რა არის შუა ხაზი ტრაპეციაში? ტრაპეციის თვისებები

პლანიმეტრიული ამოცანების ამოხსნისას, ფიგურის გვერდებისა და კუთხეების გარდა, ხშირად აქტიურ მონაწილეობას იღებენ სხვა სიდიდეები - მედიანები, სიმაღლეები, დიაგონალები, ბისექტრები და სხვა. ეს მოიცავს შუა ხაზს.
თუ თავდაპირველი მრავალკუთხედი არის ტრაპეცია, როგორია მისი შუა ხაზი? ეს სეგმენტი არის სწორი ხაზის ნაწილი, რომელიც კვეთს ფიგურის გვერდებს შუაში და მდებარეობს დანარჩენი ორი მხარის - ფუძის პარალელურად.

როგორ მოვძებნოთ ტრაპეციის შუა ხაზი შუა და ფუძის ხაზის მეშვეობით

თუ ცნობილია ზედა და ქვედა ბაზის მნიშვნელობები, მაშინ გამოთქმა დაგეხმარებათ უცნობის გამოთვლაში:

a, b – ფუძეები, l – შუა ხაზი.

როგორ მოვძებნოთ ტრაპეციის შუა ხაზი ფართობის გავლით

თუ წყაროს მონაცემები შეიცავს ფიგურის ფართობს, მაშინ ამ მნიშვნელობის გამოყენებით თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოთვალოთ ხაზის სიგრძე ტრაპეციის შუაში. გამოვიყენოთ ფორმულა S = (a+b)/2*h,
S - ფართობი,
თ – სიმაღლე,
a, b – ბაზები.
მაგრამ, ვინაიდან l = (a+b)/2, მაშინ S = l*h, რაც ნიშნავს l=S/h.

როგორ მოვძებნოთ ტრაპეციის შუა ხაზი ფუძისა და მისი კუთხეების მეშვეობით

ფიგურის უფრო დიდი ფუძის სიგრძის, მისი სიმაღლის, აგრეთვე მასზე არსებული კუთხეების ცნობილი ხარისხის ზომების გათვალისწინებით, ტრაპეციის შუა ხაზის საპოვნელ გამოხატულებას შემდეგი ფორმა ექნება:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, ხოლო
l არის საჭირო მნიშვნელობა,
ა - უფრო დიდი ბაზა,
α, β არის კუთხეები მასზე,
h – ფიგურის სიმაღლე.

თუ ცნობილია უფრო მცირე ბაზის მნიშვნელობა (იგივე სხვა მონაცემების გათვალისწინებით), შემდეგი კავშირი დაგეხმარებათ შუა ხაზის პოვნაში:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l არის საჭირო მნიშვნელობა,
ბ - პატარა ბაზა,
α, β არის კუთხეები მასზე,
h – ფიგურის სიმაღლე.

იპოვეთ ტრაპეციის შუა ხაზი სიმაღლის, დიაგონალების და კუთხეების გამოყენებით

მოდით განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც პრობლემური პირობები მოიცავს ფიგურის დიაგონალების მნიშვნელობებს, კუთხეებს, რომლებიც ქმნიან ერთმანეთის გადაკვეთისას, ასევე სიმაღლეს. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ცენტრის ხაზი შემდეგი გამონათქვამების გამოყენებით:

l=(d1*d2)/2h*sinγ ან l=(d1*d2)/2h*sinφ,

ლ – შუა ხაზი,
d1, d2 - დიაგონალები,
φ, γ – კუთხეები მათ შორის,
h – ფიგურის სიმაღლე.

როგორ მოვძებნოთ ტრაპეციის შუა ხაზი ტოლფერდა ფიგურისთვის

თუ ძირითადი ფიგურა არის ტოლფერდა ტრაპეცია, ზემოთ მოცემულ ფორმულებს ექნებათ შემდეგი ფორმა.

• თუ ტრაპეციის ბაზების მნიშვნელობები არსებობს, გამოხატულებაში ცვლილებები არ იქნება.

l = (a+b)/2, a, b – ფუძეები, l – შუა ხაზი.

• თუ ცნობილია მის მიმდებარე სიმაღლე, ფუძე და კუთხეები, მაშინ:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

ლ – შუა ხაზი,
a, b – ფუძეები (ბ< a),
α არის კუთხეები მასზე,
h – ფიგურის სიმაღლე.

• თუ ცნობილია ტრაპეციის გვერდითი მხარე და ერთ-ერთი ფუძე, მაშინ სასურველი მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს გამოთქმის მითითებით:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
ლ – შუა ხაზი,
a, b – ფუძეები (ბ< a),
h – ფიგურის სიმაღლე.

• სიმაღლის, დიაგონალების (და ისინი ერთმანეთის ტოლია) და მათი გადაკვეთის შედეგად წარმოქმნილი კუთხეების ცნობილი მნიშვნელობებით, შუა ხაზი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

l=(d*d)/2h*sinγ ან l=(d*d)/2h*sinφ,

ლ – შუა ხაზი,
d - დიაგონალები,
φ, γ – კუთხეები მათ შორის,
h – ფიგურის სიმაღლე.

• ცნობილია ფიგურის ფართობი და სიმაღლე, შემდეგ:

l=S/სთ,
S - ფართობი,
თ – სიმაღლე.

• თუ პერპენდიკულარული სიმაღლე უცნობია, მისი დადგენა შესაძლებელია ტრიგონომეტრიული ფუნქციის განსაზღვრის გამოყენებით.

h=c*sinα, შესაბამისად
l=S/c*sinα,
ლ – შუა ხაზი,
S - ფართობი,
გ – მხარე,
α არის კუთხე ფუძესთან.

ტრაპეციის შუა ხაზი და განსაკუთრებით მისი თვისებები, ძალიან ხშირად გამოიყენება გეომეტრიაში ამოცანების გადასაჭრელად და გარკვეული თეორემების დასამტკიცებლად.

არის ოთხკუთხედი, რომელსაც მხოლოდ 2 გვერდი აქვს ერთმანეთის პარალელურად. პარალელურ გვერდებს უწოდებენ ფუძეებს (სურათი 1 - ახ.წდა ძვ.წ.), დანარჩენი ორი გვერდითია (სურათზე ABდა CD).

ტრაპეციის შუა ხაზიარის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს მისი გვერდების შუა წერტილებს (სურათზე 1 - KL).

ტრაპეციის შუა ხაზის თვისებები

ტრაპეციის შუა ხაზის თეორემის დადასტურება

დაამტკიცერომ ტრაპეციის შუა ხაზი უდრის მისი ფუძეების ჯამის ნახევარს და ამ ფუძეების პარალელურია.

მოცემულია ტრაპეცია Ა Ბ Გ Დშუა ხაზით KL. განსახილველი თვისებების დასამტკიცებლად აუცილებელია სწორი ხაზის გავლება წერტილებში ბდა ლ. სურათზე 2 ეს არის სწორი ხაზი BQ. და ასევე გააგრძელეთ ფონდი ახ.წხაზთან კვეთამდე BQ.

განვიხილოთ მიღებული სამკუთხედები L.B.C.და LQD:

1. შუა ხაზის განმარტებით KLწერტილი ლარის სეგმენტის შუა წერტილი CD. აქედან გამომდინარეობს, რომ სეგმენტები C.L.და LDთანაბარი არიან.
2. ∠BLC = ∠QLD, ვინაიდან ეს კუთხეები ვერტიკალურია.
3. ∠BCL = ∠LDQ, ვინაიდან ეს კუთხეები ჯვარედინზე დევს პარალელურ ხაზებზე ახ.წდა ძვ.წ.და სეკანტი CD.

ამ 3 ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ადრე განხილული სამკუთხედები L.B.C.და LQDტოლია 1 მხარეს და ორ მიმდებარე კუთხეზე (იხ. სურ. 3). აქედან გამომდინარე, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQდა რაც მთავარია - BL=LQ => KL, რომელიც არის ტრაპეციის შუა ხაზი Ა Ბ Გ Დ, ასევე არის სამკუთხედის შუა ხაზი ABQ. სამკუთხედის შუა ხაზის თვისების მიხედვით ABQვიღებთ.

ტრაპეციის შუა ხაზის კონცეფცია

ჯერ გავიხსენოთ რა სახის ფიგურას უწოდებენ ტრაპეციას.

განმარტება 1

ტრაპეცია არის ოთხკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი პარალელურია, ხოლო დანარჩენი ორი არ არის პარალელური.

ამ შემთხვევაში პარალელურ გვერდებს ტრაპეციის ფუძეებს უწოდებენ, ხოლო არაპარალელურ გვერდებს ტრაპეციის გვერდითი მხარეები.

განმარტება 2

ტრაპეციის შუა ხაზი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ტრაპეციის გვერდითი მხარეების შუა წერტილებს.

ტრაპეციის შუა ხაზის თეორემა

ახლა შემოგთავაზებთ თეორემას ტრაპეციის შუა ხაზის შესახებ და ვამტკიცებთ მას ვექტორული მეთოდით.

თეორემა 1

ტრაპეციის შუა ხაზი ფუძეების პარალელურია და მათი ნახევრად ჯამის ტოლია.

მტკიცებულება.

მოდით, მოგვცეს $ABCD$ ტრაპეცია $AD\ და\ BC$ ფუძეებით. და მოდით $MN$ იყოს ამ ტრაპეციის შუა ხაზი (ნახ. 1).

სურათი 1. ტრაპეციის შუა ხაზი

მოდით დავამტკიცოთ, რომ $MN||AD\ და\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

განვიხილოთ ვექტორი $\overrightarrow(MN)$. ჩვენ შემდეგ ვიყენებთ მრავალკუთხედის წესს ვექტორების დასამატებლად. ერთი მხრივ, ჩვენ ამას ვიღებთ

Მეორეს მხრივ

დავამატოთ ბოლო ორი ტოლობა და მივიღოთ

ვინაიდან $M$ და $N$ არის ტრაპეციის გვერდითი გვერდების შუა წერტილები, გვექნება

ჩვენ ვიღებთ:

აქედან გამომდინარე

იგივე თანასწორობიდან (რადგან $\overrightarrow(BC)$ და $\overrightarrow(AD)$ თანამიმართულები არიან და, შესაბამისად, კოლინარული) ვიღებთ, რომ $MN||AD$.

თეორემა დადასტურდა.

პრობლემების მაგალითები ტრაპეციის შუა ხაზის კონცეფციაზე

მაგალითი 1

ტრაპეციის გვერდითი მხარეებია შესაბამისად $15\cm$ და $17\cm$. ტრაპეციის პერიმეტრი არის $52\cm$. იპოვეთ ტრაპეციის შუა ხაზის სიგრძე.

გამოსავალი.

მოდით ავღნიშნოთ ტრაპეციის შუა ხაზი $n$-ით.

მხარეთა ჯამი ტოლია

მაშასადამე, ვინაიდან პერიმეტრი არის $52\cm$, ფუძეების ჯამი უდრის

ასე რომ, თეორემა 1-ით ვიღებთ

პასუხი:$10\cm$.

მაგალითი 2

წრის დიამეტრის ბოლოები არის $9$ სმ და $5$ სმ დაშორებით მისი ტანგენტიდან, შესაბამისად, იპოვეთ ამ წრის დიამეტრი.

გამოსავალი.

მოდით მივცეთ წრე $O$-ზე ცენტრით და $AB$ დიამეტრით. დავხატოთ $l$ ტანგენსი და ავაშენოთ $AD=9\cm$ და $BC=5\cm$ მანძილი. დავხატოთ $OH$ რადიუსი (ნახ. 2).

სურათი 2.

ვინაიდან $AD$ და $BC$ არის მანძილი ტანგენსთან, მაშინ $AD\bot l$ და $BC\bot l$ და რადგან $OH$ არის რადიუსი, მაშინ $OH\bot l$, შესაბამისად, $OH |\მარცხენა|AD\მარჯვნივ||BC$. ამ ყველაფრისგან მივიღებთ, რომ $ABCD$ არის ტრაპეცია, ხოლო $OH$ არის მისი შუა ხაზი. თეორემა 1-ით ვიღებთ

ტრაპეცია არის ოთხკუთხედის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელშიც ერთი წყვილი გვერდი პარალელურია. ტერმინი "ტრაპეცია" მომდინარეობს ბერძნული სიტყვიდან τράπεζα, რაც ნიშნავს "მაგიდას", "მაგიდას". ამ სტატიაში განვიხილავთ ტრაპეციის ტიპებს და მის თვისებებს. გარდა ამისა, ჩვენ გავარკვევთ, თუ როგორ გამოვთვალოთ ამის ცალკეული ელემენტები, მაგალითად, ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალი, ცენტრის ხაზი, ფართობი და ა.შ. მასალა წარმოდგენილია ელემენტარული პოპულარული გეომეტრიის სტილში, ანუ ადვილად ხელმისაწვდომი ფორმით. .

Ზოგადი ინფორმაცია

ჯერ გავარკვიოთ რა არის ოთხკუთხედი. ეს ფიგურა არის მრავალკუთხედის განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც შეიცავს ოთხ მხარეს და ოთხ წვეროს. ოთხკუთხედის ორ წვეროს, რომლებიც არ არის მიმდებარე, საპირისპირო ეწოდება. იგივე შეიძლება ითქვას ორ არამეზობელ მხარესზე. ოთხკუთხედების ძირითადი ტიპებია პარალელოგრამი, მართკუთხედი, რომბი, კვადრატი, ტრაპეცია და დელტოიდი.

ასე რომ, დავუბრუნდეთ ტრაპეციას. როგორც უკვე ვთქვით, ამ ფიგურას ორი პარალელური მხარე აქვს. მათ ბაზებს უწოდებენ. დანარჩენი ორი (არაპარალელური) არის გვერდითი მხარე. გამოცდებისა და სხვადასხვა ტესტების მასალებში ხშირად გვხვდება ტრაპეციებთან დაკავშირებული პრობლემები, რომელთა გადაწყვეტა ხშირად მოითხოვს სტუდენტს ჰქონდეს პროგრამით გაუთვალისწინებელი ცოდნა. სასკოლო გეომეტრიის კურსი მოსწავლეებს აცნობს კუთხეების და დიაგონალების თვისებებს, ასევე ტოლფერდა ტრაპეციის შუა ხაზს. მაგრამ, გარდა ამისა, აღნიშნულ გეომეტრიულ ფიგურას სხვა მახასიათებლებიც აქვს. მაგრამ მათ შესახებ ცოტა მოგვიანებით...

ტრაპეციის სახეები

ამ ფიგურის მრავალი სახეობა არსებობს. თუმცა, ყველაზე ხშირად ჩვეულებრივია განიხილოს ორი მათგანი - ტოლფერდა და მართკუთხა.

1. მართკუთხა ტრაპეცია არის ფიგურა, რომელშიც ერთ-ერთი გვერდი პერპენდიკულარულია ფუძეებზე. მისი ორი კუთხე ყოველთვის ოთხმოცდაათი გრადუსის ტოლია.

2. ტოლფერდა ტრაპეცია არის გეომეტრიული ფიგურა, რომლის გვერდები ერთმანეთის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ ფუძეების კუთხეები ასევე წყვილებში ტოლია.

ტრაპეციის თვისებების შესწავლის მეთოდოლოგიის ძირითადი პრინციპები

მთავარი პრინციპი მოიცავს ე.წ. ამოცანის მიდგომის გამოყენებას. ფაქტობრივად, არ არის საჭირო ამ ფიგურის ახალი თვისებების შეტანა გეომეტრიის თეორიულ კურსში. მათი აღმოჩენა და ფორმულირება შესაძლებელია სხვადასხვა პრობლემის (სასურველია სისტემური) გადაჭრის პროცესში. ამავდროულად, ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ მასწავლებელმა იცოდეს, რა ამოცანები სჭირდება მოსწავლეებს ამა თუ იმ დროს სასწავლო პროცესის განმავლობაში. უფრო მეტიც, ტრაპეციის თითოეული თვისება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც ძირითადი ამოცანა ამოცანების სისტემაში.

მეორე პრინციპი არის ტრაპეციის "აღსანიშნავი" თვისებების შესწავლის ეგრეთ წოდებული სპირალური ორგანიზაცია. ეს გულისხმობს სწავლის პროცესში დაბრუნებას მოცემული გეომეტრიული ფიგურის ინდივიდუალურ მახასიათებლებზე. ეს აადვილებს მოსწავლეებს მათ დამახსოვრებას. მაგალითად, ოთხი ქულის თვისება. ეს შეიძლება დადასტურდეს როგორც მსგავსების შესწავლისას, ასევე ვექტორების გამოყენებით. და ფიგურის გვერდითი გვერდების მიმდებარე სამკუთხედების ეკვივალენტობა შეიძლება დადასტურდეს არა მხოლოდ თანაბარი სიმაღლეების მქონე სამკუთხედების თვისებების გამოყენებით, რომლებიც შედგენილია იმავე სწორ ხაზზე, არამედ ფორმულის გამოყენებით S = 1/2( ab*sina). გარდა ამისა, შეგიძლიათ იმუშაოთ წარწერიან ტრაპეციაზე ან მართკუთხა სამკუთხედზე წარწერის ტრაპეციაზე და ა.შ.

გეომეტრიული ფიგურის „კლასგარეშე“ მახასიათებლების გამოყენება სასკოლო კურსის შინაარსში არის მათი სწავლების ამოცანაზე დაფუძნებული ტექნოლოგია. სხვა თემების გავლისას შესასწავლ თვისებებზე მუდმივი მითითება საშუალებას აძლევს სტუდენტებს უფრო ღრმად გაიაზრონ ტრაპეცია და უზრუნველყოფენ დასახული პრობლემების გადაჭრის წარმატებას. მაშ ასე, დავიწყოთ ამ შესანიშნავი ფიგურის შესწავლა.

ტოლფერდა ტრაპეციის ელემენტები და თვისებები

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ამ გეომეტრიულ ფიგურას თანაბარი გვერდები აქვს. იგი ასევე ცნობილია როგორც სწორი ტრაპეცია. რატომ არის ის ასეთი გამორჩეული და რატომ მიიღო ასეთი სახელი? ამ ფიგურის თავისებურება ის არის, რომ არა მხოლოდ გვერდები და კუთხეები ფუძეებზე ტოლია, არამედ დიაგონალებიც. გარდა ამისა, ტოლფერდა ტრაპეციის კუთხეების ჯამი 360 გრადუსია. მაგრამ ეს ყველაფერი არ არის! ყველა ცნობილი ტრაპეციიდან მხოლოდ ტოლფერდა შეიძლება შეფასდეს, როგორც წრე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ამ ფიგურის საპირისპირო კუთხეების ჯამი უდრის 180 გრადუსს და მხოლოდ ამ პირობით შეიძლება აღწეროთ წრე ოთხკუთხედის გარშემო. განსახილველი გეომეტრიული ფიგურის შემდეგი თვისებაა ის, რომ მანძილი ფუძის წვეროდან საპირისპირო წვეროს პროექციამდე სწორ ხაზზე, რომელიც შეიცავს ამ ფუძეს, იქნება შუა ხაზის ტოლი.

ახლა მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ტოლფერდა ტრაპეციის კუთხეები. მოდით განვიხილოთ ამ პრობლემის გადაწყვეტა, იმ პირობით, რომ ფიგურის გვერდების ზომები ცნობილია.

გამოსავალი

როგორც წესი, ოთხკუთხედი ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით A, B, C, D, სადაც BS და AD არის ფუძეები. ტოლფერდა ტრაპეციაში გვერდები თანაბარია. ვივარაუდებთ, რომ მათი ზომა უდრის X-ს, ხოლო ფუძეების ზომები უდრის Y და Z-ს (შესაბამისად უფრო მცირე და დიდი). გამოთვლების განსახორციელებლად აუცილებელია B კუთხიდან H სიმაღლე დავხატოთ. შედეგი არის მართკუთხა სამკუთხედი ABN, სადაც AB არის ჰიპოტენუზა, ხოლო BN და AN არის ფეხები. ვიანგარიშებთ AN ფეხის ზომას: უფრო პატარას ვაკლებთ უფრო დიდ ფუძეს და ვყოფთ შედეგს 2-ზე. ვწერთ მას ფორმულის სახით: (Z-Y)/2 = F. ახლა გამოვთვალოთ მწვავე. სამკუთხედის კუთხე, ჩვენ ვიყენებთ cos ფუნქციას. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ ჩანაწერს: cos(β) = X/F. ახლა ვიანგარიშებთ კუთხეს: β=arcos (X/F). გარდა ამისა, ერთი კუთხის ცოდნით, ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მეორე, ამისთვის ვასრულებთ ელემენტარულ არითმეტიკულ ოპერაციას: 180 - β. ყველა კუთხე არის განსაზღვრული.

ამ პრობლემის მეორე გამოსავალი არსებობს. პირველ რიგში, ჩვენ ვამცირებთ მას კუთხიდან H სიმაღლეზე. ჩვენ ვიანგარიშებთ ფეხის BN მნიშვნელობას. ჩვენ ვიცით, რომ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის წვივების კვადრატების ჯამს. ვიღებთ: BN = √(X2-F2). შემდეგ ვიყენებთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას tg. შედეგად გვაქვს: β = არქტანი (BN/F). ნაპოვნია მწვავე კუთხე. შემდეგი, ჩვენ განვსაზღვრავთ მას ისევე, როგორც პირველი მეთოდი.

ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალების თვისება

პირველ რიგში, მოდით ჩამოვწეროთ ოთხი წესი. თუ ტოლფერდა ტრაპეციაში დიაგონალები პერპენდიკულურია, მაშინ:

ფიგურის სიმაღლე ორზე გაყოფილი ფუძეების ჯამის ტოლი იქნება;

მისი სიმაღლე და შუა ხაზი ტოლია;

წრის ცენტრი არის წერტილი, სადაც ;

თუ გვერდითი მხარე ტანგენციის წერტილით იყოფა H და M სეგმენტებად, მაშინ იგი უდრის ამ სეგმენტების ნამრავლის კვადრატულ ფესვს;

ოთხკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება შეხების წერტილებით, ტრაპეციის წვერით და შემოხაზული წრის ცენტრით არის კვადრატი, რომლის გვერდი რადიუსის ტოლია;

ფიგურის ფართობი უდრის ფუძეების ნამრავლს და ფუძეების ჯამის ნახევარისა და მისი სიმაღლის ნამრავლს.

მსგავსი ტრაპეციები

ეს თემა ძალიან მოსახერხებელია ამის თვისებების შესასწავლად, მაგალითად, დიაგონალები ყოფენ ტრაპეციას ოთხ სამკუთხედად და ფუძეების მიმდებარეები მსგავსია, ხოლო გვერდების მიმდებარეები ზომით ტოლია. ამ განცხადებას შეიძლება ეწოდოს სამკუთხედების თვისება, რომლებშიც ტრაპეცია იყოფა მისი დიაგონალებით. ამ განცხადების პირველი ნაწილი დადასტურებულია მსგავსების ნიშნით ორი კუთხით. მეორე ნაწილის დასამტკიცებლად უმჯობესია გამოიყენოთ ქვემოთ მოცემული მეთოდი.

თეორემის დადასტურება

ჩვენ ვეთანხმებით, რომ ABSD ფიგურა (AD და BS არის ტრაპეციის ფუძეები) იყოფა VD და AC დიაგონალებით. მათი გადაკვეთის წერტილი არის O. ვიღებთ ოთხ სამკუთხედს: AOS - ქვედა ფუძეზე, BOS - ზედა ფუძეზე, ABO და SOD გვერდებზე. SOD და BOS სამკუთხედებს აქვთ საერთო სიმაღლე, თუ სეგმენტები BO და OD მათი ფუძეა. ჩვენ ვხვდებით, რომ მათ არეებს შორის სხვაობა (P) უდრის ამ სეგმენტებს შორის სხვაობას: PBOS/PSOD = BO/OD = K. მაშასადამე, PSOD = PBOS/K. ანალოგიურად, BOS და AOB სამკუთხედებს აქვთ საერთო სიმაღლე. ჩვენ ვიღებთ სეგმენტებს CO და OA მათ საფუძვლად. ჩვენ ვიღებთ PBOS/PAOB = CO/OA = K და PAOB = PBOS/K. აქედან გამომდინარეობს, რომ PSOD = PAOB.

მასალის გასამყარებლად მოსწავლეებს ურჩევენ, შემდეგი ამოცანის ამოხსნით იპოვონ კავშირი მიღებული სამკუთხედების უბნებს შორის, რომლებშიც ტრაპეცია იყოფა დიაგონალებით. ცნობილია, რომ სამკუთხედებს BOS და AOD აქვთ თანაბარი ფართობი, აუცილებელია ტრაპეციის ფართობის პოვნა. ვინაიდან PSOD = PAOB, ეს ნიშნავს PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. BOS და AOD სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს, რომ BO/OD = √(PBOS/PAOD). ამიტომ, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). ჩვენ ვიღებთ PSOD = √(PBOS*PAOD). შემდეგ PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

მსგავსების თვისებები

ამ თემის განვითარებით, ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ ტრაპეციის სხვა საინტერესო თვისებები. ამრიგად, მსგავსების გამოყენებით, შეიძლება დაამტკიცოს სეგმენტის თვისება, რომელიც გადის ამ გეომეტრიული ფიგურის დიაგონალების კვეთით წარმოქმნილ წერტილში, ფუძეების პარალელურად. ამისთვის გადავჭრათ შემდეგი პრობლემა: უნდა ვიპოვოთ RK სეგმენტის სიგრძე, რომელიც გადის O წერტილზე. AOD და BOS სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს, რომ AO/OS = AD/BS. AOP და ASB სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს, რომ AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). აქედან მივიღებთ, რომ RO=BS*BP/(BS+BP). ანალოგიურად, სამკუთხედების DOC და DBS მსგავსებიდან გამომდინარეობს, რომ OK = BS*AD/(BS+AD). აქედან მივიღებთ, რომ RO=OK და RK=2*BS*AD/(BS+AD). მონაკვეთი, რომელიც გადის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილში, ფუძეების პარალელურად და აკავშირებს ორ გვერდით მხარეს, იყოფა შუაზე გადაკვეთის წერტილით. მისი სიგრძე არის ფიგურის ფუძეების ჰარმონიული საშუალო.

განვიხილოთ ტრაპეციის შემდეგი თვისება, რომელსაც ოთხი წერტილის თვისება ეწოდება. დიაგონალების გადაკვეთის წერტილები (O), გვერდების გაგრძელების კვეთა (E), ისევე როგორც ფუძეების შუა წერტილები (T და F) ყოველთვის ერთსა და იმავე ხაზზე დევს. ამის დამტკიცება მარტივად შეიძლება მსგავსების მეთოდით. შედეგად მიღებული სამკუთხედები BES და AED მსგავსია და თითოეულ მათგანში მედიანები ET და EJ ყოფენ E წვერო კუთხეს თანაბარ ნაწილებად. ამრიგად, E, T და F წერტილები ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს. ანალოგიურად, წერტილები T, O და Zh განლაგებულია ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე, ეს ყველაფერი გამომდინარეობს სამკუთხედების BOS და AOD მსგავსებიდან. აქედან ვასკვნით, რომ ოთხივე წერტილი - E, T, O და F - ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე იქნება.

მსგავსი ტრაპეციის გამოყენებით, შეგიძლიათ სთხოვოთ მოსწავლეებს იპოვონ სეგმენტის სიგრძე (LS), რომელიც ყოფს ფიგურას ორ მსგავს ნაწილად. ეს სეგმენტი უნდა იყოს ბაზების პარალელურად. ვინაიდან მიღებული ტრაპეცია ALFD და LBSF მსგავსია, მაშინ BS/LF = LF/AD. აქედან გამომდინარეობს, რომ LF=√(BS*AD). ჩვენ ვხვდებით, რომ სეგმენტს, რომელიც ყოფს ტრაპეციას ორ მსგავს ნაწილად, აქვს სიგრძე ფიგურის ფუძეების სიგრძის გეომეტრიული საშუალოს ტოლი.

განვიხილოთ შემდეგი მსგავსების თვისება. იგი ეფუძნება სეგმენტს, რომელიც ყოფს ტრაპეციას ორ თანაბარ ფიგურად. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ტრაპეცია ABSD იყოფა EH სეგმენტით ორ მსგავსებად. B წვეროდან გამოტოვებულია სიმაღლე, რომელიც EN სეგმენტით იყოფა ორ ნაწილად - B1 და B2. ვიღებთ: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 და PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. შემდეგი, ჩვენ ვქმნით სისტემას, რომლის პირველი განტოლებაა (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 და მეორე (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. აქედან გამომდინარეობს, რომ B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) და BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). ვხვდებით, რომ ტრაპეციის ორ ტოლ ნაწილად გამყოფი მონაკვეთის სიგრძე უდრის ფუძეების სიგრძის ძირის საშუალო კვადრატს: √((BS2+AD2)/2).

მსგავსების დასკვნები

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ:

1. ტრაპეციის გვერდითი გვერდების შუა წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი AD და BS-ის პარალელურია და უდრის BS და AD საშუალო არითმეტიკულს (ტრაპეციის ფუძის სიგრძე).

2. AD და BS პარალელურად დიაგონალების გადაკვეთის O წერტილში გამავალი წრფე AD და BS რიცხვების ჰარმონიული საშუალოს ტოლი იქნება (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. ტრაპეციის მსგავსებად გამყოფ სეგმენტს აქვს BS და AD ფუძეების გეომეტრიული საშუალოს სიგრძე.

4. ელემენტს, რომელიც ყოფს ფიგურას ორ ტოლ ნაწილად, აქვს AD და BS რიცხვების ფესვის საშუალო კვადრატის სიგრძე.

მასალის გასამყარებლად და განხილულ სეგმენტებს შორის კავშირის გასაგებად, მოსწავლემ უნდა ააგოს ისინი კონკრეტული ტრაპეციისთვის. მას ადვილად შეუძლია აჩვენოს შუა ხაზი და სეგმენტი, რომელიც გადის O წერტილზე - ფიგურის დიაგონალების კვეთა - ფუძეების პარალელურად. მაგრამ სად იქნება მესამე და მეოთხე? ეს პასუხი მოსწავლეს მიიყვანს საშუალო სიდიდეებს შორის სასურველი ურთიერთობის აღმოჩენამდე.

სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ტრაპეციის დიაგონალების შუა წერტილებს

განვიხილოთ ამ ფიგურის შემდეგი თვისება. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ სეგმენტი MH არის ფუძეების პარალელურად და ყოფს დიაგონალებს. ვუწოდოთ გადაკვეთის წერტილები Ш და Ш. ეს სეგმენტი უდრის ფუძეების სხვაობის ნახევარს. მოდით შევხედოთ ამას უფრო დეტალურად. MS არის ABS სამკუთხედის შუა ხაზი, ის უდრის BS/2-ს. MSH არის ABD სამკუთხედის შუა ხაზი, ის უდრის AD/2. შემდეგ მივიღებთ, რომ ShShch = MSh-MSh, შესაბამისად, ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Გრავიტაციის ცენტრი

ვნახოთ, როგორ განისაზღვრება ეს ელემენტი მოცემული გეომეტრიული ფიგურისთვის. ამისათვის აუცილებელია ბაზების გაფართოება საპირისპირო მიმართულებით. Რას ნიშნავს? თქვენ უნდა დაამატოთ ქვედა ბაზა ზედა ბაზაზე - ნებისმიერი მიმართულებით, მაგალითად, მარჯვნივ. და ქვედას ვაგრძელებთ ზედა სიგრძით მარცხნივ. შემდეგი, ჩვენ ვაკავშირებთ მათ დიაგონალზე. ამ სეგმენტის გადაკვეთის წერტილი ფიგურის შუა ხაზთან არის ტრაპეციის სიმძიმის ცენტრი.

წარწერიანი და შემოხაზული ტრაპეცია

მოდით ჩამოვთვალოთ ასეთი ფიგურების მახასიათებლები:

1. ტრაპეცია შეიძლება ჩაიწეროს წრეში მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის ტოლფერდაა.

2. ტრაპეცია შეიძლება აღწერილი იყოს წრის გარშემო, იმ პირობით, რომ მათი ფუძეების სიგრძის ჯამი ტოლია გვერდების სიგრძის ჯამს.

წრეწირის შედეგები:

1. აღწერილი ტრაპეციის სიმაღლე ყოველთვის ორი რადიუსის ტოლია.

2. აღწერილი ტრაპეციის მხარე შეინიშნება წრის ცენტრიდან მართი კუთხით.

პირველი დასკვნა აშკარაა, მაგრამ მეორის დასამტკიცებლად აუცილებელია დადგინდეს, რომ SOD კუთხე სწორია, რაც, ფაქტობრივად, ასევე არ არის რთული. მაგრამ ამ თვისების ცოდნა საშუალებას მოგცემთ გამოიყენოთ მართკუთხა სამკუთხედი პრობლემების გადაჭრისას.

ახლა მოდით დავაკონკრეტოთ ეს შედეგები წრეში ჩაწერილი ტოლფერდა ტრაპეციაზე. ვხვდებით, რომ სიმაღლე არის ფიგურის ფუძეების გეომეტრიული საშუალო: H=2R=√(BS*AD). ტრაპეციის ამოცანების ამოხსნის ძირითადი ტექნიკის (ორი სიმაღლის დახატვის პრინციპი) პრაქტიკაში სწავლისას მოსწავლემ უნდა ამოხსნას შემდეგი ამოცანა. ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ BT არის ABSD ტოლფერდა ფიგურის სიმაღლე. აუცილებელია AT და TD სეგმენტების პოვნა. ზემოთ აღწერილი ფორმულის გამოყენებით, ამის გაკეთება რთული არ იქნება.

ახლა მოდით გაერკვნენ, თუ როგორ უნდა განვსაზღვროთ წრის რადიუსი შემოხაზული ტრაპეციის ფართობის გამოყენებით. ჩვენ ვამცირებთ სიმაღლეს B წვეროდან AD ფუძემდე. ვინაიდან წრე ჩაწერილია ტრაპეციაში, მაშინ BS+AD = 2AB ან AB = (BS+AD)/2. სამკუთხედიდან ABN ვპოულობთ sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. ვიღებთ PABSD = (BS+BP)*R, აქედან გამომდინარეობს, რომ R = PABSD/(BS+BP).

ყველა ფორმულა ტრაპეციის შუა ხაზისთვის

ახლა დროა გადავიდეთ ამ გეომეტრიული ფიგურის ბოლო ელემენტზე. მოდით გავარკვიოთ, რას უდრის ტრაპეციის შუა ხაზი:

1. ფუძეების მეშვეობით: M = (A+B)/2.

2. სიმაღლის, ფუძისა და კუთხეების მეშვეობით:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. სიმაღლის, დიაგონალების და მათ შორის კუთხის მეშვეობით. მაგალითად, D1 და D2 არის ტრაპეციის დიაგონალები; α, β - კუთხეები მათ შორის:

M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.

4. ფართობი და სიმაღლე: M = P/N.

ამ სტატიაში შევეცდებით მაქსიმალურად სრულად ასახოთ ტრაპეციის თვისებები. კერძოდ, ვისაუბრებთ ტრაპეციის ზოგად მახასიათებლებზე და თვისებებზე, აგრეთვე წარწერიანი ტრაპეციისა და ტრაპეციაში ჩაწერილი წრის თვისებებზე. ასევე შევეხებით ტოლკუთხა და მართკუთხა ტრაპეციის თვისებებს.

განხილული თვისებების გამოყენებით პრობლემის გადაჭრის მაგალითი დაგეხმარებათ დაალაგოთ ის თქვენს თავში ადგილებად და უკეთ დაიმახსოვროთ მასალა.

ტრაპეცია და ყველა-ყველა-ყველა

დასაწყისისთვის, მოკლედ გავიხსენოთ რა არის ტრაპეცია და რა სხვა ცნებები უკავშირდება მას.

ასე რომ, ტრაპეცია არის ოთხკუთხა ფიგურა, რომლის ორი გვერდი ერთმანეთის პარალელურია (ეს არის ფუძეები). და ეს ორი არ არის პარალელური - ეს არის მხარეები.

ტრაპეციაში სიმაღლე შეიძლება დაიწიოს - ფუძეების პერპენდიკულარულად. შედგენილია ცენტრის ხაზი და დიაგონალები. ასევე შესაძლებელია ბისექტრის დახატვა ტრაპეციის ნებისმიერი კუთხიდან.

ჩვენ ახლა ვისაუბრებთ ყველა ამ ელემენტთან დაკავშირებულ სხვადასხვა თვისებებზე და მათ კომბინაციებზე.

ტრაპეციის დიაგონალების თვისებები

უფრო გასაგებად, სანამ კითხულობთ, დახაზეთ ტრაპეცია ACME ფურცელზე და დახაზეთ მასში დიაგონალები.

1. თუ იპოვით თითოეული დიაგონალის შუა წერტილებს (მოდით დავარქვათ ამ წერტილებს X და T) და დააკავშირებთ მათ, მიიღებთ სეგმენტს. ტრაპეციის დიაგონალების ერთ-ერთი თვისებაა ის, რომ სეგმენტი HT დევს შუა ხაზზე. და მისი სიგრძე შეიძლება მივიღოთ ფუძეების სხვაობის ორზე გაყოფით: ХТ = (a – b)/2.
2. ჩვენს წინაშე არის იგივე ტრაპეცია ACME. დიაგონალები იკვეთება O წერტილში. მოდით შევხედოთ სამკუთხედებს AOE და MOK, რომლებიც წარმოიქმნება დიაგონალების სეგმენტებით ტრაპეციის ფუძეებთან ერთად. ეს სამკუთხედები მსგავსია. სამკუთხედების მსგავსების კოეფიციენტი k გამოიხატება ტრაპეციის ფუძეების თანაფარდობით: k = AE/KM.
   სამკუთხედების AOE და MOK ფართობების თანაფარდობა აღწერილია k 2 კოეფიციენტით.
3. იგივე ტრაპეცია, იგივე დიაგონალები, რომლებიც იკვეთება O წერტილში. მხოლოდ ამჯერად განვიხილავთ სამკუთხედებს, რომლებსაც დიაგონალების სეგმენტები ტრაპეციის გვერდებთან ერთად ქმნიდნენ. სამკუთხედების არეები AKO და EMO ტოლია ზომით - მათი ფართობი ერთნაირია.
4. ტრაპეციის კიდევ ერთი თვისებაა დიაგონალების აგება. ასე რომ, თუ თქვენ გააგრძელებთ AK და ME გვერდებს პატარა ფუძის მიმართულებით, მაშინ ადრე თუ გვიან ისინი გადაიკვეთებიან გარკვეულ წერტილში. შემდეგი, დახაზეთ სწორი ხაზი ტრაპეციის ფუძის შუაში. ის კვეთს ფუძეებს X და T წერტილებში.
   თუ ახლა გავაგრძელებთ XT ხაზს, მაშინ ის ერთმანეთთან დააკავშირებს O ტრაპეციის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს, იმ წერტილს, სადაც გვერდების გაფართოებები და X და T ფუძეების შუა იკვეთება.
5. დიაგონალების გადაკვეთის წერტილის გავლით დავხაზავთ სეგმენტს, რომელიც დააკავშირებს ტრაპეციის ფუძეებს (T დევს პატარა ფუძე KM-ზე, X უფრო დიდ AE-ზე). დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი ამ სეგმენტს ყოფს შემდეგი თანაფარდობით: TO/OX = KM/AE.
6. ახლა, დიაგონალების გადაკვეთის წერტილის გავლით, ჩვენ დავხატავთ სეგმენტს ტრაპეციის ფუძეების პარალელურად (a და b). გადაკვეთის წერტილი მას ორ თანაბარ ნაწილად გაყოფს. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ სეგმენტის სიგრძე ფორმულის გამოყენებით 2ab/(a + b).

ტრაპეციის შუა ხაზის თვისებები

დახაზეთ შუა ხაზი ტრაპეციაში მისი ფუძეების პარალელურად.

1. ტრაპეციის შუა ხაზის სიგრძე შეიძლება გამოითვალოს ფუძეების სიგრძის დამატებით და შუაზე გაყოფით: m = (a + b)/2.
2. თუ რომელიმე სეგმენტს (მაგალითად, სიმაღლეს) გადახაზავთ ტრაპეციის ორივე ძირში, შუა ხაზი მას ორ თანაბარ ნაწილად გაყოფს.

ტრაპეციის ბისექტორის თვისება

აირჩიეთ ტრაპეციის ნებისმიერი კუთხე და დახაზეთ ბისექტორი. ავიღოთ, მაგალითად, ჩვენი ტრაპეციის ACME კუთხე KAE. თავად დაასრულეთ კონსტრუქცია, შეგიძლიათ მარტივად გადაამოწმოთ, რომ ბისექტორი წყვეტს ფუძიდან (ან მის გაგრძელებას სწორ ხაზზე თავად ფიგურის გარეთ) იმავე სიგრძის სეგმენტს, როგორც გვერდი.

ტრაპეციის კუთხეების თვისებები

1. გვერდის მიმდებარე ორი წყვილი კუთხიდან რომელს აირჩევთ, წყვილში კუთხეების ჯამი ყოველთვის არის 180 0: α + β = 180 0 და γ + δ = 180 0.
2. დავუკავშიროთ ტრაპეციის ფუძეების შუა წერტილები TX სეგმენტს. ახლა მოდით შევხედოთ კუთხეებს ტრაპეციის ფუძეებზე. თუ რომელიმე მათგანის კუთხეების ჯამი არის 90 0, TX სეგმენტის სიგრძე მარტივად შეიძლება გამოითვალოს ფუძეების სიგრძის სხვაობის საფუძველზე, გაყოფილი ნახევარზე: TX = (AE – KM)/2.
3. თუ პარალელური ხაზები გაივლება ტრაპეციის კუთხის გვერდებზე, ისინი დაყოფენ კუთხის გვერდებს პროპორციულ სეგმენტებად.

ტოლგვერდა (ტოლგვერდა) ტრაპეციის თვისებები

1. ტოლფეროვან ტრაპეციაში კუთხეები ნებისმიერ ფუძეზე ტოლია.
2. ახლა ისევ ააგეთ ტრაპეცია, რათა გაადვილოთ წარმოდგენა იმაზე, რაზეც ვსაუბრობთ. დააკვირდით AE ფუძეს - მოპირდაპირე ფუძის M წვერო დაპროექტებულია ხაზის გარკვეულ წერტილში, რომელიც შეიცავს AE-ს. მანძილი A წვეროდან M წვეროს პროექციის წერტილამდე და ტოლფერდა ტრაპეციის შუა ხაზი ტოლია.
3. ორიოდე სიტყვა ტოლფერდა ტრაპეციის დიაგონალების თვისების შესახებ - მათი სიგრძე ტოლია. და ასევე ამ დიაგონალების დახრილობის კუთხეები ტრაპეციის ფუძესთან იგივეა.
4. მხოლოდ ტოლფერდა ტრაპეციის გარშემო შეიძლება იყოს წრე, რადგან ოთხკუთხედის საპირისპირო კუთხეების ჯამი არის 180 0 - ამის წინაპირობა.
5. ტოლფერდა ტრაპეციის თვისება გამომდინარეობს წინა აბზაციდან - თუ წრის აღწერა შესაძლებელია ტრაპეციის მახლობლად, ეს არის ტოლფერდა.
6. ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებებიდან გამომდინარეობს ტრაპეციის სიმაღლის თვისება: თუ მისი დიაგონალები იკვეთება სწორი კუთხით, მაშინ სიმაღლის სიგრძე უდრის ფუძეების ჯამის ნახევარს: h = (a + b)/2.
7. ისევ დახაზეთ TX სეგმენტი ტრაპეციის ფუძეების შუა წერტილებში - ტოლფერდა ტრაპეციაში ის ფუძეების პერპენდიკულარულია. და ამავე დროს TX არის ტოლფერდა ტრაპეციის სიმეტრიის ღერძი.
8. ამჯერად ჩამოწიეთ სიმაღლე ტრაპეციის საპირისპირო წვეროდან უფრო დიდ ფუძეზე (მოდით დავარქვათ ა). თქვენ მიიღებთ ორ სეგმენტს. ერთის სიგრძე შეიძლება მოიძებნოს, თუ ფუძეების სიგრძეს დაემატება და გაყოფს ნახევრად: (a + b)/2. მეორეს ვიღებთ, როცა პატარას გამოვაკლებთ უფრო დიდ ფუძეს და მიღებულ განსხვავებას გავყოფთ ორზე: (ა – ბ)/2.

წრეში ჩაწერილი ტრაპეციის თვისებები

ვინაიდან უკვე ვსაუბრობთ წრეში ჩაწერილ ტრაპეციაზე, ამ საკითხზე უფრო დეტალურად ვისაუბროთ. კერძოდ, სად არის წრის ცენტრი ტრაპეციის მიმართ. აქაც რეკომენდირებულია დრო დაუთმოთ ფანქრის ასაღებად და დახატოთ ის, რაც ქვემოთ იქნება განხილული. ასე უფრო სწრაფად გაიგებთ და უკეთ დაიმახსოვრებთ.

1. წრის ცენტრის მდებარეობა განისაზღვრება ტრაპეციის დიაგონალის დახრილობის კუთხით მის მხარეს. მაგალითად, დიაგონალი შეიძლება გაგრძელდეს ტრაპეციის ზემოდან მარჯვენა კუთხით გვერდით. ამ შემთხვევაში, უფრო დიდი ფუძე კვეთს წრეწირის ცენტრს ზუსტად შუაში (R = ½AE).
2. დიაგონალი და გვერდი ასევე შეიძლება შეხვდეს მწვავე კუთხით - მაშინ წრის ცენტრი ტრაპეციის შიგნითაა.
3. შემოხაზული წრის ცენტრი შეიძლება იყოს ტრაპეციის გარეთ, მისი უფრო დიდი ფუძის მიღმა, თუ ტრაპეციის დიაგონალსა და გვერდს შორის არის ბლაგვი კუთხე.
4. ACME ტრაპეციის დიაგონალითა და დიდი ფუძით ჩამოყალიბებული კუთხე არის ცენტრალური კუთხის ნახევარი, რომელიც შეესაბამება მას: MAE = ½ MOE.
5. მოკლედ შემოხაზული წრის რადიუსის პოვნის ორი გზა. მეთოდი პირველი: ყურადღებით დააკვირდით თქვენს ნახატს - რას ხედავთ? თქვენ შეგიძლიათ მარტივად შეამჩნიოთ, რომ დიაგონალი ყოფს ტრაპეციას ორ სამკუთხედად. რადიუსის პოვნა შესაძლებელია სამკუთხედის გვერდის შეფარდებით მოპირდაპირე კუთხის სინუსთან, გამრავლებული ორზე. Მაგალითად, R = AE/2*sinAME. ანალოგიურად, ფორმულა შეიძლება დაიწეროს ორივე სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდისთვის.
6. მეთოდი მეორე: იპოვნეთ შემოხაზული წრის რადიუსი სამკუთხედის ფართობზე, რომელიც ჩამოყალიბებულია ტრაპეციის დიაგონალით, გვერდით და ფუძით: R = AM*ME*AE/4*S AME.

წრის გარშემო შემოხაზული ტრაპეციის თვისებები

თქვენ შეგიძლიათ მოათავსოთ წრე ტრაპეციაში, თუ ერთი პირობა დაკმაყოფილებულია. წაიკითხეთ მეტი ამის შესახებ ქვემოთ. და ერთად ფიგურების ამ კომბინაციას აქვს არაერთი საინტერესო თვისება.

1. თუ წრე ტრაპეციაშია ჩაწერილი, მისი შუა ხაზის სიგრძე ადვილად იპოვება გვერდების სიგრძის დამატებით და მიღებული ჯამის შუაზე გაყოფით: m = (c + d)/2.
2. ტრაპეციული ACME-სთვის, რომელიც აღწერილია წრეზე, ფუძეების სიგრძის ჯამი უდრის გვერდების სიგრძის ჯამს: AK + ME = KM + AE.
3. ტრაპეციის ფუძეების ამ თვისებიდან გამომდინარეობს საპირისპირო დებულება: ტრაპეციაში შეიძლება ჩაიწეროს წრე, რომლის ფუძეების ჯამი უდრის მისი გვერდების ჯამს.
4. ტრაპეციაში ჩაწერილი წრის ტანგენტური წერტილი r რადიუსით ყოფს გვერდს ორ სეგმენტად, ვუწოდოთ მათ a და b. წრის რადიუსი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით: r = √ab.
5. და კიდევ ერთი ქონება. დაბნეულობის თავიდან აცილების მიზნით, თქვენც დახატეთ ეს მაგალითი. ჩვენ გვაქვს კარგი ძველი ტრაპეცია ACME, აღწერილი წრის გარშემო. იგი შეიცავს დიაგონალებს, რომლებიც იკვეთება O წერტილში. სამკუთხედები AOK და EOM, რომლებიც წარმოიქმნება დიაგონალების სეგმენტებით და გვერდითი გვერდებით, მართკუთხაა.
   ამ სამკუთხედების სიმაღლეები, რომლებიც დაშვებულია ჰიპოტენუსებამდე (ანუ ტრაპეციის გვერდითი მხარეები), ემთხვევა ჩაწერილი წრის რადიუსებს. ხოლო ტრაპეციის სიმაღლე ემთხვევა ჩაწერილი წრის დიამეტრს.

მართკუთხა ტრაპეციის თვისებები

ტრაპეციას მართკუთხა ეწოდება, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე სწორია. და მისი თვისებები გამომდინარეობს ამ გარემოებიდან.

1. მართკუთხა ტრაპეციას ერთი გვერდი აქვს ფუძეზე პერპენდიკულარული.
2. მართი კუთხის მიმდებარე ტრაპეციის სიმაღლე და მხარე ტოლია. ეს საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ მართკუთხა ტრაპეციის ფართობი (ზოგადი ფორმულა S = (a + b) * h/2) არა მხოლოდ სიმაღლის, არამედ მარჯვენა კუთხის მიმდებარე მხარის მეშვეობით.
3. მართკუთხა ტრაპეციისთვის, ზემოთ აღწერილი ტრაპეციის დიაგონალების ზოგადი თვისებები შესაბამისია.

ტრაპეციის ზოგიერთი თვისების მტკიცებულება

კუთხეების ტოლობა ტოლფერდა ტრაპეციის ფუძესთან:

• ალბათ უკვე მიხვდით, რომ აქ ისევ დაგვჭირდება AKME ტრაპეცია - დახაზეთ ტოლფერდა ტრაპეცია. დახაზეთ სწორი ხაზი MT წვეროდან M, AK-ის მხარის პარალელურად (MT || AK).

შედეგად მიღებული ოთხკუთხედი AKMT არის პარალელოგრამი (AK || MT, KM || AT). ვინაიდან ME = KA = MT, ∆ MTE არის ტოლფერდა და MET = MTE.

AK || MT, შესაბამისად MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

სად არის AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

ქ.ე.დ.

ახლა, ტოლფერდა ტრაპეციის თვისებიდან გამომდინარე (დიაგონალების ტოლობა), ვამტკიცებთ, რომ ტრაპეცია ACME არის ტოლფერდა:

• დასაწყისისთვის, მოდით დავხატოთ სწორი ხაზი MX – MX || KE. ვიღებთ პარალელოგრამს KMHE (ფუძე – MX || KE და KM || EX).

∆AMX არის ტოლფერდა, ვინაიდან AM = KE = MX და MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, შესაბამისად MAE = MXE.

აღმოჩნდა, რომ სამკუთხედები AKE და EMA ერთმანეთის ტოლია, ვინაიდან AM = KE და AE ორი სამკუთხედის საერთო გვერდია. და ასევე MAE = MXE. შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ AK = ME და აქედან გამომდინარეობს, რომ ტრაპეცია AKME არის ტოლფერდა.

დავალების გადახედვა

ტრაპეციის ACME ფუძეები არის 9 სმ და 21 სმ, გვერდითი მხარე KA, 8 სმ-ის ტოლი, ქმნის 150 0 კუთხეს პატარა ფუძით. თქვენ უნდა იპოვოთ ტრაპეციის ფართობი.

ამოხსნა: K წვეროდან ვამცირებთ სიმაღლეს ტრაპეციის უფრო დიდ ფუძემდე. და დავიწყოთ ტრაპეციის კუთხეების ყურება.

AEM და KAN კუთხეები ცალმხრივია. ეს ნიშნავს, რომ ჯამში ისინი აძლევენ 180 0-ს. აქედან გამომდინარე, KAN = 30 0 (ტრაპეციული კუთხეების თვისებაზე დაყრდნობით).

ახლა განვიხილოთ მართკუთხა ∆ANC (მჯერა, რომ ეს პუნქტი აშკარაა მკითხველისთვის დამატებითი მტკიცებულების გარეშე). მისგან ვიპოვით KH ტრაპეციის სიმაღლეს - სამკუთხედში ეს არის ფეხი, რომელიც მდებარეობს 30 0 კუთხის საპირისპიროდ. ამიტომ KN = ½AB = 4 სმ.

ჩვენ ვპოულობთ ტრაპეციის ფართობს ფორმულის გამოყენებით: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 სმ 2.

შემდგომი სიტყვა

თუ თქვენ ყურადღებით და გააზრებულად შეისწავლეთ ეს სტატია, არ გეზარებათ ფანქრით ხელში დახატოთ ტრაპეცია ყველა მოცემული თვისებისთვის და გააანალიზოთ ისინი პრაქტიკაში, კარგად უნდა გქონოდათ ათვისებული მასალა.

რა თქმა უნდა, აქ ბევრი ინფორმაციაა, მრავალფეროვანი და ზოგჯერ დამაბნეველიც: არც ისე რთულია აღწერილი ტრაპეციის თვისებები წარწერის თვისებებთან აგრევა. მაგრამ თქვენ თვითონ ნახეთ, რომ განსხვავება უზარმაზარია.

ახლა თქვენ გაქვთ დეტალური მონახაზი ტრაპეციის ყველა ზოგადი თვისების შესახებ. ასევე ტოლკუთხა და მართკუთხა ტრაპეციის სპეციფიკური თვისებები და მახასიათებლები. ძალიან მოსახერხებელია გამოსაყენებლად ტესტებისა და გამოცდებისთვის მოსამზადებლად. სცადეთ თავად და გაუზიარეთ ბმული თქვენს მეგობრებს!

blog.site, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა ორიგინალური წყაროს ბმული.