რას ნიშნავს ოძ? როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის დომენი? გადაწყვეტილებების მაგალითები

მათემატიკაში უსასრულო ნაკრებიფუნქციები. და თითოეულს აქვს თავისი ხასიათი.) მრავალფეროვან ფუნქციებთან მუშაობისთვის გჭირდებათ მარტოხელამიდგომა. თორემ ეს რა მათემატიკაა?!) და არის ასეთი მიდგომა!

ნებისმიერ ფუნქციასთან მუშაობისას მას წარმოვადგენთ კითხვების სტანდარტული ნაკრებით. და პირველი, ყველაზე მნიშვნელოვანი კითხვა- ეს ფუნქციის განსაზღვრის დომენი.ამ ტერიტორიას ზოგჯერ კომპლექტს უწოდებენ მისაღები ღირებულებებიარგუმენტი, ფუნქციის სპეციფიკაციის არე და ა.შ.

რა არის ფუნქციის დომენი? როგორ მოვძებნოთ? ეს კითხვები ხშირად რთული და გაუგებარი ჩანს... თუმცა, სინამდვილეში, ყველაფერი უკიდურესად მარტივია. ამ გვერდის წაკითხვით შეგიძლიათ თავად ნახოთ. წავიდეთ?)

აბა, რა ვთქვა... მხოლოდ პატივისცემა.) დიახ! ფუნქციის ბუნებრივი დომენი (რომელიც აქ განიხილება) მატჩებიფუნქციაში ჩართული გამონათქვამების ODZ-ით. შესაბამისად, მათ ჩხრეკავენ იგივე წესებით.

ახლა მოდით გადავხედოთ განმარტების არც თუ ისე ბუნებრივ დომენს.)

დამატებითი შეზღუდვები ფუნქციის მოცულობის შესახებ.

აქ ვისაუბრებთ იმ შეზღუდვებზე, რომლებსაც აწესებს დავალება. იმათ. დავალება შეიცავს დამატებით პირობას, რომელიც შემდგენელმა მოიფიქრა. ან შეზღუდვები ჩნდება ფუნქციის განსაზღვრის თავად მეთოდიდან.

რაც შეეხება დავალების შეზღუდვებს, ყველაფერი მარტივია. ჩვეულებრივ, არაფრის ძებნა არ არის საჭირო, ყველაფერი უკვე ნათქვამია ამოცანაში. შეგახსენებთ, რომ ამოცანის ავტორის მიერ დაწერილი შეზღუდვები არ უქმდება მათემატიკის ფუნდამენტური შეზღუდვები.თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ გაითვალისწინოთ დავალების პირობები.

მაგალითად, ეს ამოცანა:

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი:

დადებითი რიცხვების სიმრავლეზე.

ჩვენ ვიპოვეთ ამ ფუნქციის განმარტების ბუნებრივი დომენი ზემოთ. Ეს არე:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

IN სიტყვიერი გზაფუნქციის მითითებისას საჭიროა ყურადღებით წაიკითხოთ მდგომარეობა და იქ იპოვოთ შეზღუდვები X-ზე. ხანდახან თვალები ეძებს ფორმულებს, მაგრამ სიტყვები ცნობიერებას სტვენს, დიახ...) მაგალითი წინა გაკვეთილიდან:

ფუნქცია მითითებულია პირობით: x ბუნებრივი არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობა ასოცირდება იმ ციფრების ჯამთან, რომლებიც ქმნიან x-ის მნიშვნელობას.

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ საუბარია მხოლოდ X-ის ბუნებრივი მნიშვნელობების შესახებ. მერე D(f)მყისიერად ჩაიწერა:

D(f): x ∈ ნ

როგორც ხედავთ, ფუნქციის ფარგლები ასე არ არის რთული კონცეფცია. ამ რეგიონის პოვნა მოდის ფუნქციის შესწავლაზე, უტოლობათა სისტემის დაწერაზე და ამ სისტემის ამოხსნაზე. რა თქმა უნდა, არსებობს ყველა სახის სისტემა, მარტივი და რთული. მაგრამ...

გავხსნი პატარა საიდუმლო. ზოგჯერ ფუნქცია, რომლისთვისაც თქვენ გჭირდებათ განსაზღვრების დომენის პოვნა, უბრალოდ დამაშინებლად გამოიყურება. მინდა გავფერულდე და ვიტირო.) მაგრამ როგორც კი ჩავწერ უტოლობათა სისტემას... და, უცებ, სისტემა ელემენტარული აღმოჩნდება! უფრო მეტიც, ხშირად, რაც უფრო საშინელია ფუნქცია, მით უფრო მარტივია სისტემა...

მორალი: თვალებს ეშინიათ, თავი გადაწყვეტს!)

Როგორ ?
გადაწყვეტილებების მაგალითები

თუ სადმე რაღაც აკლია, ეს ნიშნავს, რომ სადღაც არის რაღაც

ჩვენ ვაგრძელებთ განყოფილების "ფუნქციები და გრაფიკების" შესწავლას და ჩვენი მოგზაურობის შემდეგი სადგურია. აქტიური დისკუსია ეს კონცეფციადაიწყო სტატიაში კომპლექტების შესახებ და გაგრძელდა პირველ გაკვეთილზე ფუნქციების გრაფიკები, სადაც მე გადავხედე ელემენტარულ ფუნქციებს და, კერძოდ, მათ განმარტების სფეროებს. ამიტომ, მე გირჩევთ, რომ დუმები თემის საფუძვლებით დაიწყონ, რადგან რამდენიმე ძირითად პუნქტზე აღარ შევჩერდები.

ვარაუდობენ, რომ მკითხველმა იცის განმარტების სფერო შემდეგი ფუნქციები: წრფივი, კვადრატული, კუბური ფუნქცია, მრავალწევრები, ექსპონენციალური, სინუსი, კოსინუსი. ისინი განსაზღვრულია (ყველა რეალური რიცხვის ნაკრები). ტანგენტებისთვის, რკალებისთვის, ასე რომ იყოს, გაპატიებთ =) - იშვიათი გრაფიკები მაშინვე არ ახსოვს.

როგორც ჩანს, განმარტების ფარგლები მარტივია და ლოგიკური კითხვა ჩნდება: რაზე იქნება სტატია? ჩართულია ეს გაკვეთილიგანვიხილავ ფუნქციის განსაზღვრის დომენის პოვნის საერთო პრობლემებს. უფრო მეტიც, ჩვენ გავიმეორებთ უტოლობა ერთი ცვლადით, რომლის გადაწყვეტის უნარები საჭირო იქნება სხვა ამოცანებში უმაღლესი მათემატიკა. მასალა, სხვათა შორის, მთლიანად სასკოლო მასალაა, ამიტომ გამოადგება არა მარტო მოსწავლეებს, არამედ სტუდენტებსაც. ინფორმაცია, რა თქმა უნდა, არ არის ენციკლოპედიური პრეტენზია, მაგრამ აქ არის არა შორსწასული „მკვდარი“ მაგალითები, არამედ შემწვარი წაბლი, რომელიც აღებულია რეალური პრაქტიკული სამუშაოებიდან.

დავიწყოთ თემის სწრაფი ჩასვლით. მოკლედ მთავარის შესახებ: საუბარია ერთი ცვლადის ფუნქციაზე. მისი განმარტების სფეროა "x"-ის მრავალი მნიშვნელობა, რისთვისაც არსებობს"მოთამაშეების" მნიშვნელობა. განვიხილოთ პირობითი მაგალითი:

ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის ინტერვალების გაერთიანება:
(მათთვის, ვისაც დაავიწყდა: - გაერთიანების ხატი). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ აიღებთ "x"-ის ნებისმიერ მნიშვნელობას ინტერვალიდან, ან დან, ან დან, მაშინ თითოეული ასეთი "x" იქნება მნიშვნელობა "y".

უხეშად რომ ვთქვათ, სადაც არის განმარტების დომენი, არის ფუნქციის გრაფიკი. მაგრამ ნახევარი ინტერვალი და „ცე“ წერტილი არ შედის განსაზღვრების არეალში და იქ არ არის გრაფიკი.

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის დომენი? ბევრს ახსოვს ბავშვთა რითმა: "კლდე, ქაღალდი, მაკრატელი" და ამ შემთხვევაში მისი უსაფრთხოდ პერიფრაზირება შესაძლებელია: "ძირი, წილადი და ლოგარითმი". ამრიგად, თუ თქვენ ცხოვრების გზახვდება წილადს, ფესვს ან ლოგარითმს, მაშინვე უნდა იყოთ ძალიან, ძალიან ფრთხილად! ტანგენსი, კოტანგენსი, არქსინი, არკოზინი გაცილებით ნაკლებად გავრცელებულია და მათზეც ვისაუბრებთ. მაგრამ პირველი, ესკიზები ჭიანჭველების ცხოვრებიდან:

ფუნქციის დომენი, რომელიც შეიცავს წილადს

დავუშვათ, რომ გვეძლევა ფუნქცია, რომელიც შეიცავს წილადს. მოგეხსენებათ, ნულზე ვერ გაყოფთ: "X" მნიშვნელობები, რომლებიც აქცევს მნიშვნელს ნულზე, არ შედის ამ ფუნქციის ფარგლებში.

ყველაზე მეტად არ შევჩერდები მარტივი ფუნქციებიმოსწონს და ა.შ., რადგან ყველა მშვენივრად ხედავს პუნქტებს, რომლებიც არ შედის მათი განმარტების დომენში. მოდით შევხედოთ უფრო მნიშვნელოვან წილადებს:

მაგალითი 1

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: მრიცხველში განსაკუთრებული არაფერია, მაგრამ მნიშვნელი არ უნდა იყოს ნულოვანი. დავაყენოთ ის ნულის ტოლი და ვცადოთ „ცუდი“ წერტილების პოვნა:

მიღებულ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: . მონაცემთა მნიშვნელობები არ შედის ფუნქციის ფარგლებში. მართლაც, ჩაანაცვლეთ ან ჩაანაცვლეთ ფუნქციაში და ნახავთ, რომ მნიშვნელი მიდის ნულზე.

უპასუხე: დომენი:

ჩანაწერი ასე იკითხება: „განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვი, გარდა სიმრავლისა, რომელიც შედგება მნიშვნელობებისგან. " შეგახსენებთ, რომ მათემატიკაში უკანა ხაზის სიმბოლო აღნიშნავს ლოგიკურ გამოკლებას, ხოლო ხვეული ფრჩხილები - სიმრავლეს. პასუხი შეიძლება დაიწეროს ექვივალენტურად როგორც სამის გაერთიანებაინტერვალები:

ვისაც მოეწონება.

წერტილებზე ფუნქცია მოითმენს გაუთავებელი შესვენებებიდა სწორი ხაზები, მოცემული განტოლებებით არიან ვერტიკალური ასიმპტოტებიამ ფუნქციის გრაფიკისთვის. თუმცა, ეს ოდნავ განსხვავებული თემაა და შემდგომ ამაზე დიდ ყურადღებას არ გავამახვილებ.

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ამოცანა არსებითად ზეპირია და ბევრი თქვენგანი თითქმის მაშინვე იპოვის განმარტების არეალს. პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

წილადი ყოველთვის "ცუდი" იქნება? არა. მაგალითად, ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვით ხაზზე. რაც არ უნდა ავიღოთ „x“-ის მნიშვნელობა, მნიშვნელი არ წავა ნულზე, უფრო მეტიც, ის ყოველთვის დადებითი იქნება: . ამრიგად, ამ ფუნქციის ფარგლებია: .

ყველა ფუნქცია მოსწონს განსაზღვრული და უწყვეტიზე .

სიტუაცია ცოტა უფრო რთულია, როდესაც მნიშვნელი დაკავებულია კვადრატული ტრინომიალი:

მაგალითი 3

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: ვცადოთ ვიპოვოთ წერტილები, რომლებზეც მნიშვნელი ნულამდე მიდის. ამისათვის ჩვენ გადავწყვეტთ კვადრატული განტოლება:

დისკრიმინანტი უარყოფითი აღმოჩნდა, რაც ნიშნავს ნამდვილი ფესვებიარა და ჩვენი ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვით ხაზზე.

უპასუხე: დომენი:

მაგალითი 4

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება. გამოსავალი და პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს. გირჩევთ არ დაიზაროთ მარტივი პრობლემებით, რადგან გაუგებრობები დაგროვდება შემდგომი მაგალითებით.

ფუნქციის დომენი ფესვით

ფუნქციასთან ერთად კვადრატული ფესვიგანსაზღვრულია მხოლოდ "x"-ის იმ მნიშვნელობებისთვის, როდესაც რადიკალური გამოხატულება არანეგატიურია: . თუ ფესვი მდებარეობს მნიშვნელში, მაშინ პირობა აშკარად გამკაცრებულია: . მსგავსი გამოთვლები მოქმედებს დადებითი ლუწი ხარისხის ნებისმიერი ფესვისთვის: თუმცა ფესვი უკვე მე-4 ხარისხისაა ფუნქციის შესწავლაარ მახსოვს.

მაგალითი 5

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს არაუარყოფითი:

სანამ გადაწყვეტას გავაგრძელებთ, შეგახსენებთ სკოლიდან ცნობილი უთანასწორობებთან მუშაობის ძირითად წესებს.

მივმართავ Განსაკუთრებული ყურადღება! ახლა ჩვენ განვიხილავთ უთანასწორობას ერთი ცვლადით- ანუ ჩვენთვის არის მხოლოდ ერთი განზომილება ღერძის გასწვრივ. გთხოვთ, არ აურიოთ ორი ცვლადის უტოლობა, სადაც გეომეტრიულად ყველა საკოორდინაციო თვითმფრინავი. თუმცა არის სასიამოვნო დამთხვევებიც! ასე რომ, უტოლობისთვის შემდეგი გარდაქმნები ექვივალენტურია:

1) პირობები შეიძლება გადავიდეს ნაწილიდან ნაწილზე მათი (პირობების) შეცვლით. ნიშნები.

2) უტოლობის ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს დადებით რიცხვზე.

3) თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია უარყოფითინომერი, მაშინ უნდა შეცვალოთ თავად უთანასწორობის ნიშანი. მაგალითად, თუ იყო "მეტი", მაშინ ის გახდება "ნაკლები"; თუ ის იყო "ნაკლები ან ტოლი", მაშინ გახდება "დიდი ან ტოლი".

უტოლობაში „სამს“ გადავიტანთ მარჯვენა მხარენიშნის შეცვლით (წესი No1):

გავამრავლოთ უტოლობის ორივე მხარე –1-ზე (წესი No3):

გავამრავლოთ უტოლობის ორივე მხარე (წესი No2):

უპასუხე: დომენი:

პასუხი ასევე შეიძლება დაიწეროს ეკვივალენტური ფრაზით: "ფუნქცია განისაზღვრება ზე."
გეომეტრიულად, განსაზღვრის არე გამოსახულია აბსცისის ღერძზე შესაბამისი ინტერვალების დაჩრდილვით. Ამ შემთხვევაში:

კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ გეომეტრიული მნიშვნელობაგანსაზღვრების დომენი – ფუნქციის გრაფიკი არსებობს მხოლოდ დაჩრდილულ ადგილას და არ არის .

უმეტეს შემთხვევაში, განმარტების დომენის წმინდა ანალიტიკური განსაზღვრა შესაფერისია, მაგრამ როდესაც ფუნქცია ძალიან რთულია, თქვენ უნდა დახაზოთ ღერძი და გააკეთოთ შენიშვნები.

მაგალითი 6

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

როდესაც კვადრატული ფესვის ქვეშ არის კვადრატული ბინომი ან ტრინომი, სიტუაცია ცოტათი რთულდება და ახლა ჩვენ დეტალურად გავაანალიზებთ ამოხსნის ტექნიკას:

მაგალითი 7

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: რადიკალური გამოთქმა უნდა იყოს მკაცრად პოზიტიური, ანუ უნდა გადავჭრათ უთანასწორობა. პირველ საფეხურზე ვცდილობთ კვადრატული ტრინომის ფაქტორირებას:

დისკრიმინანტი დადებითია, ჩვენ ვეძებთ ფესვებს:

ასე რომ პარაბოლა კვეთს აბსცისის ღერძს ორ წერტილში, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლის ნაწილი მდებარეობს ღერძის ქვემოთ (უთანასწორობა), ხოლო პარაბოლის ნაწილი მდებარეობს ღერძის ზემოთ (უტოლობა ჩვენ გვჭირდება).

ვინაიდან კოეფიციენტი არის , პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ უტოლობა დაკმაყოფილებულია ინტერვალებზე (პარაბოლის ტოტები ზევით მიდიან უსასრულობამდე), ხოლო პარაბოლის წვერო განლაგებულია x ღერძის ქვემოთ არსებულ ინტერვალზე, რომელიც შეესაბამება უტოლობას:

! Შენიშვნა: თუ ბოლომდე არ გესმით განმარტებები, გთხოვთ დახაზოთ მეორე ღერძი და მთელი პარაბოლა! მიზანშეწონილია დაუბრუნდეთ სტატიას და სახელმძღვანელოს ცხელი ფორმულები სასკოლო მათემატიკის კურსისთვის.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ქულები თავად ამოღებულია (არ შედის გამოსავალში), რადგან ჩვენი უთანასწორობა მკაცრია.

უპასუხე: დომენი:

ზოგადად, ბევრი უტოლობა (მათ შორის, განხილული) ხსნის უნივერსალურს ინტერვალის მეთოდი, ცნობილი ისევ სკოლის სასწავლო გეგმა. მაგრამ კვადრატული ბინომებისა და ტრინომების შემთხვევაში, ჩემი აზრით, ბევრად უფრო მოსახერხებელი და სწრაფია პარაბოლის მდებარეობის ანალიზი ღერძთან შედარებით. ხოლო მთავარ მეთოდს - ინტერვალის მეთოდს - დეტალურად გავაანალიზებთ სტატიაში. ფუნქცია ნულები. მუდმივი ინტერვალები.

მაგალითი 8

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ნიმუში დეტალურად კომენტარს აკეთებს მსჯელობის ლოგიკაზე + ამოხსნის მეორე მეთოდზე და უთანასწორობის კიდევ ერთ მნიშვნელოვან ტრანსფორმაციაზე, რომლის ცოდნის გარეშე მოსწავლე ცალ ფეხზე კოჭლობს..., ...ჰმ... ალბათ აღელვებული ვარ ფეხის შესახებ, უფრო სავარაუდოა, რომ ერთ თითზე. Ცერა თითი.

შეიძლება თუ არა კვადრატული ფესვის ფუნქციის განსაზღვრა მთელ რიცხვით წრფეზე? Რა თქმა უნდა. ყველა ნაცნობი სახე: . ან მსგავსი ჯამი მაჩვენებლით: . მართლაც, "x" და "ka" ნებისმიერი მნიშვნელობებისთვის: , შესაბამისად ასევე და .

აქ არის ნაკლებად აშკარა მაგალითი: . აქ დისკრიმინანტი უარყოფითია (პარაბოლა არ კვეთს x-ღერძს), პარაბოლის ტოტები კი მიმართულია ზემოთ, აქედან გამომდინარე განსაზღვრების დომენი: .

საპირისპირო კითხვა: შეიძლება იყოს თუ არა ფუნქციის განსაზღვრის დომენი ცარიელი? დიახ, და პრიმიტიული მაგალითი მაშინვე თავს იჩენს , სადაც რადიკალური გამოხატულება უარყოფითია "x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ხოლო განმარტების დომენი: (ცარიელი ნაკრების ხატულა). ასეთი ფუნქცია საერთოდ არ არის განსაზღვრული (რა თქმა უნდა, გრაფიკიც მოჩვენებითია).

თან უცნაური ფესვები და ა.შ. ყველაფერი ბევრად უკეთესია - აქ რადიკალური გამოხატულება შეიძლება იყოს უარყოფითი. მაგალითად, ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ხაზზე. თუმცა, ფუნქციას აქვს ერთი წერტილი, რომელიც ჯერ კიდევ არ შედის განმარტების დომენში, რადგან მნიშვნელი დაყენებულია ნულზე. ფუნქციის იგივე მიზეზით ქულები გამორიცხულია.

ფუნქციის დომენი ლოგარითმით

მესამე საერთო ფუნქცია არის ლოგარითმი. ნიმუშად დავხატავ ბუნებრივი ლოგარითმი, რომელიც გვხვდება დაახლოებით 99 მაგალითში 100-დან. თუ გარკვეული ფუნქცია შეიცავს ლოგარითმს, მაშინ მისი განმარტების დომენი უნდა შეიცავდეს მხოლოდ იმ მნიშვნელობებს "x", რომლებიც აკმაყოფილებენ უტოლობას. თუ ლოგარითმი არის მნიშვნელში: , მაშინ დამატებითდაწესებულია პირობა (მას შემდეგ).

მაგალითი 9

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: ზემოაღნიშნულის შესაბამისად, ჩვენ შევადგენთ და მოვაგვარებთ სისტემას:

გრაფიკული გადაწყვეტადუმებისთვის:

უპასუხე: დომენი:

კიდევ ერთ ტექნიკურ საკითხზე შევჩერდები - არ მაქვს მითითებული მასშტაბი და ღერძის გასწვრივ განყოფილებები არ არის მონიშნული. ჩნდება კითხვა: როგორ გავაკეთოთ ასეთი ნახატები ნოუთბუქში ჩექმიანი ქაღალდი? წერტილებს შორის მანძილი უჯრედებით უნდა გაიზომოს მკაცრად მასშტაბის მიხედვით? ეს უფრო კანონიკური და მკაცრია, რა თქმა უნდა, მასშტაბური, მაგრამ სქემატური ნახაზი, რომელიც ფუნდამენტურად ასახავს სიტუაციას, ასევე საკმაოდ მისაღებია.

მაგალითი 10

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

პრობლემის გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ წინა აბზაცის მეთოდი - გააანალიზეთ, თუ როგორ მდებარეობს პარაბოლა x-ღერძთან შედარებით. პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

როგორც ხედავთ, ლოგარითმების სფეროში ყველაფერი ძალიან ჰგავს სიტუაციას კვადრატული ფესვებით: ფუნქცია (მე-7 მაგალითიდან კვადრატული ტრინომი) განსაზღვრულია ინტერვალებზე და ფუნქცია (კვადრატული ბინომი მაგალითზე No6) ინტერვალზე . უხერხულია იმის თქმაც, რომ ტიპის ფუნქციები განსაზღვრულია მთელ რიცხვთა ხაზზე.

სასარგებლო ინფორმაცია : ტიპიური ფუნქცია საინტერესოა, ის განსაზღვრულია მთელ რიცხვით წრფეზე, წერტილის გარდა. ლოგარითმის თვისების მიხედვით, „ორი“ შეიძლება გამრავლდეს ლოგარითმის გარეთ, მაგრამ იმისათვის, რომ ფუნქცია არ შეიცვალოს, „x“ უნდა იყოს ჩასმული მოდულის ნიშნის ქვეშ: . აი კიდევ ერთი შენთვის" პრაქტიკული გამოყენება» მოდული =). ეს არის ის, რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ უმეტეს შემთხვევაში, როდესაც ანადგურებთ თუნდაცხარისხი, მაგალითად: . თუ მაგ ხარისხის ფუძე აშკარად დადებითია, მაშინ არ არის საჭირო მოდულის ნიშანი და საკმარისია გამოვიყენოთ ფრჩხილები: .

განმეორების თავიდან ასაცილებლად, მოდით გავართულოთ დავალება:

მაგალითი 11

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: ამ ფუნქციაში გვაქვს ფესვიც და ლოგარითმიც.

რადიკალური გამოხატულება უნდა იყოს არაუარყოფითი: , ხოლო ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ გამოხატული უნდა იყოს მკაცრად დადებითი: . ამრიგად, აუცილებელია სისტემის გადაჭრა:

ბევრმა თქვენგანმა კარგად იცის ან ინტუიციურად გამოიცნობს, რომ სისტემის გადაწყვეტა უნდა აკმაყოფილებდეს თითოეულმდგომარეობა.

პარაბოლის მდებარეობის ღერძის მიმართ შესწავლისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ უტოლობა კმაყოფილდება ინტერვალით (ლურჯი დაჩრდილვა):

უტოლობა აშკარად შეესაბამება "წითელ" ნახევარ ინტერვალს.

ვინაიდან ორივე პირობა უნდა შესრულდეს ერთდროულად, მაშინ სისტემის გამოსავალი არის ამ ინტერვალების კვეთა. " საერთო ინტერესები» ხვდებიან ნახევარ ინტერვალზე.

უპასუხე: დომენი:

ტიპიური უთანასწორობა, როგორც ნაჩვენებია მე-8 მაგალითში, არ არის რთული ამოსახსნელი ანალიტიკური.

ნაპოვნი დომენი არ შეიცვლება „მსგავსი ფუნქციებისთვის“, მაგ. ან . თქვენ ასევე შეგიძლიათ დაამატოთ რამდენიმე უწყვეტი ფუნქცია, მაგალითად: , ან ასე: , ან თუნდაც ასე: . როგორც ამბობენ, ფესვი და ლოგარითმი ჯიუტია. ერთადერთი ის არის, რომ თუ რომელიმე ფუნქცია "გადატვირთულია" მნიშვნელზე, მაშინ შეიცვლება განმარტების დომენი (თუმცა ზოგად შემთხვევაში ეს ყოველთვის ასე არ არის). მატანის თეორიაში ამ სიტყვიერი... ოჰ... არის თეორემები.

მაგალითი 12

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ნახატის გამოყენება საკმაოდ მიზანშეწონილია, რადგან ფუნქცია არ არის უმარტივესი.

კიდევ რამდენიმე მაგალითი მასალის გასაძლიერებლად:

მაგალითი 13

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: შევადგინოთ და მოვაგვაროთ სისტემა:

ყველა მოქმედება უკვე განხილულია სტატიის განმავლობაში. მოდით გამოვსახოთ რიცხვითი წრფეზე უტოლობის შესაბამისი ინტერვალი და მეორე პირობის მიხედვით გამოვრიცხოთ ორი წერტილი:

მნიშვნელობა სრულიად შეუსაბამო აღმოჩნდა.

უპასუხე: დომენი

პატარა მათემატიკური სიტყვა მე-13 მაგალითის ვარიაციაზე:

მაგალითი 14

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ვინც გამოტოვა, არ გაუმართლა ;-)

გაკვეთილის ბოლო ნაწილი ეძღვნება უფრო იშვიათ, მაგრამ ასევე „სამუშაო“ ფუნქციებს:

ფუნქციის განსაზღვრის არეები
ტანგენტებით, კოტანგენტებით, რკალებით, არკოზინებით

თუ რომელიმე ფუნქცია მოიცავს , მაშინ მისი განმარტების სფეროდან გამორიცხულიქულები , სად ზ- მთელი რიცხვების ნაკრები. კერძოდ, როგორც სტატიაშია აღნიშნული ელემენტარული ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები, ფუნქციას აქვს შემდეგი მნიშვნელობები:

ანუ ტანგენტის განსაზღვრის დომენი: .

ძალიან ბევრს ნუ მოვკლავთ:

მაგალითი 15

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი

გამოსავალი: ამ შემთხვევაში, შემდეგი პუნქტები არ შედის განმარტების დომენში:

მოდით ჩავყაროთ მარცხენა მხარის "ორი" მარჯვენა მხარის მნიშვნელში:

Როგორც შედეგი :

უპასუხე: დომენი: .

პრინციპში, პასუხი შეიძლება დაიწეროს, როგორც უსასრულო რაოდენობის ინტერვალების გაერთიანება, მაგრამ კონსტრუქცია ძალიან რთული იქნება:

ანალიტიკური გამოსავალი სრულად შეესაბამება გრაფიკის გეომეტრიული ტრანსფორმაცია: თუ ფუნქციის არგუმენტი გამრავლებულია 2-ზე, მაშინ მისი გრაფიკი ორჯერ შემცირდება ღერძამდე. დააკვირდით, როგორ შემცირდა ფუნქციის პერიოდი და შესვენების წერტილებიგაორმაგდა სიხშირით. ტაქიკარდია.

მსგავსი ამბავი კოტანგენტთან. თუ რომელიმე ფუნქცია შეიცავს , მაშინ წერტილები გამოირიცხება მისი განმარტების სფეროდან. კერძოდ, ავტომატური ადიდებული ფუნქციისთვის ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მნიშვნელობებს:

Სხვა სიტყვებით:

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, მისამართი ელფოსტადა ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენს მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაციასაშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციებისა და სხვა ღონისძიებების შესახებ და მომავალი მოვლენები.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცესის, სასამართლო პროცესის შესაბამისად ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ფუნქცია არის მოდელი. მოდით განვსაზღვროთ X, როგორც დამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობების ნაკრები // დამოუკიდებელი ნიშნავს ნებისმიერს.

ფუნქცია არის წესი, რომლის დახმარებით, დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობისთვის X სიმრავლიდან, შეიძლება იპოვოთ დამოკიდებული ცვლადის უნიკალური მნიშვნელობა. // ე.ი. ყოველ x-ზე არის ერთი y.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ არსებობს ორი ცნება - დამოუკიდებელი ცვლადი (რომელსაც აღვნიშნავთ x-ით და მას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა) და დამოკიდებული ცვლადი (რომელსაც აღვნიშნავთ y-ით ან f (x) და გამოითვლება ფუნქციიდან, როდესაც ჩვენ ვცვლით x).

მაგალითისთვის y=5+x

1. დამოუკიდებელი არის x, რაც ნიშნავს, რომ ვიღებთ ნებისმიერ მნიშვნელობას, მოდით x=3

2. ახლა გამოვთვალოთ y, რაც ნიშნავს y=5+x=5+3=8. (y დამოკიდებულია x-ზე, რადგან რაც არ უნდა ჩავანაცვლოთ x, მივიღებთ იგივე y)

ამბობენ, რომ y ცვლადი ფუნქციურად არის დამოკიდებული x ცვლადზე და აღინიშნება შემდეგნაირად: y = f (x).

ᲛᲐᲒᲐᲚᲘᲗᲐᲓ.

1.y=1/x. (ე.წ. ჰიპერბოლა)

2. y=x^2. (ე.წ. პარაბოლა)

3.y=3x+7. (ე.წ. სწორი ხაზი)

4. y= √ x. (ე.წ. პარაბოლის ტოტი)

დამოუკიდებელ ცვლადს (რომელსაც x-ით აღვნიშნავთ) ფუნქციის არგუმენტი ეწოდება.

ფუნქციის დომენი

ყველა მნიშვნელობის სიმრავლეს, რომელსაც იღებს ფუნქციის არგუმენტი, ეწოდება ფუნქციის დომენი და აღინიშნება D(f) ან D(y).

განვიხილოთ D(y) 1.,2.,3.,4-ისთვის.

1. D (у)= (∞; 0) და (0;+∞) //მთელი ნაკრები რეალური რიცხვებინულის გარდა.

2. D (y)= (∞; +∞)//ნამდვილი რიცხვების ყველა რაოდენობა

3. D (y)= (∞; +∞)//ნამდვილი რიცხვების ყველა რაოდენობა

4. D (y) = . რჩება x მნიშვნელობების სიმრავლეთა გადაკვეთის პოვნა, რომ x∈D(f 2) და f 2 (x)∈D(f 1):

arcsinx>0-ისთვის დაიმახსოვრეთ arcsine ფუნქციის თვისებები. რკალი იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენში [−1, 1] და მიდის ნულამდე x=0-ზე, შესაბამისად, arcsinx>0 ნებისმიერი x ინტერვალიდან (0, 1] .

დავუბრუნდეთ სისტემას:

ამრიგად, ფუნქციის განსაზღვრის საჭირო დომენი არის ნახევარი ინტერვალი (0, 1].

პასუხი:

(0, 1] .

ახლა მოდით გადავიდეთ რთულ ფუნქციებზე ზოგადი ხედი y=f 1 (f 2 (...f n (x)))) . f ფუნქციის განსაზღვრის დომენი ამ შემთხვევაში გვხვდება როგორც .

მაგალითი.

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი .

გამოსავალი.

მოცემული რთული ფუნქციაშეიძლება დაიწეროს როგორც y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), სადაც f 1 – sin, f 2 – მეოთხე ხარისხის ფესვის ფუნქცია, f 3 – log.

ჩვენ ვიცით, რომ D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=)