ფუნქციის შესწავლა y 4x x 2. ამოცანები კუზნეცოვის კრებულიდან ლ

გამხსნელი კუზნეცოვი.
III სქემები

დავალება 7. ფუნქციის სრული შესწავლის ჩატარება და მისი გრაფიკის აგება.

        სანამ თქვენი პარამეტრების ჩამოტვირთვას დაიწყებთ, სცადეთ პრობლემის გადაჭრა მე-3 ვარიანტისთვის ქვემოთ მოცემული მაგალითის მიხედვით. ზოგიერთი ვარიანტი დაარქივებულია .rar ფორმატში

        7.3 ფუნქციის სრული შესწავლა და დახაზვა

გამოსავალი.

        1) განმარტების სფერო:         ან        , ეს არის        .
.
ამრიგად:         .

        2) Ox ღერძთან გადაკვეთის წერტილები არ არის. მართლაც, განტოლებას         არ აქვს ამონახსნები.
Oy ღერძთან გადაკვეთის წერტილები არ არის, რადგან        .

        3) ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი. არ არის სიმეტრია ორდინატთა ღერძის მიმართ. ასევე არ არის სიმეტრია წარმოშობის შესახებ. იმიტომ რომ
.
ჩვენ ვხედავთ, რომ         და        .

        4) ფუნქცია არის უწყვეტი განმარტების დომენში
.

; .

; .
შესაბამისად, წერტილი         არის მეორე სახის შეწყვეტის წერტილი (უსასრულო შეწყვეტა).

5) ვერტიკალური ასიმპტოტები:       

ვიპოვოთ ირიბი ასიმპტოტა        . Აქ

;
.
შესაბამისად, გვაქვს ჰორიზონტალური ასიმპტოტა: y=0. ირიბი ასიმპტოტები არ არსებობს.

        6) ვიპოვოთ პირველი წარმოებული. პირველი წარმოებული:
.
და ამიტომ
.
ვიპოვოთ სტაციონარული წერტილები, სადაც წარმოებული ტოლია ნულის, ანუ
.

        7) ვიპოვოთ მეორე წარმოებული. მეორე წარმოებული:
.
და ამის გადამოწმება ადვილია, რადგან

როგორ შევისწავლოთ ფუნქცია და ავაშენოთ მისი გრაფიკი?

როგორც ჩანს, ვიწყებ მსოფლიო პროლეტარიატის ლიდერის, 55 ტომად შეგროვებული თხზულების ავტორის სულიერად გამჭრიახი სახის გააზრებას... გრძელი მოგზაურობა დაიწყო ძირითადი ინფორმაციით ფუნქციები და გრაფიკები, ახლა კი შრომატევად თემაზე მუშაობა მთავრდება ლოგიკური შედეგით - სტატიით ფუნქციის სრული შესწავლის შესახებ. დიდი ხნის ნანატრი დავალება ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად:

ფუნქციის შესწავლა დიფერენციალური გამოთვლის მეთოდების გამოყენებით და კვლევის შედეგების მიხედვით მისი გრაფიკის აგება

ან მოკლედ: შეისწავლეთ ფუნქცია და შექმენით გრაფიკი.

რატომ გამოიკვლიეთ?მარტივ შემთხვევებში არ გაგვიჭირდება ელემენტარული ფუნქციების გაგება და გამოყენებით მიღებული გრაფიკის დახატვა ელემენტარული გეომეტრიული გარდაქმნებიდა ასე შემდეგ. თუმცა, უფრო რთული ფუნქციების თვისებები და გრაფიკული გამოსახულებები შორს არის აშკარად, რის გამოც საჭიროა მთელი შესწავლა.

გადაწყვეტის ძირითადი ნაბიჯები შეჯამებულია საცნობარო მასალაში ფუნქციის შესწავლის სქემა, ეს არის თქვენი სახელმძღვანელო განყოფილებაში. დუმიებს სჭირდებათ თემის ეტაპობრივი ახსნა, ზოგიერთმა მკითხველმა არ იცის სად დაიწყოს ან როგორ მოაწყოს კვლევა, ხოლო მოწინავე სტუდენტები შეიძლება დაინტერესდნენ მხოლოდ რამდენიმე პუნქტით. მაგრამ ვინც არ უნდა იყოთ, ძვირფასო სტუმარო, შემოთავაზებული რეზიუმე სხვადასხვა გაკვეთილების მითითებით სწრაფად მოგიტანთ ორიენტაციას და დაგეხმარებათ ინტერესის მიმართულებით. რობოტებმა ცრემლები მოაყარეს =) სახელმძღვანელო განლაგდა pdf ფაილის სახით და დაიკავა თავისი კანონიერი ადგილი გვერდზე მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები.

მიჩვეული ვარ ფუნქციის კვლევის 5-6 პუნქტად დაყოფას:

6) კვლევის შედეგების მიხედვით დამატებითი ქულები და გრაფიკი.

რაც შეეხება საბოლოო მოქმედებას, ვფიქრობ, ყველასთვის ყველაფერი გასაგებია - ძალიან გულდასაწყვეტი იქნება, თუ რამდენიმე წამში გადაიწერება და დავალება დაბრუნდება გადასინჯვისთვის. სწორი და ზუსტი ნახაზი გადაწყვეტის მთავარი შედეგია! სავარაუდოდ, ის „დაფარავს“ ანალიტიკურ შეცდომებს, ხოლო არასწორი და/ან გაუფრთხილებელი განრიგი პრობლემებს შეუქმნის თუნდაც შესანიშნავად ჩატარებულ კვლევას.

უნდა აღინიშნოს, რომ სხვა წყაროებში კვლევის პუნქტების რაოდენობა, მათი განხორციელების თანმიმდევრობა და დიზაინის სტილი შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ჩემს მიერ შემოთავაზებული სქემისგან, მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში ეს სავსებით საკმარისია. პრობლემის უმარტივესი ვერსია შედგება მხოლოდ 2-3 ეტაპისგან და ჩამოყალიბებულია ასე: „გამოიკვლიეთ ფუნქცია წარმოებულის გამოყენებით და შექმენით გრაფიკი“ ან „გამოიკვლიეთ ფუნქცია 1-ლი და მე-2 წარმოებულების გამოყენებით, შექმენით გრაფიკი“.

ბუნებრივია, თუ თქვენი სახელმძღვანელო დეტალურად აღწერს სხვა ალგორითმს ან თქვენი მასწავლებელი მკაცრად მოითხოვს, რომ დაიცვან მისი ლექციები, მაშინ მოგიწევთ გადაწყვეტილების გარკვეული კორექტირება. არ არის უფრო რთული, ვიდრე ჩანგლის კოვზით შეცვლა.

მოდით შევამოწმოთ ფუნქცია ლუწი/კენტისთვის:

ამას მოჰყვება შაბლონის პასუხი:
, რაც ნიშნავს, რომ ეს ფუნქცია არ არის ლუწი ან კენტი.

ვინაიდან ფუნქცია უწყვეტია ზე, ვერტიკალური ასიმპტოტები არ არსებობს.

ასევე არ არის ირიბი ასიმპტოტები.

შენიშვნა : შეგახსენებთ, რომ რაც უფრო მაღალია ზრდის ბრძანება, ვიდრე , ამიტომ საბოლოო ლიმიტი არის ზუსტად ” პლუსუსასრულობა."

მოდით გავარკვიოთ, როგორ იქცევა ფუნქცია უსასრულობაში:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ მარჯვნივ მივდივართ, მაშინ გრაფიკი უსასრულოდ მაღლა მიდის, თუ მარცხნივ მივდივართ, ის უსასრულოდ შორს მიდის ქვემოთ. დიახ, ასევე არსებობს ორი შეზღუდვა ერთი შესვლის ქვეშ. თუ გაგიჭირდათ ნიშნების გაშიფვრა, გთხოვთ ეწვიოთ გაკვეთილს უსასრულოდ მცირე ფუნქციები.

ასე რომ ფუნქცია არ შემოიფარგლება ზემოდანდა არ შემოიფარგლება ქვემოდან. იმის გათვალისწინებით, რომ ჩვენ არ გვაქვს წყვეტის წერტილები, ცხადი ხდება ფუნქციის დიაპაზონი: – ასევე ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

სასარგებლო ტექნიკური ტექნიკა

დავალების თითოეულ ეტაპზე მოაქვს ახალი ინფორმაცია ფუნქციის გრაფიკის შესახებ, შესაბამისად, გადაწყვეტის დროს მოსახერხებელია ერთგვარი LAAYOUT-ის გამოყენება. ნახატზე დავხატოთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემა. რა არის უკვე დანამდვილებით ცნობილი? ჯერ ერთი, გრაფიკს არ აქვს ასიმპტოტები, შესაბამისად, არ არის საჭირო სწორი ხაზების დახატვა. მეორეც, ჩვენ ვიცით, როგორ იქცევა ფუნქცია უსასრულობაში. ანალიზის მიხედვით, ჩვენ ვხატავთ პირველ მიახლოებას:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ იმის გამო უწყვეტობაფუნქცია და ის ფაქტი, რომ გრაფიკმა ერთხელ მაინც უნდა გადაკვეთოს ღერძი. ან იქნებ არის რამდენიმე გადაკვეთის წერტილი?

3) ფუნქციის ნულები და მუდმივი ნიშნის ინტერვალები.

ჯერ ვიპოვოთ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილი ორდინატთა ღერძთან. Ეს მარტივია. აუცილებელია ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა შემდეგზე:

ზღვის დონიდან ერთი და ნახევარი.

ღერძთან გადაკვეთის წერტილების საპოვნელად (ფუნქციის ნულები) უნდა ამოხსნათ განტოლება და აქ უსიამოვნო სიურპრიზი გველოდება:

ბოლოს თავისუფალი წევრი იმალება, რაც ამოცანას ბევრად ართულებს.

ასეთ განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი რეალური ფესვი და ყველაზე ხშირად ეს ფესვი ირაციონალურია. ყველაზე ცუდ ზღაპარში სამი პატარა გოჭი გველოდება. განტოლება ამოსახსნელია ე.წ კარდანოს ფორმულები, მაგრამ ქაღალდის დაზიანება შედარებულია თითქმის მთელ კვლევასთან. ამ მხრივ, უფრო გონივრული იქნება ერთის არჩევა მაინც სიტყვიერად ან მონახაზში. მთლიანიფესვი. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა ეს რიცხვები:
- არაშესაფერისი;
- Იქ არის!

გაუმართლა აქ. წარუმატებლობის შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ და თუ ეს რიცხვები არ ჯდება, მაშინ ვშიშობ, რომ განტოლების მომგებიანი ამოხსნის ძალიან მცირე შანსია. მაშინ უმჯობესია გამოტოვოთ კვლევის პუნქტი მთლიანად - ალბათ, რაღაც უფრო ნათელი გახდება საბოლოო ეტაპზე, როდესაც დამატებითი პუნქტები დაირღვევა. და თუ ფესვ(ებ)ი აშკარად „ცუდია“, მაშინ უმჯობესია მოკრძალებულად გაჩუმდეთ ნიშნების მუდმივობის ინტერვალებზე და უფრო ფრთხილად დავხატოთ.

თუმცა, ჩვენ გვაქვს ლამაზი ფესვი, ამიტომ ვყოფთ მრავალწევრს დანარჩენისთვის:

მრავალწევრის მრავალწევრზე გაყოფის ალგორითმი დეტალურად არის განხილული გაკვეთილის პირველ მაგალითში კომპლექსური ლიმიტები.

შედეგად, ორიგინალური განტოლების მარცხენა მხარე იშლება პროდუქტად:

ახლა კი ცოტა ჯანსაღი ცხოვრების წესის შესახებ. მე, რა თქმა უნდა, მესმის კვადრატული განტოლებებიუნდა გადაწყდეს ყოველდღე, მაგრამ დღეს ჩვენ გამონაკლისს დავუშვებთ: განტოლებას აქვს ორი ნამდვილი ფესვი.

მოდით გამოვსახოთ ნაპოვნი მნიშვნელობები რიცხვთა ხაზზე და ინტერვალის მეთოდიმოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის ნიშნები:


og ამრიგად, ინტერვალებზე განრიგი განთავსებულია
x-ღერძის ქვემოთ და ინტერვალებით - ამ ღერძის ზემოთ.

დასკვნები საშუალებას გვაძლევს დავაზუსტოთ ჩვენი განლაგება და გრაფიკის მეორე დაახლოება ასე გამოიყურება:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფუნქციას უნდა ჰქონდეს მინიმუმ ერთი მაქსიმუმი ინტერვალზე და მინიმუმ ერთი მინიმუმი ინტერვალზე. მაგრამ ჩვენ ჯერ არ ვიცით რამდენჯერ, სად და როდის იქნება განრიგი. სხვათა შორის, ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი უკიდურესობები.

4) ფუნქციის გაზრდა, შემცირება და ექსტრემა.

მოდი ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები:

ამ განტოლებას ორი რეალური ფესვი აქვს. მოდით დავდოთ ისინი რიცხვთა წრფეზე და განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშნები:


შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება და მცირდება .
იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს: .
იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მინიმუმს: .

დამკვიდრებული ფაქტები ჩვენს შაბლონს საკმაოდ ხისტ ჩარჩოში აყენებს:

ზედმეტია იმის თქმა, რომ დიფერენციალური გაანგარიშება ძლიერი რამ არის. მოდით საბოლოოდ გავიგოთ გრაფიკის ფორმა:

5) ამოზნექილი, ჩაზნექილი და დახრის წერტილები.

მოდი ვიპოვოთ მეორე წარმოებულის კრიტიკული წერტილები:

მოდით განვსაზღვროთ ნიშნები:


ფუნქციის გრაფიკი არის ამოზნექილი და ჩაზნექილი ზე. გამოვთვალოთ დახრის წერტილის ორდინატი: .

თითქმის ყველაფერი ნათელი გახდა.

6) რჩება დამატებითი ქულების პოვნა, რომელიც დაგეხმარებათ უფრო ზუსტად შეადგინოთ გრაფიკი და ჩაატაროთ თვითტესტი. ამ შემთხვევაში, რამდენიმე მათგანია, მაგრამ ჩვენ არ უგულებელვყოფთ მათ:

მოდით გავაკეთოთ ნახატი:

დახრის წერტილი აღინიშნება მწვანეში, დამატებითი წერტილები აღინიშნება ჯვრებით. კუბური ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია მისი გადახრის წერტილის მიმართ, რომელიც ყოველთვის მდებარეობს მკაცრად შუაში მაქსიმუმსა და მინიმუმს შორის.

დავალების მიმდინარეობისას მე მივაწოდე სამი ჰიპოთეტური შუალედური ნახაზი. პრაქტიკაში საკმარისია კოორდინატთა სისტემის დახატვა, აღმოჩენილი წერტილების მონიშვნა და კვლევის ყოველი წერტილის შემდეგ გონებრივად შეაფასეთ, როგორი შეიძლება იყოს ფუნქციის გრაფიკი. მომზადების კარგი დონის მქონე სტუდენტებს არ გაუჭირდებათ ასეთი ანალიზის ჩატარება მხოლოდ საკუთარ თავში, მონახაზის ჩართვის გარეშე.

თავად გადაჭრით:

მაგალითი 2

შეისწავლეთ ფუნქცია და შექმენით გრაფიკი.

აქ ყველაფერი უფრო სწრაფი და სახალისოა, საბოლოო დიზაინის მიახლოებითი მაგალითი გაკვეთილის ბოლოს.

წილადი რაციონალური ფუნქციების შესწავლა ბევრ საიდუმლოს ავლენს:

მაგალითი 3

გამოიყენეთ დიფერენციალური გამოთვლების მეთოდები ფუნქციის შესასწავლად და კვლევის შედეგების საფუძველზე ააგეთ მისი გრაფიკი.

გამოსავალი: კვლევის პირველი ეტაპი არ არის გამორჩეული არაფრით, გარდა ნახვრეტისა განსაზღვრის ზონაში:

1) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია მთელ რიცხვით წრფეზე, გარდა წერტილისა, დომენი: .

, რაც ნიშნავს, რომ ეს ფუნქცია არ არის ლუწი ან კენტი.

აშკარაა, რომ ფუნქცია არაპერიოდულია.

ფუნქციის გრაფიკი წარმოადგენს ორ უწყვეტ ტოტს, რომლებიც განლაგებულია მარცხენა და მარჯვენა ნახევარსიბრტყეში - ეს, ალბათ, 1 წერტილის ყველაზე მნიშვნელოვანი დასკვნაა.

2) ასიმპტოტები, ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში.

ა) ცალმხრივი ლიმიტების გამოყენებით, ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის ქცევას საეჭვო წერტილთან ახლოს, სადაც აშკარად უნდა იყოს ვერტიკალური ასიმპტოტა:

მართლაც, ფუნქციები გამძლეა გაუთავებელი უფსკრულიწერტილში
ხოლო სწორი ხაზი (ღერძი) არის ვერტიკალური ასიმპტოტიგრაფიკული ხელოვნება.

ბ) შევამოწმოთ არის თუ არა ირიბი ასიმპტოტები:

დიახ, ეს არის სწორი ირიბი ასიმპტოტიგრაფიკა, თუ.

საზღვრების გაანალიზებას აზრი არ აქვს, რადგან უკვე ცხადია, რომ ფუნქცია მოიცავს მის ირიბ ასიმპტოტს. არ შემოიფარგლება ზემოდანდა არ შემოიფარგლება ქვემოდან.

მეორე კვლევის პუნქტმა ბევრი მნიშვნელოვანი ინფორმაცია მოგვცა ფუნქციის შესახებ. მოდით გავაკეთოთ უხეში ესკიზი:

დასკვნა No1 ეხება მუდმივი ნიშნის ინტერვალებს. „მინუს უსასრულობაზე“ ფუნქციის გრაფიკი აშკარად მდებარეობს x-ღერძის ქვემოთ, ხოლო „პლუს უსასრულობის“ დროს ის ამ ღერძის ზემოთ. გარდა ამისა, ცალმხრივმა ზღვრებმა გვითხრა, რომ წერტილის მარცხნივ და მარჯვნივ ფუნქცია ასევე მეტია ნულზე. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში გრაფიკმა ერთხელ მაინც უნდა გადაკვეთოს x ღერძი. მარჯვენა ნახევარ სიბრტყეში შეიძლება არ იყოს ფუნქციის ნულები.

დასკვნა No2 არის ის, რომ ფუნქცია იზრდება წერტილიდან და მარცხნივ (მიდის „ქვემოდან ზევით“). ამ წერტილიდან მარჯვნივ ფუნქცია მცირდება (მიდის „ზემოდან ქვემოდან“). გრაფიკის მარჯვენა ტოტს აუცილებლად უნდა ჰქონდეს მინიმუმ ერთი მინიმუმი. მარცხნივ, უკიდურესობა არ არის გარანტირებული.

დასკვნა No3 იძლევა სარწმუნო ინფორმაციას წერტილის სიახლოვეს გრაფის ჩაღრმავებულობის შესახებ. ჩვენ ჯერ ვერაფერს ვიტყვით უსასრულობებში ამოზნექილზე/ჩაღრმავებაზე, ვინაიდან ხაზის ასიმპტოტისკენ შეიძლება დაჭერა როგორც ზემოდან, ასევე ქვემოდან. ზოგადად რომ ვთქვათ, არსებობს ანალიტიკური გზა ამის გასარკვევად ახლავე, მაგრამ გრაფიკის ფორმა უფრო ნათელი გახდება მოგვიანებით ეტაპზე.

რატომ ამდენი სიტყვა? შემდგომი კვლევის ქულების გასაკონტროლებლად და შეცდომების თავიდან ასაცილებლად! შემდგომი გამოთვლები არ უნდა ეწინააღმდეგებოდეს გამოტანილ დასკვნებს.

3) გრაფის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან, ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები.

ფუნქციის გრაფიკი არ კვეთს ღერძს.

ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით ჩვენ განვსაზღვრავთ ნიშნებს:

თუ ;
, თუ .

ამ პუნქტის შედეგები სრულად შეესაბამება No1 დასკვნას. ყოველი ეტაპის შემდეგ შეხედეთ პროექტს, გონებრივად შეამოწმეთ კვლევა და შეავსეთ ფუნქციის გრაფიკი.

განსახილველ მაგალითში მრიცხველი იყოფა ტერმინებით ტერმინებით, რაც ძალიან სასარგებლოა დიფერენციაციისთვის:

სინამდვილეში, ეს უკვე გაკეთდა ასიმპტოტების აღმოჩენისას.

- კრიტიკული წერტილი.

მოდით განვსაზღვროთ ნიშნები:

იზრდება და მცირდება

იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მინიმუმს: .

ასევე არ იყო შეუსაბამობა No2 დასკვნასთან და, დიდი ალბათობით, სწორ გზაზე ვართ.

ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის გრაფიკი ჩაზნექილია განსაზღვრების მთელ დომენზე.

შესანიშნავია - და არაფრის დახატვა არ გჭირდებათ.

გადახრის წერტილები არ არის.

ჩაღრმავება შეესაბამება მე-3 დასკვნას, უფრო მეტიც, ის მიუთითებს, რომ უსასრულობაში (იქაც და იქაც) მდებარეობს ფუნქციის გრაფიკი. უფრო მაღალიმისი ირიბი ასიმპტოტი.

6) ჩვენ კეთილსინდისიერად დავამაგრებთ დავალებას დამატებითი ქულებით. სწორედ აქ მოგვიწევს შრომა, რადგან ჩვენ მხოლოდ ორი პუნქტი ვიცით გამოკვლევიდან.

და სურათი, რომელიც ალბათ ბევრს დიდი ხნის წინ წარმოედგინა:

დავალების შესრულებისას თქვენ უნდა დარწმუნდეთ, რომ არ არსებობს წინააღმდეგობები კვლევის ეტაპებს შორის, მაგრამ ზოგჯერ სიტუაცია არის გადაუდებელი ან თუნდაც სასოწარკვეთილი ჩიხი. ანალიტიკა "არ ემატება" - ეს ყველაფერია. ამ შემთხვევაში გირჩევთ სასწრაფო ტექნიკას: ვიპოვოთ რაც შეიძლება მეტი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის გრაფიკს (იმდენი მოთმინება, რამდენიც გვაქვს) და მოვნიშნავთ კოორდინატულ სიბრტყეზე. ნაპოვნი მნიშვნელობების გრაფიკული ანალიზი უმეტეს შემთხვევაში გეტყვით სად არის სიმართლე და სად არის მცდარი. გარდა ამისა, გრაფიკი შეიძლება წინასწარ აშენდეს რაიმე პროგრამის გამოყენებით, მაგალითად, Excel-ში (რა თქმა უნდა, ეს მოითხოვს უნარებს).

მაგალითი 4

გამოიყენეთ დიფერენციალური გამოთვლის მეთოდები ფუნქციის შესასწავლად და მისი გრაფიკის ასაგებად.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. მასში თვითკონტროლს აძლიერებს ფუნქციის პარიტეტი – გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ და თუ თქვენს კვლევაში არის რამე, რაც ამ ფაქტს ეწინააღმდეგება, მოძებნეთ შეცდომა.

ლუწი ან კენტი ფუნქციის შესწავლა შესაძლებელია მხოლოდ ზე და შემდეგ გამოვიყენოთ გრაფიკის სიმეტრია. ეს გამოსავალი ოპტიმალურია, მაგრამ, ჩემი აზრით, ძალიან უჩვეულოდ გამოიყურება. პირადად მე ვუყურებ მთელ რიცხვით ხაზს, მაგრამ დამატებით წერტილებს მაინც ვპოულობ მხოლოდ მარჯვნივ:

მაგალითი 5

ფუნქციის სრული შესწავლა და მისი გრაფიკის აგება.

გამოსავალი: გართულდა საქმეები:

1) ფუნქცია განსაზღვრულია და უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე: .

ეს ნიშნავს, რომ ეს ფუნქცია კენტია, მისი გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.

აშკარაა, რომ ფუნქცია არაპერიოდულია.

2) ასიმპტოტები, ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში.

ვინაიდან ფუნქცია უწყვეტია ზე, ვერტიკალური ასიმპტოტები არ არსებობს

მაჩვენებლის შემცველი ფუნქციისთვის ტიპიურია ცალკე"პლუს" და "უსასრულობის მინუს" შესწავლა, თუმცა, ჩვენს ცხოვრებას გრაფიკის სიმეტრია აადვილებს - ან არის ასიმპტოტა როგორც მარცხნივ, ასევე მარჯვნივ, ან არ არსებობს. ამიტომ, ორივე უსასრულო ლიმიტი შეიძლება დაიწეროს ერთი ჩანაწერის ქვეშ. ხსნარის დროს ვიყენებთ L'Hopital-ის წესი:

სწორი ხაზი (ღერძი) არის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი ზე.

გთხოვთ, გაითვალისწინეთ, როგორ ეშმაკურად ავიცილე თავი ირიბი ასიმპტოტის პოვნის სრულ ალგორითმს: ლიმიტი სრულიად ლეგალურია და განმარტავს ფუნქციის ქცევას უსასრულობაში, ხოლო ჰორიზონტალური ასიმპტოტი აღმოაჩინა „თითქოს ამავე დროს“.

ჰორიზონტალური ასიმპტოტის უწყვეტობისა და არსებობიდან გამომდინარეობს, რომ ფუნქცია ზემოთ შემოსაზღვრულიდა ქვევით შემოსაზღვრული.

3) გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან, მუდმივი ნიშნის ინტერვალებით.

აქვე ვამოკლებთ ხსნარს:
გრაფიკი გადის საწყისზე.

კოორდინატთა ღერძებთან გადაკვეთის სხვა წერტილები არ არსებობს. უფრო მეტიც, ნიშნის მუდმივობის ინტერვალები აშკარაა და ღერძი არ არის საჭირო: , რაც ნიშნავს, რომ ფუნქციის ნიშანი დამოკიდებულია მხოლოდ "x"-ზე:
თუ ;
, თუ .

4) ფუნქციის გაზრდა, შემცირება, ექსტრემა.


- კრიტიკული წერტილები.

წერტილები სიმეტრიულია ნულის მიმართ, როგორც ეს უნდა იყოს.

მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშნები:


ფუნქცია იზრდება ინტერვალით და მცირდება ინტერვალებით

იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს: .

ქონების გამო (ფუნქციის უცნაურობა) მინიმუმის გამოთვლა არ არის საჭირო:

ვინაიდან ფუნქცია მცირდება ინტერვალით, მაშინ, ცხადია, გრაფიკი მდებარეობს "მინუს უსასრულობაზე" ქვეშმისი ასიმპტოტი. ინტერვალში ფუნქციაც მცირდება, მაგრამ აქ პირიქითაა - მაქსიმალური წერტილის გავლის შემდეგ ხაზი ზემოდან უახლოვდება ღერძს.

ზემოაღნიშნულიდან ასევე გამომდინარეობს, რომ ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია „მინუს უსასრულობაზე“ და ჩაზნექილი „პლუს უსასრულობაზე“.

შესწავლის ამ წერტილის შემდეგ, შედგენილია ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი:

თუ რაიმე პუნქტის გაუგებრობა გაქვთ, კიდევ ერთხელ მოგიწოდებთ, რვეულში დახაზოთ საკოორდინაციო ცულები და ფანქრით ხელში ხელახლა გააანალიზოთ დავალების თითოეული დასკვნა.

5) გრაფის ამოზნექილობა, ჩაღრმავება, დახრილობა.

- კრიტიკული წერტილები.

წერტილების სიმეტრია შენარჩუნებულია და, დიდი ალბათობით, არ ვცდებით.

მოდით განვსაზღვროთ ნიშნები:


ფუნქციის გრაფიკი ამოზნექილია და ჩაზნექილი .

ამოზნექილი/ჩაღრმავება უკიდურეს ინტერვალებში დადასტურდა.

გრაფიკის ყველა კრიტიკულ წერტილში არის ნახვევები. მოდი ვიპოვოთ გადახრის წერტილების ორდინატები და კვლავ შევამციროთ გამოთვლების რაოდენობა ფუნქციის უცნაურობის გამოყენებით:

თუ პრობლემა მოითხოვს f (x) = x 2 4 x 2 - 1 ფუნქციის სრულ შესწავლას მისი გრაფიკის აგებით, მაშინ ამ პრინციპს დეტალურად განვიხილავთ.

ამ ტიპის პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების თვისებები და გრაფიკები. კვლევის ალგორითმი მოიცავს შემდეგ ნაბიჯებს:

განსაზღვრების დომენის პოვნა

ვინაიდან კვლევა ტარდება ფუნქციის განსაზღვრის სფეროზე, აუცილებელია ამ ნაბიჯით დავიწყოთ.

მაგალითი 1

მოცემული მაგალითი მოიცავს მნიშვნელის ნულების პოვნას, რათა გამოირიცხოს ისინი ODZ-დან.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

შედეგად, შეგიძლიათ მიიღოთ ფესვები, ლოგარითმები და ა.შ. შემდეგ ODZ შეიძლება მოძებნოთ g (x) 4 ტიპის ლუწი ხარისხის ფესვი g (x) ≥ 0 უტოლობით, ლოგარითმისთვის log a g (x) უტოლობით g (x) > 0.

ODZ-ის საზღვრების შესწავლა და ვერტიკალური ასიმპტოტების მოძიება

ფუნქციის საზღვრებთან არის ვერტიკალური ასიმპტოტები, როდესაც ასეთ წერტილებში ცალმხრივი საზღვრები უსასრულოა.

მაგალითი 2

მაგალითად, განვიხილოთ სასაზღვრო წერტილები x = ± 1 2-ის ტოლი.

შემდეგ საჭიროა ფუნქციის შესწავლა ცალმხრივი ლიმიტის მოსაძებნად. შემდეგ მივიღებთ, რომ: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

ეს აჩვენებს, რომ ცალმხრივი საზღვრები უსასრულოა, რაც ნიშნავს, რომ სწორი ხაზები x = ± 1 2 არის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტები.

ფუნქციის შესწავლა და ლუწი თუ კენტი

როდესაც პირობა y (- x) = y (x) დაკმაყოფილებულია, ფუნქცია ითვლება ლუწი. ეს ვარაუდობს, რომ გრაფიკი განლაგებულია სიმეტრიულად Oy-სთან მიმართებაში. როდესაც პირობა y (- x) = - y (x) დაკმაყოფილებულია, ფუნქცია განიხილება კენტი. ეს ნიშნავს, რომ სიმეტრია შეფარდებითია კოორდინატების წარმოშობასთან. თუ ერთი უტოლობა მაინც არ არის დაკმაყოფილებული, მივიღებთ ზოგადი ფორმის ფუნქციას.

თანასწორობა y (- x) = y (x) მიუთითებს, რომ ფუნქცია ლუწია. აგებისას გასათვალისწინებელია, რომ იქნება სიმეტრია ოის მიმართ.

უტოლობის ამოსახსნელად გამოიყენება გაზრდისა და კლების ინტერვალები f "(x) ≥ 0 და f" (x) ≤ 0 პირობებით, შესაბამისად.

განმარტება 1

სტაციონარული წერტილები- ეს ის წერტილებია, რომლებიც წარმოებულს ნულს აქცევს.

კრიტიკული წერტილები- ეს არის შიდა წერტილები განმარტების სფეროდან, სადაც ფუნქციის წარმოებული ტოლია ნულის ან არ არსებობს.

გადაწყვეტილების მიღებისას მხედველობაში უნდა იქნას მიღებული შემდეგი შენიშვნები:

• f "(x) > 0 ფორმის მზარდი და კლებადი უტოლობების არსებული ინტერვალებისთვის ამონახსნში არ შედის კრიტიკული წერტილები;
• წერტილები, რომლებშიც ფუნქცია განისაზღვრება სასრული წარმოებულის გარეშე, უნდა იყოს ჩართული გაზრდისა და კლების ინტერვალებში (მაგალითად, y = x 3, სადაც x = 0 წერტილი განსაზღვრავს ფუნქციას, წარმოებულს აქვს უსასრულობის მნიშვნელობა ამ შემთხვევაში. წერტილი, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 შედის მზარდ ინტერვალში);
• უთანხმოების თავიდან ასაცილებლად რეკომენდებულია განათლების სამინისტროს მიერ რეკომენდებული მათემატიკური ლიტერატურის გამოყენება.

კრიტიკული წერტილების ჩართვა გაზრდისა და კლების ინტერვალებში, თუ ისინი აკმაყოფილებენ ფუნქციის განსაზღვრის სფეროს.

განმარტება 2

ამისთვის ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების განსაზღვრისას აუცილებელია ვიპოვოთ:

• წარმოებული;
• კრიტიკული წერტილები;
• განსაზღვრების დომენის დაყოფა ინტერვალებად კრიტიკული წერტილების გამოყენებით;
• განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშანი თითოეულ ინტერვალზე, სადაც + არის ზრდა და - კლება.

მაგალითი 3

იპოვეთ წარმოებული f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1" (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 -) დომენზე. 1) 2.

გამოსავალი

გადაჭრისთვის გჭირდებათ:

• იპოვეთ სტაციონარული წერტილები, ამ მაგალითს აქვს x = 0;
• იპოვეთ მნიშვნელის ნულები, მაგალითი იღებს ნულს x = ± 1 2-ზე.

ჩვენ ვათავსებთ წერტილებს რიცხვით წრფეზე, რათა განვსაზღვროთ წარმოებული თითოეულ ინტერვალზე. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი წერტილი ინტერვალიდან და შეასრულოთ გამოთვლა. თუ შედეგი დადებითია, გრაფიკზე გამოვსახავთ +, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია იზრდება და - ნიშნავს მცირდება.

მაგალითად, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, რაც ნიშნავს, რომ პირველ ინტერვალს მარცხნივ აქვს + ნიშანი. განვიხილოთ რიცხვითი წრფე.

პასუხი:

• ფუნქცია იზრდება ინტერვალზე - ∞; - 1 2 და (- 1 2 ; 0 ] ;
• არის ინტერვალის შემცირება [0; 1 2) და 1 2 ; + ∞ .

დიაგრამაზე, + და - გამოყენებით, გამოსახულია ფუნქციის პოზიტივი და ნეგატივი, ხოლო ისრები მიუთითებს შემცირებასა და ზრდაზე.

ფუნქციის უკიდურესი წერტილები არის წერტილები, სადაც ფუნქცია განისაზღვრება და რომლის მეშვეობითაც წარმოებული ცვლის ნიშანს.

მაგალითი 4

თუ განვიხილავთ მაგალითს, სადაც x = 0, მაშინ მასში ფუნქციის მნიშვნელობა უდრის f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. როდესაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება +-დან --ში და გადის x = 0 წერტილში, მაშინ წერტილი კოორდინატებით (0; 0) ითვლება მაქსიმალურ წერტილად. როდესაც ნიშანი იცვლება -დან +-მდე, ჩვენ ვიღებთ მინიმალურ ქულას.

ამოზნექილი და ჩაზნექილი განისაზღვრება f "" (x) ≥ 0 და f "" (x) ≤ 0 ფორმის უტოლობების ამოხსნით. ნაკლებად ხშირად გამოიყენება სახელი ამოზნექილი ქვევით ჩაზნექის ნაცვლად და ამოზნექილი ზევით ამოზნექის ნაცვლად.

განმარტება 3

ამისთვის ჩაზნექილისა და ამოზნექის ინტერვალების განსაზღვრასაჭირო:

• იპოვეთ მეორე წარმოებული;
• იპოვეთ მეორე წარმოებული ფუნქციის ნულები;
• განსაზღვრის არე დაყავით ინტერვალებად გამოჩენილი წერტილებით;
• განსაზღვრეთ ინტერვალის ნიშანი.

მაგალითი 5

იპოვეთ მეორე წარმოებული განმარტების სფეროდან.

გამოსავალი

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ჩვენ ვპოულობთ მრიცხველისა და მნიშვნელის ნულებს, სადაც ჩვენს მაგალითში გვაქვს, რომ x = ± 1 2 მნიშვნელის ნულები.

ახლა თქვენ უნდა გამოსახოთ წერტილები რიცხვით წრფეზე და დაადგინოთ მეორე წარმოებულის ნიშანი თითოეული ინტერვალიდან. ჩვენ ამას მივიღებთ

პასუხი:

• ფუნქცია ამოზნექილია ინტერვალიდან - 1 2 ; 12 ;
• ფუნქცია ჩაზნექილია ინტერვალებიდან - ∞ ; - 1 2 და 1 2; + ∞ .

განმარტება 4

დახრის წერტილი– ეს არის x 0 ფორმის წერტილი; f (x 0) . როდესაც მას აქვს ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე, მაშინ როდესაც ის გადის x 0-ზე, ფუნქცია ცვლის საპირისპირო ნიშანს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის წერტილი, რომლის მეშვეობითაც მეორე წარმოებული გადის და ცვლის ნიშანს, ხოლო თავად წერტილებში ის ნულის ტოლია ან არ არსებობს. ყველა წერტილი ითვლება ფუნქციის დომენად.

მაგალითში ცხადი იყო, რომ არ არსებობს დახრის წერტილები, რადგან მეორე წარმოებული ცვლის ნიშანს x = ± 1 2 წერტილებში გავლისას. ისინი, თავის მხრივ, არ შედის განმარტების ფარგლებში.

ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტების მოძიება

უსასრულობაში ფუნქციის განსაზღვრისას, თქვენ უნდა მოძებნოთ ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტები.

განმარტება 5

ირიბი ასიმპტოტებიგამოსახულია y = k x + b განტოლებით მოცემული სწორი ხაზების გამოყენებით, სადაც k = lim x → ∞ f (x) x და b = lim x → ∞ f (x) - k x.

k = 0-ისთვის და b-ისთვის, რომლებიც უსასრულობის ტოლი არ არის, აღმოვაჩენთ, რომ ირიბი ასიმპტოტი ხდება ჰორიზონტალური.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ასიმპტოტები ითვლება ხაზებად, რომლებსაც ფუნქციის გრაფიკი უსასრულობაში უახლოვდება. ეს ხელს უწყობს ფუნქციის გრაფიკის სწრაფ აგებას.

თუ ასიმპტოტები არ არის, მაგრამ ფუნქცია ორივე უსასრულობაშია განსაზღვრული, აუცილებელია ამ უსასრულობებზე ფუნქციის ლიმიტის გამოთვლა, რათა გავიგოთ, როგორ მოიქცევა ფუნქციის გრაფიკი.

მაგალითი 6

მაგალითად განვიხილოთ, რომ

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი. ფუნქციის შემოწმების შემდეგ, შეგიძლიათ დაიწყოთ მისი აგება.

ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა შუალედურ წერტილებში

გრაფიკის უფრო ზუსტი გასაკეთებლად, რეკომენდებულია შუალედურ წერტილებში რამდენიმე ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა.

მაგალითი 7

ჩვენ განვიხილეთ მაგალითიდან, აუცილებელია ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 წერტილებში. ვინაიდან ფუნქცია ლუწია, მივიღებთ, რომ მნიშვნელობები ემთხვევა მნიშვნელობებს ამ წერტილებში, ანუ ვიღებთ x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

დავწეროთ და მოვაგვაროთ:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

ფუნქციის მაქსიმუმის და მინიმუმის დასადგენად, გადახრის წერტილები და შუალედური წერტილები, აუცილებელია ასიმპტოტების აგება. მოსახერხებელი აღნიშვნისთვის, აღირიცხება გაზრდის, კლების, ამოზნექის და ჩაზნექის ინტერვალები. მოდით შევხედოთ სურათს ქვემოთ.

მონიშნულ წერტილებში აუცილებელია გრაფიკული ხაზების დახატვა, რაც საშუალებას მოგცემთ მიუახლოვდეთ ასიმპტოტებს ისრებით.

ეს ამთავრებს ფუნქციის სრულ შესწავლას. არის რამდენიმე ელემენტარული ფუნქციის აგების შემთხვევები, რისთვისაც გამოიყენება გეომეტრიული გარდაქმნები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გარკვეული პერიოდის განმავლობაში, TheBat-ის ჩაშენებული სერთიფიკატების მონაცემთა ბაზა SSL-ისთვის შეწყვეტს სწორად მუშაობას (გაურკვეველია, რა მიზეზით).

პოსტის შემოწმებისას ჩნდება შეცდომა:

უცნობი CA სერთიფიკატი
სერვერმა არ წარმოადგინა root სერტიფიკატი სესიაზე და შესაბამისი root სერთიფიკატი ვერ მოიძებნა მისამართების წიგნში.
ეს კავშირი არ შეიძლება იყოს საიდუმლო. გთხოვთ
დაუკავშირდით თქვენი სერვერის ადმინისტრატორს.

და თქვენ გთავაზობენ პასუხების არჩევანს - დიახ / არა. ასე რომ, ყოველ ჯერზე, როცა წერილს ამოიღებთ.

გამოსავალი

ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეცვალოთ S/MIME და TLS განხორციელების სტანდარტი Microsoft CryptoAPI-ით TheBat პარამეტრებში!

ვინაიდან ყველა ფაილის ერთში გაერთიანება მჭირდებოდა, ჯერ ყველა doc ფაილი გადავაკეთე ერთ pdf ფაილად (Acrobat პროგრამის გამოყენებით), შემდეგ კი გადავეცი fb2-ზე ონლაინ კონვერტერის საშუალებით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ დააკონვერტიროთ ფაილები ინდივიდუალურად. ფორმატები შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი (წყარო) - doc, jpg და თუნდაც zip არქივი!

საიტის სახელწოდება შეესაბამება არსს :) Online Photoshop.

განახლებულია 2015 წლის მაისი

ვიპოვე კიდევ ერთი შესანიშნავი საიტი! კიდევ უფრო მოსახერხებელი და ფუნქციონალური სრულიად მორგებული კოლაჟის შესაქმნელად! ეს არის საიტი http://www.fotor.com/ru/collage/. ისიამოვნეთ თქვენი ჯანმრთელობისთვის. და მე თვითონ გამოვიყენებ.

ჩემს ცხოვრებაში წავაწყდი ელექტრო ღუმელის შეკეთების პრობლემას. მე უკვე ბევრი რამ გავაკეთე, ბევრი ვისწავლე, მაგრამ რატომღაც ცოტა მქონდა ფილებთან. საჭირო იყო რეგულატორებისა და სანთურების კონტაქტების შეცვლა. გაჩნდა კითხვა - როგორ განვსაზღვროთ სანთურის დიამეტრი ელექტრო ღუმელზე?

პასუხი მარტივი აღმოჩნდა. არაფრის გაზომვა არ გჭირდებათ, თვალით მარტივად შეგიძლიათ განსაზღვროთ რა ზომა გჭირდებათ.

ყველაზე პატარა სანთურა- ეს არის 145 მილიმეტრი (14,5 სანტიმეტრი)

შუა სანთურა- ეს არის 180 მილიმეტრი (18 სანტიმეტრი).

და ბოლოს, ყველაზე დიდი სანთურა- ეს არის 225 მილიმეტრი (22,5 სანტიმეტრი).

საკმარისია ზომის დადგენა თვალით და იმის გაგება, თუ რა დიამეტრის გჭირდებათ სანთურა. როცა ეს არ ვიცოდი, ვღელავდი ამ ზომებზე, არ ვიცოდი როგორ გამეზომა, რომელ კიდეზე გამეტარებინა და ა.შ. ახლა გონიერი ვარ :) იმედია მეც დაგეხმარე!

ჩემს ცხოვრებაში ასეთი პრობლემა შემექმნა. მგონი მარტო მე არ ვარ.