რა არის რიმანის ჰიპოთეზა? რიმანის ჰიპოთეზა. ძირითადი რიცხვების განაწილება

15 ხაზიანი გამოსავალი წარმოადგინა ცნობილმა ბრიტანელმა მეცნიერმა სერ მაიკლ ფრენსის ატიამ ( მაიკლ ფრენსის ატია), პრესტიჟული მათემატიკური პრიზების ლაურეატი. ის ძირითადად რეგიონში მუშაობს მათემატიკური ფიზიკა. მეცნიერებაიუწყება, რომ ატიამ თავის აღმოჩენაზე ისაუბრა კონფერენციაზე ჰაიდელბერგის ლაურეატების ფორუმიორშაბათს ჰაიდელბერგის უნივერსიტეტში.

რიმანის ჰიპოთეზა ჩამოაყალიბა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, ბერნჰარდ რიმანმა 1859 წელს. მათემატიკოსმა გააცნო ზეტა ფუნქციის კონცეფცია - ფუნქცია რთული ცვლადისთვის - და გამოიყენა იგი განაწილების აღსაწერად მარტივი რიცხვები. მარტივი რიცხვების თავდაპირველი პრობლემა ის იყო, რომ ისინი უბრალოდ განაწილებული იყო ნატურალური რიცხვების სერიაზე ყოველგვარი აშკარა ნიმუშის გარეშე. რიმანმა შესთავაზა თავისი განაწილების ფუნქცია მარტივი რიცხვებისთვის, რომლებიც არ აღემატება x-ს, მაგრამ ვერ აეხსნა, რატომ წარმოიქმნება ეს დამოკიდებულება. მეცნიერები ამ პრობლემის გადაჭრას თითქმის 150 წელია იბრძვიან.

რიმანის ჰიპოთეზა არის ათასწლეულის პრიზის შვიდი პრობლემადან ერთ-ერთი, რომელთაგან თითოეული მილიონი დოლარის ჯილდოა. ამ პრობლემებიდან მხოლოდ ერთი მოგვარებულია - პუანკარეს ვარაუდი. მისი ამოხსნა შემოგვთავაზა რუსმა მათემატიკოსმა გრიგორი პერელმანმა ჯერ კიდევ 2002 წელს მისი ნამუშევრების სერიაში. 2010 წელს მეცნიერს მიენიჭა პრიზი, მაგრამ უარი თქვა.

გეორგ ფრიდრიხ ბერნჰარდ რიმანი - გერმანელი მათემატიკოსი და ფიზიკოსი / ©ვიკიპედია

მაიკლ ატია ირწმუნება, რომ ახსნა რიმანის მიერ გამოვლენილი ნიმუში. თავის მტკიცებულებაში მათემატიკოსი ეყრდნობა ფუნდამენტურ ფიზიკურ მუდმივას - წვრილი სტრუქტურის მუდმივას, რომელიც აღწერს ძალასა და ბუნებას. ელექტრომაგნიტური ურთიერთქმედებებიდამუხტულ ნაწილაკებს შორის. ამ მუდმივის აღწერით შედარებით ნაკლებად ცნობილი ტოდის ფუნქციის გამოყენებით, ატიამ იპოვა რიმანის ჰიპოთეზის გამოსავალი წინააღმდეგობებით.

სამეცნიერო საზოგადოება არ ჩქარობს შემოთავაზებული მტკიცებულებების მიღებას. მაგალითად, ნორვეგიის საბუნებისმეტყველო უნივერსიტეტის ეკონომისტი ტექნიკური მეცნიერებებიიორგენ ვისდალი ( იორგენ ვეისდალი), რომელმაც ადრე შეისწავლა რიმანის ჰიპოთეზა, განაცხადა, რომ ატიას გამოსავალი იყო "ზედმეტად ბუნდოვანი და გაურკვეველი". მეცნიერს დასკვნების მისაღწევად წერილობითი მტკიცებულებების უფრო ფრთხილად გამოკვლევა სჭირდება. ატიას კოლეგები დაუკავშირდნენ მეცნიერება, ასევე აღნიშნა, რომ წარდგენილ გადაწყვეტილებას წარმატებულად არ თვლიან, რადგან ის რყევ ასოციაციებზეა დაფუძნებული. კალიფორნიის უნივერსიტეტის, რივერსაიდის მათემატიკოსი ფიზიკოსი ჯონ ბაეზი ( ჯონ ბაეზი) და თქვა კიდეც, რომ ატიას მტკიცებულება „უბრალოდ აკისრებს ერთ ძლიერ პრეტენზიას მეორეს ყოველგვარი არგუმენტის ან რაიმე რეალური გამართლების გარეშე“.

მინდოდა უფრო დეტალურად მესაუბრა ანრი პუანკარეს, ერთი შეხედვით, ახლახან დადასტურებულ ვარაუდზე, მაგრამ შემდეგ გადავწყვიტე "პრობლემა გამეფართოებინა" და "ყველაფერი" შედედებული სახით მეთქვა. ასე რომ, 2000 წელს ბოსტონის კლეის მათემატიკის ინსტიტუტმა გამოავლინა "შვიდი ათასწლეულის პრობლემები" და დააჯილდოვა მილიონი დოლარის პრიზები თითოეული მათგანის გადასაჭრელად. აი ისინი:

1. პუანკარეს ვარაუდი
2. რიმანის ჰიპოთეზა
3. ნავიე-სტოუკსის განტოლება
4. კუკის ვარაუდი
5. ჰოჯის ვარაუდი
6. იანგ-მილისის თეორია
7. ბირჩ-სვინერტონ-დაიერის ჰიპოთეზა

ჩვენ ვისაუბრებთ პუანკარეს ვარაუდზე შემდეგ ჯერზე, ახლა ზოგადი მონახაზისხვა პრობლემებზე ვისაუბროთ

რიმანის ჰიპოთეზა (1859)

ყველამ იცის, რა არის მარტივი რიცხვები - ეს არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა 1-ზე და საკუთარ თავზე. იმათ. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 და ა.შ. მაგრამ საინტერესო ის არის, რომ აქამდე შეუძლებელი იყო რაიმე ნიმუშის იდენტიფიცირება მათ განლაგებაში.
ამრიგად, ითვლება, რომ x მთელი რიცხვის სამეზობლოში, საშუალო მანძილი თანმიმდევრულ მარტივ რიცხვებს შორის პროპორციულია x-ის ლოგარითმისა. თუმცა, ეგრეთ წოდებული დაწყვილებული მარტივი რიცხვები (ორმაგი მარტივი რიცხვები, რომელთა შორის განსხვავებაა 2, მაგალითად 11 და 13, 29 და 31, 59 და 61) უკვე დიდი ხანია ცნობილია, რომ ისინი ქმნიან მთელ მტევანებს, მაგალითად 101. 103, 107, 109 და 113. თუ ასეთი კლასტერები გვხვდება ძალიან დიდი მარტივი რიცხვების რეგიონში, მაშინ კრიპტოგრაფიული გასაღებების სიძლიერე შეიძლება მოულოდნელად დადგეს კითხვის ნიშნის ქვეშ.
რიმანმა შესთავაზა საკუთარი ვერსია, რომელიც მოსახერხებელია დიდი მარტივი რიცხვების იდენტიფიცირებისთვის. მისი თქმით, მარტივი რიცხვების განაწილების ბუნება შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს იმისგან, რაც ამჟამად ვარაუდობენ. რიმანმა აღმოაჩინა, რომ P(x) რიცხვი, რომელიც არ აღემატება x-ს, გამოიხატება რიმანის ზეტა ფუნქციის Z(s) არატრივიალური ნულების განაწილებით. რიმანმა წამოაყენა ჰიპოთეზა, რომელიც ჯერ არ არის დადასტურებული ან უარყოფილი, რომ ზეტა ფუნქციის ყველა არატრივიალური ნული დევს სწორ ხაზზე R(z) = (1/2). (ბოდიში, მაგრამ არ ვიცი როგორ შევცვალო კოდირება ბერძნული ასოების საჩვენებლად).
ზოგადად, რიმანის ჰიპოთეზის დამტკიცებით (თუ ეს შესაძლებელია) და შესაბამისი ალგორითმის არჩევით, შესაძლებელი იქნება მრავალი პაროლისა და საიდუმლო კოდის გატეხვა.

ნავიე-სტოკსის განტოლება. (1830)

არაწრფივი დიფუზი, რომელიც აღწერს სითხეებისა და ჰაერის ნაკადების თერმულ კონვექციას. ეს არის ერთ-ერთი მთავარი განტოლება მეტეოროლოგიაში.

p - წნევა
F - გარე ძალა
r (rho) - სიმკვრივე
n (nu) - სიბლანტე
v - რთული სიჩქარე

ალბათ, მისი ზუსტი ანალიტიკური ამოხსნა საინტერესოა წმინდა მათემატიკური თვალსაზრისით, მაგრამ ამოხსნის სავარაუდო მეთოდები დიდი ხანია არსებობს. ჩვეულებისამებრ, ასეთ შემთხვევებში, არაწრფივი დიფუზი იყოფა რამდენიმე წრფივ ნაწილად. ეს აშკარა გახდა, როდესაც კომპიუტერების დანერგვით შესაძლებელი გახდა დიდი რაოდენობით მონაცემების დამუშავება. ასე რომ, 1963 წელს, ამერიკელმა მეტეოროლოგმა მასაჩუსეტსის ტექნოლოგიური ინსტიტუტიდან, ედვარდ ლორენცმა, დაუსვა კითხვა: რატომ არ მოჰყვა კომპიუტერების სწრაფ გაუმჯობესებას მეტეოროლოგების ოცნების რეალიზება - საიმედო საშუალოვადიან პერიოდში (2-3 კვირაში). წინასწარ) ამინდის პროგნოზი? ედვარდ ლორენცმა შემოგვთავაზა უმარტივესი მოდელი, რომელიც შედგება სამი ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები, რომელიც აღწერს ჰაერის კონვექციას, გამოთვალა კომპიუტერზე და საოცარი შედეგი მიიღო. ეს შედეგი - დინამიური ქაოსი - არის რთული არაპერიოდული მოძრაობა, რომელსაც აქვს სასრული პროგნოზირების ჰორიზონტი დეტერმინისტულ სისტემებში (ანუ ისეთებში, სადაც მომავალი ცალსახად არის განსაზღვრული წარსულით). ასე აღმოაჩინეს უცნაური მიმზიდველი. ამ და სხვა მსგავსი სისტემების ქცევის არაპროგნოზირებადობის მიზეზი არ არის ის, რომ მათემატიკური თეორემა ამოხსნის არსებობისა და უნიკალურობის შესახებ მოცემულ საწყის პირობებში არ არის ჭეშმარიტი, არამედ ამოხსნის განსაკუთრებული მგრძნობელობა ამ საწყისი პირობების მიმართ. დახურვა საწყისი პირობებიდროთა განმავლობაში მივყავართ სისტემის სრულიად განსხვავებულ საბოლოო მდგომარეობამდე. უფრო მეტიც, განსხვავება ხშირად ექსპონენტურად იზრდება დროთა განმავლობაში, ანუ ძალიან სწრაფად.

კუკის ჰიპოთეზა (1971)

რამდენად სწრაფად შეგიძლიათ შეამოწმოთ კონკრეტული პასუხი - აქ გადაუჭრელი პრობლემალოგიკა და კომპიუტერული გამოთვლები! იგი ჩამოყალიბდა სტივენ კუკის მიერ შემდეგნაირად: „შეიძლება თუ არა პრობლემის გადაწყვეტის სისწორის შემოწმებას უფრო მეტი დრო დასჭირდეს, ვიდრე თავად გადაწყვეტის მიღებას, გადამოწმების ალგორითმის მიუხედავად?“ ამ პრობლემის გამოსავალი შეიძლება იყოს რევოლუციური გზითშეცვალოს კრიპტოგრაფიის საფუძვლები, რომლებიც გამოიყენება მონაცემთა გადაცემასა და შესანახად და ხელი შეუწყოს ე.წ. "კვანტური კომპიუტერები", რომლებიც კვლავ დაეხმარება ალგორითმის დაჩქარებას უხეში ძალის კოდებთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად (მაგალითად, იგივე პაროლის გატეხვა).
ნება მიეცეს 10000 ცვლადის ფუნქცია: f (x 1 ... x 10000), სიმარტივისთვის ვივარაუდოთ, რომ ცვლადებს შეუძლიათ მიიღონ მნიშვნელობები 0 ან 1, ფუნქციის შედეგი ასევე არის 0 ან 1. არსებობს ალგორითმი, რომელიც ითვლის ამ ფუნქციას არგუმენტების ნებისმიერი მოცემული ნაკრებისთვის საკმაოდ მოკლე დროში (ვთქვათ t=0,1 წმ).
უნდა გავარკვიოთ არის თუ არა არგუმენტების სიმრავლე, რომლებზეც ფუნქციის მნიშვნელობა 1-ის ტოლია. ამ შემთხვევაში, თავად არგუმენტების ნაკრები, რომლებზეც ფუნქცია უდრის 1-ს, ჩვენთვის არ არის საინტერესო. უბრალოდ უნდა ვიცოდეთ იქ არის თუ არა. რა შეგვიძლია გავაკეთოთ? უმარტივესი რამ არის აიღოთ და სულელურად გაიაროთ მთელი თანმიმდევრობა 1-დან 10000-მდე ყველა კომბინაციით, ფუნქციის მნიშვნელობის გამოთვლა სხვადასხვა კომპლექტებზე. უარეს შემთხვევაში, ჩვენ ამაზე დავხარჯავთ 2 tN ან 2 1000 წამს, რაც მრავალჯერ აღემატება სამყაროს ასაკს.
მაგრამ თუ ჩვენ ვიცით f ფუნქციის ბუნება, მაშინ
თქვენ შეგიძლიათ შეამციროთ ძიება არგუმენტების კომპლექტების გაუქმებით, რომელთა ფუნქცია აშკარად 0-ის ტოლია. ბევრი რეალური პრობლემისთვის ეს საშუალებას მისცემს მათ გადაჭრას მისაღებ დროში. ამასთან, არის პრობლემები (ე.წ. NP-სრული პრობლემები), რისთვისაც ძიების შემცირების შემდეგაც, საერთო დროგამოსავალი მიუღებელი რჩება.

ახლა რაც შეეხება ფიზიკურ მხარეს. ცნობილია, რომ კვანტური
შეიძლება იყოს 0 ან 1 მდგომარეობაში გარკვეული ალბათობით. და რაც საინტერესოა, შეგიძლიათ გაიგოთ, რომელ მდგომარეობაშია:

პასუხი: 0 ალბათობით 1
B: 1 ალბათობით 1
C: 0 ალბათობით p, 1 ალბათობით 1-p

კვანტურ კომპიუტერზე გამოთვლების არსი მდგომარეობს იმაში, რომ აიღოთ 1000 კვანტი C მდგომარეობაში და მიაწოდოთ ისინი f ფუნქციის შეყვანას. თუ გამოსავალზე მიიღება კვანტი A მდგომარეობაში, ეს ნიშნავს, რომ f = 0 ყველა შესაძლო სიმრავლეზე. კარგად, თუ გამომავალი აწარმოებს კვანტს მდგომარეობაში
B ან C, ეს ნიშნავს, რომ არის სიმრავლე, რომელზეც f=1.
ცხადია. Რა " კვანტური კომპიუტერი» მნიშვნელოვნად დააჩქარებს ამოცანებს, რომლებიც დაკავშირებულია მონაცემთა დახარისხებასთან, მაგრამ არაეფექტური იქნება მონაცემთა ჩაწერის ან წაკითხვის დაჩქარების თვალსაზრისით.

იანგ-მილსის თეორია

ეს არის ალბათ ერთადერთი გამოვლენილი შვიდი საკითხიდან, რომელსაც ნამდვილად ფუნდამენტური მნიშვნელობა აქვს. მისი გადაწყვეტა მნიშვნელოვნად შეუწყობს ხელს შექმნას " ერთიანი თეორიაველები“, ე.ი. ოთხს შორის დეტერმინისტული კავშირის დადგენა ცნობილი ტიპებიურთიერთქმედებები

1. გრავიტაციული
2. ელექტრომაგნიტური
3. ძლიერი
4. სუსტი

1954 წელს იანგ ჟენნინგმა (ყვითელი ფესვთა რასის წარმომადგენელმა) და რობერტ მილსმა შემოგვთავაზეს თეორია, რომელიც აერთიანებდა ელექტრომაგნიტურ და სუსტ ძალებს (Glashow, Weinberg, Salam - Nob. Prize 1979). უფრო მეტიც, ის კვლავ ემსახურება როგორც საფუძველს კვანტური თეორიაველები. მაგრამ აქ მათემატიკური აპარატი უკვე დაიწყო მარცხი. ფაქტია, რომ " კვანტური ნაწილაკები"საერთოდ ნუ მოიქცევი ისე" დიდი სხეულებინიუტონის ფიზიკაში. და მიუხედავად იმისა, რომ არსებობს საერთო წერტილები, მაგალითად, დამუხტული ნაწილაკი ქმნის ელექტრომაგნიტურ ველს, ხოლო არანულოვანი მასის მქონე ნაწილაკი ქმნის გრავიტაციულ ველს; ან, მაგალითად, ნაწილაკი უდრის ველების ერთობლიობას, რომელსაც ის ქმნის, რადგან ნებისმიერი ურთიერთქმედება სხვა ნაწილაკებთან ამ ველების მეშვეობით ხორციელდება; ფიზიკის თვალსაზრისით, ნაწილაკების მიერ წარმოქმნილი ველების დათვალიერება იგივეა, რაც თავად ნაწილაკის ყურება.
მაგრამ ეს, ასე ვთქვათ, "პირველი მიახლოებაა".
კვანტურ მიდგომაში ერთი და იგივე ნაწილაკი შეიძლება აღიწეროს ორი განსხვავებული გზით: როგორც ნაწილაკი გარკვეული მასით და როგორც ტალღა გარკვეული სიგრძით. ერთი ნაწილაკი-ტალღა აღწერილია არა მისი პოზიციით სივრცეში, არამედ ტალღის ფუნქცია(ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც Y) და მის მდებარეობას აქვს ალბათური ბუნება - ნაწილაკების პოვნის ალბათობა მოცემულ x წერტილში. მოცემული დრო t უდრის Y = P(x,t)^2. უჩვეულო არაფერი ჩანდა, მაგრამ მიკრონაწილაკების დონეზე წარმოიქმნება შემდეგი „უსიამოვნო“ ეფექტი - თუ ნაწილაკზე ერთდროულად რამდენიმე ველი მოქმედებს, მათი კომბინირებული ეფექტი აღარ შეიძლება დაიშალოს თითოეული მათგანის მოქმედებაში ინდივიდუალურად. კლასიკური პრინციპისუპერპოზიცია არ მუშაობს. ეს იმიტომ ხდება, რომ ამ თეორიაში არა მხოლოდ მატერიის ნაწილაკები იზიდავს ერთმანეთს, არამედ ელექტრო სადენებიველები. ამის გამო, განტოლებები ხდება არაწრფივი და გადაჭრის მათემატიკური ტექნიკის მთელი არსენალი. წრფივი განტოლებებიარ შეიძლება გამოყენებულ იქნას მათზე. გადაწყვეტილებების პოვნა და მათი არსებობის დამტკიცებაც კი შეუდარებლად უფრო რთული საქმე ხდება.
ამიტომაც, ალბათ, შეუძლებელია ყოველ შემთხვევაში მისი გადაჭრა, თეორეტიკოსებმა სხვა გზა აირჩიეს. ამრიგად, იანგისა და მილსის დასკვნებზე დაყრდნობით, მიურეი გელ-მანმა ააგო ძლიერი ურთიერთქმედების თეორია (Nob. Prize).
თეორიის მთავარი მახასიათებელია ნაწილაკების შეყვანა წილადი ელექტრული მუხტით – კვარკები.

მაგრამ იმისათვის, რომ მათემატიკურად "დააკავშიროთ" ელექტრომაგნიტური, ძლიერი და სუსტი ურთიერთქმედება ერთმანეთთან, სამი პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს:

1. "ნაპრალის" არსებობა მასის სპექტრში, ინგლისურად - mass gap
2. კვარკების შეზღუდვა: კვარკები ჩაკეტილია ჰადრონებში და პრინციპში მათი მიღება თავისუფალი სახით შეუძლებელია.
3. სიმეტრიის დარღვევები

ექსპერიმენტებმა აჩვენა, რომ ეს პირობები დაკმაყოფილებულია რეალურ ცხოვრებაში, მაგრამ არ არსებობს მკაცრი მათემატიკური მტკიცებულება. იმათ. ფაქტობრივად, აუცილებელია I-M თეორიის ადაპტირება 4 განზომილებიან სივრცეში, რომელსაც აქვს სამი მითითებული თვისება. ჩემთვის ეს ამოცანა მილიონზე ბევრად მეტი ჯდება. და მიუხედავად იმისა, რომ არც ერთ ღირსეულ ფიზიკოსს არ ეპარება ეჭვი კვარკების არსებობაში, მათი ექსპერიმენტულად აღმოჩენა ვერ მოხერხდა. ვარაუდობენ, რომ 10 -30 სკალაზე ელექტრომაგნიტურ, ძლიერ და სუსტი ურთიერთქმედებაყოველგვარი განსხვავება იკარგება (ე.წ. „დიდი გაერთიანება“), სხვა საქმეა, რომ ასეთი ექსპერიმენტებისთვის საჭირო ენერგიის (10 16 გევ-ზე მეტი) მიღება ამაჩქარებლებზე შეუძლებელია. მაგრამ არ ინერვიულოთ - დიდი გაერთიანების ტესტირება მოხდება უახლოეს წლებში, თუ, რა თქმა უნდა, რაიმე ზედმეტი პრობლემა არ დაეცემა კაცობრიობას. ფიზიკოსებმა უკვე შეიმუშავეს სატესტო ექსპერიმენტი, რომელიც დაკავშირებულია პროტონების არასტაბილურობასთან (შედეგი J-M თეორიები). მაგრამ ეს თემა ჩვენი გზავნილის ფარგლებს სცილდება.

კარგად, გავიხსენოთ, რომ ეს ყველაფერი არ არის. რჩება ბოლო ბასტიონი - გრავიტაცია. ჩვენ ნამდვილად არაფერი ვიცით ამის შესახებ, გარდა იმისა, რომ „ყველაფერი იზიდავს“ და „სივრცე-დრო მრუდია“. ნათელია, რომ მსოფლიოში ყველა ძალა ჩამოდის ერთ ზესახელმწიფოებამდე ან, როგორც ამბობენ, „სუპერ გაერთიანებამდე“. მაგრამ რა არის ზეგაერთიანების პრინციპი? ალიკ აინშტაინი თვლიდა, რომ ეს პრინციპი გეომეტრიულია, როგორც ფარდობითობის ზოგადი პრინციპი. შეიძლება იყოს. იმათ. ფიზიკა რეალურად საწყისი დონის- უბრალოდ გეომეტრია.

ბირჩისა და სვინერტონ-დაიერის ვარაუდები

გახსოვთ ფერმას ბოლო თეორემა, რომელიც, როგორც ჩანს, დაამტკიცა ზოგიერთმა ინგლისელმა 1994 წელს? 350 წელი დასჭირდა! ასე რომ, ახლა პრობლემა გაგრძელდა - ჩვენ უნდა აღვწეროთ ყველა ამონახსნები მთელი რიცხვებით
x, y, z ალგებრული განტოლებები, ანუ რამდენიმე ცვლადის განტოლება
მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით. ალგებრული განტოლების მაგალითია განტოლება
x 2 + y 2 = z 2 . ევკლიდემ მისცა სრული აღწერა
ამ განტოლების ამონახსნები, მაგრამ მეტი რთული განტოლებებიგადაწყვეტილების მიღება
ხდება უკიდურესად რთული (მაგალითად, მთელი რიცხვების არარსებობის დადასტურება
x n + y n = z n განტოლების ამონახსნები).
ბირჩმა და სვინერტონ-დაიერმა ვარაუდობენ, რომ ამონახსნების რაოდენობა განისაზღვრება ზეტა ფუნქციის ζ(s) მნიშვნელობით, რომელიც დაკავშირებულია განტოლებასთან 1 წერტილში: თუ ზეტა ფუნქციის ζ(s) მნიშვნელობა 1 წერტილში არის 0, მაშინ იქ არის უსასრულო რიცხვიამონახსნები და პირიქით, თუ არა 0-ის ტოლი, მაშინ ასეთი ამონახსნების მხოლოდ სასრული რაოდენობაა. აქ პრობლემას, სხვათა შორის, აქვს რაღაც საერთო რიმანის ჰიპოთეზასთან, მხოლოდ იქ იქნა შესწავლილი ზეტა ფუნქციის ζ(s) არატრივიალური ნულების განაწილება.

ჰოჯის ვარაუდი
ალბათ ყველაზე აბსტრაქტული თემა.
როგორც ცნობილია, რთული გეომეტრიული ობიექტების თვისებების აღსაწერად ხდება მათი თვისებების მიახლოება. მაგალითად, ბურთი (თუმცა ის საერთოდ არ არის რთული) შეიძლება წარმოვიდგინოთ, როგორც პატარა კვადრატებისგან შემდგარი ზედაპირი. მაგრამ თუ არსებობს უფრო რთული ზედაპირები, მაშინ ჩნდება კითხვა, რამდენად შეგვიძლია დავაახლოოთ მოცემული ობიექტის ფორმა ერთმანეთთან წებოვნებით. მარტივი სხეულებიმზარდი განზომილება? ეს მეთოდი ეფექტური აღმოჩნდა მათემატიკაში არსებული სხვადასხვა ობიექტების აღწერისას, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში საჭირო იყო ნაწილების დამატება, რომლებსაც არ ჰქონდათ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.
მე გადავხედე გელფანდ-მანინის აბსტრაქტულ წიგნს ამ თემაზე, იგი აღწერს ჰოჯის თეორიას გლუვი არაკომპაქტური წარმონაქმნებისთვის, მაგრამ სიმართლე გითხრათ, ბევრი არაფერი მესმოდა, საერთოდ არაფერი მესმოდა. ანალიტიკური გეომეტრიარატომღაც ნამდვილად არ მესმის. საქმე იმაშია, რომ ინტეგრალები ზოგიერთ ციკლზე შეიძლება გამოითვალოს ნარჩენების გამოყენებით და თანამედროვე კომპიუტერები ამაში კარგია.
თავად ჰოჯის ვარაუდი არის ის, რომ გარკვეული ტიპის სივრცეებისთვის, რომლებსაც პროექციული ალგებრული ჯიშები ეწოდება, ე.წ. ჰოჯის ციკლები არის ობიექტების კომბინაციები, რომლებსაც აქვთ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია - ალგებრული ციკლები.

15 ხაზიანი გამოსავალი წარმოადგინა ცნობილმა ბრიტანელმა მეცნიერმა სერ მაიკლ ფრენსის ატიამ ( მაიკლ ფრენსის ატია), პრესტიჟული მათემატიკური პრიზების ლაურეატი. ძირითადად მუშაობს მათემატიკური ფიზიკის დარგში. მეცნიერებაიუწყება, რომ ატიამ თავის აღმოჩენაზე ისაუბრა კონფერენციაზე ჰაიდელბერგის ლაურეატების ფორუმიორშაბათს ჰაიდელბერგის უნივერსიტეტში.

რიმანის ჰიპოთეზა ჩამოაყალიბა, როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, ბერნჰარდ რიმანმა 1859 წელს. მათემატიკოსმა შემოიტანა ზეტა ფუნქციის კონცეფცია - ფუნქცია რთული ცვლადისთვის - და გამოიყენა იგი მარტივი რიცხვების განაწილების აღსაწერად. მარტივი რიცხვების თავდაპირველი პრობლემა ის იყო, რომ ისინი უბრალოდ განაწილებული იყო ნატურალური რიცხვების სერიაზე ყოველგვარი აშკარა ნიმუშის გარეშე. რიმანმა შესთავაზა თავისი განაწილების ფუნქცია მარტივი რიცხვებისთვის, რომლებიც არ აღემატება x-ს, მაგრამ ვერ აეხსნა, რატომ წარმოიქმნება ეს დამოკიდებულება. მეცნიერები ამ პრობლემის გადაჭრას თითქმის 150 წელია იბრძვიან.

რიმანის ჰიპოთეზა შეტანილია "ათასწლეულის პრიზის პრობლემების" სიაში, რომელთაგან თითოეული გადაჭრისთვის არის ჯილდო მილიონი დოლარი. ამ პრობლემებიდან მხოლოდ ერთი მოგვარებულია - პუანკარეს ვარაუდი. მისი ამოხსნა შემოგვთავაზა რუსმა მათემატიკოსმა ჯერ კიდევ 2002 წელს მისი ნამუშევრების სერიაში. 2010 წელს მეცნიერს მიენიჭა პრიზი, მაგრამ მან უარი თქვა.

მაიკლ ატია ირწმუნება, რომ მან ახსნა რიმანის მიერ გამოვლენილი ნიმუში. თავის მტკიცებულებაში მათემატიკოსი ეყრდნობა ფუნდამენტურ ფიზიკურ მუდმივას - წვრილი სტრუქტურის მუდმივას, რომელიც აღწერს დამუხტულ ნაწილაკებს შორის ელექტრომაგნიტური ურთიერთქმედების სიძლიერესა და ბუნებას. ამ მუდმივის აღწერით შედარებით ნაკლებად ცნობილი ტოდის ფუნქციის გამოყენებით, ატიამ იპოვა რიმანის ჰიპოთეზის გამოსავალი წინააღმდეგობებით.

სამეცნიერო საზოგადოება არ ჩქარობს შემოთავაზებული მტკიცებულებების მიღებას. მაგალითად, ნორვეგიის მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების უნივერსიტეტის ეკონომისტი იორგენ ვისდალი ( იორგენ ვეისდალი), რომელმაც ადრე შეისწავლა რიმანის ჰიპოთეზა, განაცხადა, რომ ატიას გამოსავალი იყო "ზედმეტად ბუნდოვანი და გაურკვეველი". მეცნიერს დასკვნების მისაღწევად წერილობითი მტკიცებულებების უფრო ფრთხილად გამოკვლევა სჭირდება. ატიას კოლეგები დაუკავშირდნენ მეცნიერება, ასევე აღნიშნა, რომ წარდგენილ გადაწყვეტილებას წარმატებულად არ თვლიან, რადგან ის რყევ ასოციაციებზეა დაფუძნებული. კალიფორნიის უნივერსიტეტის, რივერსაიდის მათემატიკოსი ფიზიკოსი ჯონ ბაეზი ( ჯონ ბაეზი) და თქვა კიდეც, რომ ატიას მტკიცებულება „უბრალოდ აკისრებს ერთ ძლიერ პრეტენზიას მეორეს ყოველგვარი არგუმენტის ან რაიმე რეალური გამართლების გარეშე“.

თავად მაიკლ ატია თვლის, რომ მისი ნაშრომი საფუძველს უყრის არა მხოლოდ რიმანის ჰიპოთეზის, არამედ მათემატიკაში სხვა გადაუჭრელი პრობლემების დასამტკიცებლად. კრიტიკის შესახებ ის ამბობს: „ხალხი წუწუნებს და წუწუნებს, მაგრამ ეს იმიტომ ხდება, რომ ისინი არ ეთანხმებიან იმ აზრს, რომ მოხუცს შეეძლო სრულიად ახალი მეთოდის მოფიქრება“.

საინტერესოა, რომ წარსულში მეცნიერს მსგავსი ხმამაღალი განცხადებები უკვე გაუკეთებია და კრიტიკის წინაშე დგას. 2017 წელს ატიამ განუცხადა ლონდონის გამოცემას Დროება რომ მან 1963 წელს დადასტურებული ფეიტ-ტომპსონის 255 გვერდიანი თეორემა ანუ უცნაური რიგის თეორემა 12 გვერდამდე შეამცირა. მათემატიკოსმა თავისი მტკიცებულება 15 ექსპერტს გაუგზავნა, მაგრამ მათ არასოდეს მისცეს დადებითი შეფასებებინაშრომი, რის შედეგადაც იგი არცერთში არ გამოქვეყნებულა სამეცნიერო ჟურნალი. ერთი წლით ადრე ატიამ გამოაცხადა ერთი ცნობილი პრობლემის გადაწყვეტა დიფერენციალური გეომეტრია. ამ ხსნარით სტატიის წინასწარი ბეჭდვა მეცნიერმა ArXiv.org-ზე გამოაქვეყნა. მალე კოლეგებმა აღნიშნეს არაერთი უზუსტობა ნაშრომში და სტატია არასოდეს გამოქვეყნებულა სრული ტექსტით.

ეს შეცდომები ახლა დიდწილად მხარს უჭერს სკეპტიციზმს სამეცნიერო საზოგადოებარიმანის ჰიპოთეზის მტკიცებულებასთან დაკავშირებით. Atiyeh-ს შეუძლია მხოლოდ დაელოდოს შეფასებას თიხის ინსტიტუტისგან, რომელიც გასცემს ჯილდოებს "ათასწლეულის გამოწვევების" გადაჭრისთვის. ამ დროისთვის მათემატიკოსის მტკიცებულების ნახვა შეგიძლიათ Google Drive-ის ბმულით, რომელიც მან თავად გამოაქვეყნა საჯარო დომენში.

ამონაწერი წიგნიდან „უდიდესი მათემატიკური ამოცანები“ იან სტიუარტის, უორვიკის უნივერსიტეტის მათემატიკის ემერიტუს პროფესორის, მეცნიერების ცნობილი პოპულარიზაციის შესახებ, ყველაზე მნიშვნელოვანი გადაუჭრელი პრობლემების შესახებ. მათემატიკური ამოცანებიდა მათი ადგილი მათემატიკისა და მეცნიერების საერთო კონტექსტში.

მარტივი რიცხვების განაწილების თეორემა იყო პასუხი ევკლიდეს თეორემაზე, რომ მარტივი რიცხვები მიდიან უსასრულობამდე და შეიძლება იყოს თვითნებურად დიდი. ევკლიდეს კიდევ ერთი ფუნდამენტური თეორემა აცხადებს დაშლის უნიკალურობას ძირითადი ფაქტორები: ყოველი დადებითი მთელი რიცხვი არის მარტივი რიცხვების ნამრავლი და მათი მხოლოდ ერთი სიმრავლე. 1737 წელს ეილერმა გააცნობიერა, რომ პირველი თეორემა შეიძლება განმეორდეს, როგორც რეალური ანალიზის ნათელი ფორმულა, შემდეგ კი მეორე განცხადება გახდა ამ ფორმულის მარტივი შედეგი. ჯერ გავაცნობ ფორმულას და შემდეგ შევეცდები გავიგო. Ის აქ არის:

ეს არაჩვეულებრივი ფორმულაა. მარცხენა მხარეს ვამრავლებთ უსასრულოდ ბევრ გამონათქვამს, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ მარტივ რიცხვებზე. მარჯვნივ, ჩვენ ვამატებთ გამონათქვამების უსასრულო რაოდენობას, რომლებიც დამოკიდებულია ყველა დადებით რიცხვზე. ეს ფორმულა ანალიზის ენაზე გამოხატავს გარკვეულ ურთიერთობას მთელ რიცხვებსა და მარტივ რიცხვებს შორის. ამ ტიპის მთავარი მიმართება არის დაშლის უნიკალურობა პირველ ფაქტორებად, სწორედ ეს ამართლებს ფორმულის არსებობას.

ახლა სცენა მზად იყო რიმანის გამოჩენისთვის. მან ასევე გააცნობიერა, რომ ზეტა ფუნქცია არის მარტივი რიცხვების განაწილების თეორემის გასაღები, მაგრამ ამ მიდგომის განსახორციელებლად მას თამამი გაფართოების შეთავაზება მოუწია: განესაზღვრა ზეტა ფუნქცია არა მხოლოდ რეალური ცვლადის, არამედ რთული ცვლადისაც. და თქვენ შეგიძლიათ დაიწყოთ ეილერის სერიით. ის ემთხვევა ერთზე დიდ ნებისმიერ რეალურ მნიშვნელობებს და თუ კომპლექსებისთვის ზუსტად იგივე ფორმულას გამოვიყენებთ, მაშინ სერია გადაიყრება ნებისმიერს, რომლისთვისაც რეალური ნაწილიმეტი . თუმცა, რიმანმა აღმოაჩინა, რომ უკეთესად შეეძლო. ეგრეთ წოდებული ანალიტიკური გაგრძელების პროცედურის გამოყენებით, მან გააფართოვა განმარტება ყველასთვისრთული რიცხვები

, გარდა . s-ის ეს მნიშვნელობა გამორიცხულია, რადგან ზეტას მნიშვნელობისას ფუნქცია ხდება უსასრულო. 1859 წელს რიმანმა შეაგროვა მთელი თავისი მოსაზრებები ზეტას ფუნქციის შესახებ ერთ ნაშრომში, რომლის სათაური შეიძლება ითარგმნოს როგორც „უბრალო რიცხვების რაოდენობაზე, რომელიც არ აღემატება.

მოცემული ღირებულება

" მასში მან სრული და ზუსტი ფორმულა მისცა. მე აღვწერ უფრო მარტივ ფორმულას, რიმანის ფორმულის ექვივალენტური, რათა დავანახო, როგორ ჩნდება zeta ფუნქციის ნულები. იდეა მდგომარეობს იმაში, რომ დავთვალოთ რამდენი მარტივი რიცხვი, ან მარტივი რიცხვების სიძლიერე, შეესაბამება მოცემულ ლიმიტს. თუმცა, იმის ნაცვლად, რომ თითოეული რიცხვი ერთხელ დავთვალოთ, როგორც ეს ფუნქცია აკეთებს მარტივ რიცხვებს, ჩვენ უფრო დიდ მარტივ რიცხვებს ვაძლევთ დამატებით წონას. უფრო მეტიც, მარტივი რიცხვის ნებისმიერი სიმძლავრე ითვლება ამ მარტივი რიცხვის ლოგარითმის მიხედვით. ასე რომ, ლიმიტისთვის გვაქვს მარტივი რიცხვების შემდეგი ძალა:

ამიტომ შეწონილი გაანგარიშება იძლევა რაც დაახლოებით.ანალიტიკური მეთოდების გამოყენებით, ინფორმაცია მარტივი რიცხვების დათვლის ამ უფრო დახვეწილი ხერხის შესახებ შეიძლება გადაიქცეს ინფორმაციად ჩვეულებრივი მეთოდის შესახებ. თუმცა, ეს მეთოდი უფრო მეტს იწვევს

იმ შემთხვევაში, თუ ფორმულამ ცოტა შეგაშინოთ, მე აღვნიშნავ მთავარ აზრს: მარტივი რიცხვების დათვლის ჭკვიანური ხერხი მოცემულ ზღვრამდე, რომელიც ზოგიერთი ანალიტიკური ხრიკის დახმარებით შეიძლება გადაკეთდეს ჩვეულებრივ გზად, ზუსტად ექვივალენტურია. ზეტა ფუნქციის ყველა არატრივიალური ნულის ჯამს მარტივი გამოხატულებაპლუს რამდენიმე მარტივი ფუნქცია. თუ თქვენ ხართ რთული ანალიზატორი, მაშინვე დაინახავთ, რომ პირველი განაწილების თეორემის მტკიცება უდრის იმის მტკიცებას, რომ შეწონილი დათვლა ზღვრამდე ასიმპტოტურად ემთხვევა. კომპლექსური ანალიზის გამოყენებით მივიღებთ: ეს დებულება მართალია, თუ ზეტა ფუნქციის ყველა არატრივიალურ ნულს აქვს რეალური ნაწილი და შორის. ჩებიშევმა ეს ვერ დაამტკიცა, მაგრამ საკმარისად მიუახლოვდა სასარგებლო ინფორმაციის მოპოვებას.

რატომ არის ზეტა ფუნქციის ნულები ასე მნიშვნელოვანი? ერთ-ერთი ძირითადი თეორემა ყოვლისმომცველი ანალიზიაცხადებს, რომ გარკვეულ ფორმალურ პირობებში, რთული ცვლადის ფუნქცია მთლიანად განისაზღვრება იმ ცვლადის მნიშვნელობებით, რომლებშიც ფუნქცია უდრის ნულს ან უსასრულობას, პლუს რამდენიმე დამატებითი ინფორმაცია ამ წერტილებში ფუნქციის ქცევის შესახებ. ეს სინგულარული წერტილები ცნობილია როგორც ფუნქციის ნულები და პოლუსები. რეალურ ანალიზში, ეს თეორემა არ მუშაობს - და ეს არის ერთ-ერთი მიზეზი იმისა, რომ კომპლექსურმა ანალიზმა მოიპოვა ასეთი პოპულარობა, მიუხედავად იმისა, რომ საჭიროა კვადრატული ფესვის აღება. ზეტა ფუნქციას აქვს ერთი პოლუსი (at), ამიტომ მისი ყველა მახასიათებელი განისაზღვრება ნულებით (თუ, რა თქმა უნდა, არ დავივიწყებთ ამ ერთი პოლუსის არსებობას).

მოხერხებულობისთვის რიმანი ძირითადად მუშაობდა დამოკიდებული xi ფუნქციით, რომელიც მჭიდროდ არის დაკავშირებული ზეტა ფუნქციასთან და მიღებულია ანალიტიკური გაგრძელების მეთოდით. მან შენიშნა:

„ძალიან სავარაუდოა, რომ ყველა [xi ფუნქციის ნულები] რეალურია. რა თქმა უნდა, ვისურვებდი მქონდეს ამ ფაქტის მკაცრი მტკიცებულება, მაგრამ რამდენიმე უშედეგო მცდელობის შემდეგ გადავდე ასეთი მტკიცებულების ძებნა, რადგან ეს არ არის საჭირო ჩემი კვლევის უშუალო მიზნებისთვის.

რიმანის შენიშვნა საკმაოდ შემთხვევით ჟღერს, თითქოს შემთხვევით გამოხატულია და ამ ჰიპოთეზას არ გააჩნია განსაკუთრებული მნიშვნელობა. და ეს მართლაც ასეა, თუ ვისაუბრებთ მხოლოდ რიმანის პროგრამაზე მარტივი რიცხვების განაწილების თეორემის დასამტკიცებლად. მაგრამ ბევრ სხვა საკითხში პირიქითაა. ბევრი მიიჩნევს, რომ რიმანის ჰიპოთეზა არის ყველაზე მნიშვნელოვანი ღია მათემატიკური კითხვა დღეს.

იმის გასაგებად, თუ რატომ არის ეს ასე, ჩვენ უნდა მივყვეთ რიმანის მსჯელობას ცოტა უფრო შორს. იმ მომენტში მეცნიერი ორიენტირებული იყო მარტივი რიცხვების განაწილების თეორემაზე. მისი ზუსტი ფორმულა ვარაუდობდა Სწორი გზაამ მიღწევისთვის: საჭირო იყო ზეტა ფუნქციის ან მისი ეკვივალენტური xi ფუნქციის ნულების გაგება. ამისთვის არ არის საჭირო რიმანის სრული ჰიპოთეზა, საკმარისია იმის დასამტკიცებლად, რომ ზეტას ფუნქციის ყველა არატრივიალური ნულის რეალური ნაწილია დან მდე, ანუ, რომ თავად რთული ფესვები დევს არაუმეტეს მანძილზე, ვიდრე რიმანიანიდან; კრიტიკული ხაზი - ე.წ. კრიტიკულ ზოლში. ნულების ეს თვისება გულისხმობს, რომ ზემოთ მოცემულ ზუსტ ფორმულაში მყოფი ზეტა ფუნქციის ყველა ნულის ჯამი არის სასრული მუდმივი. ასიმპტომურად, დიდი პირებისთვის ის შეიძლება მთლიანად დაიკარგოს. ფორმულის ერთადერთი წევრი, რომელიც ინარჩუნებს თავის მნიშვნელობას ძალიან დიდი მნიშვნელობებისთვის, არის თავად. ყველა სხვა რთული ტერმინი ასიმპტომურად ქრება . მაშასადამე, შეწონილი ჯამი მიდრეკილია ასიმპტომურად და ეს ადასტურებს თეორემას მარტივი რიცხვების განაწილების შესახებ. ასე რომ, ბედის ირონიით, ზეტა ფუნქციის ნულების როლი არის იმის დამტკიცება, რომ ისინი მნიშვნელოვან წვლილს არ ახდენენ ზუსტ ფორმულაში.

რიმანმა არასოდეს მიიყვანა თავისი პროგრამა ლოგიკურ დასასრულამდე. მეტიც, ამ საკითხზე მეტი არასდროს არაფერი დაუწერია.

მაგრამ ორმა მათემატიკოსმა, რომლებმაც ხელკეტი აიღეს მისგან, აჩვენეს, რომ რიმანის ვარაუდი სწორი იყო. 1896 წელს ჟაკ ჰადამარმა და ჩარლზ-ჟან დე ლა ვალე პუსენმა დამოუკიდებლად გამოიტანეს თეორემა მარტივი რიცხვების განაწილების შესახებ, რაც დაადასტურა, რომ ზეტა ფუნქციის ყველა არატრივიალური ნული მდებარეობს კრიტიკულ დიაპაზონში. მათი ორივე მტკიცებულება ძალიან რთული და ტექნიკური აღმოჩნდა, მაგრამ მაინც დაასრულეს თავიანთი დავალება. გაჩნდა მათემატიკის ახალი ძლიერი დარგი – რიცხვების ანალიტიკური თეორია. მან ყველაზე მეტად იპოვა აპლიკაცია სხვადასხვა კუთხეებირიცხვთა თეორია: მისი დახმარებით მოგვარდა დიდი ხნის პრობლემები და გამოვლინდა ახალი შაბლონები. მოგვიანებით სხვა მათემატიკოსებმა აღმოაჩინეს მარტივი რიცხვების თეორემის რამდენიმე მარტივი მტკიცებულება, ხოლო ატლე სელბერგმა და პალ ერდოსმა აღმოაჩინეს ძალიან რთული მტკიცებულება, რაც საერთოდ არ მოითხოვდა კომპლექსური ანალიზის გამოყენებას. მაგრამ იმ დროისთვის უამრავი მნიშვნელოვანი თეორემა იყო დადასტურებული რიმანის იდეების გამოყენებით, მათ შორის რიცხვების თეორიაში მრავალი ფუნქციის მიახლოებით. ასე რომ, ამ ახალმა მტკიცებულებამ, თუმცა ამ ამბავს ირონიის წვეთი დაამატა, არსებითად არაფერზე იმოქმედა. 1980 წელს დონალდ ნიუმანმა იპოვა გაცილებით მარტივი მტკიცებულება, რისთვისაც აღმოჩნდა, რომ საკმარისი იყო რთული ანალიზის მხოლოდ ერთ-ერთი ყველაზე ძირითადი თეორემა – კოშის თეორემა.

მიუხედავად იმისა, რომ რიმანმა განაცხადა, რომ მისი ჰიპოთეზა არასაჭირო იყო უშუალო მიზნების მისაღწევად, იგი სასიცოცხლოდ მნიშვნელოვანი აღმოჩნდა რიცხვების თეორიაში მრავალი სხვა საკითხის გადასაჭრელად. სანამ რიმანის ჰიპოთეზას განვიხილავთ, უნდა გადავხედოთ რამდენიმე თეორემას, რომლებიც - ჰიპოთეზის დამტკიცების შემთხვევაში - მისგან გამომდინარე იქნებოდა.

ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი შედეგია მარტივი რიცხვების განაწილების თეორემაში შეცდომის სიდიდე. თეორემა, როგორც გახსოვთ, ამბობს, რომ დიდია თანაფარდობა მიდგომებთან და რაც უფრო შორს არის, მით უფრო ძლიერია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განსხვავება ორ ფუნქციას შორის მცირდება ნულამდე x-ის მნიშვნელობის მიმართ. თუმცა, რეალური განსხვავება შეიძლება (და იზრდება). ის ამას უფრო ნელა აკეთებს, ვიდრე თავად იზრდება. კომპიუტერული გამოთვლებით ვარაუდობენ, რომ შეცდომის სიდიდე დაახლოებით პროპორციულია . თუ რიმანის ჰიპოთეზა მართალია, ეს განცხადება შეიძლება დადასტურდეს. 1901 წელს ჰელგე ფონ კოხმა დაამტკიცა, რომ რიმანის ჰიპოთეზა ლოგიკურად ექვივალენტურია შეფასებასთან.

რიმანის ჰიპოთეზიდან შეიძლება მივიღოთ მრავალი სხვა შეფასება რიცხვთა თეორიის ფუნქციებისთვის. მაგალითად, მისგან პირდაპირ გამომდინარეობს, რომ გამყოფთა ჯამი ნაკლებია

გარდა ამისა, რიმანის ჰიპოთეზა გვეუბნება, თუ რამდენად დიდი შეიძლება იყოს მანძილი თანმიმდევრულ მარტივ რიცხვებს შორის. მათ შორის უფსკრულის ტიპიური ზომა შეიძლება გამოვიტანოთ მარტივი რიცხვების განაწილების თეორემიდან: საშუალოდ, უფსკრული პირველ რიცხვსა და შემდეგ მარტივ რიცხვს შორის შედარებულია . ზოგიერთი ხარვეზი შეიძლება იყოს უფრო მცირე, ზოგიც უფრო დიდი, მაგრამ მათემატიკოსებს გაუადვილდებათ დრო, თუ მათ შეეძლოთ დარწმუნებით თქვან, რამდენად დიდი შეიძლება იყოს ისინი. ჰარალდ კრამერმა 1936 წელს დაამტკიცა, რომ თუ რიმანის ჰიპოთეზა ჭეშმარიტია, მაშინ უბრალო რიცხვზე უფსკრული არ შეიძლება აღემატებოდეს მნიშვნელობას გამრავლებულ გარკვეულ მუდმივზე.

მაგრამ რიმანის ჰიპოთეზის რეალური მნიშვნელობა გაცილებით ღრმაა. არსებობს შორს მიმავალი განზოგადებები და ძლიერი ეჭვი, რომ ვისაც შეუძლია რიმანის ჰიპოთეზის დამტკიცება, ალბათ შეძლებს დაამტკიცოს დაკავშირებული განზოგადებული რიმანის ჰიპოთეზა. ეს, თავის მხრივ, მისცემს მათემატიკოსებს ძალაუფლებას რიცხვების თეორიის უზარმაზარ სფეროებზე.

განზოგადებული რიმანის ჰიპოთეზა უფრო მეტია დეტალური აღწერამარტივი რიცხვები. ყველა მარტივი რიცხვი 2-ის გარდა არის კენტი და მე-2 თავში დავინახეთ, რომ ყველა კენტი მარტივი რიცხვი შეიძლება დაიყოს ორ ტიპად: ისინი, რომლებიც აღემატება ნამრავლს , და ისინი, რომლებიც მეტია . ამბობენ, რომ ისინი არიან ფორმის რიცხვები ან , სადაც არის რიცხვი, რომელსაც ამრავლებთ მოცემული მარტივი რიცხვის მისაღებად. აქ მოცემულია თითოეული ტიპის პირველი რამდენიმე მარტივი რიცხვის მოკლე სია, შესაბამისი ჯერადებით:

რამდენი მარტივი რიცხვია ორივე ტიპის? როგორ ნაწილდება ისინი ყველა მარტივ რიცხვს შორის ან ყველა რიცხვს შორის? ევკლიდეს მტკიცებულება იმისა, რომ უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია, შეიძლება შეიცვალოს დიდი ძალისხმევის გარეშე იმის დასამტკიცებლად, რომ ფორმის უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია.

გაცილებით რთულია იმის დამტკიცება, რომ ფორმის უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვიც არსებობს - ეს შეიძლება გაკეთდეს, მაგრამ მხოლოდ რამდენიმე საკმაოდ რთული თეორემების დახმარებით. მიდგომებში განსხვავება განპირობებულია იმით, რომ ერთი და იმავე ტიპის ნებისმიერ რიცხვს აქვს ერთი და იმავე ტიპის გამყოფი, მაგრამ ეს ყოველთვის არ შეესაბამება იმავე ტიპის რიცხვებს.

არაფერია სასწაული ან წმინდა ამ ორი ტიპის რიცხვებში. ყველა მარტივ რიცხვს, გარდა და , აქვს ფორმა ან , და შეგვიძლია დავაყენოთ მათთან მიმართებაში მსგავსი კითხვები. ამ საკითხთან დაკავშირებით, ყველა მარტივი რიცხვი, გარდა , არის ფორმის , , , . ჩვენ გვერდზე ვტოვებთ ფორმის რიცხვებს, რადგან ისინი მრავლობითია და, შესაბამისად, ყველა გარდა , არ არის მარტივი.

სხვათა შორის, ნებისმიერზე მსგავსი კითხვებიარ არის რთული გონივრული გამოცნობა - მარტივი რიცხვები არითმეტიკული თანმიმდევრობა. საქმე საკმაოდ ტიპიურია. ექსპერიმენტმა სწრაფად აჩვენა, რომ ზემოთ მოცემულ ოთხ ტიპს აქვს უბრალო ყოფნის დაახლოებით თანაბარი შანსი. აი მსგავსი ცხრილი:

ზოგიერთი ტიპისთვის ძნელი არ არის იმის დამტკიცება, რომ ამ ტიპის უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია. სხვა სახეობებს უფრო დახვეწილი მსჯელობა სჭირდებათ. მაგრამ ადრე მე-19 შუა რიცხვებისაუკუნეების მანძილზე ვერავინ დაამტკიცა, რომ არსებობს უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები ყველა შესაძლო სახის, რომ აღარაფერი ვთქვათ, რომ ისინი მეტ-ნაკლებად თანაბრად არიან განაწილებული. ლაგრანჟმა 1785 წელს, ნაშრომში, რომელიც ეძღვნებოდა კვადრატული რეციპროციულობის კანონს - პირველი მოდულის კვადრატების ღრმა თვისებას - მიიღო ეს ფაქტი მტკიცებულების გარეშე. შედეგებმა აშკარად სასარგებლო შედეგები გამოიღო და დრო იყო ვინმემ ეს დაემტკიცებინა. 1837 წელს დირიხლემ გაარკვია, თუ როგორ გამოეყენებინა ეილერის იდეები უბრალო განაწილების თეორემასთან დაკავშირებით ორივე დებულების დასამტკიცებლად. პირველი ნაბიჯი იყო ზეტა ფუნქციის ანალოგების დადგენა ამ ტიპის მარტივი რიცხვებისთვის. რაც მოხდა, დირიხლეს ფუნქციები ჰქვია. მაგალითად, თუ მოხდება შემდეგი ფუნქცია:

სადაც კოეფიციენტები ტოლია ფორმის რიცხვებისთვის, ფორმის რიცხვებისთვის და 0 დანარჩენისთვის. ბერძნულ ასოს დირიხლეს სიმბოლოს უწოდებენ და ეს გვახსენებს, რომელი სიმბოლოები უნდა გამოვიყენოთ.

რიმანის ზეტა ფუნქციისთვის მნიშვნელოვანია არა მხოლოდ სერია, არამედ მისი ანალიტიკური გაგრძელება, რომელიც იძლევა ფუნქციის მნიშვნელობებს ყველა რთულ წერტილში.

იგივე ეხება -ფუნქციას და დირიხლემ განსაზღვრა შესაფერისი ანალიტიკური გაგრძელება. იმ იდეების ადაპტაციით, რომლებიც გამოიყენებოდა მარტივი რიცხვების განაწილების შესახებ თეორემის დასამტკიცებლად, მან შეძლო დაემტკიცებინა მსგავსი თეორემა სპეციალური ტიპების მარტივი რიცხვების შესახებ. მაგალითად, ფორმის მარტივი რიცხვების რაოდენობა, ნაკლები ან ტოლი, ასიმპტომურად უახლოვდება; იგივე ეხება დანარჩენ სამ შემთხვევას , , . ეს ნიშნავს, რომ თითოეული ტიპის უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია.

რიმანის ზეტა ფუნქცია არის განსაკუთრებული შემთხვევა- დირიხლეს ფუნქციები ფორმის მარტივი რიცხვებისთვის, ანუ ყველა მარტივი რიცხვისთვის. განზოგადებული რიმანის ჰიპოთეზა არის თავდაპირველი ჰიპოთეზის აშკარა განზოგადება: დირიხლეს ნებისმიერი ფუნქციის ნულებს ან აქვთ რეალური ნაწილი ტოლი, ან არის ტრივიალური ნულები, რომელთა რეალური ნაწილი უარყოფითია ან ერთზე მეტი.

თუ განზოგადებული რიმანის ჰიპოთეზა მართალია, მაშინ მისი ჩვეულებრივი ჰიპოთეზა მართალია. განზოგადებული რიმანის ჰიპოთეზის მრავალი შედეგი ჩვეულებრივის მსგავსია. მაგალითად, შეცდომების მსგავსი საზღვრები შეიძლება დადასტურდეს მარტივი რიცხვების განაწილების თეორემის მსგავსი ვერსიებისთვის, როგორც ეს გამოიყენება ნებისმიერი კონკრეტული ტიპის მარტივ რიცხვებზე. თუმცა, განზოგადებული რიმანის ჰიპოთეზა გულისხმობს ბევრ რამეს, რაც სრულიად განსხვავდება ყველაფრისგან, რაც შეგვიძლია დავასკვნათ ჩვეულებრივი რიმანის ჰიპოთეზისგან. ამრიგად, 1917 წელს გოდფრი ჰარდიმ და ჯონ ლიტლვუდმა დაამტკიცეს, რომ განზოგადებული რიმანის ჰიპოთეზა გულისხმობს ჩებიშევის ჰიპოთეზას, იმ გაგებით, რომ ფორმის (სიტყვასიტყვით) მარტივი რიცხვები უფრო ხშირია, ვიდრე ფორმის რიცხვები. დირიხლეს თეორემის თანახმად, ორივე ტიპი საბოლოოდ ერთნაირად სავარაუდოა, მაგრამ ეს ხელს არ უშლის ფორმის უბრალო რიცხვებს, გაიმარჯვოს რიცხვებზე, რა თქმა უნდა, სწორ თამაშში.

არსებობს უამრავი არაპირდაპირი მტკიცებულება იმისა, რომ რიმანის ჰიპოთეზა - ორიგინალური და განზოგადებული - მართალია. ამ ჰიპოთეზების ჭეშმარიტებიდან ბევრი კარგი იქნება. ამ შედეგებიდან არც ერთი არ ყოფილა უარყოფილი, მაგრამ ამის გაკეთება იგივეა, რაც რიმანის ჰიპოთეზის უარყოფა. მაგრამ ჯერ არ არსებობს მტკიცებულება ან უარყოფა. გავრცელებულია მოსაზრება, რომ რიმანის ორიგინალური ჰიპოთეზის დადასტურება გზას გაუხსნის მისი განზოგადებული ვერსიის მტკიცებულებას. მაგრამ სინამდვილეში, ალბათ, უკეთესი იქნებოდა დაუყოვნებლივ შეტევა რიმანის განზოგადებულ ჰიპოთეზაზე მთელი მისი საშინელი დიდებით - გამოიყენე დღეს არსებული მეთოდების მთელი არსენალი, დაამტკიცოს და შემდეგ გამოვიტანოთ რიმანის ორიგინალური ჰიპოთეზა, როგორც მისი განსაკუთრებული შემთხვევა.

დღეს მკვლევარებს აქვთ ახალი სტიმული, რომ შეეჯიბრონ რიმანის ჰიპოთეზის დასამტკიცებლად: დიდი პრიზი.

მათემატიკაში ნობელის პრემია არ არსებობს. ყველაზე პრესტიჟული ჯილდოამ სფეროში არის ფილდსის მედალი გამოჩენილი აღმოჩენებისთვის, რომლითაც დაჯილდოვებულია მედალი. ეს პრიზი კანადელი მათემატიკოსის ჯონ ფილდსის სახელს ატარებს, რომელმაც მას თანხები უანდერძა. ოთხ წელიწადში ერთხელ საერთაშორისო კონგრესიმათემატიკოსებს, ორ, სამ ან ოთხ ახალგაზრდა მეცნიერს 40 წლამდე ენიჭებათ ოქროს მედალი და ფულადი ჯილდო (ამჟამად $15000).

ბევრი წარმომადგენელი მათემატიკური მეცნიერებასწორად მიაჩნიათ, რომ მათ სფეროში ჯილდო არ არის ნობელის პრემია. ამჟამად ოდნავ მილიონზე მეტიდოლარი, და ასეთმა თანხამ შეიძლება ადვილად დაამახინჯოს მკვლევარების მიზნები და გამოიწვიოს პრიორიტეტების შესახებ დავა. თუმცა, მათემატიკის მთავარი პრიზის არარსებობამ შეიძლება ასევე დაამახინჯოს საზოგადოების წარმოდგენა მეცნიერების მნიშვნელობისა და სარგებლობის შესახებ. შეიძლება ფიქრობთ, რომ აღმოჩენები, რომლებშიც არავის სურს გადახდა, არც ისე მნიშვნელოვანია. ალბათ ამიტომაც გაჩნდა ორი ძალიან პრესტიჟული ახალი მათემატიკის პრიზი არც ისე დიდი ხნის წინ. ერთ-ერთი მათგანი, აბელის პრემია, ყოველწლიურად ენიჭება ნორვეგიის მეცნიერებათა და წერილების აკადემიას და ატარებს დიდი ნორვეგიელი მათემატიკოსის ნილს ჰენრიკ აბელის სახელს. მეორე ჯილდო თიხის მათემატიკის ინსტიტუტის მიერ გამოცხადებული შვიდი „ათასწლეულის ამოცანის“ ამოხსნის პრიზებია. ეს ინსტიტუტი დაარსდა 1998 წელს კემბრიჯში (მასაჩუსეტსი) ამერიკელმა ბიზნესმენმა ლენდონ კლეიმ და მისმა მეუღლემ ლავინიამ. ლენდონ კლეი აქტიურია ურთიერთდახმარების ფონდებში და ასევე უყვარს და პატივს სცემს მათემატიკას. მისი ორგანიზაცია მართავს შეხვედრებს, ანიჭებს კვლევით გრანტებს, აწყობს საჯარო ლექციებს და ანიჭებს ყოველწლიურ პრიზს მათემატიკური კვლევისთვის.

2000 წელს სერ მაიკლ ატიამ და ჯონ ტეიტმა, წამყვანმა მათემატიკოსებმა დიდ ბრიტანეთში და აშშ-ში, განაცხადეს, რომ მათემატიკური ინსტიტუტიკლეიმ დააწესა ახალი პრიზი, რომელიც წაახალისებს მათემატიკაში შვიდ ყველაზე მნიშვნელოვან გადაუჭრელ პრობლემაზე მუშაობას. ეს პრობლემები ცნობილი იქნება როგორც „ათასწლეულის პრობლემები“ და რომელიმე მათგანის სათანადოდ გამოქვეყნებული და მიმოხილული გადაწყვეტა დაჯილდოვდება ფულადი თანხით 1 მილიონი აშშ დოლარით მათემატიკის ცენტრალური უპასუხო კითხვები. ეს კითხვები საგულდაგულოდ არის შერჩეული მსოფლიოს საუკეთესო მათემატიკოსების მიერ. დიდი პრიზი არის იმის გარკვევა საზოგადოებისთვის, რომ მათემატიკას უზარმაზარი ღირებულება აქვს. ყველამ, ვინც მეცნიერებაშია ჩართული, კარგად იცის, რომ ინტელექტუალური ღირებულება შეიძლება ნებისმიერ ფულზე მაღალი იყოს, მაგრამ ფული მაინც კონცენტრაციას უწყობს ხელს. ათასწლეულის ყველაზე ცნობილი და გრძელვადიანი პრობლემა არის რიმანის ჰიპოთეზა. ეს არის ერთადერთი კითხვა, რომელიც შეტანილია როგორც ჰილბერტის სიაში (1900), ასევე ათასწლეულის პრობლემების სიაში. დარჩენილი ექვსი ათასწლეულის საკითხები განხილულია მე-10-15 თავებში. მიუხედავად ამისა, მათემატიკოსებს არ აინტერესებთ პრიზები და რიმანის ჰიპოთეზაზე მუშაობა დაპირებული პრიზის გარეშეც გაგრძელდებოდა. საკმარისია ახალი, პერსპექტიული იდეა.

ისიც უნდა გვახსოვდეს, რომ ჰიპოთეზები, თუნდაც დროში დამსახურებული, ზოგჯერ მცდარი აღმოჩნდება. დღეს მათემატიკოსთა უმეტესობას სჯერა, რომ რიმანის ჰიპოთეზა ერთ დღეს დამტკიცდება. თუმცა, ზოგი ფიქრობს, რომ ეს შეიძლება სიცრუე იყოს, და სადღაც ველურ ბუნებაში ეს ძალიან დიდი რაოდენობითშეიძლება იყოს ზეტა ფუნქციის დამალული ნული, რომელიც არ დევს კრიტიკულ ხაზზე. თუ ასეთი "კონტრამაგალითი" არსებობს, ის დიდი ალბათობით ძალიან, ძალიან დიდი აღმოჩნდება.

თუმცა, მათემატიკის წინა პლანზე, უბრალო აზრს მცირე მნიშვნელობა აქვს. ინტუიცია ხშირად დიდ დახმარებას უწევს მეცნიერებს, მაგრამ არის შემთხვევები, როდესაც ეს მშვენიერი გრძნობა არასწორი იყო. Ყოველ დღე საღი აზრიშეუძლია მოიტყუოს და დარჩეს ზოგადად მიღებული და საღი აზრი. ლიტლვუდი, კომპლექსური ანალიზის ერთ-ერთი წამყვანი ავტორიტეტი, საკმაოდ მკაფიო იყო: 1962 წელს მან თქვა, რომ დარწმუნებული იყო, რომ რიმანის ჰიპოთეზა მცდარი იყო და დასძინა, რომ არ არსებობდა წარმოდგენა მიზეზი იმისა, თუ რატომ იქნებოდა ეს სიმართლე. ვინ არის მართალი? Მოიცადე და ნახავ.

იან სტიუარტი
ინგლისის უორვიკის უნივერსიტეტის მათემატიკის დამსახურებული პროფესორი

გამარჯობა, ხალხნო!

დღეს მსურს შევეხო ისეთ თემას, როგორიცაა „ათასწლეულის გამოწვევები“, რომლებიც ათწლეულების განმავლობაში და რამდენიმე ასეული წლის განმავლობაში მაწუხებდა. საუკეთესო გონებაჩვენი პლანეტის.

გრიგორი პერელმანის მიერ პუანკარეს ვარაუდის (ახლანდელი თეორემა) დადასტურების შემდეგ, მთავარი კითხვა, რომელიც ბევრს აინტერესებდა, იყო: რა დაამტკიცა მან რეალურად, გთხოვთ ამიხსნათ?„გამოვიყენებ ამ შესაძლებლობას და შევეცდები ათასწლეულის დანარჩენი ამოცანები ხალხური სიტყვებით ავხსნა, ან სულაც მივუდგე მას სხვა მხრიდან, რომელიც უფრო ახლოსაა რეალობასთან.

P და NP კლასების ტოლობა

ასევე არსებობს NP-დავალებები ( ნდეტერმინისტული პოლინომიური დრო), რომლის ნაპოვნი ამოხსნა შეიძლება სწრაფად შემოწმდეს კონკრეტული ალგორითმის გამოყენებით. მაგალითად, კომპიუტერის უხეში ძალის შემოწმება. გამოსავალს თუ დავუბრუნდებით კვადრატული განტოლება, მაშინ დავინახავთ, რომ ამ მაგალითში არსებული ამოხსნის ალგორითმი მოწმდება ისევე მარტივად და სწრაფად, როგორც ამოხსნილია. ეს გვთავაზობს ლოგიკურ დასკვნას, რომ ეს ამოცანა ეკუთვნის როგორც ერთ კლასს, ასევე მეორეს.

ასეთი პრობლემები ბევრია, მაგრამ მთავარი კითხვა ის არის, ყველა პრობლემა, რომლის ადვილად და სწრაფად შემოწმებაც შესაძლებელია, ასევე მარტივად და სწრაფად გადაიჭრება თუ არა? ამჟამად, ზოგიერთი პრობლემისთვის არ არის ნაპოვნი სწრაფი გადაწყვეტის ალგორითმი და უცნობია არსებობს თუ არა ასეთი გამოსავალი.

ინტერნეტში მეც წავაწყდი ამ საინტერესო და გამჭვირვალე ფორმულირებას:

ვთქვათ, რომ თქვენ ხართ დიდი კომპანია, გინდა დარწმუნდე, რომ შენი მეგობარიც იქ არის. თუ გეტყვიან, რომ ის კუთხეში ზის, წამის მეასედაც საკმარისი იქნება, რომ თვალი გადაავლოთ და დარწმუნდეთ ინფორმაციის სიმართლეში. ამ ინფორმაციის გარეშე, თქვენ იძულებული გახდებით მთელი ოთახი შემოიაროთ და სტუმრებს შეხედოთ.

Ეს პრობლემაᲛას აქვს დიდი მნიშვნელობაყველაზე მეტად სხვადასხვა სფეროებშიცოდნას, მაგრამ 40 წელზე მეტია ვერ ხსნიან.

ჰოჯის ვარაუდი

ჰოჯის ჰიპოთეზა ამ შემთხვევაში დაკავშირებულია როგორც „აგურის“ ასევე საგნების გარკვეულ თვისებებთან.

რიმანის ჰიპოთეზა

მრავალი განცხადება ზოგიერთი მთელი რიცხვის ალგორითმის გამოთვლითი სირთულის შესახებ დადასტურდა იმ ვარაუდით, რომ ეს ჰიპოთეზა მართალია.

იანგ-მილსის თეორია

აშენებულია Yang-Mills თეორიის საფუძველზე სტანდარტული მოდელინაწილაკების ფიზიკა, რომლის ფარგლებშიც იწინასწარმეტყველეს და არც ისე დიდი ხნის წინ აღმოაჩინეს სენსაციური ჰიგსის ბოზონი.

ნავიე-სტოქსის განტოლებების ამონახსნების არსებობა და სიგლუვე

ბიჩ-სვინერტონ-დაიერის ვარაუდი

ამ ჰიპოთეზას უკავშირდება მე-3 ხარისხის ალგებრული განტოლებების აღწერა - ე.წ ელიფსური მოსახვევებიდა სინამდვილეში ერთადერთი შედარებით მარტივია ზოგადადერთ-ერთის წოდების გამოთვლა ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებებიელიფსური მოსახვევები.

მტკიცებულებაში ფერმას თეორემებიელიფსურმა მოსახვევებმა ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ადგილი დაიკავა. და კრიპტოგრაფიაში ისინი ქმნიან თავიანთი სახელის მთელ მონაკვეთს და ზოგიერთს რუსული სტანდარტებიციფრული ხელმოწერა.

პუანკარეს ვარაუდი

Განსაკუთრებული შემთხვევაპუანკარეს ჰიპოთეზა გვეუბნება, რომ ნებისმიერი სამგანზომილებიანი მრავალმხრივი კიდის გარეშე (მაგალითად, სამყარო) სამგანზომილებიან სფეროს ჰგავს. და ზოგადი შემთხვევა თარგმნის ამ განცხადებას ნებისმიერი განზომილების ობიექტებად. აღსანიშნავია, რომ ბაგელი, ისევე როგორც სამყარო, როგორც სფერო, ჰგავს ჩვეულებრივ ყავის ფინჯანს.

დასკვნა

მაგრამ სინამდვილეში ეს ასე არ არის - მათემატიკა შეიქმნა, როგორც მექანიზმი, რომლითაც შეგვიძლია აღვწეროთ ჩვენი სამყარო და განსაკუთრებით ბევრი დაკვირვებადი რამ. ის ყველგანაა, ყველა სახლში. როგორც V.O კლიუჩევსკი: "ყვავილების ბრალი არ არის, რომ ბრმა მათ ვერ ხედავს."

ჩვენი სამყარო შორს არის ისეთი მარტივისაგან, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს, და მათემატიკა, ამის შესაბამისად, ასევე უფრო რთული და იხვეწება, რაც უფრო მყარ ნიადაგს იძლევა არსებული რეალობის უფრო ღრმა გაგებისთვის.