივაქციოთ ძალიან მნიშვნელოვანი კონცეფციასამართავი ვექტორი სწორი ხაზი. - ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი, რომელიც დევს მოცემულ წრფეზე ან მის პარალელურად.

მაგალითად, ორივე ვექტორი არის სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორები. იყოს წერტილი, რომელიც მდებარეობს წრფეზე და იყოს მისი მიმართულების ვექტორი. შემდეგ წრფის განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით:

კიდევ ერთხელ, მე არ დამაინტერესებს სწორი ხაზის განტოლება, მაგრამ მე ნამდვილად მჭირდება, რომ გახსოვდეთ, რა არის მიმართულების ვექტორი! ისევ: ეს არის ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი, რომელიც დევს წრფეზე ან მის პარალელურად.

გაყვანა სიბრტყის განტოლება სამ მოცემულ წერტილზე დაყრდნობითეს აღარ არის ისეთი ტრივიალური და, როგორც წესი, ეს საკითხი არ განიხილება კურსში საშუალო სკოლა. მაგრამ ამაოდ! ეს ტექნიკა სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანია, როდესაც ჩვენ მივმართავთ კოორდინატულ მეთოდს რთული პრობლემების გადასაჭრელად. თუმცა, ვვარაუდობ, რომ გსურთ რაიმე ახლის სწავლა? უფრო მეტიც, თქვენ შეძლებთ შთაბეჭდილება მოახდინოთ თქვენს მასწავლებელზე უნივერსიტეტში, როდესაც აღმოჩნდება, რომ უკვე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის ტექნიკა, რომელიც ჩვეულებრივ სწავლობს კურსზე. ანალიტიკური გეომეტრია. ასე რომ, დავიწყოთ.

სიბრტყის განტოლება არც თუ ისე განსხვავდება სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებისგან, კერძოდ, მას აქვს ფორმა:

ზოგიერთი რიცხვი (არა ყველა ნულის ტოლი), და ცვლადები, მაგალითად: და ა.შ. როგორც ხედავთ, სიბრტყის განტოლება დიდად არ განსხვავდება სწორი ხაზის განტოლებისგან (წრფივი ფუნქცია). თუმცა გახსოვს რა ვიკამათეთ მე და შენ? ჩვენ ვთქვით, რომ თუ გვაქვს სამი წერტილი, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე წრფეზე, მაშინ სიბრტყის განტოლება შეიძლება ცალსახად აღდგეს მათგან. მაგრამ როგორ? ვეცდები აგიხსნათ.

ვინაიდან თვითმფრინავის განტოლება არის:

და წერტილები ეკუთვნის ამ სიბრტყეს, მაშინ როდესაც თითოეული წერტილის კოორდინატები შევცვლით სიბრტყის განტოლებას, უნდა მივიღოთ სწორი იდენტურობა:

ამრიგად, საჭიროა ამოხსნათ სამი განტოლება უცნობით! დილემა! თუმცა, ყოველთვის შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ (ამისთვის საჭიროა გაყოფა). ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სამ განტოლებას სამი უცნობით:

თუმცა, ჩვენ არ მოვაგვარებთ ასეთ სისტემას, მაგრამ ჩამოვწერთ იდუმალ გამონათქვამს, რომელიც გამომდინარეობს მისგან:

სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილს

\[\მარცხნივ| (\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(მასივი)) \right| = 0\]

გაჩერდი! რა არის ეს? ძალიან უჩვეულო მოდული! თუმცა, ობიექტს, რომელსაც ხედავთ თქვენს წინაშე, არანაირი კავშირი არ აქვს მოდულთან. ამ ობიექტს მესამე რიგის განმსაზღვრელი ეწოდება. ამიერიდან, როცა სიბრტყეში კოორდინატების მეთოდს ეხებით, ძალიან ხშირად შეხვდებით იმავე განმსაზღვრელ ფაქტორებს. რა არის მესამე რიგის განმსაზღვრელი? უცნაურად საკმარისია, ეს მხოლოდ რიცხვია. რჩება იმის გაგება, თუ რა კონკრეტულ რიცხვს შევადარებთ განმსაზღვრელს.

მოდით, ჯერ დავწეროთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი უფრო ზოგადი ფორმით:

სად არის რამდენიმე ნომერი. უფრო მეტიც, პირველ ინდექსში ვგულისხმობთ მწკრივის ნომერს, ხოლო ინდექსის მიხედვით ვგულისხმობთ სვეტის ნომერს. მაგალითად, ეს იმას ნიშნავს მოცემული ნომერიდგას მეორე რიგისა და მესამე სვეტის კვეთაზე. ჩავიცვათ შემდეგი კითხვა: ზუსტად როგორ გამოვთვალოთ ასეთი განმსაზღვრელი? ანუ კონკრეტულად რომელ რიცხვს შევადარებთ? მესამე რიგის დეტერმინანტისთვის არსებობს ევრისტიკული (ვიზუალური) სამკუთხედის წესი, ის ასე გამოიყურება:

1. მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი (ზედა მარცხენა კუთხიდან ქვედა მარჯვნივ) ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც ქმნიან პირველ სამკუთხედს „პერპენდიკულარულად“ მთავარ დიაგონალზე მეორე სამკუთხედის „პერპენდიკულარული“ ელემენტების ნამრავლი. მთავარი დიაგონალი
2. მეორადი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლი (ზედა მარჯვენა კუთხიდან ქვედა მარცხნივ) ელემენტების ნამრავლი, რომლებიც ქმნიან პირველ სამკუთხედს „პერპენდიკულარულ“ მეორად დიაგონალზე. მეორადი დიაგონალი
3. შემდეგ განმსაზღვრელი სხვაობის ტოლინაბიჯზე მიღებული მნიშვნელობები და

თუ ამ ყველაფერს ციფრებში ჩავწერთ, მივიღებთ შემდეგ გამონათქვამს:

თუმცა, თქვენ არ გჭირდებათ ამ ფორმით გაანგარიშების მეთოდის დამახსოვრება, საკმარისია თქვენს თავში შეინახოთ სამკუთხედები და თავად წარმოდგენა იმაზე, თუ რას ემატება და რას აკლდება.

მოდი სამკუთხედის მეთოდი მაგალითით ავხსნათ:

1. გამოთვალეთ დეტერმინანტი:

მოდით გავარკვიოთ რას ვამატებთ და რას ვაკლებთ:

პირობები, რომლებიც მოყვება პლიუსს:

ეს არის მთავარი დიაგონალი: ელემენტების ნამრავლი ტოლია

პირველი სამკუთხედი, "მთავარ დიაგონალზე პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლი ტოლია

მეორე სამკუთხედი, "მთავარ დიაგონალზე პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლი ტოლია

შეაგროვეთ სამი რიცხვი:

ტერმინები, რომლებიც მოყვება მინუსს

ეს არის გვერდითი დიაგონალი: ელემენტების ნამრავლი ტოლია

პირველი სამკუთხედი, „მეორადი დიაგონალის პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლი ტოლია

მეორე სამკუთხედი, „მეორადი დიაგონალის პერპენდიკულარული: ელემენტების ნამრავლი ტოლია

შეაგროვეთ სამი რიცხვი:

რაც რჩება გასაკეთებელი არის "პლუს" ტერმინების ჯამის გამოკლება "მინუს" ტერმინების ჯამს:

ამრიგად,

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული და ზებუნებრივი მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლაში. უბრალოდ მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ სამკუთხედების შესახებ და არ დაუშვათ არითმეტიკული შეცდომები. ახლა შეეცადეთ თავად გამოთვალოთ:

დავალება: იპოვნეთ მანძილი მითითებულ წერტილებს შორის:

1. მთავარი დიაგონალის პერპენდიკულარული პირველი სამკუთხედი:
2. მეორე სამკუთხედი პერპენდიკულარული მთავარ დიაგონალზე:
3. პირობების ჯამი პლუსით:
4. პირველი სამკუთხედი პერპენდიკულარული მეორადი დიაგონალზე:
5. მეორე სამკუთხედი პერპენდიკულარული გვერდის დიაგონალზე:
6. ტერმინების ჯამი მინუსებით:
7. ტერმინების ჯამი პლიუსთან ერთად მინუს წევრთა ჯამი:

აქ არის კიდევ რამდენიმე განმსაზღვრელი, თავად გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები და შეადარეთ ისინი პასუხებთან:

პასუხები:

ისე, ყველაფერი დაემთხვა? კარგია, მაშინ შეგიძლია გააგრძელო! თუ არსებობს სირთულეები, მაშინ ჩემი რჩევა ასეთია: ინტერნეტში არის უამრავი პროგრამა განმსაზღვრელი ინტერნეტით გამოსათვლელად. ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის საკუთარი განმსაზღვრელი გამოთვალოთ, თავად გამოთვალოთ და შემდეგ შეადაროთ ის, რასაც პროგრამა ითვლის. და ასე შემდეგ, სანამ შედეგები არ დაემთხვევა. დარწმუნებული ვარ, ეს მომენტი დიდხანს არ დადგება!

ახლა დავუბრუნდეთ იმ განმსაზღვრელს, რომელიც მე დავწერე, როდესაც ვსაუბრობდი სამზე გამავალი თვითმფრინავის განტოლებაზე. მოცემული ქულები:

ყველაფერი რაც თქვენ გჭირდებათ არის მისი მნიშვნელობის პირდაპირ გამოთვლა (სამკუთხედის მეთოდის გამოყენებით) და შედეგი ნულზე დააყენეთ. ბუნებრივია, რადგან ეს ცვლადებია, თქვენ მიიღებთ მათზე დამოკიდებულ გამოხატულებას. სწორედ ეს გამონათქვამი იქნება სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ მოცემულ წერტილში, რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე!

მოდი ილუსტრაციულად განვმარტოთ ეს მარტივი მაგალითით:

1. ააგეთ წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება

ჩვენ ვაგროვებთ განმსაზღვრელს ამ სამი პუნქტისთვის:

მოდით გავამარტივოთ:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ მას პირდაპირ სამკუთხედის წესის გამოყენებით:

\[(\ მარცხნივ| (\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\ბოლო(მასივი)) \ მარჯვნივ | \cdot 5 \cdot 6 - )\]

ამრიგად, წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება არის:

ახლა შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ ერთი პრობლემა და შემდეგ განვიხილავთ მას:

2. იპოვეთ წერტილებში გამავალი სიბრტყის განტოლება

მოდით, ახლა ვისაუბროთ გამოსავალზე:

მოდით შევქმნათ განმსაზღვრელი:

და გამოთვალეთ მისი ღირებულება:

მაშინ თვითმფრინავის განტოლებას აქვს ფორმა:

ან, შემცირებით, მივიღებთ:

ახლა ორი ამოცანა თვითკონტროლისთვის:

1. შეადგინეთ სიბრტყის განტოლება, რომელიც გადის სამ წერტილში:

პასუხები:

ყველაფერი დაემთხვა? კიდევ ერთხელ, თუ გარკვეული სირთულეები არსებობს, მაშინ ჩემი რჩევა ასეთია: აიღეთ სამი ქულა თქვენი თავიდან (ალბათობის მაღალი ხარისხით ისინი არ იწვებიან იმავე სწორ ხაზზე), ააწყვეთ თვითმფრინავი მათზე დაყრდნობით. შემდეგ კი საკუთარ თავს ონლაინ ამოწმებ. მაგალითად, საიტზე:

თუმცა, დეტერმინანტების დახმარებით ჩვენ ავაშენებთ არა მხოლოდ სიბრტყის განტოლებას. დაიმახსოვრეთ, მე გითხარით, რომ ვექტორებისთვის მხოლოდ წერტილოვანი პროდუქტი არ არის განსაზღვრული. ასევე არსებობს ვექტორული პროდუქტი, ასევე შერეული პროდუქტი. და თუ ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი, მაშინ ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი იქნება ვექტორი და ეს ვექტორი იქნება მოცემულის პერპენდიკულარული:

უფრო მეტიც, მისი მოდული იქნება ფართობის ტოლივექტორებზე აგებული პარალელოგრამი და. ეს ვექტორი დაგვჭირდება წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გამოსათვლელად. როგორ გამოვთვალოთ ვექტორების ვექტორული ნამრავლი და თუ მოცემულია მათი კოორდინატები? მესამე რიგის განმსაზღვრელი ისევ გვეხმარება. თუმცა, სანამ ვექტორული ნამრავლის გამოთვლის ალგორითმზე გადავალ, მცირე დიგრესი უნდა გავაკეთო.

ეს გადახრა ეხება საბაზისო ვექტორებს.

ისინი სქემატურად არის ნაჩვენები ფიგურაში:

როგორ ფიქრობთ, რატომ უწოდებენ მათ ძირითად? საქმე იმაშია რომ:

ან სურათზე:

ამ ფორმულის მართებულობა აშკარაა, რადგან:

ვექტორული ნამუშევარი

ახლა შემიძლია დავიწყოთ ჯვარედინი პროდუქტის დანერგვა:

ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი არის ვექტორი, რომელიც გამოითვლება შემდეგი წესით:

ახლა მოდით მოვიყვანოთ ჯვარედინი პროდუქტის გამოთვლის რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითი 1: იპოვეთ ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი:

გამოსავალი: მე ვადგენ განმსაზღვრელს:

და მე ვიანგარიშებ:

ახლა საბაზისო ვექტორების მეშვეობით ჩაწერიდან, მე დავუბრუნდები ჩვეულებრივ ვექტორულ აღნიშვნას:

ამრიგად:

ახლა სცადე.

მზადაა? ჩვენ ვამოწმებთ:

და ტრადიციულად ორი დავალებები კონტროლისთვის:

1. იპოვეთ შემდეგი ვექტორების ვექტორული ნამრავლი:
2. იპოვეთ შემდეგი ვექტორების ვექტორული ნამრავლი:

პასუხები:

სამი ვექტორის შერეული პროდუქტი

ბოლო კონსტრუქცია, რომელიც მე დამჭირდება არის სამი ვექტორის შერეული ნამრავლი. ის, როგორც სკალარი, არის რიცხვი. მისი გამოთვლის ორი გზა არსებობს. - დეტერმინანტის მეშვეობით, - შერეული პროდუქტის მეშვეობით.

კერძოდ, მოგვცეს სამი ვექტორი:

შემდეგ სამი ვექტორის შერეული ნამრავლი, რომელიც აღინიშნება, შეიძლება გამოითვალოს შემდეგნაირად:

1. - ანუ შერეული ნამრავლი არის ვექტორის სკალარული ნამრავლი და ორი სხვა ვექტორის ვექტორული ნამრავლი.

მაგალითად, სამი ვექტორის შერეული პროდუქტია:

შეეცადეთ გამოთვალოთ იგი ვექტორული პროდუქტის გამოყენებით და დარწმუნდით, რომ შედეგები ემთხვევა!

და კიდევ - ორი მაგალითი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება:

პასუხები:

კოორდინატთა სისტემის შერჩევა

ახლა ჩვენ გვაქვს ცოდნის ყველა საჭირო საფუძველი რთული სტერეომეტრიული გეომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად. თუმცა, სანამ უშუალოდ მაგალითებზე და მათი ამოხსნის ალგორითმებზე გადავიდოდე, მჯერა, რომ სასარგებლო იქნება შემდეგ კითხვაზე შეჩერება: ზუსტად როგორ აირჩიეთ კოორდინატთა სისტემა კონკრეტული ფიგურისთვის.ყოველივე ამის შემდეგ, ეს არის არჩევანი შედარებითი პოზიციაკოორდინატთა სისტემები და ფორმები სივრცეში საბოლოოდ განსაზღვრავს რამდენად რთული იქნება გამოთვლები.

შეგახსენებთ, რომ ამ განყოფილებაში განვიხილავთ შემდეგ ფიგურებს:

1. მართკუთხა პარალელეპიპედი
2. სწორი პრიზმა (სამკუთხა, ექვსკუთხა...)
3. პირამიდა (სამკუთხა, ოთხკუთხა)
4. ტეტრაედონი (იგივე სამკუთხა პირამიდა)

მართკუთხა პარალელეპიპედისთვის ან კუბისთვის გირჩევთ შემდეგ კონსტრუქციას:

ანუ ფიგურას „კუთხეში“ დავდებ. კუბი და პარალელეპიპედი ძალიან კარგი ფიგურებია. მათთვის ყოველთვის შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი წვეროების კოორდინატები. მაგალითად, თუ (როგორც სურათზეა ნაჩვენები)

მაშინ წვეროების კოორდინატები ასეთია:

რა თქმა უნდა, არ გჭირდებათ ამის დამახსოვრება, მაგრამ დაიმახსოვრეთ, როგორ უკეთესად მოათავსოთ კუბი ან კუბოიდური- სასურველია.

სწორი პრიზმა

პრიზმა უფრო მავნე ფიგურაა. ის შეიძლება განთავსდეს სივრცეში სხვადასხვა გზით. თუმცა, შემდეგი ვარიანტი მეჩვენება ყველაზე მისაღები:

სამკუთხა პრიზმა:

ანუ სამკუთხედის ერთ-ერთ გვერდს ვდებთ მთლიანად ღერძზე და ერთ-ერთი წვერო ემთხვევა კოორდინატების საწყისს.

ექვსკუთხა პრიზმა:

ანუ, ერთი წვერო ემთხვევა საწყისს, ხოლო ერთი მხარე ღერძზე დევს.

ოთხკუთხა და ექვსკუთხა პირამიდა:

სიტუაცია კუბის მსგავსია: ფუძის ორ მხარეს ვასწორებთ კოორდინატთა ღერძებს და ერთ-ერთ წვეროს ვასწორებთ კოორდინატების საწყისს. ერთადერთი მცირე სირთულე იქნება წერტილის კოორდინატების გამოთვლა.

ექვსკუთხა პირამიდისთვის - ისევე როგორც ექვსკუთხა პრიზმა. მთავარი ამოცანა კვლავ იქნება წვეროს კოორდინატების პოვნა.

ტეტრაედონი (სამკუთხა პირამიდა)

სიტუაცია ძალიან ჰგავს იმას, რაც მე მივიღე სამკუთხა პრიზმისთვის: ერთი წვერო ემთხვევა საწყისს, ერთი მხარე დევს კოორდინატთა ღერძზე.

ისე, ახლა მე და შენ საბოლოოდ ახლოს ვართ პრობლემების გადაჭრასთან. რაც სტატიის დასაწყისში ვთქვი, შეგიძლიათ შემდეგი დასკვნის გაკეთება: C2 ამოცანების უმეტესობა იყოფა 2 კატეგორიად: კუთხის ამოცანები და მანძილის ამოცანები. პირველ რიგში, ჩვენ გადავხედავთ კუთხის პოვნის პრობლემებს. ისინი თავის მხრივ იყოფა შემდეგ კატეგორიებად (სირთულის მატებასთან ერთად):

კუთხეების პოვნის პრობლემები

1. კუთხის პოვნა ორ სწორ ხაზს შორის
2. კუთხის პოვნა ორ სიბრტყეს შორის

მოდით შევხედოთ ამ პრობლემებს თანმიმდევრულად: დავიწყოთ ორ სწორ ხაზს შორის კუთხის მოძიებით. აბა, დაიმახსოვრე, მე და შენ არ მოვაგვარეთ მსგავსი მაგალითები აქამდე? გახსოვთ, ჩვენ უკვე გვქონდა მსგავსი... ვეძებდით კუთხეს ორ ვექტორს შორის. შეგახსენებთ, თუ მოცემულია ორი ვექტორი: და, მაშინ მათ შორის კუთხე იპოვება მიმართებიდან:

ახლა ჩვენი მიზანია ვიპოვოთ კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის. მოდით შევხედოთ "ბრტყელ სურათს":

რამდენი კუთხე მივიღეთ ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას? სულ რამდენიმე რამ. მართალია, მხოლოდ ორი მათგანი არ არის ტოლი, ხოლო დანარჩენები ვერტიკალურია მათთვის (და, შესაბამისად, ემთხვევა მათ). მაშ, რომელი კუთხე უნდა განვიხილოთ ორ სწორ წრფეს შორის: ან? აქ არის წესი: კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის ყოველთვის არაუმეტეს გრადუსია. ანუ ორი კუთხიდან ყოველთვის ვირჩევთ კუთხეს ყველაზე პატარასთან ხარისხის საზომი. ანუ ამ სურათზე კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის ტოლია. იმისათვის, რომ ყოველ ჯერზე არ შეწუხდეთ ორი კუთხიდან ყველაზე პატარა კუთხით, მზაკვრელმა მათემატიკოსებმა შემოგვთავაზეს მოდულის გამოყენება. ამრიგად, კუთხე ორ სწორ ხაზს შორის განისაზღვრება ფორმულით:

თქვენ, როგორც ყურადღებიან მკითხველს, უნდა გქონოდათ შეკითხვა: ზუსტად საიდან ვიღებთ სწორედ ამ რიცხვებს, რომლებიც გვჭირდება კუთხის კოსინუსის გამოსათვლელად? პასუხი: ავიღებთ მათ ხაზების მიმართულების ვექტორებიდან! ამრიგად, ორ სწორ ხაზს შორის კუთხის პოვნის ალგორითმი შემდეგია:

1. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას 1.

ან უფრო დეტალურად:

1. ჩვენ ვეძებთ პირველი სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს
2. ჩვენ ვეძებთ მეორე სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს
3. ჩვენ ვიანგარიშებთ მათი სკალარული ნამრავლის მოდულს
4. ჩვენ ვეძებთ პირველი ვექტორის სიგრძეს
5. ჩვენ ვეძებთ მეორე ვექტორის სიგრძეს
6. გავამრავლოთ მე-4 პუნქტის შედეგები მე-5 პუნქტის შედეგებზე
7. მე-3 წერტილის შედეგს ვყოფთ მე-6 წერტილის შედეგზე. ვიღებთ წრფეებს შორის კუთხის კოსინუსს.
8. თუ ეს შედეგისაშუალებას გაძლევთ ზუსტად გამოთვალოთ კუთხე, მოძებნოთ იგი
9. წინააღმდეგ შემთხვევაში ჩვენ ვწერთ რკალის კოსინუსის მეშვეობით

კარგი, ახლა დროა გადავიდეთ პრობლემებზე: პირველი ორის გადაწყვეტის დემონსტრირებას გავაკეთებ დაწვრილებით, გადაწყვეტას მეორეზე წარმოვადგენ მოკლედდა ბოლო ორ პრობლემაზე მე მხოლოდ პასუხს გავცემ.

ამოცანები:

1. მარჯვენა ტეტ-რა-ედ-რეში იპოვეთ კუთხე ტეტ-რა-ედ-რას სიმაღლესა და შუა მხარეს შორის.

2. მარჯვენა ექვსკუთხედში პი-რა-მი-დე ასი ოს-ნო-ვა-ნია ტოლია, გვერდითი კიდეები ტოლია, იპოვეთ კუთხე ხაზებს შორის და.

3. მარჯვენა ოთხნახშირის პი-რა-მი-დი-ის ყველა კიდეების სიგრძე ერთმანეთის ტოლია. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზებს შორის და თუ ჭრილიდან - ხართ მოცემული პი-რა-მი-დიით, წერტილი არის სე-რე-დი-მის ბო-კო- მეორე ნეკნებზე.

4. კუბის კიდეზე არის წერტილი ისე, რომ იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზებს შორის და

5. წერტილი - კუბის კიდეებზე იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზებს შორის და.

შემთხვევითი არ არის, რომ დავალებები ამ თანმიმდევრობით დავალაგე. სანამ კოორდინატთა მეთოდით ნავიგაცია ჯერ არ დაგიწყიათ, მე თვითონ გავაანალიზებ ყველაზე „პრობლემურ“ ფიგურებს და გიტოვებთ უმარტივეს კუბთან გამკლავებას! ნელ-ნელა მოგიწევთ ისწავლოთ ყველა ფიგურასთან მუშაობა.

დავიწყოთ პრობლემების გადაჭრა:

1. დახაზეთ ტეტრაედონი, მოათავსეთ ის კოორდინატთა სისტემაში, როგორც ადრე შემოგთავაზეთ. ვინაიდან ტეტრაედონი რეგულარულია, მაშინ მისი ყველა სახე (ფუძის ჩათვლით) არის რეგულარული სამკუთხედები. ვინაიდან გვერდის სიგრძე არ გვაქვს მოცემული, შემიძლია ტოლფასად მივიღო. ვფიქრობ, გესმით, რომ კუთხე რეალურად არ იქნება დამოკიდებული იმაზე, თუ რამდენად არის "გაჭიმული" ჩვენი ტეტრაედონი?. ასევე დავხატავ სიმაღლეს და მედიანას ტეტრაედრონში. გზაში მის ფუძეს დავხატავ (ისიც გამოგვადგება).

მე უნდა ვიპოვო კუთხე და-ს შორის. რა ვიცით? ჩვენ ვიცით მხოლოდ წერტილის კოორდინატი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ წერტილების კოორდინატები. ახლა ვფიქრობთ: წერტილი არის სამკუთხედის სიმაღლეების (ან ბისექტორების ან შუალედების) გადაკვეთის წერტილი. და წერტილი არის ამაღლებული წერტილი. წერტილი არის სეგმენტის შუა ნაწილი. შემდეგ საბოლოოდ უნდა ვიპოვოთ: წერტილების კოორდინატები: .

დავიწყოთ უმარტივესი რამით: წერტილის კოორდინატებით. შეხედეთ ფიგურას: ცხადია, რომ წერტილის აპლიკაცია ნულის ტოლია (წერტილი დევს სიბრტყეზე). მისი ორდინატი ტოლია (რადგან მედიანაა). მისი აბსცისის პოვნა უფრო რთულია. თუმცა, ეს მარტივად კეთდება პითაგორას თეორემაზე დაყრდნობით: განვიხილოთ სამკუთხედი. მისი ჰიპოტენუზა ტოლია და მისი ერთი ფეხი ტოლია შემდეგ:

საბოლოოდ გვაქვს: .

ახლა ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები. გასაგებია, რომ მისი აპლიკატი ისევ ნულის ტოლია და მისი ორდინატი იგივეა, რაც წერტილის, ანუ. ვიპოვოთ მისი აბსციზა. ეს კეთდება საკმაოდ ტრივიალურად თუ გახსოვთ სიმაღლეებს ტოლგვერდა სამკუთხედიგადაკვეთის წერტილი დაყოფილია პროპორციულადზემოდან დათვლა. ვინაიდან: , მაშინ წერტილის საჭირო აბსციზა არის სიგრძის ტოლისეგმენტი უდრის: . ამრიგად, წერტილის კოორდინატებია:

ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები. ცხადია, რომ მისი აბსცესი და ორდინატი ემთხვევა წერტილის აბსცისა და ორდინატს. და აპლიკაცია უდრის სეგმენტის სიგრძეს. - ეს სამკუთხედის ერთ-ერთი ფეხია. სამკუთხედის ჰიპოტენუზა არის სეგმენტი - ფეხი. იგი იძებნება იმ მიზეზების გამო, რომლებიც მე ხაზგასმით აღვნიშნე:

წერტილი არის სეგმენტის შუა ნაწილი. შემდეგ უნდა გვახსოვდეს ფორმულა სეგმენტის შუა წერტილის კოორდინატებისთვის:

ესე იგი, ახლა ჩვენ შეგვიძლია ვეძებოთ მიმართულების ვექტორების კოორდინატები:

კარგად, ყველაფერი მზად არის: ჩვენ ყველა მონაცემს ვცვლით ფორმულაში:

ამრიგად,

პასუხი:

თქვენ არ უნდა შეგაშინოთ ასეთი "საშინელი" პასუხებით: C2 ამოცანებისთვის ეს ჩვეულებრივი პრაქტიკაა. მირჩევნია, ამ ნაწილში "ლამაზი" პასუხით გამიკვირდეს. ასევე, როგორც შენიშნეთ, პითაგორას თეორემისა და ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლეების თვისების გარდა, პრაქტიკულად არ მივმართე სხვას. ანუ სტერეომეტრიული პრობლემის გადასაჭრელად გამოვიყენე ძალიან მინიმალური სტერეომეტრია. ამაში მოგება ნაწილობრივ "ჩაქრება" საკმაოდ რთული გამოთვლებით. მაგრამ ისინი საკმაოდ ალგორითმულია!

2. გამოვსახოთ რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა კოორდინატთა სისტემასთან ერთად, ასევე მისი ფუძე:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ კუთხე ხაზებს შორის და. ამრიგად, ჩვენი ამოცანა მოდის წერტილების კოორდინატების პოვნაზე: . ბოლო სამის კოორდინატებს ვიპოვით პატარა ნახაზის გამოყენებით, ხოლო წვეროს კოორდინატს ვიპოვით წერტილის კოორდინატის მეშვეობით. ბევრი სამუშაოა გასაკეთებელი, მაგრამ ჩვენ უნდა დავიწყოთ!

ა) კოორდინატი: ცხადია, რომ მისი აპლიკატი და ორდინატი ნულის ტოლია. მოდი ვიპოვოთ აბსციზა. ამისათვის განიხილეთ მართკუთხა სამკუთხედი. სამწუხაროდ, მასში მხოლოდ ჰიპოტენუზა ვიცით, რომელიც ტოლია. ვეცდებით ფეხის პოვნას (რადგან ცხადია, რომ ფეხის ორმაგი სიგრძე წერტილის აბსცისას მოგვცემს). როგორ მოვიძიოთ იგი? გავიხსენოთ როგორი ფიგურა გვაქვს პირამიდის ძირში? ეს არის ჩვეულებრივი ექვსკუთხედი. რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ ყველა გვერდი და ყველა კუთხე თანაბარია. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ერთი ასეთი კუთხე. რაიმე იდეა? ბევრი იდეა არსებობს, მაგრამ არსებობს ფორმულა:

კუთხეების ჯამი რეგულარული n-gonტოლია .

ამრიგად, რეგულარული ექვსკუთხედის კუთხეების ჯამი გრადუსების ტოლია. მაშინ თითოეული კუთხე უდრის:

მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ სურათს. ნათელია, რომ სეგმენტი არის კუთხის ბისექტორი. მაშინ კუთხე უდრის გრადუსს. შემდეგ:

მერე საიდან.

ამრიგად, აქვს კოორდინატები

ბ) ახლა ჩვენ შეგვიძლია მარტივად ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატი: .

გ) იპოვეთ წერტილის კოორდინატები. ვინაიდან მისი აბსციზა ემთხვევა სეგმენტის სიგრძეს, ის ტოლია. ორდინატის პოვნა ასევე არ არის ძალიან რთული: თუ წერტილებს დავაკავშირებთ და სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილს დავნიშნავთ, როგორც, ვთქვათ, . (გააკეთე ეს თავად მარტივი კონსტრუქცია). მაშინ ამგვარად, B წერტილის ორდინატი უდრის სეგმენტების სიგრძის ჯამს. მოდით კიდევ ერთხელ შევხედოთ სამკუთხედს. მაშინ

შემდეგ მას შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები

დ) ახლა ვიპოვოთ წერტილის კოორდინატები. განვიხილოთ მართკუთხედი და დაამტკიცეთ, რომ ამგვარად, წერტილის კოორდინატებია:

ე) რჩება წვეროს კოორდინატების პოვნა. ცხადია, რომ მისი აბსცესი და ორდინატი ემთხვევა წერტილის აბსცისა და ორდინატს. მოდი ვიპოვოთ აპლიკაცია. მას შემდეგ. განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი. პრობლემის პირობების მიხედვით გვერდითი ნეკნი. ეს არის ჩემი სამკუთხედის ჰიპოტენუზა. მაშინ პირამიდის სიმაღლე არის ფეხი.

შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები:

კარგი, ესე იგი, მე მაქვს ყველა იმ პუნქტის კოორდინატი, რომელიც მაინტერესებს. მე ვეძებ სწორი ხაზების მიმართულების ვექტორების კოორდინატებს:

ჩვენ ვეძებთ კუთხეს ამ ვექტორებს შორის:

პასუხი:

კიდევ ერთხელ, ამ პრობლემის გადაჭრისას მე არ გამომიყენებია რაიმე დახვეწილი ტექნიკა, გარდა რეგულარული n-გონების კუთხეების ჯამის ფორმულისა, ისევე როგორც მართკუთხა სამკუთხედის კოსინუსისა და სინუსის განსაზღვრისა.

3. ვინაიდან პირამიდის კიდეების სიგრძე ისევ არ გვაქვს მოცემული, დავთვლი მათ ერთის ტოლი. ამრიგად, რადგან ყველა კიდე და არა მხოლოდ გვერდითი, ერთმანეთის ტოლია, მაშინ პირამიდის ძირში და მე არის კვადრატი, და გვერდითი სახეები- რეგულარული სამკუთხედები. მოდით დავხატოთ ასეთი პირამიდა, ისევე როგორც მისი საფუძველი სიბრტყეზე, აღვნიშნოთ პრობლემის ტექსტში მოცემული ყველა მონაცემი:

ჩვენ ვეძებთ კუთხეს შორის და. ძალიან მოკლე გამოთვლებს გავაკეთებ, როცა მოვძებნი წერტილების კოორდინატებს. თქვენ დაგჭირდებათ მათი "გაშიფვრა":

ბ) - სეგმენტის შუა. მისი კოორდინატები:

გ) ვიპოვი მონაკვეთის სიგრძეს პითაგორას თეორემის გამოყენებით სამკუთხედში. მე შემიძლია ვიპოვო ის პითაგორას თეორემის გამოყენებით სამკუთხედში.

კოორდინატები:

დ) - სეგმენტის შუა. მისი კოორდინატებია

ე) ვექტორული კოორდინატები

ვ) ვექტორული კოორდინატები

ზ) კუთხის ძიება:

კუბი - უმარტივესი ფიგურა. დარწმუნებული ვარ, თქვენ თვითონ გაარკვევთ. მე-4 და მე-5 ამოცანებზე პასუხები შემდეგია:

კუთხის პოვნა სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის

ისე, მარტივი თავსატეხების დრო დასრულდა! ახლა მაგალითები კიდევ უფრო რთული იქნება. სწორი ხაზისა და სიბრტყის კუთხის საპოვნელად ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად:

1. სამი წერტილის გამოყენებით ვაშენებთ სიბრტყის განტოლებას
   ,
   მესამე რიგის განმსაზღვრელი გამოყენებით.
2. ორი წერტილის გამოყენებით ვეძებთ სწორი ხაზის სამართავი ვექტორის კოორდინატებს:
3. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის კუთხის გამოსათვლელად:

როგორც ხედავთ, ეს ფორმულა ძალიან ჰგავს იმ ფორმულას, რომელსაც ვიყენებდით ორ სწორ ხაზს შორის კუთხეების მოსაძებნად. მარჯვენა მხარეს სტრუქტურა უბრალოდ იგივეა და მარცხნივ ახლა ვეძებთ სინუსს და არა კოსინუსს, როგორც ადრე. ჰოდა, დაემატა ერთი საზიზღარი მოქმედება - თვითმფრინავის განტოლების ძიება.

ნუ ვაჭიანებთ გადაწყვეტის მაგალითები:

1. მთავარი-მაგრამ-ვა-ნი-ემ პირდაპირი პრიზმა-ჩვენ ტოლი ვართ ღარიბ-რენ-სამკუთხედის მეტსახელი შენ-და-ეს პრიზმა-ჩვენ ტოლები ვართ. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის

2. დასავლეთიდან მართკუთხა par-ral-le-le-pi-pe-de-ში იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის.

3. სწორ ექვსკუთხა პრიზმაში ყველა კიდე ტოლია. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის.

4. სწორ სამკუთხა პი-რა-მი-დეში ცნობილი ნეკნების os-no-va-ni-em იპოვეთ კუთხე, ობ-რა-ზო-ვან -ბრტყელი ძირში და სწორი, ნაცრისფერში გამავალი. ნეკნები და

5. წვერიანი მართი ოთხკუთხა პი-რა-მი-დი-ის ყველა კიდეების სიგრძეები ერთმანეთის ტოლია. იპოვეთ კუთხე სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის, თუ წერტილი არის პი-რა-მი-დი-ის კიდეზე.

ისევ პირველ ორ პრობლემას დეტალურად მოვაგვარებ, მესამეს მოკლედ, ბოლო ორს კი დამოუკიდებლად მოგიხსნით. გარდა ამისა, თქვენ უკვე მოგიწიათ სამკუთხა და ოთხკუთხა პირამიდები, მაგრამ პრიზმებით - ჯერ არა.

გადაწყვეტილებები:

1. გამოვსახოთ პრიზმა, ისევე როგორც მისი ფუძე. მოდით გავაერთიანოთ იგი კოორდინატთა სისტემასთან და აღვნიშნოთ ყველა მონაცემი, რომელიც მოცემულია პრობლემის დებულებაში:

ბოდიშს ვიხდი პროპორციების გარკვეული შეუსაბამობისთვის, მაგრამ პრობლემის გადაჭრისთვის ეს, ფაქტობრივად, არც ისე მნიშვნელოვანია. თვითმფრინავი უბრალოდ ჩემი პრიზმის „უკანა კედელია“. საკმარისია უბრალოდ გამოიცნოთ, რომ ასეთი სიბრტყის განტოლებას აქვს ფორმა:

თუმცა, ეს შეიძლება პირდაპირ იყოს ნაჩვენები:

ავირჩიოთ თვითნებური სამი წერტილი ამ სიბრტყეზე: მაგალითად, .

შევქმნათ სიბრტყის განტოლება:

ივარჯიშეთ თქვენთვის: თავად გამოთვალეთ ეს განმსაზღვრელი. მიაღწიეთ წარმატებას? მაშინ თვითმფრინავის განტოლება ასე გამოიყურება:

ან უბრალოდ

ამრიგად,

მაგალითის ამოსახსნელად უნდა ვიპოვო სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები. ვინაიდან წერტილი ემთხვევა კოორდინატების საწყისს, ვექტორის კოორდინატები უბრალოდ ემთხვევა წერტილის კოორდინატებს.

ამისათვის განიხილეთ სამკუთხედი. წვეროდან ავიღოთ სიმაღლე (ასევე ცნობილია როგორც მედიანა და ბისექტორი). ვინაიდან, წერტილის ორდინატი უდრის. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ამ წერტილის აბსციზა, უნდა გამოვთვალოთ სეგმენტის სიგრძე. პითაგორას თეორემის მიხედვით გვაქვს:

შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები:

წერტილი არის "ამაღლებული" წერტილი:

მაშინ ვექტორული კოორდინატებია:

პასუხი:

როგორც ხედავთ, ასეთი პრობლემების გადაჭრისას ფუნდამენტურად რთული არაფერია. ფაქტობრივად, პროცესი ოდნავ უფრო გამარტივებულია ისეთი ფიგურის „სისწორეებით“, როგორიცაა პრიზმა. ახლა გადავიდეთ შემდეგ მაგალითზე:

2. დახაზეთ პარალელეპიპედი, დახაზეთ მასში სიბრტყე და სწორი ხაზი და ასევე ცალკე დახაზეთ მისი ქვედა ფუძე:

პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ სიბრტყის განტოლებას: მასში მდებარე სამი წერტილის კოორდინატები:

(პირველი ორი კოორდინატი მიიღება აშკარად და თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ბოლო კოორდინატი სურათიდან წერტილიდან). შემდეგ ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას:

ჩვენ ვიანგარიშებთ:

ჩვენ ვეძებთ სახელმძღვანელო ვექტორის კოორდინატებს: გასაგებია, რომ მისი კოორდინატები ემთხვევა წერტილის კოორდინატებს, არა? როგორ მოვძებნოთ კოორდინატები? ეს არის წერტილის კოორდინატები, რომლებიც ამაღლებულია აპლიკაციის ღერძის გასწვრივ ერთით! . შემდეგ ვეძებთ სასურველ კუთხეს:

პასუხი:

3. დახაზეთ რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდა, შემდეგ დახაზეთ სიბრტყე და სწორი ხაზი მასში.

აქ თვითმფრინავის დახატვაც კი პრობლემურია, რომ აღარაფერი ვთქვათ ამ პრობლემის გადაჭრაზე, მაგრამ კოორდინატულ მეთოდს არ აინტერესებს! მისი მრავალფეროვნება მისი მთავარი უპირატესობაა!

თვითმფრინავი გადის სამ წერტილს: . ჩვენ ვეძებთ მათ კოორდინატებს:

1) . თავად გაარკვიეთ ბოლო ორი წერტილის კოორდინატები. ამისათვის თქვენ უნდა გადაჭრათ ექვსკუთხა პირამიდის პრობლემა!

2) ჩვენ ვაშენებთ სიბრტყის განტოლებას:

ვეძებთ ვექტორის კოორდინატებს: . (კიდევ ერთხელ იხილეთ სამკუთხა პირამიდის პრობლემა!)

3) კუთხის ძიება:

პასუხი:

როგორც ხედავთ, ამ ამოცანებში ზებუნებრივი რთული არაფერია. თქვენ უბრალოდ ძალიან ფრთხილად უნდა იყოთ ფესვებთან. მე მხოლოდ ბოლო ორ პრობლემას გავცემ პასუხს:

როგორც ხედავთ, პრობლემების გადაჭრის ტექნიკა ყველგან ერთნაირია: მთავარი ამოცანაა წვეროების კოორდინატების პოვნა და მათი ჩანაცვლება გარკვეულ ფორმულებში. კუთხეების გამოსათვლელად კიდევ ერთი კლასის პრობლემა უნდა განვიხილოთ, კერძოდ:

კუთხეების გამოთვლა ორ სიბრტყეს შორის

გადაწყვეტის ალგორითმი იქნება შემდეგი:

1. სამი წერტილის გამოყენებით ვეძებთ პირველი სიბრტყის განტოლებას:
2. დანარჩენი სამი წერტილის გამოყენებით ვეძებთ მეორე სიბრტყის განტოლებას:
3. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

როგორც ხედავთ, ფორმულა ძალიან ჰგავს ორ წინა ფორმულას, რომლის დახმარებით ვეძებდით კუთხეებს სწორ ხაზებს შორის და სწორ ხაზსა და სიბრტყეს შორის. ასე რომ, ამის გახსენება არ გაგიჭირდებათ. მოდით გადავიდეთ ამოცანების ანალიზზე:

1. მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის ფუძის გვერდი ტოლია, ხოლო გვერდითი სახის დიაგონალი ტოლია. იპოვეთ კუთხე სიბრტყესა და პრიზმის ღერძის სიბრტყეს შორის.

2. მარჯვენა ოთხკუთხედში პი-რა-მი-დე, რომლის ყველა კიდე ტოლია, იპოვეთ სიბრტყესა და სიბრტყის ძვალს შორის კუთხის სინუსი, რომელიც გადის პერ-კალამი-დი-კუ- წერტილზე. მატყუარა-მაგრამ სწორი.

3. ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძის გვერდები ტოლია, ხოლო გვერდითი კიდეები ტოლია. ზღვარზე არის წერტილი from-me-che-on ისე, რომ. იპოვეთ კუთხე სიბრტყეებს შორის და

4. მართკუთხა ოთხკუთხა პრიზმაში ფუძის გვერდები ტოლია, ხოლო გვერდითი კიდეები ტოლია. კიდეზე არის წერტილი წერტილიდან ისე, რომ იპოვე კუთხე სიბრტყეებს შორის და.

5. კუბში იპოვეთ სიბრტყეებს შორის კუთხის co-si-nus და

პრობლემის გადაწყვეტილებები:

1. სწორს ვხატავ (ძირში ტოლგვერდა სამკუთხედია) სამკუთხა პრიზმადა მონიშნეთ მასზე სიბრტყეები, რომლებიც გამოჩნდება პრობლემის დებულებაში:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ორი სიბრტყის განტოლება: ფუძის განტოლება ტრივიალურია: თქვენ შეგიძლიათ შეადგინოთ შესაბამისი დეტერმინანტი სამი წერტილის გამოყენებით, მაგრამ მე მაშინვე შევადგენ განტოლებას:

ახლა ვიპოვოთ განტოლება წერტილს აქვს კოორდინატები წერტილი - ვინაიდან სამკუთხედის მედიანა და სიმაღლეა, ის ადვილად გვხვდება სამკუთხედში პითაგორას თეორემის გამოყენებით. შემდეგ წერტილს აქვს კოორდინატები: მოდი ვიპოვოთ წერტილის აპლიკატი ამისთვის განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი

შემდეგ ვიღებთ შემდეგ კოორდინატებს: ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას.

ჩვენ ვიანგარიშებთ კუთხეს სიბრტყეებს შორის:

პასუხი:

2. ნახატის გაკეთება:

ყველაზე რთულია იმის გაგება, თუ რა სახის იდუმალი თვითმფრინავია ეს, რომელიც პერპენდიკულარულად გადის წერტილში. აბა, მთავარია, რა არის? მთავარია ყურადღება! სინამდვილეში, ხაზი პერპენდიკულარულია. სწორი ხაზი ასევე პერპენდიკულარულია. მაშინ ამ ორ წრფეზე გამავალი სიბრტყე იქნება წრფის პერპენდიკულარული და, სხვათა შორის, გაივლის წერტილს. ეს თვითმფრინავი ასევე გადის პირამიდის თავზე. შემდეგ სასურველი თვითმფრინავი - და თვითმფრინავი უკვე მოგვცეს. ჩვენ ვეძებთ წერტილების კოორდინატებს.

წერტილის კოორდინატს ვპოულობთ წერტილის გავლით. მცირე სურათიდან ადვილია დავასკვნათ, რომ წერტილის კოორდინატები იქნება შემდეგი: რა რჩება ახლა პირამიდის მწვერვალის კოორდინატების საპოვნელად? თქვენ ასევე უნდა გამოთვალოთ მისი სიმაღლე. ეს კეთდება იმავე პითაგორას თეორემის გამოყენებით: ჯერ დაამტკიცეთ ეს (ტრივიალურად პატარა სამკუთხედებიდან, რომლებიც ქმნიან კვადრატს ფუძეში). ვინაიდან პირობითად გვაქვს:

ახლა ყველაფერი მზად არის: წვერო კოორდინატები:

ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას:

თქვენ უკვე ხართ დეტერმინანტების გამოთვლის ექსპერტი. სირთულის გარეშე მიიღებთ:

ან სხვაგვარად (თუ ორივე მხარეს გავამრავლებთ ორზე)

ახლა ვიპოვოთ სიბრტყის განტოლება:

(არ დაგავიწყდათ, როგორ ვიღებთ სიბრტყის განტოლებას, არა? თუ არ გესმით, საიდან გაჩნდა ეს მინუს ერთი, მაშინ დაუბრუნდით სიბრტყის განტოლების განმარტებას! აქამდე ყოველთვის ასე იყო. ჩემი თვითმფრინავი ეკუთვნოდა კოორდინატების საწყისს!)

ჩვენ ვიანგარიშებთ განმსაზღვრელს:

(შეიძლება შეამჩნიოთ, რომ სიბრტყის განტოლება ემთხვევა წერტილებში გამავალი წრფის განტოლებას და დაფიქრდით რატომ!)

ახლა გამოვთვალოთ კუთხე:

ჩვენ უნდა ვიპოვოთ სინუსი:

პასუხი:

3. რთული კითხვა: რა არის ეს? მართკუთხა პრიზმა, როგორ ფიქრობთ? ეს მხოლოდ პარალელეპიპედია, რომელიც თქვენ კარგად იცით! მოდით, დაუყოვნებლივ დავხატოთ ნახატი! თქვენ არც კი გჭირდებათ ფუძის ცალკე გამოსახვა, ის აქ ნაკლებად სასარგებლოა:

თვითმფრინავი, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, იწერება განტოლების სახით:

ახლა შევქმნათ თვითმფრინავი

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვქმნით თვითმფრინავის განტოლებას:

კუთხეს ვეძებ:

ახლა პასუხები ბოლო ორ პრობლემაზე:

კარგი, ახლა დროა ცოტა შეისვენო, რადგან მე და შენ მშვენივრები ვართ და დიდი საქმე გავაკეთეთ!

კოორდინატები და ვექტორები. მოწინავე დონე

ამ სტატიაში თქვენთან ერთად განვიხილავთ პრობლემების კიდევ ერთ კლასს, რომელიც შეიძლება გადაწყდეს კოორდინატთა მეთოდის გამოყენებით: მანძილის გამოთვლის ამოცანები. კერძოდ, განვიხილავთ შემდეგი შემთხვევები:

1. გადაკვეთის ხაზებს შორის მანძილის გაანგარიშება.

მე შევუკვეთე ეს დავალებები სირთულის გაზრდის მიზნით. აღმოჩნდება, რომ მისი პოვნა ყველაზე ადვილია მანძილი წერტილიდან თვითმფრინავამდე, და ყველაზე რთული პოვნაა მანძილი გადაკვეთის ხაზებს შორის. თუმცა, რა თქმა უნდა, შეუძლებელი არაფერია! მოდით, არ გავაჭიანუროთ და დაუყოვნებლივ განვიხილოთ პირველი კლასის პრობლემები:

წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის გამოთვლა

რა გვჭირდება ამ პრობლემის მოსაგვარებლად?

1. წერტილის კოორდინატები

ასე რომ, როგორც კი მივიღებთ ყველა საჭირო მონაცემს, ვიყენებთ ფორმულას:

თქვენ უკვე უნდა იცოდეთ, როგორ ავაშენებთ სიბრტყის განტოლებას წინა დავალებები, რომელიც განვიხილეთ ბოლო ნაწილში. მოდით პირდაპირ დავალებებზე გადავიდეთ. სქემა ასეთია: 1, 2 - მე დაგეხმარები გადაწყვეტილების მიღებაში, და გარკვეულწილად, 3, 4 - მხოლოდ პასუხი, თქვენ თავად ახორციელებთ ამოხსნას და ადარებთ. დავიწყოთ!

ამოცანები:

1. მოცემულია კუბი. კუბის კიდის სიგრძე ტოლია. იპოვეთ მანძილი სე-რე-დი-ნადან ჭრილიდან სიბრტყემდე

2. სწორი ოთხი ქვანახშირის პი-რა-მი-ის გათვალისწინებით, მხარის გვერდი უდრის ფუძეს. იპოვეთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე, სადაც - se-re-di-on კიდეებზე.

3. ოს-ნო-ვა-ნი-ემით მართკუთხა პი-რა-მი-დეში გვერდითი კიდე ტოლია, ხოლო ას-რო-ონზე ოს-ნო-ვანია ტოლია. იპოვნეთ მანძილი ზემოდან თვითმფრინავამდე.

4. მართ ექვსკუთხა პრიზმაში ყველა კიდე ტოლია. იპოვნეთ მანძილი წერტილიდან სიბრტყემდე.

გადაწყვეტილებები:

1. დახაზეთ კუბი ერთი კიდეებით, ააგეთ სეგმენტი და სიბრტყე, აღნიშნეთ სეგმენტის შუა ასოთი.

.

პირველი, დავიწყოთ მარტივით: იპოვეთ წერტილის კოორდინატები. მას შემდეგ (გაიხსენეთ სეგმენტის შუა ნაწილის კოორდინატები!)

ახლა ჩვენ ვადგენთ სიბრტყის განტოლებას სამი წერტილის გამოყენებით

\[\მარცხნივ| (\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(გ))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\ბოლო(მასივი)) \მარჯვნივ| = 0\]

ახლა შემიძლია დავიწყო მანძილის პოვნა:

2. ისევ ვიწყებთ ნახატით, რომელზედაც აღვნიშნავთ ყველა მონაცემს!

პირამიდისთვის სასარგებლო იქნება მისი ბაზის ცალკე დახატვა.

თუნდაც ის, რომ ქათამივით ვხატავ თათით, ხელს არ შეგვიშლის ამ პრობლემის მარტივად გადაჭრაში!

ახლა ადვილია წერტილის კოორდინატების პოვნა

ვინაიდან წერტილის კოორდინატები, მაშინ

2. ვინაიდან a წერტილის კოორდინატები არის სეგმენტის შუა ნაწილი, მაშინ

უპრობლემოდ შეგვიძლია ვიპოვოთ სიბრტყეზე კიდევ ორი ​​წერტილის კოორდინატები, ვქმნით განტოლებას და ვამარტივებთ მას.

\[\მარცხნივ| (\ მარცხნივ| (\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(მასივი)) \right|) \right| = 0\]

ვინაიდან წერტილს აქვს კოორდინატები: , ჩვენ ვიანგარიშებთ მანძილს:

პასუხი (ძალიან იშვიათია!):

აბა, გაარკვიე? მეჩვენება, რომ აქ ყველაფერი ისეთივე ტექნიკურია, როგორც მაგალითებში, რომლებიც წინა ნაწილში განვიხილეთ. ასე რომ, დარწმუნებული ვარ, თუ იმ მასალას დაეუფლეთ, მაშინ არ გაგიჭირდებათ დარჩენილი ორი პრობლემის გადაჭრა. მე მხოლოდ პასუხებს მოგცემთ:

სწორი ხაზიდან სიბრტყემდე მანძილის გამოთვლა

ფაქტობრივად, აქ ახალი არაფერია. როგორ შეიძლება სწორი ხაზი და სიბრტყე განლაგდეს ერთმანეთთან შედარებით? მათ აქვთ მხოლოდ ერთი შესაძლებლობა: გადაკვეთონ, ან სწორი ხაზი სიბრტყის პარალელურია. როგორ ფიქრობთ, რა არის მანძილი სწორი ხაზიდან სიბრტყემდე, რომელთანაც იკვეთება ეს სწორი ხაზი? მეჩვენება, რომ აქ ნათელია, რომ ასეთი მანძილი ნულის ტოლია. არაა საინტერესო შემთხვევა.

მეორე შემთხვევა უფრო რთულია: აქ მანძილი უკვე ნულოვანია. თუმცა, ვინაიდან წრფე სიბრტყის პარალელურია, წრფის თითოეული წერტილი თანაბარი მანძილითაა დაშორებული ამ სიბრტყისგან:

ამრიგად:

ეს ნიშნავს, რომ ჩემი ამოცანა დაყვანილია წინაზე: ჩვენ ვეძებთ ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებს სწორ ხაზზე, ვეძებთ სიბრტყის განტოლებას და ვიანგარიშებთ მანძილს წერტილიდან სიბრტყემდე. სინამდვილეში, ასეთი დავალებები უკიდურესად იშვიათია ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში. მე მოვახერხე მხოლოდ ერთი პრობლემის პოვნა და მასში არსებული მონაცემები ისეთი იყო, რომ კოორდინატთა მეთოდი არ იყო მასზე ძალიან გამოსაყენებელი!

ახლა მოდით გადავიდეთ პრობლემების სხვა, ბევრად უფრო მნიშვნელოვან კლასზე:

წერტილის მანძილის გამოთვლა წრფემდე

რა გვჭირდება?

1. წერტილის კოორდინატები, საიდანაც ვეძებთ მანძილს:

2. წრფეზე მდებარე ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები

3. სწორი წრფის მართვითი ვექტორის კოორდინატები

რა ფორმულას ვიყენებთ?

რას ნიშნავს ამ წილადის მნიშვნელი, გასაგები უნდა იყოს: ეს არის სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის სიგრძე. ეს ძალიან რთული მრიცხველია! გამოთქმა ნიშნავს ვექტორების ვექტორული ნამრავლის მოდულს (სიგრძეს) და როგორ გამოვთვალოთ ვექტორული ნამრავლი, ჩვენ შევისწავლეთ სამუშაოს წინა ნაწილში. განაახლეთ თქვენი ცოდნა, ის ახლა ძალიან დაგვჭირდება!

ამრიგად, პრობლემების გადაჭრის ალგორითმი იქნება შემდეგი:

1. ჩვენ ვეძებთ იმ წერტილის კოორდინატებს, საიდანაც ვეძებთ მანძილს:

2. ჩვენ ვეძებთ წრფის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებს, საიდანაც ვეძებთ მანძილს:

3. ვექტორის აგება

4. ააგეთ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი

5. გამოთვალეთ ვექტორული ნამრავლი

6. ვეძებთ მიღებული ვექტორის სიგრძეს:

7. გამოთვალეთ მანძილი:

ბევრი სამუშაო გვაქვს გასაკეთებელი და მაგალითები საკმაოდ რთული იქნება! ასე რომ, ახლა მთელი თქვენი ყურადღება გაამახვილეთ!

1. მოცემულია მართკუთხა სამკუთხა პი-რა-მი-და ზედა. ას-რო-პი-რა-მი-დი-ის საფუძველზე ტოლია, შენ ტოლი ხარ. იპოვეთ მანძილი ნაცრისფერი კიდედან სწორ ხაზამდე, სადაც წერტილები და ნაცრისფერი კიდეებია და ვეტერინარულიდან.

2. ნეკნების სიგრძე და სწორკუთხა-არა-გო პარ-რალ-ლე-ლე-პი-პე-და შესაბამისად ტოლია და იპოვე მანძილი ზემოდან სწორ ხაზამდე.

3. სწორ ექვსკუთხა პრიზმაში ყველა კიდე ტოლია, იპოვეთ მანძილი წერტილიდან სწორ ხაზამდე

გადაწყვეტილებები:

1. ვაკეთებთ მოწესრიგებულ ნახატს, რომელზედაც აღვნიშნავთ ყველა მონაცემს:

ბევრი საქმე გვაქვს გასაკეთებელი! პირველ რიგში, მინდა სიტყვებით აღვწერო რას ვეძებთ და რა თანმიმდევრობით:

1. პუნქტების კოორდინატები და

2. წერტილის კოორდინატები

3. პუნქტების კოორდინატები და

4. ვექტორთა კოორდინატები და

5. მათი ჯვარედინი პროდუქტი

6. ვექტორის სიგრძე

7. ვექტორული ნამრავლის სიგრძე

8. მანძილი დან

ისე, წინ ბევრი საქმე გვაქვს! მოდი მივიღოთ ხელები აწეული!

1. პირამიდის სიმაღლის კოორდინატების საპოვნელად, უნდა ვიცოდეთ, რომ წერტილის კოორდინატები არის ნული, ხოლო მისი ორდინატი უდრის მის აბსციზას უდრის მასის სიგრძეს ტოლგვერდა სამკუთხედი, იგი იყოფა თანაფარდობით, წვეროდან დათვლა აქედან. ბოლოს მივიღეთ კოორდინატები:

წერტილის კოორდინატები

2. - სეგმენტის შუა

3. - სეგმენტის შუა

სეგმენტის შუა წერტილი

4.კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

5. გამოთვალეთ ვექტორული ნამრავლი:

6. ვექტორის სიგრძე: ჩანაცვლების ყველაზე მარტივი გზა არის ის, რომ სეგმენტი არის სამკუთხედის შუა ხაზი, რაც ნიშნავს, რომ ის უდრის ფუძის ნახევარს. ასე რომ.

7. გამოთვალეთ ვექტორული ნამრავლის სიგრძე:

8. ბოლოს ვიპოვით მანძილს:

უჰ, ეს არის! გულწრფელად გეტყვით: ამ პრობლემის გადაწყვეტა არის ტრადიციული მეთოდები(მშენებლობის საშუალებით), ეს ბევრად უფრო სწრაფი იქნებოდა. მაგრამ აქ ყველაფერი მზა ალგორითმზე დავყვანე! ვფიქრობ, გადაწყვეტის ალგორითმი თქვენთვის გასაგებია? ამიტომ გთხოვ, დარჩენილი ორი პრობლემა თავად მოაგვარო. მოდით შევადაროთ პასუხები?

კიდევ ერთხელ ვიმეორებ: ამ პრობლემების გადაჭრა უფრო ადვილია (უფრო სწრაფი) კონსტრუქციების საშუალებით, ვიდრე კოორდინატულ მეთოდს მივმართოთ. მე ვაჩვენე გადაწყვეტის ეს მეთოდი მხოლოდ იმისთვის, რომ გაჩვენოთ უნივერსალური მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ „არაფრის აშენება არ დაასრულოთ“.

და ბოლოს, განიხილეთ პრობლემების ბოლო კლასი:

გადამკვეთ ხაზებს შორის მანძილის გამოთვლა

აქ პრობლემების გადაჭრის ალგორითმი წინას მსგავსი იქნება. რაც გვაქვს:

3. პირველი და მეორე ხაზის წერტილების დამაკავშირებელი ნებისმიერი ვექტორი:

როგორ ვიპოვოთ მანძილი ხაზებს შორის?

ფორმულა ასეთია:

მრიცხველი არის მოდული შერეული პროდუქტი(წინა ნაწილში შემოვიყვანეთ), მნიშვნელი კი წინა ფორმულაშია (სწორი ხაზების მიმართული ვექტორების ვექტორული ნამრავლის მოდული, რომელთა შორის მანძილი ჩვენ ვეძებთ).

ამას შეგახსენებ

მაშინ მანძილის ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს როგორც:

ეს არის განმსაზღვრელი გაყოფილი განმსაზღვრელზე! თუმცა, მართალი გითხრათ, აქ ხუმრობის დრო არ მაქვს! ეს ფორმულაფაქტობრივად, ძალიან შრომატევადი და იწვევს საკმაოდ რთული გამოთვლები. მე რომ შენ ვიყო, ამას მხოლოდ ბოლო საშუალებად მივმართავდი!

შევეცადოთ გადავჭრათ რამდენიმე პრობლემა ზემოთ მოყვანილი მეთოდის გამოყენებით:

1. მართკუთხა სამკუთხა პრიზმაში, რომლის ყველა კიდე ტოლია, იპოვეთ მანძილი სწორ ხაზებს შორის და.

2. მართკუთხა სამკუთხა პრიზმის გათვალისწინებით, ფუძის ყველა კიდე ტოლია სხეულის ნეკნიდან გამავალი მონაკვეთისა და სე-რე-დი-ჭის ნეკნები არის კვადრატი. იპოვეთ მანძილი სწორ ხაზებს შორის და

მე ვწყვეტ პირველს და მასზე დაყრდნობით თქვენ წყვეტთ მეორეს!

1. ვხატავ პრიზმას და ვნიშნავ სწორ ხაზებს და

C წერტილის კოორდინატები: მაშინ

წერტილის კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

წერტილის კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

ვექტორული კოორდინატები

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \მარჯვნივ) = \მარცხნივ| (\begin(მაივი)(*(20)(l))(\begin(მაივი)(*(20)(c))0&1&0\end(მაივი))\\(\ დასაწყისი(მასივი)(*(20) (გ))0&0&1\ბოლო(მასივი))\\(\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \frac(1) (2))&1\ბოლო(მასივი))\ბოლო(მასივი)) \მარჯვნივ| = \frac((\sqrt 3))(2)\]

ჩვენ ვიანგარიშებთ ვექტორულ ნამრავლს ვექტორებს შორის და

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \მარცხნივ| \begin(მასივი)(l)\begin(მაივი)(*(20)(c))(\overrightarrow i)&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(მაივი)\\\ დასაწყისი(მასივი )(*(20)(გ))0&0&1\ბოლო(მასივი)\\\ დასაწყისი(მასივი)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(მასივი)\end(მასივი) \right| - \frac((\sqrt 3))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ მის სიგრძეს:

პასუხი:

ახლა შეეცადეთ დაასრულოთ მეორე დავალება ყურადღებით. მასზე პასუხი იქნება: .

კოორდინატები და ვექტორები. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულები

ვექტორი არის მიმართული სეგმენტი. - ვექტორის დასაწყისი, - ვექტორის დასასრული.
ვექტორი აღინიშნება ან.

აბსოლუტური ღირებულებავექტორი - ვექტორის გამომსახველი სეგმენტის სიგრძე. აღინიშნება როგორც.

ვექტორული კოორდინატები:

,
სად არის ვექტორის ბოლოები \displaystyle a.

ვექტორთა ჯამი: .

ვექტორების პროდუქტი:

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი:

Pr a b = |b|cos(a,b) ან

სადაც a b არის ვექტორების სკალარული ნამრავლი, |a| - ვექტორის მოდული a.

ინსტრუქციები. ვექტორის Pr a b პროექციის ონლაინ საპოვნელად, უნდა მიუთითოთ a და b ვექტორების კოორდინატები. ამ შემთხვევაში ვექტორი შეიძლება იყოს მითითებული სიბრტყეზე (ორი კოორდინატი) და სივრცეში (სამი კოორდინატი). შედეგად მიღებული გამოსავალი ინახება Word ფაილში. თუ ვექტორები მითითებულია წერტილების კოორდინატებით, მაშინ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ეს კალკულატორი.

ვექტორული პროგნოზების კლასიფიკაცია

პროგნოზების ტიპები განსაზღვრებით ვექტორული პროექციის მიხედვით

პროექციების სახეები კოორდინატთა სისტემის მიხედვით

ვექტორული პროექციის თვისებები

1. ვექტორის გეომეტრიული პროექცია არის ვექტორი (აქვს მიმართულება).
2. ვექტორის ალგებრული პროექცია არის რიცხვი.

ვექტორული პროექციის თეორემები

Pr a b = |b|cos(a,b)

ვექტორული პროგნოზების სახეები

1. პროექცია OX ღერძზე.
2. პროექცია OY ღერძზე.
3. პროექცია ვექტორზე.

პროექცია OX ღერძზე	პროექცია OY ღერძზე	პროექცია ვექტორამდე
თუ A'B' ვექტორის მიმართულება ემთხვევა OX ღერძის მიმართულებას, მაშინ A'B' ვექტორის პროექციას აქვს დადებითი ნიშანი.	თუ A'B' ვექტორის მიმართულება ემთხვევა OY ღერძის მიმართულებას, მაშინ A'B' ვექტორის პროექციას აქვს დადებითი ნიშანი.	თუ A'B' ვექტორის მიმართულება ემთხვევა ვექტორის NM მიმართულებას, მაშინ A'B' ვექტორის პროექციას აქვს დადებითი ნიშანი.
თუ ვექტორის მიმართულება ეწინააღმდეგება OX ღერძის მიმართულებას, მაშინ ვექტორის A'B' პროექცია აქვს უარყოფითი ნიშანი.	თუ A'B' ვექტორის მიმართულება ეწინააღმდეგება OY ღერძის მიმართულებას, მაშინ A'B' ვექტორის პროექციას აქვს უარყოფითი ნიშანი.	თუ A'B' ვექტორის მიმართულება ეწინააღმდეგება ვექტორის NM მიმართულებას, მაშინ A'B' ვექტორის პროექციას აქვს უარყოფითი ნიშანი.
თუ ვექტორი AB პარალელურია OX ღერძის, მაშინ A'B' ვექტორის პროექცია უდრის ვექტორის AB აბსოლუტურ მნიშვნელობას.	თუ ვექტორი AB პარალელურია OY ღერძის, მაშინ ვექტორის A'B' პროექცია უდრის ვექტორის AB აბსოლუტურ მნიშვნელობას.	თუ ვექტორი AB არის ვექტორის NM პარალელურად, მაშინ A'B' ვექტორის პროექცია უდრის ვექტორის AB აბსოლუტურ მნიშვნელობას.
თუ ვექტორი AB პერპენდიკულარულია OX ღერძის მიმართ, მაშინ პროექცია A’B’ ნულის ტოლია (ნულის ვექტორი).	თუ ვექტორი AB არის OY ღერძის პერპენდიკულარული, მაშინ პროექცია A'B' უდრის ნულს (ნულის ვექტორი).	თუ ვექტორი AB არის NM ვექტორის პერპენდიკულარული, მაშინ პროექცია A'B' უდრის ნულს (ნულის ვექტორი).

1. კითხვა: შეიძლება თუ არა ვექტორის პროექციას ჰქონდეს უარყოფითი ნიშანი? პასუხი: დიახ, შეიძლება იყოს ვექტორული პროგნოზები უარყოფითი მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში ვექტორს აქვს საპირისპირო მიმართულებით(იხილეთ როგორ არის მიმართული OX ღერძი და AB ვექტორი)
2. კითხვა: შეიძლება თუ არა ვექტორის პროექცია ემთხვეოდეს ვექტორის აბსოლუტურ მნიშვნელობას? პასუხი: დიახ, შეიძლება. ამ შემთხვევაში ვექტორები პარალელურია (ან დევს იმავე წრფეზე).
3. კითხვა: შეიძლება თუ არა ვექტორის პროექცია იყოს ნულის ტოლი (ნულის ვექტორი). პასუხი: დიახ, შეიძლება. ამ შემთხვევაში ვექტორი შესაბამისი ღერძის (ვექტორის) პერპენდიკულარულია.

მაგალითი 1. ვექტორი (ნახ. 1) OX ღერძთან ქმნის 60°-იან კუთხეს (ეს მითითებულია a ვექტორით). თუ OE არის მასშტაბის ერთეული, მაშინ |b|=4, ასე რომ .

მართლაც, ვექტორის სიგრძე (გეომეტრიული პროექცია b) უდრის 2-ს და მიმართულება ემთხვევა OX ღერძის მიმართულებას.

მაგალითი 2. ვექტორი (ნახ. 2) ქმნის კუთხეს (a,b) = 120 o OX ღერძით (ა ვექტორით). სიგრძე |ბ| ვექტორი b უდრის 4-ს, ამიტომ pr a b=4·cos120 o = -2.

მართლაც, ვექტორის სიგრძე არის 2, ხოლო მიმართულება ღერძის მიმართულების საპირისპიროა.

ვექტორს ჩვეულებრივ უწოდებენ სეგმენტს, რომელსაც აქვს მოცემული მიმართულება. ვექტორის დასაწყისსაც და დასასრულსაც აქვს ფიქსირებული პოზიცია, რომლის დახმარებით დგინდება ვექტორის მიმართულება. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ, თუ როგორ უნდა ავაშენოთ ვექტორი მოცემული კოორდინატები.

1. დახაზეთ კოორდინატთა სისტემა (x, y, z) სივრცეში, მონიშნეთ ერთეული სეგმენტები ღერძებზე.
2. დახაზეთ საჭირო კოორდინატები ორ ღერძზე, დახაზეთ წერტილოვანი ხაზები მათგან, ღერძების პარალელურად, სანამ ისინი არ იკვეთება. ისწავლეთ გადაკვეთის წერტილი, რომელიც უნდა იყოს დაკავშირებული წერტილოვანი ხაზით კოორდინატების საწყისთან.
3. დახაზეთ ვექტორი საწყისიდან მიღებულ წერტილამდე.
4. დააყენეთ მესამე ღერძზე სწორი ნომერი, მეშვეობით ეს წერტილიდახაზეთ წერტილოვანი ხაზი, რომელიც იქნება აგებული ვექტორის პარალელურად.
5. ვექტორის ბოლოდან დახაზეთ მესამე ღერძის პარალელურად წერტილოვანი ხაზი, სანამ არ გადაიკვეთება წინა წერტილის წრფესთან.
6. ბოლოს დააკავშირეთ საწყისი და მიღებული წერტილი.

ზოგჯერ საჭიროა ვექტორის აგება, რომელიც იქნება სხვა ვექტორების დამატების ან გამოკლების შედეგი. ამიტომ, ახლა ჩვენ გადავხედავთ ოპერაციებს ვექტორებით, ვისწავლით მათი დამატება და გამოკლებას.

ოპერაციები ვექტორზე

გეომეტრიული ვექტორების დამატება შესაძლებელია რამდენიმე გზით. მაგალითად, ვექტორების დამატების ყველაზე გავრცელებული გზაა სამკუთხედის წესი. ამ წესის მიხედვით ორი ვექტორის დასამატებლად აუცილებელია ვექტორების ერთმანეთის პარალელურად განთავსება ისე, რომ პირველი ვექტორის დასაწყისი მეორის დასასრულს ემთხვეოდეს, ხოლო მიღებული სამკუთხედის მესამე მხარე იყოს ჯამის ვექტორი.

ასევე შესაძლებელია ვექტორების ჯამის გამოთვლა პარალელოგრამის წესით. ვექტორები უნდა იწყებოდეს ერთი წერტილიდან, თითოეული ვექტორის პარალელურად, თქვენ უნდა დახაზოთ ხაზი ისე, რომ დასრულდეს პარალელოგრამი. აგებული პარალელოგრამის დიაგონალი იქნება ამ ვექტორების ჯამი.

ორი ვექტორის გამოკლებისთვის, თქვენ უნდა დაამატოთ პირველი ვექტორი და ვექტორი, რომელიც მეორეს საპირისპიროა. ამისთვის ასევე გამოიყენება სამკუთხედის წესი, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმულირება: ვექტორების სხვაობა, რომლებიც გადატანილია ისე, რომ მათი დასაწყისი ემთხვევა, არის ვექტორი, რომლის დასაწყისი ემთხვევა გამოკლებული ვექტორის დასასრულს, ასევე ვექტორის დასასრული მცირდება.