თუ 2 პარალელურია. პარალელური ხაზები, ნიშნები და პირობები პარალელური ხაზებისთვის

ორი წრფის პარალელურობის ნიშნები

თეორემა 1. თუ, როდესაც ორი წრფე იკვეთება სეკანტს:

გადაკვეთილი კუთხეები ტოლია, ან

შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან

ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ

ხაზები პარალელურია(ნახ. 1).

მტკიცებულება. ჩვენ შემოვიფარგლებით 1-ლი შემთხვევის დამტკიცებით.

მოდით, გადამკვეთი წრფეები a და b იყოს ჯვარედინი, ხოლო კუთხეები AB ტოლი. მაგალითად, ∠ 4 = ∠ 6. დავამტკიცოთ, რომ a || ბ.

დავუშვათ, რომ a და b წრფეები არ არის პარალელური. შემდეგ ისინი იკვეთებიან M რაღაც წერტილში და, შესაბამისად, 4 ან 6 კუთხეებიდან ერთ-ერთი იქნება ABM სამკუთხედის გარე კუთხე. განსაზღვრულობისთვის, მოდით ∠ 4 იყოს სამკუთხედის ABM გარე კუთხე და ∠ 6 შიდა კუთხე. სამკუთხედის გარე კუთხის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ 4 მეტია ∠ 6-ზე და ეს ეწინააღმდეგება პირობას, რაც ნიშნავს, რომ a და 6 წრფეები ვერ იკვეთება, ამიტომ ისინი პარალელურები არიან.

დასკვნა 1. ერთი და იმავე წრფის პერპენდიკულარულ სიბრტყეში ორი განსხვავებული წრფე პარალელურია(ნახ. 2).

კომენტარი. გზა, რომელსაც ჩვენ ახლახან დავამტკიცეთ თეორემა 1-ის შემთხვევა, ეწოდება მტკიცების მეთოდს წინააღმდეგობით ან აბსურდამდე დაყვანით. ამ მეთოდმა მიიღო თავისი სახელი, რადგან არგუმენტის დასაწყისში კეთდება ვარაუდი, რომელიც ეწინააღმდეგება (საპირისპირო) იმას, რაც დასამტკიცებელია. მას აბსურდამდე მიყვანას უწოდებენ იმის გამო, რომ დაშვებული ვარაუდის საფუძველზე მსჯელობით მივდივართ აბსურდულ დასკვნამდე (აბსურდამდე). ასეთი დასკვნის მიღება გვაიძულებს უარვყოთ დასაწყისში გაკეთებული ვარაუდი და მივიღოთ ის, რაც დასამტკიცებლად იყო საჭირო.

დავალება 1.ააგეთ წრფე, რომელიც გადის მოცემულ M წერტილზე და პარალელურად არის მოცემული a წრფეზე, რომელიც არ გადის M წერტილს.

გამოსავალი. ვხაზავთ P სწორ ხაზს M წერტილის გავლით a სწორი ხაზის პერპენდიკულარულად (ნახ. 3).

შემდეგ ვხაზავთ b წრფეს M წერტილის პერპენდიკულარულ p წრფეზე. ბ წრფე პარალელურია a წრფის თეორემა 1-ის დასკვნის მიხედვით.

განხილული პრობლემისგან მნიშვნელოვანი დასკვნა გამოდის:
წერტილის მეშვეობით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, ყოველთვის შესაძლებელია მოცემული წრფის პარალელურად დახაზვა.

პარალელური წრფეების ძირითადი თვისება შემდეგია.

პარალელური წრფეების აქსიომა. მოცემული წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის მხოლოდ ერთი წრფე მოცემულის პარალელურად.

მოდით განვიხილოთ პარალელური წრფეების ზოგიერთი თვისება, რომელიც გამომდინარეობს ამ აქსიომიდან.

1) თუ წრფე კვეთს ორი პარალელური წრფედან ერთს, მაშინ ის მეორესაც კვეთს (სურ. 4).

2) თუ ორი განსხვავებული წრფე პარალელურია მესამე წრფის, მაშინ ისინი პარალელურია (ნახ. 5).

შემდეგი თეორემა ასევე მართალია.

თეორემა 2. თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება განივი, მაშინ:

განივი კუთხეები ტოლია;

შესაბამისი კუთხეები ტოლია;

ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.

დასკვნა 2. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური წრფედან ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორეზე.(იხ. სურ. 2).

კომენტარი. 2 თეორემას უწოდებენ 1-ის თეორემის შებრუნებას. 1-ლი თეორემის დასკვნა არის თეორემა 2-ის პირობა. ხოლო 1-ლი თეორემა არის თეორემა 2-ის დასკვნა. ყველა თეორემას არ აქვს შებრუნებული, ანუ, თუ მოცემული თეორემა არის მართალია, მაშინ საპირისპირო თეორემა შეიძლება იყოს მცდარი.

მოდით ავხსნათ ეს ვერტიკალური კუთხეების თეორემის მაგალითის გამოყენებით. ეს თეორემა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: თუ ორი კუთხე ვერტიკალურია, მაშინ ისინი ტოლია. საპირისპირო თეორემა იქნება: თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ ისინი ვერტიკალურია. და ეს, რა თქმა უნდა, სიმართლეს არ შეესაბამება. ორი თანაბარი კუთხე არ უნდა იყოს ვერტიკალური.

მაგალითი 1.ორი პარალელური ხაზი კვეთს მესამეს. ცნობილია, რომ განსხვავება ორ შიდა ცალმხრივ კუთხეს შორის არის 30°. იპოვეთ ეს კუთხეები.

გამოსავალი. დაე, ფიგურა 6 აკმაყოფილებდეს პირობას.

თავი III.
პარალელური პირდაპირი

§ 38. დამოკიდებულება კუთხეებს შორის,
ჩამოყალიბებული ორი პარალელური ხაზით და მეორადი.

ჩვენ ვიცით, რომ ორი წრფე პარალელურია, თუ მესამე წრფეს კვეთს, შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან ჯვარედინი მდებარე შიდა ან გარე კუთხეები ტოლია, ან შიდა ან გარე ცალმხრივი კუთხეების ჯამი ტოლია. 2 დ. დავამტკიცოთ, რომ საპირისპირო თეორემებიც ჭეშმარიტია, კერძოდ:

თუ ორი პარალელური ხაზი გადაკვეთს მესამეს, მაშინ:

1) შესაბამისი კუთხეები ტოლია;
2) შიდა განივი კუთხეები ტოლია;
3) გარე ჯვარედინი კუთხეები ტოლია;
4) შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 2 დ ;
5) გარე ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 2 დ .

დავამტკიცოთ, მაგალითად, რომ თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამე წრფეზე, მაშინ შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

AB და CD სწორი ხაზები იყოს პარალელური, ხოლო MN მათი სეკანტი (სურ. 202) დავამტკიცოთ, რომ შესაბამისი კუთხეები 1 და 2 ერთმანეთის ტოლია.

დავუშვათ, რომ / 1 და / 2 არ არის ტოლი. შემდეგ O წერტილში შეგვიძლია ავაშენოთ / IOC, შესაბამისი და თანაბარი / 2 (ნახაზი 203).

Მაგრამ თუ / MOQ = / 2, მაშინ სწორი ხაზი OK იქნება CD-ის პარალელურად (§ 35).

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ორი სწორი ხაზი AB და OK გაყვანილია O წერტილის გასწვრივ, სწორი ხაზის CD-ის პარალელურად. მაგრამ ეს არ შეიძლება იყოს (§ 37).

ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით, რადგან ასე ვივარაუდეთ / 1 და / 2 არ არის ტოლი. ამიტომ ჩვენი ვარაუდი არასწორია და / 1 უნდა იყოს ტოლი / 2, ანუ შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

მოდით დავადგინოთ მიმართებები დანარჩენ კუთხეებს შორის. მოდით, სწორი ხაზები AB და CD იყოს პარალელური, ხოლო MN იყოს მათი სეკანტი (სურ. 204).

ჩვენ ახლახან დავამტკიცეთ, რომ ამ შემთხვევაში შესაბამისი კუთხეები ტოლია. დავუშვათ, რომ ნებისმიერ ორ მათგანს აქვს თითო 119°. გამოვთვალოთ თითოეული დანარჩენი ექვსი კუთხის ზომა. მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხების თვისებებიდან გამომდინარე, აღმოვაჩენთ, რომ რვა კუთხიდან ოთხს ექნება თითო 119°, დანარჩენს კი 61°.

აღმოჩნდა, რომ შიდა და გარე ჯვარედინი კუთხეები წყვილებში ტოლია, ხოლო შიდა ან გარე ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს (ან 2-ს დ).

იგივე მოხდება ტოლი შესაბამისი კუთხის ნებისმიერ სხვა მნიშვნელობაზე.

დასკვნა 1. თუ ორი ხაზიდან AB და CD პარალელურია ერთი და იგივე მესამე ხაზის MN, მაშინ პირველი ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია. (ნახაზი 205).

ფაქტობრივად, EF სექანტის დახატვით (ნახ. 206), ვიღებთ:
ა) / 1 = / 3, ვინაიდან AB || MN; ბ) / 2 = / 3, ვინაიდან CO || MN.

ნიშნავს, / 1 = / 2, და ეს არის კუთხეები, რომლებიც შეესაბამება AB და CD ხაზებს და სეკანტურ EF-ს, შესაბამისად, AB და CD წრფეები პარალელურია.

დასკვნა 2. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური წრფედან ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორეზე. (ნახაზი 207).

მართლაც, თუ EF _|_ AB, მაშინ / 1 = დ; თუ AB || CD, მაშინ / 1 = / 2.

აქედან გამომდინარე, / 2 = დანუ EF _|_ CD .

1) თუ ორი სწორი ხაზი იკვეთება განივი ხაზთან, ცრუ კუთხეები ტოლია, მაშინ სწორი ხაზები პარალელურია.

2) თუ ორი წრფე გადაკვეთისას, შესაბამისი კუთხეები ტოლია, მაშინ წრფეები პარალელურია.

3) თუ ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას ცალმხრივი კუთხეების ჯამი უდრის 180°-ს, მაშინ სწორი ხაზები პარალელურია.

3. წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის მხოლოდ ერთი ხაზი მოცემულის პარალელურად.

4 თუ წრფე კვეთს ორი პარალელური წრფედან ერთს, მაშინ ის მეორესაც კვეთს.

5. თუ ორი წრფე პარალელურია მესამე წრფესთან, მაშინ ისინი პარალელურია.

პარალელური წრფეების თვისებები

1) თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება განივი, მაშინ გადამკვეთი კუთხეები ტოლია.

2) თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება განივი, მაშინ შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

3) თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება განივი, მაშინ ცალმხრივი კუთხეების ჯამი არის 180°.

7. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.

8. ორი განტოლების სისტემის ამოხსნა ორითრიცხვების ასეთ წყვილს უცნობი ეწოდება X და ზე , რომელიც ამ სისტემაში ჩანაცვლებისას აქცევს მის თითოეულ განტოლებას სწორ რიცხვობრივ ტოლობაში.

9.განტოლებათა სისტემის ამოხსნა- ნიშნავს იპოვოთ მისი ყველა გამოსავალი ან დაადგინოთ, რომ არ არსებობს.

1. განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მეთოდები:

ა) ჩანაცვლება

ბ) დამატება;

გ) გრაფიკული.

10. სამკუთხედის კუთხეების ჯამია 180°.

11.გარე კუთხესამკუთხედის არის კუთხე ამ სამკუთხედის ზოგიერთი კუთხის მიმდებარედ.

სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის სამკუთხედის ორი კუთხის ჯამს, რომლებიც არ არიან მის მიმდებარედ.

12. ნებისმიერ სამკუთხედში ან ყველა კუთხე მახვილია, ან ორი კუთხე მახვილია, მესამე კი ბლაგვი ან სწორი.

13 თუ სამკუთხედის სამივე კუთხე მახვილია, მაშინ სამკუთხედი ეწოდება მწვავე-კუთხოვანი.

14. თუ სამკუთხედის ერთ-ერთი კუთხე ბლაგვია, მაშინ სამკუთხედი ე.წ. ბლაგვი-კუთხოვანი.

15. თუ სამკუთხედის ერთ-ერთი კუთხე მართია, მაშინ სამკუთხედი ეწოდება მართკუთხა.

16. მართი კუთხის მოპირდაპირე მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი ეწოდება ჰიპოტენუზა, და დანარჩენი ორი მხარეა ფეხები.

17. სამკუთხედში: 1) უფრო დიდი კუთხე დევს დიდი მხარის მოპირდაპირედ; 2) უკან, უფრო დიდი მხარე დევს დიდი კუთხის საპირისპიროდ.

18. მართკუთხა სამკუთხედში ჰიპოტენუზა უფრო გრძელია ვიდრე ფეხი.

19. თუ სამკუთხედის ორი კუთხე ტოლია, მაშინ სამკუთხედი ტოლფერდაა (ტოლფერდა სამკუთხედის ნიშანი).

20. სამკუთხედის თითოეული გვერდი ნაკლებია დანარჩენი ორი გვერდის ჯამზე.

21 მართკუთხა სამკუთხედის ორი მახვილი კუთხის ჯამი არის 90°.

22. 30° კუთხის მოპირდაპირე მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი უდრის ჰიპოტენუზის ნახევარს.

მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები: 1) ორ მხარეს; 2) ჰიპოტენუზისა და მწვავე კუთხის გასწვრივ; 3) ჰიპოტენუზისა და ფეხის გასწვრივ; 4) ფეხისა და მწვავე კუთხის გასწვრივ

წერტილიდან წრფემდე დახატული პერპენდიკულარის სიგრძეს ეწოდება მანძილი ამ წერტილიდან წრფემდე.

ამ სტატიაში ვისაუბრებთ პარალელურ ხაზებზე, მივცემთ განმარტებებს და გამოვყოფთ პარალელიზმის ნიშნებსა და პირობებს. თეორიული მასალის გასაგებად რომ გავხადოთ, გამოვიყენებთ ილუსტრაციებს და გადაწყვეტილებებს ტიპიური მაგალითებისთვის.

Yandex.RTB R-A-339285-1 განმარტება 1

პარალელური ხაზები სიბრტყეზე- ორი სწორი ხაზი სიბრტყეზე, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები.

განმარტება 2

პარალელური ხაზები სამგანზომილებიან სივრცეში- ორი სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომელიც დევს იმავე სიბრტყეში და არ აქვს საერთო წერტილები.

აუცილებელია აღინიშნოს, რომ სივრცეში პარალელური ხაზების დასადგენად, გარკვევა „იგივე სიბრტყეში დევს“ ძალზე მნიშვნელოვანია: ორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში, რომლებსაც არ აქვთ საერთო წერტილები და არ დევს ერთ სიბრტყეში, არ არის პარალელური. , მაგრამ იკვეთება.

პარალელური ხაზების აღსანიშნავად ჩვეულებრივ გამოიყენება სიმბოლო ∥. ანუ, თუ მოცემული წრფეები a და b პარალელურია, ეს პირობა მოკლედ უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად: a ‖ b. სიტყვიერად, წრფეთა პარალელიზმი აღინიშნება შემდეგნაირად: a და b წრფეები პარალელურია, ან წრფე a პარალელურია b წრფესთან, ან b წრფე პარალელურია a წრფესთან.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ განცხადება, რომელიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებს შესასწავლ თემაში.

აქსიომა

წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, გადის ერთადერთი სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად. ეს განცხადება არ შეიძლება დადასტურდეს პლანიმეტრიის ცნობილი აქსიომების საფუძველზე.

იმ შემთხვევაში, როდესაც ვსაუბრობთ სივრცეზე, თეორემა მართალია:

თეორემა 1

სივრცის ნებისმიერი წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება მოცემულ წრფეს, იქნება ერთი სწორი ხაზი მოცემულის პარალელურად.

ეს თეორემა ადვილი დასამტკიცებელია ზემოაღნიშნული აქსიომის საფუძველზე (გეომეტრიის პროგრამა 10 - 11 კლასებისთვის).

პარალელურობის კრიტერიუმი არის საკმარისი პირობა, რომლის შესრულებაც უზრუნველყოფს წრფეების პარალელურობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ პირობის შესრულება საკმარისია პარალელურობის ფაქტის დასადასტურებლად.

კერძოდ, არის აუცილებელი და საკმარისი პირობები სიბრტყეზე და სივრცეში ხაზების პარალელურობისთვის. განვმარტოთ: აუცილებელი ნიშნავს პირობას, რომლის შესრულებაც აუცილებელია პარალელური ხაზებისთვის; თუ ის არ სრულდება, ხაზები არ არის პარალელური.

მოკლედ რომ ვთქვათ, წრფეთა პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არის პირობა, რომლის დაცვაც აუცილებელია და საკმარისია წრფეები ერთმანეთის პარალელურად იყოს. ერთის მხრივ, ეს პარალელურობის ნიშანია, მეორეს მხრივ, ეს არის პარალელური ხაზების თანდაყოლილი თვისება.

საჭირო და საკმარისი პირობის ზუსტ ფორმულირებამდე გავიხსენოთ რამდენიმე დამატებითი ცნება.

განმარტება 3

სკანტური ხაზი– სწორი ხაზი, რომელიც კვეთს თითოეულ მოცემულ ორ არათანაბარი სწორ ხაზს.

ორი სწორი ხაზის გადაკვეთისას განივი ქმნის რვა განუვითარებელ კუთხეს. აუცილებელი და საკმარისი პირობის ჩამოსაყალიბებლად გამოვიყენებთ ისეთ ტიპის კუთხეებს, როგორიცაა გადაკვეთილი, შესაბამისი და ცალმხრივი. მოდით ვაჩვენოთ ისინი ილუსტრაციაში:

თეორემა 2

თუ სიბრტყეში ორი წრფე იკვეთება განივი ხაზით, მაშინ მოცემული წრფეები რომ იყოს პარალელურად აუცილებელია და საკმარისია, რომ გადამკვეთი კუთხეები ტოლი იყოს, ან შესაბამისი კუთხეები ტოლი, ან ცალმხრივი კუთხეების ჯამი ტოლი იყოს. 180 გრადუსი.

მოდით გრაფიკულად წარმოვაჩინოთ სიბრტყეზე წრფეების პარალელიზმისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობა:

ამ პირობების დადასტურება მოცემულია გეომეტრიის პროგრამაში 7 - 9 კლასებისთვის.

ზოგადად, ეს პირობები ასევე ეხება სამგანზომილებიან სივრცეს, იმ პირობით, რომ ორი ხაზი და სეკანტი მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს.

მოდით მივუთითოთ კიდევ რამდენიმე თეორემა, რომლებიც ხშირად გამოიყენება წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

თეორემა 3

სიბრტყეზე მესამეს პარალელურად ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია. ეს თვისება დასტურდება ზემოაღნიშნული პარალელურობის აქსიომის საფუძველზე.

თეორემა 4

სამგანზომილებიან სივრცეში მესამეს პარალელურად ორი ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.

ნიშნის დამტკიცება შესწავლილია მე-10 კლასის გეომეტრიის სასწავლო გეგმაში.

მოდით მოვიყვანოთ ამ თეორემების ილუსტრაცია:

მივუთითოთ კიდევ ერთი წყვილი თეორემები, რომლებიც ადასტურებენ წრფეების პარალელურობას.

თეორემა 5

სიბრტყეზე, მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე ერთმანეთის პარალელურია.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ მსგავსი რამ სამგანზომილებიანი სივრცისთვის.

თეორემა 6

სამგანზომილებიან სივრცეში, მესამეზე პერპენდიკულარული ორი ხაზი ერთმანეთის პარალელურია.

მოდით ილუსტრაციით:

ყველა ზემოაღნიშნული თეორემა, ნიშანი და პირობა შესაძლებელს ხდის გეომეტრიის მეთოდების გამოყენებით მოხერხებულად დაამტკიცოს წრფეების პარალელურობა. ანუ წრფეების პარალელურობის დასამტკიცებლად შეიძლება ვაჩვენოთ, რომ შესაბამისი კუთხეები ტოლია, ან ვაჩვენოთ ის ფაქტი, რომ ორი მოცემული წრფე პერპენდიკულარულია მესამეზე და ა.შ. მაგრამ გაითვალისწინეთ, რომ ხშირად უფრო მოსახერხებელია კოორდინატთა მეთოდის გამოყენება სიბრტყეზე ან სამგანზომილებიან სივრცეში ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად.

მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელიზმი

მოცემულ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სწორი ხაზი განისაზღვრება ერთ-ერთი შესაძლო ტიპის სიბრტყეზე სწორი ხაზის განტოლებით. ანალოგიურად, მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში განსაზღვრული სწორი ხაზი სამგანზომილებიან სივრცეში შეესაბამება გარკვეულ განტოლებებს სივრცეში სწორი ხაზისთვის.

ჩამოვწეროთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წრფეების პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობები მოცემული წრფეების აღწერის განტოლების ტიპის მიხედვით.

დავიწყოთ სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის პირობით. იგი ეფუძნება წრფის მიმართულების ვექტორის და სიბრტყეზე წრფის ნორმალური ვექტორის განმარტებებს.

თეორემა 7

იმისთვის, რომ სიბრტყეზე ორი არათანაბარი წრფე იყოს პარალელურად, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები იყოს წრფივი, ან მოცემული წრფეების ნორმალური ვექტორები, ან ერთი წრფის მიმართულების ვექტორი იყოს პერპენდიკულარული. მეორე ხაზის ნორმალური ვექტორი.

ცხადი ხდება, რომ სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის პირობა ემყარება ვექტორების კოლინარობის ან ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობის პირობას. ანუ, თუ a → = (a x , a y) და b → = (b x, b y) არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები;

და n b → = (n b x, n b y) არის a და b წრფეების ნორმალური ვექტორები, შემდეგ ზემოაღნიშნულ აუცილებელ და საკმარის პირობას ვწერთ შემდეგნაირად: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ან n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ან a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0, სადაც t არის რეალური რიცხვი. გიდების ან სწორი ვექტორების კოორდინატები განისაზღვრება სწორი ხაზების მოცემული განტოლებებით. მოდით შევხედოთ მთავარ მაგალითებს.

1. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში a წრფე განისაზღვრება წრფის ზოგადი განტოლებით: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; სწორი ხაზი b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. მაშინ მოცემული წრფეების ნორმალურ ვექტორებს ექნებათ კოორდინატები (A 1, B 1) და (A 2, B 2), შესაბამისად. ჩვენ ვწერთ პარალელურობის პირობას შემდეგნაირად:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. წრფე a აღწერილია y = k 1 x + b 1 ფორმის დახრილობის მქონე წრფის განტოლებით. სწორი ხაზი b - y = k 2 x + b 2. მაშინ მოცემული წრფეების ნორმალურ ვექტორებს ექნებათ კოორდინატები (k 1, - 1) და (k 2, - 1) შესაბამისად და პარალელურობის პირობას დავწერთ შემდეგნაირად:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

ამრიგად, თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე პარალელური ხაზები მოცემულია განტოლებებით კუთხოვანი კოეფიციენტებით, მაშინ მოცემული წრფეების კუთხური კოეფიციენტები ტოლი იქნება. და საპირისპირო განცხადება მართალია: თუ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში სიბრტყეზე არათანაბარი ხაზები განისაზღვრება წრფის განტოლებით იდენტური კუთხური კოეფიციენტებით, მაშინ ეს მოცემული ხაზები პარალელურია.

1. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში a და b ხაზები მითითებულია სიბრტყეზე წრფის კანონიკური განტოლებებით: x - x 1 a x = y - y 1 a y და x - x 2 b x = y - y 2 b y ან პარამეტრული განტოლებებით. ხაზი სიბრტყეზე: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y და x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y.

მაშინ მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორები იქნება: a x, a y და b x, b y შესაბამისად და პარალელურობის პირობას დავწერთ შემდეგნაირად:

a x = t b x a y = t b y

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი 1

მოცემულია ორი ხაზი: 2 x - 3 y + 1 = 0 და x 1 2 + y 5 = 1. აუცილებელია იმის დადგენა, არის თუ არა ისინი პარალელური.

გამოსავალი

მოდით დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში ზოგადი განტოლების სახით:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

ჩვენ ვხედავთ, რომ n a → = (2, - 3) არის 2 x - 3 y + 1 = 0 წრფის ნორმალური ვექტორი და n b → = 2, 1 5 არის x 1 2 + y 5 წრფის ნორმალური ვექტორი. = 1.

შედეგად მიღებული ვექტორები არ არის კოლინარული, რადგან არ არსებობს ტატის ისეთი მნიშვნელობა, რომლის თანასწორობა ჭეშმარიტი იქნება:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

ამრიგად, სიბრტყეზე წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული, რაც ნიშნავს, რომ მოცემული ხაზები არ არის პარალელური.

პასუხი:მოცემული ხაზები არ არის პარალელური.

მაგალითი 2

მოცემულია ხაზები y = 2 x + 1 და x 1 = y - 4 2. ისინი პარალელურები არიან?

გამოსავალი

მოდით გადავიტანოთ სწორი ხაზის კანონიკური განტოლება x 1 = y - 4 2 სწორი ხაზის განტოლებაზე დახრილთან:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

ჩვენ ვხედავთ, რომ y = 2 x + 1 და y = 2 x + 4 წრფეების განტოლებები არ არის იგივე (სხვაგვარად რომ ყოფილიყო, წრფეები დაემთხვა) და წრფეების კუთხური კოეფიციენტები ტოლია, რაც ნიშნავს მოცემული ხაზები პარალელურია.

შევეცადოთ პრობლემის გადაჭრა სხვაგვარად. ჯერ შევამოწმოთ ემთხვევა თუ არა მოცემული ხაზები. ჩვენ ვიყენებთ ნებისმიერ წერტილს წრფეზე y = 2 x + 1, მაგალითად, (0, 1), ამ წერტილის კოორდინატები არ შეესაბამება x 1 = y - 4 2 წრფის განტოლებას, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები აკეთებენ. არ ემთხვევა.

შემდეგი ნაბიჯი არის იმის დადგენა, დაკმაყოფილებულია თუ არა მოცემული წრფეების პარალელურობის პირობა.

y = 2 x + 1 წრფის ნორმალური ვექტორი არის ვექტორი n a → = (2 , - 1) , ხოლო მეორე მოცემული წრფის მიმართულების ვექტორი არის b → = (1 , 2) . ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი ნულის ტოლია:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

ამრიგად, ვექტორები პერპენდიკულარულია: ეს გვიჩვენებს ორიგინალური წრფეების პარალელურობისთვის აუცილებელი და საკმარისი პირობის შესრულებას. იმათ. მოცემული ხაზები პარალელურია.

პასუხი:ეს ხაზები პარალელურია.

სამგანზომილებიანი სივრცის მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ხაზების პარალელურობის დასამტკიცებლად გამოიყენება შემდეგი აუცილებელი და საკმარისი პირობა.

თეორემა 8

იმისთვის, რომ სამგანზომილებიან სივრცეში ორი შეუსაბამო წრფე იყოს პარალელური, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ხაზების მიმართულების ვექტორები იყოს კოლინური.

იმათ. სამგანზომილებიან სივრცეში წრფეთა განტოლებების გათვალისწინებით, პასუხი კითხვაზე: პარალელურები არიან თუ არა, გვხვდება მოცემული წრფეების მიმართულების ვექტორების კოორდინატების განსაზღვრით, აგრეთვე მათი კოლინარობის მდგომარეობის შემოწმებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ a → = (a x, a y, a z) და b → = (b x, b y, b z) არის a და b წრფეების მიმართულების ვექტორები, მაშინ იმისათვის, რომ ისინი იყოს პარალელური, არსებობა ასეთი რეალური რიცხვი t აუცილებელია, რათა ტოლობა იყოს:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

მაგალითი 3

მოცემულია ხაზები x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 და x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. აუცილებელია ამ წრფეების პარალელურობის დამტკიცება.

გამოსავალი

ამოცანის პირობები მოცემულია სივრცეში ერთი წრფის კანონიკური განტოლებებით და სივრცეში მეორე წრფის პარამეტრული განტოლებებით. სახელმძღვანელო ვექტორები a → და b → მოცემულ წრფეებს აქვთ კოორდინატები: (1, 0, - 3) და (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , შემდეგ a → = 1 2 · b → .

შესაბამისად, დაკმაყოფილებულია სივრცეში წრფეების პარალელურობის აუცილებელი და საკმარისი პირობა.

პასუხი:დადასტურებულია მოცემული წრფეების პარალელურობა.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

შესაბამისი კუთხეები: 1 და 5, 4 და 8, 2 და 6, 3 და 7;

შიდა ჯვარედინი კუთხეები: 3 და 5, 4 და 6;

გარე ჯვარედინი კუთხეები: 1 და 7, 2 და 8;

შიდა ცალმხრივი კუთხეები: 3 და 6, 4 და 5;

გარე ცალმხრივი კუთხეები: 1 და 8, 2 და 7.

ასე რომ, ∠ 2 = ∠ 4 და ∠ 8 = ∠ 6, მაგრამ იმის მიხედვით, რაც დადასტურდა, ∠ 4 = ∠ 6.

ამიტომ, ∠ 2 =∠ 8.

3. შესაბამისი კუთხეები 2 და 6 იგივეა, რადგან ∠ 2 = ∠ 4, და ∠ 4 = ∠ 6. მოდით ასევე დავრწმუნდეთ, რომ სხვა შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

4. ჯამი შიდა ცალმხრივი კუთხეები 3 და 6 იქნება 2d, რადგან ჯამი მიმდებარე კუთხეები 3 და 4 უდრის 2d = 180 0-ს და ∠ 4 შეიძლება შეიცვალოს იდენტური ∠ 6-ით. ჩვენ ასევე ვრწმუნდებით, რომ კუთხეების ჯამი 4 და 5 უდრის 2d-ს.

5. ჯამი გარე ცალმხრივი კუთხეებიიქნება 2d, რადგან ეს კუთხეები შესაბამისად ტოლია შიდა ცალმხრივი კუთხეებიკუთხეების მსგავსად ვერტიკალური.

ზემოაღნიშნული დადასტურებული დასაბუთებიდან ვიღებთ ურთიერთობის თეორემები.

როდესაც ორი წრფის გადაკვეთაზე თვითნებურ მესამე ხაზთან მივიღებთ:

1. შიდა ჯვარედინი კუთხეები იგივეა;

ან 2.გარე ჯვარედინი კუთხეები იდენტურია;

ან 3.შესაბამისი კუთხეები ტოლია;

ან 4.შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამია 2d = 180 0;

ან 5.გარე ცალმხრივთა ჯამი არის 2d = 180 0 ,

მაშინ პირველი ორი ხაზი პარალელურია.